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FÍSICA

• VECTORES

•  Presentación basada sobre archivos libres de: •  Mag. Optaciano, L. Vásquez García y J. Junquera.

1

INTRODUCCIÓN •  El análisis vectorial es una parte esencial de la

matemática, útil para físicos, matemáticos, ingenieros, técnicos…

•  Constituye una herramienta concisa y clara para presentar las ecuaciones de los modelos matemáticos de las situaciones físicas.

•  Proporciona además una ayuda inestimable en la formación de “imágenes mentales” de algunos conceptos físicos.

p. 1 ap. 2

TIPOS DE MAGNITUDES FÍSICAS 1.  ESCALARES: Magnitudes que para expresarse

necesitan de un número real y su correspondiente unidad. Ejm.: la masa, el tiempo, la temperatura…

2.  VECTORIALES: Aquéllas que para expresarse necesitan de un número o magnitud, una dirección y un sentido. Ejm.: la velocidad, el desplazamiento, la fuerza…

3.  TENSORIALES: Aquéllas que para expresarse necesitan de un conjunto de números que cambian según leyes específicas (”tensorialmente”) al elegir otro sistema de referencia (múltiples direcciones y sentidos). Ejem.: índice de refracción en materiales birrefringentes.

Nota: escalares y vectores son tipos de tensores, de sendos rangos 0 y 1. p. 1 ap.

3

CONCEPTO DE VECTOR •  Ente matemático cuya determinación exige el

conocimiento de tres elementos: un módulo, una dirección y un sentido.

•  Gráficamente, un vector se representa por un segmento de recta orientado.

OP! "!!

A!"

p. 2 ap. 4

O: origen del vector P: extremo del vector

Elementos de un vector 1.  Dirección:

Gráficamente viene representada por la recta soporte o de acción; en el plano por un ángulo y en el espacio mediante tres ángulos:

ver pp. 2 y 11 tema 5

Elementos de un vector 2. Sentido: Es el elemento que indica la orientación

del vector. Gráficamente viene representado por la cabeza de flecha.

3. Magnitud o módulo: Representa el valor

numérico de la magnitud física a la cual se asocia. Gráficamente viene representado por la longitud del segmento de recta

p.1 ap. 6

Clases de vectores e igualdad 1. Vectores libres: Aquéllos que no tienen una

posición fija en el espacio: se consideran pues como iguales o equivalentes un número infinito de vectores que tienen la misma magnitud y sentido, y direcciones paralelas.

2.  Vectores deslizantes: Aquéllos que tienen asociada una y sólo una recta a lo largo de la cual actúan: su recta “soporte” o “de acción”. Se considerarán iguales entre sí cuando, compartiendo recta de acción, tengan también iguales magnitud y sentido.

3.  Vectores fijos: Aquellos que tienen asociados una única recta de acción y un único punto de aplicación sobre ella: cada vector es igual sólo a sí mismo.

ver p. 2 tema 7

Álgebra de vectores libres •  Operaciones de suma, resta, multiplicación de

vectores: es necesario definir: 1. Vectores iguales o equivalentes: aquéllos que

tienen sus tres elementos idénticos.

2. Vector opuesto a uno dado: aquel vector que tiene la misma magnitud y dirección pero sentido opuesto.

p. 2 ap. 8

Suma de vectores libres

Regla del paralelogramo

•  Gráficamente:

Regla del triángulo

pp. 8-9 ap. 9

Álgebra vectorial: suma vectorial •  Considere dos vectores A y B como se muestra:

•  El vector suma R se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo.

•  La magnitud de la resultante, R, se determina mediante: •  Y para su dirección:

!R =

!A2+!B2+ 2!A!B cosθ

!R

sen(π −θ )=

!A

senβ=

!Bsenα

Muur

pp. 8-9 ap. (teorema del seno) 10

Algebra vectorial: resta vectorial •  Considere dos vectores A y B como se muestra:

•  El vector suma D=A+(-B) se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo.

•  La magnitud del vector diferencia D , D, es:

•  Y su dirección:

!D =

!A2+!B2+ 2!A!B cos(π −θ ) =

!A2+!B2− 2!A!B cos(θ )

!D

sen(θ )=

!A

senβ=

!Bsenαpp. 8-9 ap.

11

Propiedades del álgebra vectorial 1.  Conmutatividad:

2. Asociatividad:

p. 9 ap. 12

Multiplicación de un escalar por un vector •  Consideremos la multiplicación de un escalar c por un

vector . El producto es un nuevo vector . La magnitud del vector producto es c veces la magnitud del vector .

-Si c > 0 el vector producto tiene la misma dirección y sentido de . -Por el contrario si c < 0 el vector producto es de sentido opuesto al de :

c!A

ver pp. 9-10 tema 13

!A

!A

!A

!A

Propiedades de la multiplicación de un escalar por un vector

1) Ley asociativa para la multiplicación: -Si b y c son dos escalares la multiplicación se escribe:

2) Ley distributiva para la adición vectorial: -Si c es un escalar, cuando éste se multiplica por la suma de dos vectores se tiene:

p. 10 ap. 14

Propiedades de la multiplicación de escalares por un vector

3. Ley distributiva para la suma escalar: -Si b y c son dos escalares, para el producto de su suma por el vector se tiene:

ver p. 10 tema

!A

15

Suma de varios vectores

•  Para sumar varios vectores se utiliza la ley del del polígono, que consiste en la aplicación sucesiva de la ley del paralelogramo o del triángulo. Es decir:

p. 9 ap. 16

VECTORES UNITARIOS

•  Un vector unitario según una dirección y sentido dados tiene un módulo igual a la unidad.

•  Se define como el cociente entre cualquier vector dado, con esos sentido y dirección, y el módulo correspondiente, es decir:

•  Es un vector colineal con el vector original:

eA =!A!A

!A=!A eA

p. 10 ap. 17

e

VECTORES UNITARIOS RECTANGULARES •  A cada uno de los ejes coordenado se le asigna

un vector unitario:

•  Cada uno de estos vectores unitarios tiene un módulo unidad y sus direcciones son perpendiculares entre sí:

i , j, k

i = j = k =1

p. 11 ap.

(sistema de ejes dextrógiro)

18

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL •  Cualquier vector puede descomponerse en infinitas

componentes: el único requisito es que la suma de esta componentes nos dé e l vector or ig ina l . La descomposición puede ser en un plano o en el espacio.

1. Descomposición en dos direcciones perpendiculares en el plano:

pp. 11-13 ap.

)θ

19

!A=!Ax +!Ay!

A= Axi + Ay j!A= Acosθ i + Asenθ j!A= A(cosθ i + senθ j)

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 1. Descomposición en dos direcciones perpendiculares en

el plano: !A=!Ax +!Ay!

A= Axi + Ay j!A= Acosθ i + Asenθ j!A= A(cosθ i + senθ j)

!A= AeAeA = (cosθ i + senθ j)

!A = Ax

2 + Ay2

tgθ = AyAx

pp. 11-13 ap. 20

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 2.  Descomposición en dos direcciones no perpendiculares

en el plano: -Para realizarla se trazan rectas paralelas a las originales que pasen por el extremo del vector formándose un paralelogramo cuyos lados son las componentes: !A=!Aa−a +

!Ab−b

21

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 3. En el espacio: Cualquier vector puede

descomponerse en tres componentes:

p. 11 ap.

β

α

γ

cosα = AxA

cosβ = AyA

cosγ = AzA

o

22

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 3. En el espacio.

!A=!Ax +!Ay +!Az

!A= Axi + Ay j + Azk!A= Acosαi + Acosβ j + Acosγ k!A= A(cosαi + cosβ j + cosγ k)!A= AeA

eA = (cosα i + cosβ j + cosγ k)

!A2= Ax

2 + Ay2 + Az

2

cosα =AxA

cosβ =AyA

cosγ =AzA

p. 12 ap. 23

VECTOR POSICIÓN

!r =OP! "!!

= xi + yj + zk

p. 11 ap. 24

VECTOR POSICIÓN RELATIVO

Δ!rQP =QP

! "!!= rP!"!− rQ!"!= (x1 − x2 )i + (y1 − y2 ) j + (z1 − z2 )k

p. 11 ap. 25

PRODUCTO ESCALAR •  El producto escalar o producto punto de dos

vectores A y B se denota por y se expresa “A multiplicado escalarmente por B”; se define como el producto de los módulos de los vectores A y B el coseno del ángulo que forman:

p. 14 ap. 26

Propiedades del producto escalar 1.  El producto escalar es conmutativo: 2.  El producto escalar es distributivo:

3.  Producto de un escalar por el producto escalar:

4.  Producto escalar entre la suma de dos vectores por un tercer vector:

p. 14 ap. 27

Propiedades del producto escalar 4.  Producto escalar de dos vectores unitarios:

5.  Producto escalar de dos vectores:

6.  Si el producto escalar de dos vectores es nulo, entonces dichos vectores son perpendiculares

!A ⋅!B = 0 y

!A≠ 0 y B

!"≠ 0⇒

!A⊥!B

p. 15 ap.

28

PRODUCTO ESCALAR Y PROYECCIONES •  Geométricamente: obsérvense las figuras:

29

VECTOR PROYECCIÓN

p. 14 ap. 30

Proy !Ae = (

!A ⋅ e) e = (Acosθ ) e

PRODUCTO VECTORIAL •  El producto vectorial o producto cruz de dos vectores A y

B, es un tercer vector C el cual es perpendicular al plano formado por los dos vectores, cuya magnitud es igual al producto de sus módulos multiplicado por el seno del ángulo entre ellos y cuyo sentido se determina mediante la regla de la mano derecha:

p. 16 ap. 31

REGLA DE LA MANO DERECHA •  Primera forma: orientar el dedo índice de la mano derecha

según el primer vector y el dedo corazón según el segundo vector; el dedo pulgar extendido indica el sentido del vector producto vectorial de ambos.

•  Segunda forma (“sacacorchos”): orientar los dedos de la mano derecha dándoles el sentido de rotación del primer vector hacia el segundo; el dedo pulgar extendido indica el sentido del vector producto vectorial.

p. 16 ap. 32

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL 1.  El producto vectorial no es conmutativo: 2.  El producto vectorial es distributivo respecto a la suma: 3. Multiplicación de un escalar por el producto vectorial: 4. Multiplicación vectorial de vectores unitarios:

c(!A×!B) = c

!A×!B =!A× c

!B

pp. 16-17 ap. 33

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL 5.  El producto vectorial de dos vectores en componentes es:

6.  La magnitud del producto vectorial es igual al área del

paralelogramo que conforman los vectores A y B: 7. Si el producto vectorial es nulo, entonces los dos vectores

son paralelos:

!Ax!B =

i j kAx Ay AzBx By Bz

= i (AyBz − AzBy )− j(AxBz − AzBx )+ k(AxBy − AyBx )

Área =!Ax!B = A(Bsenθ ) = Ah

!A×!B = 0 y

!A≠ 0 y B

!"≠ 0⇒

!A "!B

p. 17 ap.

=h

34

Triple producto escalar

-El resultado es un vector.

-Precaución:

-Ejemplo:

pp. 18-20 ap. 35

Triple producto vectorial •  Se define como el producto vectorial de un vector

por el producto vectorial de otros dos:


•  El triple producto escalar cumple la fórmula de Lagrange:

-Precaución:

→ →

p. 20 ap. 36

Productos triples: producto mixto de vectores

•  Se define como el producto escalar de un vector por el producto vectorial de otros dos:

-el resultado es un escalar. •  Si los tres vectores vienen dados en coordenadas

cartesianas se calcula:

p. 19 ap. 37

Propiedades del producto mixto de vectores •  Propiedad geométrica: el volumen del paralelepípedo

definido por estos tres vectores es igual al módulo del vector que genera su producto mixto:

•  Nota: en la notación, los paréntesis son superfluos, puesto que no puede darse un producto triple “del producto vectorial entre un vector y el producto escalar entre otros dos”:

p. 20 ap. 38

•  Propiedad:

!a ⋅ (!b × !c) ≡ !a ⋅

!b × !c

V = | !a ⋅!b × !c |

!a × (!b ⋅ !c)( !a ⋅

!b)× !c

!a ⋅ (!b × !c) =

!b ⋅ (!c × !a) = !c ⋅ ( !a ×

!b)

----------------------------------------------------------------------------------------

Reglas de la multiplicación usando productos escalares y vectoriales

p. 21 ap. 39

• MOMENTOS

40

Momento de un vector

p. 21 ap.

•  El momento de un vector F aplicado en un punto P con respecto de otro punto O viene dado por el producto vectorial del vector por el vector F: OP

! "!!

-donde es el vector posición de P (vector que va desde O hasta P).

r!=OP" !""

•  El momento es, por tanto, un vector perpendicular al plano determinado por el vector F y el punto O. 41

!MO (

!F ,P) =OP

" !""× F"!= r!× F"!

Momento de un vector

p. 22 ap.

•  El momento de un vector aplicado en un punto P con respecto de otro punto O no cambia si se desplaza el vector a lo largo de su recta de acción: !

MO (!F ,P ') =OP '

! "!!!× F!"=!r '×!F

= (OP! "!!

+ PP '! "!!)× F!"=OP! "!!

× F!"=!r ×!F

-El momento es, por tanto, un vector perpendicular al plano determinado por el vector F y el punto O.

-ya que los vectores y son paralelos. P 'P! "!!!

F!"

F!"

42

Resultante de un sistema de vectores •  Supongamos un conjunto de

vectores vi , aplicados en sendos puntos Pi :

-Definimos la resultante de ese sistema de vectores como:

-Definimos el momento resultante del sistema respecto a un punto O como la suma de todos los momentos, de todos los vectores, respecto a O:

p. 23 ap.

x

y

z

O

M! "!

O = M! "!

i ,O

i=1

n

∑ = OPi! "!!

i=1

n

∑ × vi!"

43

!R =

!vi

i=1

n

∑ =!vxi

i=1

n

∑⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ i +

!vyi

i=1

n

∑⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ j +

!vzi

i=1

n

∑⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ k

!vi ;!vi aplicado en Pi ; i =1,…n

Resultante de un sistema de vectores •  Supongamos un conjunto de

vectores vi , aplicados en sendos puntos Pi :

-Definimos la resultante de ese sistema de vectores como:

-El momento resultante del sistema respecto al punto A es:

p. 23 ap.

x

y

z

O

M! "!

A = M! "!

i ,A

i=1

n

∑ = APi! "!!

i=1

n

∑ × vi!"

44

!R =

!vi

i=1

n

∑ =!vxi

i=1

n

∑⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ i +

!vyi

i=1

n

∑⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ j +

!vzi

i=1

n

∑⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ k

!vi , i =1,…n

Campo de momentos y teorema fundamental

x

y

z

O

•  Teorema: el momento resultante respecto a O es el momento resultante respecto de A más el momento de la resultante del sistema, aplicada en A, respecto de O.

-El momento resultante genera un campo vectorial: asociamos a cada punto A en el espacio un vector: el momento resultante con respecto a ese punto.

p. 23 ap.

•  Propiedad: si la resultante de un sistema de vectores es nula, entonces el momento resultante es independiente del punto con respecto al que se toma. 45

!MA = AP

" !""i

i=1

n

∑ ×!vi = (AO

" !""+OP" !""

i )i=1

n

∑ ×!vi = (−OA

" !""+OP" !""

i )i=1

n

∑ ×!vi

= OPi" !""

×!vi + (−OA

" !""×!vi )( )

i=1

n

∑ =!MO −OA

" !""×

!vii=1

n

∑⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=!MO −OA

" !""×!R

Ø  CAMPO ESCALAR:

→ Campo de temperaturas, campo de presión, campo de densidades, etc.

)()( rrf!!

φ=

Definición de campo Ø  Se dice que en una región del espacio existe un campo cuando a cada punto de esa región se le puede asignar un valor único de una determinada magnitud física.

)(),,( rfzyxr!!

→

Ø  CAMPO VECTORIAL:

→ Campo gravitatorio, campo eléctrico, campo magnético, campo de velocidades, etc.

)()( rArf!!!

=

Definición de campo

⎩⎨⎧

=→)()(

)(),,(rAr

rfzyxr !!

!!! φ

Ø  CAMPO

-En general, el valor de la magnitud física puede depender de y . tr!

),( tr!

φ

-En coordenadas cartesianas:

),( trA!!

),,,( tzyxφ ),,,( tzyxA!

•  CAMPO ESTACIONARIO:

•  CAMPO UNIFORME:

)(r!

φ )(rA!!

)(tφ )(tA!

⎩⎨⎧

=→)()(

)(),,(rAr

rfzyxr !!

!!! φREPRESENTACIÓN GRÁFICA

DE LOS CAMPOS

-Ejemplos: en un espacio de 2 dimensiones: líneas equiescalares o isolíneas (no se cortan): 1. Campo de presión atmosférica

(isobaras equiespaciadas)

2. Campo de alturas sobre el nivel del mar (curvas de nivel

equiespaciadas):

•  Campos escalares: Superficies equiescalares: lugar geométrico de los puntos del espacio en los que toma un determinado valor.

φ

Campos vectoriales en tres dimensiones

http://www.ciencia.net/VerArticulo/matematicas/Campos-Vectoriales?idArticulo=7

•  A cada punto del espacio se le asocia un vector 3D:

-Notación: o ; un ejemplo:

Sistema de vectores concurrentes

•  Un sistema de vectores concurrentes es aquel para el cual existe un punto en común para todas las rectas de acción de los vectores componentes:

x

y

z

O

p. 24 ap. 50

Teorema de Varignon para un sistema de vectores concurrentes

x

y

z

O

•  El momento resultante de un sistema de vectores concurrentes o suma de los momentos de los vectores (respecto a cualquier punto A)

es igual al momento (respecto de A) de la resultante aplicada en el punto de concurrencia P:

p. 24 ap. 51

!MA = AP

! "!!i

i=1

n

∑ ×!vi = (AP

! "!!+ PP! "!!

i )i=1

n

∑ ×!vi

= AP! "!!

i=1

n

∑ ×!vi + PPi

! "!!

i=1

n

∑ ×!vi

= AP! "!!

×!vi

i=1

n

∑⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟+0

= AP! "!!

×!R =!MA(!R,P)

•  Advertencia: el teorema de Varignon no se cumple para un sistema de vectores no concurrentes.

-Ejemplo: un par de fuerzas: -La resultante de las fuerzas se anula:

¡pero el momento de las fuerzas no tiene por qué anularse!:

52

P1

P2

!MP =

!MP (!v1,P1)+

!MP (!v2 ,P2 )

= PP1! "!!

× v1!"+ PP2! "!!

× v2!"!≠ 0

v1

v2

|v1|=|v2|=v

• Representación vectorial de un área

53

Representación vectorial de un área •  Dada una superficie suave, la

definición del vector diferencial de superficie es sencilla:

-donde es el área del “elemento de superficie”

y es el versor normal a la superficie en el punto en que se encuentra el diferencial.

-O, para ser más precisos, es el vector normal al plano tangente a dicha superficie en dicho punto.

d!S = dS ndS

n

p. 27 ap. 54

n

ndS

Representación vectorial de un área •  Si la superficie tiene una extensión finita , la definición

del vector superficie es:

•  Que en el caso sencillo de una superficie plana, cuando es constante (el plano tangente en todos los puntos es el que contiene a ), produce:

!S = d

S∫!S

S

p. 27 ap.

!S = d

!S

S∫ = dS

S∫ n = Sn

S

55

n

Representación vectorial de un área •  Si tenemos una superficie alabeada, esto es, que

no puede ser contenida en un plano, el cálculo anterior ya no es posible.

•  El vector normal depende entonces de la posición y, por tanto, debe ser también integrado, lo hace que la dirección del vector resultante no sea conocida a priori, y que su módulo no sea igual al área de la superficie.

•  El sentido de cada vector “infinitesimal” de área se toma convencionalmente hacia el exterior para superficies cerradas o con concavidad.

n

p. 27 ap.

d!S

56

Representación vectorial de un área

Superficie plana

Superficie alabeada

p. 27 ap. 57

• Derivadas e integrales de funciones vectoriales

58

Derivada de un vector

-Ejemplo: puede ser la posición de un objeto y

puede ser el tiempo: Instante Posición

t t’

p. 28 ap.

•  Sea una función vectorial que depende de un escalar t :

!A(t)

-Objetivo: calcular la razón de cambio de como función de . !A(t) t

t!A

59

!r (t)!r (t ')


Δt = t '− t•  En el intervalo de tiempo

un objeto se ha movido desde hasta ⇒ Ha experimentado un desplazamiento :

!A(t)

!A(t ')

Δ!A=!A(t ')−

!A(t)

60

Δ!A

- Cuanto más pequeño sea , más parecidos serán

y , y más pequeño será el desplazamiento .

tΔ

!A(t ')!

A(t)•  Definición de derivada de un vector :

-dividir entre

y tomar el límite cuando :

Δ!A

tΔ

0tΔ →

d!Adt

= limΔt→0

Δ!AΔt

= limΔt→0

!A(t ')−

!A(t)

Δt

= limΔt→0

!A(t ')Δt

− limΔt→0

!A(t)Δt

p. 28 ap.

61


Δ!A

Derivada de un vector: componentes de la derivada de un vector •  La derivada puede contemplarse como una diferencia de vectores:

¡Sólo si la dirección a lo largo de la que se calcula la componente se mantiene fija con el tiempo! (es la misma en t y t’)

ver p. 29 tema

62

Δ!AΔt

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟x

=ΔAxΔt

Δ!AΔt

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟y

=ΔAyΔt

Δ!AΔt

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟z

=ΔAzΔt

d!Adt

= limΔt→0

Δ!AΔt

= limΔt→0

!A(t ')−

!A(t)

Δt

= limΔt→0

Ai (t ')− Ai (t)Δti=x ,y ,z

∑ ni

Interpretación geométrica de la derivada

63

-La recta tangente a una curva en un punto A es la que coincide con la curva en ese punto y posee la misma derivada, es decir, el mismo “grado de variación” o pendiente, dado por ese valor común de la derivada en el punto A de tangencia.

-si es la posición , su

derivada es la velocidad, , un

vector con dirección tangente a la

trayectoria , sentido el de y

magnitud o módulo, la celeridad, que depende de lo rápido que el móvil recorra la trayectoria.


Cuanto más pequeño sea , más parecidos serán y

más pequeño será el desplazamiento

Definición de derivada: divide entre y tomar el límite cuando

Si es la posición, su derivada es la velocidad:

Dirección: tangente a la trayectoria

Magnitud: depende de lo rápido que recorra la trayectoria

•  Ejemplo de derivada de un vector :

d!rdt= lim

Δt→0

Δ!rΔt

= limΔt→0

!r (t ')− !r (t)Δt

= limΔt→0

!r (t ')Δt

− limΔt→0

!r (t)Δt

=!v(t)

!r (t)

p. 28 ap.

64


!A(t) !v(t)

!r (t)

Derivada de un vector: componentes de la derivada del vector posición

-Ejemplo, si , tomando límite :

¡Sólo si la dirección a lo largo de la que se calcula la componente se mantiene fija con el tiempo!

p. 29 ap. 65

Δ!rΔt

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟x

=ΔxΔt

Δ!rΔt

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟y

=ΔyΔt

Δ!rΔt

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟z

=ΔzΔt

Δt→ 0

vx = limΔt→0ΔxΔt

=dxdt

vy =dydt

vz =dzdt

!A(t) ≡ !r (t)


¡Cuidado al dibujar posición y velocidad

en la misma gráfica!:

¡Los dos vectores no se pueden sumar!

Y… ¡cuidado con las escalas!


Cuanto más pequeño sea , más parecidos serán y

más pequeño será el desplazamiento

Definición de derivada: divide entre y tomar el límite cuando

Si es la posición, su derivada es la velocidad:

Dirección: tangente a la trayectoria

Magnitud: depende de lo rápido que recorra la trayectoria

66

Integral de un vector que depende de una variable escalar


p. 29 ap. 67

Integral de un vector: la integral de línea

!F-Como datos de partida, necesito conocer lo que vale el campo

a lo largo de la curva s entre a y z .

•  Sea un campo vectorial , y queremos calcular la integral a lo largo de una curva s desde un punto a hasta un punto z :

!F

-Nota: ¡aquí ds simboliza elemento de línea sobre la trayectoria del móvil! ¡s NO representa superficie: [s]=L !

68

!F ⋅d!s

a

z∫[s]= L

-El resultado es un escalar.


•  Caso sencillo: el campo vectorial es constante y el camino s a lo lago del que hay que integrar es una línea recta:

-Resultado: la distancia a lo largo de la línea recta multiplicada por la componente del vector en esa dirección (indicada por , que es constante): !

F ⋅d!sa

z

∫ = F cosθ (z − a)

)θ

!F

69

!F ⋅d

a

z∫ !s =

!F ⋅ d!s

a

z∫ =

!F ⋅ !s

d !s = ds n[s]= L

n!F


→ Caso general: se descompone la integral dividiendo la trayectoria s entre a y z en pequeños segmentos:

-La integral a lo largo de s es la suma de las integrales a lo largo de cada uno de los segmentos

•  En cada uno de los pequeños segmentos, la el vector puede considerarse aproximadamente como constante. 70

!F

[s]= L


→ El resultado es un escalar.

→ Caso general: se descompone la integral dividiendo la trayectoria S entre a y z en pequeños segmentos, cuyas direcciones vienen dadas por sendos vectores unitarios :

71

!F ⋅d

a

z∫ !s =

N→∞lim

!Fi

i=1

N

∑ ⋅Δ!si =

N→∞lim

!Fi

i=1

N

∑ ⋅Δ (sini )

[s]= L

d !s = ds n

n

Integral de superficie de un campo vectorial: el flujo

-El resultado es un escalar.

-Se define la integral de flujo como:

•  Sea una función vectorial que depende de la posición;

sea un vector unitario perpendicular a una superficie S: n

!F

!F ⋅

S∫ d

!S =

!F ⋅ n dS

S∫ 72

[S]= L2

d!S = dS n

73

Teorema de Poisson

74

ProyA!"e# = (A!"⋅e#) e# = (Acosθ ) e#

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