Álgebra teorÍa y prÁctica · 19-interpretar geométricamente el producto escalar de dos...
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ÁLGEBRA
TEORÍA Y PRÁCTICA
Autores:
Prof. Javier castellano
Prof. Luís Capace
La Victoria, octubre de 2007
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA EDUCACIÓN SUPERIOR
INSTITUTO UNIVERSITARIO EXPERIMENTAL DE TECNOLOGÍA LA VICTORIA
LA VICTORIA- ESTADO ARAGUA COMISIÓN ACADÉMICA DEL PROGRAMA
NACIONAL DE FORMACIÓN EN ELECTRICIDAD
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
ÁLGEBRA
Teoría y Práctica
PNF EN ELECTRICIDAD 2
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
ÁÁLLGGEEBBRRAA
MMOODDUULLOO II:: VVEECCTTOORREESS
CONTENIDO
-Escalares y vectoriales.
-Componentes de un vector.
-Operaciones con vectores: Adición, multiplicación por escalar, producto
vectorial, triple producto vectorial (representación parcial)
-Rectas, planos (rectas analíticas)
-Diferentes tipos de ecuaciones de la recta y el plano.
-Distancia de un punto a una recta.
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OBJETIVO GENRAL
Al finalizar la unidad el estudiante deberá mediante resolución de problemas, demostrar
habilidad en el manejo de vectores tanto gráfica como analíticamente.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1-Definir un vector en R3 establecer sus componentes. 2-Definir vector libre en el espacio. 4-Establecer la biyección entre R3 y el conjunto de los vectores libres del espacio.
5-Dados dos vectores U Y V calcular y U +V
6-Aplicar las propiedades de la adición de vectores.
7-Dado el vector calcular U α U α℮ R
8-Aplicar las propiedades de la multiplicación de un escalar por un vector.
9-Establecer el espacio vectorial V3.
10-Dados vectores en V3 determinar el vector resultante de combinarlos linealmente. 11-Dados vectores de V3 decidir si son linealmente dependientes. 12-Dados vectores de V3 decidir si son linealmente independientes 13-Establecer la Base Cónica de V3 14-Establecer la Dimensión de V 3. 15-Dados dos vectores, calcular su producto escalar o producto interior.
16-Aplicar las propiedades del producto escalar. 17-Dados dos vectores decidir si son ortogonales. 18-Dado un vector en V 3 calcular su norma o longitud. 19-Interpretar geométricamente el producto escalar de dos vectores.
20-Dados los vectores U y V determinar el vector proyecciónU v
21-Dados dos vectores determinar su producto vectorial o producto cruz. 22-Aplicar las propiedades del producto vectorial. 23-Interpretar geométricamente el producto vectorial y aplicarlo a problemas de áreas. 24-Interpretar geométricamente el triple producto vectorial y aplicarlo a problemas de volumen. 25-Dado un vector en R3 y un punto y tiene la misma dirección del vector. 26-Dada una recta y un punto fuera de ella determinar la distancia del punto a la recta. 27-Dados tres puntos, determinar la ecuación del plano que los contiene. 28-Dados dos planos, determinar el ángulo entre ellos. 29-Dados dos planos paralelos, determinar la distancia entre ellos.
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VECTORES
Dos puntos en el espacio determinan un vector.
“P” Es el ORIGEN del vector. “Q” Es el EXTREMO del vector.
║PQ║ Es la LONGITUD del vector y se
denomina MODULO o NORMA.
COMPONENTES DE UN VECTOR
El vector PQ, de la figura anterior se determina:
PQ = (x1 –x, y1, z1-z)
Donde x1-x , y1-y , z1-z son las componentes del vector.
Si dos o mas vectores tienen iguales componentes, serán equivalentes. El vector Nulo tiene
sus componentes iguales a cero. Dos vectores opuestos tienen sus respectivas componentes
opuestas.
OPERACIONES CON VECTORES
1) ADICION:
Sean ),,( 111 zyxV ),,( 222 zyxW Así
),,( 212121 zzyyxxWV
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PROPIEDADES: Sean V , W y Z vectores
i) V + W = W + V
ii) V + (W + Z ) = ( V +W ) + Z
iii) V +O = O + V O = ( O, O, O ) Vector nulo. Es el Neutro.
iv) V + (-V ) = (-V ) + V = O El vector opuesto. Es el simétrico.
EJEMPLO: Sean los puntos P((-1, 3/2, 3); Q (7, -5, 0) y R (1/3, 1, 1)
Así PQ = (8, -13/2, -3) y PR = (4/3, ½,-2) luego PQ + PR = (28/3, -6, -5)
2) PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR:
Sean V = (X, Y, Z) un vector y α εR. Así α V = (α x, α y, α z)
PROPIEDADES: Sean los vectores V y W y los escalares.
i ) α (V+W) = α V + α W
ii) (α + β ) V = α V + β V.
iii) α (βV) = (α.β) V
iv) 1.V = V
Demostraremos i) Sean V= ( x1, y1, z1) y W = (x2, y2, z2)
(V+W) = α [( x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) ]
(V+W) = α (x1 + x2, y1 + y2 , z1 + z2) def. de adición
(V+W) = [ α (x1 + x2), α (y1 + y2) , α (z1 + z2)] def. del producto de un escalar por un vector.
(V+W) = ( α x1 , + α x2 , α y1 + α y2 , α z1 + α z 2) Distributiva de la multiplicación respecto
a la adición.
(V+W) = ( α x1, α y1 , α z1) + ( α x 2 ,α y2, α z2 ) Def de adición
(V+W) = α ( x1, y1, z1) + α ( x2, y2, z2 )
(V+W) = α V + α W
La demostración de las propiedades : ii, iii, y iv se dejan de ejercicios al alumno.
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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA: Sea V un vector
V V
α V
α V α > 1
-1 < α < 0
El conjunto de todos los vectores del espacio con las operaciones: adición y la
multiplicación de un escalar por un vector y sus respectivas propiedades se denomina
espacio vectorial V3.
COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES:
Dado un conjunto finito de vectores { V1 , V2,...Vp } , se dice que U es una combinación lineal
de esos vectores, si existen escalares α 1 , α 2,.... α P tales que:
U = α 1 V1 + α 2 V 2 + ... + α P V P
Así U = -5V + 3W, diremos que U es combinación lineal de V y W
Si U = 4/3 V, entonces U es combinación lineal de V.
EJEMPLO:
El vector U = ( 2, -7, -5 ) es combinación lineal de los vectores V = ( 1, 1, 2) y W (1, -1,0). Así
existen escalares α, β tales que:
( 2, -7, -5) = α (1, 1, 2) + β (1, -1, 0)
y se tiene: α + β = 2 , α – β = -7; 2 α = -5
luego α = - 5/2 y β =9/2.
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INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL: Los vectores V1, V2...VP
Son linealmente independientes si se verifica:
α1 V1 + α 2 V2 +...+ α P VP = O
Donde los escalares α 1, α 2,... α P son todos nulos.
En caso contrario serán linealmente independientes; esto es, existen escalares α 1, α 2,..., α P
no todos nulos tales que :
α1 V1 + α 2 V2 +......+ α P VP = O
Cualquier vector del espacio se puede escribir como combinación lineal de los vectores i, j, y k,
la base canónica de V3.
Una base para V3 es un conjunto de vectores linealmente independientes, de manera que
cualquier vector de V3 se pueda escribir como una combinación lineal de dicho vectores. Como
se dijo anteriormente la base canónica esta formada por los vectores: i = (1, 0, 0) ; j = (0,1, 0) y
k = (0, 0,1).
La dimensión de V3 es 3 ya que es el mayor número de vectores que puede tener un conjunto
linealmente independiente.
PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO INTERIOR DE VECTORES:
El producto interior es una función
π (U, V) = π [ ( u1, u2, u3) (v1, v2,v 3) ]
π (U, V) = u1 v1 + u2 v2 + u3 v 3
Así U = (u1, u2,u3) y V = (v1,v2,v3) entonces U.V= u1 v1 + u2 v2 + u3 v 3
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Ejemplo: V = ( ½, √3, -3) y W = (4, √3, 1)
luego, V, W = ½.4+ √3. √3+ (-3) .1= 2
PROPIEDADES:
1) Simetría : U.V=V.U
2) Aditividad: (U+V).W=..+V.W
3) Homogeneidad: (α.U ) .V = α (U V ) α ε R
4) Positividad: U.U ≥ O
Dos vectores U,V son ortogonales si su producto interior es igual a cero. Es decir U . V = O
LONGITUD O NORMA DE UN VECTOR
Sea U = (u1,u2,u3) un vector de V3 la norma o longitud de U se define por:
║U║= √ U.U = √ u12 + u2
2 + u32
Ejemplo: Sea U = (1/√2, -1/√2, √3
Así ║U║= √ (1/√2)² + (-1//√2)² +(√3)² = √½ + ½ + 3 = √4 = 2
Tomemos como representante del vector AB el vector posición OP.
Según Pitágoras: PO² = PP’² + OP’² ( I )
Aplicando de nuevo Pitágoras OP’² = OP²x + Px P’² (II)
Sustituyendo ( II ) en ( I ) tenemos OP² =PP’² + OP²x + PX P’² pero
Opx² = x²; PxP’² = OP2y = y²; PP’² = OP ²z =z²
Así OP² = X² +y² y² +z² de donde OP = √x² +y² +z²
Luego ║OP║= √x² + y² +z²
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Z B
AB
A
z
Pz
OP P
y
Py Y
Px
P’
X
PROPIEDADES:
1) ║U║> O y ║U║= O sí y sólo sí U = O
2) ║λ U║= ║λ║ ║U║
3) ║U + V║ ≤ ║U║ +║V║
5) U es unitario si ║U║ = 1
NOTA: La norma es una función de R3 en R. Ahora no toda función de R3 es una norma.
Para ser una norma debe cumplir con las propiedades dadas en el párrafo anterior.
Demostraremos que ║λ U║² = (λU ) (λU )
║λ U║²= λ² U.U
Tomando la raíz cuadrada tenemos ║λ U║ = ا λ ا ║U ║
La demostración de las otras propiedades se deja de ejercicio al alumno.
O
X
x
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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO ESCALAR.
z
Q (X2, Y2, Z2)
OQ
OP P (x1, y1, z1)
α
y
x
Por la ley del coseno: PQ² = OP²+ OQ² - 2OP.OQ. cos α (I)
PQ = (x2 – x1, y2 –y1, z2-z1)
PQ= ║PQ ║ = √(x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²
Por otra parte ║OP║= √x12 + y1
2 + z12 y ║OQ║ = √x2
2 + y22 + z2
2
Sustituyendo en (I) tenemos:
(x2 – x1) 2
+ (y2 – y1)
2 +
(z2 – z1)
2 = (x1
2 + y1
2 + z1
2 ) + (x2
2 + y2
2 + z2
2)
- 2 . √ x12
+ y1 2 + z1
2 • √ x2
2 + y2
2 + z2
2 • cos α
Al desarrollar y simplificar tenemos:
x1. x2 + y1. y2 + z1 . z2 = √ x12 + y1
2 + z12 • √ x2
2 + y22 + z2
2 • cos α
Esto es: OP . OQ = ║OP║ .║OQ║. cos α
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Así. si U .V = ║U║. ║V║ . cos α entonces cos α = U.V
║U║. ║V║
Ejemplo: Determinar el ángulo entre los vectores U = (1,2,-1), V = (3,-1,0 )
cos α = (1,2,-1) (3,-1,0) = 3-2+0 = 1
√ 6 . √10 √60 2 √15
luego α = 82º, 58
Sea un V un vector V es un vector unitario paralelo a V.
║ V║
UV es la proyección ortogonal del vector U sobre V. ║UV║ = ║U║. cos α
║Uv║= ║U║. U . V = ║U║. ║V║
║U║.║V║ ║V║
Luego Uv = U . V . V = U. V V
║V║ ║V║ ║V║ 2
Ejemplo: Calcular la proyección del vector U = (3,2,1) y V = ( -1,2,0 )
Así Uv = U . V . V = (3,2,1 ) . ( -1,2,0 ) . (-1,2,0 )
(-1 )2 + 22+ 02
Uv= 1 . (-1,2,0 ) = (-1/5 , 2/5 , 0 ) luego Uv = (-1/5, 2/5, 0 )
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PRODUCTO VECTORIAL
Solo tiene validez en V3 o cualquier otro espacio de 3 dimensiones.
Sean A = (a1 , a2 , a3 ) y B = (b1, b2 , b3 ) vectores de V3
A x B = (a2b3 - a3b2 , a3.b1 - a1b3 , a b2 - a2 b1 )
Ejemplo: se A= (2, 1, - 3) y B= (3, -1, 4) entonces AxB = (1, -17, -5)
AXB
PROPIEDADES:
I. A X B = - (BXA)
II. AX (B+C) = AXB + AXC
III. (KA) XB = AX(KB)
IV. KAXB = K (AXB)
V. ║AXB║ = ║A║ . ║B║ - (A.B)
Si los vectores se expresan como combinación lineal de los vectores de la base i, j, y k
tenemos que tomar en cuenta que:
i x i = 0 ; j x j = 0 ; k x k = 0 ;
I x j = k ; j x k = i , k x i = j
En el ejemplo anterior A = 2i + j –3k y B= 3i – j + 4k
AxB = i –17j – 5k
B
A AxB y BxA siempre son perpendiculares al plano que contiene a A y B
Si A es un vector cualquiera: AxA =0 ; 0xA = o y Ax0= 0
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Sean A y B dos vectores en V3 y α el ángulo en radianes entre A y B. De la propiedad v)
podemos establecer: ║AxB ║² = ║A║² .║B║²
Sustituyendo ║AxB ║² = ║A║² .║B║² - ║A║² .║B║² . cos² α
║AxB ║² = ║A║² .║B║² (1- cos² α) Factorizando
║AxB ║² = ║A║² .║B║² . sen² α 0 < α ≤ π
Extrayendo raíz cuadrada Sen α ≥0
Ejercicio: Hallar el área del paralelogramo que tiene sus vértices en los puntos P (1, -2, 3) , Q
(4, 3, -1) , R (2, 2, 1) y S (5, 7, -3).
Si A y B son vectores paralelos no nulos entonces AxB = 0 .
Si A y B no son paralelos AxB es perpendicular al plano que los contiene.
Ejemplo: Dados los puntos P (-1, -2,-3) Q (-2, 1, 0) y R (2, 1, 3). Hallar un vector unitario
perpendicular al plano que pasa por P, Q y R.
A = PQ = (-1, 3, 3) B = PR = (1, 7, 4)
AxB = (-9,7,-10) = -9i + 7j -10k
║AxB║ = √230 luego el vector unitario perpendicular es
kjiAxB
AxB
230
10
230
7
230
9
Para un Paralelogramo h = ║B║ Sen α Por otra parte el área del paralelogramo es b. h. Así A = ║A║.║B║ Sen α luego el Área del paralelogramo es:
A= ║AxB║ unidades cuadradas
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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL TRIPLE PRODUCTO VECTORIAL
N
S
h
C R
B
P
A Q
Sean A = PQ ; B = PR y C = PS
Los vectores AxB y - (AxB) son normales al plano que contiene PQ y PR. Llamemos N al
que forme menor ángulo con C.
π
2
Las representaciones de N y C están a un mismo lado con relación al plano que contiene a PQ
y PR. La base del paralelepipedo tiene por área ║AxB║ unidades cuadradas y si h unidades
es la altura entonces:
V =║AxB║ . h (I)
α<
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Consideremos N.C = ║ N ║ . ║ C║. cos α pero h =║ C║ . cos α.
Así N.C=║N║.h (II)
además N = ║AxB║
ya que N es AxB o – (AxB) y en consecuencia N.C= ║AxB║ . h
De (I) Y (II) se tiene que N.C = V.
Luego el volumen del paralelepípedo es (AxB) . C o -(AxB) . C, es decir el valor absoluto de
(AxB) .C
Ejemplo: Hallar el volumen de un paralelepípedo que tiene sus vértices en P(5,4,5) , Q(4,10,6),
R (1,8,7) y S (2,6,9 ) y aristas PQ , PR y PS
Solución: P= PQ = (-1, 6, 1) , B = PR = (-4, 4, 2) , C = PS= (-3, 2, 4 )
Así AxB = 8i - 2j + 20k por lo tanto (AxB) . C = (8, -2, 20) . (-3, 2, 4)
(AxB) . C = 52 unidades cúbicas
ECUACIÓN DE LA RECTA EN EL ESPACIO
Sea U un vector de componentes ),,( 321 uuuU
U = (u1, u2, u3) y M1 un punto de
coordenadas (x1, y1,z1) . Sea M ( x, y, z) otro punto M1≠M tal que M1M es paralelo a U.
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Así M1 M = λ U , esto es: (x - x1, y – y1 , z – z1 ) = λ (u1, u2, u3) donde λ es un parámetro. Luego
x - x1 = λu1
r= y – y1 = λu2
z – z1 = λu3
y son llamadas ecuaciones paramétricas de la recta r . Si u1 , u2 son diferentes de cero
entonces:
1
2
1 1
1 3
y y
u
x x z z
u u
,
denominada ecuación continua de la recta y los tres cocientes son igual a .
El vectorU paralelo a la recta se denomina VECTOR DIRECTOR de la r .
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos:
A (-1, 2, 0) y B (3, 1, -1
Solución: Podemos buscar directamente un vector director de la recta buscada, AB o BA
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Así U = BA =(4,-1,-1) como la recta pasa por A o por B tenemos :
1 2
4 1 1
x y z
2) Hallar la recta que pasa por A ((2,3, -1 ) y es paralela a la recta r cuyas ecuaciones son:
x =2+3 λ
r = y =1+2 λ
z = 1
Solución: De las ecuaciones paramétricas tenemos que U = (3,2,0). Así las ecuaciones de la
recta buscada son:
2 3
3 2
x y
z + 1= 0
3) Determinar si los puntos A (-1,1,0 ) ; B ( 2,-1,1) y C (3,0,-1) son colineales.
Solución: tomemos como vector director AB = (3,-2,1) y el punto A. Así 1 1
3 2 1
x y z
Vemos que el punto C no satisface la ecuación, luego A, B y C no son colineales.
ECUACIONES DE PLANO
En R3, La gráfica de una ecuación de tres variables es una superficie y la más simple de las
superficies es el plano.
DEFNICION: Sí N es un vector no nulo y P0 es un punto dado, entonces el conjunto de todos
los puntos P para los cuales los vectores y PoP y N
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P (x, y, z ) N
Y
PoP
P0 (x0 , y0 , z0 )
X
Si P0 (x0, y0, z0 ) es un punto del plano y N = (a,b,c) es un vector normal al plano, entonces:
A (x-x0 ) +b ( y-y0) +c (z-z0 ) = 0 Ecuación del plano
Esta se tiene ya que PoP = (x-x 0 , y-y0 , z-z0 ) y N = (a,b,c)
Luego PoP . N = 0 (son ortogonales ) así (x-x0) +b (y –y0 ) +c ( z-z0 ) =0
Ejemplos: Hallar la ecuación del plano que contenga al punto (2,1,3) y que tenga a 3i - 4 j +
k como vector normal.
Solución: P0 (2,1,3) y N = (3, -4, 1) la ecuación del plano pedida es 3 (x-2) –4 (y-1) + (z-3) = 0
Z
Si a, b, c no son todos nulos la gráfica de una ecuación ax + by + cz d = 0 es un plano y (a, b, c ) es un vector normal a ese plano.
Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos. Dos planos son perpendiculares si sus vectores normales son ortogonales.
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2) Encontrar la medida del ángulo en radianes entre los planos:
5x–2y +5z-12 = 0 y 2x +y –7z + 11 = 0
Solución:
Sea N1 el normal al primer plano. Y N2 el normal al segundo plano. Así N1= (5. –2, 5 ) y
N2= (2,1, -7)
Luego 1 2
1 2
cosN N
N N
(5, 2,5) (2,1, 7) 1
254 54
2/3
3) Hallar la distancia del plano 2x-y +2z + 10 = 0 al punto ( 1,4,6)
Solución: QP = (6,4,6 ) Entre N y – N tomemos el que forme menor
N = (2,-1, 2 ) ángulo α<2
- N = (-2,1,-2 con QP y lo llamaremos N1
P (1,4,6 )
α
N QP d=?
R
Q (5,0,0 )
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1
1
cosN QP
d RP QP peroCosN QP
Luego :
11
1
( ) (2, 1,2) (6,4,6)
31
QP N QPN QPd
N QP N
20
3unidades
AUTOEVALUACIÓN Nº 1
1.- Determine si los puntos 0, 2,1 ; 3, 1, 2 ; 2,5,1 1,2,6A B C yD son
coplanares.
2.- Determine la distancia del punto 0 1,2, 1P a la recta de ecuación
2 1 2
1 2 1
X Y Z
3.- Encuentre la medida del ángulo entre los planos de ecuaciones
5 2 5 12x y z Y y 2 7 11X Y Z
4.- Halle la ecuación del plano que contenga al punto 1, 1,3 y que sea paralelo al
plano de ecuación 6 3 7X Y Z
5.- Halle las coordenadas del punto P de intersección de la recta;
1 1
2 1 3
X Y ZL
con el plano de ecuación:
3 2 25 0X Y Z
CRITERIO DE CORRECCIÓN: 4 puntos cada pregunta total 20 puntos.-
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Teoría y Práctica
PNF EN ELECTRICIDAD 21
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
RESPUESTAS:
1.- No son coplanares.
2.- 7 3 3d unidades
3.- 1cos 1 2 120 120así
4.- 6 3 14 0X Y Z
5.- 9, 5,12P
BIBLIOGRFÍA
LEITHOLD, Louis: El cálculo, (con Geometría Analítica)
México. Editorial Harper. Segunda edición 1973
LANG, Serge: Algebra lineal, México. Editorial Fondo Educativo
Interamericano. 1975.
LIPSCHUTZ, Seymour Algebra lineal, México. Editorial McGraw-Hill 1979.
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Teoría y Práctica
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LA VICTORIAEXPERIMENTAL
AALLGGEEBBRRAA
MMOODDUULLOO IIII:: NNÚÚMMEERROOSS
CCOOMMPPLLEEJJOOSS
CONTENIDO:
- Definición.
- Forma rectangular, polar, interpretación geométrica.
- Álgebra de los números complejos.
- Números complejos conjugado.
- Raíces, potencia.
- Formula de Moivre.
- Formula de Euler.
- Vectores, fasores
- Funciones variables complejas (ejemplos).
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Teoría y Práctica
PNF EN ELECTRICIDAD 23
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
OBJETIVO
Al término de este tema, el estudiante deberá ser capaz de demostrar habilidad en el manejo
de los números complejos, cualquiera sea su expresión.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
- Establecer la necesidad de ampliar R.
- Definir número complejo.
- Dados números complejos representarlos en el plano.
- Definir la unidad imaginaria.
- Calcular potencias de la unidad imaginaria.
- Dado un número complejo en forma de par ordenado, expresarlo de manera polar o
trigonométrica.
- Interpretar geométricamente un complejo en forma polar.
- Dado dos números complejos calcular su diferencia.
- Dado dos números complejos calcular su producto.
- Aplicar las propiedades de la multiplicación de números complejos.
- Dado un numero complejo Z, definir su conjugado .Z
- Dado dos números complejos calcular su cociente.
- Dado un número complejo calcular potencias de él.
- Determinar la raíz de un número complejo dado.
- Aplicar la formula de Moivre.
- Aplicar la formula de Euler.
- Definir fasores.
- Aplicar el concepto de favor a problemas de circuitos eléctricos.
- Dado un número complejo, determinar su imagen a través de funciones
trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.
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Teoría y Práctica
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LA VICTORIAEXPERIMENTAL
NÚMERO COMPLEJO
DEFINICION: Un número complejo Z es un par ordenado de números reales (a, b). El primer
elemento representa la parte real y se indica con el símbolo Re, el segundo elemento
representa la parte imaginaria y se indica con el símbolo Im, entonces:
Re z a y Im .z b
El número complejo z se representa en el plano complejo como se muestra:
Dos números complejos 1 2, , ,Z a b Z c d son iguales si , y solo sí, a=c y b=d.
Una igualdad en el conjunto de los números complejos equivalentes a un par de igualdades en
el conjunto de los números reales.
FORMA RECTANGULAR DE UN NÚMERO COMPLEJO
Todo número complejo (a,b) se puede escribir en forma ,a bi que es la llamada forma
rectangular de un número complejo.
El número complejo (0,1) esta representado por i .
0
1
2
3
1
1
i
i i
i
i i
EJE
IMAGINARIO
b (a, b)
a EJE REAL
ÁLGEBRA
Teoría y Práctica
PNF EN ELECTRICIDAD 25
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
FORMA POLAR
Un número complejo también se puede expresar de la siguiente forma ,iZ Z e
que es la llamada forma polar o exponencial.
El termino Z representa la magnitud de Zy representa el argumento de Z.
SUMA Y RECTA DE NÚMEROS COMPLEJOS
La suma de dos números complejos es otro número complejo que encuentra al sumar las
partes reales y las imaginarias.
1 2 2 1 ,Z Z Z Z Z donde 1 2, ,Z a ib Z c id
entonces: .Z a c i b d
1 2 .Z Z a c i b d
MULTIPLICACIÓN
Utilizando los números complejos 1 2Z yZ anteriores, su producto es:
1 2 .Z Z a ib c id ac bd i ad bc
lo que indica que el producto de dos números complejotes otro número complejo. En la forma
polar, se tiene que:
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2 1 2
,i i
i
Z Z e Z Z e
Z Z Z Z e
EJE IMAGINARIO
Z
EJE REAL
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LA VICTORIAEXPERIMENTAL
La multiplicación de números complejos se logra más fácilmente en la forma polar o
exponencial que en la forma rectangular.
La suma y la multiplicación de números complejos son conmutativas y asociativas y la
multiplicación es distributiva con respecto a la suma en los números complejos, por lo tanto:
1.- 1 2 2 1Z Z Z Z
2.- 1 2 2 1. .Z Z Z Z
3.- 1 2 3 1 2 3Z Z Z Z Z Z
4.- 1 2 3 1 2 3. . . .Z Z Z Z Z Z
5.- 1 2 3 1 2 1 3. . .Z Z Z Z Z Z Z
CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO
El conjugado del número complejo ,Z a ib por definición, es .Z a ib
Con frecuencia la multiplicación de un número complejo Z por su conjugado ,Z cuyo resultado
es un número real.
En la forma polar, ,iZ Z e entonces el conjugado será: .iZ Z e
DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Para cada par de números complejos 1 2 2, 0,Z yZ Z se define la división como:
1. 21 1 21 2
2 2 2 2 2
1. .
Z ZZ Z ZZ Z
Z Z Z Z Z
2 2 2 2
ac bd bc adZ i
c d c d
En la forma polar o exponencial:
1
1 2
2
1 11
2 2 2
i
i
i
Z e ZZe
Z Z e Z
ÁLGEBRA
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PNF EN ELECTRICIDAD 27
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
RAÍCES Y POTENCIAS DE Z
Las raíces y las potencias de números complejos se encuentran utilizando la ley de los
exponentes. Por lo tanto:
n nn i i nZ Z e Z e
Si se sustituye 1/m en lugar de n y también se suma 2 ,k a se obtiene:
21 i k MM MZ ze
, donde K es un entero y para K=0 se tiene
el valor principal. Este resultado se conoce como teorema De Moivre.
IDENTIDAD DE EULER
Existen ecuaciones útiles para convertir de polar a rectangular, que se derivan principiando con
la identidad de Euler:
cosie isen
LOGARITMO DE UN NÚMERO COMPLEJO
El logaritmo de un número complejo se encuentra expresando es número en forma polar y
observando también que 2 para cualquier valor entero de k con en radianes.
Entonces:
2
2iiLnZ Ln Z e Ln Z e Ln Z i
El valor para 0k se conoce como valor principal.
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LA VICTORIAEXPERIMENTAL
PROPLEMAS PROPUESTOS:
1.- En las siguientes expresiones, hallar los valores de m y n que hacen ciertas la
proposición dada:
. 3, 2 1,2
. , 4, 2
. 3 2 5
. 3 5
. 5 6, 7 ,
a m n
b m n
c m i n m i
d m n i n m i
e m n m n
2.- Exprese los siguientes números complejos en forma polar:
. 3 3 , 3 4 , 3 2 , 2 2
1 3. 1 3 , . 4 2
2 2
3 12 5. 3 ,
2 13 13
a i i i i
b i i i
c i i
3.-
Exprese los siguientes números complejos en forma rectangular:
45 30 120
120 105
. 3 , 4 , 3
. 2 , 15
i i i
i i
a e e e
b e e
4.- Dado los siguientes números complejos:
1 2 3 4
22 3 , 1 3 , 3 3 2 3 .
2Z i Z i Z i yZ i
Determine las siguientes cantidades, indicando cada número complejos y la suma o la resta en
el plano complejo:
1 2 3
1 4
1 2 3 4
2 3 4
.
. 3
.
. 4 5
a Z Z Z
b Z Z
c Z Z Z Z
d Z Z Z
5.- Utilizando los mismos números complejos del problema anterior, determine las
siguientes cantidades, expresándolas en forma rectangular y en forma polar. Presente cada
cantidad en el plano complejo.
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LA VICTORIAEXPERIMENTAL
1 2
1 3 2 4
1 2
. .
. .
. .
a Z Z
c Z Z Z Z
e Z Z
1 3 4
1 2
1 1
4 4
. . .
. .
..
b Z Z Z
c Z Z
Z Zf
Z Z
6.- Utilizando los mismos números complejos del problema 4, determine las siguientes
cantidades, expresándolas en forma rectángula y en forma polar, presente en el plano
complejo.
1
2
3
4
.
.
Za
Z
Zc
Z
1 2
3 4
1
3 2 4
..
.
.
Z Zb
Z Z
Zc
Z Z Z
7.- Si 1
,cos
a ibisen
determine los valores de a y b.
8.- Hallar dos números complejos, sabiendo que su suma es 4 3,i la parte real
de uno de ellos es 4 y el cociente es imaginario puro.
9.- Hallar el valor de x para que el producto 4 . 3x i i sea un número real.
10.- Hallar el valor de x para que el cociente 4 3
5 2
x i
i
sea imaginario puro.
11.- Determinar el valor de x y p de modo que el siguiente producto sea igual a
9 11 :i
2 . 5 .x i p i
12.- Hallar Z, sabiendo que 5Z Z y que . 19.Z Z
13.- Hallar dos números complejos, cuya diferencia es un número real, su suma tiene como
parte real 3 y su producto es igual a 35 7 .i
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14.- Dar la expresión más simple de cada una de las siguientes:
31
504
4 16
.
.
. n
a i
c i
e i
23
4 1
4
.
.
.
n
n
b i
d i
f i
15.- Si
6 2 6 2,
4 4Z i
hallar:
2
6
.
.
a Z
c Z
3
24
.
.
b Z
d Z
16.- Efectúe y escriba en la forma :a ib
3 2
43
1 . 2
. 1 3
i i
i i
17.- Efectúe:
. ia i . ib i
18.- Efectúe:
3 2
2
10 2
2cos30 . 3cos 45.
13cos60 . cos 60
2
. 3 cos15 . 1 3
a
b i
19.- Desarrolle y exprese en la forma :a ib
1 1
1 17 2 1
2 2i
i
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LA VICTORIAEXPERIMENTAL
20.- Desarrolle las siguientes expresiones:
2
5
39
237
3
3
5 3 . 3 3.
4 4
2 . 1 4.
. 5
s 45 cos 60 . 60.
3 2
i ia
i
i ib
i i
en i isenc
i
21.- Hallar las raíces de las siguientes ecuaciones y simplificar:
2
2
2
. 9 0
. 32 0
. 1 5 0
a x
b x
c x
22.- Que restricción debe imponerse a x para que
1 1?x i x
23.- Un estudiante expuso la siguiente “demostración” de que 1=-1, encontrar el error.
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
11
1
1
i
i
1 .1
ii
1 .i i
21 i
1 1
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LA VICTORIAEXPERIMENTAL
24.- Hallar:
4
3
. 1
. 64
a i
b
25.- Resolver las siguientes ecuaciones:
3
5
2
. 5 15 0
. 1 0
. 24 5 0
a Z i
b Z i
c Z i
26.- Sea 2 .f x x i
a.- Hallar2 2
2 2f i
b.- Hallar 2 2
2 2f i
c.- Hallar dos soluciones de la ecuación 2 0.x i
27.- Calcule:
. 2 3
. 2 2
. 2 2
. cos 3 2
. 2
a Ln i
b Ln i
c Sen i
d i
e Tag i
AUTOEVALUACIÓN 2
1.- Efectúe y escriba en la forma :x iy
3 2
48
1 2
1 3
i i
i i
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2.-Escriba en forma exponencial:
. 2 2a Z i . 3b Z
3.-Efectúe:
3 2
2
2cos30 3cos 45
13cos60 cos 60
2
4.-Calcule las raíces quinta de 1 .Z i
5.-Dado 2 2 .Z i Calcule LnZ y SenZ.
RESPUESTAS
1.- 3 171
2.- a) 2 2 2 2 2. cos2 2 0,69627 0,02419z i ie e e e e isen i
b) 3 6 6 6 6 6. cos 6 6 0,0002478 1 0,0000025902z i ie e e e e isen
3.- 48cos330
4.- 5 1 105 4 2
1 2cos 45 2 cos5
ki
Para k=0 1 10
1 2 cos 20z
Para k=1 1 10
2 2 cos9 20z
Para k=2 1 10
3 2 cos17 20z
Para k=3 1 10
4 2 cos5 4z
Para k=4 1 10
5 2 cos33 20z
5.- 2 2 2 2 4 2 0, 1, 2, 3...Lnz Ln i Ln i k k
Valor principal: 2 2 4Lnz Ln i
6.-
2 2 2 2
2 2 0,1312985 3,6246502
i i i ie e
senz sen i ii
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Teoría y Práctica
PNF EN ELECTRICIDAD 34
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
BIBLIOGRAFÍA
- BURGOS, A. (1978) Matemáticas Generales. Tomo II
Selecciones Científicas. Madrid.
- LANG, S. (1975) Álgebra Lineal.
Fondo Educativo Interamericano, S.A.
- SPIEGEL, M. (1971) Variable completa.
McGraw-Hill. México.
- QUEYSANNE, M(1979) Álgebra Básica.
Editorial Vicen-Vives. Barcelona. España.
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LA VICTORIAEXPERIMENTAL
ÁÁLLGGEEBBRRAA
MMOODDUULLOO IIIIII:: MMAATTRRIICCEESS
CONTENIDO
- Definición de Matrices
- Operaciones con matrices
- Matrices especiales
- Matriz inversa multiplicativa
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Teoría y Práctica
PNF EN ELECTRICIDAD 36
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
OBJETIVOS GENERALES
- Al finalizar el estudio, el estudiante deberá mostrar destreza en el manejo de matrices a
través de la resolución de problemas.
- Al finalizar el tema, el estudiante deberá ser capaz de mostrar destrezas en el cálculo y
aplicación de los determinantes.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
- Definir Matriz.
- Definir Matriz asociada a una transformación lineal.
- Definir matrices notables.
- Dadas dos matrices calcular su suma.
- Aplicar las propiedades de la adición de matrices.
- Calcular el producto de un escalar dado por una matriz.
- Aplicar propiedades del producto de un escalar por una matriz.
- Determinar el producto de dos matrices.
- Determinar la matriz equivalente a una matriz dada, usando las operaciones
elementales entre filas.
- Determinar la matriz escalonada reducida por filas, equivalente a una matriz dada.
- Definir determinante de una matriz.
- Calcular el valor de determinantes de segundo y tercer orden.
- Calcular el valor de determinantes de orden mayor o igual que cuatro.
- Calcular el producto vectorial de vectores usando determinantes.
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Teoría y Práctica
PNF EN ELECTRICIDAD 37
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
MATRICES
Una matriz real es un conjunto ordenado de números reales arreglados en filas y columnas.
Sean I = 1,2,3,4,....n y J = 1,2,3,...m dos conjuntos de números reales de n y
m elementos, respectivamente. Se llama Matriz de Orden n x m sobre R, a toda función:
:A IxJ R
En este capitulo usaremos las siguientes nomenclaturas:
a. La imagen de un par (i, j) se denota por aij, ósea a (i,j) = aij.
b. Los escalares aij se denominan elementos de la matriz A en donde el primer
subíndice indica la posición de la fila y el segundo la posición de la columna.
c. Emplearemos letras mayúsculas para representar las matrices y letras
minúsculas con o sin subíndices para sus elementos.
d. Se acostumbra presentar el arreglo de los elementos de una matriz A entre
paréntesis o corchetes, como se indica a continuación:
A =
11 12 13
21 22 23
a a a
a a a
Ö A =
11 12 13
21 22 23
a a a
a a a
e. Se emplea la notación A = (aij)nxm para identificar una matriz de orden nxm,
cuyos elementos son aij.
f. Se acostumbra a decir que una matriz A= (aij)nxm es una matriz n filas y m
columnas, que es el orden de la matriz.
g. El conjunto de las matrices de n filas y m columnas sobre R, se denota por
Mnxm( R ).
h. Cuando n=1, se dice que A es una matriz fila. Cuando m=1, se dice que A es
una matriz columna.
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Teoría y Práctica
PNF EN ELECTRICIDAD 38
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
(a11 a12 a13 a14) matriz fila,
11
21
31
a
a
a
matriz columna
i. Cuando n=m se dice que A es una matriz cuadrada de orden n. El conjunto de
las matrices cuadradas de orden n , sobre R, se denota por Mn( R).
j. Para todo elemento i de la matriz 1xm, cuya representación es:
(a11 a12 a13…….an) se denomina la i-enésima fila de A
IGUALDAD DE MATRICES
Sean A= (aij)nxm y B = (bij)pxq dos matrices. La matriz A es igual a la matriz B, si solo si n=p,
m=q y además aij = bij , para todo par de índice (i, j).
MATRICES ESPECIALES
Ahora vamos a definir unos tipos especiales de matrices, que nos van a permitir expresar
relaciones importantes mas adelante.
En el caso especial en que las matrices sean cuadradas, es posible destacar los elementos aij
con i = j, los cuales forman la diagonal de la matriz.
1- Consideremos una matriz cuadrada de orden n tal que aij = 0 cuando i≠j, por ejemplo:
11
22
33
0 0....0
0 0....0
0 0 ...0
a
a
a
A esta matriz se le llama matriz diagonal.
Un caso particular de matriz es la llamada matriz escalar.
En ella se tiene que aij =
,
,
k R sii j
o sii j
ÁLGEBRA
Teoría y Práctica
PNF EN ELECTRICIDAD 39
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
Por ejemplo :
3 0 0
0 3 0
0..
0 0 3
Toda matriz escalar es diagonal, pero lo contrario es falso.
2.- Si se tiene una matriz cuadrada de orden n, tal que:
aij=
1
0
si
si
i j
i j
se tiene In
1 0 0
0 1 0
0 0 0 1
3.- Sea A (aij) nxm, una matriz con coeficientes en R, la matriz (aij)mxn, que se obtiene de la
matriz A al intercambiar filas por columnas, se llama transpuesta de la matriz A y se denota At .
Ejemplo: A=
4 0
3 1
5
6
entonces At =
4 6
0 3
5 1
4.- La matriz A = (aij) nxm se llama triangular inferior, si solo si aij=, cuando i < j. Se llamara
triangular superior, si solo si aij = 0, cuando i j. Las matrices siguientes son, respectivamente,
triangular inferior y triangular superior.
ÁLGEBRA
Teoría y Práctica
PNF EN ELECTRICIDAD 40
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A =
1 0 0 0
0 7 0 0
9 5 2 0
1 1 3 2
Y
3 2 1
0 7 9
0 0 7
B
OPERACIONES CON MATRICES
En el siguiente punto vamos a estudiar definidas con matrices para establecer el tipo de
estructura que estos conjuntos tienen.
SUMA DE MATRICES
Dadas las matrices A = ( aij) y B = (bij) que tienen el mismo orden, se llama matriz suma de A Y
B C = (cij), tal que Cij = aij + bij para todo par (ij) y se denota como : C = A + B . Ejemplo:
2 5 3 5 0 7 2 5 5 0 3 ( 7)
6 4 0 0 8 1 6 0 4 8 0 1
7 5 10
6 12 1
La matriz suma C es del mismo orden de A y B. La suma de matrices satisface las siguientes
propiedades:
La suma es conmutativa.
La adición es asociativa.
Existe el elemento neutro: la matriz nula de orden nxm.
Toda matriz de orden nxm, tiene simétrica u opuesto.
Estas propiedades pueden demostrarse con facilidad, por lo tanto las dejaremos como
ejercicio.
ÁLGEBRA
Teoría y Práctica
PNF EN ELECTRICIDAD 41
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
RESTA DE MATRICES.
Sean A y B dos matrices del mismo orden, la resta A-B = A + (-B). Ejemplo:
8 4 3 7 8 4 3 7
5 3 2 5 5 3 2 5
8 ( 3) 4 ( 7)
5 ( 2) 3 ( 5)
=
11 3
3 2
Es evidente que la resta se puede efectuar restando los elementos correspondientes.
MULTIPLICACION ESCALAR
Sean R y A = (aij) una matriz. Al par ( , A) le asociamos una matriz B= (bij)nxm, tal que
llamaremos multiplicación de un escalar por una matriz y que denotaremos B = A . Ejemplo:
2 3 4.2 4.( 3)4
6 7 4 6 4.7
8 12
4 6 28
Esta operación tiene las propiedades que se indican a continuación:
( )
( )
( ) ( )
1
A A A
A B A B
A A
A A
ÁLGEBRA
Teoría y Práctica
PNF EN ELECTRICIDAD 42
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
Ahora podemos establecer algunas propiedades de la matriz transpuesta:
( )
( ) ( )
( )
t t t
t t
t t
A B A B
A A
A A
MULTIPLICACION DE MATRICES
Dada las matrices A=(aij)nxmy B = (bik)mxp, a este par de matrices le asociamos otra matriz C=
(cik)nxp, que llamaremos matriz multiplicación de A por B y es denotada por C =AB y en donde:
1
m
ik ij jk
j
C a b
Es importante notar que el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número
de filas de la segunda matriz, de otro modo el producto no esta definido. Si A Y B son matrices
cuadradas del mismo orden, es claro que en este caso existen el producto de AB y BA, pero
estos no son necesariamente iguales. Es decir, la multiplicación no es conmutativa.
Consideremos las matrices:
372
101A y
3 2
1 2
0 1
0 1x
B
A es una matriz de orden 2x3 y B es de orden 3x2 por lo tanto, si existe el producto de AB, que
dará como resultado una matriz de orden 2x2.
1 21 0 1
0 12 7 3
0 1
AB
MATRIZ INVERSA MULTIPLICATIVA
Sabemos que en M(n,R), el conjunto de las matrices cuadradas de orden n y coeficientes en R,
existe un elemento identidad: In . Este hecho nos induce a establecer si existen y como se
pueden determinar, la matriz inversa, en el sentido multiplicativo, de una matriz dada.
ÁLGEBRA
Teoría y Práctica
PNF EN ELECTRICIDAD 43
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
Una matriz cuadrada A de orden n y coeficientes en R admite inversa, si existe una matriz B
cuadrad de orden n, tal que AB = BA = In, siendo In la matriz identidad de orden n. Tal matriz
se denota por At
Si A es una matriz cuadrada de orden n y existe una matriz Bnxn, tal que BA = In se dice que B
es inversa de A a la derecha. En forma análoga una matriz Cnxn tal que AC=In, se dice que es
inversa de A a la derecha.
Si A es una matriz que admite inversa a la izquierda y a la derecha se cumple que tales
matrices son iguales. En efecto: si BA=AB=In, entonces se tiene que
B==In)B(AC)=(BA)C=InC=C
Ejemplo: hallar a la inversa multiplicativa de
Sea,
2 3
6 10A
la matriz multiplicativa de A.
Tenemos
2 3 1 0
6 10 0 1
â b
c d
Esto nos da los sistemas:
135
2
3 1A
y
2 3 0
6 10 0
b d
b d
Resolviendo los sistemas de ecuaciones tenemos que:
135
2
3 1A
ÁLGEBRA
Teoría y Práctica
PNF EN ELECTRICIDAD 44
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
Ahora vamos a establecer algunas propiedades:
Sean A y B dos matrices de orden nxm. Se cumple entonces que:
- Si A es inversible, también lo es A-1 y se tiene (A-1)-1 =A.
- Si A y B son inversibles, también lo es AB y (AB)-1 = A-1 B-1
- Si m es un entero positivo y A es una matriz de orden nxm definimos A-m = (A-1 )m
No todas las matrices cuadradas admiten inversas.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- Dada las matrices3 8 2 2 7 4
,5 0 9 6 9 5
A yB
efectuar las siguientes operaciones indicadas:
.
.t
a A B
d A B
. 2
. 5
b A B
e A B
.
. 3 4
t ta A B
d A B
2.- Sean 2 3 4 3 3 2
, , :4 5 6 2 5 1
A B yC calcular
.a A BC y AB C
.b A B C y AB AC
.c B C A y BA CA
3.- Sean
2 22 1 1 3
, 1 0 ,3 1 2 1
1 3
A B yC
¿Se pueden
calcular los siguientes productos? En caso afirmativo efectuarlo.
ÁLGEBRA
Teoría y Práctica
PNF EN ELECTRICIDAD 45
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
.
. , , , , .
a A BC y AB C
b BC CB CA AC AByBA
4.- Sean
cos 0 1 0 0
cos 0 , 0 cos
0 0 1 0 cos
sen
sen B sen y
sen
0 1
1 0 ,
2 0
C
se pide calcular:
2 2
. ,
.
.
tt ta AB B A y AB
b ACyCA
c B yA
5.- Hallar s y t, tal que:
3 3 2 7.
4 2 4
0 2 5 3.
3 4 0 3
s ta
t s
s tb
s t
6.- Hallar la matriz X tal que:
2 3 8 0. 3
8 7 1 13
2 1 0 1 1 1. 2
0 3 1 1 2 1
1 0 5. 5 2
2 3 6
a X
b X
c X X
ÁLGEBRA
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PNF EN ELECTRICIDAD 46
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
7.- Resolver:
2
2
2
2
. 01 2
0. 0
0
x ya I
xb I
x
8.- Dadas:
3
1 12 3 0
2 5 1 2 3
0 4 1 2 2 1 03
i ii i
A i yB i i i
i
. , , ,
. t t
a A B A B AB BA
b A B
9.- Calcular la matriz inversa, si existe, para cada una de las siguientes matrices:
1 3
5 7a
2 1 1
. 4 3 2
6 1 1
b
cos.
cos
senc
sen
10.- Tres fincas A, B y C producen naranjas guanábanas y aguacates. La finca A produce en
toneladas 3,5y 4 de los mencionados productos, respectivamente. La finca B produce 2,10 y 12
toneladas respectivamente y la finca C produce 7,2 y 4 toneladas respectivamente. El costo de
producción por producto es de Bs. 20,00 por Kg., Bs. 30,00 por Kg. y 60,00 por Kg., si los
precios de venta son de Bs.40, 00 por Kg., Bs.50, 00 por Kg. y de 80,00 por Kg. Se desea:
a.- Hacer un cuadro (matriz) de producción.
b.- Dar el costo de producción con una matriz.
c.- Dar el precio de venta con una matriz.
d.- Calcular el costo total por finca.
e.- Calcular los ingresos por finca.
f.- Calcular la ganancia total por finca.
ÁLGEBRA
Teoría y Práctica
PNF EN ELECTRICIDAD 47
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
11.- Calcular el valor del determinante de las siguientes matrices:
2
2
2
2 2
25
7 3. . .
5 2
cos 1 21. .
cos 1 2 1
3 2 11 2 3
. 2 0 1 . 0 1
3 4 2 0 1
a b a ba aba b c
a b a bab b
sen t td e
sen t t t
i i
f g i i
i
12.- Calcule:
3
125
1 1 2 31 3 2 2
. . 1 21
2 3 0
i ii
a b i ii i
i i
1 0 2 01 1 1 1 9
1 1 1 1 9 3 1 0. .
1 1 1 1 4 3 0 1
1 1 1 1 1 17 64 5
c d
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 1 0 0 1 5 0 0 0
. .0 1 0 1 0 1 5 6 0 0
0 0 1 0 1 1 2 3 4 0
0 0 0 1 0 1 2 2 3 4
e f
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PNF EN ELECTRICIDAD 48
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
13.- Considere las siguientes matrices:
1 1 11 2 0 2
3 4 1 0 0 3
5 0 1 2 1 03
A yB
a.- Calcular 3det 3 det 4AA B y AB B I
b.- Calcular det det detA B y A B ¿Qué concluye?.
c.- 22det . ,det dettA A A y A
14.- Demuestre:
2
cos.
cos
cos cos
. cos 0
cos cos cos
sena r
rsen r
sen sen sen
b sen sen sen sen
sen sen
15.- Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:
0 2 1 02 6
0 1 3. 4 1 3 0 . 0
1 0 20 4
2 1 0 3
x
a b
x
16.- Sean f, g, h, k cuatro funciones derivables en un intervalo (a,b). Se define
ÁLGEBRA
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PNF EN ELECTRICIDAD 49
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
f x g xF x
b x k x
para cada x de (a,b)
Demuestre que:
t t
t
t t
f x g xf x g xF x
h x k xh x k x
Nota: tF es la función derivada.
17.-Considere la siguiente matriz triangular superior:
5 6 7 8
0 5 6 7,
0 0 5 6
0 0 0 5
A
Determine: 1 1,det det .A A y A
18.- Sea
1 0 0 0
0 1 0 0; .
0 0 1 0
0 0 0 1
a b c d
e f g hA B
a b c d
e f g h
Demuestre:
. det . detc d a b
a A b Bg h e f
19.- Halle los valores de R tales que 0,I A si:
2 1 10 3
. . 0 3 12 1
2 1 3
a A b A
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20.- La ecuación de la recta que pasa por los puntos 1 1 1 2 2 2, , ,P x y yP x y esta
dada por: 1 1
2 2
1
1 0.
1
x y
x y
x y
Por medio de este resultado, determine la ecuación de la recta
que pasa por los puntos 1 212,3 ,2
2P yP
21.- Sin desarrollar, sino solamente usando las propiedades de los determinantes, verifica
que los siguientes determinantes son nulos:
2
2 2
2 2
1 cos 1
. 1 cos . 1
1 cos 1
sen a b c
a sen b b c a
sen c a b
22.- Calcular la matriz inversa, si existe, de las siguientes matrices:
3 2 cos 1. . .
1 4 cos 2 1
sen i ia b c
sen i
2 1 1 0 1 20 2
. 2 0 4 . 1 0 3 .0 1
3 2 3 2 3 0
d e f
Nota: utiliza la ecuación
1 1.
detA adj A
A
23.- Establecer sin desarrollar los respectivos determinantes, si las siguientes matrices son
singulares:
2 1 5 3 5 7
. 0 3 6 . 4 9 1
0 0 4 3 5 7
a b
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24.- Determinar todos los valores de x para que las siguientes marices, sean invertibles:
2
1 1 1 0 1
. 2 3 . 0 1 0
4 9 2 2
x
a x b x
x i x
25.- Demostrar que det det ,A A cualquiera sea .A Mn R y R
26.- Sea A una matriz cuadrada, tal que det 4.A Calcular:
1 1. det . det . det .a A b A c A
AUTOEVALUCIÓN 3
1.- Sea
1 1
2 1
1
i i
A i i y i
i
Hallar .A
2.- Dada la matriz
3 1 2
0 4 5 ,
0 0 3
A
resolver 3det 0A XI
3.- Calcular:
3 1 1 2 1
0 3 1 4 2
1 4 2 3 1
5 1 3 2 5
1 1 2 3 2
A
4.- Hallar la matriz inversa de
2 3 4
2 1 1
1 1 2
A
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PNF EN ELECTRICIDAD 52
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
RESPUESTAS
1.-
2 2
1 3
1 1
i
A i i
i i
2- 3,4, 3
3.- 166
4.- 1
1 2 1
5 8 6
3 5 4
A
BIBLIOGRAFÍA
-BURGOS, A. (1978) Matemáticas Generales. Tomo I
Selecciones Científicas. Madrid.
- LANG, S. (1975) Álgebra Lineal.
Fondo Educativo Interamericano, S.A.
- NERING, E (1977) Álgebra Lineal y Teoría de Matrices.
Editorial Limusa. México.
- LIPSCHUTZ, S. (1971) Álgebra Lineal.
Editorial McGraw-Hill. México.
-QUEYSANNE, M. (1979) Álgebra Básica.
Editorial Vencen-Vives. Barcelona. España.
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LA VICTORIAEXPERIMENTAL
ÁÁLLGGEEBBRRAA
MMOODDUULLOO IIVV:: SSIISSTTEEMMAA DDEE
EECCUUAACCIIOONNEESS
CONTENIDO
- Sistemas de ecuaciones lineales.
- Resolución de sistemas de ecuaciones lineales usando el método
de Gauss - Jordan.
- Métodos Iterativos.
OBJETIVO GENERAL
- El estudiante deberá ser capaz de resolver sistemas de
ecuaciones usando el método de Gauss- Jordan..
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PNF EN ELECTRICIDAD 54
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
SISTEMAS DE ECUACIONES
m Ecuaciones en n incógnitas: Eliminación de Guass-Jordan.
Se procederá a describir un método para encontrar las soluciones (si existen) de un sistema de
m ecuaciones lineales en n incógnitas.
En general, un sistema de m y n de m ecuaciones lineales en n incógnitas esta dado por:
1
2
3
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
...........................................
...........................................
...........................
a x a x a x a x
a x a x a x a x
a x a x a x a x
n n b
n n b
n n b
................
1 2 3 1a x a x a x a x
mm m m mn n b
(A)
Este sistema puede ser escrito en la forma Ax b donde
11 12 1
21 22 2
31 32 3
21
a a a
a a a
a a a
a a
n
n
A n
amm mn
1
2
3
n
X
X
x X
X
1
2
3
m
b
b
b b
b
En este sistema todas las a y b son números reales dados. El problema es encontrar todos los
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PNF EN ELECTRICIDAD 55
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
conjuntos de n números, denotados por 1 2 3, , , , nX X X X que satisfagan cada una de las m
ecuaciones de (A).
El número ija es el coeficiente de la variable jX en la i-ésima ecuación.
Resolvemos el sistema (A) escribiendo el sistema como una matriz aumentada y reduciendo
por renglones la matriz escalonada reducida. Empezamos dividiendo el primer renglón entre
11.a Si 11 0a entonces podemos intercambiar las ecuaciones de forma que la nueva 11.a sea
diferente de cero. Usamos después está primera ecuación para eliminar los términos en 1X de
cada una de las otras ecuaciones. Luego, la segunda nueva ecuación se divide entre el nuevo
termino 22.a y esta nueva ecuación se usa para eliminar los términos en 2X de las demás
ecuaciones. Este proceso se continúa hasta que ocurra una de las tres situaciones siguientes:
1.- La última ecuación diferente de cero nX C para alguna constante C. Entonces hay
una única solución o hay un número infinito de soluciones para el sistema.
2.- La última ecuación es una ecuación lineal en dos o más variables. Entonces existe un
número infinito de soluciones.
3.- La última ecuación queda 0 C donde 0.C Entonces no existe solución. En este
caso decimos que el sistema es inconsistente. En los dos casos anteriores se dice que el
sistema es consistente.
Antes de entrar al método en general veremos algunos ejemplos simples.
Ejemplo 1
Resuelva el sistema.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 4 6 18
4 5 6 24
3 2 4
X X X
X X X
X X X
(1)
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PNF EN ELECTRICIDAD 56
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
Solución
Buscamos tres números 1 2 3, ,X X X tales que las tres ecuaciones en (1) sean satisfechas. El
método de solución consistirá en simplificar las ecuaciones de forma que las soluciones sean
identificadas fácilmente. Empezamos por dividir la primera ecuación entre 2. Esto da
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 9
4 5 6 24
3 2 4
X X X
X X X
X X X
(2)
Como sabemos sumar dos ecuaciones nos lleva a una tercera ecuación valida. Esta ecuación
puede reemplazar en el sistema a cualquiera de las dos usadas para obtenerla. Empezamos a
simplificar el sistema (2) multiplicando por -4 ambos lados de la primera ecuación en (2) y
sumando esta nueva ecuación a la segunda. Esto da
1 2 3
1 2 3
2 3
4 8 12 36
4 5 6 24
3 6 12
X X X
X X X
X X
La ecuación 2 33 6 12X X es nuestra segunda nueva ecuación y ahora el sistema es
1 2 3
2 3
1 2 3
2 3 9
3 6 12
3 2 4
X X X
X X
X X X
Ahora multiplicamos la primera ecuación por -3 y la sumamos a la tercera ecuación
1 2 3
2 3
2 3
2 3 9
3 6 12
5 11 23
X X X
X X
X X
(3)
Se nota que el sistema (3) la variable 1X ha sido eliminada de la segunda y tercera
ecuaciones. Ahora dividiremos la segunda ecuación por -3
ÁLGEBRA
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PNF EN ELECTRICIDAD 57
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
1 2 3
2 3
2 3
2 3 9
2 4
5 11 23
X X X
X X
X X
Multiplicamos la segunda ecuación por -2 y la sumamos a la primera: luego se multiplica la
segunda ecuación por 5 y se le suma a la tercera:
1X
3
2 3
3
1
2 4
3
X
X X
X
Multiplicamos la tercera ecuación por -1:
1X
3
2 3
3
1
2 4
3
X
X X
X
Finalmente, sumamos la tercera ecuación a la primera y después se multiplica la tercera
ecuación por -2 y se le suma a la segunda para obtener el siguiente sistema (el cual es
equivalente al sistema (1)):
Esta es la solución del sistema. La escribimos en forma de vector 4, 2,3 El método
aquí usado se conoce como método de eliminación de Gauss-Jordan.
Antes de continuar con otro ejemplo resumiremos lo hecho en éste:
1.- Dividimos para ser igual a 1 el coeficiente de 1X en la primera ecuación.
2.- Eliminamos los términos en 1X de la segunda y tercera ecuaciones, esto es, hicimos
los coeficientes de estos términos iguales a cero multiplicando la primera ecuación por
números apropiados y después sumándole a la segunda y tercera ecuaciones,
respectivamente.
1X
2
3
4
2
3
X
X
ÁLGEBRA
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PNF EN ELECTRICIDAD 58
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
3.- Dividimos para hacer igual a 1 el coeficiente del término en 2X en la segunda
ecuación y después usamos ésta para eliminar los términos en 2X de la primera y tercera
ecuaciones.
4.- Dividimos para hacer igual a 1 el coeficiente del termino en 3X la tercera ecuación y
después usamos ésta para eliminar los términos en 3X de la primera y segunda ecuaciones.
MATRIZ DE COEFICIENTES
Antes de resolver otros sistemas de ecuaciones, introduciremos una notación que más fácil
escribir cada paso en nuestro procedimiento. Una matriz es un arreglo rectangular de
números. Los coeficientes de las variables 1 2 3, ,X X X en el sistema (1) pueden ser
escritos como los elementos de una matriz A, llamada matriz de coeficientes del sistema:
2 4 6
4 5 6
3 4 2
A
(4)
Define los vectores x y b como
1
2
3
X
x X
X
y
1
24
4
B
b
El sistema (1) puede escribirse en la forma AX b
El proceso de efectuar operaciones elementales de renglón para simplificar una matriz
aumentada se llama reducción por renglones.
Notación
1.- iM c indica “multiplicar el i-ésimo renglón de una matriz por el número c”.
2.- ,i jA c indica “multiplicar el i-ésimo renglón por c y sumárselo al j-ésimo renglón”
ÁLGEBRA
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PNF EN ELECTRICIDAD 59
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
3.- iM c indica “intercambiar (permutar) los renglones i y j”
4.- A _________ B indica que las matrices aumentadas A y b son equivalentes; esto
es, que los sistemas que representan tienen la misma solución.
En el ejemplo 1 vimos que si usamos las operaciones elementales de renglón (1) y (2) varias
veces obtenemos un sistema en el cual las soluciones al sistema quedan dadas explícitamente.
Ahora repetiré los pasos del ejemplo 1, usando la notación anterior:
1,2
1
1,3
2 4 6 18 1 2 3 9 1 2 3 94
14 5 6 24 4 5 6 24 0 3 6 122 3
3 1 2 4 3 1 2 4 0 5 11 23
AM
A
2 1
2
2 3
1 2 3 9 1 0 1 1, 2
1 3 0 1 2 4 0 1 2 4, 5
0 5 11 23 0 0 1 3
AM
A
3 1
3
3 2
1 0 1 1 1 0 0 4, 1
1 0 1 2 4 0 1 0 2, 2
0 0 1 3 0 0 1 3
AM
A
De nuevo fácilmente vemos la solución 1 4X 2 2X y 3 3X
MATRIZ AUMENTADA
En cada paso del ejemplo 1, se escriben muchas X. Esto no es necesario: Usando la notación
matricial, el sistema (1) puede expresarse como la matriz aumentada.
2 4 6 18
4 5 6 24
3 1 2 4
(5)
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LA VICTORIAEXPERIMENTAL
Por ejemplo, la primera fila de la matriz aumentada (5) se lee
1 2 32 4 6 18.X X X Nótese que cada fila o renglón de la matriz aumentada
corresponde a una de las ecuaciones del sistema.
Ahora se dará una terminología especial. Hemos visto que multiplicando o dividiendo los dos
lados de una ecuación por un número diferente de cero se obtiene una nueva ecuación válida.
Más aún, si sumamos un múltiplo de una ecuación del sistema obtenemos otra ecuación valida.
Finamente, si intercambiamos dos de las ecuaciones de un sistema se obtiene un sistema
equivalente. Estas tres operaciones, cuando se les aplica a una matriz aumentada de un
sistema de ecuaciones, se denomina operaciones elementales de renglón (o sobre
renglones).
Resumiendo, las tres operaciones elementales sobre renglones aplicadas a la representación
de la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones son:
OPERACIONES ELEMENTALES DE RENGLÓN
1.- Multiplicar o dividir un renglón por un número distinto de cero.
2.- Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.
3.- Intercambiar dos renglones.
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RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES: METODOS ITERATIVOS.
En la parte anterior se presentó un método para resolver sistemas se ecuaciones lineales
directamente. Se realizaban un número fijo de pasos para llegar a una sola respuesta. En
análisis numérico este procedimiento es la excepción, más que la regla. Un procedimiento más
común es el iterativo. En el método iterativo la idea es obtener una secuencia de
aproximaciones a la solución. Si todo sale bien, esta secuencia converge a la solución correcta,
en el sentido de que cada término o iteración en la secuencia es una aproximación a la
solución, mejor que la que la precede.
Para tener una idea de este método iterativo, considere el siguiente algoritmo para calcular
2.
11 2
2n n nX X X (1)
Lo cual significa que empezamos con un valor 0X y usamos la ecuación (1) para calcular 1;X
a continuación usamos (1) para calcular 2X y así sucesivamente.
0
nX
2 nX
2n nX X
11 2
2n n nX X X
0
1
2
3
4
1,0
1,5
1,416666667
1,414215686
1,414213562
2,0
1,333333333
1,411764706
1,414211843
1,414213562
3,0
2,833333333
2,828431373
2,828427125
2,828427125
1,5
1,416666667
1,414215686
1,414213562
1,414213562
El método que se usa aquí, llamado método de Newton fue descubierto en el siglo XVII por
Isaac Newton.
Es evidente que el método converge muy rápidamente a la respuesta correcta.
ÁLGEBRA
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PNF EN ELECTRICIDAD 62
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
Existen dos técnicas iterativas comúnmente usadas para resolver un sistema de ecuaciones
.AX b El método de Jacob y el método de Gauss-Seidel. Estos métodos se usan bajo ciertas
condiciones especiales. Si la matriz a tiene un gran número de ceros (matriz dispersa), las
técnicas iterativas a menudo producen mejores resultados con menor trabajo. Es bueno hacer
notar que los métodos no siempre convergen. Luego de describirlos, examinaremos algunas
condiciones bajo las cuales los métodos convergen siempre. En lo sucesivo supondremos que
el det 0A de modo que el sistema tenga una solución única.
MÉTODO ITERATIVO DE JACOBI.
Como se asumió que el det 0A A no tiene columnas cero. Entonces mediante un
posible reordenamiento de los renglones de A podemos obtener una nueva matriz de
coeficiente A con elementos diagonales distintos de cero. Entonces suponemos que para la
matriz A de , , 0ij iin n A a a para i = 1, 2,3,…, n.
1 1
1k kX D b D RX
El método de Jacobi de iteraciones totales, denominado así por aplicarse repetitivamente,
significa que se despeja 1X de la primera ecuación, 2X de la segunda, 3X de la tercera, etc.
obteniéndose:
1 11 1 112 2
2 22 2 221 1
1 11 1
1
1
1
n n
n n
n nn n nn nn
X a b a a x
X a b a a x
X a b a a x
Se considera la primera aproximación
0 0 0
0 1 2, , , .T
nx x x x a la solución: se sustituye en los segundos miembros de las
ecuaciones y se obtiene la nueva aproximación
1 1 1 1
1 1 2 3, , , .T
nx x x x x
ÁLGEBRA
Teoría y Práctica
PNF EN ELECTRICIDAD 63
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
El superíndice indica el número de la sustitución efectuada. La última aproximación se sustituye
en los segundos miembros.
Repitiendo este proceso 1k veces se llega a la aproximación:
1
1 11 1 12 2 13 3 1
1
2 22 2 21 1 23 3 2
1
1 1 2 2 1 1
1
1
1
k k k k
n n
k k k k
n n
k k k k
n nn n n n nn n
x a b a x a x a x
x a b a x a x a x
x a b a x a x a x
Ejemplo
Resolver el siguiente sistema aplicando el método de Jacobi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4,1 2,3 0,7 7,43
0,8 2,5 1,1 17,17
1,6 0,4 5,2 26,12
x x x
x x x
x x x
(2)
Solución
Los cálculos se hicieron con cinco cifras significativas.
Paso 1: Se escribe el sistema el sistema (2) de tal manera que en la i-ésima ecuación, 1x se
expresa en término de las otras variables:
1 2 3
2 1 3
3 1 2
1 4,4 7,43 2,3 0 7
1 2,5 12,17 0,8 1,1
1 5,2 26,12 1,6 0,4
x x x
x x x
x x x
o su equivalente:
1 2 3
2 1 3
3 1 2
1,6886 0,52273 0,15909
4,868 0,32 0,44
5,0231 0,30769 0,076923
x x x
x x x
x x x
(3)
Paso 2: Se selecciona arbitrariamente una aproximación inicial de la solución:
0 0 0
1 2 3, , .x x x si no se dispone de otra información, escogemos 0 0 0
1 2 3 0.x x x
ÁLGEBRA
Teoría y Práctica
PNF EN ELECTRICIDAD 64
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
Paso 3: Sustituimos estos valores iniciales en la parte derecha de (3) para obtener una nueva
aproximación 1 1 1
1 2 3, , :x x x
1
1
1
2
1
3
1,6886 0 0 1,6886
4,868 0 0 4,868
5,0231 0 0 5,0231
x
x
x
Paso 4: Usamos los valores obtenidos en el paso 3 para calcular 2 2 2
1 2 3, , :x x x y
continuar en esta forma para generar las secuencias 1 2 3, , .n n n
x x x
2 1 1
1 2 3
2 1 1
2 1 3
2 1 1
3 1 2
1,6886 0,52273 0,115909
1,6886 0,52273 4,868 0,15909 5,0231 1,6552.
4,868 0,32 0,44
4,868 0,32 1,6886 0,44 5,0231 7,6185
5,0231 0,30769 0,076923
5,0231 0,30769 1,6886 0,
x x x
x x x
x x x
076923 4,868 4,1291
Continuamos de esta manera y obtenemos la siguiente tabla (redondeando a 5 cifras
significativas).
31 2
0 0 0 0
1 1,6886 4,868 5,0231
2 1,6552 7,6185 4,1291
3 2,9507 6,1551 4,9664
4 2,3158 6,1002 5, 4575
5 2,3684 6,5282 5, 2664
6 2,5617 6, 4273 5, 2497
7 2,5063 6,3581 5,3169
8 2, 4808 6, 4054 5,3052
9 2,5037 6, 4084 5, 29
nn nIteración xx x
37
10 2,5034 6,3960 5,3005
11 2, 4980 6,3991 5,3014
12 2, 4998 6, 4013 5, 2995
13 2,5006 6,3998 5, 2999
14 2, 4999 6,3998 5,3002
15 2,5000 6, 4001 5,3000
ÁLGEBRA
Teoría y Práctica
PNF EN ELECTRICIDAD 65
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
Como puede observarse en la tabla anterior las secuencias convergen a los valores
1 2 32,5 6,4 5,3.x x x Lo cual puede verificarse por sustitución. Nótese que al menos
en este problema, las iteraciones de Jacobi convergen, aunque como se ve, lentamente. El
método de Gauss-Seidel puede aumentar la rapidez de la convergencia.
MÉTODO ITERATIVO DE GAUSS-SEIDEL
Este método es en general idéntico al de Jacobi la diferencia consiste en que una vez una vez
que se calcula la componente 1
1 ,k
x
se usa inmediatamente en la misma iteración. Por eso
este método también recibe el nombre de iteraciones parciales o desplazamientos
sucesivos. Las ecuaciones que determinan la iteración 1k son:
1
1 11 1 12 2 13 3 1
1
2 22 2 21 1 23 3 2
1
1 1 2 2 1 1
1
1
1
k k k k
n n
k k k k
n n
k k k k
n nn n n n nn n
x a b a x a x a x
x a b a x a x a x
x a b a x a x a x
Ejemplo.
Resolveremos el sistema de ecuaciones planteado anteriormente utilizando el método de
Gauss-Seidel.
Empezamos. Como antes 0 0 0
1 2 3 0x x x entonces como antes se señalo.
1
1 1,6886 0 0 1,6886x
Pero el siguiente paso es diferente. Al utilizar esta nueva aproximación de 1x obtenemos:
1
2 4,868 0,32 1,6886 5,4084.x
Ahora tenemos nuevas aproximaciones tanto para 1x como para 2x , si utilizamos estos valores
ÁLGEBRA
Teoría y Práctica
PNF EN ELECTRICIDAD 66
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
en el sistema (3) tenemos que:
3 5,0231 0,30769 1,6886 0,76923 5,4084 4,0875x
Si continuamos este proceso siempre utilizando las últimas aproximaciones obtenemos:
1 2 3
0 0 0 0
1 1,6886 5, 4084 4,0875
2 1,7888 6,0941 5,1047
3 2,3091 6,3752 5, 2432
4 2, 4780 6,3820 5, 2946
5 2, 4898 6, 4009 5, 2968
6 2,5000 6,3986 5,3001
7 2, 4993 6, 4003 5, 2998
8 2,5002 6,3998 5,3001
9 2,5000 6, 4000 5,3
n n nIteración x x x
000
10 2,5000 6, 4000 5,3000
Nuevamente el resultado 1 2 32,5 6,4 5,3.x x x
Se observa que las iteraciones de Gauss-Seidel convergen más rápidamente que las
iteraciones de jacobi.
Generalmente el método de Gauss-Seidel es más eficiente que el Jacobi, converge cuando el
de Jacobi lo hace, puede converger cuando el de Jacobi no lo hace y en general converge más
rápidamente que el método de Jacobi.
ÁLGEBRA
Teoría y Práctica
PNF EN ELECTRICIDAD 67
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
EJERCICIOS:
1.-Discutir, y sin son compatibles, resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
3 2 5 4
0)
3 0
2 2 0
x y z
x y za
x z
x y z
3 4 1
) 3 7
2 4 3 8
x y z
b x y z
x y z
2 0
2 3 1)
3 1
2 5 1
x y z
x y zc
x z
x y z
1 2 3 0
) 2 1 1 1
1 3 4 1
x y z
d x y z
x y z
2 3 8
1
) 2
0
2
x y z u v
x y u
e x z
x y
u v
2.- Determinar para qué valores de m son compatibles los siguientes sistemas lineales. Una
vez hallado, resolver:
2
) 7
4
x y
a x my
x y
0
2 2)
0
2 0
x my z
x y mzb
mx y z
x y z
1
2)
1 1 5
3
x my z
mx y zc
m x m y
x y
3.- Averiguar para qué valores de m y n los siguientes sistemas son compatibles:
3 1
0)
1
2 2 1
x y z
mx nya
x y z
x z
5 3 1 0
2 0
) 4 2 1
2 2
2 2
x y m z
x y mz
b x y nz
x y mz
x y n z n
ÁLGEBRA
Teoría y Práctica
PNF EN ELECTRICIDAD 68
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
4.- Resolver, si es posible, usando Gauss-Jordan.
3 2 1
5 3 3 2)
7 4 5 3
0
x y z
x y za
x y z
x y z
2 5 4 3
2 5)
4 6 10
3 18
x y z
x y yb
x y z
y z
5.- Sea el siguiente circuito con 110 , 3E R (incluye la resistencia interna)
2 2 2 3 62 1 , 2R R R R R
Calcule la diferencia potencial entre C y D
Por las leyes de Kirchhoff en el nudo:
1 2 6
2 3 4
5 4 6
:
:
:
A i i i
B i i i
C i i i
Circuito
1 6 5
1 1 3
1 2 4 5
:10 3 4 2
:10 3 2
:10 3 2 2 2
ABDA i i i
ABCA i i i
ABCDA i i i i
Usando el método de Gauss-Jordan calcular las intensidades y así 4 4.D CV V i R
AUTOEVALUACIÓN 4
1.- Resuelve utilizando Creamer:
2 3 7
3 2 5
3
x y z
x y z
x y z
2.- Resuelve aplicando el método de Gauss-Jordan.
2 2 2
) 2 3 5 9
7 7 3 3
x y z u
a x y z u
x y z u
ÁLGEBRA
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PNF EN ELECTRICIDAD 69
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
2 2 2
2 3 5 9)
4 5
5 3 2 3
x y z u
x y z ub
x y z u
x y z u
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN.
1.- 1, 0, 2x y z
2.-
a) Tomando z t la solución es:
2 5 7 8
, , , 43 3
t tz t x y u
b) Tomando ,z t u p la solución es:
12 32 13 3 9
, , ,7 7
t p z pz t u p x y
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Cohen, A.M. y otros Análisis Numéricos ed.
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LA VICTORIAEXPERIMENTAL
ÁÁLLGGEEBBRRAA
MMOODDUULLOO VV:: ÁÁLLGGEEBBRRAA
DDEE BBOOOOLLEE
CONTENIDO
- Álgebra de Boole
- Teoremas
OBJETIVOS
- Definir álgebra booleana.
- Definir Dualidad en un álgebra booleana.
- Definir los teoremas fundamentales del álgebra booleana.
- Definir orden de un álgebra booleana.
- Definir los circuitos conmutadores como un álgebra booleana.
- Dado un circuito conmutador escribir su polinomio booleano.
- Dado un circuito conmutador escribir su tabla de verdad.
- Dado un polinomio booleano dibuja el circuito correspondiente.
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LA VICTORIAEXPERIMENTAL
ÁLGEBRA BOOLEANA George Boole (1813-1864)
Definición 1: Un álgebra booleana es un conjunto B de elementos a, b, c,… dotados de dos
operaciones binarias llamadas suma y producto que se denotan respectivamente por + y * tal
que:
A0. Ley de clausura: Para , ,a b B LA SUMA a + b y el producto a * b existen
y son elementos únicos de B.
A1. Ley conmutativa
a) a b b a b) * *a b b a
A2. Ley asociativa:
a) a b c a b c b) * * * *a b c a b c
A3. Ley distributiva:
a) * *a b c a b a c b) * * *a b c a b a c
A4. Elemento neutro: Existen un neutro aditivo 0 y un neutro multiplicativo U tales
que todo .a B
) 0a a a ) *b a U a
A5. Complemento: Para todo a B existe un ´a EB llamado complemento de a tal
que
) ´a a a U ) * ´ 0a a a
Nota: El axioma A1 se puede omitir ya que toda operación binaria cumple con este
axioma.
Ejemplo 1: Sea 1,0B y sean las operaciones + y * definitivas como sigue:
+ 0
1 1
0 0
1
1
1
* 0
1 0
0 0
1
1
0
ÁLGEBRA
Teoría y Práctica
PNF EN ELECTRICIDAD 72
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
Entonces B, o más precisamente, la terna , ,*B es un álgebra booleana.
Ejemplo 2: Sea una familia de conjuntos cerrados respecto la operaciones de
unión, intersección y completo. Entonces , ,* es un álgebra booleana.
Nótese que el conjunto universal es aquí el elemento unidad y el conjunto es el
elemento cero.
Ejemplo 3: Sea El conjunto de las proposiciones generadas por las variables
p,q… Entonces , ,* es un álgebra booleana.
Nota: como se puede ver en los ejemplos los conjuntos y las proposiciones son
álgebras booleanas, así hay autores que denotan las operaciones + y * e o
también por .y
Dualidad en un álgebra booleana: El dual de un enunciado en un álgebra booleana
, ,* es el resultado que resulta de intercambiar + y * y los elementos
neutros U y O en el enunciado original; por ejemplo, el dual de
* 0U a b b es * *0 .O a b b Principio de dualida: El dual de
un teorema en un álgebra booleana es también un teorema.
TEOREMAS FUNDAMENTALES:
Teorema 1: (ley de idempotencia): (i) a a a (ii) *a a a
Teorema 2: (i) a U U (ii) *0 0a
Teorema 3: (ley de involución): ´ ´a a
Teorema 4: (i) ´ 0U (ii) 0́ U
Teorema 5: (ley de De Morgan): (i) ́ ´* ´a b a b
(ii) * ´ ´ ´a b a b
Teorema 6: Sean , ´a b B un álgebra booleana. Entonces las siguientes
condiciones son equivalentes:
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PNF EN ELECTRICIDAD 73
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
1 * ´ 0a b 2 a b b 3 ´*a b U 4 *a b a
Demostración: Demostraremos las equivalencias entre (1), (2) y (3) y se deja al
lector la equivalencia de (4) con los otros enunciados.
Demostración: La demostración se efectuara en tres etapas: (1) Implícita (2), (2)
implica (3) y (3) implica (1)
(1) implica (2), es decir; * ´ 0a b implica a b b
* * ´ * ´ 0a b a b U a b b b b a b b b ya que
* ´ 0a b
(2) implica (3), es decir; a b b implica ´a b U
´ ´ ´ ´ ´a b a a b a a b a a b a a b U b U ya que por
hipótesis * ´ 0a b
(3) implica (1), es decir; ´a b U implica * ´ 0a b
´a b U implica ´ ´ ´a b u implica ´* ´ ´a b U implica * ´ 0a b
Diseños de Circuitos Conmutadores: Sean A, B sendos interruptores eléctricos y
sean ´AyA interruptores tales que cuando uno está abierto el otro está cerrado
y viceversa. Dos interruptores, A y B, por ejemplo, se pueden conectar por un
alambre en serie o en paralelo, como se muestra:
En serie A B En paralelo A B A B
A
B
ÁLGEBRA
Teoría y Práctica
PNF EN ELECTRICIDAD 74
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
Un circuito conmutador booleano es un dispositivo de alarmas e interruptores que se pueden
construir mediante combinaciones en serie y en paralelo; por tanto, se le puede describir con
las conectivas .y
TEOREMA 7: El álgebra de un circuito conmutador booleano es un álgebra booleana.
Indicaremos por 1 y 0 respectivamente, que un interruptor o circuito está cerrado o
abierto. Las dos tablas siguientes describen el funcionamiento de los circuitos anteriores:
E
n ´A B A pasará corriente sólo cuando A y B están cerrados.
Se puede ver en que condiciones de A, B y C pasa corriente por el circuito.
A’
’
B
A
C
A’
A B’
B
'A B A ' 'A B C B
1
1
0
0
A B A’
Pasos
'A B A
1 3 1 2 1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
ÁLGEBRA
Teoría y Práctica
PNF EN ELECTRICIDAD 75
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EJERCICIOS:
1) Demostrar: i) a a a ii) *a a a
2) Demostrar: i) a U U ii) *0 0a
3) Demostrar: ' 'a a teniendo por hipótesis: ) 'a a a U
) * ' 0b a a ) ' ''c a a U d) '* '' 0a a
4) Demostrar la unidad de los aditivos, esto es, que:
a) Si 1 20 0y son neutros aditivos, entonces 1 20 0
b) Si 1 2I yI son neutros multiplicativos, entonces 1 2I I
5) Demostrar: (Ley de De Morgan)
i) ' '* 'a b a b esto es * '* ' 0 '* 'a b a b y a b a b U
ii) * ' ' 'a b a b esto es * * ' ' 0 * ' 'a b a b y a b a b U
6) Determine el polinomio booleano para cada uno de los siguientes circuitos:
7) Construir un circuito para cada uno de los siguientes polinomios booleanos:
1) ' 'A B A B A B 2) A B C D
3) ' 'A B A C B 4) 'A B C D A B
5) A B C D
8) Construir un circuito equivalente más simple que el del siguiente diagrama:
A’
B
C A
C
A’
B
A
B
ÁLGEBRA
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PNF EN ELECTRICIDAD 76
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
AUTOEVALUACIÓN 5
1) Demostrar que a a a
2) Dibuja el diagrama correspondiente al siguiente polinomio booleano:
A B C C A B y realizar su tabla de verdad.
RESPUESTAS:
1) Demostración:
Sabemos por complemento que a ' 0a así
0 * 'a a a a a por sustitución.
* 'a a a a Por distributividad.
*a a U Por complemento.
a a Por elemento neutro.
BIBLIOGRAFÍA
LIPSCHUTZ, Seymour. TEORÍA DE CONJUNTOS Y TEMAS AFINES.
Editorial McGRAW-HILL. México. 1970.
STRANGIO, C ELECTRONICA DIGITAL.
Nueva Editorial Interamericana. México. 1985.
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PNF EN ELECTRICIDAD 77
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
EEJJEERRCCIICCIIOOSS
PPRROOPPUUEESSTTOOSS
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PNF EN ELECTRICIDAD 78
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1._VECTORES EN EL PLANO
1.- Dado los puntos A ( 0,1) , B (- 1,2 ) , se pide :
a.- Representar gráficamente los vectores anteriores.
b.- Encuentre las componentes de los vectores anteriores.
2.- Sean los puntos A (1, -5) , B (4,4) , C(-2,-14). Calcule la norma de los vectores AB y AC .
Que se puede decir de estos vectores?
3.- Cual es el lugar geométrico de los puntos Q del plano , tales que sean 4PQ , siendo
P (2,-3) ?
4.- Encuentre los puntos P de la recta de ecuación y = -2x+7 , tales que 7OP .
5.- Dados los vectores U = (2,-5) , U = (1,7) y W = (1,-3 )
Encuentre las componentes de los siguientes vectores U +U ; U +W y U +W .
6.- De un paralelogramo ABCD se conoce que :
A (1,2) ; AB = DC = (3,2) : AD = (2,4 )
Encuentre las coordenadas de los vértices B , C y D y de las componentes de los vectores
AC y BD .
7.-Comprobar que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.
8.- Probar que el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un
trapecio, es paralelo a las bases e igual a la mitad de la suma de sus longitudes.
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PNF EN ELECTRICIDAD 79
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
9.- Sean los puntos A (1,7) y B 8-2, -3) y el vector U = AB , encuentre las componentes de -
7U , 4U y 0· U ; luego calcule las coordenadas del punto P , si 4AP U .
10.- Considere los puntos 1,2 , 1,3 , 2, 3 .A B C Encuentre las
componentes de los vectores siguientes:
a.- 3 7 .U AB BC
b.- 7 7 .V BC BC AC
c.- 5 2 3 .W BC CA BA
11.- Obtenga el vector o escalar dado, si 2,3 4, 1A yB
a.- .A B
b.- 3 2 .B A
c.- 3 2 .B A
12.- Exprese el vector 1,1U como combinación lineal de los vectores
2,3 1,5 .U yW
13.- Demuestre que si 3, 2 , 1,4 2,5 ,U U yW entonces
,U V yW son linealmente dependiente.
14.- Demuestre analíticamente para los vectores AyB que:
.A B A B
15.- Sea PQ una representación del vector ,A QR una representación del
vector ByRP del vector .C . Demuestre que si ,PQ QRyRP son los
ÁLGEBRA
Teoría y Práctica
PNF EN ELECTRICIDAD 80
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
catetos de un triangulo, entonces 0.A B C
16.- Calcule los productos escalares siguientes:
a.- 2,4 . 2,5
b.- . 3 4i j i j
c.- .i j
d.- , . ,a b b a
e.- .i i
17.- Encuentre el valor de la constante k de tal manera que los dos vectores
22,3 ,3U k yU k sean perpendiculares.
Cuantos valores de k se encuentran?.
18.- Diga si puede haber un vector que sea al mismo tiempo perpendicular con i y con
j . Explique.
19.- Dado 5 6 ,A i k jyB ki j donde k es un escalar,
busque:
a.- k tal que AyB sean ortogonales.
b.- k tal que AyB sean paralelos.
20.- si A B son vectores, demuestre que:
. . 2 . .A B A B A A A B B B
21.- Sabemos que el vector 1,U m es paralelo con la recta de ecuación de
forma explicita: .y mx b
Escriba la condición de perpendicularidad de las dos rectas de ecuaciones:
ÁLGEBRA
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PNF EN ELECTRICIDAD 81
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
,y mx b y mx b poniendo en evidencia las pendientes m y m
de ellas. Muestre al menos dos ejemplos.
22.- Para cada una de las rectas determinadas por los pares de puntos que se indican,
escriba una ecuación paramétrica vectorial y ecuaciones parametricas escalares, luego,
encuentre la ecuación cartesiana en forma implícita: 0.ax by c
a.- 1 22,0 ; 0,3 .P P
b.- 1 22,0 ; 4,0 .P P
c.- 1 2,1 ; ,2 .P P
23.- Para cada una de las rectas dadas a continuación: : 4 0t x y
2 3 0s x y : 3 7 0,s y x encuentre dos puntos
cualesquiera, luego escriba la ecuación paramétrica vectorial y las ecuaciones parametricas
escalares.
24.- Dada la recta r, por medio de la ecuación siguiente:
3 7
3 4
x y
a.- Indique, sin hacer cálculos, un punto de ella y un vector no nulo paralelo con ella.
b.- Represente la misma recta en forma paramétrica vectorial y en forma explicita.
c.- Verifique, usando el concepto de producto escalar, si la recta es o no es perpendicular
con el vector 4,3 .U
25.- Diga, justificando, si las dos representaciones parametricas escalares que siguen,
representan o no la misma recta:
1 2
2 3
x t
y t
2 2
1 3
x t
y t
26.- Encuentre la intersección de los siguientes pares de rectas:
a.- 2 3 9 0,x y 8 0x y
ÁLGEBRA
Teoría y Práctica
PNF EN ELECTRICIDAD 82
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
b.- 1 2
,4 10
x y 4 8y x
27.- Indique los pares de rectas paralelas y los pares de rectas perpendiculares que hay
entre las siguientes:
a.- 2 8y x
b.- 2 17 0x y
c.- 4
2 4
x t
y t
d.- 2 2 1
4 84 2
x t
y
28.- Calcule la distancia entre el punto 2,4Q y la recta ecuación:
3 2 7 0.x y
29.- Demuestre que la recta de ecuación 0ax by c tiene distancia igual a i
al origen si 2 2 2.c a b De ejemplos.
30.- Calcule la distancia entre las dos rectas paralelas dadas por las ecuaciones
3 4 8,x y 6 8 7 0,x y considerando un punto de la primera y
la distancia de este punto a la segunda recta.
31.- Calcule el ángulo que forman las dos rectas de ecuaciones:
3 0x y 2 4 8 0.x y
32.- Determine si el triángulo ABC, siendo 1,1 , 2,3 , (3,0)A B C es o
no isósceles, calculando el valor de los ángulos.
ÁLGEBRA
Teoría y Práctica
PNF EN ELECTRICIDAD 83
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
33.- Encuentre las ecuaciones de las dos rectas que pasan por el punto 3,5P y que
forman un ángulo de 30 con la recta de ecuación:
2 3 0x y
2.- VECTORES EN EL ESPACIO
1.- Dado los puntos 0,1,2 , 12,5 , 3,0,7 1, 2,0 ,A B C D se pide:
a.- Representar gráficamente los vectores , , , , , .AB DA BC AC AD BD
b.- Encuentre los componentes de los vectores anteriores.
2.- Considere los puntos 1,2,0 , 2, 3,0 , 3,3,4 , 1, 1, 7A B C D y los
vectores , , .U AB U CD W AC Halle las componentes de los
vectores:
a.- 3 2U U
b.- 3 4U W
c.- U U W
d.- 2 3U U W
3.- Dados los puntos 2,3,0 , 1,0,3 .A B Halle números h, k, m tales que
.hi k j mk AB
4.- Halle números h, k tales que:
2 3,2,1 .h i j k k j k
5.- Dados los vectores 1,1,1, , 2,0,3 , 1,0,1 , 2,2,7U U W T halle
coeficientes 1 2 3, ,h h h tales que 1 2 3 .T h U h U h W
ÁLGEBRA
Teoría y Práctica
PNF EN ELECTRICIDAD 84
LA VICTORIAEXPERIMENTAL
6.- Diga si es posible expresar K como combinación lineal de i,j.
7.- Sea 2 3 , 7 .U U W T U W Exprese el vector 3 2U T
como combinación lineal de .U yW
8.- Sean los puntos 2,3, 2P y (7, 4,1).Q Encuentre las coordenadas del
punto medio del segmento PQ.
9.- Dados los puntos 8, 4,2 , 6, 1,0 , 1,1,1 , 6, 7,3 .P B C D Calcule:
, , , .AB CD AB CD AB CD
10.- Sea 0 0 0 0, ,P x y z y , , .P x y z Describa el conjunto de puntos
, ,x y z para los cuales 0 1.P P
11.- Calcule los productos escalares siguientes:
a.- 3,3,3 . 1,2, 4
b.- . 2 3i j k i k
c.- . , . , .AB BC AB AB AB AC BC siendo 0,0,1 , 2,3,4A B y
5,5,0 .C
12.- Tomando en cuenta el signo del producto escalar . ,U U diga si los dos vectores
2, 3,1 1,4,2U yU forman ángulo obtuso o agudo.
13.- Considere los puntos 1,0,8 , 2,2,2 , 1, 3,4 .A B C Usando el
producto escalar, demuestre que el triángulo ABC no es rectángulo.
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14.- Sean los vectores 2 3,2 3, 1 3 , 2 3, 1 3,2 3 .U U
a.- Verifique que U yV son perpendiculares y tienen módulo igual a 1.
b.- Halle un tercer vector , ,W a b c que sea perpendicular a los vectores
U yV y tenga módulo igual a 1.
15.- Calcule los ángulos que forman los siguientes pares de vectores:
a.- 3,4, 2 , 1, 1,9U U
b.- 3, 2, 3 , 4,5, 2U U
16.- Sean los puntos 0,1,2 , 3,3,3 , 7, 2,0 .A B C Determine si el triangulo
ABC es obtusángulo o acutángulo.
17.- Dados los vectores , ,U V calcule las componentes del producto vectorial
UxV
a.- 1,2,3 , 0,1,1U V
b.- 0,2, 3 , 1,2, 4U V
c.- 3 3 , 4 5 9U i j U i j k
18.- Dado los vectores 3,4,0 , 1,2, 3 , 7,0,8 .U V W Calcule el
producto mixto . .U V W
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3.-OTROS
1.- Comprobar que las dos rectas r y m de ecuaciones:
1 1
:3 2 2
x y zr
3 3 3
:2 1 4
x y zm
Se cortan en un punto y son perpendiculares.
: 3,3, 3 .Sol
2.- Hallar la distancia del punto 0,1, 1 a la recta de ecuación:
2 1
, 02 1
z yz
:3 5Sol
3.- Dado el triangulo de vértices 1,2,0 , 2,0, 3 , 1,1,1 ,A B C
escriba representaciones paramétricas escalares para sus tres lados.
4.- Represente con un sistema de ecuaciones paramétricas escalares la recta que pasa por
1,2,5A y por 0,1,0 .B
5.- Represente paramétricamente la recta que pasa por 2,1, 7A y es paralela al
valor j.
6.- Hallar la ecuación del plano perpendicular al segmento AB en su punto medio.
2,1,0 , 1,1,2 .A B
7.- Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y es paralelo al
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plano 2 0.x y z
8.- Hallar la ecuación del plano que contiene al punto 2,3, 1A y a la recta cuya
ecuación es: 3 5 2
2 3 2
x y z
9.- Determinar la ecuación de la recta común a los planos:
3 2 3
2 1
x y z
x y z
10.- Halle una ecuación cartesiana en forma implícita del plano que pasa por los puntos
1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 .A B C
11.- Halle una representación paramétrica vectorial par el plano de ecuación
2 3 3.x y z
12.- Halle la ecuación del plano que pasa por la recta
: 1 2 , 2 3 , 1 ;r x t y t z t y por el punto 1,1, 1 .A
13.- Represente paramétricamente la recta r: 2 0
9 0
x y z
x y z
14.- Halle un vector paralelo a la rectas a la recta intersección de los planos de ecuación
3 0,2 7.x y X Y Z
15.- Determine si las siguientes rectas son paralelas:
2 2 0
3 0
x y z
x y z
4 2 0
7 0
x y z
z x y
16.- Determine si los cuatros puntos 0,0,1 , 1,2,1 , 3,0,2 1,1,0A B C yD son
coplanares.
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17.- Determinar el ángulo que forman los planos 2 5 5 12x y z y
2 7 8.x y z
18.- Calcule la distancia del punto 2,2,4A al plano de ecuación:
4 8 3.x y z
19.- Halle la distancia entre la recta :s x y z y la recta r que pasa por
2,3,7A y es paralela a s.
20.- Halle la distancia entre las dos rectas paralelas siguientes:
1 1 3
2 1 3
x y z
2 2 1
2 2 3
x y z
4.- OTROS
1.- Comprobar que dos rectas r y m de ecuaciones:
1 1:
3 2 2
3 3 3:
2 1 4
x y zr
x y zm
se cortan en un punto y son perpendiculares.
: 3,3, 3 .Sol
2.- hallar la distancia del punto 0,1, 1 a la recta de ecuación:
2 1, 0
2 1
z yz
:3 5Sol
3.- Dado el triángulo de vértices 1,2,0 , 2,0, 3 , 1,1,1 ,A B C escriba
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representaciones paramétricas escalares para sus tres lados.
4.- Represente con un sistema de ecuaciones paramétricas escalares la recta que pasa por
1,2,5A y es paralela al vector 0,1,0 .B
5.- Represente paramétricamente la recta que pasa por 2,1, 7A y es
paralela al vector .j
6.- Hallar la ecuación del plano perpendicular al segmento AB en su punto medio.
2,1,0 , 1,1,2 .A B
7.- Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y es paralelo al
plano 2 1 0.x y z
8.- hallar la ecuación del plano que contiene al punto 2,3, 1A y a la recta
cuya ecuación es: 3 5 2
2 3 2
x y z
9.- Determinar la ecuación de la recta común a los planos:
3 2 3
2 1
x y z
x y z
10.- Halle una ecuación cartesiana en forma implícita del plano que pasa por los puntos
1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 .A B C
11.- Halle una representación paramétrica vectorial para el plano de ecuación
2 3 3.x y z
12.- Halle la ecuación del plano que pasa por la recta
: 1 2 , 2 3 , 1 ;r x t y t z t y por el punto 1,1, 1 .A
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13.- Represente paramétricamente la recta 2
:9 0
x y zr
x y z
14.- Halle un vector paralelo a la recta intersección de los planos de ecuaciones
3 0,2 7x y x y z
15.- Determine si las siguientes rectas son paralelas:
2 2 0
3 0
x y
x y z
4 2 0
7 0
x y z
z x y
16.- Determine si los cuatro puntos 0,0,1 , 1,2,1 , 3,0,2 1,1,0A B C yD son
coplanares.
17.- Determinar el ángulo que forman los planos 2 5 5 12x y y
2 7 8.x y z
18.- Calcule la distancia del punto 2,2,4A al plano de ecuación:
4 8 3.x y z
19.- Halle la distancia entre la recta :s x y z y la recta r que pasa por
2,3,7A y es paralela a s.
20.- Halle la distancia entre las dos rectas paralelas siguientes:
1 1 3
2 1 3
x y z
2 2 1
2 2 3
x y z