CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES

2.1- Definición y propiedades.

2.1.1-Definición: espacio vectorial.

Sea un cuerpo conmutativo a cuyos elementos denominaremos escalares o números. No es

necesario preocuparse demasiado con preguntas como qué es un cuerpo ya que normalmente trabajaremos con o .

Sea un conjunto cuyos elementos denominaremos vectores y denotaremos por

Diremos que es un espacio vectorial si verifica las siguientes propiedades:

1) Existe una ley interna en que llamaremos suma y que denotaremos originalmente por +,

respecto de la cual se verifican las siguientes propiedades:

a) se tiene que

b) se tiene que

c) se tiene que

d) existe un elemento de que denotaremos por 0 (elemento neutro) tal que

e) existe un elemento de que denotaremos por (elemento opuesto) tal que

.

2) Existe una ley de composición externa sobre que denominaremos producto y a la que

denotaremos (también originalmente) por respecto de la cual se verifica:

a) se tiene que

b) se tiene que

c) se tiene que

d) se tiene que 1

Veamos algunos ejemplos: es un espacio vectorial sobre el cuerpo . El conjunto de

matrices de orden es un espacio vectorial sobre el cuerpo El conjunto de

polinomios de grado menor o igual que con las operaciones suma de polinomios y producto

por un escarlar es un espacio vectorial sobre el cuerpo

- Observación: no hay que preocuparse demasiado con esta definición, lo importante en los exámenes es saber si “algo” que nos dan es un subespacio vectorial de un espacio vectorial dado. Esto lo veremos más adelante y es más intuitivo (basta con aplicar teoremas).

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2.1.2- Propiedades

Dado un espacio vectorial se verifican las siguientes propiedades:

a) se tiene que 0

b) se tiene que

c) si se tiene que entonces necesariamente o

d) se tiene que

2.1.3- Sistemas de vectores

Denominaremos sistema de vectores a un conjunto de vectores que supondremos finito:

Un ejemplo de sistema de vectores en es

2.1.4-Combinación lineal

Sea un vector de . Diremos que es combinación lineal de los vectores de si existen

vectores y escalares tales que:

2.1.5- Sistemas libres y ligados.

Un sistema es libre si los vectores del mismo son linealmente

independientes, es decir, si los únicos que verifican que

son .

Si un sistema no es libre decimos que es ligado.

Ejemplo: estudiar si el sistema es libre o ligado.

2.1.6- Propiedades de los sistemas libres y ligados.

a) con se tiene que es libre.

b) Si , entonces es ligado.

c) Si un sistema es libre entonces cualquier sistema es libre.

d) Si un sistema es ligado entonces cualquier sistema es ligado.

e) Si un sistema es ligado entonces al menos uno de los vectores del sistema es combinación

lineal de los demás.

Pedro_CC 2

f) Si un sistema es libre y el sistema es ligado entonces es combinación lineal

de los vectores de .

2.1.7- Definición

Se denomina al conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de .

Ejemplo: si entonces .

2.1.8- Sistemas equivalentes.

Dos sistemas y son equivalentes si . Para obtener sistemas equivalentes

podemos realizar las siguientes operaciones:

a) Añadir al sistema un vector que sea combinación lineal de los vectores del sistema.

b) Cambiar el orden de los vectores del sistema

c) Multiplicar un vector por un escalar

d) Sumar a un vector una combinación lineal del resto de vectores del sistema.

Con estas propiedades podemos triangular un sistema, lo cual es particularmente importante al trabajar con sistemas de ecuaciones.

- Ejemplo: dado el sistema , estudiar si es libre o

ligado.

2.2- Subespacios vectoriales

2.2.1- Definición

Sea un espacio vectorial sobre un cuerpo y sea un subconjunto de que tenga

estructura de espacio vectorial.

Entonces, diremos que es un subespacio vectorial de .

En la práctica, lo que se usa para ver si “algo” que nos dan es un subespacio vectorial es el apartado siguiente:

2.2.2- Teorema de caracterización de subespacios vectoriales.

La condición necesaria y suficiente para que un subconjunto de sea un subespacio

vectorial es que:

se tiene que

En realidad, es suficiente con ver que y que .

Ambas formas son igualmente válidas para ver que “algo” es subespacio vectorial. En concreto, de aquí se deduce que el vector nulo está en cualquier subespacio vectorial de .

Pedro_CC 3

Otra forma de ver que es un subespacio vectorial es calcular el sistema de vectores libre

que verifica puesto que dado un sistema de vectores siempre se verifica que

es subespacio vectorial.

Para ver que un que nos dan no es subespacio vectorial lo primero que se mira es si .

Si esto no se cumple entonces no es un subespacio vectorial ya que pertenece a todo

subespacio vectorial. Si a pesar de todo tenemos se suelen buscar dos vectores

tales que alguna combinación lineal de ellos no pertenezca a lo que implicaría que no es

subespacio vectorial por el teorema de caracterización de subespacios vectoriales.

- Ejemplo: estudiar si el siguiente sistema de es un subespacio vectorial:

con

Es inmediato ver que el cero está contenido en , por lo que parece que es un subespacio

vectorial (además las ecuaciones que aparecen en la definición de son lineales). Podemos

usar el teorema de caracterización de subespacios vectoriales para ver que, efectivamente, es un subespacio vectorial (se aconseja hacerlo) aunque es más sencillo ver que:

que claramente es de la forma y por tanto esto prueba que es subespacio

vectorial.

- Ejemplo: estudiar si el siguiente sistema de es un subespacio vectorial:

Es inmediato ver que el cero está contenido en . Sin embargo, en este caso la ecuación que

aparece en la definición de no es lineal lo que lleva a pensar que no es subespacio

vectorial. En efecto, si tomamos y tenemos que ambos vectores

pertenecen a y sin embargo por lo que se deduce del teorema de

caracterización de subespacios vectoriales que no puede ser un subespacio vectorial.

2.2.3- Sistema de generadores

Diremos que un sistema es un sistema de generadores de si .

Ver que un sistema es un sistema de generadores para un subespacio equivale a ver

que todo vector se puede expresar como combinación lineal de los vectores de .

2.2.4- Base de un espacio vectorial.

Una base de un espacio vectorial es todo sistema libre de generadores de .

Por ejemplo, la base canónica de viene dada por

Todo espacio vectorial admite, al menos, una base.

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Si un espacio vectorial admite un número finito de generadores se dice que es finito o finitamente generado.

Veamos algunos ejemplos:

Una base del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que ( ) es:

Una base del espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 ( ) es:

Una base del espacio vectorial de las matrices cuadradas simétricas de orden 2 ( ) es:

2.2.5- Teorema

En un espacio vectorial finito todas las bases son finitas y tienen el mismo número de elementos.

2.2.6- Dimensión

Al número de elementos de una base de un espacio vectorial se le denomina dimensión del espacio y se denota por . Algunos ejemplos son:

siendo el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a , el espacio

vectorial de las matrices cuadradas simétricas de orden y el espacio vectorial de las

matrices cuadradas antisimétricas de orden . Se aconseja intentar demostrar las dos últimas

igualdades.

2.2.7- Coordenadas de un vector en una base.

Las coordenadas de un vector dependen de la base. Un vector tiene tantas coordenadas como el número de elementos de una base.

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Diremos que son las coordenadas de si respecto a la base si

se verifica

- Ejemplo: respecto de la base el vector tiene como

coordenadas (1,2,0).

2.2.8- Rango de un sistema

El rango de un sistema es la dimensión de , pues todos los vectores de son

combinación lineal de los vectores de y supondremos que es libre.

2.2.9- Ecuaciones paramétricas e implícitas de un subespacio.

Las ecuaciones paramétricas e implícitas de un subespacio vectorial son la relación (paramétrica e implícita) que deben verificar las coordenadas de un vector para pertenecer a un subespacio.

Si tenemos un subespacio vectorial se verifica que:

número de ecuaciones implícitas de independientes.

- Ejemplo: consideremos el subespacio vectorial en . Respecto de la base

de podemos poner por lo que unas

ecuaciones paramétricas vendrán dadas por . Si despejamos el

parámetro obtenemos que las ecuaciones implícitas de son . Nótese que si

consideramos como subespacio vectorial de las ecuaciones paramétricas e implícitas son

diferentes.

- Ejemplo: vamos a obtener unas ecuaciones paramétricas e implícitas respecto de la base canónica de para el subespacio vectorial .

Sean las coordenadas de un elemento de respecto de la base canónica. Teniendo

en cuenta la definición de se debe verificar que:

por lo que las ecuaciones paramétricas en dicha base serán

y como ya tenemos despejados los parámetros en las ecuaciones de se sigue que las

ecuaciones implícitas de en la base canónica serán { }

Para encontrar unas ecuaciones paramétricas teniendo las implícitas es suficiente con resolver el sistema (normalmente compatible determinado), y las variables que pasan a la columna de términos independientes son los parámetros.

Ejemplo: encontrar las ecuaciones paramétricas del subespacio:

Pedro_CC 6

Sustituyendo tenemos que los elementos de serán de la forma

, o lo que es lo mismo:

por lo que las ecuaciones paramétricas que buscamos vendrán dadas por:

Para encontrar unas ecuaciones implícitas a partir de las paramétricas se resuelve el sistema y se sustituyen las coordenadas de las ecuaciones sin usar.

Ejemplo: calcular las ecuaciones implícitas del subespacio vectorial cuyas ecuaciones paramétricas son

Despejando en las dos últimas ecuaciones resulta y sustituyendo

en las dos primeras se obtienen las ecuaciones implícitas .

Nótese que en este caso resulta que las tres últimas ecuaciones paramétricas son linealmente dependientes (podemos obtener la segunda ecuación multiplicando por dos la segunda y restándole la tercera) y por eso obtenemos dos ecuaciones implícitas. Si todas las ecuaciones fueran linealmente independientes despejaríamos los parámetros de tres de ellas y

los sustituiríamos en la otra obteniendo una única ecuación paramétrica.

2.2.10- Intersección de subespacios vectoriales

Si y son dos subespacios vectoriales se define su intersección como y

se denota por .

siempre es subespacio vectorial si lo son y . Si o no son subespacios

vectoriales no podemos afirmar a priori que no sea subespacio vectorial, ya que podría

serlo.

La forma más sencilla de calcular la intersección entre dos subespacios vectoriales es sustituir las ecuaciones paramétricas de uno en las ecuaciones implícitas del otro y calcular las relaciones que deben verificar los parámetros. También se puede calcular la intersección resolviendo el sistema de ecuaciones que verifican las ecuaciones implícitas de ambos subespacios vectoriales.

-Ejemplo: calcular la intersección de y

.

Unas ecuaciones implícitas de son y unas ecuaciones

paramétricas de son .

Sustituyendo las paramétricas de en las implícitas de obtenemos y por

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lo que sustituyendo la primera ecuación en las paramétricas de (la segunda ecuación no nos

dice nada) obtenemos que por lo que la intersección tiene dimensión

uno.

2.2.11- Suma de subespacios vectoriales.

Si y son dos subespacios vectoriales se define su suma como:

con y se denota por

es un subespacio vectorial formado por los vectores que son suma de vectores de y

. El subespacio está formado por la unión de un sistema de generadores de y otro

de .

Si y verifican entonces su suma se denomina suma directa y se denota por

. Si además se verifica que se dice que y son complementarios o

suplementarios.

-Ejemplo: Ejemplo: calcular la suma de y

.

Un sistema de generadores de será .

Sin embargo, el cuarto vector es combinación lineal de los otros tres (comprobarlo!) por lo que será y la suma tiene dimensión 3.

2.2.12- Teorema

Si un espacio vectorial es suma directa de y entonces todo vector de se puede

descomponer de forma única como suma de una vector de y otro .

2.2.13- Teorema (fórmula de Grassmann)

Si y son dos subespacios vectoriales se verifica que:

2.2.14- Subespacios vectoriales y matrices

2.2.14.1- Rango de una matriz.

Se denomina rango de una matriz al número de filas o columnas linealmente independientes de dicha matriz. Dadas dos matrices A y B se verifica que:

2.2.14.2- Matrices de cambio de base.

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Sea un espacio vectorial de dimensión n y , dos

bases tales que tiene como coordenadas respecto de y

respecto de .

Entonces sí:

Las ecuaciones de cambio de base (de a ) serán:

Es decir, la i-sima columna de la matriz viene dada por las coordenadas del i-simo elemento

de la base respecto de la base Para obtener el cambio de coordenadas inverso (de a

) podemos calcular directamente con , o también podemos calcular la matriz cuya i-

sima columna viene dada por las coordenadas del i-simo elemento de la base respecto de la

base (que es )

En la práctica basta con recordar que el cambio de base de a viene dado poniendo los

elementos de respecto de los de . La regla mnemotécnica sería algo así como:

cambio de a ↔ elementos de en

-Ejemplo: consideremos las bases y

de . Entonces la matriz de cambio de base de a será:

y la matriz de cambio de base de a será .

-Resumen capítulo 2

Este tema es el más importante del examen intercuatrimestral y, junto con el tema de la forma canónica de Jordan, el más importante del primer cuatrimestre. En el examen intercuatrimestral podéis esperar un par de problemas de unos 3.5 puntos cada uno sobre subespacios vectoriales de polinomios o matrices y quizás alguna cuestión, y en el examen cuatrimestral suele caer un problema de 2 o 3 puntos.

Generalmente los enunciados de estos problemas suelen dar varios subespacios vectoriales y piden calcular sumas, intersecciones, ecuaciones paramétricas e implícitas, valores de ciertos

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parámetros que hacen que “algo” sea un subespacio vectorial,… por lo que se aconseja encarecidamente tener muy claro todo el apartado 2.2.

Veamos algunos problemas de otros años, que son del estilo de los que podéis esperar:

PROBLEMA 1 (intercuatrimestral octubre 2011, 4 puntos)

En el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 se considera el subconjunto

y los subespacios vectoriales

Se pide:

a) Demostrar que es un subespacio vectorial de y calcular una base del mismo.

b) Calcular unas ecuaciones implícitas de en la base canónica de .

c) ¿Son y suplementarios en ? Razonar la respuesta.

d) ¿Es un subespacio vectorial de ? Razonar la respuesta. En caso afirmativo calcular unas

ecuaciones implícitas de en la base de calculada en el primer apartado.

a) Si es una matriz simétrica que verifica entonces la matriz se puede

poner en la forma lo que

implica que es subespacio vectorial y que es una base del mismo.

b) Las matrices de serán de la forma y las matrices de serán de la forma

por lo que las matrices de serán de la forma y en la

base canónica de unas ecuaciones implícitas de

son:

c) Del apartado anterior se sigue que (el espacio tiene dimensión y

como tiene dos ecuaciones implícitas su dimensión es ) y del apartado a) se

deduce que (pues la base tiene dos matrices). Por la fórmula de Grassmann

tenemos que:

Pedro_CC 10

como la suma de las dimensiones de y “cuadra” (notad que si la suma de estas

dimensiones fuese distinta de la dimensión de ya sabríamos que no pueden ser

suplementarios) la condición necesaria y suficiente para que dichos espacios sean suplementarios es que su intersección sea nula. Sin embargo, es sencillo ver que la matriz

pertenece a ambos subespacios por lo que su intersección no es nula y no pueden

ser suplementarios (si no vemos esto, lo más fácil sería calcular las ecuaciones paramétricas de en la base y sustituir dichas paramétricas en las implícitas de del apartado b)

para calcular la intersección de ambos subespacios. Os aconsejo que lo hagáis y comprobéis

que la intersección es el subespacio ).

d) Tenemos que y por lo que y es un

subespacio vectorial de . En la base la ecuación implícita de es

.

PROBLEMA 1 (intercuatrimestral noviembre 2009, 3.5 puntos)

En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3 con coeficientes

reales se consideran los siguientes subespacios:

Se pide:

a) Calcular una base y una ecuaciones implícitas en le base canónica de

de y .

b) Calcular unas ecuaciones paramétricas y una base de . ¿Pertenece el polinomio

a ? ¿Y a ? En caso afirmativo calcular sus coordenadas en las bases de y

calculadas anteriormente.

c) Encontrar una base de un subespacio suplementario de en y descomponer

el polinomio como suma de un polinomio de y otro de .

d) ¿Puede ser un subespacio vectorial de ? En caso afirmativo calcular unas ecuaciones

implícitas de en la base de calculada anteriormente.

a) Si tenemos un polinomio de grado menor o igual que tres entonces su derivada será de grado menor o igual que dos, por lo que en realidad podemos definir sin pérdida de

generalidad como:

Pedro_CC 11

y si tenemos integrando se sigue que por lo que

una base de es y si consideramos la base canónica unas

ecuaciones implícitas de en son siendo coordenadas

en .

Por otra parte, si un polinomio verifica la única posibilidad es que dicho

polinomio sea en realidad una constante. Si no, tendríamos que el grado de es

estrictamente mayor que el grado de lo que implicaría que la igualdad

no se puede dar. Esto implica que una base de es y unas ecuaciones implícitas de

en son siendo coordenadas en .

b) Teniendo en cuenta que y es claro que la intersección de ambos

subespacios es el subespacio , es decir, .

Esto implica que una base de la intersección es y unas ecuaciones

paramétricas de en son { } siendo

coordenadas en .

Teniendo en cuenta lo anterior es claro que el polinomio pertenece tanto a como a

y sus coordenadas en son mientras que su coordenada en

es (1).

c) Como podemos tomar (si no veis claro que son

suplementarios comprobar que la intersección es nula y la suma de las dimensiones de ambos subespacios es la dimensión de ).

Tenemos que por lo que lo hemos descompuesto como la

suma de un elemento de y otro elemento de ( .

d) Teniendo en cuenta que y es claro que por lo que es

un subespacio vectorial de . Unas ecuaciones implícitas de en son siendo

coordenadas en .

PROBLEMA 1 (intercuatrimestral noviembre 2010, 3.5 puntos)

En el espacio vectorial de los polinomios impares de grado menor o igual que 5, es decir, se consideran los subespacios siguientes:

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Se pide:

a) Está contenido en ? Razonar la respuesta.

b) Calcular la dimensión de y una base de .

c) ¿Son y disjuntos? Razonar la respuesta.

d) ¿Son y suplementarios en ? Razonar la respuesta.

a) Si entonces , por lo que dicho polinomio también pertenece a

por verificar . Esto implica que está contenido en .

b) Como se tiene que y , por lo que basta con calcular la

dimensión de y una base de .

La condición es una ecuación implícita (podemos poner

y dicha condición nos dará una ecuación con los coeficientes ) por lo que la dimensión

de será la dimensión de los polinomios impares de menos uno, es decir:

Por otra parte, si un polinomio impar de grado menor o igual que que verifica

entonces dicho polinomio también verificará que

por ser impar. Además, toda función impar se anula en el origen (esto deberíais saberlo de cálculo) por lo que se verificará que . Esto implica que es de la forma:

por lo que una base de será

- Observación: la forma “estándar” de calcular la base de es tomar el polinomio

y obtener dos ecuaciones implícitas de haciendo y

. De dichas ecuaciones implícitas se pasa a las paramétricas y de ahí es inmediato

obtener una base. Así es como lo tenéis hecho en moodle. Esta solución es más rápida, pero hay que haber hecho unos cuantos problemas de examen para que se os ocurra. Podéis comprobar multiplicando la expresión que, como es de

esperar, ambas soluciones dan el mismo resultado.

c) Para que y sean disjuntos es necesario y suficiente con que ninguno de los polinomios

pertenezca a . Sin embargo, es sencillo comprobar que el

polinomio verifica por lo que se tiene que y

ambos espacios no son disjuntos.

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d) Tenemos que y es fácil ver que puesto que la condición

es una ecuación implícita por lo que la dimensión de será la dimensión de los

polinomios impares de menos uno, es decir:

Por tanto, las dimensiones de ambos subespacios “cuadran” en el sentido de que su suma es igual a la suma del espacio en el que estamos trabajando y podrían ser suplementarios. En este caso, los subespacios y serán suplementarios si y solo si su intersección es nula. Un

polinomio de es de la forma . Veamos si dicho polinomio

verifica :

por tanto (la igualdad se tendría que dar para todo y solo se da para ) por

lo que la intersección de ambos subespacios es nula y son suplementarios.

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