universidad de cuenca · 2020. 8. 3. · timo tema, expone y desarrolla tres operaciones: flujo de...

UNIVERSIDAD DE CUENCA FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA

“APRENDAMOS ELEMENTOS DE ANÁLISIS VECTORIAL CON MODELLUS”

Tesis previa a la obtención del título de Licenciada en Ciencias de la Educación en la especialidad de Matemáticas y Física DIRECTOR: Dr. ALBERTO SANTIAGO AVECILLAS JARA AUTOR: LOURDES LILIANA CÁCERES CAGUANA

CUENCA-ECUADOR 2010

UNIVERSIDAD DE CUENCA F.F.L.C.E.

LOURDES LILIANA CÁCERES CAGUANA 1

RESUMEN

El presente proyecto de graduación es una recopilación teórica y práctica de las operaciones fundamentales de la subunidad “Elementos de Análisis Vectorial” perteneciente al Electromagnetismo.

Mediante el uso de Modellus (programa de animación

matemática) se han elaborado variadas animaciones, las mismas que se han clasificado en: Conceptuales, Ejercitativas y Lúdicas. Las primeras contienen conceptos, teorías, teoremas y modelos matemáticos de la subunidad mencionada; las segundas consolidan y refuerzan el aprendizaje con la ayuda de ejercicios modelo y propuestos; mientras que las últimas complementan el aprendizaje, pues son juegos que incentivan el aprendizaje y desarrollan el razonamiento, la creatividad y la motricidad. Además de éstos, la presente cuenta con una síntesis bien elaborada de “La Educación Personalizada”, los fundamentos básicos para el uso de Modellus y resúmenes breves referentes a cada uno de los temas que componen “Elementos de Análisis Vectorial”.



PALABRAS CLAVE

• Electromagnetismo • Modellus • Álgebra Vectorial • Vectores • Diferencial de línea • Diferencial de superficie • Diferencial de volumen • Campos Vectoriales • Campos Escalares • Gradiente • Divergencia • Rotacional • Integración vectorial • Integral de línea • Integral de Superficie • Integral de Volumen



Í N D I C E Certificado……………..…………………………………………………………… Dedicatoria……………..………………………………………………………….. Agradecimiento…………………………………………………………………… Introducción…….……………………………….………………………………… La Educación Personalizada...…...…………………………………………….. Introducción a Modellus………………………………………………….……… Presentación…………………………………………………………….………… Álgebra de vectores……………………....…………..………………………….. Sistemas de Coordenadas….............………………………………………..... Diferenciales de Volumen, de superficie y de línea....................………… Campo escalar y campo vectorial……………………………………………... Diferenciación vectorial......................………………….……….................... Gradiente de un campo escalar...................................……………………... Divergencia de un campo vectorial........................................................…. Rotacional de un campo vectorial.................………………………………... Integración vectorial........................................……………………………….. La integral de línea...........................…………………………………………… Integrales de superficie y de volumen......………………………………….... Teoremas integrales e identidades vectoriales......………………………… Conclusiones…………………………………………….………………………… Recomendaciones……………………….……………………………………….. Bibliografía………………………………………………………………………….

4 5 6 7 11 43 57 58 67 77 86 93 101 109 115 123 128 136 144 152 154 155



CERTIFICADO

Yo, Lourdes Liliana Cáceres Caguana,

certifico que todo el contenido

del presente trabajo es

de exclusiva responsabilidad del autor.

…………………………………..



DEDICATORIA

A Dios,

a mis padres: José Cáceres y María Caguana,

a mis hermanos: Doris, Jéssica y Marco

y a mi sobrina Karen.



AGRADECIMIENTO

En primer lugar quiero “Dar Gracias” a Dios y a mis padres, porque verdaderamente sin ellos

no me habría sido posible la realización de este proyecto.

Luego quisiera agradecer a mis profesores de universidad, especialmente al director de mi

tesis, Dr. Santiago Avecillas Jara, por su paciencia, tiempo y dedicación que tuvo para conmigo.

Y finalmente deseo reconocer a todas las

personas que de alguna manera influenciaron positivamente en el desarrollo

y culminación de esta tan anhelada obra.



INTRODUCCIÓN

“APRENDAMOS ELEMENTOS DE ANÁLISIS

VECTORIAL CON MODELLUS” es un proyecto que vincula software y elementos informáticos con la Matemática, permitiéndonos obtener como resultado un excelente software educativo tan conveniente para la sociedad y el mundo en el que vivimos, un mundo en constante cambio, no solamente tecnológico, sino también de modelos pedagógicos y de herramientas de enseñanza-aprendizaje, entendiendo como herramientas todos los materiales visuales, auditivos, manipulables y demás que incentivan el aprendizaje.

En este sentido, muchos profesores de secundaria defensores de la metodología tradicional que dicen que la matemática nada tiene que ver con la informática y que eso del internet no es para ecuaciones, aquellos que se niegan a abandonar sus ideales y a abrir sus mentes a nuevos métodos de enseñanza, se sorprenderían al enterarse que día a día aparecen nuevas metodologías y se crea toda clase de software educativo para la física, trigonometría, álgebra, etc., y se sorprenderían todavía más al ver que estos softwares mejoran significativamente el proceso de enseñanza dentro de las aulas, porque como yo digo: los conocimientos más perdurables son los que se obtienen de los experimentos.

Y es precisamente esta obra es uno de esos softwares educativos que proporcionan dinamismo en las aulas. Sus animaciones conceptuales, ejercitativas y lúdicas hechas en Modellus son interesantes e ilustrativas, buscándose al mismo tiempo un auto-aprendizaje con “La Educación Personalizada” tan útil cuando se usan materiales visuales-auditivos.



DESCRIPCIÓN DE CADA TEMA 1.1.1 Álgebra de vectores: El primer tema contiene los con-ceptos y operaciones del Álgebra Vectorial muy útiles en el de-sarrollo de temas posteriores, además de que proporciona las propiedades de ciertas operaciones como son las del producto vectorial. 1.1.2 Sistema de coordenadas: Comprende la representación gráfica y simbólica de los tres sistemas de coordenadas: carte-sianas, cilíndricas y esféricas y su respectiva transformación entre estos tres sistemas mencionados. 1.1.3 Diferenciales volumen, de superficie y de línea: Se es-tudia la conceptualización y simbología de los diferenciales de volumen, superficie y línea, los cuales se usan, como su nom-bre lo indica, para hallar volúmenes, superficies o longitudes desconocidas en base a la integración. 1.1.4 Campo escalar y campo vectorial: Se presentan los conceptos de campo, campo escalar y campo vectorial, y se ejemplifican estos dos últimos para un mayor entendimiento y compresión. 1.1.5 Diferenciación vectorial: Aquí se investiga y analiza la expresión general de la derivada parcial, y a partir de ésta, se deducen algunas reglas así como la representación de las deri-vadas parciales en caso de que la función vectorial dependa de varias variables. 1.1.6 Gradiente de un campo escalar: Mediante una explica-ción breve, detallada y clara se define la fórmula matemática



del gradiente y sus expresiones en los tres sistemas de coor-denadas: cartesianas, cilíndricas y esféricas. Finalmente, se vi-sualizan ciertas reglas para el cálculo de esta tan importante operación. 1.1.7 Divergencia de un campo vectorial: En este tema se analiza la definición de divergencia, su simbología y modelo matemático. Al igual que el gradiente, se desarrolla la expre-sión de divergencia expresado en los tres sistemas de coorde-nadas, y por último, se muestran algunas reglas y teoremas pa-ra el cálculo de la divergencia, operación propia de los campos vectoriales. 1.1.8 Rotacional de un campo Vectorial: Se expone y explica la definición de rotacional, su representación gráfica y modelo matemático general y a partir de éste, se anotan las expresio-nes en cartesianas, cilíndricas y esféricas. Al ser una operación propia de los campos vectoriales, se indican algunas reglas pa-ra el cálculo del rotor. 1.1.9. Integración vectorial: En este punto del texto, se desa-rrolla el término de integral de un campo o función vectorial en coordenadas cartesianas, sea definida o indefinida. La integral vectorial es importante porque relaciona la posición, velocidad y aceleración de un cuerpo u objeto, puesto que todas dependen de la misma variable t (tiempo). 1.1.10 La integral de línea: En esta parte se trabaja y estudia la conceptualización y formulación de las expresiones de inte-gral de línea, tanto general como particular, las cuales se ex-presan en cartesianas, cilíndricas y esféricas. También se muestra el caso especial de circulación de un campo vectorial a lo largo de una trayectoria cerrada y se indica cuándo un cam-po vectorial es o no conservativo.



1.1.11 Integrales de superficie y de volumen: Éste, el penúl-timo tema, expone y desarrolla tres operaciones: Flujo de un campo escalar, Flujo escalar de un campo vectorial y Flujo vec-torial de un campo vectorial. 1.1.12 Teoremas integrales e identidades vectoriales: El úl-timo de los temas explica y define los modelos matemáticos de los teoremas de la Divergencia de Gauss, de Stokes y de Green, y finalmente establece las fórmulas correspondientes al campo vectorial irrotacional, solenoidal y de identidades vecto-riales.



LA EDUCACIÓN PERSONALIZADA

Desde la aparición de las primeras metodologías como el modelo pedagógico tradicional, naturalista, activista, tecnocráti-co, entre otras, se ha formado una controversia subjetiva, que de una u otra manera ha sido manejada en forma educada, discreta, tranquila y moderada. Dicha polémica en la mayoría de casos ha sido entres sus precursores o personas que de-fienden pensamiento o corriente educativa y buscan que su modelo sea considerado como el mejor dentro de una estrate-gia pedagógica.

Con el pasar del tiempo y por las falencias que presenta-ban dichas metodologías, no solo en el aula de clase sino en el propio desarrollo de la personalidad del estudiante, en su aprendizaje y socialización, se pensó en mejorar los modelos anteriores y como es lógico pensar, fueron apareciendo nuevas escuelas y corrientes pedagógicas ligeramente diferentes a las de su origen, es decir, éstas modificaciones recibían nombres nuevos, sin embargo, unas que otras sí eran literalmente nue-vas, entre las que encontramos “La Educación Personaliza-da” que nace precisamente en un ambiente de polémica crea-do en Europa por la escuela nueva y sus variantes. La Educación personalizada cobija gran número de versiones pedagógicas, entre ellas se encuentra el método de Faure, mé-todo que pone énfasis en el trabajo personal del alumno a partir de guías metódicas y de la interacción grupal, usándose para esto las puestas en común, las reuniones de discusión, los fo-ros, charlas, mesas redondas con el fin de que el alumno se sienta tratado como persona y sienta que es y tiene la libertad de ser y actuar responsablemente.



El método de Faure del jesuita Pierre Faure (francés) juega un papel importante en los comienzos de la educación personali-zada y según sus estudios e investigaciones referentes a la pedagogía dice: que la Educación personalizada persigue ayu-dar al hombre a ser el mismo, para que construyendo sea ca-paz de construir un mundo mejor. Otro personaje de gran im-portancia dentro de la Educación Personalizada es Víctor García Hoz, pedagogo de gran influencia a nivel superior, quien considera que ésta metodología respeta al individuo, su ritmo de aprendizaje, su libertad de acción, su grupo social (sociali-zación) y principalmente su personalidad. Según la Educación Personalizada, educar hoy en día es dejar al hombre libre para que recobre su iniciativa y se auto eduque en sociedad y para la sociedad guido por el docente. ¿QUÉ ES LA EDUCACIÓN PERSONALIZADA? La Educación personalizada es más que una nueva me-todología para aplicarse en un salón de clase a través de instrumentos pedagógi-cos como fichas-guías, talle-res, foros entre otros; la Educación Personalizada es como su nombre lo indica educar a una persona, es una nueva propuesta educativa, que implica una concepción diferente del individuo, del edu-cando, de la persona humana considerada en sí misma y en la relación con el entorno que lo rodea.



En el marco de la Educación Personalizada, los educadores es-tán obligados a saber cuál es el aspecto fundamentalmente humano de la inteligencia, es decir, aquellos que creen en una educación de la persona deben estar abiertos a la necesidad de un modelo educativo que permita llevar a la realidad los grandes objetivos de la educación personalizada. Dentro de és-ta se considera que la inteligencia y la educación son depen-dientes y que existen en el mismo mundo, es por eso que la te-oría de las inteligencias múltiples, llena el vació pedagógico y crea los medios para la utilización de las todas las potenciali-dades lo que lleva al individuo al máximo beneficio personal. La teoría de las inteligencias múltiples responde a la filosofía de la Educación Personalizada entiendo que hay diferentes y variadas formas de aprender, de ahí que algunos somos más sobresalientes, más hábiles o estamos más capacitados y ap-tos en unas áreas que en otras y por esto no todos tenemos la misma interpretación, comprensión y mucho menos el mismo ritmo de aprendizaje. En la educación personalizada y en la enseñanza – apren-dizaje la actitud que adopte el educador se transmite al estu-diante. Éste tiende a ejemplificar a su maestro y a imitar su es-tado de ánimo, organización, responsabilidad, cooperación y puntualidad, es resumen se tendría:

Maestro motivado = Estudiante motivado Los catedráticos que adquieran esta metodología tendrían que reestructurar la forma de enseñar y la forma de aprender. En-tender que más que enseñar es compartir de persona a perso-na los conocimientos y reconocer que la energía y las inteligen-cias desarrolladas son diferentes y que por lo mismo se debe



dar oportunidad a todos para que desarrollen al límite su po-tencial intelectual. CONCEPTOS DE EDUCACIÓN PERSONALIZADA Son muchos los conceptos o ideas que se han escrito, referen-tes a lo que es la Educación Personalizada, pero sin duda cada uno de sus autores se centra en mejorar la enseñanza–aprendizaje y en educar a una apersona. Entre los conceptos más generalizados se tienen los siguientes:

La Educación personalizada es un espíritu y un proyecto pe-dagógico que se centra en la persona del estudiante para prepararlo para la sociedad en la que vive y para la que ser-virá. La Educación personalizada es una moción y guía del pro-ceso formativo del hombre y da importancia a aquello que lo hace más específicamente hombre, ser, ser personal.

Educación Personalizada es una orientación especial, una manera de concebir el proceso educativo es en definitiva un proyecto pedagógico del ser personal. La Educación Personalizada busca formar una persona, cen-trándose en concebir al alumno mismo como agente princi-pal de su formación para la vida en sociedad.

Gira alrededor de dos conceptos básicos: La Individualización: es el desarrollo integrado de su mismo ser y su proceso con otros seres. La Socialización: Es el proceso armónico con esos otros.



La Educación Personalizada está orientada por un espíritu que anima todo lo que se hace y está apoyado por instru-mentos y principios que llevan a su correcta ejecución. La Educación Personalizada no es solo una nueva metodo-logía para que el proceso enseñanza-aprendizaje sea más eficaz; la diferencia está es que convierte el trabajo de aprendizaje en un elemento de formación personal a través de la elección de tareas y la aceptación de responsabilida-des por parte del mismo escolar.

Para nosotros “La Educación Personalizada” es un módulo cu-yo objetivo es considerar a los estudiantes como personas humanas que cambiando, mejorando y apoyando las diferen-tes actitudes se logre el desarrollo de sus potencialidades que según él (el educando) necesita y piensa son importantes. Al hablar de Educación Personalizada es inevitable hablar de ACTITUDES, actitudes que pueden ser modificadas, alteradas, reemplazadas y/o sustituidas, y no sólo se alteran las actitudes de los estudiantes sino también de los profesores, rectores, inspectores y demás autoridades y personas que se ven impli-cadas en este modelo o proyecto pedagógico que es “LA EDUCACIÓN PERSONALIZADA”. En este sentido, lo primordial en la Educación Personalizada son “LAS ACTITUDES” y los métodos pasan a un segundo plano, sin embargo, no por ello pierden su elementalidad, por-que sin éstas no se lograría los objetivos planteados y el objeti-vo más importante que es el de cambiar la actitud de las perso-nas que interactúan en clase.



Es necesario indicar que los métodos como tal no lo son todo para lograr un cambio, puesto que también interviene la forma y la habilidad que tenga el educando de manejar, usar y sacarle el máximo provecho a las diferentes técnicas que el haya se-leccionado. La Educación Personalizada se caracteriza por:

• Ser una educación de autoeducación. • Considerar a la persona como el actor principal de la ac-

ción educativa y del proceso pedagógico. • Basarse en una serie de PRINCIPIOS, derivados del con-

cepto de persona, apoyando la formación del hombre en su totalidad.

• Cambiar las actitudes de todos los que intervienen en el proceso de enseñanza-aprendizaje.

• Respetar y valorar a las otras personas • Favorecer el máximo desarrollo de las relaciones interper-

sonales • Desarrollar como costumbre el saber escuchar y atender a

los otros. • Crear un ambiente familiar y participativo. • Avivar el interés por aprender.

OBJETIVOS DE LA EDUCACIÓN PERSONALIZADA Según el estudio y análisis de varios autores, los objetivos que persigue este nuevo proyecto “Educación Personalizada” son muchos y no solamente se ejecutan dentro del aula de clase sino que se encaminan al contexto mismo del alumno, al igual que a su organización institucional, familiar y social.



Entre los principales objetivos tenemos los siguientes:

Permitir el desarrollo de las potencialidades del alumno en relación a sus propias posibilidades y a las de la sociedad que lo rodea.

Cambiar las actitudes de todos a quienes abarca la Edu-cación Personalizada (educandos, educadores, rectores, inspectores, padres de familia y demás personas).

Reconocer la interacción permanente entre el estudiante y el educador como personas.

Individualizar y personalizar el proceso educativo.

Propiciar un ambiente educativo confiable y familiar para fortalecer el aprendizaje y la formación del educando.

Distinguir al estudiante como individuo semejante a los demás y al mismo tiempo diferente en su personalidad, en sus propósitos, necesidades y responsabilidades.

Tratar de establecer una relación y una retroalimentación entre las dos partes actuantes de la enseñanza-aprendizaje (profesor y alumno).

Buscar un compromiso en el escolar y una apertura hacia las necesidades de las demás personas, respondiendo a las exigencias de la moralidad.



Dar una nueva perspectiva a los contenidos de la educa-ción actual, para la cual se apoya en las experiencias de la vida real.

Apoyar a la persona a que logre su “realización personal”.

Como se puede observar, cada uno de los objetivos antes mencionados tratan de ser los más precisos posibles, además, de que se orientan a diferentes aspectos y mencionan todas las partes involucradas que a la vez son fundamentales en esta metodología. Cabe mencionar que para lograr cumplir estos objetivos todas las partes involucradas deben poner de su parte para que este proyecto tenga éxito, pero sin duda, las partes principales son el estudiante y el profesor, porque sin éstos, el cumplimiento del proyecto no sería posible.



PRINCIPIOS BÁSICOS La educación personalizada tiene tres principios básicos sobre los cuales se fundamenta todo su propósito pedagógico, es de-cir, éstos son sus pilares y si uno de ellos falta se deteriora el sistema o simplemente deja de funcionar. Estos principios básicos son: a) RESPETO Y FOMENTO DE LA SINGULARIDAD: Repre-

senta el respeto que cada estudiante recibe y merece por parte del profesor por el hecho de ser persona y como tal, dispone de derechos, obligaciones y responsabilidades, las mismas que son compartidas con los compañeros e indivi-duales, propias de cada individuo. El fomento de la singulari-dad se refiere a que el alumno es un ser único, autónomo, li-bre, con sus propias metas, sueños, ideales; es por eso que el proceso educativo se encamina a lograr la “realización personal”, logrando que el educando sea el agente se su propio aprendizaje y desarrollo. Dentro de este contexto el educador deja de ser el único emisor de información para

PRINCIPIOS



convertirse en facilitador del aprendizaje y un guía encami-nándose a fomentar las diferentes personalidades, y por otra parte el educando no es simplemente un receptor, es mucho más que eso, es emisor y receptor, es como dijimos antes una persona, un ser humano similar en ciertos aspectos in-cluso es similar al propio maestro. Pierre Faure, Nieves Pereira y la hermana Judith León Gue-vara consideran la creatividad dentro de este primer principio como: "La concepción de originalidad viene dada por la dinámica de la singularidad ... ser original es sinónimo de ser creador, así que originalidad y creatividad se en-cuentran unidas completamente"

Cada ser humano es único e irrepetible por consiguiente el maestro personalizado, debe centrarse en cada uno de los estudiantes, observarlos, ser capaz de diagnosticar sus inte-ligencias múltiples, como son: la inteligencia creadora, im-provisadora, oratoria, dinámica, etc., con el fin de crear es-trategias que según las singularidades antes mencionadas, lleguen a motivarlos, impulsarlos, y proyectarlos; respetando siempre el ritmo personal de aprendizaje de cada alumno.



Por otra parte, la guía del profesor debe ser elaborada de manera que cubra todas las expectativas, para cuya ejecu-ción se necesitará un promedio de más o menos cuatro a seis estrategias, de estas estrategias y de la actitud que adopta el profesor se hablará más adelante. Los estudiantes al ser individuos idénticos y diferentes a otros seres humanos necesitan una educación que busque su perfeccionamiento, lo que no quiere decir, que se bus-quen las tiranías sino el liderazgo bajo responsabilidad. De-ntro de la educación se busca ser líderes de nuestra propia educación, es decir, auto educarnos. En definitiva, cada estudiante tiene su propio sendero que recorrer, su propia motivación, sus propios ideales e intereses, diferentes ritmos de acción y de reacción aunque sean sometidos a los mismos estímulos. La ejecución de sus acciones están basadas en su misma persona e influenciadas por su afán de creación, para lo cual se hace uso de su creatividad, originalidad, singularidad y aprendizaje; un aprendizaje sin repetición, sin plagio porque como lo dijo Pierre Faure “La repetición es un peligro que hay que considerar como defecto”.

b) SOCIALIZACIÓN: Se resume en lo que se ha llamado “obje-

tivos sociales” de la Educación personalizada, es decir, se prepara al estudiante para la convivencia con los otros seres humanos y para la vida con esos otros seres, esto implica, que la persona debe reconocer su interdependencia con su prójimo, comprometiéndose a trabajar en conjunto para construir un buen ambiente educativo y social.



Preparar para la vida dentro de la “Educación Personalizada” es preparar para la sociedad en que se vive, para el mundo de la producción y transformación de la ciencia, para la in-dustria, el comercio, las artes y otras áreas propias de la so-ciedad que se ven influenciadas por la educación e influyen sobre ésta. La persona es un ser abierto a otro, es comunicación y parti-cipación, porque si el “ser” fuese una persona un ser inco-municable no hubiera sociedad, esto implica que también no existiera educación. No se debe confundir el echo que la persona esté abierta a los otros y clausurada en su ser, esto significa que en el momento de descubrir y crear se necesita de los otros pero se clausura de ellos en el momento en que se considera diferente de ellos y en el momento en que defi-ne su propia personalidad. Por último, los estudiantes y todos en general no sólo somos algo sino somos ese algo en dirección hacia algo o alguien, y este algo puede ser la sociedad de la que somos parte, en la que nos comunicamos, nos aceptamos y nos respetamos, no obstante, antes debemos respetarnos y aceptarnos a noso-tros mismos.

c) DESARROLLO DE LA AUTONOMÍA Y LA LIBERTAD: Es preparar y capacitar al colegial para el ejercicio de la libertad y para asumir responsablemente las consecuencias de las decisiones tomadas y los actos realizados según su propio criterio. La persona autónoma es capaz de auto dirigirse y de elegir, lo que puede expresarse también como hacer justificaciones válidas, comentarios, sugerencias, apreciaciones, recomen-daciones, impugnaciones, todos éstos basados en conoci-



mientos, reglas, normas, juicios, teorías y leyes que han sido y/o son bien estudiadas y aprendidas. Juega un papel impor-tante el reconocimiento de la libertad de expresión y por ello el estudiante manejará la verdad de manera consiente y sensata, considerando que informar exige objetividad y no subjetividad. La Educación Personalizada implica ejercer la libertad, liber-tad entendida como la capacidad de elegir, decidir, respon-der responsablemente, sabiendo que “uno es dueño de lo que calla y esclavo de lo que dice”. Lo que se busca es que el estudiante en su afán de dar una respuesta analice, se in-terrogue y tome conciencia de lo que va a decir, de manera que se sienta libre de decir lo que piensa pero comprome-tiéndose con lo que dice. Dentro de la Educación personali-zada la libertad no incluye solo la libertad de expresión sino también la libertad de organización y programación de activi-dades y de iniciativas personales. Para que los actos de ele-gir sean auténticos actos libres, han de efectuarse como una consecuencia de la reflexión acerca de las posibilidades que al alumno se le presenten; de aquí el que en una educación personalizada, la reflexión y la deliberación sean actos indis-pensables.

EL CONSTRUCTIVISMO Y LA EDUCACIÓN PERSONALIZADA El construccionismo es un resumen del proceso de construc-ción y transformación del conocimiento humano como finalidad de trabajo, parte de los problemas y realidades que pertenecen al estudiante. Se vale de la observación objetiva del conoci-



miento en función de lo principal y oportuno. Busca objetivos determinados en la solución de necesidades y problemas y atiende a los intereses de los estudiantes a la hora de resolver-los. El constructivismo es transformación. Nos ofrece buenas vías para la construcción y reconstrucción del conocimiento. Motiva, encauza y posibilita una dinámica integracionista; nos hace ser compañeros interdependientes en la socialización de las inten-ciones y necesidades del conocimiento desde un aprendizaje más crítico. Centrado en la persona perteneciente al estudian-te, se parte de que el conocimiento en el aula se construye en la interacción dinámica de dos momentos posibles pero con-frontados, los cuales son: 1) ACTO COLECTIVO: Es la socialización en el aula, en la cla-se, en donde la interacción del estudiante con el docente y con los compañeros hacen que se vaya formando la personalidad, se vaya moldeando las ideas previas (pre concepciones) y se



vaya accediendo a niveles de cuestionamiento cada vez más críticos de manera que tenga una actitud propia. 2) ACTO INDIVIDUAL: El educando en su propia persona construye y abstrae los conceptos de forma personal siendo es-te el momento justo en que es diferente de los demás y el mo-mento en el que él forma su personalidad. LA EDUCACIÓN PERSONALIZADA Y EL CONCEPTO DE PERSONA Dentro de la Educación Personalizada el ser humano, que es el estudiante es considerado “persona” y tiene derechos, liberta-des y responsabilidades. Es un organismo que reacciona ante cualquier estímulo que encuentre en la sociedad. Según el pa-dre Carlos Vásquez el concepto de persona se pueden sinteti-zar en los siguientes criterios de personalidad: 1. LA PERSONA TIENE UN VALOR ABSOLUTO ninguna

persona de la sociedad o institución educativa, incluyendo al profesor puede considerar a la persona como medio para sus propios logros o beneficios.

2. LA PERSONA ES UN EXISTENTE ÚNICO E IRREPETI-BLE, el ser humano como tal es único y original y tiene su propio destino aunque para llegar a este destino necesaria-mente y obligatoriamente debe hacerlo en relación con los demás semejantes que lo rodean

3. LA PERSONA ES UN SER-EN-EL MUNDO. Es un individuo

que pertenece y se desarrolla en el mundo en el que vive y



necesita de éste para vivir, por eso es un ser en el mundo y sin éste deja de ser un “ser”.

4. LA PERSONA ES UN SER-CON-OTROS. Es el estar con-

sientes de la interdependencia que tiene la persona con la sociedad, puesto que es con la sociedad con la que se co-munica, con la que construye, con la que es responsable.

5. LA PERSONA ES UN SER LIBRE Y AUTÓNOMO. En

cuanto su libertad no implique la esclavitud de otros, en la educación esto significa no hablar perjudicando a compañe-ros o profesores injustamente.

6. LA PERSONA SE PROPAGA A SÍ MISMA. Este criterio

permite conocernos a nosotros mismos, nuestros logros y nuestras limitaciones, así como, conocer a los demás, en-tenderlos y comprenderlos.

7. LA PERSONA ES UN SER ACTIVO. La acción se orienta al

desarrollo de sus potencialidades y el ser humano siempre busca el perfeccionamiento de dichas potencialidades.

Según los criterios antes tratados, es necesario hablar del con-texto que rodea al estudiante lo que implica que se consideren las siguientes acciones específicas:



a) CAPACIDAD DE CONOCER: El conocimiento permite

que la persona se conozca a si misma y a los demás, re-lacionarse con ellos y conocer o “ver” su mundo.

b) CAPACIDAD DE AMAR: Significa que el individuo sabe

que puede ligar amistades comprometiéndose y compar-tiendo con otros sus sentimientos, sus metas y sus fun-ciones; logrando establecer una plena comunicación en el entorno educativo.

c) RELACIÓN SOBRE SÍ MISMO, EL OTRO Y LA NATU-

RALEZA: La persona debe estar consiente de la impor-tancia de los resultados de sus acciones, las que no so-lamente afectan a si mismo sino también al quienes lo rodean y lo que lo rodea, es decir, debe reconocer la in-terrelación entre la persona humana, la sociedad y el medio ambiente.



EL EDUCADOR EN LA EDUCACIÓN PERSONALIZADA Dentro de la Educación Personalizada el educador debe con-vertirse en «animador», su papel consiste en promover en el aula un ambiente de investigación, que sienta el alumno que existe en la clase una mutua ayuda y comunicación; motivar al estudiante a la autoeducación y hacer que desaparezca en él el miedo de actuar y preguntar en clase. Los objetivos del docente en el contexto de ésta pedagogía son: a) Formar consiste en ayudar a encontrar los métodos y técni-

cas personales de los educandos, de modo que éstos se acerquen cada vez más a los objetivos a que cada alumno se ha propuesto personalmente.

b) Proponer mas no imponer, determinadas formas y organiza-

ciones dentro de la clase, así como determinados instrumen-tos y herramientas de trabajo que anteriormente hayan sido minuciosamente probados y aprobados.

c) Orientar al jefe de grupo en la selección de herramientas e

instrumentos para el trabajo educativo, los cuales deben ser escogidos en función de su personalidad y la de los jóvenes que le han sido confiados.

d) Tener una actitud de aceptación en relación con todas las

propuestas y ensayos de sus estudiantes que pueden de al-gún modo colaborar en la mejora de la eficacia de la educa-ción personalizada.



e) Estar abiertos siempre al diálogo y considerar que nadie es

dueño de la verdad absoluta y que tampoco existe instru-mento perfecto dentro del mundo pedagógico.

Vale mencionar, que en una reciente sesión designada a la educación personalizada se decidió que la función elemental de los educadores no consistiría solamente en realizar «demos-traciones», ni en efectuar exposiciones, su papel esencial con-sistiría en preparar un ambiente para alumnos pero pensado para adultos, en el que éstos podrían elegir libremente entre una variedad de actividades en función de sus necesidades y preferencias. Asimismo, los formadores tendrían que ayudar a cada educando a establecer su propio programa y a encontrar los medios personales de investigación y contribución a la evo-lución de la sociedad formada por el conjunto de asistentes. De la misma forma, los profesores deber encontrarse disponi-bles para responder a las preguntas que les formularán y por consiguiente se animará, estimulará y favorecerá la expresión de todos. En síntesis, los maestros se convertirían en asisten-tes de los estudiantes que vienen a ser los legítimos actores y responsables de su formación siempre y cuando éstos alcan-cen su auto educación. Otro punto importante es la actitud del docente, la misma que debe estar basada en valores de acogida, respeto y confianza. Acogida.- El educador debe crear un escenario en que el edu-cando se sienta familiarizado con los compañeros y con el edu-cador. Acoger significa incentivar al alumno a que se muestre tal cual es, que sea el mismo y que descubra las cosas mien-tras él mismo las hace...



Respeto.- Está asociado con la confianza que muestre el pro-fesor al alumno. Es reconocer el esfuerzo realizado por cada alumno, su interés y la importancia que le dé a la asignatura. También interviene en el respeto el que el profesor sea un apo-yo y un guía para el estudiante en la busca de soluciones. Confianza.- El educando debe sentir que el educador cree en sus capacidades y potencialidades, y que por ello el profesor le exige superación; esto se logra con un diálogo constante y continuo entre profesor y alumno, incluso los gestos que haga el profesor durante la hora de clase son muestra confianza que animan al estudiante. LAS ETAPAS DE LA NORMALIZACIÓN EN LA EDU-CACIÓN PERSONALIZADA a. OBSERVACIÓN: Los alumnos aprenden observando los movimientos, las actitudes, la utilización de instrumentos o la resolución de ejercicios modelo. Bajo esta perspectiva la activi-dad que realice el docente servirá de modelo para los estudian-tes lo que necesita un ambiente de silencio y concentración, especialmente si lo que se está enseñando son ejercicios de matemáticas, física y química. b. REPETICIÓN: Para lograr un buen desempeño en lo que an-tes se ha enseñado, no basta solamente con haber observado la actividad realizada por el profesor sino que se requiere prac-ticar y repetir de forma continua. En el caso de las matemáti-cas, del álgebra e incluso en ejercicios de la física se necesita ser constate y ser continuo en la resolución de ejercicios, prin-cipalmente si lo aprendido es base para estudios posteriores.



c. TOMA DE CONCIENCIA: Se dialoga con los estudiantes y se les hace saber cual es la importancia del uso de las herra-mientas de trabajo educativo y su repercusión en la sociedad. Si solamente se está enseñando la resolución de ejercicios se les comunica la íntima relación que guardan éstos con el mun-do real y su importancia. INSTRUMENTOS O MATERIALES DE TRABAJO Los instrumentos o materiales de trabajo son considerados co-mo medios para que el estudiante se desenvuelva por si sólo y para que corrobore la teoría con la práctica o experimentación. Al tratarse de un experimento el profesor debe guiarlo para que se llegue al resultado esperado. En la Física existen innumera-bles materiales de apoyo, es por eso que se cuenta con un La-boratorio de Física donde se verifican las principales leyes. Como en la mayoría de los casos no se cuenta con materiales palpables, se recurren a historias, puestas en común, actuacio-nes, o cualquier otra actividad o materiales que refuercen el aprendizaje. Entre algunos instrumentos que deben usarse en clase se tiene:

1- Programación o plan anual: Es una de la herramientas ex-clusivamente de y para los profesores y es proporcionado por el Ministerio de Educación con el que se busca incentivar al alumno al trabajo personal y grupal. Esta programación debe estar y debe ser entregada a los docentes antes de que inicie el período escolar. Luego de haber iniciado clases es reco-mendable que se entregue una copia de este programa a los estudiantes porque de esta manera ellos saben cual es la meta



que se pretende alcanzar durante todo el año, al mismo tiempo que relacionan los contenidos de cada unidad y conocen el avance de la asignatura. El plan anual debe ser realizado respetando el ritmo de trabajo de los alumnos, y deben incluirse el tiempo para las puestas en común, reuniones, foros, entre otros. 2- PLANES DE TRABAJO: Corresponde al alumno, él organi-zará su tiempo, sondeará y conocerá la clase del día siguiente. Lo que se pretende es hacer que el educando llegue sabiendo lo que se va ha estudiar ese día, que llegue con preguntas y curiosidades. El papel que juega el profesor es el de supervisar el plan de trabajo realizado por el estudiante. Este plan se lo debe realizar en lapsos de tiempo no muy extensos, por ejem-plo planes para una semana o quince días, todo de acuerdo con el convenio que se haya llegado con ellos mismos. Dicho plan debe incluir las actividades ha realizarse en clase, en ca-sa, los trabajos individuales y trabajos grupales. 3- GUÍAS DE TRABAJO: Son fichas que el docente facilita al alumno para que éste se percate del aprendizaje que va a ad-quirir y a aprender. Éstas deben respetar el ritmo de aprendiza-je del estudiante. Dentro de la matemática, las fichas de traba-jo se las podrá sustituir por deberes de casa, pues a mas de reforzar el aprendizaje, dan a conocer al educando lo que debe aprender respetando su ritmo de trabajo porque es él quien los resuelve. 4- BIBLIOTECA: Corresponde a los textos de consulta con los que cuenta el alumno. Los textos a entregarse a la clase deben ser seleccionados responsablemente y tomando en cuenta que



sean coloridos, dinámicos, escritos en un lenguaje acorde a los estudiantes y debe tomarse en cuenta que sean aprobados por el Ministerio de Educación. La Biblioteca es quizá uno de los instrumentos más importantes en el aula, porque los textos de consulta facilitan o complican la enseñanza–aprendizaje y porque hacen las funciones de pro-fesor cuando se trabaja en casa. 5- MATERIAL MANIPULATIVO Y DE SÍNTESIS: Es aquel ins-trumento con los cuales los estudiantes van a realizar los expe-rimentos y demostraciones pertinentes al tema. En caso de que no exista material manipulable se recurre a la síntesis que es información complementaria al aprendizaje y puede también ser ejemplificaciones o historias. Con estos materiales los co-nocimientos estudiados son aprendidos fácilmente y son mucho más estables. 7- MEDIOS DE EXPRESIÓN: La expresión es un elemento psicopedagógico elemental dentro de clase. Un alumno des-pués de haber realizar un ejercicio o de haber encontrado al-gún tipo de información querrá darlo a conocer en el aula y los educadores lo comprenderán y le darán un tiempo determinado para que lo enseñe a sus compañeros. ORGANIZACIÓN DEL TIEMPO Y EL ESPACIO A) ORGANIZACIÓN DEL TIEMPO: 1. TRABAJO PERSONAL.- Es dejar que los estudiantes traba-jen y refuercen las partes de la asignatura que creen necesitan



mejorar. Todo esto debe ser realizado en un ambiente silencio-so para que exista una total concentración y aprendizaje. Por el tiempo limitado que se otorga a cada asignatura este, el “trabajo personal” queda para la casa, en donde en grupo pue-den terminarlo y luego pueden evaluarse ellos mismos. Las ventajas que ofrece el trabajo personal son: incrementar y reforzar el aprendizaje, investigar, estudiar, trabajar al ritmo propio, satisfacer los propios intereses, aprender a planificar y organizar su tiempo y a asimilar por si mismo los contenidos y ejercicios. En el trabajo personal se visualizan tres niveles que se muestra a continuación y se los ha clasificado por el grado de participa-ción del educador: • Trabajo Personal Dirigido: El profesor da la ayuda y orienta de forma continua al estudiante que presente dificultad en el aprendizaje de nuevos conocimientos o nuevos temas. Para esto el profesor debe conocer el contexto que rodea al alumno para poder orientarlo y dar soluciones a problemas que influyen y dificultan su aprendizaje y concentración. • Trabajo Personal con seguimiento: Se da cuando el edu-cando investiga e indaga por su cuenta. El educador controla que sus investigaciones sean las correctas y poco a poco va dejándolo solo para que se auto eduque, es decir, el profesor se convierte en un guía del aprendizaje. • Trabajo Personal Autónomo: El alumno sabe aprovechar su tiempo y lo usa responsablemente para sus investigaciones, él se convierte en el actor principal de su aprendizaje, sin embar-go, el profesor no desaparece, sigue siendo el guía y la perso-na con la cual el estudiante despejará las dudas que tenga en



torno a las investigaciones realizadas. Para que un estudiante llegue a este nivel debe ser totalmente responsable y autóno-mo en su aprendizaje. 2. LA PUESTA EN COMÚN.- Es el tiempo que se dedica a que los alumnos expongan sus descubrimientos y dificultades que han tenido mientras hicieron tal descubrimiento, análisis o es-tudio. Más que tiempo para que enseñanza del profesor es un tiempo de socialización e integración. Factores que facilitan la puesta en común:

• Deben ser planificadas con anticipo. • Se deben determinar horarios. • Clasificar los temas en orden de importancia y avance. • La duración de las puestas en común dependerán de los

alumnos. • Las puestas deben basarse en el respeto al otro. • No es necesario que participen todos, con una o dos son

suficientes. B) ORGANIZACIÓN DEL ESPACIO: El espacio es donde se lleva a cabo la clase, ciertas clases pueden ser desarrolladas en espacios verdes, sala de audiovi-suales, o laboratorios. Éste debe organizarse de forma lógica y de acuerdo al curso en el que se encuentre. En la actualidad, no existen aulas por materia sino distribuidas por curso, aún así sí se puede llegar a una distribución del espacio. Por ejemplo: una parte pequeña del pizarrón puede asignarse para conoci-mientos previos o pre-conceptos. Otra forma de organizar el



espacio son las aulas-taller, en las que se ayuda alumnos que presenten dificultad en el aprendizaje. EVALUACIÓN La evaluación de los contenidos y el aprendizaje que haya desarrollado el estudiante depende del educador, pero sin duda él tiene mucho que evaluar: el trabajo personal, las puestas en común, los exámenes escritos, la participación, el interés y el mismo avance son ejemplos de lo que debería evaluar. En conclusión, habiendo avanzado un tema o capítulo es aconse-jable evaluar con pruebas escritas y preguntas orales, éstas no necesariamente tienen que ser calificadas porque con las in-vestigaciones que haga el estudiante ya se sabe que grado de importancia y tiempo le asignan los alumnos a la materia. La evaluación valora los procesos y los productos obtenidos, en-tendiéndose por producto el aprendizaje alcanzado por los alumnos y también se evalúa el progreso mismo del alumno. ESTRATEGIA PEDAGÓGICA Habiendo estudiado “La Educación Personalizada” y al querer definir una estrategia pedagógica para ser aplicada o usada en un salón de clase es obvio que optemos por una muy parecida a la que se presenta a continuación, la misma que está com-puesta de cuatro elementos fundamentales, en los que se in-cluye la Educación Personalizada, metodología que como hemos visto cubre gran número de aspectos dentro de la ense-ñanza–aprendizaje. Estos cuatro elementos son:



1. Metodología Personalizada 2. Construccionismo 3. Modificabilidad cognitiva y programa de enriqueci-

miento instrumental y 4. Aprender a aprender, educarse, ser y actuar.

El siguiente diagrama ilustra lo antes dicho:

De los cuatro elementos de la estrategia Pedagógica dos ya han sido estudiados anteriormente, por lo que únicamente se estudiarán los dos restantes. APRENDER A APRENDER Es la dinámica consiente de un aprendizaje independiente, propio, íntegro, libre teniendo en cuenta los niveles en los que se encuentra el estudiante, su edad cronológica y mental, su



autodeterminación y su decisión. Es crear en el alumno el sen-tido de la responsabilidad, de la curiosidad, de compromiso pa-ra con el aprendizaje, de entender a profundidad los procesos de construcción conceptual, actitudinal, afectiva, volitiva, intra-personal, estética y otros, de tal manera que se supere el espe-jismo de la “respuesta correcta” y del miedo a equivocarse, porque el estudiante debe comprender que equivocándose se aprende a ser mejores, a tener criterio y sobretodo a cuestio-nar. En conclusión, el alumno entenderá que su aprendizaje debe ser comprensivo y claro aún si esto implica tener que equivocarse. MODIFICABILIDAD COGNITIVA Y EL PROGRAMA DE ENRIQUECIMIENTO INSTRUMENTAL Feuerstein apegado a su pensamiento de buscar los prerrequi-sitos para un funcionamiento cognitivo adecuado, diseña su Programa de Enriquecimiento Instrumental, con el que buscaba



potenciar, desarrollar, refinar y cristalizar los prerrequisitos fun-cionales del pensamiento. Del mismo modo, en su Modificabi-lidad Estructural Cognitiva indica un enfoque de modificación activa. Considera la inteligencia como un proceso dinámico, ágil, enérgico de regulación automática capaz de dar respuesta a la acción de estímulos ambientales, y esto se consigue a tra-vés de: La modificabilidad cognitiva es producto de experiencias es-pecíficas de aprendizaje mediano, de conocimientos que se obtienen de persona cercanas y de gran influencia en el estu-diante como son: padres, maestros, tutores, etc. quienes ejer-cen un papel elemental en la transmisión, selección y organiza-ción de los estímulos. Frente a la información que se recibe se tiene como resultado el estímulo ya sea a fuentes internas o externas, y es precisa-mente aquí en la que interviene la operación mental, que es el conjunto de acciones interiorizadas, organizadas y coordinadas en función de las que se realiza la elaboración de la informa-ción que recibimos de fuentes internas y externas y que se va construyendo y agrupando de modo coherente en el intercam-bio constante entre pensamiento y acción exterior. El alumno empieza a centrarse en la acción propia y en aspectos figurati-



vos de real, luego desarrolla la acción propia permitiéndose lle-gar a operaciones formales. Esta actividad mental puede oscilar entre niveles simples y complejos, y se debe, a las relaciones que establezcan los educandos con los objetos o elementos que se le presenten en contexto en el que se relaciona. Según Bruner los procesos de información pasan por tres eta-pas típicas, estas etapas son:

1. Manipulación y la acción. 2. Representación y el manejo de imágenes 3. Dominación de lo simbólico

Hay que notar que las operaciones mentales van de lo simple a lo complejo, entre más conozcamos un tema más podemos en-tenderlo y por ende estudiarlo, de manera que podamos ser capaces de no solo hacer representaciones gráficas sino com-paraciones, clasificaciones, diferenciaciones, razonamientos, etc. Algunas de las operaciones mentales que puede desarrollar una persona en el momento de conocer son las siguientes: identificación, diferenciación, representación mental, transfor-mación mental, comparación, clasificación, codificación –decodificación, análisis-síntesis, interferencia lógica, razona-miento analógico, razonamiento hipotético, razonamiento tran-sitivo, razonamiento silogístico, pensamiento divergente y razo-namiento lógico, en este último se resume todo el desarrollo mental y como consecuencia se tiene pensamientos lógicos en torno a un evento físico, político o social, los mismos que están basados en justificaciones bien razonadas y fundamentadas.



Por ejemplo, en la física, de acuerdo con lo que conocemos teóricamente se puede intuir lo que se obtendrá con la realiza-ción de algún experimento, si bien no será preciso pero los márgenes de error serán mínimos. A modo de conclusión. La Educación Personalizada debe ser entendida como un proyecto pedagógico que orienta su atención en la persona del alumno ayudándolo a prepararse para la sociedad en la que vi-ve y a reconocer la importancia del proceso formativo de hom-bre y mujer y sobretodo busca que él sea el principal autor de su aprendizaje, basándose en la responsabilidad. El que el proyecto tenga o no éxito dependerá de todos quie-nes conviven con el alumno, estos son: profesores, padres de familia, amigos, rectores, inspectores y grupos sociales. Todos ellos de una u otra forma influyen en la formación de la perso-nalidad del alumno y por ende en el proceso enseñanza-aprendizaje. El ambiente educativo juega también un papel importante en el aprendizaje del estudiante. El docente debe tratar de que éste sea lo más familiar posible sin que por eso se pierda el respeto entre las dos partes actuantes, recordando siempre que los dos aprenden mutuamente, se escuchan, se atienden y realizan las mismas actividades en comunidad. Finalmente, lo que se logra es un cambio de actitudes de todas las partes involucradas y por consiguiente de la sociedad en general.



INTRODUCCIÓN A MODELLUS

(Herramienta para la Modelización de Sistemas)

1. Introducción Modellus es una herramienta orientada a la simulación y mode-lización de sistemas válida para el estudio de diversas materias dentro de los currícula de Educación Secundaria, Bachillerato y Formación Profesional. Sus autores la han concebido como ins-trumento de apoyo en el aula y con ese objetivo es que se ex-plica su funcionamiento y uso para profesores y estudiantes. Modelo matemático Sabemos que los diversos fenómenos que se estudian en las materias del área de ciencias pueden explicarse y representar-se mediante su modelo matemático. Este modelo recogerá el comportamiento del sistema tanto en su aspecto temporal (evo-lución a lo largo del tiempo) como en su aspecto puramente matemático (cálculo de valores). Modellus está orientado a los modelos temporales de tal manera que con él se puede estu-diar el comportamiento dinámico de los distintos sistemas. Este comportamiento se podrá estudiar mediante la simulación en distintos escenarios “casos” en cada uno de los cuales cada uno de los parámetros o constantes del modelo pueden ser modificados. Tal sería el caso del estudio de la caída de un cuerpo en distintos planetas del sistema solar con distintas fuerzas de gravedad, o el comportamiento de un muelle con distintas constantes de elasticidad.



La modelización de cualquier fenómeno o sistema se apoya en la observación de los fenómenos que lo caracterizan, razón por la cual, en la medida que podamos reproducir esos fenómenos y experimentar con ellos, podremos comprender con más clari-dad el modelo. El estudio del modelo se realizará siempre en orden creciente de complejidad de tal forma que en una prime-ra fase se tendrán en cuenta los aspectos más relevantes para posteriormente derivar hacia un modelo más perfecto a través de un método de “refinamiento”. Según lo define uno de sus autores (V. D. Teodoro), Modellus es, bajo el punto de vista computacional, un micromundo computacional para estudiantes y profesores a la vez, basado en un método de programación en el que el usuario escribe en la “Ventana de modelo”. 2. Estructura Básica de Modellus. Modellus presenta un entorno muy “amigable” basado en una serie de ventanas, cada una de las cuales recoge o muestra una serie de informaciones muy concretas. En la figura vemos una imagen del entorno; las ecuaciones matemáticas se escri-ben de la misma manera que lo haría en el papel.



Por ser una aplicación que trabaja en Windows, aprovecha to-das las ventajas del entorno y esto facilita su manejo. La ver-sión que explicamos en este trabajo es la V:2.01 de 2000. Las ventanas permiten la modificación de su tamaño y al acti-varlas pasan a primer plano colocando en segundo plano a las que estén dentro de su área; del mismo modo las ventanas se pueden mover dentro de la pantalla. Menú de Modellus:

El menú que presenta el entorno consta de cinco opciones principales: Fichero Editar Caso Ventana Ayuda Fichero: Con la opción Fichero podemos realizar las siguien-tes operaciones:



Nuevo: Crear un nuevo modelo. Abrir: Leer un modelo del disco (ya creado). Guardar: Guardar modelo en un fichero con el mismo nombre que tenga. Guardar Como: Grabar un fichero con el nombre que le que-ramos dar. Contraseña: Poner una clave al modelo de tal manera que no se puedan modificar los datos de las ventanas de animación y modelo. Preferencias: Configurar ubicación de ficheros. Salir: Salir y abandonar el programa. Editar: Permite las operaciones de edición comunes a cual-quier herramienta. Anular: Anula la última operación de edición realizada Cortar: Permite cortar el objeto seleccionado y lo coloca en el portapapeles. Copiar: Copia el objeto seleccionado al portapapeles. Copiar la Ventana: Copia todo el contenido de la ventana en la que estemos y lo deposita en el portapapeles. Caso: Esta opción presenta dos posibilidades: Adicionar: Añade un caso en la ventana de condiciones. Remover el último: Quita el último de los casos añadidos, tén-gase en cuenta que al menos debe existir un caso en la venta-na de condiciones. Ventanas: Esta opción presenta las siguientes acciones en-caminadas a la creación de ventanas dentro del modelo.



Nuevo Gráfico: Crea una nueva ventana de gráfico. Nueva Animación: Crea una nueva ventana de animación. Nueva Tabla: Crea una nueva ventana de tabla. Normal: Sitúa las ventanas en la pantalla en modo normal Cascada: Sitúa las ventanas en la pantalla en cascada. Organizar: Sitúa las ventanas en pantalla de forma organizada. 1 Control: Activamos la ventana de control. 2 Condiciones Iniciales: Activamos la ventana de condiciones iniciales. 3 Notas: Activamos la ventana de notas. 4 Modelo: Activamos la ventana de modelo. Las ventanas que se van creando aparecerán en esta opción del menú con números consecutivos a partir del 4, téngase en cuenta que las ventanas 1, 2, 3 y 4 no se pueden eliminar. Ayuda: Muestra las opciones siguientes: Ayuda: Nos despliega la ventana de ayuda. Acerca de Modellus: Esta opción nos presenta información sobre el programa



Modellus está estructurado en torno a un conjunto de ventanas sobre las que se escribe o se muestra la información de los modelos que se pretenden simular. Las ventanas son las si-guientes:

Ventana de modelo. Ventana de condiciones Ventana de animaciones Ventana de control Ventana de gráficos Ventana de tablas

A continuación se estudian estas ventanas, su utilización y con-tenidos. 2.1. VENTANA DE MODELO: Escritura de las ecuaciones del modelo. Para iniciar el trabajo con Modellus, una vez arrancada la aplicación, debemos ir al menú Modelo (Nuevo) y de esta manera iniciamos la creación de un modelo nuevo.



Lo primero que debemos hacer es escribir las ecuaciones del modelo, y esto lo hacemos en la “ventana de modelo” que apa-rece en la figura. A la hora de escribir las ecuaciones tenemos que hacerlo observando unas normas básicas en lo que se re-fiere a la sintaxis. Estas normas son las siguientes: Sintaxis de los modelos: Modellus soporta ecuaciones algebraicas, diferenciales e itera-tivas. Usted puede modelar ecuaciones que van desde las relaciones simples como las líneas rectas y parábolas a los conceptos más complejos como son las ecuaciones de Van der Pol o de Lorentz. La entrada de un modelo en Modellus es casi como la escritura de ecuaciones matemáticas en el papel. 2.2. VENTANA DE CONDICIONES Cuando se ha escrito el modelo en la correspondiente ventana y se ha pulsado por primera vez el botón interpretar aparecerá la ventana de “condiciones” que se encarga de recoger los va-lores de los “parámetros” y los “valores iniciales” del modelo en forma de tabla formando parte del “caso 1" que es el primer ca-so de simulación que Modellus crea por defecto. Los “parámetros” se podrán modificar en esta misma ventana o también en la ventana de “animación” haciendo uso de algunos de sus objetos como veremos más adelante. Cada uno de los posibles casos, que nosotros podremos añadir en el estudio del modelo, no son otra cosa que distintos esce-



narios para aplicar a las mismas ecuaciones. Esto nos permitirá poder estudiar el modelo cambiando a nuestro gusto distintos parámetros. Si deseamos modificar los parámetros desde la ventana de animación quedará invalidado el valor del parámetro que se co-loque en esta ventana. Cada uno de los casos que nosotros es-tablezcamos en la simulación tendrá la posibilidad de verse en la ventana de “animación”; bastará con seleccionarlo de entre los que aparecerán señalados en la parte superior izquierda de la ventana, y esto ocurrirá en las ventanas de “tabla” y “gráfico” teniendo en cuenta que en la ventana de “gráfico” pueden co-existir los gráficos de cada uno de los casos con el fin de poder ver las distintas curvas superpuestas. 2.3. VENTANA DE ANIMACIONES Una vez que hemos escrito las ecuaciones del modelo, la si-guiente operación será diseñar la ventana de animaciones en la que se realizarán las representaciones gráficas de aquellos valores que nos interese ver. Esta ventana tiene mucho interés de cara a ser el “interface” con el estudiante ya que si se hace buen uso de todas sus po-sibilidades encontraremos en ella una poderosa herramienta.



En la figura vemos la estructura de esta ventana de “anima-ción” mostrando un ejemplo de movimiento de un balón lanza-do hacia arriba. El tamaño y posición de esta ventana, al igual que el resto, se puede modificar colocando el puntero en los bordes y estirando hacia dentro o hacia fuera o manteniendo pulsado y moviendo en el caso de cambiar la posición. En esta ventana se pueden colocar distintos elementos gráficos que se corresponden con los botones que aparecen en la parte superior. Cada uno de estos elementos se podrá asociar a las variables del modelo y realizar las funciones que correspondan a él de acuerdo a los parámetros que se hayan colocado en su ventana de parámetros asociada. Pasaremos a explicar cada uno de los elementos, así como sus ventanas asociadas.

Los botones de la parte superior se usan para realizar mediciones sobre las imágenes (GIF o BMP) o vi-deos (AVI), que pueden colocarse en el fondo, usando el botón de fondo.



El rayado (grid) puede mostrarse u ocultarse mediante el botón

. Pulsando sobre el botón de fondo puede definir el espa-ciado del grid y su color así como el color del fondo de la panta-lla. A continuación se muestra una tabla en la que se puede identi-ficar cada uno de los botones que representan un determinado objeto. Use esta herramienta………..……..para añadir: Partícula

Imagen, bola (partícula), rectángulo, o referencia.

Vector

Vector con o sin flecha resultante o componentes. Indicador de Nivel

Horizontal o Vertical. Medidor Analógico Aguja, reloj, o medidor circulo completo. Trazador

Realiza el trazado interactivo de líneas o



puntos. Medidor Digital

Medidor digital, mostrado o no el nombre de la Variable. Importar imagen

Importa imagen en formato BMP o GIF Texto Texto con el color, fuente, estilo y tamaño es- pecificables. Objeto Geométrico Líneas y figuras tales como círculos y polí- gonos. 2.4. VENTANA DE CONTROL Una vez que hemos diseñado el modelo en la ventana “Mode-lo” y hemos colocado en la ventana “animaciones los objetos, así como las condiciones y las tablas y gráficos que nos haya parecido bien, se debe pasar a la fase de “simulación”. En la fase de “simulación” Modellus realizará los cálculos y mostrará los valores de la forma que hayamos previsto. La ven-tana “Control” es la que permite el control del proceso de simu-lación.



Los botones de esta ventana sirven para:

Simular o detener la simulación. Terminar la simulación.

Reiniciar el modelo, ir al principio sin perder los valores cal-culados. Saltar al último valor calculado del modelo. Repetir la simulación del modelo. Lee el actual valor de la variable independiente. Muestra el valor actual de la variable indepen-diente y chequea visualmente el progreso de esta variable. Ir atrás o adelante un simple paso. Acceder a caja de diálogo Opciones…: 2.5. VENTANA DE GRÁFICO Mediante esta ventana podemos realizar representaciones grá-ficas en ejes de coordenadas (XY) de las variables que quera-mos y para los casos que hayamos definido mediante la opción del menú “Casos”. En la figura vemos la ventana de “gráficos” y en ella se puede distinguir el área de representación en donde se dibujan los gráficos y a la izquierda aparecen las ventanas de las variables.



2.6. VENTANA DE TABLA En numerosas aplicaciones será necesario realizar una tabla con los valores de las variables, esta posibilidad nos la brinda la ventana de “tabla” que sencillamente permite la creación de tablas con tantas variables como seleccionemos en la ventana de la izquierda simplemente pulsando las teclas “Control” o “Shift” a la vez que señalamos con el ratón (tecla izquierda) so-bre éstas.



2.7. PROTECCIÓN DE LOS TRABAJOS Mediante la opción Contraseña dentro del menú de “Fichero” podremos conseguir proteger el trabajo, de tal manera que a quien realice las simulaciones solo le estará permitido ver los resultados, pero nunca modificar la ventana “Modelo” o la ven-tana Animación ni podrá modifica ni crear ventanas de “gráfi-cos” o “tablas”. Cuando activamos por primera vez ésta opción aparece una ventana como la de la figura en la que se nos pide el Password y la Confirmación, es decir debemos escribir dos veces, una en cada ventana, el password (clave).



PRESENTACIÓN A partir de este momento iniciamos el estudio con Modellus de Elementos de Análisis Vectorial, subunidad perteneciente al Electromagnetismo. Dicho estudio abarca el desarrollo de los doce temas que fueron descritos anteriormente y cada uno de ellos contiene su respectiva fundamentación teórica, sus gráficas en caso de haberlas y sus ecuaciones matemáticas. A continuación se enlistan las animaciones conceptuales, ejercitativas y lúdicas de dada tema y una de estas animaciones es presentada como animación de muestra con su correspondiente modelo matemático. Es necesario indicar que la animación de muestra presentada en esta tesis es sólo un ejemplo de animación por cada tema, puesto que todas las animaciones de la subunidad mencionada se encuentran en un CD adjunto en formato DVD.



1.1.1 ÁLGEBRA DE VECTORES Empecemos recordando que un vector A

r puede represen-

tarse en las formas "trigonométrica", γβα ;;;AA =r

& "analíti-

ca", kAjAiAA zyx

rrrr++= . Las operaciones importantes son:

a) SUMA-RESTA: ( ) ( ) ( )kBAjBAiBABA zzyyxx

rrrrr±+±+±=± (1.1.1.1)

Propiedades: ABBA

rrrr+=+

( ) ( ) CBACBArrrrrr

++=++ b) ESCALAR POR VECTOR: kmAjmAimAA.m zyx

rrrr++= (1.1.1.2)

Propiedades: m.AA.m

rr=

( ) ( )An.mA.nmrr

= c) PRODUCTO ESCALAR: zzyyxx BABABABA ++=⋅

rr (1.1.1.3)

Propiedades: ABBA

rrrr⋅=⋅



( ) CABACBA

rrrrrr⋅+⋅=+⋅

2AAA =⋅rr

BABACos 1

rr⋅

= −θ (ángulo entre Ar

y Br

)

d) PRODUCTO VECTORIAL:

zyx

zyx

BBBAAAkji

BA

rrrrr=× (1.1.1.4)

Propiedades: S|BA| =×

rr (área del paralelogramo definido por A

r y B

r)

ABBArrrr

×−=×

( ) CABACBArrrrrrr

×+×=+×

0AA =×rr

BA

|BA|Sen 1

rr×

= −θ (ángulo entre Ar

y Br

)

e) PRODUCTOS TRIPLES: ( ) ( )CBACBA

rrrrrr⋅≠⋅ (1.1.1.5)

Triple producto escalar

( ) ( ) ( )zyx

zyx

zyx

CCCBBBAAA

BACACBCBA =×⋅=×⋅=×⋅rrrrrrrrr

(1.1.1.6)



Triple producto vectorial: ( ) ( ) ( ) ( ) CBACBABCACBA

rrrrrrrrrrrr××≠⋅−⋅=×× (1.1.1.7)

f) VECTORES UNITARIOS:

AAuA

rr

= (1.1.1.8)

g) VECTORES DESPLAZAMIENTO: ( ) ( ) ( )kABjABiABAB zzyyxx

rrr−+−+−= (1.1.1.9)

h) VECTORES SUPERFICIE: kyxS;jzxS;izyS zyx

rrrrrrΔΔΔΔΔΔΔΔΔ === (1.1.1.10)



LISTADO DE ANIMACIONES

a) Conceptuales: LC111C1 LC111C2 LC111C3 LC111C4 LC111C5 LC111C6

b) Ejercitativas: LC111E1 LC111E2 LC111E3

c) Lúdicas LC111L1



ANIMACIÓN DE MUESTRA



MODELO MATEMÁTICO

x y L1=420 L2=260 L3=10 L4=660 L5=50 L6=250 L7=-100 L8=80 L9=500 L10=350 L11=-310 L12=-303 L13=-50 L14=250 L15=80 L16=250 L17=160 L18=50 L19=-90 L20=50 L21=50 L22=50 L23=-120 L24=-150 L25=50 L26=50



L27=-50 L28=-50 L29=50 L30=50 L31=-50 L32=-50 L33=-90 L34=-50 L35=-50 L36=50 L37=50 L38=90 L39=-200 L40=50 L41=50 L42=50 L43=50 L44=30 L45=300 L46=160 L48=220 L49=-500 L50=200 L51=-500 L52=-70 L47=-500 t1 t2 t3 t4 t5 t6



t7 t8 t9 t10 t11 t12 if((x>158)and(x<219)and(y>1)and(y<48))then(L47=30) if((x>479)and(x<577)and(y>45)and(y<110))then(L49=30) if((x>399)and(x<489)and(y>298)and(y<350))then(L51=30) if((x>211)and(x<278)and(y>40)and(y<348))then(t1=t)and (stop(t)) if((x>340)and(x<412)and(y>238)and(y<308))then(t2=t)and (stop(t)) if((x>479)and(x<549)and(y>236)and(y<309))then(t3=t)and (stop(t)) if((x>479)and(x<551)and(y>137)and(y<208))then(t4=t)and (stop(t)) if((x>309)and(x<490)and(y>38)and(y<107))then(t5=t)and (stop(t)) if((x>309)and(x<400)and(y>98)and(y<137))then(t6=t)and (stop(t)) if((x>309)and(x<449)and(y>137)and(y<206))then(t7=t)and (stop(t)) if((x>75)and(x<149)and(y>40)and(y<61))then(t8=t)and (stop(t)) if((x>75)and(x<581)and(y<8)and(y>-24))then(t9=t)and (stop(t)) if((x>149)and(x<168)and(y>40)and(y<301))then(t10=t)and (stop(t)) if((x>263)and(x<573)and(y>340)and(y<358))then(t11=t)and (stop(t))



if((x>573)and(x<591)and(y>0)and(y<358))then(t12=t)and (stop(t)) if(t<40)then(xt=-1000)and(yt=-1000) if(t>40)then(xt=60)and(yt=-60) xg=180 yg=45



1.1.2 SISTEMAS DE COORDENADAS Los tres sistemas de referencia que utilizaremos en la pre-sente obra serán el cartesiano, el cilíndrico y el esférico. A con-tinuación los mostramos en la figura 1.1.2.1, en donde se han incluido los respectivos vectores unitarios.

Como usted puede ver, un punto P se ubica mediante ( )z;y;x , ( )z;;R φ y ( )φθ ;;r , respectivamente, en los tres sis-temas. Las tres coordenadas cartesianas son lineales; las cilín-dricas tienen dos coordenadas lineales y una angular; las esfé-ricas tienen una coordenada lineal y dos angulares. Las relaciones entre las coordenadas y los vectores unitarios de los sistemas cilíndrico y esférico con los del sistema cartesiano son:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

=

zz

SenRy

CosRx

φ

φ

&

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

+=−

zzxyTan

yxR1

22

φ

F i g u r a 1 . 1 . 2 . 1



⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

+=

−=

kk

uCosuSenj

uSenuCosi

R

R

rr

rrr

rrr

φ

φ

φφ

φφ

&

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+

++

=

++

+=

kk

jyx

xiyx

yu

jyx

yiyx

xu

2222

2222R

rr

rrr

rrr

φ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

=

θ

φθ

φθ

Cosrz

SenSenry

CosSenrx

&

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

++=

++=

−

−

xyTan

zyxzCos

zyxr

1

2221

222

φ

θ

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

++=

−+=

θ

φθ

φθ

θθ

φφθφθ

φφθφθ

uSenuCosk

uCosuSenCosuSenSenj

uSenuCosCosuCosSeni

r

r

r

rrr

rrrr

rrrr

&



⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

++

+−=

++

+−

−+++

++++

=

+++

+++

++=

jyx

xiyx

yu

kzyx

yx

jyxzyx

yziyxzyx

xzu

kzyx

zjzyx

yizyx

xu

2222

222

22

2222222222

222222222r

rrr

r

rrr

rrrr

φ

θ

Los vectores j,i

rr & k

r tienen direcciones fijas, no así los

vectores ,u&u rR

rrcuyas direcciones son las del incremento de

sus coordenadas, y ,u&u φθ

rrcuyas direcciones son las de sus

correspondientes arcos de circunferencia. Un vector puede expresarse en las formas siguientes: kAjAiAA zyx

rrrr++=

kAuAuAA zRR

rrrr++= φφ

φφθθ uAuAuAA rr

rrrr++=




a) Conceptuales: LC112C1 LC112C2 LC112C3 LC112C4 LC112C5 LC112C6 LC112C7


c) Lúdicas

LC112L1



MODELO MATEMÁTICO

L1=500 L2=30 L3=40 L4=50 L5=-200 L6=250 L7=10 L8=120 L9=80 L10=-20 L11=20 L12=60 L13=125 L14=150 L15=35 L16=-150 L17=150 L18=250 L19=45 L20=-205 L21=140 L22=50 L23=50



L24=50 L25=50 L26=-10 L27=100 L28=20 L29=50 L30=70 L31=150 L32=145 L33=-150 L34=35 L35=250 L36=160 L37=-200 L38=30 L39=50 L40=50 L41=50 L42=100 L43=160 L44=-20 L45=-20 L47=260 L48=-105 L49=20 t1



t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 t13 t14 x y x1=-1000 x2=2000 x3=2000 A=x+38 B=y+85 if(A>144)and(A<232)and(B>211)and(B<262)then(x1=-20) if(A>375)and(A<459)and(B>105)and(B<159)then(x2=-130) if(A>595)and(A<619)and(B>215)and(B<249)then(x3=-215) and(stop(x)) if(A>5)and(A<160)and(B<75)and(B>35)then(t1=t)and (stop(t))



if(A>5)and(A<108)and(B>95)and(B<247)then(t2=t)and (stop(t)) if(A>128)and(A<200)and(B>75)and(B<225)then(t3=t)and (stop(t)) if(A>108)and(A<218)and(B>246)and(B<273)then(t4=t)and (stop(t)) if(A>200)and(A<314)and(B<74)and(B>35)then(t5=t)and (stop(t)) if(A>215)and(A<287)and(B>95)and(B<346)then(t6=t)and (stop(t)) if(A>314)and(A<363)and(B>74)and(B<323)then(t7=t)and (stop(t)) if(A>288)and(A<414)and(B>345)and(B<360)then(t8=t)and (stop(t)) if(A>393)and(A<499)and(B<118)and(B>90)then(t9=t)and (stop(t)) if(A>414)and(A<449)and(B>145)and(B<207)then(t10=t)and (stop(t)) if(A>499)and(A<548)and(B>121)and(B<170)then(t11=t)and (stop(t)) if(A>578)and(A<600)and(B>170)and(B<220)then(t12=t)and (stop(t)) if(A>479)and(A<527)and(B>195)and(B<245)then(t13=t)and (stop(t)) if(A>527)and(A<600)and(B>245)and(B<260)then(t14=t)and (stop(t))



if(t<85)then(xt=-1000)and(yt=-1000) if(t>85)then(xt=500)and(yt=-50) x4=780 y4=52



1.1.3 DIFERENCIALES DE VOLUMEN, DE SUPERFI-

CIE Y DE LÍNEA Supongamos un punto ( )z;y;xP en coordenadas carte-sianas. Si incrementamos en forma infinitesimal y positiva a di-chas coordenadas llegaremos al punto

( )dzz;dyy;dxx'P +++ , figura 1.1.3.1. Así definimos un cubito de aristas dz,dy,dx que encierran el volumen infinitesi-mal: dzdydxdV = (1.1.3.1) limitado por las caras de área infinitesimal:

F i g u r a 1 . 1 . 3 . 1



idzdySd

jdzdxSd

kdydxSd

rm

r

rm

r

rm

r

=

=

=

(1.1.3.2)

El vector diagonal 'PP , de longitud dl, es el vector "diferencial de línea" dado por: kdzjdyidxld

rrrr++= (1.1.3.3)

y cuya magnitud es: 222 dzdydxdl ++= F i g u r a 1 . 1 . 3 . 2



Si el punto está ubicado mediante coordenadas cilíndricas, figura 1.1.3.2, se obtienen las siguientes expresiones: dzddRRdV φ= (1.1.3.4)

kddRRSd

udzdRSd

udzdRSd R

rm

r

rm

r

rm

r

φ

φ

φ

=

=

=

(1.1.3.5)

2222

R

dzdRdRdl

kdzudRudRld

++=

++=

φ

φ φ

rrrr

(1.1.3.6)

F i g u r a 1 . 1 . 3 . 3



Si el punto está ubicado mediante coordenadas esféricas, figura 1.1.3.3, se obtienen las siguientes expresiones:

φθθ dddrSenrdV 2= (1.1.3.7)

φ

θ

θ

φθ

φθθ

uddrrSd

uddrSenrSd

uddSenrSd r2

rm

r

rm

r

rm

r

=

=

=

(1.1.3.8)

222222

r

dSenrdrdrdl

udSenrudrudrld

φθθ

φθθ φθ

++=

++=rrrr

(1.1.3.9)




a) Conceptuales: LC113C1 LC113C2 LC113C3 LC113C4 LC113C5 LC113C6

b) Ejercitativas: LC113E1 LC113E2

c) Lúdicas: LC113L1



MODELO MATEMÁTICO

L1=20

L2=20

L3=290

L4=-1000

L5=30

L6=150

L7=140

L8=50

L9=20

L10=350

L11=60

L12=50

L13=350

L14=75

L15=-120

L16=-220

L17=-50

L18=-100

L19=80

L20=100

L21=-80

L22=120



L23=200

L24=100

L25=-200

L26=150

L27=100

L28=80

L29=-100

L30=120

L31=150

L32=100

L33=-150

L34=330

L35=10

L36=10

L37=20

L39=-30

L40=70

x

y

Avx=70+x

Avy=45+y

Bvx=391

Bvy=230+70*cos(60*t)

Cx=-1000

Cy=-1000



if(t<10)then(x1=-1000)and(x2=-1000)

if(t>10)and(t<15)then(x1=60*(t-10)-300)and(x2=60*(t-10)-300)

if(Avx>96)and(Avx<284)and(Avy>2)and(Avy<238)then (Avx=-1000)and(Avy=-1000)and(Cx=70+x)and(Cy=45+y)and (stop(t))


if(Avx>325)and(Avx<446)and(Avy>Bvy-53)and (Avy<Bvy+53)then(Avx=-1000)and(Avy=-1000)and(Cx=48+x) and(Cy=58+y)and(Bvx=1000)and(Bvy=1000)and(stop(t))



if(Avx>623)and(Avx<690)and(Avy>166)and(Avy<200)then (L4=50)and(stop(t))



1.1.4 CAMPO ESCALAR Y CAMPO VECTORIAL Se suele decir que la Física es la ciencia que estudia los campos de la naturaleza, sus leyes, ecuaciones, relaciones, etc. ¿Pero qué es un campo?... Una forma intuitiva y aproxima-da de definirlo es la siguiente: "Campo es la región del espacio en la que puede ser observa-da, medida y estudiada alguna propiedad o parámetro físico de la naturaleza". Pero sabemos que las propiedades físicas o cantidades medi-bles pueden ser escalares y vectoriales; en consecuencia de-ben existir en la naturaleza campos escalares y campos vecto-riales. Un campo es escalar cuando con cada punto de la región se puede asociar una cantidad escalar, por ejemplo temperatu-ras, densidades, presiones, humedades, iluminaciones, etc. Un campo es vectorial cuando con cada punto de la región se puede asociar una cantidad vectorial, por ejemplo intensidad gravitacional, densidad de flujo magnético, intensidad de cam-po eléctrico, velocidades de un fluido, etc.




a) Conceptuales: LC114C1 LC114C2


a) Lúdicas: LC114l1



MODELO MATEMÁTICO

L1=50

L2=155

L3=30

L4=50

L5=440

L6=300

L7=20

L8=230

L9=30

L10=150

L11=75

L12=-150

L13=-250

L14=20

L15=350

L16=20

L17=50

L18=210

L19=40

L20=170

L21=40

L22=80



L23=150

L24=160

L25=-110

L26=80

L27=-170

L28=120

L29=40

L30=-210

L31=-40

L32=200

L33=170

L34=80

L35=100

L36=-40

L37=70

L38=120

L39=40

L40=-80

L41=120

L42=80

L43=-40

L44=-130

L45=-40

L46=40

L47=170



L48=-40

L49=80

L50=-40

L51=-40

L52=40

L53=40

L54=90

L55=120

L56=40

L57=-40

L58=80

L59=120

L60=-80

L61=40

L62=90

L63=-40

L64=-40

L65=-40

L66=130

L67=80

L68=40

L69=40

L70=-120

L71=40

L72=-250



L73=-40

L74=-40

L75=40

L76=70

L77=80

L78=80

L79=-40

L80=70

x

y

Ax=280+x

Ay=60+y

L81=510

L82=-30

if((Ax>378)and(Ax<420)and(Ay>472)and(Ay<490))then (y1=-30)and(stop(t))

if(t<15)then(y1=-1000)

if(t>15)then(y1=-30)



1.1.5 DIFERENCIACIÓN VECTORIAL Sea ( )tR

r una función o campo vectorial que depende de

la variable escalar t. La derivada de ( )tRr

con respecto a la va-riable t es:

( ) ( )t

tRttRlímdtRd

0t ΔΔ

Δ

rrr−+

=→

(1.1.5.1)

la cual comúnmente es también función de t, de modo que se pueden hallar las derivadas de orden superior. En particular si t es la variable tiempo, las derivadas de los vectores unitarios son:

0dtkd;u

dtd

dtud

;udtd

dtud;0

dtkd;0

dtjd;0

dtid

RR =−=====

rr

rr

rrrrφφ φ

φ

θφ

φθ

θφ

θφθφ

θθφθθφ

uCosdtduSen

dtd

dtud

;udtduCos

dtd

dtud;u

dtduSen

dtd

dtud

r

rr

rrr

rrr

rrr

−−=

−=+=

Las reglas para la derivación de funciones vectoriales son similares a las de la derivación de funciones escalares, cuidan-do únicamente el derivar por componentes. Algunas de las re-glas especiales de derivación son las siguientes:

1) ( )dtBd

dtAdBA

dtd

rrrr

±=±

2) ( )dtBdAB

dtAdBA

dtd

rrr

rrr

⋅+⋅=⋅



3) ( )dtBdAB

dtAdBA

dtd

rrr

rrr

×+×=×

4) ( )dtAdfA

dtdfA.f

dtd

rrr+=

5) ( )dtCdBAC

dtBdACB

dtAdCBA

dtd

rrrr

rrrr

rrrr

×⋅+×⋅+×⋅=×⋅

6) ( )[ ] ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××+××=××

dtCdBAC

dtBdACB

dtAdCBA

dtd

rrrr

rrrr

rrrr

Si la función vectorial depende de varias variables,

( )z;y;xRRrr

= , las derivadas parciales son:

( ) ( ) x

z;y;xRz;y;xxRlímxR

0x ΔΔ

Δ

rrr−+

=∂∂

→ (1.1.5.2)

( ) ( )y

z;y;xRz;yy;xRlímyR

0y ΔΔ

Δ

rrr−+

=∂∂

→ (1.1.5.3)

( ) ( )z

z;y;xRzz;y;xRlímzR

0z ΔΔ

Δ

rrr−+

=∂∂

→ (1.1.5.4)




a) Conceptuales: LC115C1 LC115C2 LC115C3 LC115C4


c) Lúdica: LC115L1



MODELO MATEMÁTICO

L1=510 L2=730 L3=-110 L4=-75 L5=-200 L6=-100 L7=50 L8=200 L9=325 L11=-30 L12=-20 L13=-15 L14=-50 L16=50 L17=40 L18=-40 L19=-40 L20=40 L24=-50



if(t<250)then(ax1=ax1)and(ax2=ax2)and(ax3=ax3)and(ax4=ax4)and(ax5=ax5)and(ax6=ax6)and(ay1=ay1) and(ay2=ay2)and(ay3=ay3)and(ay4=ay4)and (ay5= ay5)and(ay6=ay6) if(t>250)then(ax1=-315)and(ax2=-275)and(ax3=-556) and(ax4=-177)and(ax5=-536)and(ax6=-276)and (ay1=-73)and(ay2=-74)and(ay3=-148)and(ay4=-96)and (ay5=-125)and(ay6=-75) if(t<250)then(px1=px1)and(px2=px2)and(px3=px3) and(py1=py1)and(py2=py2)and(py3=py3) if(t>250)then(px1=-289)and(px2=-418)and(px3=-315) and(py1=-36)and(py2=226)and(py3=38) if(t<250)then(rx1=rx1)and(rx2=rx2)and(rx3=rx3)and (rx4=rx4)and(rx5=rx5)and(ry1=ry1)and(ry2=ry2)and (ry3=ry3)and(ry4=ry4)and(ry5=ry5) if(t>250)then(rx1=-337)and(rx2=-278)and(rx3=-234) and(rx4=-266)and(rx5=-355)and(ry1=-24)and(ry2=-58) and(ry3=-43)and(ry4=-35)and(ry5=-26) if(t<250)then(cx1=cx1)and(cx2=cx2)and(cx3=cx3)and(cx4=cx4)and(cy1=cy1)and(cy2=cy2)and(cy3=cy3) and(cy4=cy4) if(t>250)then(cx1=-345)and(cx2=-288)and(cx3=-426) and(cx4=-227)and(cy1=-75)and(cy2=-183)and (cy3=-24)and(cy4=35)



if(t<250)then(ix1=ix1)and(ix2=ix2)and(ix3=ix3)and (ix4=ix4)and(ix5=ix5)and(iy1=iy1)and(iy2=iy2)and (iy3=iy3)and(iy4=iy4)and(iy5=iy5) if(t>250)then(ix1=-255)and(ix2=-326)and(ix3=-404) and(ix4=-245)and(ix5=-269)and(iy1=-75)and (iy2=-14)and(iy3=-43)and(iy4=7)and(iy5=26) if(t<250)then(lx1=lx1)and(lx2=lx2)and(lx3=lx3)and (lx4=lx4)and(ly1=ly1)and(ly2=ly2)and(ly3=ly3)and (ly4=ly4) if(t>250)then(lx1=-27)and(lx2=-225)and(lx3=-135)and (lx4=-315)and(ly1=-74)and(ly2=-132)and(ly3=128)and (ly4=40) if(t<250)then(ex1=ex1)and(ex2=ex2)and(ex3=ex3)and(ex4=ex4)and(ey1=ey1)and(ey2=ey2)and(ey3=ey3) and(ey4=ey4) if(t>250)then(ex1=-347)and(ex2=-569)and(ex3=-215) and(ex4=-325)and(ey1=16)and(ey2=-175)and (ey3=-145)and(ey4=-44) if(t<250)then(px1=px1)and(px2=px2)and(px3=px3) and(py1=py1)and(py2=py2)and(py3=py3) if(t>250)then(px1=-257)and(px2=-418)and(px3=-315) and(py1=-45)and(py2=264)and(py3=38) if(t<250)then(ox1=ox1)and(ox2=ox2)and(ox3=ox3) and(ox4=ox4)and(oy1=oy1)and(oy2=oy2)and (oy3=oy3)and(oy4=oy4)



if(t>250)then(ox1=-237)and(ox2=44)and(ox3=-345) and(ox4=-338)and(oy1=-64)and(oy2=-90)and (oy3=-126)and(oy4=36) if(t<250)then(dx1=dx1)and(dx2=dx2)and(dx3=dx3) and(dy1=dy1)and(dy2=dy2)and(dy3=dy3) if(t>250)then(dx1=-408)and(dx2=-287)and(dx3=-647) and(dy1=306)and(dy2=243)and(dy3=163) if(t<250)then(sx1=sx1)and(sy1=sy1) if(t>250)then(sx1=-127)and(sy1=-9) if(t<250)then(vx1=vx1)and(vx2=vx2)and(vy1=vy1)and(vy2=vy2) if(t>250)then(vx1=-565)and(vx2=-458)and(vy1=-106) and(vy2=-75) if(t<250)then(ux1=ux1)and(uy1=uy1) if(t>250)then(ux1=-385)and(uy1=206) if(t<250)then(nx1=ny1)and(ny1=ny1) if(t>250)then(nx1=-397)and(ny1=106) if(t<250)then(tx1=tx1)and(tx2=tx2)and(ty1=ty1)and (ty2=ty2) if(t>250)then(tx1=-364)and(tx2=-489)and(ty1=-193) and(ty2=-24) if(t<250)then(xcal=-250)and(ycal=60) if(t>250)then(xcal=320)and(ycal=300)



1.1.6 GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR Sea la función escalar U = U(coordenadas), definida y de-rivable en todos los puntos de una región del espacio. Se llama gradiente de la función escalar U = U(coordenadas) al cociente entre la integral cerrada de superficie del campo escalar U y el elemento de volumen Δv, tomado en el límite cuando 0v →Δ , es decir:

v

SdUlímUgrad

0v ΔΔ

∫→

=

r

(1.1.6.1)

cuyo resultado es un campo vectorial tal que a cada punto de la región corresponde un vector, cuya dirección es la del máximo crecimiento de U, orientado en el sentido del crecimiento de U y

cuya magnitud es nU∂∂ . La expresión 1.1.6.1 puede ser desarro-

llada en cualquier sistema de coordenadas; en cartesianas se obtiene:

kzUj

yUi

xUUgrad

rrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

= (1.1.6.2)

Además de ella tenemos las formas cilíndrica y esférica defini-das mediante:

kzUuU

R1u

RUUgrad R

rrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

= φφ (1.1.6.3)



φθ φθθuU

Senr1uU

r1u

rUUgrad r

rrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

= (1.1.6.4)

Algunas reglas para el cálculo del gradiente de una función es-calar son: a) 0cgrad = b) ( ) VgradUgradVUgrad ±=± c) ( ) UgradcUcgrad = d) ( ) ( ) ( )UgradVVgradUV.Ugrad +=

e) ( ) UgraddUdfUfgrad =

f) ( ) rudrdUrUgrad

r= (para campos centrales)

g) rurgrad

r= (campo de vectores unitarios)

Si ( ) Cz;y;xU = representa una superficie, el vector unitario perpendicular a ella es:

|Ugrad|

Ugradun =r

(1.1.6.5)






c) Lúdica: LC116L1



MODELO MATEMÁTICO

L1=50

L2=5

L3=70

L4=5

L5=80

L6=5

L7=80

L8=5

L9=50

L10=5

L11=80

L12=5

L13=80

L14=5

L15=16

L16=350

L17=40

L18=75

L19=-90

L20=-100

L21=-75

L22=-200

L23=50



L24=150

L25=20

L26=230

L27=-46

L28=325

L29=-43

L30=-20

L31=80

L32=20

L33=-20

L34=80

L35=20

L36=-20

L37=70

L38=40

L39=-20

L40=50

L41=10

L42=-50

L43=50

L44=20

L45=-20

L46=50

L47=20

L48=-20



L49=50

L50=50

x

y

a

b

if(t<10)then(x2=1000)

if(t>10)and(t<15)then(x2=-60*(t-10)+300)

if(t<15)then(x3=1050)

if(t>15)and(t<20)then(x3=-60*(t-15)+700)

if(t<20)then(x4=2000)

if(t>20)and(t<25)then(x4=-60*(t-20)+300)

if(t<30)then(x5=2000)

if(t>30)and(t<35)then(x5=-60*(t-30)+670)

if(t<35)then(x6=1000)

if(t>35)and(t<40)then(x6=-60*(t-35)+300)

if(t<40)then(x7=2000)

if(t>40)and(t<45)then(x7=-60*(t-40)+670)

if(t>52)then(x=-1000)and(y=-1000)and(a=50)and(b=50)

if(t<52)then(a=-1000)and(b=-1000)

if(t<52)then(x8=1000)

if(t>52)and(t<60)then(x8=-60*(t-52)+480)

if(t<60)then(x9=2000)

if(t>60)and(t<65)then(x9=-60*(t-60)+650)

if(t<65)then(x10=2000)



if(t>65)and(t<70)then(x10=-60*(t-65)+520)

if(t<70)then(x11=2000)

if(t>70)and(t<75)then(x11=-60*(t-70)+553)

if(t<75)then(x12=2000)

if(t>75)and(t<80)then(x12=-60*(t-75)+300)

if(t<80)then(x13=2000)

if(t>80)and(t<85)then(x13=-60*(t-80)+526)

if(t<85)then(x14=2000)

if(t>85)and(t<90)then(x14=-60*(t-85)+300)

if(t<90)then(x15=2000)

if(t>90)and(t<95)then(x15=-60*(t-90)+650)

xg=-100

yg=20



1.1.7 DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL Sea la función vectorial ( )scoordenadaAA

rr= , definida y

derivable en todos los puntos de una región del espacio. Se llama divergencia de la función vectorial ( )scoordenadaA

r al

cociente entre la integral cerrada de superficie del campo Ar , bajo producto punto, y el elemento de volumen Δv, tomado en el límite cuando 0v →Δ , es decir:

v

SdAlímAdiv

0v ΔΔ

∫ ⋅=

→

rrr

(1.1.7.1)

cuyo resultado es un campo escalar tal que a cada punto de la región le corresponde un escalar. La expresión (1.1.7.1) puede ser desarrollada en cualquier sistema de coordenadas; en car-tesianas se obtiene:

zA

yA

xAAdiv zyx

∂∂

+∂∂

+∂∂

=r

(1.1.7.2)


( )zA

AR1AR

RR1Adiv z

R ∂∂

+∂∂

+∂∂

=φφ

r (1.1.7.3)

( ) ( )φθ

θθθ

φθ ∂

∂+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∂∂

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂

=A

Senr1ASen

Senr1Ar

rr1Adiv r

22

r

(1.1.7.4)



Algunas reglas y teoremas para el cálculo de la divergencia de una función vectorial son: a) 0cdiv = b) ( ) BdivAdivBAdiv

rrrr+=+

c) ( ) AdivcAcdiv

rr=

d) ( ) UgradAAdivUAUdiv

rrr+=

e) ( ) BrotAArotBBAdiv

rrrrrr−=×

f) 3rdiv =

r (para un campo central)

g) ( ) ( )dr

fdrrf3rrfdiv +=r






c) Lúdica: LC117L1



MODELO MATEMÁTICO

L1=50

L2=30

L3=80

L4=30

L5=60

L6=430

L7=80

L8=30

L9=70

L10=30

L11=80

L12=30

L13=60

L14=30

L15=40

L16=730

L17=40

L18=160

L19=75

L20=-150

L21=-250

if(t<2)then(x1=-1000)



if(t>2)and(t<10)then(x1=60*(t-2)-480)

if(t<10)then(x2=-1000)and(y2=-1000)

if(t>10)and(t<13)then(x2=60*(t-10)-180)and(y2=60*(t-10)-180)

if(t<13)then(x3=-1000)and(y3=-1000)

if(t>13)and(t<18)then(x3=60*(t-13)+90)and(y3=60*(t-13)-300)

if(t<20)then(y4=1000)

if(t>20)and(t<23)then(y4=-60*(t-20)+180)

if(t<23)then(y5=-1000)

if(t>23)and(t<28)then(y5=60*(t-23)-300)

if(t<30)then(x6=-1000)and(y6=-1000)


if(t<33)then(x7=-1000)and(y7=-1000)

if(t>33)and(t<38)then(x7=60*(t-33)+105) and(y7=60*(t-33)-300)

xc=780

yc=20



1.1.8 ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL Sea la función vectorial ( )scoordenadaAA

rr= , definida y

derivable en todos los puntos de una región del espacio. Se llama rotacional o rotor de la función vectorial ( )scoordenadaA

r

al cociente entre la integral cerrada de superficie del campo Ar

, bajo producto cruz, y el elemento de volumen Δv, tomado en el límite cuando 0v →Δ , pero con signo negativo, es decir:

v

SdAlímArot

0v ΔΔ

∫ ×−=

→

rrr

(1.1.8.1)

cuyo resultado es un campo vectorial tal que a cada punto de la región le corresponde un vector. La expresión (1.1.8.1) puede ser desarrollada en cualquier sistema de coordenadas; en car-tesianas se obtiene:

zyx

xyzxyz

AAAz/y/x/

kji

kyA

xA

jxA

zAi

zA

yAArot

∂∂∂∂∂∂=

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=rrr

rrrr

(1.1.8.2)


( ) kAAR

RR1

uRA

zAu

zAA

R1Arot

R

zRR

z

r

rrr

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

−∂∂

+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=

φ

φ

φ

φφ

(1.1.8.3)



( )

( )

( ) φθ

θφ

θφ

θ

φθ

φθ

θθ

uAArrr

1

uArr

ASen

1r1

uASenASenr

1Arot

r

r

r

r

r

rr

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

−∂∂

+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

−∂∂

+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

−∂∂

=

(1.1.8.4)

Algunas reglas para el cálculo del rotor de una función vectorial son: a) ( ) BrotArotBArot

rrrr±=±

b) ( ) ArotcAcrot

rr=

c) ( ) AUgradArotUAUrot

rrr×+=

d) ( ) ( ) ( ) AdivBBdivABgradAAgradBBArot

rrrrrrrrrr−+⋅−⋅=×

En donde las expresiones entre paréntesis son unos ope-radores especiales que se definen en la forma:

( ) kz

Bjy

Bix

BgradB zyx

rrrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅ , etc.






c) Lúdicas: LC118L1



MODELO MATEMÁTICO

x

y

A=90+x

B=65+y

C=550+55*(cos(55*t))

D=200

E=220

F=200+55*sin(55*t)

G=400

H=300+55*(sin(55*t))

J=200+55*(sin(55*t))

I=150

if(t<5)then(txt1=-1000)

if(t>5)and(t<12)then(txt1=1)

L1=50

L2=50

L3=450

L4=50

L5=-110

L6=-100

L7=-75

L8=-200



L9=50

L10=80

L11=-10

L12=180

L14=300

L15=10

L16=50

L17=80

L18=250

L19=80

L20=50

L21=50

L22=80

L23=450

L24=-180

L25=100

L26=20

L27=130

L29=20

L30=-50

L31=300

L32=140

L34=80

L38=210

L37=50



L39=130

L41=200

L42=50

txt2=1000

if(A>40)and(A<68)and(B>52)and(B<289)then(L1=50)and (stop(t))




if(A>616)and(A<732)and(B>234)and(B<429)then(L10=80) and(stop(t))


if(A>245)and(A<298)and(B>74)and(B<137)then(L12=180) and(stop(t))


if(A>(J-88))and(A<(J+118))and(B>122)and(B<178)then (L12=500)and(stop(t))

if(A>(169))and(A<(270))and(B>(F-50))and(B<(F+50))then (L8=-200)and(stop(t))

if(A>(349))and(A<(452))and(B>(H-71))and(B<(H+74))then (L6=-100)and(stop(t))



if(A>(C-31))and(A<(C+34))and(B>161)and(B<267)then (L7=-75)and(stop(t))

if(A>662)and(A<688)and(B>210)and(B<229)then (L11=-20)and(txt2=1)and(stop(t))

xg=-90

yg=20



1.1.9 INTEGRACIÓN VECTORIAL Sea ( ) ( ) ( ) ( )ktRjtRitRtR zyx

rrrr++= un campo vectorial

en coordenadas cartesianas que depende de la variable esca-lar t, en donde yx R,R y zR son continuas en un intervalo dado;

entonces, la expresión:

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ ++= dttRkdttRjdttRidttR zyx

rrrr (1.1.9.1)

es la integral indefinida de ( )tR

r. Si existiera un vector ( )tS

r tal

que ( ) ( ) dt/tSdtRrr

= se tendría:

( ) ( )∫ += AtSdttRrrr

(1.1.9.2) en donde A

r es un vector arbitrario constante e independiente

de t. La integral definida para el intervalo { }bta ≤≤ de ( )tR

r

es:

( ) ( )[ ] ( ) ( )aSbSAtSdttRb

a

b

a

rrrrr−=+=∫ (1.1.9.3)

La integración, como tal, sigue las mismas reglas, artificios y técnicas que la integración escalar común.






c) Lúdica: LC119L1



MODELO MATEMÁTICO

L1=10

L2=480

L3=190

L4=50

L5=120

L6=325

L7=140

L8=30

L9=20

L10=211

L11=10

L12=700

L13=50

L14=200

L15=75

L16=-120

L17=-220

L18=-28

L19=140

if(t<2)then(x1=-1000)and(y1=-1000)


if(t<10)then(x2=-1000)



if(t>10)and(t<16)then(x2=60*(t-10)-360)

if(t<16)then(x3=1000)and(y3=-1000)

if(t>16)and(t<23)then(x3=-60*(t-16)+420)and (y3=60*(t-16)-420)

if(t<24)then(y4=-1000)

if(t>24)and(t<30)then(y4=60*(t-24)-360)

xg=100

yg=-145



1.1.10 LA INTEGRAL DE LÍNEA Sea ( )tR

r el vector posición de los puntos iP de una curva

C que pasa por los puntos 1P y 2P correspondientes a 1tt = y

2tt = , respectivamente. Si en la región de la curva C existe un

campo vectorial Ar

, definido y continuo, entonces la integral de la componente tangencial de A

r a lo largo de C, desde 1P hasta

2P es:

∫∫ ⋅=⋅ ldAldA2

1

P

P

rrrr (1.1.10.1)

la cual se conoce como "integral de línea" o "integral curvilínea" y tiene aplicaciones en el campo de la Física. Por ejemplo si el campo vectorial A

r correspondiera a un campo de fuerzas F

r

que actúa sobre una partícula que se desplaza sobre la curva C, la integral representaría el trabajo realizado por dicha fuerza. Las expresiones cartesiana, cilíndrica y esférica de ∫ ⋅ ldA

rr son:

∫∫∫

++++

++

φθθφ

φθ

φ

dASenrdArdrA;dzAdARdRA

;dzAdyAdxA

r

zR

zyx

La integral de línea a lo largo de una trayectoria cerrada simple se expresa en la forma ∫ ⋅ ldA

rr. En mecánica de fluidos,

teoría de campos, etc., esta integral se conoce como “la circu-lación de A

r a lo largo de C ”, Acir

r, esto es:

∫ ⋅= ldAAcirrrr

(1.1.10.2)



Si UgradA =

r en todos los puntos de una región R, en-

tonces:

a) ∫ ⋅2

1

P

PldArr

es independiente de la trayectoria que une 1P y 2P

en R. b) 0ldA =⋅∫

rr a lo largo de cualquier curva cerrada en R.

En estas condiciones, el campo vectorial A

r es "conservativo" y

U es una muy especial función llamada “potencial escalar”. En general, un campo A

r es conservativo si 0Arot =

r o también si

UgradA =r

en cuyo caso:

ldAdUrr

⋅= (1.1.10.3) es una diferencial exacta. En particular, a nivel bidimensional, si

( ) ( ) jy;xNiy;xMArrr

+= en cartesianas es conservativo, en-tonces:

xN

yM

∂∂

=∂∂ (1.1.10.4)




a) Conceptuales: LC1110C1 LC1110C2 LC1110C3


c) Lúdica: LC1110L1



MODELO MATEMÁTICO

L1=50

L2=50

L3=120

L4=50

L5=120

L6=50

L7=80

L8=500

L9=-130

L10=-100

L11=-75

L12=-200

L13=80

L14=2

L15=-20

L16=50

L17=-20

L18=20

L19=-40

L20=50

L21=-10

L22=120



L23=120

L24=120

x1

x2

x3

x4=-1000

x5=-1000

x6=-1000

x7=-20

x8=-20

x9=-20

x10=1000

x11=1000

x12=1000

x13=-150

x14=-150

x15=-150

y1

y2

y3

y4=-1000

y5=-1000

y6=-1000

y7=-80

y8=-200



y9=-330

y10=-1000

y11=-1000

y12=-1000

y13=-80

y14=-200

y15=-330

x16=1000

y16=-1000

x17=1000

y17=-1000

x18=1000

y18=-1000

if(x1>173)and(x1<193)and(y1<-98)and(y1>-118)then(x11=5) and(y11=-180)

if(x2>165)and(x2<185)and(y2<-103)and(y2>-123)then(x12=5) and(y12=-300)

if(x3>161)and(x3<181)and(y3>247)and(y3<267)then(x10=5) and(y10=-55)

if(x1>173)and(x1<193)and(y1<-229)and(y1>-249)then (x17=-45)and(y17=-320)

if(x1>173)and(x1<193)and(y1>3)and(y1<23)then(x4=-45)and (y4=-65)

if(x2>165)and(x2<185)and(y2>127)and(y2<147)then (x16=-45)and(y16=-65)



if(x2>165)and(x2<185)and(y2>6)and(y2<26)then(x5=-45)and (y5=-185)

if(x3>161)and(x3<181)and(y3>-6)and(y3<16)then(x18=-45) and(y18=-315)

if(x3>161)and(x2<181)and(y3>126)and(y3<146)then(x6=-45) and(y6=-185)



1.1.11 INTEGRALES DE SUPERFICIE Y DE VOLU-

MEN Sea S una de las dos caras de una superficie, como la de la figura 1.1.11.1. La expresión vectorial de la diferencial de su-perficie indicado es nudSSd

rr= , en donde nu

r es el vector unita-

rio normal a dS . Ahora bien, en la región del espacio consi-derada puede existir un campo, escalar o vectorial, de modo que se pueden definir las tres siguientes integrales de super-ficie en coordenadas cartesianas: a) Flujo de un campo escalar U → Campo vectorial: ∫∫∫∫ ++==

XYXZYZdydxUkdzdxUjdzdyUiSdUP

rrrrr (1.1.11.1)

b) Flujo escalar de un campo vectorial A

r → Campo esca-

lar: ∫∫∫∫ ++=⋅=

XYz

XZy

YZx dydxAdzdxAdzdyASdAQ

rr (1.1.11.2)

F i g u r a 1 . 1 . 1 1 . 1



que puede también expresarse y resolverse en coordenadas ci-líndricas y esféricas. c) Flujo vectorial de un campo vectorial A

r → Campo vecto-

rial:

( ) ( )( )∫

∫∫∫

−+

+−+−=×=

XYxy

XZzx

YZyz

dydxjAiA

dxdziAkAdzdykAjASdARrr

rrrrrrr

(1.1.11.3)

NOTA 1: En las tres ecuaciones anteriores, cada integral doble se extiende sobre la región de proyección de S sobre cada uno de los planos coordenados cartesianos. NOTA 2: Las integrales sobre superficies cerradas se expre-san mediante: ∫∫ ⋅ SdA;SdU

rrr & ∫ × SdA

rr, respectivamente.

Para el caso particular de la integral ∫ ⋅= SdAQ

rr, su cálcu-

lo puede realizarse también mediante la expresión:

dydx|uu|

uA SdARn

n

Rrr

rrrr

⋅⋅

=⋅ ∫∫ (1.1.11.4)

en donde nu

r es el vector unitario normal a la superficie S, R es

la región de proyección de S sobre el plano XY (u otro) y Rur

es el vector unitario normal a dicha región R.



Supongamos ahora una superficie cerrada que encierre un volumen v del espacio. Dentro de dicha región puede existir un campo, escalar o vectorial, de modo que se pueden definir las dos siguientes integrales de volumen: a) ∫∫ = dzdydxUdvU (1.1.11.5)

que puede también expresarse y calcularse en coordenadas ci-líndricas y esféricas.

b) ∫

∫∫∫+

++=dzdydxAk

dzdydxAjdzdydxAidvA

z

yxr

rrr

(1.1.11.6)

que sólo puede expresarse y calcularse en coordenadas carte-sianas.






c) Lúdica: LC1111L1



MODELO MATEMÁTICO

L1=60

L2=50

L3=90

L4=30

L5=40

L6=30

L7=60

L8=30

L9=215

L10=30

L11=30

L12=550

L13=40

L14=120

L15=-70

L16=60

L17=-170

L18=130

L19=-200

L20=75

L21=-100

L22=50



L23=300

L24=50

L25=30

L26=80

L27=30

L28=60

L29=30

L30=105

L31=30

L32=90

L33=120

L34=-50

L35=130

L36=-50

L37=150

L38=-50

if(t>51)then(x=1000)and(y=1000)

if(t<2)then(y1=1000)

if(t>2)and(t<8)then(y1=-60*(t-2)+360)

if(t<10)then(y2=-1000)

if(t>10)and(t<16)then(y2=60*(t-10)-350)

if(t<10)then(x3=-1000)

if(t>10)and(t<16)then(x3=60*(t-10)-20)

if(t<16)then(x4=1000)

if(t>16)and(t<22)then(x4=-60*(t-16)+360)



if(t<18)then(x5=1000)and(y5=-1000)

if(t>18)and(t<24)then(x5=-60*(t-18)+660)and (y5=60*(t-18)-350)

if(t<51)then(a=-1000)and(b=-1000)

if(t>51)then(a=50)and(b=40)

if(t<51)then(y6=1000)

if(t>53)and(t<57)then(y6=1)

if(t<53)then(x7=-1000)

if(t>53)and(t<58)then(x7=60*(t-53)+120)

if(t<58)then(y8=-1000)

if(t>58)and(t<64)then(y8=60*(t-58)-360)

if(t<64)then(x9=1000)

if(t>64)and(t<70)then(x9=60*(t-64)-360)

if(t<70)then(y10=-1000)

if(t>70)and(t<76)then(y10=60*(t-70)-350)



1.1.12 TEOREMAS INTEGRALES E IDENTIDADES VECTORIALES Utilizando algunos de los conceptos y operaciones antes estudiados, podemos enunciar y conocer algunos teoremas in-tegrales en coordenadas cartesianas: a) Teorema de la divergencia de Gauss:

Sean v el volumen limitado por una superficie cerrada S y Ar

una función vectorial. El flujo escalar del campo Ar

a través de la superficie cerrada S es igual a la integral de la divergencia

de Ar

extendida sobre el volumen v, esto es:

( )∫∫ =⋅ dvAdivSdArrr

(1.1.12.1)

b) Teorema de Stokes: Sean S una superficie abierta de dos caras limitada por una

curva cerrada simple C y Ar

una función vectorial. La circula-

ción de Ar

a lo largo de C es igual al flujo vectorial del rotor de

Ar

a través de la superficie S, esto es:

( )∫∫ ⋅=⋅ SdArotldArrrr

(1.1.12.2)



c) Teoremas de Green:

1) ( )( )∫

∫⋅+=

=⋅dvUgradUgradUlapU

SdUgradU2121

21

r

(1.1.12.3)

2) ( )( )∫

∫−=

=⋅−dvUlapUUlapU

SdUgradUUgradU1221

1221

r

(1.1.12.4)

3) ( ) ∫∫ =⋅ dvUlapSdUgrad

r (1.1.12.5)

d) Campo vectorial irrotacional: Si 0Arot =

r, el campo es irrotacional o laminar o conservativo

y se cumple que: UgradA =

r (1.1.12.6)

en donde:

∫−= dvr

Adiv41U

r

π (1.1.12.7)

e) Campo vectorial solenoidal:

Si 0Adiv =r

, el campo es solenoidal y esto implica la existencia

de otro campo solenoidal Vr

, llamado potencial vectorial de Ar

, tal que:



VrotArr

= (1.1.12.8)

o:

∫= dvr

Arot41V

rr

π (1.1.12.9)

f) Identidades vectoriales: De las muchas que existen, anotamos las siguientes, por su pertinencia:

1- ( ) ( ) AlapAdivgradArotrotrrr

−= (1.1.12.10)

2- ( ) ( ) ( )BrotAArotBBAdivrrrrrr

⋅−⋅=× (1.1.12.11)

3- ( ) ( ) ( )( ) ( )BrotAArotB

BgradAAgradBBAgradrrrr

rrrrrr

×+×++⋅+⋅=⋅ (1.1.12.12)




a) Conceptuales: LC1112C1


c) Lúdica: LC1112l1



MODELO MATEMÁTICO

L1=50

L2=50

L3=60

L4=50

L5=60

L6=50

L7=60

L8=50

L9=60

L10=50

L11=60

L12=50

L13=60

L14=50

L15=70

L16=130

L17=-90

L18=-100

L19=-90

L20=-200

L21=70

L22=45



L23=-20

L30=-20

L34=12

L41=130

L42=-100

L43=-140

L44=15

L45=-115

L46=15

L47=-100

L48=15

L49=-110

L50=15

L51=-80

L52=15

L53=-310

L54=15

L55=-250

L56=15

L57=-120

L58=15

L59=-80

L60=15

L61=-120

L62=-310



L63=15

L64=-70

L65=-65

if(t<130)then(x1=x1)and(x2=x2)and(x3=x3)and(x4=x4)and (x5=x5)and(x6=x6)and(x7=x7)and(x8=x8)and(x9=x9)and (x10=x10)

if(t<130)then(y1=y1)and(y2=y2)and(y3=y3)and(y4=y4)and (y5=y5)and(y6=y6)and(y7=y7)and(y8=y8)and(y9=y9)and (y10=y10)

if(t<130)then(x11=-1000)and(x12=-1000)and(x13=-1000)and (x14=-1000)and(x15=-1000)and(x16=-1000)and(x17=-1000) and(x18=-1000)and(x19=-1000)and(x20=-1000)

if(t<130)then(y11=-1000)and(y12=-1000)and(y13=-1000)and (y14=-1000)and(y15=-1000)and(y16=-1000)and(y17=-1000) and(y18=-1000)and(y19=-1000)and(y20=-1000)

if(t>130)then(x11=x5)and(x12=x9-20)and(x13=x3-10)and (x14=x6-5)and(x15=x10)and(x16=x4-30)and(x17=x7-9)and (x18=x2+5)and(x19=x1+5)and(x20=x8-80)

if(t>130)then(y11=y5-20)and(y12=y9-30)and(y13=y3-20)and (y14=y6-20)and(y15=y10-30)and(y16=y4-40)and(y17=y7-14) and(y18=y2-17)and(y19=y1-20)and(y20=y8-40)

xg=-20

yg=19



CONCLUSIONES

El continuo avance tecnológico en el área peda-gógica obliga a los docentes a auto prepararse, de modo que utilicen y creen su propio software edu-cativo, siendo la presente obra un ejemplo de es-to.

Se relaciona los materiales informáticos con la Matemática y con el Electromagnetismo, específi-camente con los Elementos del Análisis Vectorial.

La unión de “La Educación Personalizada” con las animaciones hechas en Modellus es una excelen-te estrategia pedagógica facilitando y mejorando el proceso enseñanza-aprendizaje.

La actitud del educador y la actitud del educando es más interactiva, participativa y dinámica al usarse programas como Modellus.

El aprendizaje del alumno es autónomo puesto que él es el autor principal de su aprendizaje y generador de un auto aprendizaje.

El uso de este tipo de software hace que la co-municación entre profesor-alumno se vea incre-mentada debido a que se establece un asesora-miento más cercano y continuo.



Las animaciones de Modellus posibilitan el desa-rrollo de la creatividad, el pensamiento, la inteli-gencia y el razonamiento.

Todas las partes actuantes del proceso educativo sufren un cambio de actitudes con la adopción de la educación personalizada y el uso programas educativos de computador.



RECOMENDACIONES

Se recomienda que el estudiante o usuario tenga un conocimiento básico acerca del manejo de Mo-dellus antes de usar este software.

Es necesario que el educador conozca y estudie el presente proyecto previamente con el objetivo de responder cualquier inquietud por parte del alum-no.

Si se modifican las animaciones presentes es aconsejable que las modificadas se las guarde con otro nombre para no perder la información de la fuente.

Es útil que el usuario entienda bien la orden de ca-da animación con el fin de que logre un óptimo aprendizaje.

Para la creación de nuevas animaciones se sugie-re hacer primero el esquema en cuaderno de tra-bajo y luego en el computador.

Es recomendable que la nomenclatura de anima-ciones e imágenes sea ordenada y que tengan ca-da una un código propio.



BIBLIOGRAFÍA

AVECILLAS JARA, Alberto Santiago, Electromagnetismo, Colección de obras científico – didácticas, Cuenca-Ecuador.

NIEVES PEREIRA, María Antonieta, Educación en valores, México, Editorial Trillas, 2001.

DOTTRENS, Robert, La enseñanza individualizada, Buenos Aires-Argentina, Editorial Kapelusz, 3ª edición, 1973.

DIRECCIONES EN INTERNET

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricas

http://www.educared.edu.pe/docentes/articulo/1143/educacion-personalizada/

http://portal.educar.org/educacionpersonalizada

http://www.colegiolapresentacionecuador.com/somos/eduper.html

http://www.explored.com.ec/noticias-ecuador/la-ensenanza-personalizada-no-significa-tener-menos-alumnos-278681-278681.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricas



http://portal.educar.org/educacionpersonalizada








http://www.sappiens.net/sappiens/comunidades/foviarti.nsf/Origen%20de%20la%20educaci%C3%B3n%20personalizada /EAC81443CD6FC26741256AB9004007C0?opendocument

http://presentacion.tripod.com/Estrategias.html

http://www.colegiomontemorel.edu.co/e_p_.htm

http://www.sappiens.net/sappiens/comunidades/foviarti.nsf/Origen de la educaci%C3%B3n personalizada/EAC81443CD6FC26741256AB9004007C0?opendocument



http://presentacion.tripod.com/Estrategias.html

http://www.colegiomontemorel.edu.co/e_p_.htm

universidad de cuenca · 2020. 8. 3. · timo tema, expone y desarrolla tres operaciones: flujo de...

Documents