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MATEMÁTICAS 2º Bach Tema 5: Vectores José Ramón

BLOQUE 2: GEOMETRÍA DEL ESPCACIO

Tema 5: Vectores


Definición de vector

Un sistema de ejes tridimensional se construye trazando un eje Zperpendicular a los ejes X e Y

Así, un punto viene dado por tres coordenadas A(x,y,z)

Un vector es un segmento orientado que tiene su origen en un punto del espacio y el extremo en otro


Componentes de un vector

Si el vector tiene su origen en A (x1, y1, z1) y su extremo en B (x2, y2, z2) , Las coordenadas del vector, que representamos como AB se obtienen restando. Es decir:

( )121212 zz,yy,xxAB −−−=→


Componentes de un vector


Módulo de un vector

Es la longitud del segmento orientado que lo define


Distancia entre dos puntos

Es el módulo del vector que determinan dichos puntos:

2


Operaciones con vectores

, ,


Operaciones con vectores en el espacio


Dependencia e independencia lineal


Dependencia e independencia: Propiedades

PROPIEDADES.

1.- Si un conjunto de vectores son linealmente dependientes, uno escombinación de los demás

2.- Dos vectores son dependientes si son paralelos

3.- Tres vectores son dependientes si el determinante que podemos formar es nulo


Ejercicio

=+

+−−

42k1

3k12

6k3

k8)3k)·(2k·(36)3k·(k)2k·(1212 +++−+++++

k818k15k36k3k24k121222 +−−−+++++=

012k4k2 =−−=

k = -2 k = 6


Producto Escalar de vectores

El producto escalar de dos vectores es:)v,u·cos(v·uv·u

rrrrrr =

Que, efectivamente, tiene como resultado un número.

Dicho número será positivo o negativo según el ángulo que formen los vectores

Ejemplo: Hallar el producto escalar de los vectores (1,1,3) y (4,-4,1)

(1,1,3) · (4,-4,1) = 4 -4 +3 = 3


Aplicaciones

PROPIEDAD FUNDAMENTAL:

El producto escalar de dos vectores (no nulos) es cero solo y cuando son perpendiculares

vu0v·urrrr ⊥⇔=

¿Sabrías explicar por qué?

�Si el producto es cero, entonces son perpendiculares

�Si son perpendiculares, entonces el producto es cero

)v,u·cos(v·uv·urrrrrr =


Aplicaciones

)v,u·cos(v·uv·urrrrrr =

v·u

v·u)v,ucos( rr

rrrr =

Calcula el ángulo que forman los vectores )3,2,1(u −=r )1,4,2(v −=r

Despejando podemos escribir:

( ) 33821)·3(4·22·1v·u =−+−=−++−=rr

14)3(21u222 =−++=r

2114)2(v222 =++−=r

21·14

3)v,ucos( =rr

o92.79

21·14

3cosarc =

=α


Aplicaciones

)u(projvr

r

v

u·v)u(projv r

rrrr =


Producto Vectorial

El producto vectorial de dos vectores es otro vector con las siguientes características:

1. La dirección es perpendicular a los dos vectores

2. El sentido es el del avance de un sacacorchos al girar el primero sobre el segundo

3. El módulo es igual a ( )v,usen·v·uvu xvrrrrr =

Este producto puede expresarse como un determinante

321

321x

vvv

uuu

kji

vu =rr


Ejemplo

Determinar el producto vectorial de los vectores )3,2,1(u =r )2,1,1(v −=r

211

321

kji

vux

−=

rrr

rr j2i3k2j3ki4rrrrrr

−−+−+= k3j5irrr

+−=

Es decir el vector (1, -5, 3)

Comprueba que, efectivamente, es perpendicular a los vectores anteriores


Aplicaciones

Geométricamente, el módulo del producto vectorial coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores


Aplicaciones


Producto Mixto

El producto mixto de tres vectores es igual al producto escalar del primer vector por el resultado del producto vectorial de losotros dosSe representa [ ] ( )wv·uw,v,u x

rvrrrr =

Para calcularlo, es más sencillo viendo que:

[ ]321

321

321

www

vvv

uuu

w,v,u =rrr


Ejemplo

Calcular el producto mixto de los vectores )3,1,2(u −=r

( )5,2,0v =r

( )2,1,1w −−=r

Por la definición:

Por el determinante:

[ ]211

520

312

w,v,u

−−−

−=rrr

190106508 −=−−−++−=


Aplicaciones

El producto mixto representa el volumen del paralelepípedo que puede formarse con los tres vectores


Aplicaciones

También nos permite calcular el volumen del tetraedro de la siguiente forma

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