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Microondas-1- 1Grupo de Radiofrecuencia, UC3MTema 1: Ondas Electromagnéticas

Capítulo 1:Ondas Electromagnéticas

Parte IRevisión Electromagnetismo

Ecuaciones de MaxwellRelaciones Constitutivas

Microondas-1- 2Grupo de Radiofrecuencia, UC3MOndas Electromagnéticas

Revisión Electromagnetismo

• Idea intuitiva de Campo Electromagnético:– Función Matemática (Escalar o vectorial)– Fenómenos observables (Las fuerzas sobre partículas cargadas) – Propiedades físicas fundamentales (La carga)

• La carga está cuantizada

• Ley de Coulomb

• Principio de Superposición: La fuerza que experimenta una carga debida a una distribución de cargas es la suma vectorial de las fuerzas individuales de cada una de ellas

• En un sistema racionalizado de unidades (MKSA)

Cqe1910602,1 −×−=

rr

ˆqqCF 221=

r

rrqqF ˆ

4 221

π=

r

)/(10854,8)/(1036

1 129 mFmFo−− ×=×=

πε

34: ℜ→ℜ⊂Ψ D

Efectos de promedio; se establecen densidades

volumétricas, superficiales y lineales de carga


• Por razones prácticas y conceptuales se hace abstracción de los fenómenos observables y se generaliza el modelo definiendo un campo eléctrico que presenta existencia de forma independiente a los efectos que genera

– Se trata de un campo de fuerzas centrales– Sus unidades más habituales en MKSA son N/C ó V/m– El principio de superposición se expresa entonces como

• Se introduce un nuevo vector de campo (Vector desplazamiento eléctrico) asociado de forma más intuitiva a la carga, asumimos una relación lineal entre este vector y el vector campo eléctrico

• Este vector presenta la propiedad de ser independiente del material en cuyo seno se encuentren las cargas.

• Su flujo a través de una superficie cerrada que englobe a la carga es igual a la carga total (Teorema de Gauss)

rr

qqF ˆ

4 2πε==Ε

rr

i

N

i

i rr

q ˆ41

2∑=

=Επε

r

Ε=rrεD

∫∫ ∫=⋅V

dvsdD ρrrρ=⋅∇ D

r



• ELECTROSTÁTICA– Las cargas no varían con el tiempo– Las cargas son las fuentes de E – El campo E es conservativo

• Un campo que cumple esta propiedad se puede calcular como la divergencia de una función escalar

• Dicha función se denomina potencial electrostático; la diferencia entre dos puntos es igual al trabajo que hay que realizar para trasladar una carga unidad entre ellos

• Una superficie equipotencial será aquella en la que se verifica que la función potencial electrostático es constante, siendo el campo E perpendicular a estas superficies en todo momento

0=Ε×∇r

∫ =⋅Ε 0ldrr

φ−∇=Εr

∫ −=⋅Ε−=2

1 1212 φφldWrr



• Se ha logrado una descripción que incluye como principales ventajas– El problema de la superposición queda reducido al de una función escalar– El campo E se obtiene mediante una sencilla diferenciación – No tiene sentido físico hablar de niveles absolutos de potencial (o de niveles

absolutos de energía)

• Tomando la divergencia del campo E se tiene la denominada ecuación de Poisson

• La metodología básica en este tipo de cálculos tratará de resolver el problema de suma planteado en estas ecuaciones. Para posteriormente obtener el campo E mediante una operación de gradiente.

( ) ( ) ''

'4

1 dvrr

rrV∫ −

= rr

rr ρ

πεφ

ερφ −=∇2

Para los puntos en los que se cumpla que la densidad de carga es nula tenemos la

versión homogénea o ecuación de Laplace02 =∇ φ

( ) ( ) cterr +=rr φφ '

φ−∇=Εr



• MAGNETOSTÁTICA– Las cargas se mueven con velocidad uniforme, las corrientes son

constantes– Experimentalmente se observaron los efectos mecánicos entre

líneas de corriente – Una corriente eléctrica se comporta como un imán produciendo un

campo magnético• Se define un vector densidad superficial de corriente eléctrica, la

corriente quedará establecida en términos de la integral de dicho vector

• La carga ni se crea ni se destruye. Ley de conservación de la carga o ecuación de continuidad de la carga

∫∫∫ =∂∂

+⋅VS

dvt

sdJ 0ρrr

vJ rrρ= ∫∫ ⋅=

SsdJI rr

0=∂∂

+⋅∇t

J ρr



• Si la densidad de carga es una función únicamente de la posición y no varía con el tiempo, la ecuación anterior se convierte en:

• La interpretación de dicho resultado es que las líneas de flujo de corriente se cierran sobre sí mismas, esto es, forman lazos cerrados

• Cuando la corriente se produce dentro de un conductor y dentro del conocido como margen lineal, se verifica experimentalmente la conocida Ley de Ohm

• Siendo sigma la conductividad del medio (Ω-1m-1 en MKSA), el valor de σpermite a su vez clasificar a los medios como conductores, semiconductores y aislantes

Ε⋅=rr

σJ

0=⋅∇ Jr



I2

I1

r12

dl2

dl1

• Fuerzas entre conductores: Experimentalmente se determinó la fuerza mutua ejercida por dos circuitos de corriente, esta interacción es proporcional a las corrientes que circulan por los circuitos y a una integral que depende sólo de la geometría

• Siendo µ la permeabilidad magnética del medio• Podemos introducir el concepto de campo magnético

– Una de las corrientes produce un campo que actúa sobre la otra– Definimos el vector intensidad de campo magnético producido por I2

– En este sentido podemos afirmar que las J son las fuentes de campo magnético

312

1221211

)(4 21 r

rldldIIFCC

rrrr ××= ∫∫π

µ

)/(104 70 mH−×= πµ

HldIFrrr

×= ∫ 111 µ ∫×

= 312

1222

4 rrldIHrr

r

π



• A efectos de calcular el campo magnético, los medios materiales se caracterizan mediante momentos dipolares magnéticos. Se define el vector de inducción magnética B como

• El hecho de haber encontrado el campo H (o B) mediante circuitos no significa que no exista una interacción magnética

mPHBrrr

+= 0µ HBrr

µ=

Bvqrrvv

rqqFm

rrr

rrr×=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ××= 122

210

4πµ

0=⋅∇ Br

JHrr

=×∇

• Es una evidencia experimental que no existen monopolos magnéticos, lo que traducido al lenguaje matemático significa que la divergencia del vector B en un volumen diferencial debe ser nula

• Se demuestra aplicando lo visto hasta ahora que el rotacional de H está directamente relacionado con las corrientes J (las fuentes), esta relación es la conocida ley de Ampere




• ELECTRODINÁMICA– Suponemos que las cargas se mueven de

forma arbitraria – A diferencia del caso electrostático

• No es factible separar las interacciones producidas por E y H, la fuerza de Lorentz describe la interacción electromagnética

• Ley de Faraday– Ley experimental independiente – Se asocia una fem a la variación de flujo

magnético que pasa por un circuito• Maxwell generaliza la ley de Ampere, asumiendo

que la corriente debe incluir la corriente de desplazamiento

∫ =⋅Ε femldrr

)( BvEqFrrrr

×+=

tBE∂∂

−=×∇r

r

tDJH∂∂

+=×∇r

rr


Ecuaciones de Maxwell

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=⋅∇

=⋅∇∂∂

+=×∇

∂∂

−=×∇

0B

DtDJH

tBE

r

r

rrr

rr

ρ

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=

=

HB

ED

EJ

rr

rr

rr

µ

ε

σ

0=∂∂

+⋅∇t

J ρr

• Ecuaciones de Maxwell– Las dos primeras son igualdades vectoriales

que evidencian el acoplo del CEM en su variación temporal

– La tercera y cuarta son igualdades escalares que determinan la no existencia de fuentes puntuales para B y el hecho de que las fuentes de campo E son las cargas

• Relaciones constitutivas– Estas tres ecuaciones vectoriales introducen las

constantes materiales que caracterizan electromagnéticamente el medio soporte del campo

– Para un medio homogéneo e isótropo σ, ε y µson escalares

• Postulado de conservación de la carga eléctrica

-EN EL DOMINIO DEL TIEMPO-


• Vamos a suponer una dependencia de tipo armónico con el tiempo, en nuestras soluciones a las ecuaciones de Maxwell

– Este tipo de solución se denomina estacionaria– En la práctica tenemos campos que

frecuentemente son de esta forma– No se pierde generalidad, cualquier dependencia

con t puede ser representada en una base de ondas monocromáticas

tjcc ezyxEtzyxE ω),,(),,,(rr

=

tjetf ω∝)(

• Hemos considerado el campo E instantáneo

• La forma fasorial correspondiente es

– Para transformar la solución espacial dada por nuestros fasores, en el campo instantáneo con significado físico, será suficiente con incluir la dependencia temporal armónica y quedarnos con la parte real

)cos(),,(ˆ),,,( φω += tzyxAxtzyxEr

φjc ezyxAxzyxE ),,(ˆ),,( =r

tjc ezyxEetzyxE ω),,(),,,(rr

ℜ=


EL CAMPO ES FACTORIZABLE


⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=⋅∇

=⋅∇

⋅+=×∇

⋅−=×∇

0

0

H

E

EjJH

HjE

r

r

rrr

rr

ωε

ωµ

• Es mucho más práctico trabajar con la representación fasorial

– Nuestro esfuerzo irá dirigido a encontrar en el dominio de la frecuencia la parte espacial de la solución

– Queda claro que como la única dependencia temporal es de tipo armónico las derivadas con respecto al tiempo pueden reemplazarse por multiplicaciones

ωjt⎯→⎯

∂∂ ×

ECUACIONES DE MAXWELL EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

0)(ˆ

)(ˆ

)(ˆ

0)(ˆ

)(ˆ

12

12

12

12

12

=−×

=−×

−=−⋅

=−⋅

=−⋅

EEn

JHHn

jwJJn

BBn

DDn

s

s

s

rr

rrr

rr

rr

rr

ρ

ρCONDICIONES DE CONTORNO



CONDICIONES DE CONTORNO EN LA FRONTERA CON OTRO MEDIO

• Medio material de conductividad infinita– La componente tangencial del campo E se anula– La componente normal de H se anula– El campo H vendrá dado por las corrientes J

superficiales

sJHn

En

Hn

Bn

rr

r

r

r

=×

=×

=⋅

=⋅

2

2

2

2

ˆ

0ˆ0ˆ

0ˆ

• Medio material de conductividad nula

– Es lo que se conoce como aislante perfecto

– Las ecuaciones se deducen sin más que anular la conductividad σ

• Medio conductor no perfecto– Pasamos a una descripción en términos de una

permitividad compleja– Si el medio es conductor podemos tratarlo como

aislante de permitividad compleja

cjj ωεωεσ =+

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

ωεσεε jc 1

)tan1(0 δεεε jrc −=

'

''

tanωε

σωεδ +=

Si tenemos presentes las resonancias de dipolos e iones

ωεσεεε jjc −−= '''

TANGENTE DE PÉRDIDAS ELÉCTRICAS DEL MATERIAL

Relaciones constitutivas


Relaciones constitutivas

ePDrrr

+Ε= 0ε

Ε⋅=rr

σJ

mPHBrrr

+= 0µ

HBrr

µ=

• RELACIONES CONSTITUTIVAS (Resumen)– Hemos visto la relación entre los vectores que describen el

electromagnetismo (E,H,D,B)

– La descripción completa debe incluir los efectos de polarización en los medios materiales tanto eléctrica Pe como magnética Pm

– Hemos introducido un vector adicional que describe la corriente J, dichas corrientes surgen como “fuentes” para el campo magnético

• Los parámetros que caracterizan el comportamiento tanto eléctrico y magnético como la capacidad del material para conducir la corriente son en general tensores de segundo rango

• En nuestro caso suponemos que los medios a considerar son homogéneos e isótropos y dichos parámetros se reducen a escalares (en general complejos, al incluir las pérdidas del material)

Ε=rrεD


Vector de Poynting

• La energía electromagnética se propaga. Una descripción de dicho fenómeno puede hacerse en términos de vector de Poynting

– Es el flujo de la energía electromagnética a través de una superficie por unidad de tiempo

– La dirección especificada por el vector de Poynting es precisamente la dirección en la que se propaga dicha potencia electromagnética

HESrrr

×=

• El cálculo correcto de la energía que propaga el campo electromagnético debe incluir

– La consideración de los campos como magnitudes fasoriales, se debe calcular el valor medio (el flujo instantáneo de potencia variará de forma periódica con t)

– Se debe integrar el flujo en la sección a considerar– El valor interpretable será la parte real del vector de

Poynting complejo

• El campo electromagnético almacena una cantidad de energía relacionada con las magnitudes de sus vectores de campo. La energía contenida en un volumen V será.

dvBHdvDEWVVem ∫∫

⋅+

⋅=

22

rrrr

*

21

ccc HESrrr

×=

sdHEPSm

rrr⋅×= ∫ *

21


Capítulo 1:Ondas Electromagnéticas

Parte IIOndas planas

Ondas planas en medios con pérdidasOndas planas y obstáculos


Ondas planas

• Planteamos las soluciones de las ecuaciones de Maxwell para el campo complejo en medios sin fuentes, homogéneos, isótropos, sin pérdidas y con variaciones del tipo

• Tomando rotacionales sobre las ecuaciones de Maxwell y simplificando se llega a las ecuaciones de ondas

• El parámetro k recibe el nombre de número de ondas o constante de propagación sus unidades son (1/m)

• Simplificamos el problema al caso 1D– Cualquier dependencia de la parte espacial puede descomponerse en

una base de ondas planas– Es la solución más sencilla e interpretable– Permite introducir los conceptos de una forma rigurosa e intuitiva

tjerfHE ω)(, rrr∝

022 =+∇ EkErr

022 =+∇ HkHrr

εµω=k


• Suponemos que nuestras soluciones no son función ni de x ni de y, únicamente dependen de la variable espacial z. Tomamos, sin pérdida de generalidad, el campo E según el eje x.

– Los campos están en cuadratura espacial– Se verifica que si Ez=0 entonces Hz=0

• ¿Qué características tiene dicha solución “onda plana”?– La amplitud es constante e uniforme en el plano, lo que nos lleva a una

cantidad de energía infinita (no existen ondas planas)– Los campos E y H son transversales, no tienen ninguna componente

según el eje sobre el que se produce la propagación– Permite aproximar soluciones reales, por ejemplo una onda esférica en

campo lejano es localmente plana

xEE x ˆ=r

yz

E

EEEzyx

zyx

HjE x

zyx

ˆ

ˆˆˆ

∂∂

+=∂∂

∂∂

∂∂

=−=×∇rr

ωµ

yHH y ˆ=r

0ˆ =×× zHErr

Ondas planas


022

2

=+ Ekdz

Ed rr

[ ]xeEeEE jkzrc

jkzicc ˆ+− +=

r

[ ]yeHeHH jkzrc

jkzicc ˆ+− +=

r

[ ]xkztEkztEE ri ˆcos()cos( ++−= ωωr

[ ]ykztHkztHH ri ˆcos()cos( ++−= ωωr

tjc eEeE ω⋅ℜ=rr

Ondas planas

• La ecuación para esta caso simplificado se convierte en unidimensional, la solución más general puede escribirse en términos de dos exponenciales complejas

– La bondad de la solución puede comprobarse por una simple sustitución

– Las constantes que aparecen en la solución son complejas y quedarán determinadas en relación a las condiciones iniciales y de contorno

• Dicha solución puede interpretarse en el dominio del tiempo en base a dos ondas viajeras (travelling wave)

−+

+−

⎯⎯→⎯

⎯⎯→⎯

zeze

viajajkz

viajajkz

En el dominio de la frecuencia identificamos


INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

rkjeErErrrrr⋅−= 0)(

)cos(0 rktEE rrrv⋅−= ω

[ ]yeEeEE jkxrc

jkxicc ˆ+− +=

r

[ ]zeHeHH jkxrc

jkxicc ˆ+− +=

r0ˆ

0 =⋅Ekr

• Características– Vectores E y H transversales a la

dirección de propagación (Ondas TEM)– Planos de fase constante que se

propagan según una dirección k– Frente de onda plano

Planteamiento general, la dirección de propagación es arbitraria

Si la dirección de propagación coincide con uno de los ejes se simplifican las expresiones

Ondas planas


ctekzt =−ω

µεωω 1==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

==kk

ctetdtd

dtdzv f

rrf

cvµε

0=

πλωω 2)]([)( =+−−− zktkzt

fv

kf==

πλ 2

Tomemos un sentido de propagación, un plano de fase constante es un plano móvil perpendicular a la dirección de propagación

Ondas planas

• La velocidad a la cual se mueve un punto de fase fija se denomina velocidad de fase

– La velocidad de fase en un medio material es siempre inferior a la velocidad de la luz en el vacio

Donde c0 es la velocidad de la luz en el vacío

• Se define la longitud de onda como la distancia entre dos máximos o mínimos consecutivos


εµη =

πεµη 120

0

00 ≈=

r

r

r

r

εµπ

εµηη 1200 ≈=

[ ]yeEeEH jkzrjkzi ˆ1 +− −=η

r

yx

x Hjz

EjkE ωµ−=∂∂

−=−

Ondas planas

• Buscamos una relación entre las soluciones para E y H

– Aplicando la ecuación del rotacional se obtiene una relación entre Ex y Hy

– Se sigue que la impedancia intrínseca liga el cociente entre E y H, para una onda viajera

– La impedancia es función de los parámetros característicos del material

Concepto de IMPEDANCIA INTRÍNSECA

Podemos entonces escribir el campo magnético en relación al eléctrico vía impedancia intrínseca

Para el vacío la impedancia intrínseca toma un valor cercano a 120π ohmios, cualquier otro medio puede quedar referenciado al de esta cantidad

[ ]Ω

[ ]Ω

[ ]Ω


022 =−∇ EErr

γ022 =−∇ HH

rrγ

βαγ j+=

[ ]xeEeEE zjrc

zjicc ˆγγ +− +=

r

[ ]yeHeHH zjrc

zjicc ˆγγ +− +=

r

zjzz eee βαγ −−− ⋅= )cos( zte z βωα −−

Ondas planas en medios con pérdidas

Estas soluciones con una constante de propagación de la forma

• Al considerar medios con pérdidas empleamos permitividades y permeabilidades complejas

– La constante que aparece en las ecuaciones de ondas es compleja

– La constante de propagación complejaqueda definida en términos de la permitividady permeabilidad del medio

ccj εµωγ =

≡α Cte de atenuación (1/m)

≡β Cte de fase (1/m)Considerando el factor de propagación para la onda viajera positiva vemos que queda una expresión en el dominio del tiempo Las unidades más frecuentes de alfa son

Nep/m o dB/m y las de beta, rad/m. Un neperio equivale a 8,68 dB

dominio del tiempodominio de la frecuencia


γωµ

εµη c

c

c j==

δεεµµωεµωγ tan100 jjj rrcc −==

[ ]yeEeEH zjrzji ˆ1 γγ

η+− −=

r

Ondas planas en medios con pérdidas

En este caso tenemos una representación de H en términos de E

• Podemos analizar algunos de los casos más importantes y ver si se puede introducir alguna simplificación

– Ondas planas en medio buen dieléctrico (desarrollando por Taylor en base a considerar la tangente de pérdidas pequeña)

– Ondas planas en medio buen conductor, las corrientes de conducción son mucho mayores que las corrientes de desplazamiento

– Se define la profundidad de penetración o espesor de piel

2tan

0

δα

εµεωβk

r

≈

≈

2)1(0ωµε

ωεσεµεωγ jj

j r +=≈

ωµσαδ 21

==s


Ondas planas y obstáculos

• Vamos a introducir algunas ideas relacionadas con la interacción de ondas planas y obstáculos

– Suponemos dos medios caracterizados por sus constantes materiales y separados por una superficie plana S

– Consideramos únicamente el caso de incidencia normal en el que la dirección de propagación de la onda dada por k es perpendicular a S

• Como resultado de la interacción con el obstáculo se produce

– Una onda reflejada en el medio 1, con sentido de propagación hacia la izquierda

– Una onda transmitida o refractada en el medio 2, con sentido de propagación hacia la derecha

z

z=0

1 2

Ei Et

Er

Sea una onda plana incidente sobre S (desde la izquierda) con vector campo E orientado según el eje x



z

z=0

1 2

Ei Et

Er

yTeEH

xTeEE

zt

zt

ˆ

ˆ

2

2

2

0

0

γ

γ

η−

−

=

=r

r

rr

yeEH

xeEE

zr

zr

ˆ

ˆ

1

1

1

0

0

γ

γ

ηΓ−=

Γ=r

r

rr

¿Qué forma tienen nuestras ondas para la solución propuesta?

yeEH

xeEE

zi

zi

ˆ

ˆ

1

1

1

0

0

γ

γ

η−

−

=

=r

r

rr

12

12

ηηηη

+−

=Γ12

22ηη

η+

=T

0)(ˆ

0)(ˆ

12

12

=−×

=−×

EEn

HHnrr

rr

Aplicando la condiciones de contorno de los campos en la discontinuidad S obtenemos las relaciones que correspondes a los coeficientes de reflexión y transmisión

≡≡Γ

T

coeficiente de reflexión del campo eléctrico en la discontinuidad

coeficiente de transmisión del campo eléctrico en la discontinuidad


|E|

Emax

Emin

zz=0

/2

/2

/4


[ ]

[ ]yzeEH

xzeEE

z

z

ˆ)(1

ˆ)(1

1

1

1

01

01

Γ−=

Γ+=

−

−

γ

γ

η

r

r

zez 12)0()( γΓ=Γ

• La principal novedad en el problema reside en la aparición de un campo total en el medio 1 que es la suma de una onda incidente y una onda reflejada

– Dicha combinación produce lo que se denomina una onda estacionaria en el medio 1

– Podemos introducir un coeficiente de reflexión generalizado que es función de la variable z

¿Qué forma tendrá el campo total en el medio 1?

yeeEHHH

xeeEEEE

zzri

zzri

ˆ)1(

ˆ)1(

11

11

2

1

01

201

γγ

γγ

ηΓ−=+=

Γ+=+=

−

−

rrr

rrr

Se desplaza a lo largo del eje con una fase doble



)2cos()0(2)0(1 12

01 φ+Γ+Γ+= zkEEr

Γ−Γ+

===11

min

max

EEsROE

zkEE 12

01 2cos)0(2)0(1 Γ+Γ+=r

• Vamos a calcular el módulo del campo eléctrico total en el medio 1. El resultado es el conocido como diagrama de onda estacionaria. Vamos a analizar el resultado en función del tipo de medio 2, considerando siempre el medio 1 sin pérdidas

– Medio 2 sin pérdidas; el coeficiente de reflexión es un número real

– Medio 2 con pérdidas; el coeficiente de reflexión es en general complejo. La onda estacionaria comienza en un punto de fase arbitraria

|E|

Emax

Emin

zz=0

/2

/2

/4

φje)0()0( Γ=Γ

Se define la relación de onda estacionaria “s” como el cociente entre el máximo y el mínimo valor del campo eléctrico

∞⎯→⎯=Γ

⎯→⎯=ΓS

S

1

10


|E|

zz=0


|E|

2|E |o

zz=0

/2

/2

/4

Nulo

10−=Γ

=T

• Suponemos ahora que el medio 2 es un medio conductor eléctrico perfecto

– No puede existir campo en un PEC, tenemos para los coeficientes

– El módulo del vector E para el medio 1 es ahora, lo que se conoce como una onda estacionaria pura

• En el caso general en el que consideremos los medios 1 y 2 con pérdidas

– La onda incidente y reflejada se atenúan – Ya no es correcto (en sentido estricto) hablar de ROE

los valores de Emax y Emin varían con z

zjzeez 11 22)0()( βαΓ=Γ

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