CAPITULO IICAPITULO III.- I.- MOMENTO DE UNA FUERZA Y MOMENTO DE UNA FUERZA Y MOMENTO DE UN PAR DE FUERZAS.MOMENTO DE UN PAR DE FUERZAS.

Producto vectorial, escalar y triple producto. Momento de una fuerza respecto a un punto. Teorema de Varignon. Componentes rectangulares del momento de una

fuerza. Momentos de una fuerza respecto a un eje dado. Definición de un par de fuerzas. Momento de un par. Pares equivalentes y suma de pares. Descomposición de una fuerza dada en una fuerza y

un par. Sistema equivalente de fuerzas. Análisis y solución de problemas.

Producto vectorial

El PRODUCTO VECTORIAL también llamado PRODUCTO CRUZ de dos vectores A y B da por resultado el vector C, que se escribe:

A

B

C

BAC

Se lee: “C igual a A cruz B

SenABC Magnitud del vector C = Angulo formado entre A y B

0º 180º

DIRECCIÓN. El vector C tiene una dirección que es perpendicular al plano que contiene los dos vectores A y B, de tal manera que A, B y C formen un sistema derecho. El SENTIDO de C se especifica por la regla de la mano derecha, doblando los dedos de la mano derecha desde el vector A (cruz) hacia el vector B. El pulgar apunta entonces en la dirección de C, como indica la Figura.

Conociendo tanto la magnitud como la dirección de C, podemos escribir:

CC )SenAB(CBAC

Donde el escalar AB sen define la magnitud de C y el vector unitario Uc define la dirección de C.

C

C

Si el producto vectorial , entonces:

0BA

0C)SenAB(

Como A 0 y B 0 , es necesario que Sen = 0, así que = 0° o = 180°. Esto sucede si A es paralelo a B.De manera semejante:

A

B

0)A(AAA

Leyes de operación del Producto Vectorial

1.- La ley conmutativa no es válida, es decir:

ABBA

ABBA

Pero:

3.- La ley distributiva:

2.- Multiplicación por un escalar:

m)BA()Bm(AB)Am()BA(m

)DA()BA()DB(A

Formulación vectorial cartesiana

Para determinar el producto cruz de cada uno de los vectores unitarios cartesianos hacemos uso de la ecuación:

C)SenAB(BAC

1 )90º(Sen)1)(1(ji Magnitud de i j

La dirección la determinamos usando la regla de la mano derecha, como se observa en la figura siguiente:

kji

jik

ikj

kji

De la misma forma se tiene:

ijk

kij

jki

0

0

0

kk

jj

ii

i

j k

i

j k

Consideremos ahora el producto cruz de dos vectores cualesquiera:

kAjAiAA zyx

BAC

kBjBiBB zyx

)kBjBiB()kAjAiA(BAC zyxzyx

)ki(BA)ji(BA)ii(BAC zxyxxx

)kj(BA)jj(BA)ij(BA zyyyxy

)kk(BA)jk(BA)ik(BA zzyzxz

)ki(BA)ji(BAC zxyx

)kj(BA)ij(BA zyxy

)jk(BA)ik(BA yzxz

iBAjBAiBAkBAjBAkBAC yzxzzyxyzxyx

i

j k

k)BABA(j)BABA(i)BABA(C xyyxxzzxyzzy

Esta ecuación puede escribirse de manera más compacta como:

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

BAC

DETERMINANTE DE 3X3DETERMINANTE DE 3X3

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

)BA(C

yxzyx

yxzyx

BBBBB

AAAAA

jikji

(+)(-)i)BA(C zy

j)BA( xz k)BA( yx

j)BA( zx i)BA( yz k)BA( xy

k)BABA(j)BABA(i)BABA()AB(C xyyxxzzxyzzy

DETERMINANTE DE 3X3DETERMINANTE DE 3X3

DETERMINANTE DE 3X3DETERMINANTE DE 3X3

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

)BA(

iBB

AA)BA(

zy

zy

jBB

AA

zx

zx kBB

AA

yx

yx

+ +–

+– +– +–k)BABA(j)BABA(i)BABA()BA( xyyxxzzxyzzy

Producto EscalarEl PRODUCTO ESCALAR también llamado PRODUCTO PUNTO de dos vectores A y B, se escribe:A

B

Se define como el producto de la magnitud de los vectores A y B por el coseno del ángulo entre ellos. Expresado en forma de ecuación

BA

Se lee: A punto B

CosABBA

180º0º

90º0CosABBASi

Lo anterior indica que el producto escalar de vectores perpendiculares es igual a cero.

Considerando vectores unitarios tenemos:

1kkjjii CosABBA

0jkikkjijkiji

Leyes de operación del Producto Escalar

1.- Ley Conmutativa. ABBA

2.- Multiplicación por un escalar:

m)BA()Bm(AB)Am()BA(m

3.- Ley Distributiva. )DA()BA()DB(A

Producto Escalar de dos vectores A y B

)kBjBiB()kAjAiA(BA zyxzyx

zzyyxx BABABABA

Aplicaciones del Aplicaciones del Producto Producto EscalarEscalar1.- Calcular el ángulo formado entre dos vectores o rectas que se intersecan.

CosABBA

ABBA

Cos

1 180º0º

B

A

2.- Calcular la proyección de un vector a lo largo de un eje.

apˆACosAA

ap

ˆCosAA

a

aaapˆ)ˆA(ˆ)CosA(A

k4i3A

k4j4i2B

BA

ABBA

Cos

1

5)4(3A 22

6)4(42B 222

)6)(5(

)k4j4i2()k4i3(Cos 1

30

166Cos 1

º8.42

Aplicaciones del Aplicaciones del Producto Producto EscalarEscalar

A PA

ABABpˆ)ˆA(A

AB

ABˆAB

222AB

)4(42

k4j4i2ˆ

k3

2j

3

2i

3

1ˆAB

k4i3A

AB32

32

31

pˆ))kji()k4i3((A

)kji)(1(A 32

32

31

38

p

kjiA 922

922

911

p

2

9222

9222

911

pA

m6667.3Ap

Aplicaciones del Aplicaciones del Producto Producto EscalarEscalar

Triple producto

zyx

zyx

zyx

CCC

BBB

AAA

)CB(A

xzy

zy ACC

BB)CB(A

y

zx

zx ACC

BB z

yx

yxA

CC

BB

+ +–

+– +– +–zxyyxyxzzxxyzzy A)CBCB(A)CBCB(A)CBCB()CB(A