RESUMEN DE NOTACION VECTORIAL Y TENSORIAL

• ESCALAR: Definido por una magnitudSe expresa con un número y las unidades apropiadas Ej.: longitud, masa, volumen, tiempo

3 m 4 kg 3 cm3 17 sPor extensión un ESCALAR puede considerarse como un TENSOR DE ORDEN CERO

•VECTOR: Definido por una magnitud de un cierto valor (módulo) y una dirección y sentido de aplicación

Se expresa con un número, las unidades apropiadas y una dirección de aplicación. Ej.: fuerza, velocidad, aceleración

Se representa con una flecha cuya longitud es la magnitud y la recta de acción asociada a su dirección y sentido.Por extensión un VECTOR puede considerarse como un TENSOR DE ORDEN

UNOTiene 3 componentes asociadas a las coordenadas cartesianas v = (vx, vy, vz)

V

• TENSOR: Es un arreglo matricial en 3 dimensiones con 9 componentes Ej.: Tensor esfuerzo de corte

=

Componentes del vector a = (ax, ay, az)

xx xy xz

yx

zx

yy

zy

yz

zz

SUMA DE VECTORES:Por el método del paralelogramo

VECTORES OPUESTOS:

IGUALDAD DE VECTORES:

MULTIPLICACIÓN DE VECTORES Y TENSORES

Los distintos tipos de multiplicación posibles requieren de distintos signos: el punto simple, el punto doble, el aspa.

• PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR:Es otro vector de igual dirección cuyo módulo es el producto del módulo del vector

por el escalar.

• PRODUCTO ESCALAR DE VECTORESEl producto escalar o de punto entre los vectores a = (ax, ay, az) y b = (bx, by, bz)

a.b = (ax bx) + (ay by) + (az bz )y en forma geométrica a.b = [a] [b] cos

• PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORESEl producto vectorial o de aspa entre los vectores a = (ax, ay, az) y b = (bx, by, bz)es otro vector perpendicular a ambos cuya dirección y sentido surgen, por ej, de la regla de la mano derecha

Recordar que [a X b] = - [b x a]

SIGNO DE LA MULTIPLICACIÓN

ORDEN DEL RESULTADO

NINGUNO sumaPUNTO . suma - 2ASPA X suma - 1

DOBLE PUNTO : suma - 4

OPERADORES DIFERENCIALES

Rotacional de un campo vectorial: [ v ]

x y z

x y zv x vy vz

2

Laplaciano de un campo escalar: s (.s)

2 22

x 2 y 2 z2

s s s

Laplaciano de un campo vectorial: 2v 2v 2v 2vx x y y z z

Operador nabla: x x y y

z z

Gradiente de un campo escalar:

s

x y

z

sx

s szy

Divergencia de un campo vectorial: (.v ) vy

xv zv

x y z

SIGNIFICADO FISICO DEL GRADIENTE

En la figura se representan de los puntos de una montaña que tienen la misma altitud. Las cotas que aparecen son magnitudes escales, por lo tanto definen un campo escalar.

N

S

Un cuerpo colocado en la pendiente de la montaña requerirá de una fuerza para mantenerlo en posición, queda así definido un campo vectorial. Esta fuerza dependerá de la pendiente, es decir la variación de altura con la dirección, queda así definida una derivada común.

La máxima pendiente en un punto se conoce como el gradiente en ese punto.

Por ejemplo, si el cuerpo se encuentra a una altitud=1000 m y la pendiente de la ladera es de 4 m/km hacia el E y de 3 m/km hacia el N:a = 1000 + 4 x + 3 y Grad a = 4 i + 3 j lo que nos está indicando que elcuerpo se moverá en la dirección de máxima pendiente, 4 m hacia el O por cada 3 m hacia el S

EO

ss

x x y y

s

SIGNIFICADO FISICO DE LA DIVERGENCIA

Supongamos un fluido en movimiento cuya velocidad en cualquier punto estárepresentada por v = vx i + vy j + vzkConsideremos un punto cualquiera P (x, y, z) y a partir de él un paralelepípedo de carasx, y, z.Por cada cara entra y sale una cierta cantidad de fluido igual al componente de velocidad en la dirección considerada multiplicada por el área de entrada.La divergencia de v en el punto P representa la velocidad neta con que disminuye ladensidad de flujo de materia en ese punto.La divergencia es una cantidad escalar con signo:

Si es positivo quiere decir que el campo vectorial radia hacia el exterior, es decir posee un manantial.

Si es negativo el campo converge hacia dicho punto, es decir posee un sumidero.

. V =

vx vyvz

x y + z+

ECUACIONES DE VARIACIÓN

LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

Aplicando la ley de conservación de la materia para el fluido contenido en el interior de un elemento de volumen x y z

z

xx, y+y, z+ z)

y

x xy

zx, y,z)

velocidad de acumulación de materia

velocidad de entrada de materia

velocidad de salida de materia

= -

Región de volumen x y z fijo en el espacio, a través del cual está circulando un fluido.

Analicemos primero el par de caras perpendicular al eje x

velocidad de acumulación de materia en el elemento de volumen x y z ) dt=

velocidad de entrada de materia a través de la cara x vx ]x y z=

=

velocidad de salida de materia a través de la cara x + x vx ]x+x y z

Como puede entrar materia por los 3 pares de caras, tendremos expresiones análogas para el

par de caras perpendicular al eje y y también para el perpendicular al eje z

x y z ) dt

= [ vx ]x y z - vx ]x+x y z ]

+ [ vy ]y x z - vy ]y+y x z ]

+ [ vz ]z x y - vz ]z+z x y ]

ACUMULACIÓN

CARA X: ENTRADA-SALIDA

CARA Y: ENTRADA-SALIDA

CARA Z: ENTRADA-SALIDA

x

x

y

z

z

y x, y,z)

vz]z

xx, y+ y,z+ z)

vx]x

vx]x+x

vz]z+z vy]y+y

vy]y

Dividiendo por x y z y tomando lím cuando x y z tienden a 0

/t = /x ( vx) + /y ( vy) + /z ( vz)

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD PARA UN OBSERVADOR ESTACIONARIO

Expresada en notación vectorial

·v t

El Término ·v se denomina divergencia de v y representa la velocidad neta

de disminución de la densidad de flujo de materia por unidad de volumen

Efectuando la diferenciación indicada y agrupando las derivadas de en el primer miembro

Se obtiene la expresión de la derivada sustancial, que describe la velocidad de variación de densidad desde el punto de vista de un observador que flota con el fluido

D ·v Dt

❖ Caso Particular: Fluido incompresible

·v 0

ECUACIÓN DE CONTINUIDADPARA UN OBSERVADOR QUE SE MUEVE CON EL FLUIDO

(v x ) (vy ) (vz ) 0t x yz

1 (rv ) 1 (v ) (v ) 0r zt r r r z

LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

EN DISTINTOS SISTEMAS COORDENADOS

Coordenadas rectangulares (x, y, z):

1 2

(r v ) t r 2 r

1 1 (v sen) (v ) 0rr sen r sen

Coordenadas cilíndricas (r, , z):

Coordenadas esféricas (r, , ):

ECUACIONES DE VARIACIÓN

LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO

La ecuación de movimiento Segunda Ley de Newton: F = ma. Aplicando un balance de conservación de

momento para el fluido contenido en el interior de un elemento de volumen x y z

z

xx, y+ y, z+ z)

y

x xy

z

x, y,z)

velocidad de acumulación

de cantidad de movimiento

velocidad de entrada de cantidad de movimiento

velocidad de salida de

cantidad de movimiento

suma de las fuerza que

actúan sobre el sistema

= +-

A diferencia de la ecuación de continuidad, que es una ecuación escalar, la ecuación de movimiento es una ecuación vectorial o tres ecuaciones escalares, una en cada dirección. Analicemos la componente x. Las componentes y y z se obtendrán en forma análoga.

Cantidad de movimiento en la dirección x = masa x velocidad en x

m . vx = . (x y z) . Vx

velocidad de acumulación de cantidad de movimiento

en el elemento de volumen x y z ) ( vxt)=

La masa que entra al elemento de volumen es (.v) x y z

y sus tres componentes son:(vx x y z )

(vy x y z)

vz x y z)Cada una de estas componentes, multiplicada por el componente de v en la dirección de estudio vx , es la cantidad de movimiento que ingresa por convección.

x

x

yz

z

vz)vx]z +z

(vy)vx]y +y

xx, y+y, z+z)

(vx)vx]x

(vx)vx]x+x

y x, y,z)

vz)vx]z(v )v ]y x y

Velocidad de entrada – salida de cantidad de movimiento

por convecciónen la dirección x

y z { vx vx) ]x - ( vx vx) ]x +x } +

x z vy vx) ]y - ( vy vx) ]y +y } +

x y vz vx) ]z - ( vz vx) ]z +z }

CARA ENTRADA SALIDA

x

y

z

v xv x x y z v xv x x x

y zvyv x x z

y

vzv x z x y

vyv x x zy y

vzv x z z x y

F = P . A = {Px – P]x+x } y zvelocidad de entrada de

c. de m. por las fuerzas de presión

F = m.gx = [ x y z ]. gx

velocidad de entrada dec. de m. por las

fuerzas gravitatorias

suma de las fuerza que actúan sobre el sistema

velocidad de entrada dec. de m. por las fuerzas viscosas

velocidad de entrada dec. de m. por las fuerzas viscosas

x y

z

z

y

xx, y+y, z+z)

xx]x

xx]x+xx, y,z)

zx]z

zx]z +z ]yx y +y

yx]y

x ∆∆∆∆z

x

y z (xx]x - xx ]x+x ) +

x z (yx]y - yx ]y+y ) +

x y ( ] - ] )zx z zx z+z

CARA ENTRADA SALIDA

x

y

z

xx y zx

xxx x

y zyx x z

y

zx z x y

yx x zy y

zx Z+Z x y

xx yx zx

t

P

xx y zx y z - gx

vx vzvx

= - [ vxvx

vyvx+ + + +] - [ ]

-

De igual forma se obtienen la componente y

xy yy zy

t

P

yy zx y z x - gy

vy vzvy

= - [ vxvy

vyvy+ + ] - [ + + ]

-y la componente z

xz yz zz

t

P

zx y z x y z - gz

vz vzvz

= - [ ] -

[

vxvz vyvz

+ + + + ] -

Dividiendo toda la ecuación por x y z y tomando el límite cuando x, y, z tienden a cero, se obtiene la componente x de la ecuación de movimiento.

(vx) (vy) vz) son los 3 componentes del vector velocidad másica v

(gx) (gy) gz) son los 3 componentes del vector aceleración gravitacional g

Px) Py) Pz) son los 3 componentes del gradiente de Presión

(vxvx) (vyvx) vzvx) (vyvx), etc. son los 9 componentes del flujo convectivo de cantidad de movimientovv (producto diádico entre v y v)

xx , yx , zx , xy , etc. son los 9 componentes del tensor esfuerzo de

corte

Velocidad de ganancia de c. de m. por unidad de volumen(v) /t =

{ . vv }

- ( . )

+ g

- ( P)

Fuerza de presión que actúa sobre el elemento por unidad de volumen

Fuerza de gravedad que actúa sobre el elemento por unidad de volumen

Velocidad de ganancia de c. de m. por unidad de volumen

debido a la convección

velocidad de ganancia de c. de m. por unidad de volumen debido a las fuerzas viscosas

Sumando vectorialmente los 3 componentes:

La ecuación de movimiento se puede reordenar utilizando la ecuación de continuidad:

xx

yx zx

+ + ] -

Dvx

Dt x yz

P

xgx

= -

[+

De igual forma se pueden obtener las componentes y y z. Sumándolas vectorialmente:

Esta ecuación, expresada en notación vectorial, es una descripción de las variaciones que tienen lugar en un elemento que sigue el movimiento del fluido.

Es una expresión de la Segunda Ley de Newton:masa x aceleración = suma de fuerzas

Dv/Dt =

- ( P)

- [ . )

+ g

masa por unidad de volumen multiplicada por aceleración

fuerza de presión sobre el elemento por unidad de volumen

fuerza viscosa sobre el elemento por unidad de volumen

fuerza gravitatoria sobre el elemento por unidad de volumen

Para poder determinar los perfiles de velocidad, es necesario expresar los en función de los gradientes de velocidad y propiedades del fluido.Para un fluido newtoniano:

2 ·v

vy

2 2 ·v

2

·v

2 v x

x 3

y 3

2 v z

z 3

v

vy x

xx yx xy

v

vy z

yy yz zy

v z v x zz xz zx

y x

y z

x z

Formas restringidas de la ecuación de movimiento

i. Fluido de densidad y viscosidad constantes. (Ecuación de Navier-Stokes)

v p g Dv 2

Dt

ii. Sistemas de flujo sin efectos viscosos. (Ecuación de Euler)

Dv p gDt

iii. Fluido en reposo.

0 p g

yx

x v x v x x xx zxx y z x

v v px

v v v gt x y z x y z

vyvy vy vy xy

yy zy v x vy vz gy

pt x y z

y x y z

La ecuación de movimiento en coordenadas rectangulares

(en función de ττττ )

componente x:

yz

z vz vz z xz zzx y z z

v v pz

v v v gt x y z x y z

componente y:

componente z:

La ecuación de movimiento en coordenadas rectangulares

(para fluidos newtonianos de ρρρρ y μμμμ

constantes)

componente x:

componente y:

componente z:

2 2 2

2 y 2 z2x v x v x x x v x x

x y z x v v v vp

x v v v g

t x y z x

2 2 2

x 2

y 2 z2

vyvy

x

vy vy vy vy vy v x

vy vz gy

pt y z

y

2 2 2

2 y 2 z2z vz vz z z vz z

x y z z v v v vp

z v v v g

t x y z x

La ecuación de movimiento en coordenadas cilíndricas

(en función de ττττ )

componente r:

componenteθ :

componente z:

v 2

1 (r ) 1

r r r vz

r

vr

r rzrr r

v v v v v p

z r tr

r r

g r r r r z

(r 2 ) 2

v 1 p

1 1

v v v

vr v vr z

zr

v v

tr r r z r

gr r z r

1 (r 1

) z

z z z vzz

vr

zzrz z

v v v v v p

zt r r z

g r r r z

La ecuación de movimiento en coordenadas cilíndricas

(para fluidos newtonianos de ρρρρ y μμμμ

constantes)

componenteθ :

componente z:

componente r:

v 2

1 2v 2 v 2v2r 2

r 2 2

1

r r r vz

r

vr

r r r

gr

v v v v v p

z r tr

r r

rv r r r z

1 2v 2 v 2v2r 2

r 2

z2

1 p

r

1

v v v

vr v vvr z

r

v v t r r r z

rv gr r r

1 2v 2v

r 22 z2

1 v

z z

r

z

r

z r z

r z

z z g z

v v v v

vv p v

t z z

r r r

La ecuación de movimiento en coordenadas esféricas (en función de ττττ )

componente r:

componenteθ :

componenteΦ :

1 sen

v 2 v 2

1 2

(r ) 2

r r sen

1

r sen r sen

r r r rr

r rr r r

vv v v v v pr

v t r r

gr rr

1 sen

v 2 cot

1 2

(r ) 2

1 p

r r r sen

1 r cot

g

r sen r sen r r

r r

r

v v v v v v v v v t r r r

rr

1 2 1

(r ) 2

1

p r sen

cot r r sen 1 r 2 cot

gr sen r r

rr

r

v v v v v v v v v v v

tr r

r

r r r

La ecuación de movimiento en coordenadas esféricas (para fluidos newtonianos de ρρρρ y μμμμ constantes)

componente r:

componenteθ :

componenteΦ :

v 2 v 2

2

r 2 r 2 r 2

2

r r r sen

2 2 v2

v v v

2cot

r sen

r r r

r vr

r r r

vv v v v v p

t r

r

v g

v 2 cot

2

r 2r 2 sen2 r 2 sen2

1 pr r sen

2 v r 2 cos

rv v

r

vr

v v v v v v

t

r r r

v g

v v

2

r 2 sen2 r 2 sen r sen 2 2

1

p r sen

2 v 2 cos v r g

v v

En estas ecuaciones:2

2 1 r 2 12 2 2 2 2

1 sen r sen r sen r r r

v v v

v v v

v vvr v v cot

t

r r r r sen r r

Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas rectangulares

2

(·v )

2 v x

x 32

(·v )

2y 3

v 2 2 (·v )

z 3

xx

yyy

zzz

v

v x

vy

xy yx

vy

vz yz zy

v z v x zx xz

y x

z y

x z

.v yx

xz

zvv v

y

Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas cilíndricas

2 v r 2 (·v ) r 3

1 v v 2 2

(·v ) 3

2 2

(·v )z 3

rr

r

zzz

r r

v

1 v

v 1 v z

rr r

z z

v z vr zr rz

v rr r r

z r

r z

·v 1 rv 1 v vz

r z

rr r

Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas esféricas

2 v r 2 (·v ) r 3

1 v v 2 2

(·v ) 3

v cot 21

2 (·v ) 3

r sen

rr

r

v v r

r r

r r

1 v

sen

1 v

r sen r sen

1 vr r sen

rr r

r r

v rr r r

v

v rr r

.v r 2v

1 v sen r 2 r

1 1

r sen r sen r

v

ECUACIONES DE VARIACIÓN

LA ECUACIÓN DE ENERGÍA

Si la ecuación de movimiento: Dv p . g

Dt

se multiplica escalarmente por v:

Se obtiene la Ecuación de Energía Cinética por unidad de masa para un elemento de fluido que se mueve con la corriente:

Utilizando la Ecuación de Continuidad puede rescribirse::

Velocidad de Trabajo producida por la fuerza de gravedad que actúa sobre el elemento de volumen:

Velocidad neta de entrada de energía cinética debida al flujo global

Velocidad de Trabajo producido por las fuerzas viscosas que actúan sobre el elemento de volumen:

Velocidad de conversión reversible en energía interna

Velocidad de conversión irreversible en energía interna

Velocidad de Trabajo producida por la presión de los alrededores sobre el elemento de volumen:

Velocidad de incremento de energía cinética por unidad de volumen

Osborne Reynolds (1842-1912) realizó estudios experimentales para determinar cuando el flujo era laminar o turbulento en un conducto.

El número de Reynolds en un parámetro adimensional :

longitud característica (diámetro del conducto o longitud del cuerpo)

El Re es importante al estudiar cualquier tipo de fluido cuando hay un cambio sustancial en el gradiente de velocidad.

El Reynolds es el cociente entre [fuerzas inerciales] y [fuerzas viscosas]. Indica la importancia relativa de los efectos inerciales comparados con los viscosos.

Considerando que el predominio de fuerzas inerciales está asociado a la turbulencia y el de fuerzas viscosas al flujo laminar, es de esperar que un alto Re sea la característica de un flujo turbulento.

Por lo contrario, un bajo Reynolds estará asociado con un flujo laminar.

La transición de flujo laminar a turbulento ocurre entre Re 2000 y 4000.

densidad del fluido

coeficiente de viscosidad viscosidad

cinemática v

velocidad característica L

Re = v L

=v L

El Numero de Reynolds; Re

Ejemplo:

Si se mueve una cuchara en el aire y luego en miel a la misma velocidad, el valor del Re será mucho menor en la miel.

Calcule el valor de Reynolds para los siguientes casos para observar la amplitud de su valor:

Boeing 747:

Longitud de fuselaje

Velocidad

Fluido:

L = 75 m

v = 980 km/h

Aire -40° C

= 3x10-5

m2/s

Re = 6,8 x 108

Espermatozoide de un erizo de mar:

Longitud L = 0.045 mm

Velocidadv = 0.1 mm/s

Agua a 10° C

= 1,25 mm2/s

Fluido: Re = 3,6 x 10-3

LIMITACIÓN AL USO DE LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN

Las Ecuaciones de Variación brindan

gran información del flujo a escala microscópica

incluyendo perfiles de velocidad y esfuerzos cortantes

e indican con seguridad qué variables influyen en el flujo

PERO

Son difíciles de resolver para sistemas reales:

Condiciones de contorno complejas

Régimen de flujo turbulento

Partícula de fluido

Partícula de fluido

Camino de la partícula de fluido

Camino de la partícula de fluido

Régimen TurbulentoRégimen Laminar

En flujo laminar el fluido se mueve en capas, cada una deslizándose suavemente sobre la siguiente. No se produce mezcla de fluido entre las capas sucesivas, dado que las fuerzas viscosas impiden el movimiento relativo entre capas. Como cada capa de fluido se mueve sobre la adyacente, la velocidad del fluido aumentará con la distancia a la pared del conducto. El perfil de velocidad resultante tendrá una forma parabólica:

En flujo turbulento ya no existen estas capas ordenadas sucesivas de líquido. La inercia del fluido supera los esfuerzos viscosos dando lugar a una continua mezcla de porciones del fluido a lo largo de la corriente. Esto hace que el perfil de velocidad sea prácticamente plano:

Características del Flujo Turbulento

➢ Flujo irregular o aleatorio

➢ Esta es la razón por la cual se usan métodos estadísticos para el cálculo de turbulencia

➢ Flujo difusivo

➢ Favorece un mayor mezclado aumentando la velocidad de transferencia de momento, masa y energía

➢ Flujo con alto Re

➢ Hay un manifiesto predominio de las fuerzas inerciales sobre las viscosas

➢ Remolinos que fluctúan en las tres dimensiones

➢ Son flujos tridimensionales y rotacionales con alta fluctuación de remolinos

Flujo disipativo

➢ Requieren de una continua alimentación de energía dado que la energía cinética de la turbulencia se disipa en forma de calor por influencia de la viscosidad

La turbulencia es una propiedad del flujo y no del fluido

tiempo

v

Velocidad ajustada

Fluctuación respecto de velocidad ajustada

Velocidad ajustada FluctuaciónVelocidad en un punto

MODELO DE FLUJO PARA UNA TUBERÍA

Velocidad instantánea: v = v (t, x, y, z)

Componente fluctuante vz´ = v + v

z + z

tiempo

AJUSTE DE TIEMPO DE LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN

Ecuación de Continuidad

Ecuación deCantidad de Movimiento

Ecuación de Continuidadde Tiempo Ajustado

Ecuación deCantidad de Movimiento de Tiempo Ajustado

Ecuación de Continudad

de Tiempo Ajustado

Ecuación de Cantidad de Movimiento de Tiempo Ajustado

EXPRESIONES SEMIEMPÍRICAS PARA LOS ESFUERZOS DE REYNOLDS

◆ VISCOSIDAD DE REMOLINO DE BOUSSINESQ

m(t) : coeficiente turbulento de viscosidad o viscosidad de remolino varía considerablemente con la presión

◆ LONGITUD DE MEZCLA DE PRANDTL

➢Parte de una analogía incorrecta: “Los remolinos se mueven en igual forma que las moléculas

en un gas”

➢Asume la turbulencia como función de una longitud característica (analogía con el recorrido

libre medio en la teoría cinética de los gases)

➢De resolución matemática simple

➢Poca exactitud para flujos con paredes no planas

l : longitud de mezcla de Prandtlproporcional a la distancia medida a la superficie sólida

v1

v2

La teoría de longitud de mezcla de Prandtl asume que:

Una porción de fluido debe viajar una distancia l antes de transferir cantidad de movimiento.

La partícula de fluido ubicada en la capa 1 tiene v1 y cuando se mueva hasta la capa 2 debido a

los remolinos turbulentos, lo hará conservando su v1 hasta el momento de arrivar a la capa 2.

Recién ahora modificará su v intercambiando cantidad de movimiento con partículas de fluido

de la capa 2. Esta acción acelera la velocidad de transferencia en la capa 2

k2 : constante universalvaría entre 0,40 y 0,36

◆ FÓRMULA EMPÍRICA DE DEISSLER PARA LA REGIÓN PRÓXIMA A LA PARED

n: constante empíricapara flujo en tubo = 0,124

EXPRESIONES SEMIEMPÍRICAS PARA LOS ESFUERZOS DE REYNOLDS

◆ HIPÓTESIS DE SEMEJANZA DE VON KARMAN