1

3.1 ANÁLISIS VECTORIAL(31_CV_T_v14; 2005.w21.3; 1/2 C23 & 1/2 C24)

1. Introducción: vectores, bases y productos

objeto con dirección & magnitud que existe en el espacio

Si añadimos un sistema cartesiano de coordenadas con vectores base

i1, i

2, i

3{ } ⇔ i , j, k{ }

v = v1i1

+ v2i2

+ v3i3

= vxi + v

yj + v

zk

v = vgi1( ) i

1+ vgi

2( ) i2

+ vgi3( ) i

3⇐ base ON

v = vgi1i1

+ vgi2i2

+ vgi3i3

• producto escalar o interno

ugv = u v cosθ = u

1v

1+ u

2v

2+ u

3v

3← base ON

• producto vectorial

u ∧ v = u v senθe⊥ = (área) e⊥

u ∧ v =i1

i2

i3

u1

u2

u3

v1

v2

v3

u ∧ v = u2v

3− u

3v

2( ) i1

+ u3v

1− u

1v

3( ) i2

+ v1v

2− u

2v

1( ) i3

• Los productos son lineales

ug v + w( ) = ugv + ugw u ∧ v + w( ) = u ∧ v + u ∧ w

v

�

ˆ i 1

�

ˆ i 2�

ˆ i 3

v

v

uθ

v

u

e⊥ base ON

2

el producto escalar es conmutativo: ugv = vguel producto vectorial no lo es: u ∧ v = −v ∧ u ← determinante cambia de signo si

intercambiamos filas.

• Triple producto escalar

u ∧ vgw = u

2v

3− u

3v

2( ) w1

+ u3v

1− u

1v

3( ) w2

+ v1v

2− u

2v

1( ) w3

u ∧ vgw =w

1w

2w

3

u1

u2

u3

v1

v2

v3

= −u

1u

2u

3

w1

w2

w3

v1

v2

v3

= − w ∧ v( )gu =u

1u

2u

3

v1

v2

v3

w1

w2

w3

= v ∧ w( ) • u = ug v ∧ w( )

volumen = (área)

h( ) = u ∧ v( )gw

• Triple producto vectorial

u ∧ v ∧ w( ) = ugw( ) v − ugv( ) w

2. Ejemplos de producto interno & vectorial• energía cinética

T =

1

2mv2 dT

dt=

1

2m 2v

dv

dt

= mdv

dtv = Fv

en 2D:

T =

1

2m v

x2 + v

y2( ) dT

dt= mv

x

dvx

dt+ mv

y

dvy

dt= m

dvx

dtv

x+ m

dvy

dtv

y

Si F = F

xi + F

yj v = v

xi + v

yj

dT

dt= F

xv

x+ F

yv

y= Fgv

Si T =

1

2mv2 =

1

2mvgv

dT

dt=

1

2m

d

dtvgv( )

• Torca: t = r ∧ F• Fuerza de una partícula (carga q & vel v) en campo magnético: F = qv ∧ B

∧!Ä!•

e⊥

v

u

w h = w cosθ

2vg

dv

dt

3

3. Sistemas de coordenadas

Vector: Objeto con dirección & magnitud que existe en el espacio aunque noesté definido un sistema de coordenadas.

Si tenemos un sistema de coordenadas con base

g1, g

2, g

3{ } vg ⇔ v1,v2 ,v3{ } componente del vector v en base

g

1, g

2, g

3{ } v

g = v = vi gi

= v1g1

+ v2 g2

+ v3g3 (índice repetido ⇒ suma)

Tres notaciones:• directa: v• indicial: v

c

• mixta: v = vi gi

Cuatro bases:• base natural:

g

1, g

2, g

3{ } (vectores base tangente a coord.)

• base física natural

e1, e

2, e

3{ } (vectores adimensionales

ei

=g

i

gi

)

• base recíproca

g1, g 2 , g3{ } ∋ g i ggk

= δki (vectores ⊥ a coord.)

• base física recíproca

e1, e2 , e3{ } (vectores adimensionales

ei ≡g i

g i)

Cuatro tipos de componentes:

v = vi g

i= v i( )e

i= v

ig i = v

i( )ei

• vi - componentes contravariantes

• vi( ) - componentes físicos contravariantes

• vi - componentes covariantes

• v

i( ) - componentes físicos covariantes

Si las coordenadas son OG, las dos bases físicas coinciden en una sola base.

4. Resumen de coordenadas

v

�

ˆ g 1�

ˆ g 2θ3

θ1

θ2

�

ˆ g 3

no haysuma

componentes con dimensiones físicas

i.e. velocidad = L

T( )

�

ˆ g 1�

ˆ g 2θ 3

θ 1

θ 2

�

ˆ g 3

x2

x1

x3

�

ˆ i 1

�

ˆ i 2�

ˆ i 3r

Tx (x → θ ) : θ i = θ i x1,x2 ,x3( )Tx (θ → x) : xi = xi θ1,θ 2 ,θ 3( )Tx 2-D:

xα = xα θ1,θ 2( ) α = 1,2

x3 ≡ θ 3

4

∂r

∂θ k= g

k=

∂r

∂xm

∂xm

∂θ k⇒ g

k=

∂xm

∂θ kim

ek

=g

k

gk

g k ggj

= δjk ek =

g k

g kTMF = g

ij( ) = glgg

j( )coordenadas OG:

g

kgg

j= δ

ij ; se define h

k≡ g

k

ek≡ ek (coinciden bases físicas);

TMF = gij( ) =

h12 0 0

0 h22 0

0 0 h32

g k gg

k= 1 = ek g k ge

kg

k= 1 = g k g

k

g k =1

gk

=1

hk

⇒ ek = hk

g k

ek =g k

g k= h

kg k = e

k=

gk

hk

⇒ g k =g

k

hk2

∴ ek

= ek =g

k

hk

v = vk gk

= vkg k = v(k )e

k= v

(k )ek ⇒

vk =v

k

hk2

=v(k )

hk

=v

(k )

hk

vk

= hkv

(k )

Ejemplo: coordenadas Cilíndricas

θ1,θ 2 ,θ 3{ } ⇔ r,θ , z{ } son coordenadas OG 2-D

θ1 = r = x1( ) + x2( )2= x2 + y2

θ 2 = θ = tan−1 x2

x1= tan−1 y

xθ 3 = z = x3 = z

x1 = x = θ1 cosθ 2 = r cosθ

x2 = y = θ1senθ 2 = rsenθ x3 = z = θ 3 = z

g

1=

∂xm

∂θ1lm

=∂xm

∂rim

=∂x1

∂ri1

+∂x2

∂ri2

+∂x3

∂ri3

g

1= cosθ i + senθ j; h

1= g

1= cos2 θ + sen2θ = 1

g

2= −rsenθ i + r cosθ j; h

2= g

2= r 2sen2θ + r 2 cos2 θ = r

g

3=

∂xm

∂θ 3im

=∂xm

∂zim

= i3

= k g3

= 1

5

∴ h

1= 1 h

2= r h

3= 1

g 1 =

g1

h12

= g1

g 2 =g

2

h22

= −senθ

ri +

cosθr

j

g3 =

g3

h32

= g3

= k

e

r= e

1= e1 =

g1

h1

= g1

eθ = e2

= e2 =g

2

re

z=

g3

1= k

Componentes físicos: v

r,vθ ,v

z

v(1) ≡ v

(1)≡ v

rv(2) ≡ v

(2)≡ vθ v(3) ≡ v

(3)≡ v

z

v1 =v

r

1v

1= 1v

r

v2 =vθ

rv

2= rvθ

v(2) = v(2)

= vθ

v3 = v3

= vz

v1 = v

1= v(1) = v

(1)≡ v

r v3 = v

3= v(3) = v

(3)= v

z

TMF = gij( ) =

1 0 0

0 r 2 0

0 0 1

TMF −1 = gij( ) =

1 0 0

01

r 20

0 0 1

5. CamposAsí como r(t) describe la posición de una partícula en el espacio, si tenemos un númeroinfinito de partículas, una en cada punto del espacio, tenemos un campo.

• Campo escalar φ(x,y,z): para cada punto φ (un escalar) toma un valor dado• Campo vectorial w(x,y,z): para cada punto tenemos definido un vector• Campo tensorial σ(x,y,z): para cada punto tenemos definido un tensor

6. Leyes de transformación para componentesSi φ es un escalar φ(x1,x2 ,x3) = φ(θ1,θ 2 ,θ 3) ⇒ Ley de transformación de escalares

Si w es un vector w(x1,x2 ,x3) = w(θ1,θ 2 ,θ 3)

Si σ es un vector σ (x1,x2 ,x3) = σ (θ1,θ 2 ,θ 3)

Recordemos que g

i=

∂xk

∂θ iik donde gi

está asociado al sistema θi

ik está asociado al sistema xk

6

∴ g

i(θ ) =

∂xk

∂θ ig

k(x)

Podemos “despejar” gk(x) si multiplicamos por

∂θ i

∂xm

⇒ ∂θ i

∂xmg

i(θ ) =

∂θ i

∂xm

∂xk

∂θ ig

k(x) = δ

mk g

k(x) = g

m(x)

↑ ↑inversa de la matriz del jacobiano & matriz del jacobiano

∴ g

i(θ ) =

∂xk

∂θ ig

k(x) g

m(x) =

∂θ i

∂xmg

i(θ )

w(θ ) = wi (θ )g

i(θ ) = w(x) = wm(x)g

m(x) = wm(x)

∂θ i

∂xmg

i(θ ) ⇒ wi (θ ) − wm(x)

∂θ i

∂xm

g

i(θ ) = 0

∴ wi (θ ) =

∂θ i

∂xlwl (x) Ley de transformación contravariante

Para los componentes covariantes

w

i(θ ) =

∂xm

∂θ iw

m(x)

Para tensores:

σ ij (θ ) =

∂θ i

∂xa

∂θ j

∂xbσ ab(x) contravariante-contravariante

σ

ji (θ ) =

∂θ i

∂xa

∂xb

∂θ jσ a

b(x) contravariante-covariante

σ

ij (θ ) =

∂xa

∂θ i

∂θ j

∂xbσ

ab(x) covariante-contravariante

σ

ij(θ ) =

∂xa

∂θ i

∂xb

∂θ jσ

ab(x) covariante-covariante

Para subir y bajar índices (en un sistema de coordenadas dado)

σij = gikσ

kj

σ

ij= g

ikσ

jk = g

ikg

jeσ ke

g

ij( ) = TMF gij( ) = TMF −1

7

Ejemplo: coordenadas Cilíndricas

θ1,θ 2 ,θ 3{ } ⇔ r,θ , z{ } son coordenadas OG 2-D

w

i(θ ) =

∂xm

∂θ iw

m(x)

w

i(r,θ , z) =

∂xm

∂θ iw

m(x, y, z)

Primer componente:

h

1

1w

r≡ w

1(r,θ , z) =

∂x

∂rw

1(x, y, z) +

∂y

∂rw

2(x, y, z) +

∂z

∂r

0

w3(x, y, z)

w

r=

∂x

∂r(1w

x) +

∂y

∂r(1w

y) = w

xcosθ + w

ysenθ

Segundo componente:

h

2

rwθ = w

2(r,θ , z) =

∂x

∂θ(1w

x) +

∂y

∂θ(1w

y) = −rsenθ w

x+ r cosθ w

y

wθ =

1

r−w

xrsenθ + w

yr cosθ( ) ⇒ wθ = −w

xsenθ + w

ycosθ

Tercer componente:

wz≡ w

z