Algebra Lineal -II: Algebra Vectorial en R3

Jose Marıa Rico Martınez

Departamento de Ingenierıa Mecanica

Division de Ingenierıas, Campus Irapuato-Salamanca

Universidad de Guanajuato

email: jrico@ugto.mx

En estas notas se presentan los conceptos fundamentales del algebra vectorial en R3. En estas notasexclusivamente estudiaremos el espacio vectorial R3, la razon de esta decision es que el espacio vectorialR3 es frecuentemente empleado en la estatica y dinamica de partıculas y cuerpos rıgidos, el calculo devarias variables, entre otras disciplinas, de modo que es conveniente que se dediquen unas cuantas horasal estudio del algebra vectorial en R3.

Mas aun, en el trascurso de estas notas se analizaran el producto escalar de vectores en R3, enrealidad este producto escalar es en realidad una forma simetrica bilineal del espacio vectorial R3.El estudio de los espacios vectoriales puede hacerse sin el estudio de formas simetricas bilineales, queconceden a un espacio vectorial las caracterısticas de un espacio ortogonal. Ademas, tambien en estasnotas se estudiara el producto vectorial que concede a un espacio vectorial R3 las caracterısticas deuna algebra.

1 Producto Escalar, Formas Simetricas Bilineales.

Definicion: Producto Escalar o Forma Simetrica Bilineal. Una forma simetrica bilineal sobre unespacio vectorial V es un mapeo del producto cartesiano V × V sobre el campo en el cual se define elespacio vectorial, en nuestro caso el campo de los numeros reales R. Este mapeo se denota de dos formasalternativas, en textos de ingenierıa se denota como

· : V ×V → R ~u · ~v

mientras que en textos de matematicas se denota como

( , ) : V ×V → R (~u,~v)

En estas notas, se empleara la notacion ingenieril. Ademas, la forma simetrica bilineal satisface lassiguientes propiedades:

1. Simetrica o conmutativa.~u · ~v = ~v · ~u ∀~u,~v ∈ V.

2. Bilineal

• Lineal en la primera variable.

(λ~u+ µ~v) · ~w = λ~u · ~w + µ~v · ~w ∀~u,~v, ~w ∈ V, ∀λ, µ ∈ R.

• Lineal en la segunda variable.

~u · (λ~v + µ ~w) = λ~u · ~v + µ~u · ~w ∀~u,~v, ~w ∈ V, ∀λ, µ ∈ R.

1

Definicion del producto escalar en el espacio Euclıdeo. El espacio R3 junto con la siguienteforma simetrica bilineal o producto escalar, tambien llamado producto punto, dada por

· : R3 ×R3 → R ~u · ~v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 ∀~u,~v ∈ R3.

donde~u = (u1, u2, u3), y ~v = (v1, v2, v3).

se conoce como el espacio Euclıdeo tridimensional.Teorema. Pruebe que el mapeo que justo se acaba de definir satisface las propiedades de una forma

simetrica bilineal.Prueba: Sean ~u = (u1, u2, u3), ~v = (v1, v2, v3), ~w = (w1, w2, w3) ∈ R3 y λ, µ ∈ R.

1. Primero probaremos la simetrıa del producto escalar o forma simetrica bilineal

~u·~v = (u1, u2, u3)·(v1, v2, v3) = u1 v1+u2 v2+u3 v3 = v1 u1+v2 u2+v3 u3 = (v1, v2, v3)·(u1, u2, u3) = ~v·~u

2. En segundo lugar probaremos la linealidad de la primera variable

(λ~u+ µ~v) · ~w = [λ (u1, u2, u3) + µ (v1, v2, v3)] · (w1, w2, w3)

= (λu1 + µv1, λu2 + µv2, λu3 + µv3) · (w1, w2, w3)

= (λu1 + µv1)w1 + (λu2 + µv2)w2 + (λu3 + µv3)w3

= λ(u1 w1 + u2 w2 + u3 w3) + µ(v1 w1 + v2 w2 + v3 w3) = λ~u · ~w + µ~v · ~w

3. Finalmente probaremos la linealidad en la segunda variable

~u · (λ~v + µ ~w) = (u1, u2, u3) · [λ (v1, v2, v3) + µ (w1, w2, w3)]

= (u1, u2, u3) · (λv1 + µw1, λv2 + µw2, λv3 + µw3)

= u1(λv1 + µw1) + u2(λv2 + µw2) + u3(λv3 + µw3)

= λ(u1 v1 + u2 v2 + u3 v3) + µ(u1 w1 + u2 w2 + u3 w3) = λ~u · ~v + µ~u · ~w

4. Ademas se probara que el producto escalar es positivo definido. Considere

~u · ~u = (u1, u2, u3) · (u1, u2, u3) = u2

1+ u2

2+ u2

3

Entonces se tiene que~u · ~u = u2

1+ u2

2+ u2

3≥ 0 ∀ ~u ∈ R3

y~u · ~u = u2

1+ u2

2+ u2

3= 0 ⇔ ~u = (0, 0, 0) = ~0.

Esta propiedad juega un papel muy importante en muchas areas de las matematicas aplicadas y laingenierıa.

2 Interpretacion Geometrica del Producto Escalar en R3

En esta seccion, analizaremos la interpretacion geometrica del producto escalar en el contexto del espacioEuclideo R3. Considere un punto P mostrado en la figura 1 y localizado en el espacio tridimensionaly suponga que sus coordenadas respecto a un sistema coordenado cartesiano OXY Z estan dadas por(px, py, pz) = (p1, p2, p3). Es entonces, perfectamente posible definir al vector ~p, que se origina en elpunto O y finaliza en el punto P , que esta dado por

~p = (px, py, pz).

2

Figure 1: El Vector ~p y sus componentes.

Es bien sabido, de la geometrıa analıtica que la longitud del vector ~p, denotada por | ~p | que esequivalente a la longitud del segmento de lınea recta OP , esta dada por

| ~p |= OP =√

p2x + p2y + p2z =√

~p · ~p.

A partir de ese resultado, es posible definir a los vectores unitarios.Definicion: Vector Unitario. Un vector ~u = (ux, uy, uz) ∈ R3, se dice que es un vector unitario,

y se denota como u, si su longitud es 1; es decir, si

| u |=√u · u =

√

u2x + u2

y + u2z = 1.

Mas aun, puesto que√1 = 1, la condicion para que un vector u sea unitario puede simplificarse a

| u |2=| u |= u · u = u2

x + u2

y + u2

z = 1.

La figura 1 tambien muestra tres vectores unitarios i, j y k, cuya direcciones coinciden con los ejescoordenados X, Y y Z.1 Estos vectores unitarios, tambien denominados cartesianos, estan dados por

i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1).

Debe notarse que este conjunto de vectores, {i, j, k} constituye una base2, con caracterısticas muyespeciales, del espacio vectorial R3, y el vector ~p puede escribirse como

~p = px i+ py j + pz k

De manera que px, py y pz son las componentes del vector coordenado ~p y se denominan las compo-

nentes o las componentes cartesianas de ~p. Ademas, es posible definir un vector unitario pu en ladireccion del vector ~p de la siguiente manera

pu =~p

| ~p | =~p√~p · ~p (1)

1En algunas ocasiones se denotaran como e1, e2 y e3.2El concepto de base se estudiara con mayor profundidad durante el curso de algebra lineal.

3

Figure 2: Los Vectores Unitarios Asociados a ~a y ~b.

Es facil probar que efectivamente pu es un vector unitario

| pu |=√

pu · pu =

√

~p√~p · ~p · ~p√

~p · ~p =

√

~p · ~p√~p · ~p2

=

√

~p · ~p~p · ~p =

√1 = 1.

De la ecuacion (1), se tiene que~p =| ~p | pu (2)

Es posible entonces intentar una explicacion geometrica del producto escalar. Sean ~a,~b ∈ R3, entoncesempleando la ecuacion (2), los vectores pueden escribirse como

~a =| ~a | au ~b =| ~b | bu

y empleando las propiedades del producto escalar, se tiene que

~a ·~b = (| ~a | au) ·(

| ~b | bu)

=| ~a | | ~b | au · bu

de manera que el problema se reduce a determinar el producto escalar entre au y bu.Considere el vector au⊥ que esta contenido en el plano formado por los vectores ~a y ~b y que esta

girado, con respecto al vector ~a, 90◦ en sentido antihorario. El restante vector necesario para formar elsistema coordenado, denotado k, puede considerarse perpendicular al plano formado por los tres vectoresy apuntando hacia el lector.

Las coordenadas de los vectores unitarios de au y bu, respecto al sistema coordenado dado por au,au⊥ y k estan dadas por

au = (1, 0, 0) bu = (Cos θ, Sen θ, 0)

Por lo tanto

~a ·~b =| ~a | | ~b | au · bu =| ~a | | ~b | [(1, 0, 0) · (Cos θ, Sen θ, 0)] =| ~a | | ~b | Cos θ.

Asi pues, hemos llegado a la interpretacion geometrica del producto escalar.

Interpretacion geometrica del producto escalar. El producto escalar de dos vectores ~a y ~b esigual al producto de las longitudes de los vectores por el coseno del angulo que forman los vectores.

4

Esta definicion permite caracterizar la perpendicularidad de vectores, de la siguiente manera.

Definicion: Perpendicularidad entre vectores. Dos vectores ~a y ~b diferentes de cero son per-pendiculares si su producto escalar es 0. Es decir si

~a ·~b = 0.

De la interpretacion geometrica del producto escalar, resulta que dos vectores son perpendiculares,tambien conocidos como ortogonales, si

Cos θ = 0 Es decir, si θ = 90◦ o θ = −90◦.

Geometricamente, este resultado indica que dos vectores son perpendiculares si y solo si, el angulo sub-tendido entre los vectores es un angulo recto.

Puede notarse que los sistemas coordenados empleados hasta ahora en estas notas, por un lado i,j y k, y por otro lado au, au⊥ y k son mutuamente ortogonales o perpendiculares. Ademas cada unode los tres vectores es unitario, tambien conocido como normalizado, un sistema coordenado con esascaracterısticas se conoce como un sistema coordenado ortonormal.

Existen dos diferentes tipos de sistemas coordenados ortonormales los sistemas a derechas y lossistemas a izquierda. En los sistemas a derechas, {u1, u2, u3}, si un tornillo a derechas, gira del vectorunitario u1 al vector unitario u2 el avance del tornillo sera en la direccion y sentido de u3.

Finalmente, a partir de los conceptos desarrollados en esta seccion es posible determinar la componentede un vector respecto de otro vector.

Definicion: Componente de un vector respecto de otro. Considere dos vectores ~a y ~b, entoncesla componente del vector ~b a lo largo de la direccion del vector ~a esta dada por

ba = ~b · au = ~b · ~a

| ~a | =~b · ~a| ~a | =

| ~a | | ~b | Cos θ

| ~a | =| ~b | Cos θ.

3 Producto Vectorial.

En esta seccion, se definira el producto vectorial.Definicion del producto vectorial en el espacio Euclıdeo. Es posible definir en el espacio

Euclideo, R3, la siguiente operacion, denominada producto vectorial

× : R3×R3 → R3 ~u×~v = (u1, u2, u3)×(v1, v2, v3) = (u2 v3−u3 v2, u3 v1−v3 u1, u1 v2−v1 u2) ∀~u,~v ∈ R3.

donde~u = (u1, u2, u3), y ~v = (v1, v2, v3).

son los vectores coordenados de ~u,~v ∈ R3 respecto a un sistema coordenado ortonormal y dextral o diestro.

El producto vectorial puede calcularse con la ayuda de los vectores unitarios i, j, k y de los determi-nantes de orden 3, de la siguiente manera

× : R3 ×R3 → R3 ~u× ~v =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

u1 u2 u3

v1 v2 v3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∀~u,~v ∈ R3.

Otra manera de realizar el producto vectorial es considerar ambos vectores, ~u = u1 i + u2 j + u3 k y~v = v1 i+ v2 j + v3 k como si fueran numeros reales y la multiplicacion vectorial de los vectores unitariosi, j, k esta representada graficamente por la figura 3. Si el producto de los vectores unitarios sigue elsentido antihorario el resultado es positivo; es decir

i× j = k j × k = i k × i = j

5

Figure 3: Interpretacion Grafica del Producto Vectorial de los Vectores Unitarios: Antihoraria y horaria.

Si el producto de los vectores unitarios sigue el sentido horario el resultado es negativo; es decir

i× k = −j k × j = −i j × i = −k

El producto vectorial tiene las siguientes propiedades, para todo ~u = (u1, u2, u3), ~v = (v1, v2, v3), ~w =(w1, w2, w3) ∈ R3 y para todo λ, µ ∈ R:

1. El producto vectorial es nilpotente; es decir

~u× ~u = ~0 ∀~u ∈ R3.

Prueba: Sea ~u = (u1, u2, u3) ∈ R3 arbitrario, entonces

~u× ~u = (u2 u3 − u3 u2, u3 u1 − u3 u1, u1 u2 − u1 u2) = (0, 0, 0) = ~0.

2. El producto vectorial es homogeneo en la primera variable.

(λ~u)× ~v = [λ(u1, u2, u3)× (v1, v2, v3)] = (λu1, λu2, λu3)× (v1, v2, v3)

= (λu2 v3 − λu3 v2, λu3 v1 − λv3 u1, λu1 v2 − λv1 u2)

= λ(u2 v3 − u3 v2, u3 v1 − v3 u1, u1 v2 − v1 u2) = λ(~u× ~v).

3. El producto vectorial es homogeneo en la segunda variable.

~u× (λ~v) = [(u1, u2, u3)× λ(v1, v2, v3)] = (u1, u2, u3)× (λv1, λv2, λv3)

= (λu2 v3 − λu3 v2, λu3 v1 − λv3 u1, λu1 v2 − λv1 u2)

= λ(u2 v3 − u3 v2, u3 v1 − v3 u1, u1 v2 − v1 u2) = λ(~u× ~v).

4. El producto vectorial es aditivo en la primera variable.

(~u+ ~v)× ~w = [(u1, u2, u3) + (v1, v2, v3)]× (w1, w2, w3) = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3)× (w1, w2, w3)

= ((u2 + v2)w3 − (u3 + v3)w2, (u3 + v3)w1 − (u1 + v1)w3, (u1 + v1)w2 − (u2 + v2)w1)

= (u2 w3 − u3 w2, u3 w1 − u1 w3, u1 w2 − u2 w1) + (v2 w3 − v3 w2, v3 w1 − v1 w3, v1 w2 − v2 w1)

= ~u× ~w + ~v × ~w.

5. El producto vectorial es aditivo en la segunda variable.

~u× (~v + ~w) = (u1, u2, u3)× [(v1, v2, v3) + (w1, w2, w3)] = (u1, u2, u3)× (v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3)

= (u2(v3 + w3)− u3(v2 + w2), u3(v1 + w1)− u1(v3 + w3), u1(v2 + w2)− u2(v1 + w1))

= (u2 v3 − u3 v2, u3 v1 − u1 v3, u1 v2 − u2 v1) + (u2 w3 − u3 w2, u3 w1 − u1 w3, u1 w2 − u2 w1)

= ~u× ~v + ~u× ~w.

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6. El producto vectorial es antisimetrico.3

~u× ~v = −~v × ~u.

Como el producto vectorial es homogeneo y aditivo en la primera variable, se dice que es lineal enla primera variable. De manera semejante, como el producto vectorial es homogeneo y aditivoen la segunda variable, se dice que es lineal en la segunda variable. Como consecuencia, se diceque el producto vectorial es bilineal.

Prueba: Considere el vector ~u + ~v, puesto que el producto vectorial es nilpotente y bilineal, setiene que

~0 = (~u+ ~v)× (~u+ ~v) = ~u× (~u+ ~v) + ~v × (~u+ ~v) = ~u× ~u+ ~u× ~v + ~v × ~u+ ~v × ~v

= ~0 + ~u× ~v + ~v × ~u+~0 = ~u× ~v + ~v × ~u

Por lo tanto~u× ~v = −~v × ~u.

7. El producto vectorial no es asociativo, pero satisface la identidad de Jacobi.

Puesto que no es asociativo, se tiene que

~u× (~v × ~w) 6= (~u× ~v)× ~w.

Probaremos que el producto vectorial satisface la identidad de Jacobi, es decir

~u× (~v × ~w) + ~w × (~u× ~v) + ~v × (~w × ~u) = ~0.

Considere,

~u× (~v × ~w) + ~w × (~u× ~v) + ~v × (~w × ~u) = [u2 (v1 w2 − v2 w1)− u3 (v3 w1 − v1 w3) ,

u3 (v2 w3 − v3 w2)− u1 (v1 w2 − v2 w1) , u1 (v3 w1 − v1 w3)− u2 (v2 w3 − v3 w2)] +

[w2 (u1 v2 − u2 v1)− w3 (u3 v1 − u1 v3) , w3 (u2 v3 − u3 v2)− w1 (u1 v2 − u2 v1) ,

w1 (u3 v1 − u1 v3)− w2 (u2 v3 − u3 v2)] + [v2 (w1 u2 − w2 u1)− v3 (w3 u1 − w1 u3) ,

v3 (w2 u3 − w3 u2)− v1 (w1 u2 − w2 u1) , v1 (w3 u1 − w1 u3)− v2 (w2 u3 − w3 u2)] = ~0.

3.1 Interpretacion Geometrica del producto vectorial.

Es posible ahora intentar una interpretacion geometrica del producto vectorial. Para tal fin, emplearemosel sistema coordenado ortonormal y a derechas mostrado en la figura 2, donde los vectores au, au⊥, k esademas un sistema a derechas. En este caso, puesto que el producto vectorial es bilineal, se tiene que

~a×~b = (| ~a | au)× (| ~b | bu)

Pero en terminos del sistema ortonormal y a derechas, formado por au, au⊥, k, las coordenadas de au, bu,estan dadas por

au = (1, 0, 0) bu = (Cos θ, Sen θ, 0)

de manera que

~a×~b = (| ~a | au)× (| ~b | bu) =| ~a || ~b | au × bu =| ~a || ~b | (1, 0, 0)× (Cos θ, Sen θ, 0)

= | ~a || ~b | Sen θ (0, 0, 1) =| ~a || ~b | Sen θ k (3)

Es pues posible indicar la interpretacion geometrica del producto vectorial. El producto vectorial dedos vectores ~a×~b es

3Como tarea pruebe este resultado de forma directa; es decir, mediante calculo directo.

7

Figure 4: Interpretacion Geometrica del Producto Vectorial.

1. Un vector de magnitud | ~a || ~b | Sen θ. Debe notarse que esta magnitud representa el area del

paralelogramo formado por los vectores ~a y ~b.

2. Perpendicular a ambos ~a y ~b.

3. En el sentido del dedo pulgar, cuando se aplica la regla de la mano derecha. Es decir, cuandousando la mano derecha, los dedos se enrollan de manera que se muevan del ~a al vector ~b, el dedopulgar indica el sentido del vector ~a×~b.

4 Triple Producto Escalar.

En esta seccion se analizara el significado geometrico del triple producto escalar. A partir de las defini-ciones del producto escalar y producto vectorial, el triple producto escalar de tres vectores ~u,~v, ~w ∈ R3

esta dado por

~u · (~v × ~w) = (u1, u2, u3) · [(v1, v2, v3)× (w1, w2, w3)]

= (u1, u2, u3) · (v2 w3 − v3 w2, v3 w1 − v1 w3, v1 w2 − v2 w1)

= u1 v2 w3 − u1 v3 w2 + u2 v3 w1 − u2 v1 w3 + u3 v1 w2 − u3 v2 w1 ∀~u,~v, ~w ∈ R3.

o empleando la interpretacion del producto vectorial como un determinante, se tiene que

~u · (~v × ~w) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

u1 u2 u3

v1 v2 v3w1 w2 w3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∀~u,~v, ~w ∈ R3.

A partir de estas definiciones es posible probar las siguientes propiedades del triple producto escalar.

1. Conmutatividad o simetrıa.

~u · (~v × ~w) = (~v × ~w) · ~u ∀~u,~v, ~w ∈ R3 (4)

2. Ciclicidad. En el apunte de determinantes se probara que el valor de un determinante no se alterasi se realiza un numero par de intercambios de columnas adyacentes, es decir

∣

∣

∣

∣

∣

∣

u1 u2 u3

v1 v2 v3w1 w2 w3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

w1 w2 w3

u1 u2 u3

v1 v2 v3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

v1 v2 v3w1 w2 w3

u1 u2 u3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Esta propiedad de los determinantes, en terminos del producto escalar, conduce a

~u · (~v × ~w) = ~w · (~u× ~v) = ~v · (~w × ~u) ∀~u,~v, ~w ∈ R3 (5)

A continuacion se presentara una interpretacion geometrica del triple producto escalar.

8

4.1 Interpretacion Geometrica del Triple Producto Escalar.

Considere los vectores ~a, ~b y ~c mostrados en la Figura 5 y considere el triple producto escalar dado por

(~a×~b) · ~c = ~c · (~a×~b)

Como se indico en la seccion 3.1, el producto vectorial ~a × ~b es un vector perpendicular al planoformado por los vectores ~a y ~b y cuya magnitud es igual a

| ~a×~b |=| ~a || ~b | sen θ

Debe notarse que la magnitud del producto vectorial es igual al area del paralelogramo cuyos lados estandados por los vectores ~a y ~b.

Figure 5: Interpretacion Geometrica del Triple Producto Escalar.

Por lo tanto, la magnitud del triple producto escalar esta dado por

(~a×~b) · ~c =| ~a×~b | | ~c | cos γ =| ~a×~b | | ~c | sen (90◦ − γ)

donde | ~c | sen (90◦ − γ) representa la altura del paralelepıpedo rectangulo formado por los vectores ~a, ~by ~c. Por lo tanto

(~a×~b) · ~c =| ~a || ~b | sen θ | ~c | sen (90◦ − γ)

representa el volumen del paralelepıpedo rectangulo formado por los vectores ~a, ~b y ~c. Debe notarse quesi el angulo, γ, entre los vectores ~a × ~b y ~c es mayor a 90◦, el seno del angulo 90◦ − γ es negativo, demanera que el valor del triple producto escalar es negativo. Sin embargo, el valor absoluto del tripleproducto escalar es siempre el volumen del paralelepıpedo rectangulo formado por los vectores ~a, ~b y ~c.

A partir de esta interpretacion, (~a×~b) · ~c = 0, si y solo si los vectores ~a, ~b y ~c son coplanares. Pues,

en este caso, el volumen del paralelepıpedo rectangulo formado por los vectores ~a, ~b y ~c es nulo.

5 Triple Producto Vectorial.

En esta seccion se mostrara como un triple producto vectorial puede representarse como la suma de dosvectores multiplicados por productos escalares. Considere los vectores ~a = (a1, a2, a3), ~b = (b1, b2, b3) y~c = (c1, c2, c3) y el triple producto vectorial

~c× (~a×~b) =

c2 (a1b2 − a2b1)− c3 (a3b1 − a1b3)c3 (a2b3 − a3b2)− c1 (a1b2 − a2b1)c1 (a3b1 − a1b3)− c2 (a2b3 − a3b2)

=

(c2b2 + c3b3) a1 + (−c2a2 − c3a3) b1(c3b3 + c1b1) a2 + (−c3a3 − c1a1) b2(c1b1 + c2b2) a3 + (−c1a1 − c2a2) b3

=

(c1 b1 + c2b2 + c3b3) a1 + (−a1 c1 − c2a2 − c3a3) b1(c2 b2 + c3b3 + c1b1) a2 + (−a2 c2 − c3a3 − c1a1) b2(c3 b3 + c1b1 + c2b2) a3 + (−a3 c3 − c1a1 − c2a2) b3

= ~a(~b · ~c)−~b(~a · ~c)

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A partir de esta identidad, es posible encontrar muchas otras, que pueden ser de utilidad. Por ejemplo,aprovechando la antisimetrıa del producto vectorial se tiene que

(~a×~b)× ~c = −[

~c× (~a×~b)]

= −[

~a(~b · ~c)−~b(~a · ~c)]

= ~b(~a · ~c)− ~a(~b · ~c)

5.1 Interpretacion geometrica de la identidad del triple producto vectorial.

En esta seccion se presentara una simple interpretacion geometrica del triple producto vectorial. Pri-meramente, es necesario notar que por la interpretacion geometrica del producto vectorial, el vectorrepresentado por el triple producto vectorial ~c× (~a×~b) es perpendicular al vector (~a×~b) y por lo tanto

~c× (~a×~b) esta contenido en el plano formado por los vectores ~a y ~b y es tambien perpendicular a ~c. Porlo tanto, el triple producto vectorial puede escribirse como

~c× (~a×~b) = λ1 ~a+ λ2~b.

y la tarea se reduce a determinar los escalares λ1 y λ2. Sin embargo, puesto que ~c×(~a×~b) es perpendiculara ~c, se tiene que

0 = ~c ·[

~c× (~a×~b)]

= ~c ·[

λ1 ~a+ λ2~b]

= λ1 ~c · ~a+ λ2 ~c ·~b

Figure 6: Interpretacion Geometrica del Triple Producto Vectorial, Vista en Perspectiva.

Por lo tanto, es necesario resolver la ecuacion

0 = λ1 ~c · ~a+ λ2 ~c ·~b (6)

Si de la ecuacion (6) se despeja λ1, se tiene que

λ1 = −λ2

~c ·~b~c · ~a = − λ2

~c · ~a ~c ·~b = −µ~c ·~b

donde µ = λ2

~c·~a es un numero arbitrario, pues λ2 lo es. Sustituyendo este resultado en la ecuacion (6) ydespejando λ2, se tiene que

0 = −µ (~c ·~b) (~c · ~a) + λ2 ~c ·~b o λ2 = µ~c · ~a

Por lo tanto, el triple producto vectorial puede escribirse como

~c× (~a×~b) = −µ (~c ·~b)~a+ µ(~c · ~a)~b = µ[

(~c · ~a)~b− (~c ·~b)~a]

10

Si se emplea un sistema coordenado cartesiano tal que

~a = a1 i ~b = b1 i+ b2 j ~c = c1 i+ c2 j + c3 k

Se tiene que

~c× (~a×~b) = (c1 i+ c2 j + c3 k)×[

a1 i× (b1 i+ b2 j)]

= (c1 i+ c2 j + c3 k)× (a1 b2 k)

= a1 b2 c2 i− a1 b2 c1 j (7)

Por otro lado

µ[

(~c · ~a)~b− (~c ·~b)~a]

= µ[

c1 a1~b− (c1 b1 + c2 b2)~a]

= µ[

c1 a1 (b1 i+ b2 j)− (c1 b1 + c2 b2) a1i]

= µ[

−a1 b2 c2 i+ a1 b2 c1j]

(8)

Comparando las ecuaciones (7) y (8), se tiene que

a1 b2 c2 i− a1 b2 c1 j = µ[

−a1 b2 c2 i+ a1 b2 c1j]

Por lo tanto, se tiene que

a1 b2 c2 = −µa1 b2 c2 − a1 b2 c1 = µa1 b2 c1

Por lo tanto, la unica solucion consistente para este sistema de dos ecuaciones en una unica incognita µ

es igual aµ = −1.

Por lo tanto, finalmente

~c× (~a×~b) = λ1 ~a+ λ2~b = (~c ·~b)~a− (~c · ~a)~b = ~a (~b · ~c)−~b(~a · ~c)

Este resultado presenta una interpretacion geometrica de la identidad del triple producto vectorial.

6 Ejemplos Resueltos.

Ejemplo 1. Considere los siguientes dos vectores en R3

~p =[

1 2 −3]

~q =[

4 1 2]

Determine su producto escalar, ¿ son perpendiculares? Y su producto vectorial ~p× ~q.Solucion: Para el producto escalar considere

~p · ~q =[

1 2 −3]

·[

4 1 2]

= (1)(4) + (2)(1) + (−3)(2) = 0.

Puesto que el producto escalar es cero, los vectores ~p y ~q son perpendiculares.Para el producto vectorial, existen dos posibles procedimientos. El primer procedimiento implica el

uso de un determinante de tercer orden

~p× ~q =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

1 2 −34 1 2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= i (4 + 3) + j (−12− 2) + k (1− 8) =[

7 i− 14 j − 7 k]

=[

7 −14 −7]

El segundo procedimiento implica la regla de la multiplicacion de los vectores unitarios

~p× ~q =[

1 2 −3]

×[

4 1 2]

=[

1 i+ 2 j − 3 k]

×[

4 i+ 1 j + 2 k]

=[

(1)(1) k − (1)(2) j − (2)(4) k + (2)(2) i+ (−3)(4) j − (−3)(1) i)

=(

7 i− 14 j − 7 k)

=[

7 −14 −7]

11

Ejemplo 2. Considere los siguientes dos vectores en R2

~p =[

1 2]

~q =[

4 1]

Determine su producto escalar, ¿ Cual es el angulo entre los vectores ~p y ~q?, ¿Cual es la proyeccion delvector ~p sobre el vector ~q. Determine el area del paralelogramo definido por los vectores ~p y ~q.

Solucion: Para el producto escalar considere

~p · ~q =[

1 2]

·[

4 1]

= (1)(4) + (2)(1) = 6.

La magnitud de los vectores ~p y ~q esta dada por

| ~p |=√

~p · ~p =√

[

1 2]

·[

1 2]

=√5 | ~q |=

√

~q · ~q =√

[

4 1]

·[

4 1]

=√17

Por lo tanto

θ = Cos−1~p · ~q

| ~p | | ~q | = Cos−16√

5√17

= 49.3987◦

El vector unitario en la direccion del vector ~q

q =~q

| ~q | =[

4 1]

√17

=[

4√17

1√17

]

Entonces, la proyeccion del vector ~p sobre el vector ~q esta dada por

~p · q =[

1 2]

·[

4√17

1√17

]

=6√17

= 1.4552

Este mismo resultado, sin consideracion del signo puede calcularse como

~p · q =| ~p | Cos θ =√5Cos 49.3987◦ = 1.4552

Figure 7: Interpretacion Grafica del Ejemplo 2.

Para el paralelogramo generado por los vectores ~p y ~q, considere el producto vectorial ~p × ~q en R3

dado por

~p× ~q =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

1 2 04 1 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= i (0 + 0) + j (0 + 0) + k (1− 8) = −7 k.

12

El signo menos indica que el producto vectorial es negativo pues su direccion es en la direccion negativadel eje Z. La magnitud, que es el area del paralelogramo, puede explicarse a partir de la figura 7, de lasiguiente manera

A = | ~p | Sen θ | ~q |=| ~p |√

1− Cos2 θ | ~q |=√5

√

1−(

6√5√17

)2 √17

=

√

(√5√17)2

− 62 =√85− 36 =

√49 = 7

Ejemplo 3. Considere los siguientes tres vectores en R3

~p =[

2 3 −3]

~q =[

2 1 4]

~r =[

1 3 −2]

Determine el volumen del paralelepıpedo rectangulo generado por los tres vectores.Solucion. Considere el triple producto escalar de los tres vectores

~r · (~p× ~q) =[

1 2 −3]

·([

2 3 −3]

×[

2 1 4])

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 3 −22 3 −32 1 4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 12− 18− 4 + 12 + 3− 24 = −19.

El valor absoluto de este producto es el volumen del paralelepıpedo rectangulo generado por los tresvectores.

Ejemplo 4. Considere los siguientes tres vectores en R3

~a =[

1 2 1]

~b =[

3 −2 5]

~c =[

1 −1 2]

1. Determine el producto vectorial de los vectores ~a × ~b y demuestre, empleando Geogebra, que sumagnitud es el area del paralelogramo formado por los vectores ~0,~a,~a+~b,~b

2. Determine el angulo entre los vectores ~c y el producto vectorial ~a ×~b y verifique que el resultadocorresponde con el obtenido en Geogebra.

3. Determine el triple producto escalar ~c·(~a×~b) y verifique, empleando Geogebra, que el valor absolutode este triple producto escalar es el volumen del paralelepıpedo rectangulo generado a partir de losvectores ~a, ~b y ~c.

Solucion. La determinacion del producto vectorial ~a×~b esta dada por

~a×~b =[

1 2 1]

×[

3 −2 5]

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

1 2 13 −2 5

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=[

12 −2 −8]

.

La Figura 8 muestra y verifica el calculo del producto vectorial ~a×~b, vea el resultado del vector axbmostrado en la parte derecha de la pantalla.

La magnitud del producto vectorial ~a×~b esta dado por∣

∣

∣~a×~b

∣

∣

∣=

√

122 + (−2)2 + (−8)2 =√212 = 14.5602

La Figura 9 muestra y verifica el calculo de la magnitud del producto vectorial ~a×~b, vea el resultadoMagnitudaxb = 14.6802, mostrado en la parte derecha de la pantalla. Note, ademas, que este resultado

13

Figure 8: Determinacion del Producto Vectorial de los vectores ~a×~b.

Figure 9: Comprobacion de que la Magnitud del Vector ~a×~b es el Area del Paralelogramo Asociado conlos Vectores ~a y ~b.

14

corresponde al area del paralelogramo —sombreado— asociado con los vectores ~a y ~b, vea el resultadoPoligonoFormadoPorAyB = 14.6802, mostrado, igualmente, en la parte derecha de la pantalla.

A continuacion se determinara el angulo entre el vector ~c y el vector ~a×~b. Se sabe que∣

∣

∣~a×~b

∣

∣

∣=

√

122 + (−2)2 + (−8)2 =√212 |~c| =

√

12 + (−1)2 + 22 =√6

Por otro lado~c ·

(

~a×~b)

=[

1 −1 2]

·[

12 −2 −8]

= 12 + 2 +−16 = −2

Por lo tanto, de la interpretacion geometrica del producto escalar, se tiene que

Cos θ =~c ·

(

~a×~b)

∣

∣

∣~a×~b

∣

∣

∣|~c|

=−2√212

√6= −0.0560772

y el angulo θ entre los vectores ~c y ~a×~b esta dado por

θ = Cos−1 (−0.0560772) = 93.2146◦

Figure 10: Calculo del Angulo Entre los Vectores ~a×~b y el Vector ~c.

Este resultado puede verificarse mediante la Figura 10, que muestra que, en la parte derecha de lapantalla, AnguloEntreAxByC = 93.2147◦. Ademas este resultado muestra que los vectores ~c y ~a×~b

estan localizados en semiespacios opuestos, donde el plano formado por los vectores ~a y ~b es el que separalos semiespacios, vea tambien la Figura 12.

Para calcular la componente del vector ~c en la direccion del vector ~a×~b, es necesario determinar unvector unitario en la direccion del vector ~a×~b. Este vector esta dado por

u~a×~b

=~a×~b∣

∣

∣~a×~b

∣

∣

∣

=

[

12 −2 −8]

√212

=[

0.8241 −0.1373 −0.5494]

15

Figure 11: Calculo de la Componente del Vector ~c en la Direccion del vector ~a×~b.

Este resultado puede verificarse mediante la Figura 11, que muestra que, en la parte derecha de la pantalla,axbUNITARIO, que el vector unitario esta dado por

axbUNITARIO =

0.8242−0.1374−0.5494

Los errores, mınimos, ocurren en la cuarta cifra significativa. A partir de este resultado puede obtenersela componente del vector ~c en la direccion del vector ~a×~b como

c~a×~b

= ~c · u~a×~b

=[

1 −1 2]

·[

0.8241 −0.1373 −0.5494]

= −0.1374.

Este resultado puede igualmente verificarse en las Figuras 11 o 12, que en su parte derecha indica queComDecalolargoaxb = −0.1374. Debe notarse que este resultado es igualmente la altura del parale-lepıpedo rectangulo cuya base esta formada por el paralelogramo asociado a los vectores ~a y ~b.

Finalmente, el volumen del paralelepıpedo rectangulo asociado a los vectores ~a, ~b y ~c esta dado por

~c ·(

~a×~b)

==

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −1 21 2 13 −2 5

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 10− 3− 4− 12 + 2 + 5 = −2

Este resultado puede verificarse tanto en la Figura 11 como en la Figura 12, que en su parte derecha indicaque TRIPLEPRODESCcab = −2. De igual manera este resultado puede volverse a verificar como elvolumen del paralelepıpedo rectangulo notando que debe ser el producto del area del paralelogramoasociado a los vectores ~a y ~b por la altura del paralelepıpedo rectangulo; es decir

(PoligonoFormadoPorAyB) (ComDecalolargoaxb) = (14.5602)(−0.1374) = −2.0005

Nuevamente, el error aparece en la quinta cifra significativa. Debe notarse que en la Figura 12, el areadel polıgono aparece como poly1.

16

Figure 12: Determinacion del Volumen del Paralelepıpedo Rectangulo Asociado a los Vectores ~a, ~b y ~c.

7 Ejemplos Propuestos.

Problema 1. Para los siguientes ejercicios use los siguientes vectores, de R3.

~p =[

1 2 0]

~q =[

−2 1 0]

~r =[

−3 5 2]

~s =[

2 2 −2]

.

1. Determine que parejas de vectores de entre ~p, ~q, ~r y ~s son perpendiculares.

2. Encuentre el angulo entre las siguiente parejas de vectores (~p, ~r), (~p,~s), (~q, ~r) y (~q,~s).

3. Determine las magnitudes de los vectores ~p, ~q, ~r. Determine vectores unitarios en la direccion ysentido que los vectores ~p, ~q, ~r.

4. Determine el area del paralelogramo definido por las siguientes parejas de vectores que se suponetienen origen comun en un punto, que puede considerarse el origen, (~p, ~q), (~p,~s), (~q, ~r).

5. Calcule el volumen del paralelepido rectangulo formado por las siguientes tercetas de vectores quese suponen tienen un origen comun, (~p, ~q, ~r) y (~p, ~q, ~s), (~p, ~r, ~s).

6. Determine los siguientes triple productos vectoriales ~p× (~q × ~s) y ~r × (~q × ~p)

Problema 2. Para los siguientes ejercicios use los siguientes vectores, de R3.

~p =[

−1 5 3]

~q =[

2 3 −2]

~r =[

−1 3 5]

~s =[

1 −1 2]

.

1. Determine que parejas de vectores de entre ~p, ~q, ~r y ~s son perpendiculares.

2. Encuentre el angulo entre las siguiente parejas de vectores (~p, ~r), (~p,~s), (~q, ~r) y (~q,~s).

3. Determine las magnitudes de los vectores ~p, ~q, ~r. Determine vectores unitarios en la direccion ysentido que los vectores ~p, ~q, ~r.

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4. Determine el area del paralelogramo definido por las siguientes parejas de vectores que se suponetienen origen comun en un punto, que puede considerarse el origen, (~p, ~q), (~p,~s), (~q, ~r).

5. Calcule el volumen del paralelepido rectangulo formado por las siguientes tercetas de vectores quese suponen tienen un origen comun, (~p, ~q, ~r) y (~p, ~q, ~s), (~p, ~r, ~s).

6. Determine los siguientes triple productos vectoriales ~p× (~q × ~s) y ~r × (~q × ~p)

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