II. CÁLCULO VECTORIAL

A. ALGEBRA VECTORIAL Y FUNCIÓN VECTOR DE UN ESCALAR

1. Conceptos fundamentalesM a g n it u d e s escalares y vecto ria les . Las magnitudes cuyos valo­

res pueden representarse por números positivos o negativos (“escalares”) se llaman escalares (masa, temperatura, trabajó, etc.); las magnitudes cuyos valores se determinan tanto por sus dimensiones como por sus direcciones en ei espacio, se llaman vectoriales (fuerza, velocidad, acele­ración, intensidad de un campo eléctrico y de un magnético, etc.) y pueden representarse por vectores.

Un vector es un segmento (fig. 389) que tiene una longitud y direccióndeterminada (se representa por AB, a, b, c, . . . , a veces ¿r, c, ó a, b, c).

A es el origen y B , el extremo del vector; la longitud del vector a (el módulo o valor absoluto) se repre- sénía por a o ¡ a |. El vector nulo (0) es el vector cuyo extremo y origen coinciden; su módulo es igual a cero y la dirección es indeterminada. Dos vectores a y b se /consideran iguales, ¿i son iguales sus módulos y coin­ciden sus direcciones (es decir, si los vectores son paralelos y están orientados hacia un mismo lado*).

Los vectores colineales son paralelos a una misma recta, los copla- nares son paralelos a un mismo plano. Los vectores opuestos entre sí tienen igual longitud y llevan direcciones opuestas: AB = a, BA = - a. Los vectores unitarios son aquellos cuyos módulos son iguales a 1; el vector unitario cuya dirección coincide con la del vector a se representa

Fig. 389

* Según esta definición, un vector no varía si se le traslada paralelamente a si mismo, de modo que su origen caiga en cualquier punto del espacio. Tales vectores forman un sistema de vectores libres. En algunos problemas de mecánica se consideran vectores cuyos orígenes están fijados en un punto determinado del espacio (sistema de vectores fijos), o que pueden ser trasladados sólo a los puntos situados en una recta a lo largo de la dirección del vector (sistema de vectores axiales o deslizantes).

CONCEPTOS FUNDAMENTALES 597

por a° y se llama ver sor de esta dirección. El vector a se puede repre­sentar en la forma: a = qa°, don de a es el módulo del vector a. Los versores que llevan ia dirección de los ejes de coordenadas rectangulares Ox, Oy, Oz (hacia el lado de crecimiento de la coordenada)*, se de­signan con i, j, k (fig. 390).

R a d io v ec to r d e u n p u n t o . El vector OM cuyo origen coincide con el origen de coordenadas y cuyo extremo está situado en el punto M (véase la fig. 390), determina completamente este punto y se llama radio vector del punto M (se designa con r). En este caso, el origen O se llama polo.

Combinaciones lineales de vectores. La suma de varios vectores a, b, c, . . . , e es un vector f = AFy que cierra la poligonal ABCDEF formada por los vectores sumandos (fig. 391, a); la suma de dos vectores AB = a y AD = b (fig. 391, ó), el vector AC = c que representa la diagonal del paraleíogramo ABCD, Las propiedades fundamentales de suma son:

a + b = b+a, (a-bb)-fc = a+ (b+ c), |a + b| ^ la |+ |b | .

Se llama diferencia a - b a la suma de los vectores a y - b (¡a diago­nal DB en la fig. 391, b); a - b = a -h (-b ) = d; propiedades de la diferencia: a - a = 0 (el vector nulo) | a - b | ! a (— | b j.

Se ¡lama producto de un escalar por un vector (oca ó aa) al vector que es colineal al vector a, cuya longitud es igual a i a ¡ a y cuya dirección coincide con la de a, si a > 0 y es opuesta, si a < 0; las propiedades de este producto son:

aa = aa, a/fe = /fea, (a+ 0 )a = osa+ ¡8si, a (a + b) — aa+ab.

* En este capítulo se admite un ssst^rpa de coordenadas dextrógiro o de mano derecha (véase la pág. 248).

Z

ú

Fig. 390 Fig. 391

598 II. CÁLCULO VECTORIAL

Combinación lineal de ¡os vectores a, b, . . . , d con ios coeficientes a, /?, . . . , ó (escalares) es el vector

k = aa-f/?b-h . . . + <5d. (* )

Cualquier vector a puede descomponerse unívocamente en una suma de tres vectores paralelos a tres vectores dados (no coplanares) ti, v, w (fig. 392, a):

a = au+/?v+yw; ( * * )

V•) 6)

Fig. 392

los sumandos au, /?v, yw se llaman componentes y ios factores escalares oc, T» coeficientes de esta descomposición. Los vectores paralelos a un plano pueden expresarse en la forma a = asi-F^v, donde u y v son dos vectores no colineales dados (fig. 392, b).

C o o r d e n a d a s d e u n v ec to r . Coordenadas cartesianas rectangulares. Según la fórmula ( ^ ¿fc), cada vector AB — a en el espacio puede des­

componerse unívocamente en una suma de vectores paralelos a los versores i, j, k (véase la pág. 597):

a = axi+ a j + azk; (1)

los escalares ax, ay, az se llaman coorde­nadas cartesianas rectangulares del vector a en el sistema i, j, k; la notación es:

a{ax, ay, az}\ (2)

La notación (2) es equivalente a la (1).1 Las coordenadas cartesianas rectangulares de un vector son las proyecciones de este

vector sobre los ejes coordenados Ox, Oy, Oz, (fig. 393).En una traslación paralela del vector, sus coordenadas no varían.Las coordenadas de una combinación lineal de varios vectores son

z

CONCEPTOS FUNDAMENTALES 5 9 9

iguales a las mismas combinaciones lineales de estos vectores, o sea, de la igualdad vectorial ( * ) se deducen las tres igualdades escalares:

kx = aax+f$bx+ . . . +ddx , jkv = aay+pby+ . . . + bdy1 > (3)k z - aae+pbz + . . . +ddz . )

En particular, para las coordenadas de la suma o de la diferencia de dos vectores se tiene: c = a ± b,

cx — ax± b x, cv — ay± b y, cz = az± b t . (4)

Las coordenadas cartesianas rectangulares del radio vector r del punto M (x, y , z) son iguales a las coordenadas correspondientes de este punto:

rx == x y ry = / , rg =■■ z; r = .xi+yj-f zk.

Coordenadas afines. La generalización de las coordenadas cartesianas rectangulares de un vector son sus coordenadas afines en el sistema ej, e2, e3, es decir, los coeficientes a1, a2, a3 de la descomposición del vector a en las direcciones de tres vectores no copianares dados elf e2 y e3:

a = c,e1+íi?e2+fl3e 3 0 ')o empleando la notación equivalente

n{r/\ a2, a3}*. (2')

Las fórmulas (T) y (2') se transforman en (1) y (2) para ©! = i, e2 — I, «a = k. Análogamente, para las coordenadas de la combinación lineal de vectores ( * ) y para la suma o la diferencia de los vectores (4), se cumplen las fórmulas:

k 1 = aal +fib1+ . . . + 6 d \ |k 2 ~ cca2+f$b2+ . . . + 8 d \ | (3')k 3 = a . . . + Sd3, j

c1 = ¿7* + ó1, c2 = a2áib2, c3 = a3± (40

* Los índices superiores no sg deben confundir con el exponente de una potencia. Esta forma de escribir los coeficientes es conveniente, pues los escalares a 1, a2» a3 son las coordenadas contravariantes del vector a (véase la pág. 604).

6 0 0 11. CALCULO VECTORIAL

2. Multiplicación de vectoresM u l t ip l ic a c ió n escalar d e v ec to res . Se llama producto escalar de

íos vectores a y b (se representa, por ab) al escalar definido por la igualdad ab = ah eos y, donde (p es el ángulo formado por los vectores a y b reducidos a un origen común (fig. 394).

M ultiplicación vectorial de vectores. Se llama producto vectorial de los vectores a y b (se representa por aX b ó [abj), al vector c cuya

longitud es igual a ab sen (p (es decir, es igual al área del paralelogramo construido sobre los vectores a y b como lados) y cuya dirección es perpendicular a a y b, for­mando los tres vectores a, b y c una terna de mano de­recha (es decir, que después de hacer coincidir los oríge­

nes de los vectores a, b y c, la rotación más corta de a a b sea con­traria a la de las agujas del reloj para un observador que está situado en el extremo del vector c (véase la fig. 395).

P r o p ie d a d e s d e los p r o d u c t o s d e vec to r es .ab = fea (propiedad conmutativa, pero aXfe = -b X íi (al permutar

los factores, el producto vectorial cambia su dirección por la contraria);a (ab) = (aa) b y a (a X b) — (oca) X b (propiedad asociativa con res­

pecto al factor escalar a);a (be) (ab)c y aX(bXc) ^ (a X b) X c (en estos casos no se cumple

la propiedad asociativa);a(b-bc) = ab-bae y aX(b-i-c) = aX b + a X c (propiedad distribu­

tiva) ;ab = 0, si ñ JL b (condición de perpendicularidad de los vectores;aX b = 0 , si a || b (condición de colinealidad de los vectores);

aa = a 2 = a'\ pero aX a = 0.Las combinaciones lineales de vectores se pueden multiplicar como

polinomios escalares, pero con ia diferencia de que, para la multiplica­ción vectorial, al permutar los factores (por ejemplo, al reducir términos semejantes), se debe cambiar el signo

Ejemplos: 1) (3aH-5b —2c) (a —2b~4e) = 3a2 + 5fea~2ea —6 ab — - 1 Ob2 + 4cb- 1 2ac- 20bc+ 8 c2 - 3a2- 10b2 + 8 c2 - a b - M a c - 16bc.

2) (3a + 5 b -2 c )X (a -2 b -4 e ) = 3aXa + 5 b X a -2 c X a -6 a X b - - lObXb-f 4 cX b - 12aX c-20bX c+8cX c — 0 -5 a X b -f 2aX c-6aX X b + 0 -4 b X c - l2aX c~20bX c+ 0 •-* - l l a X b - 10aX c-24bX c - = l lb x a + 1 0 c x a + 24cxb.

MULTIPLICACION DE VECTORES 601

M u l t ip l ic a c io n e s reite r a d a s de v ec to res . El producto vectorial doble aX (bX c) es un vector que es coplanar a b y c y puede calcularse por la fórmula

aX (bX c) = b (ae)-c(ab ).

El producto mixto (a X b) c es un número que es igual al volumen del paralelepípedo construido sobre los vectores a, b, c y que se toma con signo « + » si a, b, c forman una terna de mano derecha y con signo « —» si los mismos forman una tema de mano izquierda (véase más arriba). Generalmente, en el producto mixto se omiten los parénte­sis y el signo: (aX b )c = abe.

abe = bea, = eab = - acb = - bac ~ - cba (la permutación de dos factores cambia el signo al producto mixto; la permutación cíclica de los tres factores, no lo cambia).

Fórmulas para “productos complicados”(a X b) (e X d) = (ac) (bd) — (be) (ad) (identidad de Lagrange) ;

abe • eígae af ag be bf bg ce cf eg

E x pr esió n d e los p r o d u c t o s en c o o r d e n a d a s c a r t esia n a s r e c t a n ­g u l a r e s . Si los vectores a, b, c están dados en coordenadas cartesianas rectangulares

a {ax , a„, a z),b {bx, b„, b,c {c„ e„, c,},

los productos de los vectores se calculan por las fórmulas siguientes:Producto escalar: ab ~ aJ)x-\-avby+azb.. (1)

Producto vectorial:a X b = (aybz ~ azbw) I + (a£bx - axbz) j + (ajby - avbx) k =

i k

Producto mixto: abeaz ay a2 x. foy b¡¡

cr cz

hx b y b z

(2)

(3)

E xpresio nes de los p r o d u c t o s e n c o o r d e n a d a s a f in e s . Coeficientes métricos y los vectores recíprocos. Dadas las coordenadas afines de los vectores a y b en el sistema e l5 e2,

a — fí1e 1-f-q2e24-í33e3, b = ó1e1+ ó 2e2+ ó 3e3,

602 II. CALCULO VECTORIAL

para calcular el producto escalar,al) = a'b'e&x -f a2b2&2e2 + a3h3e3e34- (u 3ó24- a2bl) +

+ (a2b3+a*b2) &2&3+(a3b1+d1b3) e3er (A)o el producto vectorial,aX b — (a2ba-~a3b2) e 2X e z-\-(a3b1- a 1b3) e 3Xei-\-(a1b2~ a 2b1) e 1X e 2

(B)(puesto que el Xe1 = e2Xe2 = e3Xe3 = 0),

es necesario conocer los valores de los productos, dos a dos, de los vectores básicos, es decir, para el producto escalar hay que conocer seis números (los coeficientes métricos):

gil ~ Cl©l> g22 — ©2e2» SzZ = e3e3» g l2 = ®1®2 = S 23 =: ®2®3 == ®3®2> 31 “ ®3®1 ” ®1®3»

y para el producto vectorial, tres vectores (los vectores recíprocos a ®1» ^ 3)*

é = í i( e 2 Xe3), e2 = £ ( e 3 Xe,), e3 = í i( e 1 Xe2),

donde el coeficiente Q, que es igual al valor recíproco del producto mixto de los vectores básicos

Q = — ,

se introduce para simplificar las fórmulas ulteriores.

«Tablas de multiplicación» ¿fe t e vectores básicos.Multiplicación escalar

el ©2 ©3

£ll J £ l2 # 1 3

®2 £21 # 2 2

« 3 £ 2 1 £ 3 2 £ 3 3

(Ski = £ía)

Multiplicación vectorial: MuitipSicadoies

3s

e. ©2 «a

«1 0 ©3/13 - e2/12

«2 ~ e 3 /0 0 el ¡O

©3 ©2/í? | - e l /1 2 0

En coordenadas cartesianas rectangulares (ex = i, e2 = j, e8 = k),los coeficientes métricos son:

S u “ S i2 ™ #38 “ ^

M ULTIPLICACIÓN DE VECTORES 603

ios vectores recíprocos e1 = i, e 2 = j, e3 = k coinciden con los básicos y las tablas de multiplicación tienen la forma:

Multiplicación escalar

i k

i 1 0 0

i 0 1 0k 0 0 ¡ 1

Multiplicación vectorial:Multiplicadores

Producto escalar en coordenadas. Según la fórmula (A)

aS) = £ E (1")

Para las coordenadas cartesianas rectangulares, la fórmula (1") se transforma en la ( 1 ) de Sa pág. 601.

Producto vectorial en coordenadas. Según la fórmula (B)

a x b = ——e1 e2 e3a1 a2 a3

eleS®3b* b2 bz

lele2e3

[(a2b2 - a*b2) é + (a3bl - a'b3) e2 + (alb2 - a2bl) e3]. (2 ")

Para las coordenadas cartesianas rectangulares, la fórmula (2") se transforma en la (2 ) de la pág. 601.

Producto mixto en coordenadas:a1 a2 a2

abe = bl b2 b2cl c2 c3

* La ultima parte de la igualdad (í" ) es la expresión abreviada de la suma, admi­tida en el análisis tensorial: en lugar de toda la suma se escribe sólo uno de sus términos típicos; además, se supone que el índice que se encuentra en este término dos veces (una vez arriba y otra vez abajo); y que se designa con una letra griega ( “el índice de sumación”) recorre todos los valores desde 1 hasta 3.Por lo tanto,

Sn& b1 + g n alb2 + g laáLb9+ g t leflbl + g n ^ b 2 + g ^ a 2b^+gsia^b1 ++gsza9b* +

6 0 4 lí. CÁLCULO VECTORIAL

Para las coordenadas cartesianas rectangulares, la fórmula (3") se transforma en la (3) de la pág. 601.

E c u a c io n es vec to ria les

, x es el vector incógnito, a, b, c, d son vectores conocidos x, y, z son escalares incógnitos, a, 0, y son escalares conocidos.

Ecuación Solución

1) x + a = b x = b —a

2) xa = aax = — a

3) xa = a La ecuación es indeterminada; si a todos los vectoresx que verifican a esta ecuación se les trasladan sus orí­genes a un punto, entonces sus extremos se encontrarán en un plano perpendicular al. vector a. La ecuación 3) se llama ecuación vectorial de este plano.

4) xX » = b (bJLa La ecuación es indeterminada: si a los vectores x queverifican a esta ecuación se les trasladan sus orígenes aun punto, entonces sus-cxtremos se encontrarán en una recta paralela al vector a. La ecuación 4) se llamaecuación vectorial de esta recta.

fxa = a aa + aXb[x X a = b (b_La)

x = _ a2

iíxa = a a(bXc)+jS(cXa) + Y(aXb) _

6) xb = fi abe

1[xc = Y = aa + /3b + ye, donde a, b, c son los vectores recíprocos a a, b, c (véase la pág. 601). —

dbc ade abd7) d = xa+jb-f.zcX abe * y abe * Z abe

8) d = x(bXc) + da dh _ de+ j(c X a) + r(a X b) X alie ’ y abe ’ Z abe

3. Coordenadas covariantes y contravariantes de un vector

D efiniciones. Las coordenadas afines a \ a2, a3 de un vector a en el sistema e ls e2, e3, definidas poj la fórmula:

a — «1e1+ « 2e2-l-fl3e 3 = ¿?aea*.

Véase la llamada de la pág. 603.

se llaman también coordenadas contravariantes de este vector, a dife­rencia de sus coordenadas covariantes que son los coeficientes de la descomposición del vector según los tres vectores e1, e2, e3, recíprocos a ej, e2, e3 (véase la pág. 601). Las coordenadas covariantes del vector a se designan por alt a2, a3:

a = a ^ l -\- a2e2+í?3e3 = ¿iaea.En un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, las coorde­

nadas covariantes del vector coinciden con las contravariantes.E x presio nes d e las c o o r d e n a d a s m e d ia n t e p r o d u c t o s escalares .

La coordenada covariante del vector a es igual al producto escalar de este vector por el vector básico correspondiente:

ax — ae1} a2 = ae2, a3 = ae3. (a)La coordenada contravariante del vector a es igual al producto escalar de este vector por el vector reciproco correspondiente:

a1 = ae1, a2 — ae2, a3 = ae3. (b)

Para las coordenadas cartesianas rectangulares, las fórmulas (a) y (b coinciden:

ax = ai, ay = aj, az - ak.

E xpr esió n d e l p r o d u c t o escalar en c o o r d e n a d a s . La fórmula (!") de la pág. 603 daba la expresión del producto escalar de dos vectores mediante sus coordenadas contravariantes. En coordenadas covariantes le corresponde la fórmula

ab = g«Pa¿ap,

donde gmn = eme” son los coeficientes métricos en el sistema de vectores recíprocos; éstos están ligados con los coeficientes gmn mediante la relación

gmn __ v '_______£ll 12 & 13 1?21 S 'IZ 8 t 3

I 83 1 8 32 8 3 3

donde AmH es el menor del determinante que figura en el denominador, y que resulta, al eliminar la fila y columna que contienen ai elementoSmn•

Si el vector a está dado en coordenadas contravariantes y b, en covariantes, su producto escalar es igual a

ab = a1bí + a2b2+a3b3 = aabay, análogamente,

ab = aaba .

COORDENADAS COVARIANTES Y CONTRA VARI ANTES 6 0 5

4. A

plic

acio

nes

geom

étri

cas

del á

lgeb

ra v

ecto

rial

606 II. CÁLCULO VECTORIAL

Véa

nse

en la

s pá

gs. 2

54-2

62 y

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bién

en

la p

ág, 6

04 la

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ial e

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la r

ecta

).

FUNCION VECTORIAL DE VARIABLE ESCALAR 607

5. Función vectorial de variable escalar

D efinición. Un vector variable a se llama función vectorial (función vector) de la variable escalar f, si a cada valor de t le corresponde un valor determinado del vector a.

La notación es : a = f (/).

Expresar una función vectorial en coordenadas

a = axi+ a¿+ azk

equivale a dar tres funcio­nes escalares de una variable Fig. 396 F¡g. 397independiente:

ax = f x(í), av = /„ (í). = /* (0-Si se representa al vector variable en forma de radio vector r = r (/)

del punto M, entonces, al variar /, el punto M describe una curva en el espacio (fig. 396), la hodógrafa de la función vectorial; su expresión en coordenadas se realiza mediante tres igualdades:

x = x(t), y = y ( t)9 z = z(i), r = Ai-fjjH zk.La derivada de una función vectorial a = f (/):

<7a~dT -- lim

A<->- 0g(/ + A/)-f(Q

A t

representa una nueva función vectorial de t. Interpretación geométricadide la derivada del radio vector: es el vector tangente a la hodógrafa

dren el punto correspondiente (fig. 397); la longitud de ~ depende de la elección del parámetro t. Si t es el tiempo, la función r(f) determina el movimiento del punto M en el espacio y ~ es, en valor absolutoy en dirección, la velocidad de este movimiento. Si t es la longitud de arco de la hodógrafa (desde un punto del mismo hasta M), entonces I * ¡ _ L

dtR eglas de derivación de los vectores:

-^-(a+ b+ c-f . . . ) =da í/fo , de~di^~dt+ ~dt +

d ( v d<p da.(7 >a) = -5 r a + y - 5 rdt {(p es una función escalar de t).

608 IT. CÁLCULO VECTORIAL

dbdt- w b+ *-

^ X b + a x f véase la pág. 600)d . , da.

i m

¿ • (a x b ) =

d<p

(los factores no se pueden permutar,

Si el vector r es unitario, entonces r ^ 0 (la tangente es perpendi­cular al radio vector, la hodógrafa es una curva esférica).

S erie d e T a y l o r p a r a las f u n c io n e s v e c t o r ia l e s:

a«+ h) = a ( / ) + / i f + f - d 2 a An rfna+ ’ + 7íT ~dt¿ +

La convergencia de esta serie (y de cualquier serie de términos vectoriales) se determina del mismo modo que la convergencia de una serie de términos complejos (véase la pág. 572). Sobre el desarrollo de una función vectorial en serie de Taylor, sólo tiene sentido hablar cuando esta serie es convergente.

La diferencial de la función a (í) se define por la igualdad

B. TEORÍA DE LOS CAMPOS

6. Campo escalar N

F u n c io n e s d e l p u n t o . Una magnitud escalar U que toma valores determinados en cada punto M del espacio, se llama función escalar del punto o campo escalar U ~ U (M ) (por ejemplo, campo de temperatura, potencial, densidad en un medio no homogéneo, etc.). Un campo puede definirse mediante una función escalar del argumento vectorial r (del radio vector del punto M para un polo dado O (véase la pág. 597):

U = U( r). (1)Un campo definido sólo en los puntos de un plano, se llama campo

plano*.

* A veces se llama plano el campo definido en los pumos dei espacio y que posee la propiedad de que en todos los puntos de una recta paralela a una dirección constante, ía función U tiene un mismo valor. Es más correcto decir que es un campo plano-paralelo; su estudio se reduce al estudio del campo en un plano perpendicular a esta dirección.

CAMPO ESCALAR 6 0 9

Campo central y campo axial. Si la función tóma valores iguales en todos los puntos que se encuentran a igual distancia de un centro C(r,) el campo se llama central o esférico; tal campo depende sólo de la distancia CM = r; por ejemplo: U = r (distanciajdel punto al polo);U — (es el campo que representa en cada punto al luminosidad de una fuente central de luz); en general,

U = f{r). (2)Si la función toma valores iguales en todos los puntos que están si­tuados a distancias iguales de una recta (eje del campo), el campo se llama axial o cilindrico.

Expresión del campo en coordenadas. Determinando el punto M por sus coordenadas (cartesianas x , y , z, cilindricas p, q), z o esféricas r, 6, cp*): obtenemos la expresión del campo escalar (1) mediante una función de tres variables:

U=<S>(x,y, z), U ~ ^ (p , 9°, z) ó U = X (r ,d f <p), (la)y para un campo-plano, mediante una función de dos variables (en coordenadas cartesianas o polares):

U = q> (x,y) ó í / = ^ ( p,<p) (Ib)(las funciones U en (la) y (Ib) se suponen uniformes y continuas en todas partes, a excepción de puntos, líneas y superficies aislados de discontinuidad). La expresión de un campo central en coordenadas, es:

v = < y (v W r + P ) = t/CVpHz2) = í/^), (2a)de un campo axial, es:

U = t/(V '¿ í +3'2) = V(<?) = sen ); (3)para el estudio de los campos centrales son más convenientes las coorde­nadas esféricas; para los axiales, las cilindricas.

Superficies y líneas de nivel. Los puntos en los cuales la fun­ción (1) toma un mismo valor

U - const, (4)forman en el espacio una superficie de nivel, cuya ecuación en coordena­das es:

U — <3>(x, y , z) =* const, U = ^ (p , 9?, z) = const,U — X (r f 0, <p) *= const. (4a)

Para diferentes const — UQi Ul9 U2, . . . se obtienen diferentes superficies; por cada punto pasa sólo una superficie de éstas (a excepción de los puntos en los cuales la función U no está definida unívocamente).

* Véase ía pág. 249.

39-0406

610 II. CÁLCULO VECTORIAL

Ejemplos: 1) Para el campó U = cr — cpc + cyy + czz las superficies de nivel son planos paralelos. 2) Para el campo U — x 2+2y2+4z2 las superficies de nivel son elipsoides semejantes y de situación homotética.

Las superficies de nivel de un campo central son esferas concéntricas; las superficies de nivel de un campo axial son cilindros con el eje común.

Para un campo plano la ecuación U = = const representa las líneas de nivel:

U (x, y) = const, U (p, (p) = const. (4b)

En los dibujos, las líneas de nivel se trazan convencionalmente para valores de U que se diferencian entre sí en una cantidad constante, y sobre cada una de ellas se escribe el valor

Fig. 398 numérico correspondiente de U (fig. 398); porejemplo: las isóbaras en los mapas sinópticos, o las horizontales (líneas de igual altura) en

los mapas topográficos. En algunos casos, las líneas de nivel pueden de­generar en puntos aislados y las superficies de nivel en puntos y líneas.

Ejemplos: (fig. 399) a) U = xy,b) ~ , c) U -- r \ d) - { .

7. Campo vectorialF u n c ió n v ec to r ia l de u n p u n t o . Una magnitud vectorial V que

toma un valor determinado en cada punto M del espacio, se llama función vectorial del punto o campo vectorial V = V (M) (por ejemplo, el campo de velocidades de las partículas de un liquido en movimiento, un campo de fuerzas, un campo de intensidad eléctrica o magnética, etc.). Un campo puede definirse mediante una función vectorial del argumento vectorial r:

V = V(r). (1)

Se dice que un campo vectorial es plano, si todos los valores de r, así como los de V, están situados en un plano*.

T ipo s d b cam po s vecto riales d e uso frec u e n te

a) Campo vectorial central (fig. 400, a). Todos los vectores V están situados en rectas que pasan por un punto determinado (centro). Colocando el polo en el centro, tal campo se determina por la fórmula y = / ( r)-r; todos los vectores V llevan la dirección del radio vector r.

* Vease la llamada de la pág. 608. Una situación análoga se tiene para el campo vectorial.

CAMPO VECTORIAL

c.) 8)

Fig. 400

II. ( Al ( UI O VI < l OK I A l( A l

Es conveniente expresar este campo por la fórmula V = <p(r) y ;

9?(r) es la longitud del vector V, ~ es su versor.

b) Campo vectorial esférico (fig. 400, b); V — (f (r) -- , es un casoparticular importante del campo central, en el cual la longitud del vector V sólo depende de la distancia |r |; por ejemplo, el campo de atracción de Newton (Coulomb) es:

(para un campo plano, éste se llama campo circular).c) Campo vectorial cilindrico (fig. 400, c). Todos los vectores de

V: 1) están situados en rectas que pasan por una recta determinada (eje) y son perpendiculares a ella, 2) para los puntos que se encuentran a igual distancia del eje, todos los vectores son iguales en valor absoluto y están todosXlirigidos o desde el eje o hacia el eje. Poniendo el polo en el eje del campo, definido por el versor c, tal campo se determina por lafórmula V = y (p) x-■, donde r es el vector que es la proyección de r sobreun plano perpendicular al eje r = cX(rXc). En las intersecciones de este campo por planos perpendiculares al eje, resultan campos circulares iguales.

E x p r e sió n d e l c a m po en c o o r d e n a d a s . El campo vectorial (1) se puede determinar mediante tres campos escalares V1 (r), V2 (r) y V8 (r), que son los coeficientes de la descomposición de V con respecto a tres vectores no coplanares cualesquiera e2, e3:

V = v 1el +V*e2+ F3e3V (2)Si se toman como base los versores de coordenadas i, j, k, y los

coeficientes V 1, V2, V3 están expresados en coordenadas cartesianas x9 yy z, tendremos que

V = Vx(x, v, z) i 4- Vy (x, y, z) j 4- Vt (*, y , z) k, (2a)es decir, el campo vectorial se determina por tres funciones escalares de tres variables (expressión del campo en coordenadas cartesianas). En coordenadas cilindricas y esféricas los versores, o sea, los vectoreseP, e?, ez ( = k) (fig. 401) y er (= , e?, e^, (fig. 402) son tangentes a laslíneas de coordenadas en cada punto y los coeficientes se expresan mediante las coordenadas correspondientes por las fórmulas:

V - VP (p, (p, z) e P 4- Vy (p, (p, r) 4- Vz (p, (p, z) e„V = Vr (r, (p, 0) e, 4- Vcp (ry <p9 0) e<p + Ve (r, (p, 0) e«.

(2b)(2c)

En estos casos, los versores cambian de dirección al pasar de un punto a otro, manteniéndose perpendiculares entre sí.

F órmulas de paso de un sistema a otro

a) Expresión de las coordenadas cartesianas mediante las cilindricas:——- VP eos cp - Vy sen 99, Vy — VP sen <p-h Vy eos 99, Vt = Vt .

b) Expresión de las coordenadas cilindricas mediante las cartesianas: VP = Vx eos 99 -f Vy sen 99, Vy — - Vx sen 99 4- Vy eos 99, Vz = Vz.

c) Expresión de las coordenadas cartesianas mediante las esféricas:Vx == Vr sen 6 eos 99 - Vy sen 99 -f- Ve eos 99 eos 0,Vv =* Fr sen 0 sen 99+ Vy eos (p+Ve sen 99 eos 0,Fz - Fr eos 0 - F0 sen 0.

d) Expresión de las coordenadas esféricas mediante las cartesianasVr = FT sen 0 eos 9 4 - Fy sen 6 sen 99+ Fz eos 0,F^ - - Fx sen 99 4- F„ eos <p ,V0 — Fx eos 0 eos 99 -!~ F„ eos # sen 99— Fz sen 6.

La expresión de un campo vectorial esférico mediante las coordena das cartesianas es:

V = (p W x 2+ y2+z'¿)(xi+ y)+zV):

614 II. CÁLCULO VECTORIAL

la expresión de un campo cilindrico mediante las coordenadas cartesia­nas es:

Las coordenadas más convenientes para el estudio de los campos esféricos son las esféricas [V = V(r) er], y para los cilindricos, las cilindricas [V = V(p) eP]. En el caso de un campo plano:

V = Vx (x, y) i+ Vp{xt y) j = VP (x, y) eP + Vg, (x, y) (fig. 403),

para un campo circular:

Líneas de corriente. Una curva V tal que en cada uno de sus puntos M (r) el vector V(r) es tangente a F, se llama linea de corriente del campo

vectorial V (r) (fig. 404). Por cada punto del campo pasa una línea de corriente; las líneas de corriente no se cortan entre sí (a excepción de los puntos en los cuales la función V no está definida o V = 0).

Ejemplos: Las líneas de corriente de un campo central son rectas que unen el centro con un punto del campo; las líneas de corriente del campo V = cXr son circunferencias que están situadas en los planos perpendiculares al vector c y que tienen los centros en el eje paralelo a c.

Las ecuaciones diferenciales de las líneas de corriente de un campo expresado en coordenadas cartesianas, son:

V = (p{\fx‘+yz) u¡+>'j).

V = <p(Vxi + y-)(xi+ vj) v (p )e f .

X

Fig. 403 Fig. 404

Sobre la resolución de estas ecuaciones diferenciales, véause las págs. 501 y 513.

GRADIENTE 615

8. GradienteSe llama derivada de un campo escalar U = U(r) en un punto

dado r, con respecto al vector c, al límite de la razón :

f = lim (fig. 405).

Se llama derivada del campo U = U (r) en un punto dado r, en la dirección del versor c°,a lá derivada ~ . Las derivadas con respectoal vector c y a su versor c°, en un punto dado, están ligadas por la relación Fig. 41)5

dUde

dU de» '

^ indica la velocidad de crecimiento en cada punto de la función U en la dirección c°; entre todas las derivadas en un punto dado con respecto a los distintos versores, la mayor es la derivada ~ en la dirección de ladanormal n (n es el versor de la normal) a la superficie de nivel en este punto (hacia el lado de crecimiento de la función U); la derivada con respecto a un versor en cualquier otra dirección se expresa por la fórrñula

¿w deo

dü , 0 . dU= S i COS <C > ■) “ Tn COS V-

Gradiente del campo U (r) (se representa por grad U ó v i/* )e s un vector, definido en cada punto del campo, cuya dirección es la de la normal a la superficie de nivel (hacia el lado de crecimiento de U) ycuya longitud es igual a .

La derivada es igual a la proyección del grad U sobre la direc­ción c°:

I ? = c# ®rad U-Coordenadas del gradiente: en el sistema cartesiano:

. TT dU . dU . 6U ,grad U = ~ 1 + gy J + ¿7 k,

Sobre el símbolo V (nabla), véase la pág. 626.

616 II. CÁLCULO VECTORIAL

en el sistema de coordenadas cilindricas. 1T dU , 1 dU , 6 1 / grad U = Tp- t , + j e„

en el sistema de coordenadas esféricas

att QV 1grad U = t er+ ----- -dr r r sen ídU , 1 6o'<f 7 00

En aquellos puntos del campo, en los que las líneas de nivel se han trazado más a menudo, según las condiciones de la pág. 609, el valor absoluto del gradiente es mayor; en los puntos de máximo y mínimo del campo [en éstos las superficies (líneas) de nivel degeneran en un punto] grad U — 0.

D iferencial de un campo escalar es la diferencial total de la.fun­ción U (véase la pág. 356):

dU = grad U dr — ~ dx+dx dydU dy + dU

Reglas de cálculo del gradiente* : grad c — 0, grad (Ul + U2) = grad f/j-fgrad U2f

grad («cU) = c gr^d U,grad (C/iC/2) = U] grad U2+ U 2 grad Ux, grad <p(U) = — grad U,

grad ( V x\ 2) - (V, grad) V2 + (V2 grad) Vt + VjXrot V2 ++ V2Xrot Vj**.

En particular, grad (re) = c.Gradiente de un campo central: grad U(r) — U'(r) -~ (es ún campo

esférico); en particular, grad r — ~ (campo de vectores unitarios).El gradiente comó derivada de volumen. La derivada de volumen

de un campo escalar (véase la pág. 623) es un vector que es gradiente de este campo; esta propiedad se puede admitir como definición de gradiente:

<|> U d S

grad U - lim ------ -.v-+0 v

* Aquí y en lo sucesivo c y e son constantes.** Sobre las expresiones (V grad) W y rot V, véanse las págs. 627 y 624.

INTEGRAL CURVILÍNEA Y EL POTENCIAL 617

9. La integral curvilínea y el potencial en un campo vectorial*D e f in ic ió n . Se llama integral curvilínea (lineal) de una función vec­

torial V ( r ) , tomada sobre el camino AB (se representa por J V (r) c/r) , al escalar P obtenido de la manera siguiente: 'Tb

1) La curva AB (fig. 406) se divide por puntos intermedios

^ 2 (ra)> • • •» ^ n - i( rít-i)(A = A 0, B ee An)

en n segmentos pequeños, representados aproximadamente por los vectores rj — r ,,! = A r,^.

ÉM/l

2) En el interior (o en la frontera) de cada arco elemental A ^ XA{ se toma un punto arbitrario Mt de radio vector r<.

3) Los valores de la función V (rf) en estos puntos elegidos se multi­plican escalarmente por Ar,_!.

4) Todos los n productos obtenidos se suman.

5) Se calcula el límite de la suma obtenida ]T Vfo) A ^j, cuandoít"i

la longitud de cada vector elemental Ar,-..! tiende a cero (y, por lo tanto, n -► oo).

Si este límite existe y no depende de la elección de los puntos At y M¡, éste se llama integral curvilínea

í V (r) dr = lim ¿ V (?,) Ar,_!.Í , A r -» o ¡ - i

* Este párrafo es la exposición vectorial de la teoría de la integral curvilínea de segundo tipo de la forma general (véase las págs. 473-474).

618 II. CÁLCULO VECTORIAL

Si la función V (r) es continua* y el arco AB es continuo y posee tangente que gira continuamente, la integral curvilínea J* V (r) dr existe.

'ah

Interpretación mecánica de la integral. Si V es un campo de fuerzas, entonces P — J V (r) dr es igual al trabajo que efectúa la fuerza

TbV al desplazar un punto material por el camino AB.

Fig. 407

Propiedades de la integral curvilínea:

a) J V(r) dr = J V(r) dr+ J V(r) dr;ABO A B iBO

b) J V(r) dr = - J Y(r) dr (fig. 407);'a b 'b a

c) J [V(r)+W (r)] dr = J V(r) dr+ j W(r) dr;\a b a b a b

d) J cV (r) d r = cJ V (r) d r.

A B AB

E l cálculo de una integral curvilínea dada en coordenadas car­tesianas se reduce al cálculo de una integral curvilínea de segundo tipo de forma general (véanse las págs. 474-475)

J V(r) dr = J (Vx dx+ V, dy+ V,A B 7b

Se llama circulación de un campo vectorial a la integral curvilínea de este campo, tomada sobre un circuito cerrado (se representa por

<j) V dr, donde- C es una curva cerrada).c

* Para la continuidad de una función vectorial V (r)es necesaria la continuidad de las tres funciones escalares que son los coeficientes d£ la descomposición de V con respecto a los vectores c lt e2, es .

INTEGRAL CURVILÍNEA Y EL POTENCIAL 619

Campo c o n se r v a t iv o (o potencial) es el campo vectorial en el cual la integral curvilínea J V dr no depende del camino que une A y B y

a b

sólo depende de la posición de los mismos puntos A y B. La circulación en un campo conservativo siempre es igual a cero. Un campo conser­vativo siempre es irrotacional:

r o t V - 0 (1)

(véase la pág. 629); esta igualdad es la condición necesaria y suficiente para que el campo sea conservativo, supuesta la continuidad de las derivadas parciales de las coordenadas del hampo. En coordenadas cartesianas es:

dv± _ dvy dVj, _ evt dv£ dvx * n v~dy ~ dx * d i d~y ’ dx dz K }

[para un campo plano sólo queda la primera igualdad (la)].P o te n c ia l d e u n c a m po c o n ser v a tiv o . Si en un campo conservativo

se fija el punto inicial /I(r0) y se hace variar el final B{r), la integralr

J V(r) dr (st representa por J V(r)¿frj es una función escalar de r:'Tb ro

rJ V (r) dr --= (p (r), y el campo escalar (p (r) se llama función potencial roo potencial del campo V(r)**. El potencial de un campo está deter­minado salvo una constante aditiva arbitraria que depende del límite inferior r0; la diferencia de los potenciales es:

r2ip(r2) — (ri) = J V (r)

riR e l a c ió n en t r e el g r a d ie n t e , la in t e g r a l c u r v il ín e a y el p o t e n ­

c ia l . Si V(r) = grad U(j), entonces í/(r) es el potencial del campo V(r)***, y viceversa.

* Esta es la condición de integrabilidad (véase la'pág. 477).** Esta es la función primitiva (véase la pág. 477). En física, a veces se llama po­

tencial de <p(r) en el punto r, a esta magnitud pero tomada con signo contrario: r

« - J V (r) dr».

r0* * * O “menos el potencial del campo V (r)” (véase la llamada anterior).

620 II. CALCULO VECTORIAL

El c á l c u l o d e l p o t e n c ia l U de un campo conservativo V = Vx i -f V'yj + Ezk, dado en coordenadas cartesianas, es equivalente al problema del cálculo de la función U si es conocida su diferencial total: dU — *= Vv dx-h Vv dy+ Vz dz [V Vy, V, tienen que satisfacer a la condición (la)]; U se determina del sistema de ecuaciones:

eu_ - V du v - v

Prácticamente el potencial se calcula integrando sobre una poligonal (fig. 408) formada por segmentos paralelos a los ejes de coordenadas (véase el cálculo de la fun­ción primitiva en la pág. 478):

r x

¿/ =-- j V ¿Ir ^ U(x„, v0, z0)+ J Vx (x, z0)r»

V z

+ J [ \ (x ’ y, z0) dy+ j y, dz.Vo *0

Z

Bir)

/Hr0)

xFig. 408

10. Integrales de superficie*

Se llama vec to r d e u n a su pe r fic ie p l a n a 27, limitada por un circuito C a lo largo del cual se ha establecido la dirección positiva, al vector S (fig. 409, a), cuyo módulo es igual al valor S del área de la superficie 27, y la dirección es perpendicular a 27, de modo que desde su extremo se observe el recorrido positivo de la superficie en sentido contrario al del movimiento de las agujas del reloj. De esta manera, la elección del

s

a) 6)Fig. 409

c)

* Este párrafo es la exposición vectorial de la teoría de la integral de superficie de segundo tipo de la forma general (véase la pág. 496).

INTEGRALES DE SUPERFICIE 621

sentido positivo en el contorno de la superficie está ligada con Ja elección de la cara anterior de la superficie (es decir, de la cara de la que parte el vector S); esta relación se extiende a cualquier superficie alabeada que esté limitada por un circuito (fig. 409 b y c).

T res tipo s d e in teg r a l es sobre u n a su pe r fic ie L (cerrada o limitada por un circuito). Se llaman integrales de superficie en un campo escalar o vectorial a los valores formados de la siguiente manera: 1 ) la superficie 2 , en la cual se ha elegido la cara anterior (fig.410), se divide arbitrariamente en n super­ficies pequeñas (“elementales”) dSh cada una de las cuales se considera aproximada­mente plana y el vector correspondiente se designa con (en el caso de una super­ficie cerrada, el sentido positivo del reco­rrido de las superficies elementales se elige de tal modo que la cara anterior, desde la cual parte el vector dSit sea exterior);

2 ) en el interior (o en la frontera) de cada superficie elemental se elige un punto arbitrario rf; 3) se forma el producto: en el caso de un campo escalar, U (r,) dSif y en el caso de un campo vectorial, V (r,) dS{ ó \ ( r {)XdSi\ 4) los productos formados para cada superficie elemental se suman; 5) se efectúa el paso al límite, cuando n ->°o y dS -> 0*:

A. Flujo de un campo escalar

■ P --= lim 2JU(r/> dS t = f U(r) dS.dsi i

B. Flujo escalar de un campo vectorial

g - lim ZV(rf) dSf = f V(r) dS.i.S{ o J

C. Flujo vectorial de un campoi vectorial

R = lim 2 ^ (r ,)X rfS ,= [V(r)XrfS**.dSi _> 0 1

El cálculo de las integrales sobre una superficie en coordenadas car­tesianas se reduce al cálculo de las integrales de superficie de segundo

* La superficie elemental tiende a cero en el sentido indicado en la llamada * de la pág. 480.

** Para cada una de estas integrales subsiste el teorema de existencia, que es análogo al expuesto en la pág. 495 (omitimos su formulación exacta).

6 2 2 II. CÁLCULO VECTORIAL

tipo (véase la pág. 493) y se efectúa por las fórmulas siguientes:

A) J lM S = j J U dy dz i + JJ U dz dx j + JJ U dx dy k.£ Zyt ¿yz

B) J V d S = J’J Vx dy dz + JJ V, JJ Vtdy.y y y v** ~ y z ^ z x - 1 xy

C) J \ X d S = Jj" (K ,j- V ,k ) d y d z +\J (Vxk ~ y , i£ ^ y z -•zx

4 JJ (K „ i- Vr \)d x d y .r

xy

Cada integral doble se extiende a la superficie que es la proyección de 2 sobre algún plano de coordenadas* (fig. 411); además, en las expresiones que figuran bajo el signo integral, se debe expresar una de las variables (*, y ó z) mediante las otras dos de la ecuación de la superficie 2 .

Ejemplos: A) P = J xyz dS sobre lay

parte del plano x + y + z = 1 comprendida entre los tres planos de coordenadas (la cara superior es la anterior). Se tiene:

P = JJ (1 - y - z) yz dy dz\ + JJ (1 -- x - z) xz dz dx\-fy z z £

+ JJ (1 - x - y ) x y dxdyk;x V

1 1-2

JJ (1 - y - z ) yz dy dz = J J (1 - y - z ) yz dy dz = — ;

las dos integrales restantes se calculan análogamente; el resultado es:

P iÍ20 ( i+ j + k).

La proyección se toma con signo «4 » o « —» (véase la pág. 494).

INTEGRALES DE SUPERFICIE 623

B) Q — J r tlS - JJ jc dy dz+ J J y dz ^ + ¿ dx dyZ V 2 t x x y

1 1 - x

sobre la misma superficie. JJ z dx dy — J J ( 1 - x - y ) dy dx = — ;x y 0 0

las dos integrales restantes se calculan análogamente; Q = ¿ -f-g--f g- =

T •-

C) R — J rX d S •- J (A'i-f-yj f zk)X(¿/y ¿/zi-f ¿/z d x \ + dx dy k)v V

sobre la misma superficie. Los cálculos análogos dan R = 0.Las integrales sobre superficies cerradas se representan por:

(jií/rfS, § \ d s , j> \X d S .z r z

11. Derivada de volumen

D efinición. Se llaman derivadas de volumen (o espaciales) de un campo escalar o vectorial en el punto r, a los valores de los tres tipos que se obtienen de la siguiente manera: 1 ) se encierra al punto r del campo U(r) o V(r) dentro de una cápsula cerrada £; 2) se calcula laintegral sobre la superficie 21 <j> U dS, j) V dS ó J VX ¿S

3) se halla el límite de la razón de esta integral al volumen v com­prendido en el interior de esta superficie 27, cuando este volumen v tiende a cero (en el sentido indicado en la llamada* de la pág. 481).

La derivada de volumen de un campo escalar es su gradiente (véase la pág. 616) y las derivadas de volumen de un campo vectorial conducen a los conceptos de divergencia y rotor.

12. Divergencia de un campo vectorialD e f in ic ió n . Se llama divergencia de un campo V (se representa por

div V o v V*) al escalar, definido en cada punto del campo, que es la

* Sobre el símbolo v (nabla) véase la pág. 626.

624 II. CÁLCULO VECTORIAL

derivada de volumen de este campo

V

div V — lim —V V

FÓRMULAS PARA CALCULAR LA DIVERGENCIA:

Hiv V = 4 - — V A - • ten c o o rd en a d a s ca rtes ia n a s):

(en coordenadas esféricas)R eglas p a r a el c á l c u l o d e la d iv e r g e n c ia :

div c = 0, div (Vi + Va) ~ div Vj-fdiv V2, div (cV) = c div V,

div (V,XV2) - V2 rot V ,-V , rot V2.La divergencia de un campo central es: div r = 3, div (p(r)r = 2>rp (r) +

+ rcp'(r).

D efiniciones. Se llama rotor (o rotación) de un campo V (se re­presenta por: rot V, curl V ó VXV*) al vector, definido en cada punto del campo, que es la derivada de volumen de este campo, tomada con signo contrario

Otra definición: se llama rotor del campo V al vector formado de la manera siguiente: 1 ) por el punto dado r se traza una superficieplana pequeña S (fig. 412); 2) se calcula la circulación A V dv ¿véase la

pág. 618) a lo largo del contorno de esta superficie; 3) se considera la razón de esta circulación al área S, cuando S tiende a cero, contrayén-

* Sobre el símbolo y (nabla) véase la pág. 626.** Se puede quitar el signo «menos» colocando los factores bajo el signo de

integral en orden inverso: I dS x V (véase la pág. 600).

div (U \) — U div V + V grad U [en particular, div re = ,

13. Rotor de un campo vectorial

rot V = -

c

ROTOR DE UN CAMPO VECTORIAL 625

dose hacia ci punto r; la posición del plano de la superficie permanece invariable; 4) cambiando la dirección de esta superficie, se averigua la dirección para la cual el límite obtenido alcanza el máximo; 5) se determina en el punto r el vector rot r, cuyo módulo es igual al máximo obtenido y cuya dirección coincide con

El rotor de un campo potencial es igual a cero (se deduce del teorema de Stokes, pág. 628).

Coordenadas del rotor :

rot V (dV_z\ dy d; -)¡+

¡ d v x\ éz '

gv*\dx ,

(en coordenadas cartesianas),/ 1 ev dv \ ¡evr e v \

ro tv = (? a í ' - ^ - ) ^ + (-aF-a;)**-+H tVA

dp1_ ovpP dq> ez (en coordenadas cilindricas).

rot V =1 / d dVn\l

r sén 0 \ J 0 Seíl 0V(^ ~ "0é")J Cr +

ív dr6VirlO

r 1 dV 1 / d i+ [,7 .7 , 7 e,/ - 7 (7 7 . (r V?)J e» (en coordenadas esféricas).

Reglas para el cálculo del rotor: rot (V ,+ V2) == rot V ,-frot V2, rot (cV) = c rot V,

rot (t/V) - U rot V+grad t/x V ,rot (V, X V2) = (V2 grad) V)- ( V l grad)V 2*+V1 div V2 - V 2 div Vi*.

Se llaman líneas de rotación del campo V a las líneas de corriente del campo rot V (pág. 614).

Sobre la expresión V grad, véase la pág. 626.

62 6 II. CÁLCULO VECTORIAL

14. Operadores V (de Hamilton) , (av) y & (de Laplace)El operador de H amilton v (nabla) es un vector simbólico que

sustituye a los símbolos del gradiente, divergencia y rotor:V i/ = grad (/, vV = div V, VXV = rot V;

ila introducción de este símbolo simplifica los cálculos en el análisis vectorial. La expresión del operador de Hamilton en coordenadas cartesianas es:

„ a . , e . , e , v - ex , + a ? , + a? k-

Multiplicando formalmente este vector por el escalar U o por el vector V (escalar o vectorialmente), expresados en coordenadas cartesianas, se obtienen las fórmulas para el gradiente (pág. 615), para la divergencia (pág. 623) y para el rotor (pág. 625), en coordenadas cartesianas.

R egi as para el cálculo con el operador v . a) Si v antecede a una combinación lineal Xa(Xi9 donde son constantes y X¡ son funciones del punto (ya sean escalares o vectoriales), se tiene V \ZaiX() = Eat v X t.

b) Si v antecede a un producto de funciones del punto, X , Y, Z (escalares o vectoriales), entonces éste se aplica sucesivamente a cada una de estas funciones (en este caso, se coloca sobre ella el signo J) y se suman los resultados

1 1 1V (X Y Z) = V {XYZ-k- V (XYZ) + V (X Y Z );

después, los productos obtenidos se transforman según las reglas de álgebra vectorial, de tal modo que detrás del operador v sólo figure el factor que tiene el signo ¡ ; después de haber efectuado el cálculo, puede no escribirse este signo.

Ejemplos:I • I

1) div (UX) •-= V(U X) = V(C/V)+V(tfV) = V -v l/+ 1 /-W -- y grad U+ U div V.

1 12) div (VjXV*) = V (V jX V 2) = V(VrX V2) + V(V 1 XV2) =

i I-- VV1 V2 4 -W 1 V2 = V2 v Y1 ~ V 1 W 2 = V 2 (VXVI) -

~ V i ( V X \ 2) = V2 rot V t-V j rot V2.

Operador (av). En los cálculos puede resultar la expresión operado- nal (av) = ax i +a9 j + a, k- El vector (av) V = (a grad) V se

OPERADORES DE HAMILTON Y DE LAPLACE 627

llama gradiente del campo vectorial V con respecto al vector a ; éste es igual a la derivada de V con respecto al vector a :

(av) V -- (a grad) V = |a |- lim - - - - -£-a°- ~V(r)- (fig. 413).e -► 0 e

Ejemplo: grad ( V ^ ) = V ( \ \V 2) = V Í V ^ H V (V\V2).Según la fórmula b(ac) = (ab) c-faX (b-fc) (véase la pág. 600)

resulta:grad (VXV2) =

= (V2 v )V 1 + V2 X(VXV1) + (Vi V)V 2 + V 1 X (VXV5!) = = (V2 grad) Vi + VgXrot Vi + (Vi grad) Va + V jXrot V2 .

La expresión (av) V puede transformarse según la fórmula 2(aV) V = rot (Vx-a) + grad (aV)-l-a div V -V div a -

-aX ro t V -V X ro t a.A p l ic a ió n d o bl e d e l o p e r a d o r v ; el o p e r a d o r A.

1 ) V(VXV) = div rot V = 0 , J2) VX(VC7) = rot grad U — 0, > para cualquier campo.3) V(V£/) = div grad U = tsXJ f

A (o VV, V2) es el operador de Laplace; su expresión en coordenadas

d*U . d*U . d*U , A a * • \\ + Ir tzt (coordenadas cartesianas),A U = 0 + ° ^

\ U

dx2 ' dy2 d U \t 9 U \

(P a r)

0Z2

S (coordenadas cilindricas),

M J

dw*d*U32í/ 2 d(J____ 1

dr2 r dr r 2 sen2 0 dtp*, SU, 1 d*U , 1 * ^ ^

+ r« 002 + r* 00(coordenadas esféricas).

628 ÍI. CÁLCULO VECTORIAL

4) v ( W ) = grad div V y 5) VX(VXV) -- rot rot V están ligados entre sí por la fórmula V (W )-7 X (V X V ) - AV. Aquí A V -- = (Vv V) V es el operador de Laplace aplicado al vector V:

8* Vx t d2V.\ flA

AV =• AK.i + A K J+A K .k dy'¿e* v„ , a2dv

15. Teoremas integrales*T eorema de O st r o g r a d s k i-G a u s s :

j> V dS = j div VU v

el flujo escalar de un campo V a través de una superficie cerrada T es igual a la integral de la divergencia de V, extendida al volumen v com­prendido en el interior de T.

En coordenadas cartesianas es:

J J ( ' x dvdz 4 - V,dz dx + V, dxdv) = J J J + S~ ) dv d:2J v

Vx9 Vv, V % son funciones de tres variables „v, y , z ).T eorema de S t o k e s :

<j> V di = J rot VV i "

la circulación de un campo a lo largo de una curva C es igual al flujo del rotor a través de una superficie cualquiera 2 ?, limitada por el cir­cuito C**.

En coordenadas cartesianas:

¡ ( V x dx+ V„ dy+ V, dz) - J J dz +

\ ( ^

* Compárese con las págs. 497-498.** Más exactamente, véase la pág. 497.

TEOREMAS INTEGRALES 6 2 9

Para un circuito plano ( f ó r m u la de Green):J (V, dx+ Vvdy) = J J dy

( Vx y Vy son funciones de dos variables, * e j) .Teoremas de G reen:

1) J í/ , grad U. dS = f (U, A l/2+grad Ul grad t/2) dv,2J v

2) J (Ul grad U^~ U2 grad Ux) dS — j* (6^ &U2- U2 Aí/O dv,

(Ui y U2 son campos escalares, 2J es la superficie que encierra el volumen v). En particular (para Ux ~ 1):

3) | grad U dS = J AU dv.2 v

En coordenadas cartesianas el teorema 3) adquiere la siguiente forma:

dz dx+ -^- dx dy = í ®d*U , d*U , 0*í/\ ,0*2 + + 02 2 j

16. Campos vectoriales irrotacionales y solenoidalesSe llama irrotacional el campo V cuyo rotor es igual a 0 en todas

partes. Si rot V — 0, entonces V = grad U ; la función U (potencial de V)* puede expresarse en cualquier punto M por la fórmula

t j — 1 f d ‘ v V dvU ~ ~ 4n J r ’ O)

donde r es la distancia de dv hasta M\ la integral se extiende a todo el espacio**.

Se llama solenoidal el campo V cuya divergencia es igual a 0 en todas partes. Si div V = 0, entonces existe un campo solenoidal W (potencial vectorial de tal que V = rot W y

w - JL f rot v dv •4n J r ’ (2)

* O «menos potencial de V», véase la llamada** de la pág. 619.** La fórmula (1) es válida, si la divergencia del campo V es diferenciabíe y de­

crece con suficiente rapidez al alejarse al infinito.

630 II. CÁLCULO VECTORIAL

r tiene el mismo sentido que en la fórmula (1); la integral se extiende a todo el espacio*.

Un campo vectorial cualquiera V, que decrece con suficiente rapidez al alejarse al infinito, se puede descomponer de una manera única en la suma de un campo irrotacional y de un campo solenoidal V2(V ~ = Vi + V*), los cuales se determinan por las fórmulas:

V, = - r grad J div V dv V., — -r- rot“ 4 Tí' rot V dv

C a m po c o n m a n a n tia les p u n t u a l e s . Campo de Newíon ( Coulomb). E = —- r es irrotacional y solenoidal en todas partes, a excepción del polo O (manantial del campo). Su potencial es: U = — — .E l flujo escalar <j> E dS es igual a cero, sí la superficie S no contiene en su inte-

srior al manantial, e igual a Ane, si lo contiene; el valor e se llama inten­sidad del manantial.

Campo newtomano con un manantial en el punto rí :

E = _ ji _ I r - ' r i | 3

( r - F j ) ;

con varios manantiales rl9 r 2, r3, . . . , cuyas intensidades son iguales a eu ^2» ez> • • •> respectivamente:

El flujo

E : Z — í± - (r-F í).

J E dS es igual a cero, si la superficie S no contiene en su

interior manantiales, e igual a 4nE'eiy si los manantiales están situados en su interior se extiende a los manantiales que están situados en el interior de S).

17. Ecuaciones de Laplace y PoissonEcuación de Laplace. La búsqueda de un campo escalar U para

el cual AU = 0 (div grad U — 0), conduce a la ecuación de Laplace: así se llama la ecuación diferencial en derivadas parciales

d *u e w , e w A0 *2 ^ 0^2 T d z 2 *

* La fórmula (2) es válida, si el rotor del campó V es diferenciable y decrece con suficiente rapidez al alejarse al infinito.

** Ó -f —; véase la llamada** de la pág. 619.

ECUACIONES DE LAPLACE Y POISSON 631

o, en el plano,

Las funciones que satisfacen a esta ecuación (continuas y con derivadas parciales continuas de primero y segundo orden) se llaman funciones de Laplace o funciones armónicas. Si se conocen los valores de una función armónica en los puntos de una superficie cerrada 27, enton­ces se determinan completamente los valores de esta función en todos los puntos del interior de esta superficie; la búsqueda de ellos representa el problema de Dirichlet. Si en una, superficie cerrada se conocen los

6Uvalores de una función armónica U y de su derivada — en direccióndrtde la normal (exterior) a esta superficie, entonces los valores V M en los puntos M del interior de la superficie se hallan por la fórmula

donde r es la distancia desde dS hasta el punto M.E c u a c ió n d e P o isso n . La búsqueda de un campo escalar U, dada la

divergencia p (x, y, z), de su gradiente, conduce a la ecuación de Poisson

Si p es una función continua y se sabe que cuando r -> ©o (es decir, cuando el punto se aleja al infinito) la función U tiende a cero y, además, con suficiente rapidez, entonces la solución de la ecuación de Poisson es el potencial newtoniano de la función p, determinado por la fórmula

donde r es la distancia del elemento de volumen dv hasta el punto M; la integral se extiende a todo el espacio.

AU p (x, y, z)ó