1

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO

(PRODUCTOS ESCALAR, VECTORIAL Y MIXTO)

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

El producto escalar de dos vectores �⃗⃗� y �⃗⃗� es un número real , que se obtiene

multiplicando los módulos de los dos vectores por el coseno del ángulo que forman , y se

escribe �⃗⃗� ∘ �⃗⃗�

�⃗⃗� ∘ �⃗⃗� = |�⃗⃗� | · |�⃗⃗� | · 𝒄𝒐𝒔𝜶 número real

La interpretación geométrica del producto escalar plantea que: el producto escalar de dos

vectores �⃗⃗� y �⃗⃗� , es también igual al producto de cualquiera de los dos vectores, por la

proyección del otro sobre él.

𝑐𝑜𝑠 𝛼 =𝑂𝐴′

|�⃗� | → 𝑂𝐴′ = |�⃗� | · 𝑐𝑜𝑠 𝛼

�⃗⃗� ∘ �⃗⃗� = |�⃗⃗� | · |�⃗⃗� | · 𝒄𝒐𝒔𝜶 = |�⃗⃗� | · 𝑶𝑨′

𝑶𝑨′ es la proyeccción del vector �⃗⃗� sobre �⃗⃗�

A partir de las coordenadas de los vectores �⃗⃗� y �⃗⃗� , la expresión analítica del producto

escalar es:

{ �⃗⃗� (𝒗𝟏, 𝒗𝟐, 𝒗𝟑)

�⃗⃗� (𝒖𝟏, 𝒖𝟐, 𝒖𝟑) ⟹ �⃗⃗� ∘ �⃗⃗� = 𝒗𝟏 · 𝒖𝟏 + 𝒗𝟐 · 𝒖𝟐 + 𝒗𝟑 · 𝒖𝟑

Las principales consecuencias de la definición de producto escalar son:

1) El módulo de un vector, es igual a la raíz cuadrada del producto escalar del vector por sí mismo.

𝑣 (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) ⟹ 𝑣 ∘ 𝑣 = |𝑣 | · |𝑣 | · cos 0° = |𝑣 |2 ⟹ |�⃗⃗� | = √�⃗⃗� ∘ �⃗⃗�

2

La expresión analítica del módulo de un vector, es la siguiente:

|𝑣 | = √𝑣 ∘ 𝑣 = √𝑣1 · 𝑣1 + 𝑣2 · 𝑣2 + 𝑣3 · 𝑣3 = √𝑣12+ 𝑣2

2 + 𝑣32

|�⃗⃗� | = √𝒗𝟏𝟐+ 𝒗𝟐

𝟐 + 𝒗𝟑𝟐

Ejemplo. Calcular el módulo del vector �⃗⃗� (𝟑, −𝟏, 𝟓) .

|�⃗⃗� | = √𝟑𝟐 + (−𝟏)𝟐 + 𝟓𝟐 = √𝟑𝟓 ≃ 𝟓′𝟗𝟐 𝒖

2) El producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero.

𝑆𝑖 𝑣 ⊥ �⃗� ⟹ 𝑣⃗⃗⃗ ∘ �⃗� = |𝑣 | · |�⃗� | · cos 90° = |𝑣 | · |�⃗� | · 0 = 0

𝑺𝒊 �⃗⃗� ⊥ �⃗⃗� ⟹ 𝒗⃗⃗ ⃗ ∘ �⃗⃗� = 𝟎 ⟹ 𝒗𝟏 · 𝒖𝟏 + 𝒗𝟐 · 𝒖𝟐 + 𝒗𝟑 · 𝒖𝟑 = 𝟎

3) Cálculo del ángulo que forman dos vectores.

𝑣 ∘ �⃗� = |𝑣 | · |�⃗� | · 𝑐𝑜𝑠𝛼 ⟹ 𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝑣 ∘ �⃗�

|𝑣 | · |�⃗� |

𝑆𝑖 { 𝑣 (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3)

�⃗� (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) ⟹ 𝒄𝒐𝒔𝜶 =

𝒗𝟏 · 𝒖𝟏 + 𝒗𝟐 · 𝒖𝟐 + 𝒗𝟑 · 𝒖𝟑

√𝒗𝟏𝟐+ 𝒗𝟐

𝟐 + 𝒗𝟑𝟐 · √𝒖𝟏

𝟐+ 𝒖𝟐𝟐 + 𝒖𝟑

𝟐

Ejemplo. Calcular el ángulo que forman los vectores �⃗⃗� (−𝟐,−𝟏, 𝟒) 𝒚 �⃗⃗� (𝟒, −𝟑, 𝟓)

𝒄𝒐𝒔𝜶 =(−𝟐) · 𝟒 + (−𝟏) · (−𝟑) + 𝟒 · 𝟓

√(−𝟐)𝟐 + (−𝟏)𝟐 + 𝟒𝟐 · √𝟒𝟐 + (−𝟑)𝟐 + 𝟓𝟐=−𝟖 + 𝟑 + 𝟐𝟎

√𝟐𝟏√𝟓𝟎=

𝟏𝟓

√𝟏𝟎𝟓𝟎= 𝟎′𝟒𝟔𝟑

𝜶 = 𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒔(𝟎′𝟒𝟔𝟑) = 𝟔𝟐′𝟒𝟐°

3

ECUACIÓN DE LA RECTA COMO PRODUCTO ESCALAR. (VECTOR NORMAL A UN PLANO)

Sea un plano (𝝅) . Si trazamos una recta

perpendicular al plano y que pase por el

origen de coordenadas 𝑶, el punto 𝑨

será el punto de intersección de la recta y

el plano.

Sea �⃗⃗� (𝒂, 𝒃, 𝒄) un vector perpendicular al

plano y 𝜹 la distancia del origen de

coordenadas al plano (𝝅), 𝜹 = 𝑶𝑨

El vector que une el punto 𝑨 con un

punto generico del plano 𝑿(𝒙, 𝒚, 𝒛) , es

decir, el vector 𝑨𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , es perpendicular al

vector �⃗⃗� (𝒂, 𝒃, 𝒄) y por lo tanto, su producto escalar es cero. 𝑨𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ �⃗⃗� ⟹ 𝑨𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∘ �⃗⃗� = 𝟎

Como 𝑶𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛)

�⃗⃗� (𝒂, 𝒃, 𝒄) ⟹ 𝑶𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∘ �⃗⃗� = 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛

Como 𝜹 es la proyección del vector 𝑶𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sobre la dirección de �⃗⃗� , aplicando la interpretación

geométrica del producto escalar, tenemos:

𝑶𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∘ �⃗⃗� = |�⃗⃗� | · 𝜹 = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 · 𝜹

Igualando ambas expresiones :

𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 · 𝜹 ⟹ 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 − √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 · 𝜹 = 𝟎

Llamando 𝒅 = −√𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 · 𝜹 , queda ⟹ 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎

ecuación general del plano

Al vector �⃗⃗� (𝒂, 𝒃, 𝒄) se le llama vector asociado al plano o vector normal

4

Al ser 𝒅 = −√𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 · 𝜹 se puede despejar el valor de 𝜹.

𝜹 = 𝒅(𝑶, (𝝅)) = |−𝒅

√𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐|

distancia del origen de coordenadas al plano

Ejemplo. Hallar la ecuación de la recta (𝒓) , perpendicular al plano (𝝅) ≡ 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝒛 − 𝟒 = 𝟎

y que pasa por el punto 𝑷(𝟏,−𝟑, 𝟒).

El plano (𝝅) ≡ 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝒛 − 𝟒 = 𝟎

tiene a �⃗⃗� (𝟐,−𝟑, 𝟏) como vector

asociado.

Como la recta (𝒓) es perpendicular

al plano (𝝅) , nos sirve como vector

director de la recta, el vector

asociado al plano. Por lo tanto, la

determinación lineal de la recta

será:

(𝒓) (�⃗⃗� , 𝑷) ⟹ (𝒓)(�⃗⃗� , 𝑷)

(𝒓) 𝒙 − 𝟏

𝟐=𝒚 + 𝟑

−𝟑=𝒛 − 𝟒

𝟏

Ejemplo. Hallar la ecuación del plano (𝝅), que es perpendicular a la recta (𝒓) {𝒙 = −𝟐 + 𝟑𝒕𝒚 = 𝟏 + 𝟐𝒕 𝒛 = 𝟒 − 𝒕

y que contiene al punto 𝑷(−𝟐, 𝟓,−𝟏).

Como la recta es perpendicular al plano, su vector director �⃗⃗� , sirve como vector asociado al

plano.

(𝒓) {𝒙 = −𝟐 + 𝟑𝒕𝒚 = 𝟏 + 𝟐𝒕 𝒛 = 𝟒 − 𝒕

⟹ �⃗⃗� (𝟑, 𝟐, −𝟏)

El vector asociado al plano será por lo tanto ⟹ �⃗⃗� (𝟑, 𝟐, −𝟏)

5

La ecuación general del plano es:

(𝝅) ≡ 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎

Al introducir las coordenadas del

vector asociado quedará:

(𝝅) ≡ 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 + 𝒅 = 𝟎

Como el punto 𝑷 pertenece al plano,

verificará su ecuación:

𝟑 · (−𝟐) + 𝟐 · 𝟓 − (−𝟏) + 𝒅 = 𝟎 ⟹ −𝟔 + 𝟏𝟎 + 𝟏 + 𝒅 = 𝟎 ⟹ 𝟓 + 𝒅 = 𝟎 ⟹ 𝒅 = −𝟓

Por lo tanto, la ecuación del plano quedará ⟹ 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 − 𝟓 = 𝟎

CONDICIONES DE PERPENDICULARIDAD

RECTA - RECTA

Si dos rectas (𝒓) y (𝒔) son perpendiculares,

sus vectores directores también lo serán y

por lo tanto su producto escalar valdrá cero.

(𝒓) ⊥ (𝒔) ⟹ �⃗⃗� ⊥ �⃗⃗�

(𝒓) {

𝒙 = 𝒂𝟏 + 𝒗𝟏𝒕 𝒚 = 𝒂𝟐 + 𝒗𝟐𝒕 𝒛 = 𝒂𝟑 + 𝒗𝟑𝒕

⟹ �⃗⃗� (𝒗𝟏, 𝒗𝟐, 𝒗𝟑)

(𝒔) {

𝒙 = 𝒃𝟏 + 𝒖𝟏𝒔𝒚 = 𝒃𝟐 + 𝒖𝟐𝒔𝒛 = 𝒃𝟑 + 𝒖𝟑𝒔

⟹ �⃗⃗� (𝒖𝟏, 𝒖𝟐, 𝒖𝟑)

�⃗⃗� ⊥ �⃗⃗� ⟹ 𝒗⃗⃗ ⃗ ∘ �⃗⃗� = 𝟎 ⟹ 𝒗𝟏 · 𝒖𝟏 + 𝒗𝟐 · 𝒖𝟐 + 𝒗𝟑 · 𝒖𝟑 = 𝟎

6

RECTA-PLANO

Si una recta (𝒓) y un plano (𝝅) son

perpendiculares, el vector director de la

recta y el vector asociado al plano son

paralelos y por lo tanto sus coordenadas

son proporcionales.

(𝒓) ⊥ (𝝅) ⟹ �⃗⃗� ∥ �⃗⃗�

(𝒓) {

𝒙 = 𝒂𝟏 + 𝒗𝟏𝒕 𝒚 = 𝒂𝟐 + 𝒗𝟐𝒕 𝒛 = 𝒂𝟑 + 𝒗𝟑𝒕

⟹ �⃗⃗� (𝒗𝟏, 𝒗𝟐, 𝒗𝟑)

(𝝅) 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎 ⟹ �⃗⃗� (𝒂, 𝒃, 𝒄)

(𝒓) ⊥ (𝝅) ⟹ �⃗⃗� ∥ �⃗⃗� ⟹ 𝒗𝟏𝒂=𝒗𝟐𝒃=𝒗𝟑𝒄

PLANO-PLANO

Si dos planos (𝝅𝟏) y (𝝅𝟐) son

perpendiculares, sus vectores asociados

también lo serán y por lo tanto su

producto escalar valdrá cero.

(𝝅𝟏) ⊥ (𝝅𝟐) ⟹ �⃗⃗� 𝟏 ⊥ �⃗⃗� 𝟐

(𝝅𝟏) 𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏𝒚 + 𝒄𝟏𝒛 + 𝒅𝟏 = 𝟎(𝝅𝟐) 𝒂𝟐𝒙 + 𝒃𝟐𝒚 + 𝒄𝟐𝒛 + 𝒅𝟐 = 𝟎

(𝝅𝟏) ⟹ �⃗⃗� 𝟏(𝒂𝟏, 𝒃𝟏, 𝒄𝟏)

(𝝅𝟐) ⟹ �⃗⃗� 𝟐(𝒂𝟐, 𝒃𝟐, 𝒄𝟐)

(𝝅𝟏) ⊥ (𝝅𝟐) ⟹ �⃗⃗� 𝟏 ⊥ �⃗⃗� 𝟐 ⟹ 𝒂𝟏 · 𝒂𝟐 + 𝒃𝟏 · 𝒃𝟐 + 𝒄𝟏 · 𝒄𝟐 = 𝟎

Comentado [WU1]: Cambiar subíndices en el dibujo

7

CÁLCULO DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y CORTA

PERPENDICULARMENTE A OTRA.

Ejemplo. Dada la recta (𝒓) y el punto 𝑷(𝟏, 𝟐, 𝟏) , calcular la ecuación de la recta (𝒔) que pasa

por el punto 𝑷 y corta perpendicularmente a la recta (𝒓).

(𝒓) 𝒙 + 𝟏

𝟏=𝒚 − 𝟐

𝟏=𝒛 − 𝟑

𝟒

Pasando la recta (𝒓) a paramétricas tenemos:

(𝒓) {𝒙 = −𝟏 + 𝒕𝒚 = 𝟐 + 𝒕𝒛 = 𝟑 + 𝟒𝒕

El punto 𝑸 es el punto de corte de las

rectas (𝒓) 𝒚 (𝒔) , y como pertenece a la

recta (𝒓) , tendrá la forma que tienen

todos los puntos de esa recta, es decir:

𝑸(−𝟏 + 𝒕 , 𝟐 + 𝒕 , 𝟑 + 𝟒𝒕)

El vector 𝑷𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ es un vector director de la recta (𝒔) y sus coordenadas son las siguientes:

𝑷𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑸 − 𝑷 = (−𝟏 + 𝒕 , 𝟐 + 𝒕 , 𝟑 + 𝟒𝒕) − (𝟏, 𝟐, 𝟏) = (−𝟐 + 𝒕 , 𝒕 , 𝟐 + 𝟒𝒕)

Como las rectas (𝒓) 𝐲 (𝒔) son perpendiculares, sus vectores directores también lo serán

y por lo tanto, su producto escalar valdrá cero.

(𝒓) ⊥ (𝒔) ⟹ 𝑷𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ �⃗⃗� ⟹ 𝑷𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∘ �⃗⃗� = 𝟎

𝑷𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∘ �⃗⃗� = 𝟎 ⟹ (−𝟐 + 𝒕) · 𝟏 + 𝒕 · 𝟏 + (𝟐 + 𝟒𝒕) · 𝟒 = 𝟎 ⟹ −𝟐 + 𝒕 + 𝒕 + 𝟖 + 𝟏𝟔𝒕 = 𝟎 ⟹ 𝒕 = −𝟏

𝟑

El vector director de la recta (𝒔) es 𝑷𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (−𝟐 − 𝟏 𝟑⁄ , −𝟏𝟑⁄ , 𝟐 + 𝟒 (−𝟏 𝟑⁄ ))

Operando y simplificando tenemos que : 𝑷𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (−𝟕 𝟑⁄ , −𝟏 𝟑⁄ , 𝟐 𝟑⁄ ) ⟹ 𝑷𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (−𝟕,−𝟏, 𝟐)

(𝒔) (𝑷,𝑷𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⟹ 𝒙 − 𝟏

−𝟕=𝒚 − 𝟐

−𝟏=𝒛 − 𝟏

𝟐

8

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES

El producto vectorial de dos vectores libres �⃗⃗� y �⃗⃗� es otro vector, que se designa por �⃗⃗� ×

�⃗⃗� o también por �⃗⃗� ∧ �⃗⃗� y que tiene las siguientes características:

1) Módulo: Se calcula multiplicando los módulos de ambos vectores por el seno del ángulo

que forman.

|�⃗⃗� × �⃗⃗� | = |�⃗⃗� | · |�⃗⃗� | · 𝒔𝒆𝒏 𝜶

2) Dirección: Es la de la perpendicular al plano que forman los dos vectores �⃗⃗� y �⃗⃗� .

3) Sentido: El del avance de un sacacorchos que gira del vector �⃗⃗� al �⃗⃗� , es decir, del primero

de los vectores hacia el segundo .

Al analizar geométricamente el producto vectorial se puede comprobar, que el módulo es

igual al área del paralelogramo que tiene por lados los propios vectores.

𝒔𝒆𝒏 𝜶 = 𝒉 |�⃗⃗� |⁄ ⟹ 𝒉 = |�⃗⃗� | · 𝒔𝒆𝒏𝜶

|�⃗⃗� × �⃗⃗� | = |�⃗⃗� | · |�⃗⃗� | · 𝒔𝒆𝒏 𝜶 = |�⃗⃗� | · 𝒉 = 𝑺

|�⃗⃗� × �⃗⃗� | = 𝑺

9

El módulo del producto

vectorial, es igual al área

del paralelogramo que

forman los vectores

|�⃗⃗� × �⃗⃗� | = 𝑺

Al expresar los vectores �⃗⃗� y �⃗⃗� en función de sus coordenadas (expresión analítica), se tiene

que las coordenadas del vector producto vectorial son:

�⃗⃗� (𝒗𝟏, 𝒗𝟐, 𝒗𝟑)

�⃗⃗� (𝒖𝟏, 𝒖𝟐, 𝒖𝟑) ⟹ �⃗⃗� × �⃗⃗� = (|

𝒗𝟐 𝒗𝟑𝒖𝟐 𝒖𝟑

| , − |𝒗𝟏 𝒗𝟑𝒖𝟏 𝒖𝟑

| , |𝒗𝟏 𝒗𝟐𝒖𝟏 𝒖𝟐

|)

Ejemplo. Calcular el área del triángulo de vértices 𝑨(𝟏, 𝟐,−𝟏), 𝑩(𝟑, 𝟒, 𝟎) 𝐲 𝑪(𝟒, 𝟐, 𝟐).

El área del triángulo de vértices 𝑨𝑩𝑪, es la mitad del

área del paralelogramo, que resulta ser igual al

módulo del producto vectorial de los vectores

𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗.

𝑺𝑨𝑩𝑪 =𝟏𝟐⁄ |𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗|

𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑩 − 𝑨 = (𝟑, 𝟒, 𝟎) − (𝟏, 𝟐,−𝟏) = (𝟐, 𝟐, 𝟏)

𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑪 − 𝑨 = (𝟒, 𝟐, 𝟐) − (𝟏, 𝟐, −𝟏) = (𝟑, 𝟎, 𝟑) ⟹ 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (|

𝟐 𝟏𝟎 𝟑

| , − |𝟐 𝟏𝟑 𝟑

| , |𝟐 𝟐𝟑 𝟎

|)

𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝟔,−𝟑,−𝟔) ⟹ |𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √𝟔𝟐 + (−𝟑)𝟐 + (−𝟔)𝟐 = 𝟗

𝑺𝑨𝑩𝑪 =|𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗|

𝟐=𝟗

𝟐= 𝟒′𝟓 𝒖𝟐

10

APLICACIONES DEL PRODUCTO VECTORIAL

VECTOR DIRECTOR DE UNA RECTA, DADA COMO LA INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS.

La recta (𝒓) , que viene expresada como

la intersección de los planos (𝝅𝟏) y (𝝅𝟐) , está contenida en ambos planos y su

vector director es perpendicular a los

vectores asociados a ambos planos. Por lo

tanto:

Se puede tomar como vector

director de la recta intersección

de los dos planos, al vector

producto vectorial de los

vectores asociados a los planos.

Ejemplo.

Dados los planos (𝝅𝟏) ≡ 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 − 𝟏 = 𝟎 𝒚 (𝝅𝟐) ≡ 𝒙 − 𝒚 + 𝒛 = 𝟎 hallar:

a) Las coordenadas de un vector director de la recta intersección.

b) La ecuación de la recta (𝒔), paralela a los dos planos y que pasa por el punto 𝑷(𝟏,−𝟒, 𝟑).

(𝝅𝟏) 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 − 𝟏 = 𝟎 ⟹ �⃗⃗� (𝟑, 𝟐, −𝟏)

(𝝅𝟐) 𝒙 − 𝒚 + 𝒛 = 𝟎 ⟹ �⃗⃗� (𝟏,−𝟏, 𝟏)

�⃗⃗� × �⃗⃗� = (| 𝟐 −𝟏−𝟏 𝟏

| , − |𝟑 −𝟏𝟏 𝟏

| , |𝟑 𝟐𝟏 −𝟏

|)

�⃗⃗� × �⃗⃗� = (𝟏,−𝟒, −𝟓)

(𝒔)(𝑷, �⃗⃗� × �⃗⃗� )

(𝒔) ⟹ 𝒙 − 𝟏

𝟏=𝒚 + 𝟒

−𝟒=𝒛 − 𝟑

−𝟓

VECTOR DIRECTOR DE UNA RECTA QUE ES PERPENDICULAR A OTRAS DOS

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Como la recta (𝒓) es perpendicular a las

rectas (𝒔𝟏) y (𝒔𝟐) , su vector director

también será perpendicular a los

vectores directores de las dos rectas.

Por lo tanto:

Se puede tomar como vector director

de la recta (𝒓), al vector producto

vectorial de los vectores directores

de las rectas (𝒔𝟏) 𝒚 (𝒔𝟐)

Ejemplo. Hallar la ecuación de la recta (𝒓), que pasa por el punto 𝑷(𝟐,−𝟑, 𝟏) y cuya dirección es

perpendicular a las de las rectas (𝒔𝟏) ≡ {𝒚 = 𝟎𝒙 = 𝒛

𝒚 (𝒔𝟐) ≡ {𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟐𝒚 − 𝒛 = 𝟏

{𝒚 = 𝟎𝒙 = 𝒛

⟹ �⃗⃗� (𝟏, 𝟎, 𝟏)

{𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟐𝒚 − 𝒛 = 𝟏

𝒛=𝒕→ {

𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟐𝒚 = 𝟏 + 𝒕

𝒙 = 𝟐 − 𝟑𝒚 = 𝟐 − 𝟑(𝟏 + 𝒕) = −𝟏 − 𝟑𝒕

{𝒙 = −𝟏 − 𝟑𝒕𝒚 = 𝟏 + 𝒕𝒛 = 𝒕

⟹ �⃗⃗� (−𝟑, 𝟏, 𝟏)

�⃗⃗� × �⃗⃗� = (|𝟎 𝟏𝟏 𝟏

| , − | 𝟏 𝟏−𝟑 𝟏

| , | 𝟏 𝟎−𝟑 𝟏

|)

�⃗⃗� × �⃗⃗� = (−𝟏,−𝟒, 𝟏)

(𝒓)(𝑷, �⃗⃗� × �⃗⃗� ) ⟹ 𝒙 − 𝟐

−𝟏=𝒚 + 𝟑

−𝟒=𝒛 − 𝟏

𝟏

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RECTA PERPENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS DADAS.

Se llama perpendicular común a

dos rectas que se cruzan, a la recta

que corta perpendicularmente

(ortogonalmente) a cada una de ellas.

La perpendicular común, en nuestro caso

la recta (𝒔), queda determinada por la

intersección de los dos planos (𝝅𝟏) 𝒚 (𝝅𝟐).

Según se puede ver en la figura, el plano

(𝝅𝟏) se genera a partir de los vectores

�⃗⃗� y �⃗⃗� × �⃗⃗� , mientras que el plano (𝝅𝟐), lo

generan los vectores �⃗⃗� y �⃗⃗� × �⃗⃗�

(𝝅𝟏) ≡ {

𝑨(𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑)

�⃗⃗� (𝒗𝟏, 𝒗𝟐, 𝒗𝟑)

�⃗⃗� × �⃗⃗�

(𝝅𝟐) ≡ {

𝑩(𝒃𝟏, 𝒃𝟐, 𝒃𝟑)

�⃗⃗� (𝒖𝟏, 𝒖𝟐, 𝒖𝟑)

�⃗⃗� × �⃗⃗�

(𝒔) ≡ {(𝝅𝟏) ⟹ |𝑨𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , �⃗⃗� , �⃗⃗� × �⃗⃗� | = 𝟎

(𝝅𝟐) ⟹ |𝑩𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , �⃗⃗� , �⃗⃗� × �⃗⃗� | = 𝟎

Ejemplo.

Escribir la ecuación de la recta perpendicular común a las dos rectas: (𝒓𝟏) 𝒙 = 𝒚 = 𝒛 , y

(𝒓𝟐) 𝒙 = 𝒚 = 𝟑𝒛 − 𝟏

(𝒓𝟏) ≡ 𝒙 = 𝒚 = 𝒛 ⟹ 𝒙 − 𝟎

𝟏=𝒚 − 𝟎

𝟏=𝒛 − 𝟎

𝟏 ⟹ {

𝑨(𝟎, 𝟎, 𝟎)

�⃗⃗� (𝟏, 𝟏, 𝟏)

(𝒓𝟐) ≡ 𝒙 = 𝒚 = 𝟑𝒛 − 𝟏 ⟹ 𝒙 − 𝟎

𝟏=𝒚 − 𝟎

𝟏=

𝟑𝒛 − 𝟏𝟑𝟏𝟑

⟹ 𝒙

𝟏=𝒚

𝟏=𝒛 − 𝟏 𝟑⁄

𝟏𝟑⁄

⟹ {𝑩(𝟎, 𝟎, 𝟏 𝟑⁄ )

�⃗⃗� (𝟏, 𝟏, 𝟏 𝟑⁄ )

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�⃗⃗� (𝟏, 𝟏, 𝟏)

�⃗⃗� (𝟏, 𝟏, 𝟏 𝟑⁄ ) ⟹

�⃗⃗� (𝟏, 𝟏, 𝟏)

�⃗⃗� (𝟑, 𝟑, 𝟏) ⟹ �⃗⃗� × �⃗⃗� = (|

𝟏 𝟏𝟑 𝟏

| , − |𝟏 𝟏𝟑 𝟏

| , |𝟏 𝟏𝟑 𝟑

|) = (−𝟐, 𝟐, 𝟎)

(𝝅𝟏) ≡ {

𝑨(𝟎, 𝟎, 𝟎)

�⃗⃗� (𝟏, 𝟏, 𝟏)

�⃗⃗� × �⃗⃗� (−𝟐, 𝟐, 𝟎)

⟹ | 𝒙 𝒚 𝒛 𝟏 𝟏 𝟏−𝟐 𝟐 𝟎

| = 𝟎 ⟹ 𝒙 + 𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟎

(𝝅𝟐) ≡ {

𝑩(𝟎, 𝟎, 𝟏 𝟑⁄ )

�⃗⃗� (𝟑, 𝟑, 𝟏)

�⃗⃗� × �⃗⃗� (−𝟐, 𝟐, 𝟎)

⟹ | 𝒙 𝒚 𝒛 − 𝟏 𝟑⁄

𝟑 𝟑 𝟏−𝟐 𝟐 𝟎

| = 𝟎 ⟹ 𝒙 + 𝒚 − 𝟔𝒛 + 𝟐 = 𝟎

(𝒔) {(𝝅𝟏) (𝝅𝟐)

{𝒙 + 𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟎

𝒙 + 𝒚 − 𝟔𝒛 + 𝟐 = 𝟎

PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES

El producto mixto de tres vectores libres en el espacio �⃗⃗� , �⃗⃗� y �⃗⃗⃗� , es un número real, que se

designa por [�⃗⃗� , �⃗⃗� , �⃗⃗⃗� ] y que se obtiene multiplicando escalarmente el producto del primer

vector, por el producto vectorial del segundo y el tercero.

[�⃗⃗� , �⃗⃗� , �⃗⃗⃗� ] = �⃗⃗� ∘ (�⃗⃗� × �⃗⃗⃗� )

Al analizar geométricamente el producto mixto de tres vectores, se puede comprobar, que

el valor absoluto de dicho producto, coincide con el volumen del paralepípedo que tiene

por aristas los propios vectores �⃗⃗� , �⃗⃗� y �⃗⃗⃗� .

14

Según se

puede

comprobar en la figura:

𝐜𝐨𝐬𝜷 =𝒉

|�⃗⃗� | ⟹ 𝒉 = |�⃗⃗� | · 𝐜𝐨𝐬 𝜷

De la definición de producto escalar tenemos que:

�⃗⃗� ∘ (�⃗⃗� × �⃗⃗⃗� ) = |�⃗⃗� | · |�⃗⃗� × �⃗⃗⃗� | · 𝐜𝐨𝐬𝜷 = |�⃗⃗� × �⃗⃗⃗� | · 𝒉 = 𝑺 · 𝒉 = 𝑽

Ya que, según recordamos del producto vectorial, el módulo del producto vectorial es igual al área

del paralelogramo , que tiene por lados los propios vectores.

El producto mixto de tres vectores, es igual al volumen del

paralepípedo que tiene por aristas los propios vectores

[�⃗⃗� , �⃗⃗� , �⃗⃗⃗� ] = 𝑽

Si se expresan los vectores en función de sus coordenadas (expresión analítica), tenemos que:

�⃗⃗� ∘ (�⃗⃗� × �⃗⃗⃗� ) = (𝒗𝟏, 𝒗𝟐, 𝒗𝟑) ∘ (|𝒖𝟐 𝒖𝟑𝒘𝟐 𝒘𝟑

| , − |𝒖𝟏 𝒖𝟑𝒘𝟏 𝒘𝟑

| , |𝒖𝟏 𝒖𝟐𝒘𝟏 𝒘𝟐

|) =

𝒗𝟏 |𝒖𝟐 𝒖𝟑𝒘𝟐 𝒘𝟑

| − 𝒗𝟐 |𝒖𝟏 𝒖𝟑𝒘𝟏 𝒘𝟑

| + 𝒗𝟑 |𝒖𝟏 𝒖𝟑𝒘𝟏 𝒘𝟑

| = |

𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑𝒘𝟏 𝒘𝟐 𝒘𝟑

|

15

[�⃗⃗� , �⃗⃗� , �⃗⃗⃗� ] = �⃗⃗� ∘ (�⃗⃗� × �⃗⃗⃗� ) = 𝑽 = |

𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑𝒘𝟏 𝒘𝟐 𝒘𝟑

|

Es frecuente pedir el volumen del tetraedro que forman los tres vectores y que resulta ser

igual a la sexta parte del volumen del paralepípedo.

𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒕𝒆𝒕𝒓𝒂𝒆𝒅𝒓𝒐 =𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒑í𝒑𝒆𝒅𝒐

𝟔

Tetraedro que tiene como aristas

los tres vectores vectores

Ejemplo. Hallar el volumen del tetraedro de vértices el punto 𝑨(𝟏, 𝟏, 𝟏) y los puntos en los que el plano

𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝒛 − 𝟏𝟐 = 𝟎 corta a los ejes de coordenadas.

16

{𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝒛 − 𝟏𝟐 = 𝟎

𝒚 = 𝟎𝒛 = 𝟎

⟹ 𝑩(𝟔, 𝟎, 𝟎)

{𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝒛 − 𝟏𝟐 = 𝟎

𝒙 = 𝟎𝒛 = 𝟎

⟹ 𝑪(𝟎, 𝟒, 𝟎)

{𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝒛 − 𝟏𝟐 = 𝟎

𝒙 = 𝟎𝒚 = 𝟎

⟹ 𝑫(𝟎, 𝟎, 𝟏𝟐)

𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑩 − 𝑨 = (𝟔, 𝟎, 𝟎) − (𝟏, 𝟏, 𝟏) = (𝟓,−𝟏,−𝟏)

𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑪 − 𝑨 = (𝟎, 𝟒, 𝟎) − (𝟏, 𝟏, 𝟏) = (−𝟏, 𝟑, −𝟏)

𝑨𝑫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑫 − 𝑨 = (𝟎, 𝟎, 𝟏𝟐) − (𝟏, 𝟏, 𝟏) = (−𝟏,−𝟏, 𝟏𝟏)

𝑽𝑨𝑩𝑪𝑫 =𝟏

𝟔 | 𝟓 −𝟏 −𝟏−𝟏 𝟑 −𝟏−𝟏 −𝟏 𝟏𝟏

| =𝟏

𝟔· 𝟏𝟒𝟒 =

𝟏𝟒𝟒

𝟔= 𝟐𝟒 𝒖𝟑