universidad central del ecuadoren este subespacio. finalmente, con las soluciones en cada subespacio...

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y

MATEMÁTICA

CARRERA DE INGENIERÍA MATEMÁTICA

Un estudio teórico de ecuaciones cuasi-lineales elíptico

parabólicas.

Trabajo de titulación, modalidad Proyecto de Investigación previo a la obtención

del título de Ingeniero Matemático

AUTOR: Reyes Arévalo Jerry John

TUTOR: Ing. Guillermo Alexis Albuja Proaño MSc

QUITO, 2019

DERECHOS DE AUTOR

Yo, Reyes Arévalo Jerry John en calidad de autor y titular de los derechos mo-

rales y patrimoniales del trabajo de titulación Un estudio teórico de ecuaciones

cuasi-lineales elíptico parabólicas, modalidad proyecto de investigación, de confor-

midad con el Art. 114 del CÓDIGO ORGÁNICO DE LA ECONOMÍA SOCIAL DE

LOS CONOCIMIENTOS, CREATIVIDAD E INNOVACIÓN, concedo a favor de la

Universidad Central del Ecuador una licencia gratuita, intransferible y no exclusiva

para el uso no comercial de la obra, con nes estrictamente académicos. Conservo

a mi favor todos los derechos de autor sobre la obra, establecidos en la normativa

citada.

Así mismo, autorizo a la Universidad Central del Ecuador para que realice la

digitalización y publicación de este trabajo de titulación en el repositorio virtual, de

conformidad a lo dispuesto en el Art. 144 de la Ley Orgánica de Educación Superior.

El autor declara que la obra objeto de la presente autorización es original en

su forma de expresión y no infringe el derecho de autor de terceros, asumiendo la

responsabilidad por cualquier reclamación que pudiera presentarse por esta causa y

liberando a la Universidad de toda responsabilidad.

...................................

Reyes Arévalo Jerry John.

Cédula: 1720492758

[email protected]

ii

APROBACIÓN DEL TUTOR

En mi calidad de tutor del trabajo de titulación, presentado por REYES ARÉ-

VALO JERRY JOHN, para optar por el Grado de Ingeniero Matemático; cuyo tí-

tulo es:UN ESTUDIO TEÓRICO DE ECUACIONES CUASI-LINEALES

ELÍPTICO PARABÓLICAS, considero que dicho trabajo reúne los requisitos

y méritos sucientes para ser sometido a la presentación pública y evaluación por

parte del tribunal examinador que se designe.

En la ciudad de Quito, a los 18 días del mes diciembre de 2018.

........................................................

Ing. Guillermo Alexis Albuja Proaño Msc.

DOCENTE-TUTOR

C.C.: 1712454063

iii

Dedicado a mi familia.

iv

AGRADECIMIENTOS

A Dios, por permitirme llegar hasta este punto de mi vida y seguir presente en

la vida de cada persona que conforma mi familia.

A mis padres y hermanos, por todo el apoyo que siempre me han brindado y por

sus consejos que siempre están presentes en mi cabeza y corazón.

A Nancy Elizabeth, mi novia, por animarme siempre durante nuestros anõs de es-

tudio y durante el tiempo que duró este trabajo, y a mi hija Allison Dannae, que

con su sola presencia reconforta mi corazón.

Finalmente a Guillermo Albuja, Iván Naula, Vicente Chicaiza por todo la ayuda

que me brindaron para hacer posible este trabajo y en general a cada profesor de la

Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Matemática, porque todos ellos nos brin-

daron sus conocimientos al igual que nos instruyeron para ser buenos profesionales.

v

CONTENIDO

DERECHOS DE AUTOR ii

APROBACIÓN DEL TUTOR iii

DEDICATORIA iv

AGRADECIMIENTOS v

CONTENIDO vi

LISTA DE ANEXOS viii

RESUMEN ix

ABSTRACT x

INTRODUCCIÓN 1

1. GENERALIDADES 3

1.1. Justicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. ECUACIONES DIFERENCIALES 5

2.1. Ecuaciones en derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. El Método de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3. El Modelo Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. DEL ANÁLISIS FUNCIONAL Y MATEMÁTICO 15

3.1. Topología Métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.1. Espacios Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.2. Espacios con Producto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

vi

3.2. El Dual Topológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4. ESPACIOS DE FUNCIONES 41

4.1. La Integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2. Espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3. Espacios de Sobolev Wm,p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL 65

5.1. Consideraciones Iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1.1. Supuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.1.2. Condición Inicial y de Frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.1.3. Solución Débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2. Existencia de Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.3. Regularidad y Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.4. La Ecuación de Richards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 95

6.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.2. Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

A. RESULTADOS AUXILIARES 97

A.1. Del Cálculo, Derivación e Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

BIBLIOGRAFÍA 101

vii

LISTA DE ANEXOS

Anexo A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

viii

TÍTULO: Un estudio teórico de ecuaciones cuasi-lineales elíptico parabólicas.

Autor: Reyes Arévalo Jerry John.

Tutor: Ing. Guillermo Alexis Albuja Proaño MSc.

RESUMEN

Para probar la existencia de al menos una solución a una ecuación diferencial se

puede discretizar el espacio de funciones donde se requiere ésta, esto es, obtener

un conjunto linealmente independiente que genere este espacio de funciones lo que

es posible gracias a su estructura de espacio vectorial, que permite combinaciones

lineales; y a su estructura topológica, especícamente métrica, la que permite el uso

del límite en este espacio denominado solución. El Método de Galerkin discretiza el

espacio solución separable tomando un conjunto linealmente independiente que lo

genera, luego crea un subespacio de dimensión nita con las todas las posibles combi-

naciones lineales truncando el número de elementos del conjunto antes seleccionado

y posteriormente usa resultados del Análisis Vectorial para encontrar una solución

en este subespacio. Finalmente, con las soluciones en cada subespacio de dimension

nita se crea una sucesión de funciones, sucesión que con el uso de la convergencia

débil y resultados adicionales de los espacios de funciones, propone una solución en

el espacio de dimensión innita, la que efectivamente es solución del problema.

PALABRAS CLAVE: MÉTODO DE GALERKIN/ ESPACIOS Lp/ ESPACIOS

DE SOBOLEV Wm,p/ COCIENTE DE DIFERENCIAS/ SUCESIÓN ACOTADA/

CONVERGENCIA DÉBIL.

ix

TITLE: A theoretical study of parabolic elliptical quasi-linear equations.

Author: Reyes Arévalo Jerry John.

Tutor: Ing. Guillermo Alexis Albuja Proaño MSc.

ABSTRACT

For trying the existence of at least one dierential equation solution, can discretize

the space of functions where this is required, that is, obtain a linearly independent

set that generates this space of functions that is possible thanks to its vector space

structure, which allows linear combinations; and its topological structure, speci-

cally metric, which allows the use limit in this space called solution. The Galerkin

Method discretizes the separable solution space by taking a linearly independent set

that generates it, then creates a subspace of nite dimension order with all possible

linear combinations truncating the number of items previously selected set and then

uses results of vector analysis for nd a solution in this subspace. Finally, the solu-

tions in each nite dimensional subspace a sequence of functions, succession using

weak convergence and additional results spaces, proposes a solution in the space of

innite dimension, which is eectively solving the problem.

KEYWORDS:GALERKINMETHOD/ Lp SPACES/ SOBOLEV SPACESWm,p/

DIFFERENCE QUOTIENT/ BOUNDED SEQUENCE/ WEAK CONVERGEN-

CE.

x

INTRODUCCIÓN

Uno de los modelos de la mecánica de uidos, es el de la inltración de un ui-

do incompresible en un medio poroso, Ecuación de Richards [5]; se describe con el

uso de ecuaciones diferenciales evolutivas, lo que implica que el problema físico es

dependiente del tiempo y que existe un cambio en el sistema a lo largo del tiempo.

Además, varios de estos modelos y un basto campo de aplicaciones surge del pro-

blema de inltración o el ujo de un uido a través de un medio poroso, como los

mencionados en [3].

Tales modelos surgen de las aplicaciones encontradas en la Ingeniería Civil, Agrí-

cola e Industrial como la hidrología agua-suelo, la provisión y el mantenimiento de

suministros de agua, irrigación y problemas de drenado; la difusión y el ujo de ui-

dos a través de materiales cerámicos como ladrillos o bloques de barro, que han sido

un problema en la Industria de la Cerámica. La construcción de ltros municipales

para sistemas de agua o preguntas sobre la ltración del agua a través de reservorios

han sido formuladas a la Ingeniería Civil. También todo el problema físico de la

producción de aceite y gases de recursos subterráneos no es nada más que el ujo

de un uído a través de un medio poroso.

Algunos problemas pueden desembocar en un sistema de ecuaciones diferencia-

les, como el caso en el que el uido se encuentra en diferentes fases del estado de la

materia, ó, con ecuaciones singulares en las que el uido está en un solo estado, por

ejemplo en estado líquido.

Este trabajo estudia ecuaciones diferenciales elíptico parabólicas en forma ge-

neral, mediante el uso de el Análisis Matemático y Análisis Funcional se trata de

encontrar solución a esta variedad de ecuaciones. El probar la existencia de la so-

lución permite que otras áreas de la Matemática intercedan con el n de hallar

soluciones puntuales a problemas especícos como son el Método de Elementos Fi-

1

nitos ó el Método de Volúmenes Finitos, como en [7].

Así, de manera resumida se presenta a continuación el contenido del trabajo:

En el Capítulo 1, se propone una justicación para estudiar este tipo de ecuaciones

diferenciales evolutivas.

El Capítulo 2, brinda una perspectiva general de las ecuaciones diferenciales y sobre

el Método de Galerkin, así como el modelo general de un problema de inltración.

En el Capítulo 3, se estudian los elementos fundamentales del Análisis Matemático

y Análisis Funcional, que dotan al espacio solución de estructura algebraica y to-

pológica. En el siguiente, Capítulo 4, se proponen y estudian con mayor detalle los

espacios de funciones donde se buscará la solución.

Luego, el Capítulo 5 prueba la existencia de una solución débil para una ecuación

diferencial cuasi-lineal elíptico parabólica donde se usa el Método de Galerkin.

Finalmente, en el Capítulo 6 se formulan conclusiones y recomendaciones.

2

Capítulo 1

GENERALIDADES

Problemas como el de inltración de un uido en un medio poroso se describen

fusionando la Ley de Darcy-Buckinham con la Ecuación de Continuidad como en

[5], que son ecuaciones diferenciales del tipo elíptico parabólicas.

Existe variedad de métodos que solucionan este tipo de problemas entre ellos se

encuentra el Método de Galerkin que prueba la existencia de soluciones débiles en

espacios de dimensión nita y luego extiende este resultado a los espacios de funcio-

nes de dimensión innita.

1.1. Justicación

Algunos de los problemas de interés en agricultura son el estudio del contenido

del agua en el suelo y la inltración del agua en el suelo, por citar dos ejemplos,

estos problemas se modelan con ecuaciones diferenciales.

En la actualidad el estudio de diversos problemas pueden modelarse vía ecuacio-

nes diferenciales, ya sean ordinarias o en derivadas parciales, éstos claramente están

sujetos a cambios temporales, así que comúnmente se los conoce como problemas

evolutivos. De aquí, que es necesario el estudio de este tipo de problemas en sus res-

pectivos espacios funcionales, ya sean estos los Espacios Lp de funciones integrables

o los Espacios de Sobolev Wm,p de funciones con derivadas débiles.

Una vez presentados los espacios en los que viven las soluciones para este tipo de

problemas y añadiendo condiciones inicial y de frontera, se hará uso del Análisis

Funcional para probar la existencia de una solución débil, y luego estudiar la regu-

laridad y unicidad de los resultados.

3

El problema general se plantea a continuación, donde Ω ⊂ Rn, abierto y acotado

con frontera ∂Ω, Γ ⊂ ∂Ω:∂tb(u)−∇ · a(b(u),∇u) = f(b(u)) en (0, T )× Ω

b(u) = b0 en 0 × Ω

u = uD en (0, T )× Γ

a(b(u),∇u) · v = 0 en (0, T )× (Ω \ Γ)

Problema que bajo ciertas condiciones puede modelar el ujo de un gas, ó la ltración

de un uido en un medio poroso [6].

1.2. Objetivos

General

Estudiar la existencia, unicidad y regularidad de la solución para esta clase ecua-

ciones diferenciales cuasi-lineales elíptico parabólicas.

Especícos

1. Presentar y estudiar los espacios funcionales donde existe solución para el

problema.

2. Aplicar el método de Galerkin para mostrar la existencia de una solución.

3. Estudiar la regularidad de la solución.

4. Exhibir la Ecuación de Richards como caso particular.

4

Capítulo 2

ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales que modelan problemas físicos o sociales del diario

vivir tienen a simple vista un mayor grado de complejidad que los problemas pro-

puestos en la academia y he ahí el interés de los estudiantes de matemática por

resolverlos. Algunos de los fenómenos físicos modelados con estas ecuaciones son la

conducción del calor o el movimiento ondulatorio de las ondas.

2.1. Ecuaciones en derivadas parciales

Como lo escrito por Lawrence Evans en [24], una ecuación en derivadas parciales

(EDP) es una ecuación con una función de dos o más variables que es desconocida

y algunas de sus derivadas parciales.

Fije k ≥ 1 y sea U un subconjunto abierto de Rn.

Denición 2.1.1. Una expresión de la forma:

F (Dku(x), Dk−1u(x), · · · , Du(x), u(x), x) = 0 (2.1)

se llama ecuación en derivadas parciales de k orden, donde

F : Rnk × Rnk−1 × · · · × Rn × R× U −→ R

es dada y la función u : U −→ R es desconocida.

Por encontrar una solución se entiende idealmente obtener una solución explícita

simple, ó, deducir la existencia y otras propiedades de la solución.

Denición 2.1.2. Se presentan los siguientes tipos de ecuaciones en derivadas par-

ciales, donde α es un multi-índice, ver anexos:

5

1. La ecuación en derivadas parciales (2.1) se llama lineal si tiene la forma:∑|α|≤k

aα(x)Dαu = f(x)

para funciones aα (| α |≤ k), f . Si tenemos que f ≡ 0, la EDP se conoce como

homogénea.

2. La EDP (2.1) se dice semi-lineal si tiene la forma:∑|α|=k

aα(x)Dαu+ a0(Dk−1u, · · · , Du, u, x) = 0

3. La EDP (2.1) se llama cuasi-lineal si tiene forma:∑|α|=k

aα(Dk−1u, · · · , Du, u, x)Dαu+ a0(Dk−1u, · · · , Du, u, x) = 0

Dadas las deniciones anteriores tomadas de [24], se dirige este estudio a las

ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden, esto es, donde la derivada má-

xima es la derivada segunda. De esta forma encontramos una subclasicación de las

ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden.

Se toma como referencia lo escrito en [8], para la teoría de ecuaciones diferenciales

de segundo orden, esto es:

n∑i,k=1

Aik∂2u

∂xi∂xk+

n∑i=1

Bi∂u

∂xi+ Cu = f (2.2)

donde Aik, Bi, C y f son funciones reales denidas en cierto dominio Ω del espacio

Rn, la llamada forma cuadrática característica:

φ(η1, · · · , ηn) =n∑

i,k=1

Aikηiηk (2.3)

juega un papel importante.

Si en el punto P = (x1, · · · , xn) del dominio Ω no todos los coecientes Aik son cero,

la forma cuadrática (2.3) puede reducirse en el punto P a la forma canónica:

φ =n∑i=1

aiξ2i

como se describe en el Teorema que se cita a continuación y cuya demostración se

encuentra en [9].

6

Teorema 2.1.1. Sea XAX t una forma cuadrática asociada a una matriz simétrica

real A, y sea C una matriz ortogonal que convierte A en una matriz diagonal Λ =

CtAC. Tenemos entonces

XAX t = Y ΛY t =n∑i=1

λiy2i

donde Y = [y1, · · · , yn] es la matriz la Y = XC y λ1, · · · , λn son los autovalores

de A.

Así, las ecuaciones de la forma (2.2) se pueden clasicar dentro de los siguientes

tipos. Se dice que la ecuación (2.2) en el punto P = (x1, · · · , xn) es de:

a. Tipo elíptico si todos los coecientes ai son positivos o negativos.

b. Tipo hiperbólico si unos de los ai es negativo y el resto de ellos son positivos

o al revés.

c. Tipo ultra-hiperbólico (n > 3) si m coecientes ai (con m 6= 0, 1, n, n− 1) son

positivos y el resto son negativos.

d. Tipo parabólico si al menos uno de loa ai es cero.

La ecuación (2.2) es elíptica, hiperbólica o parabólica en el dominio Ω si es respec-

tivamente elíptica, hiperbólica o parabólica en cada punto del dominio.

2.2. El Método de Galerkin

Se presentan a continuación algunas deniciones y proposiciones que respaldan

el uso del Método de Galerkin.

Denición 2.2.1. Sea (X, τ) un espacio topológico. Un subconjunto A ⊂ X es denso

en X si la clausura A = X y X se dice separable si X contiene un subconjunto

denso contable.

Denición 2.2.2. Un espacio vectorial X se dice suma directa de dos subespacios

Y y Z de X, se escribe

X = Y ⊕ Z

si cada x ∈ X tiene una única representación

x = y + z, y ∈ Y, z ∈ Z

7

Entonces Z se llama el complemento algebraico de Y en X e Y el complemento

algebraico de Z en X. A los subespacios Y y Z se los llama subespacios par comple-

mentario en X.

Se presenta la proposición de importancia de esta sección, que como se mencionó

brinda premisas que fundamentan el uso del Método de Galerkin.

Proposición 2.2.1. Sea X un espacio real normado de dimensión innita. Entonces

las siguientes armaciones son equivalentes:

1. X es separable.

2. Existen subespacios de dimensión nita Xn ⊂ X, n ∈ N tal que Xn ⊂Xn+1, ∀n ∈ N y ∪n∈NXn es densa en X.

3. Existen subespacio de dimensión nita En ⊂ X, n ∈ N tal que En∩Em = 0para n 6= m y ⊕k∈NEk := ∪n∈N(E1 ⊕ · · · ⊕ En).

4. Existe un conjunto linealmente independiente ek | k ∈ N ⊂ X tal que

spanek | k ∈ N es denso en X.

Demostración. Considere las siguientes implicaciones para deducir la equivalencia:

(1 ⇒ 2) Suponga X es separable entonces seleccione un conjunto contable

xn | n ∈ N

denso en X, entonces dena

Xn := spanx1, · · · , xn

claramente de la denición de Xn se sigue,

Xn ⊂ Xn+1

puesto, si r ∈ Xn

r =n∑k=1

αkxk =n∑k=1

αkxk + 0xn+1

Consecuentemente, ∪n∈NXn es denso en X.

(2 ⇒ 3) Suponga existen subespacios de dimensión nita como en (2) y seleccio-

ne E1 := X1 y para n ∈ N seleccione subespacios En+1 tales que Xn+1 = Xn⊕En+1.

8

Ahora, como son subespacios de dimensión nita se puede hallar un conjunto lineal-

mente independiente A = ξ1, · · · , ξk que genere Xn+1, como Xn ⊂ Xn+1 se tiene

que un subconjunto de B = ξ1, · · · , ξj genera Xn con j ≤ k, con el complemento

se genera el subespacio En+1 = span (Bc), así

Xn+1 = Xn ⊕ En+1

De esto, se sigue que En+1 ∩ En = 0 y

Xn+1 = ⊕k=1,··· ,n+1Ek

Como ∪n∈NXn es densa en X, se sigue que la suma directa ⊕k∈NEk := ∪n∈N(E1 ⊕· · · ⊕ En), es densa en X.

(3 ⇒ 4) Sea dn = dim En y sea enj | j = 1, · · · , dn una base para En.

Se tiene

Xn = E1 ⊕ · · · ⊕ En = spaneij | 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ di

por tanto, M = eij | i ∈ N, 1 ≤ j ≤ di es el conjunto linealmente independiente.

Además, span (M) = span(∪n∈NXn) es denso en X.

(4 ⇒ 1) Para n ∈ N se tiene que el conjunto

An =

n∑k=1

αkek | αk ∈ Q, 1 ≤ k ≤ n

,

es contable pues es una combinación lineal nita con coecientes racionales, de la

densidad de Q en R se sigue que An = spanek | 1 ≤ k ≤ n.Como n ∈ N es arbitrario se sigue que spanek | k ∈ N es separable.

Observación. Note que si consideramos el espacio vectorial X como un espacio

con producto interno (·|·)X , es práctico encontrar sus bases ortogonal y ortonormal

equivalentes, mediante el procedimiento de ortogonalización de Gram-Schmidt.

Para esto, suponga xj | j ∈ N es una base linealmente independiente para X

espacio con producto interno, entonces:

1. El primer elemento de la base ortonormal será:

e1 =1

‖x1‖Xx1

9

2. x2 puede escribirse de la forma:

x2 = (x2|e1)e1 + v2

de donde,

v2 = x2 − (x2|e1)e1

que no es el vector cero pues los xj son linealmente independientes. Así,

e2 =1

‖v2‖v2

3. Se considera el paso anterior y se tiene:

v3 = x3 − (x3|e1)e1 − (x3|e2)e2

normalizando,

e3 =1

‖v3‖v3

4. Se generaliza y tenemos el n-ésimo vector:

vn = xn −n−1∑k=1

(xn|ek)ek

que se puede normalizar como antes y

en =1

‖vn‖vn

Esta base es mucho más fácil de manejar por la ortogonalidad de sus elementos, esto

es, que el producto interno entre dos cualesquiera es igual a cero. Estas caracterís-

ticas se detallarán en los capítulos siguientes, ver [13], [15].

Con esto en mente, se presenta la idea de lo que consiste el Método de Galerkin,

del cual se puede encontrar más información en [11], [12], entre otros.

Para hacer uso de este método es necesario el planteamiento débil del problema.

Considere el siguiente problema abstracto:

PA :

Encontrar u ∈ W tal que

a(u, v) = f(v), ∀v ∈ V,

donde W y V son espacios vectoriales normados, V es un espacio de funciones de

prueba, el espacio de funciones continuas innitamente diferenciables.

10

La idea central del Método de Galerkin es reemplazar los espacios W y V por

espacios de dimensión nita Wh y Vh, donde Wh es el espacio solución y Vh el

espacio de prueba. El proceso para considerar que espacios se van a tomar como W

y V , viene de las condiciones de frontera impuestas a la ecuación diferencial.

Considere el problema siguiente ejemplo ilustrativo:−∆u+ u = f en Ω

u = 0 en ∂Ω, (2.4)

de la condición de frontera de la EDP note que se necesitan funciones que se anulen

en ésta, por tanto, la formulación débil del problema viene como: Hallar u ∈ H10 (Ω) tal que∫

Ω

∇u∇v +

∫Ω

uv =

∫Ω

fv, ∀v ∈ H10 (Ω)

. (2.5)

La formulación débil (2.5) resulta de integrar la EDP respecto del dominio, se-

guido se usa la integración por partes y la condición de frontera impuesta.

De aquí, se toma una base en H10 (Ω), se trunca el número de elementos de esta base

y el subespacio de dimensión nita surge de generar todas las combinaciones lineales

de este subconjunto.

A continuación, se marcan los pasos a seguir cuando se hace uso del Método de

Galerkin ya que depende del Análisis Funcional y Análisis Matemático:

a.- Proponga la solución en el espacio de dimensión nita como combinación lineal

de los elementos generadores del subespacio, donde lo que se desea encontrar

es el valor de los coecientes que forman esta combinación lineal.

b.- Se construye o halla la solución en el subespacio de dimensión nita, usualmen-

te puede llegarse a sistemas de ecuaciones lineales o a sistemas de ecuaciones

diferenciales ordinarias, como en [12].

c.- Puesto se ha tomado un número nito arbitrario de funciones que generan

el subespacio de dimensión nita, se ha creado una sucesión de soluciones,

sucesión que se debe probar converge hacia una solución débil del problema.

d.- Se procede al estudio de la unicidad y regularidad de la solución encontrada.

Como se ha mostrado es un método bastante particular que con ayuda de una

base propone una solución en el espacio de dimensión innita.

11

2.3. El Modelo Matemático

Se dice que el medio poroso es el contenedor del uido, en el cual hay innumera-

bles vacíos de diferente tamaño y forma llamados el espacio poroso, interconectados

por aperturas que forman canales a través de los cuales se dá el ujo del uido.

Algo muy importante a tomar en cuenta en un estudio de esta clase serán el tipo

de uido y la naturaleza del medio poroso. De la naturaleza del medio poroso se

desprenden: la porosidad y la permeabilidad.

Porosidad mide el espacio poroso y de aquí se desprende la capacidad del

medio de contener el uido.

Permeabilidad que es la medida de la facilidad con la que el uido atraviesa

el medio poroso bajo la inuencia de alguna presión.

Existen métodos experimentales en [10] que miden estas cualidades especícas del

medio poroso.

Ahora, se propone un modelo matemático, la Ecuación de Richards. Se usan

ciertas deniciones y teoremas que serán enunciados como en [9] y cuyas demostra-

ciones se las puede encontrar en el mismo.

Ley de Darcy y Ley de Darcy-Buckingham

Darcy durante su investigación sobre ltros de agua tuvo que experimentar, con

este tipo de efecto físico, la ltración de agua a través de un medio poroso y concluyó

en un resultado interesante expresado matemáticamente como sigue:

Q =κA∆h

L.

Donde, κ constante característica del medio poroso, A es el la sección de área del

ltro, ∆h la diferencia entre los cabezales que alcanza el agua antes y después de

atravesar el ltro y L el espesor del ltro.

Si se toman incrementos innitesimales respecto de ∆h y L, esto es, ∆h y ∆L, la

Ley de Darcy se expresa como

~q = −κdhdL

,

donde, q es el caudal que circula por m2, κ es la conductividad hidráulica ydh

dLes el

gradiente hidráulico expresado en incrementos innitesimales. El signo menos (−)

12

viene de la convención de como se toman las diferencias dh (son negativas).

Note, que el caudal es una magnitud vectorial por tanto la Ley de Darcy se escribe:

~q = −κ∇h.

En los medios porosos a menudo se encuentran dos tipos de uidos en principio se

encontrará aire que tapona la red de poros e impide el ujo del uido, a medida que

el uido ingresa el aire empezará a ser desplazado.

Así, la permeabilidad del medio poroso cambia mientras éste sea expuesto al uido

durante más tiempo. Normalmente, un medio poroso insaturado (existen poros que

están llenos de aire) tiene menor permeabilidad que uno saturado.

Durante el transcurso del tiempo coeciente de permeabilidad κ depende de h y se

escribe la Ley de Darcy-Buckingham

~q = −κ(h)∇h.

Teorema 2.3.1. Sea Ω ∈ R2, abierto y acotado, f ; Ω −→ R una función integrable

en Ω. Si ∫ω

f(x)dx = 0

para todo subconjunto medible ω ∈ Ω, entonces f ≡ 0 para casi todo punto en Ω.

Teorema 2.3.2 (Teorema de Transporte de Reynolds). Sea Ω ⊂ R2 un dominio

acotado con Γ su frontera de clase C1 a trozos. Sean T1, T2 ∈ R tales que 0 ≤ T1 < T2

y

f :

Ω× [T1, T2] −→ R

(x, t) −→ f(x, t)

una función tal que para todo punto t ∈ [T1, T2], las funciones f(·, t) y∂f(·, t)∂t

son

integrables en Ω.

Para t ∈ [T1, T2], sea Ω(t) ⊂ Ω un volumen de control y Γ(t) su frontera.

Entonces,

d

dt

∫Ω(t)

f(x, t)dx =

∫Ω(t)

∂f

∂t(x, t)dx+

∫Γ(t)

f(x, t)~v · ~nds

donde ~v es la velocidad local de Ω(t) y ~n es el vector normal exterior a Γ(t).

Por el Teorema de la Divergencia de Gauss, ProposiciónA.1.4, se tiene∫Γ(t)

f(x, t)~v · ~nds =

∫Ω(t)

div(f~v)dx

con lo que se tiene

d

dt

∫Ω(t)

f(x, t)dx =

∫Ω(t)

[∂f

∂t+ div(f~v)

]dx

13

Ecuación de Continuidad

Sea Ω(t) un volumen de control que se mueve con una velocidad v, t ∈ [T1, T2]. La

densidad del uido contenido en Ω(t) es ρ(x, t) =dm(t)

dx, de donde dm(t) = ρ(x, t)dx

e integrando sobre Ω(t), tenemos

m(t) =

∫Ω(t)

dm(t) =

∫Ω(t)

ρ(x, t)dx

Derivando respecto del tiempo y aplicando el teorema de Transporte de Reynolds,

se tienedm(t)

dt=

∫Ω(t)

[∂ρ

∂t+ div(ρ~v)

]dx

Ahora, un sistema conservativo, es tal que la masa del sistema no se crea ni se

destruye, es decir, la masa permanece constante durante todo el proceso

dm(t)

dt= 0, ∀t ≥ 0

con lo que se tiene que ∫Ω(t)

[∂ρ

∂t+ div(ρ~v)

]dx = 0

Como la integral es válida para cualquier volumen de control, se sigue

∂ρ

∂t+ div(ρ~v) = 0, ctp en Ω× (T1, T2)

denominada ecuación de continuidad para sistemas conservativos.

Ecuación de Richards

De esta manera al reemplazar la Ley de Darcy-Buckingham en la Ecuación de

Continuidad, se tiene la Ecuación de Richards para un sistema conservativo:

∂u

∂t−∇ · (κ(u)∇u) = 0, sobre Ω× (T1, T2)

Una ecuación de tipo parabólico no lineal, ó, la ecuación elíptica no lineal:

−∇ · (κ(u)∇u) = 0, sobre Ω

ecuaciones que modelan el ujo de un uído a travéz de un medio poroso.

Claramente podemos completar los problemas añadiendo a estas ecuaciónes condi-

ciones iniciales y condiciones de frontera.

Estos son modelos matemáticos relacionados con problemas físicos, que son objeto

de estudio en varias ramas de la Ingeniería.

14

Capítulo 3

DEL ANÁLISIS FUNCIONAL Y

MATEMÁTICO

Toda argumentación matemática necesita de su respectiva justicación. En es-

te capítulo se argumentan las bases de la Matemática usadas en el desarrollo del

proyecto, así como deniciones, teoremas, lemas y proposiciones que se usarán.

3.1. Topología Métrica

Se procede con algunos de los conceptos fundamentales, algunas de las demostra-

ciones se las encuentra en los libros de referencias, se sugiere buscar esta información

en [13], [14], [15], libros que se tomaron como bibliografía.

Denición 3.1.1 (Topología). Un espacio topológico es el par (X, τ), donde X es

un conjunto y τ es una colección de subconjuntos de X, llamados conjuntos abiertos

o abiertos, que cumplen las propiedades:

(T1) ∅ ∈ τ, X ∈ τ.

(T2) Sea I un conjunto arbitrario de índices, Ui | i ∈ I ⊂ τ entonces ∪i∈IUi ∈ τ.

(T3) Sean U1, U2 ∈ τ entonces U1 ∩ U2 ∈ τ.

Un espacio topológico se llama un espacio Hausdor si cumple:

(T4) Sean x, y ∈ X con x 6= y entonces existen U1, U2 ∈ τ tales que x ∈ U1, y ∈ U2

y U1 ∩ U2 = ∅.

Denición 3.1.2. Un conjunto A ⊂ X se dice cerrado si X \ A ∈ τ , esto es, el

complemento de un abierto es un cerrado.

15

Denición 3.1.3 (Métrica). Un espacio métrico es el par (X, dX) ó (X, d), donde

X es un conjunto y dX es una métrica, esto es, es una función dX : X ×X −→ Rque cumple las propiedades siguientes para todo x, y ∈ X:

(M1) dX(x, y) ≥ 0.

(M2) dX(x, y) = 0⇔ x = y.

(M3) dX(x, y) = dX(y, x).

(M4) dX(x, y) ≤ dX(x, z) + dX(z, y).

Denición 3.1.4. Sean x ∈ X y r ∈ R, considere los siguientes conjuntos

Bola abierta

BX(x, r) = y ∈ X | dX(x, y) < r

Bola cerrada

BX(x, r) = y ∈ X | dX(x, y) ≤ r

Esfera

SX(x, r) = y ∈ X | dX(x, y) = r

Estos conjuntos forman una topología como lo mostrado en [15], por tanto, una

métrica induce una topología puesto que en cualquier espacio métrico se pueden ge-

nerar estos conjuntos. Cabe resaltar que se puede usar la notación B(x, r) en lugar

de BX(x, r) para la bola de centro x y radio r si no existe confusión sobre el espacio

en el que se toma este conjunto.

Denición 3.1.5. Sea (X, dX) un espacio métrico, A ⊂ X no vacío, x ∈ X, en-

tonces:

Se dice x es un punto interior de A si y solo si

(∃r > 0)(B(x, r) ⊂ A).

Se nota A al conjunto de los puntos interiores de A.

Se dice x es un punto clausura de A si y solo si

(∀r > 0)(B(x, r) ∩ A 6= ∅).

A es el conjunto de los puntos clausura de A.

16

Se dice x es un punto de acumulación de A si y solo si

(∀r > 0)((B(x, r) \ x) ∩ A 6= ∅).

Se designa A′ al conjunto de todos los puntos de acumulación.

Denición 3.1.6. Sean (X, d) un espacio métrico y A ⊂ X no vacío. Se dice que

A es abierto si A = A y de manera análoga A es cerrado si A = A.

Denición 3.1.7. Sean (X, dX) un espacio métrico, A ⊂ X no vacío, B ⊂ X no

vacío, x ∈ X.

A se dice acotado si A ⊂ B(x, r), para x ∈ X, r > 0.

La distancia de x al conjunto A viene dada como sigue:

d(x,A) = ınfa∈Ad(x, a).

La distancia de A a B es dada por:

d(A,B) = ınfa∈A, b∈B

d(a, b).

El diámetro de A está dado como sigue:

δ(A) = supx,y∈Ad(x, y).

Proposición 3.1.1. Sea (X, dX) un espacio métrico entonces es Hausdor.

Se enuncian a continuación algunas de las propiedades más importantes de los

espacios métricos; puede encontrarse mayor información en [17].

Denición 3.1.8. Sean (X, dX) un espacio métrico, A ⊂ X. A se dice precompacto,

si para todo ε > 0 corresponde un conjunto nito de puntos x1, · · · , xn ∈ A tales que

A ⊂ ∪nk=1B(xk, ε).

Denición 3.1.9. Se dice que un conjunto no vacío A de un espacio métrico (X, dX)

es separable si existe un subconjunto S ⊂ A, tal que A ⊂ S.

Observación. La recta real es un ejemplo cla±ico de espacio separable, ya que el

conjunto Q de racionales es denso y contable.

Denición 3.1.10. Sean (X, dX) un espacio métrico, A ⊂ X, no vacío. Una familia

F de conjuntos de (X, dX) tal que

A ⊂ ∪B∈FB

recibe el nombre de cobertura de A.

Una subcobertura de F es una subfamilia de F que también cubre a A.

Se dice que F es una cobertura abierta si cada elemento de F es un abierto.

17

Denición 3.1.11. Sean (X, dX) un espacio métrico, A ⊂ X no vacío. A se llama

compacto si toda cobertura abierta de A admite una subcobertura nita.

Denición 3.1.12. Sea A un conjunto no vacío de un espacio métrico, se dice que

A posee la propiedad de Bolzano-Weierstrass, si todo subconjunto innito T de A

admite un punto de acumulación en A, esto es, T ′ ∩ A 6= ∅.

Proposición 3.1.2. Sean (X, dX) un espacio métrico, A un compacto de X y x ∈X. Si x /∈ A, existen abierto S, T tales que x ∈ S y x ⊂ T con S ∩ T = ∅.

Demostración. Se presenta en lo que sigue un bosquejo de la demostración.

Como (X, dX) es Hausdor, existen abiertos respectivamente disjuntos Saix y Tai de

x y ai ∈ A respectivamente.

La familia de conjuntos Tai es una cobertura abierta de A, puesto que el conjunto

A es compacto admite una cobertura nita, esto es, G conjunto de índices de la

cobertura nita

A ⊂ ∪g∈GTag .

Tome los conjuntos abiertos:

S = ∩g∈GSagx ,

T = ∪g∈GTag .

Donde, si z ∈ T entonces z ∈ Tag para algún g ∈ G, como z /∈ Sagx indica z /∈ S.Lo que implica que los conjuntos s y T son disjuntos.

Corolario 3.1.3. Si A es un compacto de (X, dX) entonces es acotado. Además,

todo conjunto compacto es precompacto.

Proposición 3.1.4. En un espacio métrico un conjunto es compacto si y solo si es

Bolzano-Weierstrass.

Proposición 3.1.5. Si B 6= ∅ subconjunto cerrado de un compacto A, entonces B

es compacto.

Demostración. Si B es nito se sigue que es compacto. Considere ahora el caso

cuando B es no nito.

Sea T ⊂ B un conjunto innito arbitrario, entonces T ⊂ A, A es compacto por

tanto existe x ∈ T ′ ∩ A.Como B es cerrado posee todos sus puntos de acumulación, esto es, x ∈ B.Implica que x ∈ T ′ ∩B, B es Bolzano-Weierstrass.

18

Denición 3.1.13. Sean (X, dX) un espacio métrico, A ⊂ X no vacío. A se dice

relativamente compacto si su clausura es un conjunto compacto.

Proposición 3.1.6. Todo conjunto relativamente compacto en un espacio métrico

es precompacto.

Demostración. A es precompacto puesto que A es compacto por hipótesis.

Como A ⊂ A es un subconjunto no vacío de un precompacto, se tiene que A es

precompacto.

Denición 3.1.14 (Sucesiones). Una sucesión es una colección de elementos inde-

xados por los enteros positivos Z+.

Sea X un conjunto y g : N → X dene una sucesión, cuyo n-ésimo término viene

dado por g(n) = xn; usualmente se nota (xn)n∈N a la sucesión de elementos de X.

Denición 3.1.15. Sea (X, dX) un espacio métrico, la sucesión (xn)n∈N ⊂ X se

dice converge hacia x ∈ X y se nota

xn −−−→n→∞

x , ó lımn→∞

xn = x

si y solo si,

(∀ε > 0)(∃N ∈ N)(∀n ≥ N ⇒ dX(xn, x)) < ε.

Denición 3.1.16 (Sucesión Parcial). Sea f : N → X una sucesión y g : N → Nuna función inyectiva. Se dice que f g : N→ X es una sucesión parcial de f .

Con la notación usual se tiene ∀n ∈ N, f(n) = xn, si se designa (yn)n∈N la sucesión

parcial, ∀n ∈ N, yn = f g(n) = xg(n).

Como g es inyectiva se sigue ym, yn no son el mismo término de (xn)n∈N; y si G no

es sobreyectiva, pueden existir xn que no estén en la sucesión parcial (yn)n∈N.

Denición 3.1.17. Sean (X, dX) un espacio métrico, A ⊂ X no vacío. A se dice

secuencialmente compacto si toda sucesión en A admite una sucesión parcial con-

vergente en A.

Proposición 3.1.7. Sea (X, dX) un espacio métrico. Un conjunto A ⊂ X es se-

cuencialmente compacto si y solo si es Bolzano-Weierstrass.

Demostración. Suponga que A es Bolzano-Weierstrass, sea (xn)n∈N una sucesión de

elementos de A. Si el rango de (xn)n∈N es innito entonces es un subconjunto innito

de A, consecuencia de esto es que se admite un punto de acumulación en A.

19

De esto, se sigue que A posee una sucesión parcial convergente,por lo tanto A es

secuencialmente compacto.

Recíprocamente, suponga ahora que A es secuencialmente compacto, sea T ⊂ A

un subconjunto innito. Se puede construir inductivamente una sucesión (xn)n∈N de

términos distintos dos a dos.

Como (xn)n∈N ⊂ A admite una sucesion parcial (yn)n∈N con límite x ∈ A, de esto,como (yn)n∈N ⊂ T se tiene que x ∈ T ′.En conclusión, pues T ⊂ A innito y admite un punto de acumulación x ∈ A se

sigue que A es Bolzano-Weierstrass.

Denición 3.1.18 (Sucesión de Cauchy). Sea (X, dX) un espacio métrico, (xn)n∈N

una sucesión en X; se dice de Cauchy si

d(xn, xm) −−−−→n,m→∞

0 ó (∀ε > 0)(∃N ∈ N)(n,m ≥ N ⇒ d(xn, xm) < ε).

Proposición 3.1.8. Sea (X, dX) un espacio métrico, (xn)n∈N una sucesión de Cauchy

en X que admite un punto de acumulación, entonces éste es único.

Demostración. Suponga x e y son puntos de acumulación de (xn)n∈N sucesión de

Cauchy, con x 6= y.

Dado ε > 0,

(∃N ∈ N)(r, s ≥ N)(d(xr, xs) <

ε

3

).

Como x e y son puntos de acumulación,

∃m ≥ N, xm ∈ B(x,ε

3

)y

∃k ≥ N, xk ∈ B(y,ε

3

).

Entonces:

d(x, y) ≤ d(x, xm) + d(xm, xk) + d(xk, y) ≤ ε

Como ε es arbitrario, se sigue que x = y.

Por tanto, (xn)n∈N posee un único punto de acumulación.

Proposición 3.1.9. El rango de una sucesión de Cauchy es un precompacto.

Proposición 3.1.10. El rango de una sucesión de Cauchy es un conjunto acotado.

20

Demostración. Sea (xn)n∈N una sucesión de Cauchy en (X, dX).

Dado ε > 0,

(∃N ∈ N)(m,n ≥ N ⇒ d(xm, xn) < ε).

Fije

m ∈ N, m ≥ N,

haga

ri = d(xm, xi), i = 1, · · · , N − 1.

Tome

r = maxε, r1, · · · , rN−1.

Consecuentemente de esta construcción, xk ∈ B(xm, r + 1) con k ∈ N arbitrario.

Proposición 3.1.11. Si el rango de una sucesión es un conjunto precompacto, ésta

admite una sucesión parcial de Cauchy.

Denición 3.1.19 (Espacio Métrico Completo). Sea (X, dX) un espacio métrico,

se llama espacio métrico completo si toda sucesión de Cauchy es convergente en X.

Proposición 3.1.12. Sea A 6= ∅ un conjunto precompacto en un espacio métrico

completo (X, dX), entonces es relativamente compacto.

Demostración. Se va a mostrar que A es un conjunto secuencialmente compacto.

Sea (xn)n∈N una sucesión de A, donde el (xn)n∈N es un precompacto por ser subcon-

junto del precompacto A, luego admite una sucesión parcial de Cauchy (yn)n∈N.

Como (X, dX) es completo, existe y ∈ X tal que yn → y, además puesto que A es

cerrado posee todos sus puntos de acumulación, con lo que y ∈ A.En consecuencia, todo subconjunto innito de A posee una sucesión parcial conver-

gente, lo que indica que A es secuencialmente compacto.

Por lo tanto, A es relativamente compacto.

Proposición 3.1.13. Sea (X, dX) un espacio métrico, A ⊂ X no vacío.

Sea A compacto en (X, dX), entonces (A, dA) es completo.

Si (A, dA) es completo, entonces A es cerrado.

Si (X, dX) es completo y A cerrado, entonces (A, dA) es completo.

21

Proposición 3.1.14. (R, |·|) es un espacio métrico completo.

Demostración. Sea (xn)n∈N una sucesión de Cauchy en R, se sabe que el rango de

una sucesión de Cauchy es un conjunto acotado, por tanto, haga b, a ∈ R cotas

superior e inferior respectivamente.

Entonces,

a ≤ xn ≤ b, ∀n ∈ N.

Dena,

yn = supxn, xn+1, · · · ,

de lo que es claro que

supxn, xn+1, · · · = yn ≥ yn+1 = supxn+1, xn+2, · · · ,

esto es, (yn)n∈N es decreciente.

Como a es cota inferior de (xn)n∈N, se sigue a ≤ yn, ∀n ∈ N, lo que implica que

yn → z, con z ínmo de (yn)n∈N.

Se va a mostrar que xn → z.

Dado ε > 0,

(∃N1 ∈ N)(n, n ≥ N1 ⇒ |xn − xn| <

ε

2

)(3.1)

Como z es ínmo, existe yM tal que

z ≤ yM < z +ε

2.

Tome µ = maxN,M, como µ ≥M e (yn)n∈N es decreciente,

z ≤ yµ ≤ yM < z +ε

2

de donde,

z − ε

2< yµ < z +

ε

2.

Considerando, yµ = supyµ, yµ+1, · · · ,(z − ε

2

)no puede ser cota superior; esto es,

debe existir xν con µ ≤ ν tal que,

z − ε

2< xν ≤ yµ < z +

ε

2(3.2)

Como ν ≥ M , se tiene que ∀n ≥ N , ambos n, ν ≥ N del hecho que (xn)n∈N es

Cauchy (3.1):

|xn − xν | <ε

2,

22

equivale a,

xν −ε

2< xn < xν +

ε

2.

Usando (3.1), se tiene:

z − ε < xν −ε

2,

xν +ε

2< z + ε.

Así,

z − ε < xn < z + ε, ∀n ≥ ν.

De esto, se sigue que |xn − z| < ε ó (xn)n∈N converge a z.

Como (xn)n∈N es una sucesión de Cauchy arbitraria, se concluye que (R, |·|) es un

espacio métrico completo.

Observación. Sean (R, |·|) espacio métrico, (xn)n∈N un sucesión de R, se denen

los límites superior e inferior como sigue:

lım supn→∞

xn = ınfn∈N

supk≥n

xk

análogamente,

lım infn→∞

xn = supn∈N

ınfk≥n

xk.

Proposición 3.1.15. Sea (X, dX) un espacio métrico no necesariamente completo.

Considere el conjunto XN de todas las sucesiones en X y dena:

X =x = (xn)n∈N ∈ XN | (xn)n∈N es Cauchy en X

con la relación de equivalencia

(xn)n∈N = (yn)n∈N ⇔ (d(xn, yn))n∈N −−−→n→∞

0.

Luego, (X, d) es un espacio métrico completo, donde d se dene como:

d((xn)n∈N, (yn)n∈N) = lımn→∞

d(xn, yn).

Mas aún, J(x) = (x)n∈N dene una inyección J : X → X isométrica, esto es:

d(J(x), J(y)) = d(x, y), ∀x, y ∈ X.

Observación. Para el elemento (xn)n∈N ∈ X, se tiene que:

d((xn)n∈N, xi) −−−→i→∞

0,

por tanto, J(X) es denso en X.

23

Demostración. Para x = (xn)n∈N y y = (yn)n∈N in X se tiene:

|d(xj, yj)− d(xi, yi)| ≤

|d(xj, yj)− d(xi, yj)|+ |d(xi, yj)− d(xi, yi)|

de la desigualdad triangular de la métrica d se sigue:

|d(xj, yj)− d(xi, yj)|+ |d(xi, yj)− d(xi, yi)|

≤ d(xj, xi) + d(yj, yi) −−−−→i,j→∞

0,

por tanto, existe el límite de la sucesión en R:

d(x, y) = lımi→∞

d(xi, yi).

Similarmente, se sigue si x1 = x2 en X y y1 = y2 en X que∣∣d(x2i , y

2i )− d(x1

i , y1i )∣∣ −−−→i→∞

0.

Esto muestra que d : X × X → R está bien denida.

Luego, de la denición de la relación de equivalencia se tiene que si d : (x, y) = 0

entonces x = y y de manera análoga si x = y. Entonces, d : (x, y) = 0.

La simetría de d, así como la desigualdad triangular se obtienen naturalmente del

hecho que d es una métrica.

Para mostrar la completitud, sea (xk)k∈N una sucesión de Cauchy en X, donde

xk = (xkj )j∈N para k ∈ N, es de Cauchy en X. Dado k ∈ N seleccione jk tal que:

d(xki , xkj ) ≤

1

k, i, j ≥ jk.

Entonces,

d(xkjk , xljl

) ≤ d(xkjk , xlj) + d(xkj , x

lj) + d(xkj , x

ljl

)

≤ 1

k+ d(xkj , x

lj) +

1

l, j ≥ jk, jl

Haciendo j →∞, la línea anterior converge a:(1

k+ d(xk, xl) +

1

l

)−−−−→k,l→∞

0.

Por tanto, haga x = (xljl)l∈N ∈ X y se tiene:

d(xl, x)← d(xlk, xk), k →∞

24

≤ d(xlk, xljl

) + d(xljl , xkjk

) ≤ 1

l+ d(xljl , x

kjk

), k ≥ jl

que converge a 0 mientras k, l→∞.

Consecuentemente, (X, d) es un espacio métrico completo.

Siguiendo este proceso se puede completar cualquier espacio métrico.

Denición 3.1.20 (Convergencia en Espacios Métricos). Sean (X, dX) e (Y, dY )

espacios métricos, sean A ⊂ X y f : A→ Y . Si x0 ∈ A e y0 ∈ Y .Entonces,

f(x) −−−→x→x0

y0

si y solo si,

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(dX(x, x0) < δ ⇒ dY (f(x), y0) < ε)

esto es, si y solo si

dY (f(x), y0)→ 0 mientras dX(x, x0)→ 0,

notado

y0 = lımx→x0

f(x).

Proposición 3.1.16. El límite es único.

Observación. En espacios métricos la denición anterior de convergencia es equi-

valente a la convergencia secuencial, esto es, lo anterior se mantiene si y solo si

para toda sucesión (xn)n∈N en A:

xn −−−→n→∞

x0 ⇒ dY (f(xn), y0) −−−→n→∞

0

Se desprende claramente que la continuidad secuencial es equivalente a la continui-

dad de una función.

Denición 3.1.21. Sean (X, dX), (Y, dY ) espacios métricos. Sea f : X → Y una

función, f se dice continua en x ∈ X si y solo si:

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(dX(x, y) < δ ⇒ dY (f(x), f(y)) < ε).

f se dice continua si es continua en todo x ∈ X.

Denición 3.1.22. Sean (X, dX), (Y, dY ) espacios métricos. Sea f : X → Y una

función, se dice f es Lipschitz si se cumple la desigualdad siguiente:

dY (f(x), f(y)) ≤ dX(x, y).

Corolario 3.1.17. Si f es una función Lipschitziana entonces es continua.

25

3.1.1. Espacios Normados

Denición 3.1.23. Sea X un conjunto. X se denomina un espacio vectorial real

si en éste se denen dos operaciones: la suma s : X × X → X y el producto por

escalar : R×X → X, tales que cumplen las siguientes propiedades para x, y, z ∈ X,

α, β ∈ R:

1. Clausura: x+ y ∈ X.

2. Conmutativa: x+ y = y + x.

3. Asociativa: x+ (y + z) = (x+ y) + z.

4. Vector Cero: ∃! 0 ∈ X : x+ 0 = x.

5. Inverso Aditivo: para x, ∃! (−x) ∈ X : x+ (−x) = 0.

6. Clausura del producto: αx ∈ X.

7. Módulo del producto: 1x = x.

8. Asociativa del producto: (αβ)x = α(βx).

9. Distributiva 1: α(x+ y) = αx+ αy.

10. Distributiva 2: (α + β)x = αx+ αy.

Denición 3.1.24. Sea V un espacio vectorial real. Un subconjunto S de V se dice

linealmente dependiente si para distintos vectores x1, x2, · · · , xn y escalares

α1, α2, · · · , αn no todos cero tal que

α1x1 + α2x2 + · · ·+ αnxn = 0.

Un conjunto que no es linealmente dependiente es linealmente independiente.

Proposición 3.1.18. Un conjunto S de vectores es linealmente independiente si y

solo si cualquier subconjunto nito de S es linealmente independiente, esto es, si y

solo si para cualesquier vectores x1, x2, · · · , xn de S, la ecuación

α1x1 + α2x2 + · · ·+ αnxn = 0

implica αi = 0, i = 1, 2, · · · , n

26

Denición 3.1.25. Sea V un espacio vectorial. Una base para V es un conjunto

de vectores linealmente independientes que generan V .

El espacio V es de dimensión nita si tiene una base nita.

Denición 3.1.26 (Norma). Sea (X,R) un espacio vectorial real. El par (X, ‖·‖X)

se llama espacio normado si la función ‖·‖X : X −→ R cumple las siguientes

condiciones para x, y ∈ X, α ∈ R

(N1) ‖x‖X ≥ 0 y ‖x‖X = 0⇔ x = 0.

(N2) ‖αx‖X = |α|‖x‖X .

(N3) ‖x+ y‖X ≤ ‖x‖X + ‖y‖X .

Entonces decimos que la función ‖·‖X es una norma en X.

Si no existe confusión sobre el espacio se puede escribir ‖·‖ en lugar de ‖·‖X ; al par(X, ‖·‖X) también se lo conoce como espacio pre-Banach.

Denición 3.1.27 (seminorma). Si la función ‖·‖X , para la condición (N1) solo

mantiene la implicación x = 0⇒ ‖x‖X = 0, a ‖·‖X se la llama seminorma.

Luego, el conjunto Z = z ∈ X | ‖z‖ = 0 es un subespacio de X y se plantea la

relación de equivalencia:

x ∼ y ⇔ x− y ∈ Z

Consecuentemente, designe X al conjunto X con esta relación de equivalencia, con

lo que se tiene que (X, ‖·‖) es un espacio normado.

Proposición 3.1.19. Sea (X, ‖·‖) un espacio normado, dena d(x, y) = ‖x− y‖para todo x, y ∈ X. Entonces (X, ‖·‖) un espacio métrico.

Proposición 3.1.20. Sea (X, ‖·‖) un espacio normado. Sean x, y ∈ X, se cumple

la siguiente desigualdad:

|‖x‖ − ‖y‖| ≤ ‖x− y‖

Demostración. En base a la desigualdad triangular de la norma,

‖x‖ ≤ ‖x− y‖ + ‖y‖,

‖y‖ ≤ ‖x− y‖ + ‖x‖

lo que implica,

|‖x‖ − ‖y‖| ≤ ‖x− y‖.

27

Proposición 3.1.21. Sea (X, ‖·‖) un espacio normado. La norma es continua, esto

es, la función x→ ‖x‖ de X en R es continua.

Demostración. Es consecuencia inmediata de la proposición anterior y del hecho de

que toda función Lipschitziana es continua.

Proposición 3.1.22. Sea x1, · · · , xn un conjunto linealmente independiente de

vectores en un espacio normado (X, ‖·‖), de cualquier dimensión. Entonces existe

un número c > 0 tal que para cada elección de escalares α1, · · · , αn, se tiene:

‖α1x1 + · · ·+ αnxn‖ ≥ c(|α1|+ · · ·+ |αn|)

Demostración. Se considera s = |α1|+ · · ·+ |αn| > 0, dividiendo cada escalar por s

se dene βi =αis, el problema se torna en encontrar c > 0 tal que:

‖β1x1 + · · ·+ βnxn‖ ≥ c, con

(n∑j=1

|βj| = 1

).

Suponga que es falso, entonces como esto funciona para toda elección de escalares,

existe una sucesión (xn)n∈N de vectores:

ym = βm1 x1 + · · ·+ βmn xn

tal que ‖ym‖ → 0, mientras m→∞.

Como∑n

j=1 |βj| = 1, se tiene que∣∣βmj ∣∣ ≤ 1, lo que indica que las sucesiones para

j = 1, · · · , n:(βmj )m∈N = (β1

j , β2j , · · · )

son acotadas. Como todo subconjunto no vacío de un precompacto es precompacto,

entonces el rango de (βmj )m∈N es precompacto en R, por tanto admite una sucesión

parcial convergente.

Así, (βm1 )m∈N admite una sucesión parcial convergente con límite β1 y designe (y1,m)m∈N

la sucesión parcial de (ym)m∈N. Con el mismo argumento (y1,m)m∈N tiene una suce-

sión parcial (y2,m)m∈N para la cual la sucesión de escalares (βm2 )m∈N converge a β2.

Repitiendo el proceso n veces se tiene una sucesión parcial (yn,m)m∈N de (ym)m∈N

con términos de forma:

yn,m = (γm1 x1 + · · ·+ γmn xn), conn∑j=1

∣∣γmj ∣∣ = 1

28

donde γmj → βj mientras m→∞. Por tanto,

yn,m −−−→m→∞

y =n∑j=1

βjxj conn∑j=1

|βj| = 1

De esto, no todos los βj pueden ser cero y como x1, · · · , xn es linealmente inde-

pendiente, y 6= 0 y de la continuidad de la norma se tiene ‖yn,m‖ → ‖y‖.Como ‖ym‖ → 0, se tiene que ‖yn,m‖ → 0 pues es una sucesión parcial.

Lo que implica que y = 0, una contradicción con y 6= 0.

Denición 3.1.28. Si (xn)n∈N es una sucesión en X.

La serie∑∞

j=1 xj se dice que converge a x si∑N

j=1 xn → x mientras N → ∞, y se

dice que es absolutamente convergente se∑∞

j=1 ‖xj‖ <∞, ver [21].

Proposición 3.1.23. Un espacio normado (X, ‖·‖) es completo si y solo si cada

serie absolutamente convergente es convergente en X.

Proposición 3.1.24. Cada subespacio de dimensión nita Y de un espacio normado

(X, ‖·‖) es completo. En particular, cada espacio normado de dimensión nita es

completo.

Demostración. Sea (yn)n∈N una sucesión de Cauchy en Y . Sea dim(Y ) = n con

e1, · · · , en una base para Y .

Entonces, cada ym tiene una única representación:

ym = αm1 e1 + · · ·+ αmn en.

Como (yn)n∈N es Cauchy, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que si m, r ≥ N ⇒‖ym − yr‖ < ε. De la proposición anterior se sigue:

ε > ‖ym − yr‖ =

∥∥∥∥∥n∑j=1

(αmj − αrj)ej

∥∥∥∥∥ ≥ cn∑j=1

∣∣αmj − αrj ∣∣Dividiendo por c > 0 se tiene:

∣∣αmj − αrj ∣∣ ≤ n∑j=1

∣∣αmj − αrj ∣∣ < ε

c, m, r ≥ N.

Que muestra que cada sucesión para j = 1, · · · , n:

(αmj )m∈N = (α1j , α

2j , · · · )

29

es de Cauchy en R. Por tanto, es convergente; denote este límite por αi y usando

estos n límites se tiene:

y = α1e1 + · · ·+ αnen.

Donde es claro que y ∈ Y , pues es combinación lineal de los elementos de la base.

Además,

‖ym − y‖ =

∥∥∥∥∥n∑j=1

(αmj − αj)ej

∥∥∥∥∥ ≤n∑j=1

∣∣αmj − αj∣∣‖ej‖Haciendo m→∞, se tiene ‖ym − y‖ → 0.

Se concluye que Y es completo.

Proposición 3.1.25. En un espacio normado de dimensión nita (X, ‖·‖). A ⊂ X

no vacío, es compacto si y solo es cerrado y acotado.

Demostración. La compacidad de A implica que sea cerrado y acotado

Ahora, suponga A es cerrado y acotado, sean dim(X) = n, e1, · · · , en una base

para X y (xn)n∈N una sucesión en A.

Como A es acotado, ‖xk‖ ≤M para todo k ∈ N, por la Proposición 3.1.22:

M ≥ ‖xk‖ =

∥∥∥∥∥n∑j=1

αkj ej

∥∥∥∥∥ ≥ cn∑j=1

∣∣αkj ∣∣Así, la sucesión de escalares reales (αkj )k∈N es acotada.

Como en la demostración de la Proposición 3.1.22, la sucesión (xn)n∈N posee una

sucesión parcial (zn)n∈N que converge a z =∑n

j=1 βjej. Como A es cerrado, z ∈ A.Puesto que (xn)n∈N es una sucesión arbitraria en A, se sigue que A es secuencialmente

compacto por tanto es compacto.

3.1.2. Espacios con Producto Interno

Denición 3.1.29. (Producto Escalar) Sea (X,R) un espacio vectorial real. Sean

x1, x2 ∈ X, a la función tal que (x1, x2) −→ (x1|x2)X de X ×X en R, se la llama

forma sesquilinear si para α ∈ R, x, x1, x2, y, y1, y2 ∈ X se tiene:

(S1) (αx|y)X = α(x|y)X(x|αy)X = α(x|y)X

(S2) (x1 + x2|y)X = (x1|y)X + (x2|y)X(x|y1 + y2)X = (x|y1)X + (x|y2)X

30

Esto indica que (·|·)X es lineal respecto del primero y segundo argumentos. Cuando

no existe ambigüedad respecto del espacio se puede escribir (·|·) en lugar de (·|·)X .Se llama simétrica si:

(S3) (x|y)X = (y|x)X

Una forma sesquilinear se dice semidenida positiva si para todo x ∈ X

(S4') (x|x)X ≥ 0

y se dice denida positiva si:

(S4) (x|x)X ≥ 0, y además (x|x)X = 0⇔ x = 0

Una forma simétrica denida positiva se denomina producto escalar o producto in-

terno, luego el par (X, (·|·)X) se llama un espacio pre-Hilbert.

Un producto interno dene una norma de la siguiente forma:

‖x‖ =√

(x|x),

consecuentemente una métrica.

Cuando el espacio es completo respecto de la métrica que se genera al par (X, (·|·))

se le llama Espacio de Hilbert.

Cuando una norma proviene de un producto interno satisface la identidad del

paralelogramo:

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2).

Denición 3.1.30. Un elemento x de un espacio con producto interno (X, (·|·)) se

dice ortogonal a un elemento y ∈ X, notado x ⊥ y, si el producto interno

(x|y) = 0.

Proposición 3.1.26 (Desigualdad de Schwarz). En un espacio con producto interno

(X, (·|·)), el producto interno (·|·) y su respectiva norma ‖·‖ cumplen la siguiente

desigualdad para todo x, y ∈ X:

|(x|y)| ≤ ‖x‖‖y‖

donde la igualdad se mantiene si y solo si x, y es linealmente dependiente.

31

Demostración. Suponga x, y 6= 0, entonces para todo escalar α se tiene:

0 ≤ ‖x− αy‖2 = (x|x) − α(x|y) − α[(y|x) − α(y|y)]

donde la expresión en corchetes es cero si se elige α =(y|x)(y|y)

, esto es:

0 ≤ (x|x) − (y|x)

(y|y)(x|y) = ‖x‖2 − |(x|y)|2

‖y‖

de donde, se obtiene la desigualdad deseada.

La igualdad mediante este razonamiento se obtiene si y solo si y = 0 ó 0 = ‖x− αy‖2.

Por tanto, como ‖·‖ es una norma se tiene que x−αy = 0, lo que equivale a x = αy

y muestra dependencia lineal.

Proposición 3.1.27. En un espacio con producto interno, si xn → x e yn → y,

entonces (xn|yn) → (x|y).

Demostración. Entonces,

|(xn|yn) − (x|y)| = |(xn|yn) − (xn|y) + (xn|y) − (x|y)|≤ |(xn|yn − y)|+ |(xn − x|y)|≤ ‖xn‖‖yn − y‖ + ‖xn − x‖‖y‖ −−−→

n→∞0.

Que muestra continuidad secuencial por tanto continuidad.

Proposición 3.1.28. Sea (X, (·|·)) un espacio de Hilbert, M 6= ∅ un convexo cerra-

do, entonces para x ∈ X existe un único y ∈M tal que:

d(x,M) = ınfv∈M‖x− v‖ = ‖x− y‖.

Además, y se caracteriza por la propiedad:y ∈M(x− y|v − y) ≤ 0, ∀v ∈M.

Demostración. Se nota, γ = ınfv∈M ‖x− v‖. Por la denición de ínmo, existe

(yn)n∈N ⊂M tal que:

γn → γ donde γn = ‖x− yn‖.

32

Si se muestra que (yn)n∈N es Cauchy es claro el resultado. Por facilidad se nota

yn − x = vn, y usando la identidad del paralelogramo:

‖vn − vm‖2 = −‖vn + vm‖2 + 2(‖vn‖2 + ‖vm‖2) (3.3)

donde, de la convexidad de M y de la denición de γ:

‖vn + vm‖ = 2

∥∥∥∥1

2(yn + ym)− x

∥∥∥∥ ≥ 2γ.

Usando esto en (3.3), se sigue:

‖yn − ym‖2 ≤ 2(γ2n + γ2

m)− (2γ)2.

De donde, tomando el límte se sigue que (yn)n∈N es de Cauchy.

ComoM es cerrado en un espacio completo, es completo y (yn)n∈N converge a y ∈M .

De esto, ‖x− y‖ ≥ γ, además:

‖x− y‖ ≤ ‖x− yn‖ + ‖yn − y‖ = γn + ‖yn − y‖

tomando n→∞, se concluye que ‖x− y‖ = γ.

La unicidad se prueba como de costumbre, suponiendo la existencia de otro elemento

de M con las mismas características, luego usando la identidad del paralelogramo

se concluye el resultado.

Ahora, para la equivalencia entre el resultado y su caracterización:

Primero, si ‖x− y‖ = ınfv∈M‖x− v‖ y de la convexidad de M :

‖x− y‖ ≤ ‖x− [(1− t)y + tv]‖ = ‖(x− y)− t(v − y)‖, ∀v ∈M, t ∈ (0, 1)

Por tanto,

‖x− y‖2 ≤ ‖x− y‖2 − 2t(x− y|v − y) + t2‖v − y‖2

que equivale a 2(x− y|v − y) ≤ t‖v − y‖2.

Cuando t→ 0, se obtiene la desigualdad deseada.

Inversamente,

‖y − x‖2 − ‖v − x‖2 = 2(x− y|v − y) − ‖y − v‖2 ≤ 0, ∀v ∈M.

de donde, se tiene el resultado.

Denición 3.1.31. Un conjunto M ⊂ X de un espacio con producto interno, se

dice ortogonal si sus elementos son ortogonales dos a dos. Se dice ortonormal si es

un conjunto ortogonal y sus elementos tienen norma 1.

33

Respecto de la ortogonalidad se puede deducir la relación Pitagórica la que indica

que si x, y ∈ (X, (·|·)) son ortogonales, entonces

‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2.

Note que de la denición de independencia lineal y el uso del producto interno

entre elementos ortogonales, un conjunto ortogonal es linealmente independiente.

Claramente un conjunto ortogonal puede convertirse en ortonormal dividiendo cada

elemento por su norma. Con el proceso de Gram-Schmidt cualquier conjunto lineal-

mente independiente se puede ortogonalizarse y su espacio generado es el mismo,

ver Capítulo 1.

Si un conjunto ortogonal es contable se puede agrupar éste en una sucesión y

se habla de una sucesión ortogonal. Ahora, sea (en)n∈N una sucesión ortonormal,

suponga x ∈ spane1, · · · , en, es claro que x es combinación lineal de los elemen-

tos e1, · · · , en, donde si multiplicamos escalarmente x por un ej arbitrario de

e1, · · · , en se sigue:

(x|ej) =

(n∑k=1

αkek|ej

)= αj.

Con esta idea, sea x ∈ (X, (·|·)) que no necesariamente es generado por e1, · · · , en,haga

y =n∑k=1

(x|ek)ek

donde n ∈ N es jo, luego dena z haciendo que x = y + z, esto es z = x− y.Se desea probar que z es ortogonal a y, primero note que

‖y‖2 =

(n∑k=1

(x|ek)ek|n∑

m=1

(x|em)em

)=

n∑k=1

|(x|ek)|2.

De esto,(z|y) = (x− y|y)

= (x|y) − (y|y)

=

(x|

n∑k=1

(x|ek)ek

)−

n∑k=1

|(x|ek)|2

= 0.

Con lo que se puede hacer uso de la relación Pitagórica y se tiene:

‖x‖2 = ‖y‖2 + ‖z‖2

34

lo que equivale a

‖z‖2 = ‖x‖2 −n∑k=1

|(x|ek)|2.

Como ‖z‖ ≥ 0, se tiene para cada n = 1, 2, · · ·

n∑k=1

|(x|ek)|2 ≤ ‖x‖2.

Lo anterior puede generalizarse para cualquier n ∈ N y se tiene la siguiente:

Proposición 3.1.29 (Desigualdad de Bessel). Sea (en)n∈N una sucesión ortonormal

en un espacio con producto interno (X, (·|·)), entonces para cada x ∈ X se tiene:

∞∑k=1

|(x|ek)|2 ≤ ‖x‖2.

3.2. El Dual Topológico

En lo que sigue, T : X → Y es una operador lineal de un espacio normado

(X, ‖·‖X) en otro (Y, ‖·‖Y ), y se va a suponer que el dominio de T es todo X, además

el dominio siempre será un subespacio vectorial. Se cumple que ∀x, y ∈ X, α ∈ R

T (x+ αy) = T (x) + αT (y).

Denición 3.2.1 (Operador Lineal Acotado). Sean X e Y espacios normados T :

X → Y un operador lineal, se dice que T es acotado si existe una constante c real

tal que:

‖T (x)‖ ≤ c‖x‖, ∀x ∈ X.

Proposición 3.2.1. Sea T : X → Y un operador lineal, sobre X e Y espacios

normados:

a. T es continua si y solo si T es acotada.

b. Si T es continua en un punto, entonces es continua.

Demostración. (a.) Sea x0 ∈ X, dado ε > 0, sea ‖x− x0‖ <ε

c, se tiene:

‖T (x)− T (x0)‖ = ‖T (x− x0)‖ ≤ c‖x− x0‖ < ε.

Como x0 fue arbitrario se sigue que T es continua.

Suponga ahora que T es continua en un arbitrario x0 ∈ X, se tiene entonces:

35

(dado ε > 0)(∃δ > 0)(‖x− x0‖ ≤ δ ⇒ ‖T (x)− T (x0)‖ ≤ ε).

Tome y ∈ X y haga x = x0 +δ

‖y‖y, entonces x− x0 =

δ

‖y‖y.

Consecuentemente, ‖x− x0‖ = δ y usando las hipótesis:

ε ≥ ‖T (x)− T (x0)‖ = ‖T (x− x0)‖ =δ

‖y‖‖T (y)‖,

que equivale,

‖T (y)‖ ≤ ε

δ‖y‖.

(b.) Es consecuencia de que T es continuo por tanto es acotado y junto con la segunda

parte de literal a, se tiene la continuidad en todo X.

Denición 3.2.2. Un funcional lineal es un operador lineal cuyo rango es un sub-

conjunto de R, esto es f : X → R. Un funcional lineal acotado, es un funcional

lineal tal que existe un real c con:

|T (x)| ≤ c‖x‖, ∀x ∈ X

Denición 3.2.3. Se llama B(X, Y ) al conjunto de todos los operadores lineales

acotados de un espacio normado (X, ‖·‖) en otro (Y, ‖·‖). El conjunto B(X, Y ) es

un espacio normado por si solo con la norma denida como:

‖T‖= supx∈X, x 6=0

‖T (x)‖‖x‖

= supx∈X, ||x||=1

‖T (x)‖.

Proposición 3.2.2. Si Y es un espacio de Banach entonces B(X, Y ) es un espacio

de Banach.

Demostración. Sea (Tn)n∈N una sucesión de Cauchy en B(X, Y ), dado ε > 0, existe

N ∈ N tal que para todo m,n ≥ N :

‖Tn − Tm‖ < ε.

Fijando x ∈ X y con m,n ≥ N se tiene:

‖Tn(x)− Tm(x)‖ = ‖(Tn − Tm)(x)‖ ≤ ‖Tn − Tm‖‖x‖ < ε‖x‖.

Para x jo y ε dado, se elige ε = εx tal que εx‖x‖ < ε.

Se tiene de esto, ‖Tn(x)− Tm(x)‖ < ε, con lo que (Tn(x))n∈N es de Cauchy en el

Banach Y , por tanto es convergente.

36

De esta manera dena T : X → Y para cada x ∈ X como T (x) = y ← Tn(x).

T es lineal, sean x, y ∈ X, α, β ∈ R:

lımn→∞

Tn(αx+ βy) = α lımn→∞

Tn(x) + β lımn→∞

Tn(y)

La acotación se prueba como sigue, de la continuidad de la norma:

‖Tn(x)− T (x)‖ =∥∥∥Tn(x)− lım

m→∞Tm(c)

∥∥∥ = lımm→∞

‖Tn(x)− Tm(x)‖ ≤ ε‖x‖.

Esto indica que Tn − T con n ≥ N es un operador lineal acotado.

Como B(X, Y ) es un espacio vectorial y T = Tn−(Tn−T ), se tiene que T ∈ B(X, Y );

de la desigualdad anterior tomando supremo sobre x ∈ X tales que ‖x‖ = 1, se tiene

‖Tn − T‖ ≤ ε

Por tanto, ‖Tn − T‖ → 0.

Denición 3.2.4. Sea (X, ‖·‖) un espacio normado. El conjunto de todos los fun-

cionales lineales y acotados en X con la norma de la Denición 3.2.3, se lo conoce

como el espacio dual de X, denotado X ′.

Corolario 3.2.3. El espacio dual X ′ de un espacio normado (X, ‖·‖) es un espacio

de Banach.

Proposición 3.2.4 (Representación de Riesz). Cada funcional lineal f ∈ X ′ en un

espacio de Hilbert (X, (·|·)), puede representarse en términos del producto interno:

f(x) = (x|z)

donde z depende de f , y es únicamente determinado por f con norma:

‖z‖ = ‖f‖.

Demostración. Si f = 0 el resultado es claro tomando z = 0.

Suponga que f 6= 0, luego ker(f) = x ∈ X | f(x) = 0 6= X entonces se busca

z 6= 0 tal que (x|z) = 0 para todo x ∈ ker(f), esto es, z ⊥ ker(f).

Puesto el ker(f) es un espacio vectorial cerrado y como f 6= 0 se tiene ker(f)⊥ 6= 0.Por tanto, ker(f)⊥ tiene z0 6= 0.

Considere el vector,

v = f(x)z0 − f(z0)x, x ∈ X.

37

Aplicando el funcional f al vector presentado antes, se tiene que f(v) = 0.

Consecuencia de esto es que v ∈ ker(f) y pues z0⊥ ker(f), se sigue:

0 = (v|z0) = f(x)(z0|z0) − f(z0)(x|z0).

Como se seleccionó z0 6= 0 se tiene que

f(x) =f(z0)

(z0|z0)(x|z0),

o lo que es lo mismo,

f(x) = (x|z), con z =f(z0)

(z0|z0)z0.

Como x ∈ X, es arbitrario se obtiene el resultado deseado.

Para la unicidad, suponga para todo x ∈ X, existen z1, z2 tal que:

f(x) = (x|z1) = (x|z2),

entonces (x|z1 − z2) = 0 para todo x ∈ X.

Tomando en particular x = z1 − z2 se tiene,

(x|z1 − z2) = (z1 − z2|z1 − z2) = ‖z1 − z2‖2 = 0,

por tanto, z1 − z2 = 0, lo que implica z1 = z2.

Finalmente, como f ∈ X ′ y f 6= 0 se tiene que z 6= 0, consecuentemente,

‖z‖2 = (z|z) = f(z) ≤ ‖f‖‖z‖,

que implica que, ‖z‖ ≤ ‖f‖.Además, usando la desigualdad de Schwarz,

|f(x)| = |(x|z)| ≤ ‖x‖‖z‖,

donde, tomando el supremo sobre los x ∈ X con norma 1,

‖f‖ = sup||x||=1

|(x|z)| ≤ ‖z‖.

Proposición 3.2.5 (Hahn-Banach, Forma Analítica). Sean X un espacio vectorial

real, γ : X → R una aplicación que cumple:

1. γ(αx) = αγ(x), para todo x ∈ X y α > 0,

38

2. γ(x+ y) ≤ γ(x) + γ(y), para x, y ∈ X.

Sea G ⊂ X un subespacio vectorial y g : G→ R una aplicación lineal tal que:

g(x) ≤ γ(x), ∀x ∈ G.

Entonces existe una forma lineal f denida sobre X que extiende a g, esto es,

g(x) = f(x), ∀x ∈ G

tal que,

f(x) ≤ γ(x), ∀x ∈ X.

Demostración. Se considera el conjunto

A =

h | h : D(h) ⊂ X → R, D(h) subespacio vectorial , h lineal,

| G ⊂ D(h), h extiende g, h(x) ≤ γ(x) ∀x ∈ D(h).

,

dotado de la relación de orden:

h1 ≤ h2 ⇔ D(h1) ⊂ D(h2) ∧ h2 extiende h1.

A es no vacío puesto que γ ∈ A y es inductivo, para esto, considere B ⊂ A totalmente

ordenado, denote B = (hi)i∈I , dena h y su dominio como sigue

D(h) = ∪i∈ID(hi) y h(x) = hi(x), x ∈ D(hi),

es claro que h ∈ A y que h es cota superior de B.

Resulta del Lema de Zorn, ver [18], que A admite un elemento maximal notado f .

Ahora, se probará que D(f) = X. Para esto, suponga que es falso.

Sea x0 ∈ D(f), haga D(h) = D(f) + Rx0 y para x ∈ D(h), h(x+ tx0) = f(x) + tα,

t ∈ R, con α una constante que se jará posteriormente de forma que h ∈ A.Debe asegurarse,

f(x) + tα ≤ γ(x+ tx0), ∀x ∈ D(f), ∀t ∈ R.

que equivale a probar, ∀x ∈ D(f)f(x) + α ≤ γ(x+ x0)

f(x)− α ≤ γ(x− x0)

igual a elegir α vericando:

supy∈D(f)

f(y)− γ(y − x0) ≤ α ≤ ınfx∈D(f)

γ(x+ x0)− f(x),

39

posible ya que,

f(y)− γ(y − x0) ≤ γ(x+ x0)− f(x), x ∈ D(f), y ∈ D(f);

en efecto, observe:

f(x) + f(y) ≤ γ(x+ y) ≤ γ(x+ x0) + γ(y − x0).

Se concluye que f está mayorada por h y que f 6= h, una contradicción con la

maximilidad de f , por tanto, D(f) = X.

Proposición 3.2.6. Sea G un subespacio vectorial del espacio normado (X, ‖·‖) y

sea g : G → R una aplicación lineal continua. Entonces existe f ∈ X ′ que extiende

a g tal que:

‖f‖X′ = ‖g‖G′ .

Los siguientes resultados son referentes a la teoría de operadores y pueden en-

contrarse con más detalle en [14], [19], [20], entre algunos.

Proposición 3.2.7 (Aplicación Abierta). Sean (X, ‖·‖) e (Y, ‖·‖) espacios de Ba-

nach, T un operador lineal continuo y sobreyectivo de X en Y .

Entonces existe una constante c > 0 tal que

T (BX(0, 1)) ⊃ BY (0, c).

Esta propiedad indica que T transforma todo abierto de X en un abierto de Y ,

de ahí su nombre.

Denición 3.2.5. Se dene el gráco de una aplicación f : X → Y , con (X, ‖·‖) e(Y, ‖·‖) espacios normados, como el conjunto G(f) = (x, f(x)) ∈ X × Y .Note que, en X × Y se induce la topología producto de los espacios X e Y .

Así, para (x, f(x)) ∈ X × Y se tiene la norma

‖(x, f(x))‖X×Y = ‖x‖X + ‖f(x)‖Y .

Proposición 3.2.8 (Gráca Cerrada). Sean (X, ‖·‖) e (Y, ‖·‖) espacios de Banach,T un operador lineal de X en Y .

Suponga que la g¯aca de T , G(T ), es cerrada en X × Y entonces T es continuo.

40

Capítulo 4

ESPACIOS DE FUNCIONES

En el presente capítulo se introducen espacios vectoriales de funciones, general-

mente de dimensión innita. A los que se les proporciona una norma y/o de un

producto interno, donde adquieren las propiedades expuestas anteriormente.

4.1. La Integral de Lebesgue

Denición 4.1.1. Sea X un conjutno no vacío. Un álgebra de conjuntos de X es

una coleción no vacía A de subconjuntos de X que es cerrada bajo uniones nitas

y complementos, esto es, si E1, · · · , En ∈ A, entonces ∪nj=1Ej ∈ A; y si E ∈ Aentonces Ec ∈ A.Una σ-álgebra es un álgebra que es cerrada bajo uniones contables.

Note que ∩jEj = (∪jEj)c, consecuentemente también las álgebras y σ-álgebras son

cerradas bajo intersecciones. De esto, se sigue que ∅ ∈ A y X ∈ A, pues si E ∈ Aentonces ∅ = E ∩ Ec ∈ A y X = E ∪ Ec ∈ A.Al par (X,A) se le llama espacio medible.

Observación. Es claro que el conjunto de partes de X, P(X), es una σ−álgebra.Si se considera una colección E ⊂ P(X), existe una única σ−álgebra M(E) que

contiene E, la intersección de todas las σ−álgebras que contienen E; a ésta se la

llama σ−álgebra generada por E.

Observación. Si consideramos el espacio métrico (X, d), se llama σ−álgebra de

Borel a la σ−álgebra generada por los conjuntos abiertos, notada BX .Note que BX es también generada por los conjuntos cerrados.

Denición 4.1.2. Sean (Xβ,Aβ)β∈B espacio medibles, B un conjunto de índices.

Haga X =∏

β∈BXn, e πβ : X → Xβ las proyecciones coordenadas.

41

La σ−álgebra producto X, ⊗β∈BAβ, es la generada por

π−1β (Eβ) | Eβ ∈ Aβ, β ∈ B.

Proposición 4.1.1. Sean X1, · · · , Xn espacios métricos y sea X =∏n

j=1Xj, con

la métrica producto. Entonces, ⊗nj=1BXj ⊂ BX . Si los Xj son separables entonces

⊗nj=1BXj = BX .

Demostración. La σ−álgebra ⊗nj=1BXj se genera de π−1j (Uj), 1 ≤ j ≤ n, donde los

Uj son abiertos en Xj, puesto que las proyecciones son continuas se tiene que estas

imágenes inversas son abiertos de X, donde, de la denición de σ−álgebra generadapor un conjunto se sigue que ⊗nj=1BXj ⊂ BX .Suponga ahora, Cj ⊂ Xj es denso y contable.

Sea Ej la colección de bolas en el espacio Xj, bolas de centro en Cj y de radio

racional, entonces, cada abierto de Xj es una unión contable de elementos de Ej.Más aún, el conjunto C = (x1, · · · , xn) ∈ X | xj ∈ Cj, 1 ≤ j ≤ n es denso en X.

Además, como las bolas en X son el producto cartesiano de bolas de los Xj, se tiene

que, BXj se genera por Ej y BX se genera por el conjunto ∏n

j=1Ej | Ej ∈ Ej.Así, BX ⊂ ⊗nj=1BXj .

Corolario 4.1.2. BRn = ⊗n1BR.

Denición 4.1.3. Sea (X,A) un espacio medible. Una medida en A, o simplemente

en X (si A se sobre entiende), es una función µ : A → [0,∞] tal que:

1. µ(∅) = 0.

2. µ(E) ≥ 0, ∀E ∈ A.

3. Si (Ej)∞j=1 una sucesión disjunta en A, entonces:

µ(∪∞j=1Ej) =∞∑j=1

µ(Ej).

Denición 4.1.4. Sea (X,A) un espacio medible. Sea µ una medida en (X,A),

entonces (X,A, µ) se llama espacio medido.

Denición 4.1.5. Una medida exterior en un conjunto no vacío X es una función

µ∗ : P(X)→ [0,∞] que satisface:

1. µ∗(∅) = 0.

42

2. µ∗(A) ≤ µ∗(B), A ⊂ B.

3. µ∗(∪∞j=1Aj) ≤∑∞

j=1 µ∗(Aj).

Proposición 4.1.3. Sea E ⊂ P(X) y ρ : E → [0,∞] tal que ∅, X ∈ E y ρ(∅) = 0.

Para cualquier A ⊂ X, dena

µ∗(A) = ınf

∞∑j=1

ρ(Ej) | Ej ∈ E , A ⊂ ∪∞j=1Ej

.

Entonces, µ∗ es una medida exterior.

Un conjunto, A ⊂ X se llama µ∗−medible si

µ∗(E) = µ∗(E ∩ A) + µ∗(E ∩ Ac).

Demostración. Note que para cada A ⊂ X existe la sucesión (Ej)∞j=1 ⊂ E tal que

A ⊂ ∪∞j=1Ej, por ejemplo se puede tomar Ej = X, j ∈ N.Como ρ(∅) = 0, tome una sucesión donde los Ej ∈ E son tales que Ej = ∅, conse-cuentemente µ∗(∅) = 0.

Ahora, si A ⊂ B, es claro que A ⊂ ∪∞j=1Ej para toda sucesión (Ej)∞j=1 que recubre

B, donde tomando el ínmo se sigue µ∗(A) ≤ µ∗(B).

Suponga que (Aj)∞j=1 ⊂ P(X) y ε > 0, para cada conjunto Aj existe una sucesión

(Ekj )∞k=1 ⊂ E tal que Aj ⊂ ∪∞k=1E

kj y

∞∑k=1

ρ(Ekj ) ≤ µ∗(Aj) + ε

1

2j.

Además, ∪∞j=1Aj ⊂ ∪∞j,k=1Ekj , esto es,

∞∑j,k=1

ρ(Ekj ) ≤

∞∑j=1

µ∗(Aj) + ε,

por tanto,

µ∗(A) ≤∞∑j=1

µ∗(Aj) + ε.

Como ε es arbitrario, se obtiene el resultado deseado.

Proposición 4.1.4 (Carathéodory). Si µ∗ es una medida exterior en X, la colección

A de conjuntos µ∗−medibles es una σ−álgebra, y la restricción de µ∗ a A es una

medida completa.

43

Observación. Una célula en R de extremos a, b, donde a ≤ b es un conjunto que

tiene una de las formas siguientes:

1. Célula abierta: (a, b) = x ∈ R | a < x < b,

2. semi abierta o semi cerrada: [a, b) = x ∈ R | a ≤ x < b,

3. semi abierta o semi cerrada: (a, b] = x ∈ R | a < x ≤ b,

4. célula cerrada: [a, b] = x ∈ R | a ≤ x ≤ b.

Denición 4.1.6. La longitud de una célula en R se extremos a ≤ b es igual al

valor (b − a) y se nota l([a, b)) = b − a. De esta manera, cualquiera de las cuatro

células: (a, b), (a, b], [a, b), [a, b] tienen la misma longitud.

Una célula en Rn es el producto cartesiano de n células I1, I2, · · · , In de R.Un cubo en Rn es una célula de Rn cuyos lados tienen igual longitud.

Si I = I1 × I2 × · · · × In es una célula en Rn y si los extremos de Ij son aj ≤ bj, el

volumen de I viene dado por:

l(I) = (b1 − a1)(b2 − a2) · · · (bn − an).

Denición 4.1.7. Si E ⊂ Rn, se dene la medida exterior m∗(E) de E como

m∗(E) = ınf

∞∑k=1

l(Ik) | Ik son células de Rn, E ⊂ ∪∞k=1Ik

.

Si m∗ es la medida exterior denida como antes, L la σ−álgebra de subconjuntos

de Rn que satisface la condición de Carathéodory, entonces se llama σ−álgebra de

Lebesgue.

Denición 4.1.8. Si (X,AX) e (Y,AY ) son espacios medibles, una función f :

X → Y se llama (AX ,AY )−medible, o simplemente medible si f−1(E) ∈ AX para

todo E ∈ AY .

Proposición 4.1.5. Sean (X,AX) e (Y,AY ) espacios medibles.

AY es generada por E, entonces f : X → Y es (AX ,AY )−medible si y solo si

f−1(E) ∈ AX para todo E ∈ E.

Demostración. Suponga primero que f : X → Y es medible, entonces es claro que

f−1(E) ∈ AX para todo E ∈ E .Recíprocamente, Y = E ⊂ Y : f−1(E) ∈ AX es una σ−álgebra, en efecto:

44

Primero, si E ∈ Y se tiene que f−1(E) ∈ AX , entonces (f−1(E))c ∈ AX , además

como (f−1(E))c = f−1(Ec) se sigue Ec ∈ Y .Luego, si (En)n∈N ⊂ Y , lo que indica que f−1(En) ∈ AX para todo n ∈ N, por tanto,∪n∈Nf−1(En) ∈ AX y puesto que la imagen inversa preserva uniones se tiene que

f−1(∪n∈NEn) ∈ AX , así ∪n∈NEn ∈ Y .De esto, E está contenida en Y pues f−1(E) ∈ AX para todo E ∈ E . Como AY es

generada por E , se tiene que AY pertenece a Y .Consecuentemente, f−1(E) ∈ AX para todo E ⊂ AY .

Corolario 4.1.6. Sea (X,A) un espacio medible, una función f : X → R se llama

A −medible o simplemente medible, si para cada número real α el conjunto x ∈X | f(x) > α pertenece a A.

Denición 4.1.9. Sean (X,X ) un espacio medible, E ⊂ X. La función caracterís-

tica χE de E se dene como:

χE(x) =

1 , si x ∈ E0 , si x /∈ E

medible si y solo si E ∈ X .Ahora una función simple φ en X es una combinación lineal nita con coecientes

reales de funciones característica, no se permite que estas funciones tomen valores

±∞, su representación estándar viene dada por:

φ =n∑j=1

ajχEj .

Proposición 4.1.7. Sea (X,X ) un espacio medible. Si f : X → [0,∞] es medible,

existe una sucesión (φn) de funciones simples tales que 0 ≤ φ1 ≤ φ2 ≤ · · · ≤ f ,

φn → f y φn → f uniformente en cualquier conjunto en el que f sea acotada.

Demostración. Se describe a continuación la forma que tienen estas funciones φn, la

demostración completa puede encontrarse en [21].

Para n = 0, 1, 2, · · · y 0 ≤ k ≤ 22n − 1, haga

Ekn = f−1

((k

2n,k + 1

2n

]), y Fn = f−1((2n,∞])

dena,

φn =22n−1∑k=0

kχEkn2n

+ 2nχFn

45

Es fácil vericar la monotonía de la sucesión, esto es, φn ≤ φn+1.

Si f ≤ 2n los conjuntos Ekn discretizan namente el rango de la función lo que

implica la convergencia de la sucesión de funciones simples hacia f , más aún se

tiene 0 ≤ f − φn ≤ 2−n, de donde se desprende la densidad.

Integración de funciones no Negativas

Sea (X,X , µ) un espacio medido, haga L+ el espacio de todas las funciones medibles

de X en [0,∞], es claro que es un espacio vectorial, ver [22]. Si φ =∑n

j=1 ajχEj es

una función simple en L+, se dene su integral como:∫φdµ =

∫X

φdµ =n∑j=1

ajµ(Ej).

La integral tomada sobre todo el espacio, ahora si se desea integra sobre A ∈ X se

dene y nota como sigue:∫A

φdµ =

∫X

φχAdµ =

∫φχAdµ.

De esto, se extiende la integral a toda función f de L+ como:∫X

fdµ = sup

∫X

φdµ | 0 ≤ φ ≤ f, f simple

.

Proposición 4.1.8 (Convergencia Monótona). Sea (fn)n∈N una sucesión en L+ tal

que fj ≤ fj+1 para todo j ∈ N y f = lımn→∞ fn, entonces∫f = lımn→∞

∫fn.

Demostración. Como (fn)n∈N es una sucesión creciente y de la monotonía de la

integral se sigue que

lımn→∞

∫fn ≤

∫f.

Para establecer la desigualdad inversa, sea α ∈ (0, 1), sea φ una función simple tal

que 0 ≤ φ ≤ f , y En = x | fn(x) ≥ αφ(x), donde (En)n∈N es una sucesión

creciente de conjuntos medibles cuya unión es X, de esto:∫fn ≥

∫En

fn ≥ α

∫En

φ.

Como la integral de una función medible genera una medida y la medida es continua

para una sucesión creciente de conjuntos se sigue que lımn→∞∫Enφ =

∫φ, por tanto,

lımn→∞∫fn ≥ α

∫φ, válido para todo α < 1,incluso válido para α = 1, y tomando

el supremo sobre las funciones simples se tiene:

lımn→∞

∫f ≥

∫f.

46

Proposición 4.1.9 (Lema de Fatou). Sea (fn)n∈N una sucesión en L+, entonces:∫ (lım infn→∞

fn

)≤ lım inf

n→∞

∫fn.

Demostración. Para cada k ≥ 1 se tiene ınfn≥k fn ≤ fj con j ≥ k, de la propiedad de

ínmo. Por tanto, se sigue de la monotonía de la integral que∫

ınfn≥k fn ≤∫fj para

j ≥ k, tomando el ínmo de las integrales en R pues están acotadas inferiormente,

se tiene∫

ınfn≥k fn ≤ ınfj≥k∫fj.

Finalmente, haga k →∞ y aplicando la Convergencia Monótona, en la sucesión de

la izquierda se tiene:∫ (lım infn→∞

fn

)= lım

k→∞

∫ (ınfn≥k

fn

)≤ lım inf

n→∞

∫fn.

Corolario 4.1.10. Sean (fn)n∈N ⊂ L+, f ∈ L+ y fn → f casi todo punto, entonces∫f ≤ lım infn→∞

∫fn.

Integración de funciones Real valuadas

En lo que procede se considera (X,X , µ) un espacio medido. La integral denida en

la parte anterior puede extenderse a funciones que tiene valores sobre toda la recta

real como: ∫f =

∫f+ −

∫f−,

donde,

f+(x) = maxf(x), 0

f−(x) = max−f(x), 0.

De esto, en lo que viene se tiene interés de considerar la integral para el módulo,

|f |, de una función f , donde se tiene la identidad |f | = f+ + f−.

Una función es integrable si y solo si sus partes positiva y negativa son integrables.

El espacio de funciones real-valuadas es un espacio vectorial y la integral un funcio-

nal lineal en este espacio.

Se denota este espacio por L1(µ), L1(X,µ), L1(X) o simplemente L1 dependiendo

del contexto y de que los espacios en los que se toma la integral se sobre entiendan.

Proposición 4.1.11. Sea f ∈ L1, entonces

∣∣∣∣∫ f

∣∣∣∣ ≤ ∫ |f |.47

Demostración. Se tiene,∣∣∣∣∫ f

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ f+ −∫f−∣∣∣∣ ≤ ∫ f+ +

∫f− =

∫|f |.

Proposición 4.1.12 (Convergencia Dominada). Sea (fn)n∈N una sucesión en L1

tal que fn → f casi todo punto, y existe una función no negativa g ∈ L1 tal que

|fn| ≤ g casi todo punto y todo n ∈ N. Entonces f ∈ L1 y∫f = lımn→∞

∫fn .

Demostración. Como f es límite casi todo punto de una sucesión de funciones me-

dibles entonces f es medible, haciendo n→∞ que f ∈ L1.

De manera similar, como |fn| ≤ g se tiene las desigualdades, g+fn ≥ 0 y g−fn ≥ 0

casi todo punto, luego del Lema de Fatou y de la relación entre el límite inferior y

superior: ∫g +

∫f ≤ lım inf

n→∞

∫(g + fn)

∫g + lım inf

n→∞

∫fn∫

g −∫f ≤ lım inf

n→∞

∫(g − fn)

∫g − lım sup

n→∞

∫fn,

esto es,

lım infn→∞

∫fn ≥

∫f ≥ lım sup

n→∞

∫fn.

Proposición 4.1.13 (Teorema de Fubini-Tonelli). Suponga (X,X , µ) e (Y,Y , ν)

espacios medidos σ−nitos,

1. (Tonelli). Si f ∈ L+(X × Y ), entonces las funciones g(x) =∫fxdν y h(y) =∫

f ydµ están en L+(X) y L+(Y ) respectivamente, y∫fd(µ× ν) =

∫ (∫f(x, y)dν

)dµ

=

∫ (∫f(x, y)dµ

)dν

(4.1)

2. (Fubini). Si f ∈ L1(µ× ν), entonces fx ∈ L1(ν) casi todo punto x ∈ X, fy ∈L1(µ) casi todo punto y ∈ Y ; las funciones casi todo punto denidas g(x) =∫fxdν y h(y) =

∫f ydµ son L1(µ) y L1(ν) respectivamente y se mantiene

(4.1).

48

Demostración. Sea f ∈ L+(X × Y ), se puede contruir una sucesión de funciones

simples (fn)n∈N como en la Proposición 4.1.7, que convergen puntualmente hacia f .

El Teorema de la Convergencia Monótona implica que gn → g y hn → h, jando x

e y respectivamente e integrando sobre X e Y , por tanto son medibles; y que∫gdµ = lım

n→∞

∫gndµ = lım

n→∞

∫fnd(µ× dν) =

∫fd(µ× ν)∫

hdν = lımn→∞

∫hndν = lım

n→∞

∫fnd(µ× dν) =

∫fd(µ× ν)

esto es (4.1); lo que prueba Tonelli y además si f ∈ L+(X×Y ) y∫f d(µ× ν) <∞,

entonces fx ∈ L1(ν) casi todo punto x ∈ X y fy ∈ L1(µ) para casi tod punto y ∈ Y .Si f ∈ L1(µ × ν), entonces la conclusión de Fubini se sigue de aplicar Tonelli a las

partes positiva y negativa de f .

4.2. Espacios Lp

En lo sucesivo se presentan los espacios de funciones módulo integrables. Se ja

(X,X , µ) un espacio medido, especícamente considere el caso cuando se designe

Ω ⊂ Rn un abierto, dotado de la medida de Lebesgue. Sea f medible en X y

0 < p <∞, dena

‖f‖p =

(∫X

|f |p dµ) 1

p

=

(∫|f |p dµ

) 1p

note que se puede tener que ‖f‖p =∞.

Se dene,

Lp(X,X , µ) = f : X → R | f medible, ‖f‖p <∞

Se puede abreviar Lp(X,X , µ) por Lp(µ), Lp(X) o simplemente Lp cuando no cause

algún tipo de confusión, dos funciones de Lp se consideran iguales cuando son iguales

casi todo punto sobre X.

Proposición 4.2.1. Lp es un espacio vectorial, sean f, g ∈ Lp, vea

|f + g|p ≤ (2 max|f |, |g|)p ≤ 2p(|f |p + |g|p).

Proposición 4.2.2. Si a ≥ 0, b ≥ 0 y 0 < λ < 1, entonces

aλb1−λ ≤ λa+ (1− λ)b

con igualdad si y solo si a = b.

49

Demostración. Si b = 0 el resultado es claro. Si ambos lados se dividen por b y

reemplazando t = a/b, se debe mostrar que tλ ≤ λt + (1− λ) el que tiene igualdad

si y solo si t = 1. Del cálculo, analizando la derivada se sigue que tλ + λt es estricta

creciente para t < 1 y estricta decreciente para t > 1, de esto que su valor máximo

1− λ, ocurre en t = 1.

Proposición 4.2.3 (Desigualdad de Hölder). Suponga 1 < p <∞ y p−1 + q−1 = 1,

esto es q = p(p−1), llamados exponentes conjugados. Si f y g son funciones medibles

en X, entonces

‖fg‖1 ≤ ‖f‖p‖g‖q.

Demostración. Note inicialmente que si se cumple la desigualdad, ésta se cumple

para cualquier múltiplos escalares de f y g, ambos lados de la desigualdad cargarán

un factor |αβ|. Por tanto, basta probar esto para ‖f‖p = ‖g‖q = 1.

Ahora, aplicando la proposición anterior con a = |f(x)|p, b = |g(x)|q y λ = p−1

|f(x)g(x)| ≤ p−1|f(x)|p + q−1|g(x)|q.

Integrando ambos lados se sigue

‖fg‖1 ≤ p−1

∫|f |p + q−1

∫|g|q = p−1 + q−1 = 1 = ‖f‖p‖g‖q.

Proposición 4.2.4 (Desigualdad de Minkowski). Sean f, g ∈ Lp, p ∈ [1,∞[.

Entonces

‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p

Demostración. El resultado es trivial si p = 1 o si f + g = 0.

Caso contrario, se tiene que

|f + g|p ≤ (|f |+ |g|)|f + g|p−1

Aplicando la desigualdad de Hölder y notando que (p − 1)q = p cuando p es el

exponente conjugado de q;∫|f + g|p ≤ ‖f‖p

∥∥|f + g|p−1∥∥q

+ ‖g‖p∥∥|f + g|p−1

∥∥q

= (‖f‖p + ‖g‖p)(∫|f + g|p

)1/q

.

50

Se concluye,

‖f + g‖p =

(∫|f + g|p

)1−(1/q)

≤ ‖f‖p + ‖g‖p.

Esto muestra que Lp, con p ≥ 1, es un espacio vectorial normado.

Proposición 4.2.5. Lp es un espacio de Banach, para 1 ≤ p <∞.

Demostración. Se va a probar que una serie absolutamente convergente es conver-

gente en Lp. Sea (fn)n∈N ⊂ Lp y∑∞

j=1 ‖fj‖p = B <∞.

Haga Gn =∑n

j=1 |fj| y G =∑∞

j=1 |fj|.

Aplicando la Proposición 4.2.4, se tiene ‖Gn‖p ≤n∑j=1

‖fk‖p ≤ B, para todo n ∈ N.

Además, de la Convergencia Monótona, se sigue que∫Gp = lım

∫Gpn ≤ Bp. Por

tanto, G ∈ Lp, esto es G(x) <∞ casi todo punto, lo que indica que∑∞

j=1 fj converge

casi todo punto.

Se denota esta suma por F y se tiene que |F | ≤ G, por tanto, F ∈ Lp. Luego,∣∣∣∣∣F −n∑j=1

fj

∣∣∣∣∣ ≤ (2G)p ∈ L1, aplicando el Teorema de la Convergencia Dominada,

∥∥∥∥∥F −n∑j=1

fj

∥∥∥∥∥p

p

=

∫ ∣∣∣∣∣F −n∑j=1

fj

∣∣∣∣∣p

−−−→n→∞

0.

Se concluye que la serie∑∞

j=1 fj converge en norma Lp.

Corolario 4.2.6. L2 es un espacio de Hilbert respecto del producto interno

(f |g) =

∫f(x)g(x).

Proposición 4.2.7. Para 1 ≤ p < ∞, el conjunto de funciones simples f =∑nj=1 ajχEj , donde µ(Ej) <∞ para todo j, es denso en Lp.

Demostración. Suponga f ∈ Lp, tome una sucesión de funciones simples como en

Proposicion 4.1.7, tales que fn → f y |fn| ≤ |f |. Se tiene, |fn − f |p ≤ 2p|f |p ∈ L1,

pues f ∈ Lp.Además, aplicando el Teorema de la Convergencia Dominada se sigue ‖fn − f‖p → 0,

cuando n→∞; lo que indica la densidad de las funciones simples.

Con esto, si fn =∑ajχEj donde los Ej son disjuntos y los aj no nulos, se tiene que

µ(Ej) <∞ pues∑|aj|pµ(Ej) =

∫|fn|p.

51

Denición 4.2.1. Sea f es una función medible en X, se dene

‖f‖∞ = ınfa ≥ 0 | µ(x | |f(x)| > a = 0)

‖f‖∞ se llama supremo esencial de |f |, una de las notaciones usuales es

‖f‖∞ = ess supx∈X|f(x)|.

De esto, se dene

L∞ = L∞(X,X , µ) = f : X → R | f medible y ‖f‖∞ <∞,

con la convención que dos funciones son iguales en L∞ si son iguales ctp en X.

Proposición 4.2.8. Respecto de los espacios L∞.

1. Sean f , g funciones medibles, si f ∈ L1 y g ∈ L∞ entonces ‖fg‖1 ≤ ‖f‖1‖g‖∞.Se tiene ‖fg‖1 = ‖f‖1‖g‖∞ si y solo si |g(x)| = ‖g‖∞ casi todo punto en el

conjunto donde f(x) 6= 0.

2. ‖·‖∞ es una norma en L∞.

3. ‖fn − f‖∞ → 0 si y solo si existe E ⊂ X tal que µ(Ec) = 0 y fn → f

uniformemente en E.

4. L∞ es un espacio de Banach.

5. Las funciones simples son densas en L∞.

Corolario 4.2.9. Si 1 ≤ p ≤ ∞, una sucesión de Cauchy en Lp(Ω) posee una

sucesión parcial que converge puntualmente casi todo punto en Ω.

Proposición 4.2.10. Si 0 < p < q < r ≤ ∞, entonces Lq ⊂ Lp + Lr, esto es, cada

función en Lq es suma de una función en Lp y otra función de Lr.

Demostración. Sea f ∈ Lq arbitraria, haga E = x | |f(x)| > 1 y considere las

funciones g = fχE, h = fχEc . Es claro que, f = g + h.

Entonces, considerando el conjunto E se sigue:

|g|p = |f |pχE ≤ |f |qχE,

que indica que g ∈ Lp.También,

|h|r = |f |rχEc ≤ |f |qχEc ,

52

esto es, h ∈ Lr.Para r =∞, se sigue que claramente que ‖h‖∞ ≤ 1.

Así, toda función de Lq puede escribirse como suma de una función Lp y otra Lr.

Proposición 4.2.11. Sean 0 < p < q < r ≤ ∞, entonces [LP ∩ Lr] ⊂ Lq y

‖f‖q ≤ ‖f‖λp‖f‖

1−λr , donde λ ∈ (0, 1) es tal que

q−1 = λp−1 + (1− λ)r−1; esto es, λ =q−1 − r−1

p−1 − r−1.

Demostración. Sea f ∈ Lp ∩ Lr, considere primero el caso r =∞, entonces

|f |q = |f |q−p+p ≤ ‖f‖q−p∞ |f |p,

haga λ = p/q, se tiene integrando y elevando a la potencia 1/q

‖f‖q ≤ ‖f‖p/qp ‖f‖

1−p/q∞ = ‖f‖λp‖f‖

1−λ∞ .

Si r <∞, note que

λq

p+

(1λq)

r= q

(λp−1 + (1− λ)r−1

)= qq−1 = 1

se sigue que p/λq y r/(1− λ)q son exponentes conjugados.

De esto, aplicando la desigualdad de Hölder∫|f |q =

∫|f |λq|f |(1−λ)q ≤

∥∥∥|f |λq∥∥∥p/λq

∥∥∥|f |(1−λ)q∥∥∥r/(1−λ)q

=

(∫|f |p)λq/p(∫

|f |r)(1−λ)q/r

= ‖f‖λqp ‖f‖(1−λ)qr

nalmente, tomando la raíz q−ésima se obtiene el resultado deseado.

Proposición 4.2.12. Si µ(X) < ∞ y 0 < p < q ≤ ∞, entonces Lq(µ) ⊂ Lp(µ),

además ‖f‖p ≤ ‖f‖qµ(X)(1/p)−(1/q).

Demostración. Si q =∞, el resultado es claro puesto que

‖f‖pp =

∫|f |p ≤ ‖f‖p∞

∫1 = ‖f‖p∞µ(X).

Si q <∞, aplicando la Proposición 4.2.3 con exponentes conjugados q/p y q/(q− p)

‖f‖pp =

∫|f |p · 1 ≤ ‖|f |p‖q/p‖1‖q/(q−p) = ‖f‖pqµ(X)(q−p)/q

tome raíz p-ésima y concluya.

53

Denición 4.2.2. Sea Ω ⊂ R, no vacío. Una función f se dice localmente integrable

en Ω si f ∈ L1(A) para todo conjunto medible A ⊂ Ω, se nota f ∈ L1loc(Ω).

Corolario 4.2.13. Lp(Ω) ⊂ L1loc(Ω), para 1 ≤ p ≤ ∞ en cualquier Ω ⊂ Rn.

Denición 4.2.3. Sea Ω ⊂ Rn, un conjunto relativamente compacto, esto es, que

su clausura Ω sea compacta.

Si f está denida sobre Ω, el soporte de f es suppf = x ∈ Ω | f(x) 6= 0.Una denición equivalente es la siguiente: Sea Ω ⊂ Rn un abierto y sea f una

función denida en Ω con valores en R. Se considera la familia de todos los abierto

(ωi)i∈I ⊂ Ω, tales que para cada i ∈ I, f = 0 para casi todo punto en ωi.

Haga ω = ∪i∈Iωi, entonces f = 0 casi todo punto en ω y suppf = Ω \ ω.

Denición 4.2.4 (Sub-espacios de Funciones Continuas). Sea Ω ⊂ Rn y α un

multi-índice. Para cada entero no-negativo m, se dene Cm(Ω) como el conjunto de

funciones f tales que con sus derivadas Dαf de orden α ≤ m son continuas en Ω.

De esta manera, se denen: C0(Ω) = C(Ω) y C∞(Ω) = ∩∞m=0Cm(Ω).

Los sub-espacios C0(Ω) y C∞0 (Ω), consisten en todas aquellas funciones de C(Ω) y

C∞(Ω) respectivamente, que poseen soporte compacto en Ω.

Proposición 4.2.14. Del espacio de funciones continuas.

1. El espacio de funciones polinómicas con coecientes racionales hace del espacio

de funciones continuas un espacio separable con la norma ‖·‖∞.

2. (Teorema de Lusin) Sea f medible y f(x) = 0 para x ∈ Ac, donde µ(A) <∞.

Dado ε > 0, entonces existe una función g ∈ C0(A) tal que

supx∈Rn|g(x)| ≤ sup

x∈Rn|f(x)| con µ(x ∈ Rn | f(x) 6= g(x)) < ε.

Proposición 4.2.15. C0(Ω) es denso en Lp(Ω) si 1 ≤ p <∞.

Demostración. Dado ε > 0, f ∈ Lp. Tome s simple tal que ‖s− f‖p < ε/2, además

como en la Proposición 4.2.7, se tiene que el soporte de s debe tener medida nita.

Haga s(x) = 0 para x ∈ Ωc.

Aplicando el Teorema de Lusin, existe φ ∈ C0(Ω) tal que

|φ(x)| ≤ ‖s‖∞, ∀x ∈ Ω

además,

µ(x ∈ Ω | s(x) 6= φ(x)) <(

ε

4‖s‖∞

)p54

Ahora, considere que el conjunto anterior tiene medida nita y que solo en ese

conjunto s 6= φ, se tiene:

‖s− φ‖p ≤ ‖s− φ‖∞(µ(x ∈ Ω | s(x) 6= φ(x)))1/p

< 2‖s‖∞(

ε

4‖s‖∞

)=ε

2

Se sigue que ‖f − φ‖p < ε.

Proposición 4.2.16. Lp(Ω) es separable si 1 ≤ p <∞.

Demostración. Se bosqueja una demostración especíca, vea adicionalmente [14].

Considere la familia de subconjuntos de Ω como sigue:

Ωm =

x ∈ Ω | d(x, ∂Ω) ≥ 1

my ‖x‖ ≤ m

donde ∂Ω es la frontera de Ω, todos éstos son subconjuntos compactos de Ω.

Sea P el conjunto de polinomios con coecientes racionales, y haga Pm = pχΩm|

p ∈ P, luego Pm es denso en C(Ωm) y ∪m∈NPm es contable.

Si f ∈ Lp y ε > 0, existe φ ∈ C0(Ω) tal que ‖f − φ‖p < ε/2.

Dado 1/m < d(supp(φ), ∂Ω), existe p ∈ Pm tal que ‖φ− p‖∞ < (ε/2)(µ(Ωm))−1/p,

como Ωm tienen medida nita:

‖φ− p‖p ≤ ‖φ− p‖∞µ(Ωm)1/p < ε/2

consecuentemente, ‖f − p‖p < ε.

Así, el conjunto contable ∪m∈NPm es denso en Lp(Ω) por tanto Lp(Ω) es separable.

Sucesiones Regularizantes y aproximación por funciones suaves

Sea J una función real valuada no negativa que pertenece a C∞0 (Rn) con propiedades:

1. J(x) = 0, si ‖x‖ ≥ 1,

2.∫Rn J(x) = 1

Puede verse en [14] y [23] que existen funciones de este tipo, por ejemplo:

J(x) =

k exp[−1/(1− ‖x‖2)] , si ‖x‖ < 1

0 , si ‖x‖ ≥ 1

55

donde k > 0, se escoge tal que se satisfaga la segunda condición.

Si ε > 0, la función Jε(x) = ε−nJ(x/ε) es no negativa y pertenece a C∞0 (Rn).

La convolución Jε ∗ u(x) =

∫RnJε(x− y)u(y)dy, se llama una regularización de u,

ver [13], [14], [19], [21] para obtener mayor información.

Proposición 4.2.17. Sea f una función que se anula fuera del dominio Ω.

1. Si u ∈ L1loc(Ω), entonces Jε ∗ u ∈ C∞(Rn).

2. Si supp(u) ⊂ Ω es relativamente compacto entonces Jε ∗u ∈ C∞0 (Ω), haciendo

ε < d(supp(u), ∂Ω).

3. Si u ∈ Lp(Ω) con 1 ≤ p <∞, entonces Jε ∗ u ∈ Lp(Ω); además,

‖Jε ∗ u‖p ≤ ‖u‖p, y lımε→0+

‖Jε ∗ u− u‖p = 0.

4. Si u ∈ C(Ω) y G ⊂ Ω relativamente compacto, entonces lımε→0+ Jε ∗ u(x) =

u(x) uniformemente en G.

5. Si u ∈ C(Ω), entonces lımε→0+ Jε ∗ u(x) = u(x) uniformemente en Ω.

Proposición 4.2.18. C∞0 (Ω) es denso en Lp(Ω), para 1 ≤ p <∞.

Demostración. Sea f ∈ Lp(Ω), como C0(Ω) es denso en Lp, tome φ ∈ C0(Ω) tal que

‖f − φ‖p < δ y la convolución Jε ∗ φ ∈ C∞0 (Ω) que converge uniformemente en Ω,

‖Jε ∗ φ− f‖p ≤ ‖Jε ∗ φ− φ‖p + ‖φ− f‖p,

de donde,

‖Jε ∗ φ− φ‖p ≤ ‖Jε ∗ φ− φ‖∞µ(K)1/p −−−→ε→0+

0,

para K, la suma del soporte de la convolución Jε ∗ φ y el soporte de φ.

De esto, en la primera desigualdad tomando límite cuando ε→ 0+ y como δ > 0 es

arbitrario se obtiene el resultado.

El Espacio Dual de Lp

Sea 1 ≤ p ≤ ∞ y q su exponente conjugado. Entonces para cada g ∈ Lq(Ω) se puede

denir un funcional linealLg en Lp(Ω) como

Lg(u) =

∫Ω

ug, u ∈ Lp(Ω). (4.2)

56

Si se aplica la Desigualdad de Hölder se tiene |Lg(u)| ≤ ‖u‖p‖g‖q y de esto se sigue

que Lg es continua, por tanto, Lg ∈ [Lp(Ω)]′.

Tomando el supremo sobre los u de norma 1, se tiene ‖Lg‖[Lp(Ω)]′ ≤ ‖g‖q.Considere,

u0(x) = |g(x)|q−2g(x), u0(x) = 0 si g(x) = 0.

Note que, u0 ∈ Lp ya que∫Ω

|u0|p =

∫Ω

(|g(x)|q−2|g(x)|

)p=

∫Ω

|g(x)|(q−1)p =

∫Ω

|g(x)|q = ‖g‖qq

de donde,

‖u0‖p = ‖g‖q/pq = ‖g‖q−1q

y

Lg(u0) =

∫Ω

u0g =

∫Ω

(|g(x)|q−2g(x)

)g(x) = ‖g‖qq.

De la denición de norma del funcional L en el espacio dual [Lp(Ω)]′:

‖Lg‖[Lp(Ω)]′ ≥|Lg(u0)|‖u0‖p

= ‖g‖q.

Resulta entonces que ‖Lg‖[Lp(Ω)]′ = ‖g‖q.Por tanto, todo elemento g ∈ Lq dene un funcional L : Lq −→ [Lp]′ como L(g)(f) =

Lg(f) para todo f ∈ Lp y L dene una isometría entre Lq y [Lp]′.

Proposición 4.2.19 (Teorema de Representación de Riesz). Sea 1 < p < ∞, q su

exponente conjugado y sea φ ∈ [Lp]′. Entonces existe u ∈ Lq único tal que

〈φ, f〉 =

∫uf, ∀f ∈ Lp.

Además,

‖u‖q = ‖φ‖[Lp]′ .

Proposición 4.2.20. Sea φ ∈ [L1]′. Entonces existe v ∈ L∞, tal que para todo

u ∈ L1 se tiene:

〈φ, u〉 =

∫uv

y además, ‖v‖∞ = ‖φ‖[L1]′.

A continuación se presenta un resumen sobre las características de los espacios

Lp y sus respectivos espacios duales, tomado de [14].

Sea 1 < p <∞. El espacio Lp es separable, reexivo y su dual es el espacio Lq.

El espacio L1 es separable, no reexivo y su dual es L∞.

El espacio L∞ no es separable, no es reexivo y su espacio dual contiene de

forma estricta a L1.

57

4.3. Espacios de Sobolev Wm,p

Este tipo de espacios está ligado totalmente a la diferenciabilidad de las funciones,

en un sentido denominado débil para lo que se utilizan las funciones de C∞c y que

usualmente se las denominará funciones test.

Denición 4.3.1. Suponga u, v ∈ L1loc(Ω) y α un multi-índice. Se dice que v es la

α-ésima derivada parcial débil de u, notado por Dαu = v, si∫Ω

uDαφ dx = (−1)|α|∫

Ω

vφ dx, ∀φ ∈ C∞c (Ω)

Si existe la derivada débil de una función, ésta es única.

Denición 4.3.2. Sea 1 ≤ p ≤ ∞ y k un entero no negativo.

El espacio de Sobolev W k,p(Ω) consiste de todas las funciones localmente integrables

u : Ω→ R tales que para cada multi-índice α, con |α| ≤ k, Dαu existe en el sentido

débil y pertence a Lp(Ω).

Si no hay peligro de confusión se escribe W k,p en lugar de W k,p(Ω).

Observación. Si p = 2 se escribe Hk(Ω) = W k,2, k = 0, 1, · · · .

Denición 4.3.3. Si u ∈ W k,p(Ω), se dene su norma como

‖u‖Wk,p(Ω) =

∑|α|≤k

∫Ω

|Dαu|pdx

1/p

, 1 ≤ p <∞

‖u‖Wk,∞(Ω) =∑|α|≤k

ess supx∈Ω|Dαu(x)|, p =∞.

Denición 4.3.4. Sea (un)n∈N ⊂ W k,p, u ∈ W k,p. Se dice que (un) converge hacia

u, notado un → u en W k,p si

lımn→∞

‖un − u‖Wk,p = 0.

Observación. W k,p0 es la clausura de C∞c en el espacio W k,p.

Así, u ∈ W k,p0 si y solo si existe una sucesión (un)n∈N ⊂ C∞c tal que un → u.

Se nota Hk0 = W k,2

0 .

Proposición 4.3.1. Para k = 1, 2 · · · , y 1 ≤ p ≤ ∞ el espacio de Sobolev W k,p(Ω)

es un espacio de Banach.

58

Demostración. Solamente se probará la desigualdad triangular de la norma propues-

ta en la Denición 4.3.3 con 1 ≤ p <∞.

Sean u, v ∈ W k,p, de la linealidad de la derivada Dα(u+ v) = Dαu+Dαv, aplicando

la Proposición 4.2.4 y la norma de la suma viene como sigue∑|α|≤k

‖Dαu+Dαv‖pLp

1p

≤

∑|α|≤k

‖Dαu‖pLp

1p

+

∑|α|≤k

‖Dαv‖pLp

1p

.

‖u+ v‖Wk,p ≤ ‖u‖Wk,p + ‖v‖Wk,p

Ahora, sea (un)n∈N una sucesión de Cauchy en W k,p.

Esto es, para |α| ≤ k, la sucesión (Dαun)n∈N es una sucesión de Cauchy en Lp, como

Lp es completo existen funciones uα tales que

Dαun → uα, en Lp.

Luego, se dene u como la función resultante cuyas derivadas débiles son las antes

propuestas. Con esto, je φ ∈ C∞c y se tiene:∫Ω

uDαφdx = lımn→∞

∫Ω

unDαφdx = lım

n→∞(−1)|α|

∫Ω

Dαunφdx = (−1)|α|∫

Ω

Dαuαφdx.

Por tanto, W k,p es un espacio de Banach.

Proposición 4.3.2. Asuma u ∈ W k,p(Ω) para 1 ≤ p < ∞, haga Ωε = x ∈ Ω |d(x, ∂Ω > ε). Considere, uε = ηε ∗ u, en Ωε, entonces

1. uε ∈ C∞(Ωε) para ε > 0

2. uε → u en W k,ploc (Ω), mientras ε→ 0.

Observación. Sean (un)n∈N ⊂ W k,p(Ω), u ∈ W k,p(Ω). Se escribe un → u en

W k,ploc (Ω) cuando un → u en W k,p(U), para U ⊂ Ω relativamente compacto.

Proposición 4.3.3. Sea Ω acotado. Sea 1 ≤ p < ∞ y u ∈ W k,p(Ω). Entonces,

existen funciones um ∈ C∞(Ω) ∩W k,p(Ω) tales que:

um → u, en W k,p(Ω).

Proposición 4.3.4. Sean Ω acotado y ∂Ω es C1. Suponga que u ∈ W k,p(Ω) para

1 ≤ p <∞. Entonces existen funciones um ∈ C∞(Ω) tal que

um → u, en W k,p(Ω).

59

Observación (Notación). Se notará ω ⊂⊂ Ω para decir que ω es un abierto tal que

ω ⊂ Ω y ω es compacto.

Proposición 4.3.5 (Friedrichs). Sea u ∈ W 1,p(Ω) con 1 ≤ p <∞. Entonces, existe

una sucesión (un)n∈N en C∞c (Rn) tal que:

un |Ω→ u en Lp(Ω)

∇un |ω→ ∇u |ω en Lp(ω)n, para todo ω ⊂⊂ Ω

Demostración. Para la prueba de esta proposición tome el Lema siguiente como

verdadero de [14].

Lema 4.3.6. Sea ρ ∈ L1(Rn) y v ∈ W 1,p(Rn) con 1 ≤ p ≤ ∞. Entonces,

ρ ∗ v ∈ W 1,p(Rn),∂

∂xi(ρ ∗ v) = ρ ∗ ∂v

∂xi, i = 1, · · · , n.

Para la prueba de la proposición, note

u(x) =

u(x) , x ∈ Ω

0 , x ∈ Rn \ Ω,

tome ρm una sucesión regularizante y haga vm = ρm ∗ u, consecuencia de esto es quevm ∈ C∞(Rn) y vm → u en Lp(Rn).

Fije ω ⊂⊂ Ω y una función α ∈ C1c (Ω), 0 ≤ α ≤ 1, donde α = 1 en un entorno de

ω, para m sucientemente grande se tiene que

ρm ∗ αu = ρm ∗ u, en ω.

De las propiedades del soporte de la convolución, ver [14], se tiene:

supp(ρm ∗ αu− ρm ∗ u) = supp[ρm ∗ (1− α)u]

⊂ supp(ρm) + supp(1− α)u ⊂ B(0, 1/m) + supp(1− α) ⊂ ωc.

para m sucientemente grande.

Según el Lema 4.3.6 se tiene:

∂

∂xi(ρm ∗ αu) = ρm ∗

(α∂u

∂xi+∂α

∂xiu

),

consecuentemente,

∂

∂xi(ρm ∗ αu)→ α

∂u

∂xi+∂α

∂xiu, en Lp(Rn).

60

En particular,∂

∂xi(ρm ∗ αu)→ ∂u

∂xi, en Lp(Rn)

y de lo anterior, para α = 1

∂

∂xi(ρm ∗ u)→ ∂u

∂xi, en Lp(ω).

Como en [14], haga un = ζnvn, donde un cumple lo deseado.

Además, (ζn) designa una sucesión de truncamiento, esto es, se ja ζ ∈ C∞c (Rn) con

0 ≤ ζ ≤ 1 y se hace ζn(x) = ζ(xn), n = 1, 2, · · · .

Proposición 4.3.7. Sea u ∈ Lp(Ω) con 1 < p ≤ ∞. Las siguientes proposiciones

son equivalentes:

1. u ∈ W 1,p(Ω)

2. Existe una constante C tal que∣∣∣∣∫Ω

u∂φ

∂xi

∣∣∣∣ ≤ C‖φ‖Lq , ∀φ ∈ C∞c (Ω), i = 1, 2, · · · , n.

3. Existe una constante C tal que para todo abierto ω ⊂⊂ Ω y todo h ∈ Rn, con

|h| < d(ω,Ωc) se tiene que:

‖u(·+ h)− u(·)‖Lp(ω) ≤ C|h|.

Se puede tomar C = ‖∇u‖Lp en 2 y 3.

Demostración. Las implicaciones (1 ⇒ 2) y (2 ⇒ 1) son fáciles de mostrar, recu-

rriendo a desigualdades conocidas.

Se va a probar que (1⇒ 3).

Suponga que u ∈ C∞c (Rn) y h ∈ Rn, haga v(t) = u(x+ th), t ∈ R.De donde, v′(t) = h · ∇u(x+ th), entonces

u(x+ h)− u(x) = v(1)− v(0) =

∫ 1

0

v′(t)dt =

∫ 1

0

h · ∇u(x+ th)dt.

Por tanto,

|u(x+ h)− u(x)|p ≤ |h|p∫ 1

0

|∇u(x+ th)|pdt,

y ∫ω

|u(x+ h)− u(x)|p ≤ |h|p∫ 1

0

dt

∫ω+th

|∇u(y)|pdy.

61

Fijando |h| < d(ω,Ωc), existe una abierto ω′ ⊂⊂ Ω tal que ω + th ⊂ ω′ para todo

t ∈ [0, 1], esto es:

‖u(·+ h)− u(·)‖Lp(ω) ≤ |h|p

∫ω′|∇u|p.

Para u ∈ W 1,p(Ω) existe una sucesión (un)n∈N de C∞c (Rn) tal que un → u en Lp(Ω)

y ∇un → ∇u en Lp(Ω), para todo ω ⊂⊂ Ω.

Aplicando esto a cada un se obtiene en el límite lo deseado.

Ahora, mostremos (3⇒ 2).

Sean φ ∈ C∞c (Ω), tome ω tal que supp(φ) ⊂ ω ⊂⊂ Ω, h ∈ Rn con |h| < d(ω,Ωc),∣∣∣∣∫Ω

(u(x+ h)− u(x))φ(x)dx

∣∣∣∣ ≤ C|h|‖φ‖Lq

Por otra parte,∫Ω

(u(x+ h)− u(x))φ(x)dx =

∫Ω

u(y)(φ(y − h)− φ(y))dy,

resulta que, ∣∣∣∣∫Ω

u(y)φ(y − h)− φ(y)

|h|dy

∣∣∣∣ ≤ C‖φ‖Lq ,

elija h = tei, t ∈ R y pasando al límite cuando t→ 0, se obtiene (2).

Proposición 4.3.8. Sea 1 ≤ p ≤ ∞ y Ω ⊂ Rn un abierto de clase C1 con frontera

Γ acotada. Se verica, si

1 ≤ p ≤ N entonces W 1,p(Ω) ⊂ Lp∗(Ω), 1

p∗= 1

p− 1

N.

p = N entonces W 1,p(Ω) ⊂ Lq(Ω), ∀q ∈ [p,∞.

p > N entonces W 1,p(Ω) ⊂ L∞(Ω).

Proposición 4.3.9. Suponga Ω acotado de clase C1. Si

p < N entonces W 1,p(Ω) ⊂ Lq(Ω), ∀q ∈ [1, p∗[ donde 1p∗

= 1p− 1

N.

p = N entonces W 1,p(Ω) ⊂ Lq(Ω), ∀q ∈ [1,∞[.

p > N entonces W 1,p(Ω) ⊂ C(Ω).

con inyecciones compactas.

Proposición 4.3.10. Sean 1 ≤ p <∞, u ∈ W 1,p(Ω) con supp(u) compacto incluido

en Ω entonces u ∈ W 1,p0 (Ω).

62

Demostración. Fije ω abierto, tal que supp(u) ⊂ ω ⊂⊂ Ω, elija α ∈ C1c (ω) tal

que α = 1 sobre supp(u), así αu = u. Por el Teorema de Friedrichs, existe una

sucesión (un)n∈N en C∞c (Rn) tal que un → u en Lp(Ω) y ∇un → ∇u en Lp(ω)n. Por

consiguiente, αun → αu en W 1,p(Ω) y αu ∈ W 1,p0 (Ω).

De donde, resulta que u ∈ W 1,p0 (Ω).

Proposición 4.3.11 (Desigualdad de Poincaré). Suponga Ω abierto acotado. En-

tonces existe una constante C, dependiente de Ω y p, tal que

‖u‖Lp ≤ C‖∇u‖Lp

Denición 4.3.5. Se denota por H−1(Ω) el espacio dual de H10 (Ω).

Si f ∈ H−1(Ω), se dene ‖f‖H−1 = sup〈f, u〉 | u ∈ H10 , ‖u‖H1

0≤ 1.

Espacios que involucran el tiempo

Para esto se designa X un espacio real de Banach con norma ‖·‖.

Denición 4.3.6. El espacio Lp(0, T ;X) consiste en las funciones medibles u :

[0, T ]→ X, tales que para

1 ≤ p <∞, ‖u‖Lp(0,T ;X) =

(∫ T

0

‖u(t)‖pdt)1/p

<∞.

p =∞, ‖u‖L∞(0,T ;X) = ess sup0≤t≤T

‖u(t)‖ <∞.

Denición 4.3.7. El espacio C([0, T ];X) comprende todas las funciones continuas

u : [0, T ]→ X con ‖u‖C([0,T ];X) = max0≤t≤T

‖u(t)‖ <∞.

Denición 4.3.8. Sea u ∈ L1(0, T ;X). Decimos que v ∈ L1(0, T ;X) es la derivada

débil de u, escrito u′ = v, si∫ T

0

φ′(t)u(t)dt = −∫ T

0

φ(t)v(t)dt, ∀φ ∈ C∞c (0, T ).

Denición 4.3.9. El espacio de Sobolev W 1,p(0, T ;X) es el de todas las funcio-

nes u ∈ Lp(0, T ;X) tal que u′ existe en el sentido débil y pertenece a Lp(0, T ;X).

Además,

1 ≤ p <∞

‖u‖W 1,p(0,T ;X) =

(∫ T

0

‖u(t)‖p + ‖u′(t)‖pdt)1/p

63

p =∞‖u‖W 1,∞(0,T ;X) = ess sup

0≤t≤T(‖u(t)‖ + ‖u′(t)‖).

Además, se nota H1(0, T ;X) = W 1,2(0, T ;X).

Proposición 4.3.12. Sea u ∈ W 1,p(0, T ;X) para 1 ≤ p ≤ ∞. Entonces,

1. u ∈ C([0, T ];X).

2. u(t) = u(s) +

∫ t

s

u′(τ)dτ para 0 ≤ s ≤ t ≤ T.

3. Se tiene el estimado siguiente, donde C solamente depende de T :

max0≤t≤T

‖u(t)‖ ≤ C‖u‖W 1,p(0,T ;X).

Demostración. Extienda u como 0 en (−∞, 0) y (T,∞), haga uε = ηε ∗ u, donde ηεdenota una sucesión regularizante en R, ahora (uε)′ = ηε ∗u′ en (ε, T − ε). Entonces,si se hace ε→ 0, se tiene

uε → u, en Lp(0, T ;X)

(uε)′ → u′, en Lploc(0, T ;X).

Fijando 0 < s < t < T , se tiene

uε(t) = uε(s) +

∫ t

s

(uε)′(τ)dτ

Esto es para casi todo punto 0 < s < t < T

u(t) = u(s) +

∫ t

s

u′(τ)dτ.

Como la función t→∫ t

0u′(τ)dτ es continua, se obtienen las armaciones (1) y (2).

Proposición 4.3.13. Suponga u ∈ L2(0, T ;H10 (Ω)) con u′ ∈ L2(0, T ;H−1).

Entonces,

1. u ∈ C([0, T ];L2(Ω)).

2. La aplicación t→ ‖u(t)‖2L2(Ω) es absolutamente continua, con

d

dt‖u(t)‖2

L2(Ω) = 2 〈u′(t), u(t)〉 casi todo punto 0 ≤ t ≤ T.

3. Se tiene el estimado siguiente, donde C depende solamente de T :

max0≤t≤T

‖u(t)‖L2(Ω) ≤ C(‖u‖L2(0,T ;H10 (Ω)) + ‖u′‖L2(0,T ;H−1(Ω))).

64

Capítulo 5

LA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Se presenta a continuación una ecuación diferencial cuasi-lineal elíptico parabó-

lica, ésta abarca algunas ecuaciones especícas que describen problemas físicos tales

como el ujo de un uído a través de un medio poroso.

Este problema se describe como sigue, donde Ω ⊂ Rn es un abierto acotado, de

frontera ∂Ω, donde Γ ⊂ ∂Ω:∂tb(u)−∇ · a(b(u),∇u) = f(b(u)) , (0, T )× Ω

b(u) = b0 , 0 × Ω

u = uD , (0, T )× Γ

a(b(u),∇u) · v = 0 , (0, T )× (∂Ω \ Γ)

(5.1)

El esquema sobre lo que se hará en este capítulo es el siguiente:

1. Se presentan los supuestos requeridos para encontrar una solución a este pro-

blema.

2. Usando el método de Galerkin se propone encontrar una solución a esta ecua-

ción diferencial.

3. Estudiar la regularidad y unicidad de la solución encontrada .

Para esto, se hará uso de las deniciones, proposiciones y demás teoría expuesta

en los capítulos presentados previamente.

5.1. Consideraciones Iniciales

Denición 5.1.1. Sea b : R −→ R una función lineal creciente tal que b(0) = 0,

por tanto, existe una función convexa φ : R −→ R con b =dφ

dt= φ′.

65

Se dene,

Ψ(z) = supσ∈R

∫ 1

0

(z − b(sσ))σds

= supσ∈R

(zσ − φ(σ) + φ(0))

Considere ahora la siguiente función γ(σ) = b(z)σ − φ(σ) + φ(0).

Como φ es una función convexa se asegura la existencia de un supremo, ahora del

cálculo se sigue que:

0 = γ′(σ) = b(z)− φ′(σ)

y de la monotonía de b se tiene que γ(σ) alcanza su supremo para σ = z.

Con esto, dena B:

B(z) = Ψ(b(z)) = b(z)z − φ(z) + φ(0)

= b(z)z − b(z)0z − φ(z) + φ(0z)

=

∫ 1

0

(b(z)− b(sz))zds

=1

zz

∫ 1z

0z

(b(z)− b

(szz

))ds

B(z) =

∫ z

0

(b(z)− b(s))ds.

Entonces, se dice que B es la conjugada de la primitiva de la función b, ver [24].

Proposición 5.1.1. Sean x 6= y ∈ R, entonces B(x)−B(y) ≥ (b(x)− b(y))y.

Demostración. Analizando la integral:∫ y

x

b(s)ds, posee una cota inferior b(x)(y−x)

pues la función b es lineal creciente, para cualquier x, y ∈ R:

Si x<y, se integra sobre el intervalo (x, y), de la continuidad y monotonía de

b se sigue: ∫ y

x

b(s)ds ≥∫ y

x

[ınf

s∈[x,y]b(s)

]ds = b(x)(y − x)

Si x > y, de un argumento similar,∫ y

x

b(s)ds = −∫ x

y

b(s)ds ≥ b(x)(y − x).

66

Ahora,

B(x)−B(y) =

∫ x

0

(b(x)− b(s))ds−∫ y

0

(b(y)− b(s))ds

= xb(x)− yb(y)−∫ x

0

b(s)ds+

∫ y

0

b(s)ds

= (xb(x)− yb(y)) +

∫ y

x

b(s)ds

≥ (xb(x)− yb(y)) + b(x)(y − x)

= yb(x)− yb(y) = (b(x)− b(y))y.

Consecuentemente, B(x)−B(y) ≥ (b(x)− b(y))y.

Proposición 5.1.2. Sean b y B denidas como antes, δ > 0. Entonces,

|b(z)| ≤ δB(z) + sup|σ|≤ 1

δ

|b(σ)|.

Demostración. Considere σ tenga la forma σ =1

δ|b(z)|b(z), esto es tomando σ sobre

la esfera unitaria de radio 1/δ, se sigue:

B(z) ≥∫ 1

0

(b(z)− b(sσ))σds = b(z)σ −∫ 1

0

b(sσ)σds

= b(z)

(1

δ|b(z)|b(z)

)−∫ σ

0

b(s)ds

≥ b(z)

(1

δ|b(z)|b(z)

)−∫ σ

0

|b(s)|ds

≥ |b(z)|δ− 1

δ

(sup

s∈[−σ,σ]

|b(s)|

)=

1

δ

(|b(z)| − sup

|s|≤ 1δ

|b(s)|

)De donde,

|b(z)| ≤ δB(z) + sup|s|≤ 1

δ

|b(s)|.

5.1.1. Supuestos

Se presentan a continuación las hipótesis que se tomarán como necesarias.

67

1. Se dota a Rn de la medida de Lebesgue, el conjunto Ω ⊂ Rn es abierto y

acotado, su frontera es Lipschitz Γ ⊂ ∂Ω y 0 < T <∞.

2. La función b : R→ R es lineal creciente, con b(0) = 0.

3. La aplicación a : R×Rn −→ R es un campo vectorial y a(b(z), p) es continua

para z y p. Además, a es elíptica en el sentido

(a(x, p1)− a(x, p2)) · (p1 − p2) ≥ |p1 − p2|2.

La función f(b(z)) es continua en z.

Las funciones a(b(·),∇(·)) y f(b(·)) pertenecen a L2((0, T )× Ω).

4. Las funciones a y f satisfacen la condición de crecimiento

|a(b(z), p)|+ |f(b(z))| ≤ c(1 +B(z)1/2 + |p|).

o su equivalente usando convexidad de la potencia:

|a(b(z), p)|2 + |f(b(z))|2 ≤ C(1 +B(z) + |p|2).

5.1.2. Condición Inicial y de Frontera

Se presentan las consideraciones que se tomarán en cuenta para el uso de los

espacios de funciones que se expusieron previamente.

Proposición 5.1.3. La intersección de los espacios vectoriales L2(0, T ;H1(Ω)) y

L∞((0, T )× Ω) es no vacía.

Demostración. Tome la función h(t, x1, · · · , xn) = sen(x1tπ)+ · · ·+sen(xntπ). Pues-

to que el rango de la función seno es acotado, se tiene

sup(x1,··· ,xn,t)∈(Ω×(0,T ))

|h(x1, · · · , xn, t)| ≤ n (5.2)

por tanto, h pertenece a L∞((0, T )× Ω).

Además, por ser continua diferenciable pertenece a H1(Ω) para cualquier t ∈ (0, T ).

Para t ∈ (0, T ) jo se tiene la desigualdad (5.2), que equivale ‖h(·, t)‖L∞(Ω) ≤ n.

Note, ∫Ω

|h(·, t)|2 ≤∫

Ω

‖h(·, t)‖2L∞Ω ≤ nµ(Ω)∫

Ω

|∂ih(·, t)|2 =

∫Ω

t2π2|cosxitπ|2 ≤ t2π2µ(Ω)

68

De esto,

‖h(·, t)‖2H1(Ω) ≤ nµ(Ω)(1 + t2π2),

como la función t→ 1+t2π2 es integrable sobre (0, T ), se tiene que h ∈ L2(0, T ;H1(Ω)).

Esto muestra que h ∈ [L2(0, T ;H1(Ω)) ∩ L∞((0, T )× Ω)].

Proposición 5.1.4. Sean Ω ⊂ Rn, Γ ⊂ ∂Ω como en el supuesto 1, y haga V =

v ∈ H1(Ω) | v = 0 en Γ. Entonces, V es un subespacio cerrado de H1(Ω).

Demostración. Sean f, g ∈ V , x ∈ Γ, α ∈ R se tiene:

(f + αg)(x) = f(x) + αg(x) = 0

de esto, V es un sub-espacio vectorial de H1(Ω).

Considere u ∈ V , entonces existe (un)n∈N tal que un → u en norma H1(Ω).

Esto es,

‖un − u‖H1(Ω) −−−→n→∞0,

que implica,

‖un − u‖L2(Ω) −−−→n→∞0.

Tome x ∈ Γ jo y arbitrario.

Se sabe que existe una sucesión parcial de (un)n∈N que converge puntualmente casi

todo punto hacia u, de donde se concluye que u(x) = 0.

Por tanto, u ∈ V , esto indica que V es un subespacio cerrado.

Se escriben a continuación las condiciones inicial y de frontera:

1. Sea uD ∈ [L2(0, T ;H1(Ω)) ∩ L∞((0, T )× Ω)].

2. Asuma Ψ(b0) ∈ L1(Ω) y que b0 cae en el rango de b. Por tanto, existe una

función medible u0 tal que b0 = b(u0).

5.1.3. Solución Débil

Proposición 5.1.5. Suponga b(u) ∈ L∞(0, T ;L1(Ω)), ∂tb(u) ∈ L2(0, T ;V ′) y to-

me funciones de prueba ζ ∈ L2(0, T ;V ) con ∂tζ ∈ L1(0, T ;L∞(Ω)) y ζ(T ) = 0.

Entonces, ∫ T

0

∫Ω

(∂tb(u))ζ =

∫ T

0

∫Ω

(b0 − b(u))∂tζ

69

Demostración. Vea inicialmente que, como ∂tb(u) ∈ V ′ para t ∈ (0, T ) jo

∫Ω

[∂tb(u)]ζ ≤ ‖ζ‖V ‖∂tb(u(t, ·))‖V ′ , ζ ∈ V

integrando esta desigualdad sobre (0, T ) y aplicando la Proposición 4.2.3

∫ T

0

∫Ω

[∂tb(u)]ζ ≤∫ T

0

‖ζ‖V ‖∂tb(u(t, ·))‖V ′

≤(∫ T

0

‖ζ‖2V

)1/2(∫ T

0

‖∂tb(u)‖2V ′

)1/2

,

que indica aplicando el Teorema de Tonelli, Proposición 4.1.13, que el producto

[∂tb(u)]ζ es L1((0, T )× Ω).

De igual forma, note que

∫ T

0

∫Ω

b(u)∂tζ ≤∫ T

0

([supx∈Ω|∂tζ|

] ∫Ω

|b(u)|)

≤∫ T

0

[supx∈Ω|∂tζ|

][supt∈(0,T )

∫Ω

|b(u)|

]

=

[supt∈(0,T )

∫Ω

|b(u)|

]∫ T

0

[supx∈Ω|∂tζ|

],

lo que como antes, aplicando el Teorema de Tonelli-Proposición 4.1.13, indica que

el producto b(u)∂tζ pertenece a L1((0, T )× Ω).

Puesto que, [∂tb(u)]ζ y b(u)∂tζ pertenecen a L1((0, T )×Ω), con ayuda del Teorema

de Fubini, Proposición 4.1.13, se puede conceptualizar el siguiente argumento:

De la derivada del producto e integrando sobre (0, T ),

∫ T

0

∂t(b(u)ζ) =

∫ T

0

(∂tb(u))ζ +

∫ T

0

b(u)(∂tζ), (5.3)

70

aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo junto con ζ(T ) = 0 y b0 = b(u(0)):∫ T

0

(∂tb(u))ζ = b(u)ζ |T0 −∫ T

0

b(u)(∂tζ)

= b(u(T ))ζ(T )− b(u(0))ζ(0)−∫ T

0

b(u)(∂tζ)

= b0(0− ζ(0))−∫ T

0

b(u)(∂tζ)

=

∫ T

0

b0∂tζ −∫ T

0

b(u)(∂tζ).

Donde, la identidad anterior se puede escribir como:∫ T

0

(∂tb(u))ζ =

∫ T

0

(b0 − b(u))∂tζ (5.4)

Ahora, como en (5.3), de la derivada de un producto e integrando primero sobre el

dominio Ω y después sobre el tiempo (0, T ), se tiene la ecuación∫ T

0

∫Ω

∂t[b(u)ζ] =

∫ T

0

∫Ω

[∂tb(u)]ζ +

∫ T

0

∫Ω

b(u)∂tζ,

en la que se puede aplicar el Teorema de Fubini y se tiene:∫Ω

∫ T

0

[∂tb(u)]ζ =

∫Ω

∫ T

0

∂t[b(u)ζ]−∫

Ω

∫ T

0

b(u)∂tζ∫Ω

∫ T

0

[∂tb(u)]ζ =

∫Ω

(∫ T

0

∂t[b(u)ζ]−∫ T

0

b(u)∂tζ

)lo que resulta aplicando el proceso para obtener (5.4), en la derecha:∫

Ω

∫ T

0

[∂tb(u)]ζ =

∫Ω

∫ T

0

(b0 − b(u))∂tζ

nuevamente aplicando la Proposición 4.1.13, se sigue el resultado deseado∫ T

0

∫Ω

[∂tb(u))ζ] =

∫ T

0

∫Ω

(b0 − b(u))∂tζ.

Proposición 5.1.6 (Formulación Débil). La formulación débil de la ecuación (5.1),

consiste en hallar u ∈[uD + L2(0, T ;V )

]tal que:∫ T

0

∫Ω

(∂tb(u))ζ +

∫ T

0

∫Ω

a(b(u),∇u) · ∇ζ =

∫ T

0

∫Ω

f(b(u))ζ.

Para toda función test ζ ∈ L2(0, T ;V ).

71

Demostración. Considere la ecuación diferencial (5.1), donde multiplicando por una

función test ζt(x) = ζ(t, x) ∈ V e integrando sobre Ω∫Ω

(∂tb(u))ζt −∫

Ω

[∇ · a(b(u),∇u)]ζt =

∫Ω

f(b(u))ζt. (5.5)

Note, de la derivada de un producto entre un campo vectorial por una función

escalar, se tiene:∫Ω

∇ · [a(b(u),∇u)ζt] =

∫Ω

[∇ · a(b(u),∇u)]ζt +

∫Ω

a(b(u),∇u) · ∇ζt

∫Ω

[∇ · a(b(u),∇u)]ζt =

∫Ω

∇ · [a(b(u),∇u)ζt]−∫

Ω

a(b(u),∇u) · ∇ζt

de donde, aplicando el Teorema de la Divergencia de Gauss junto con ζt ∈ V y la

condición de frontera de (5.1), se tiene:∫Ω

∇ · [a(b(u),∇u)ζt] =

∫∂Ω

a(b(u),∇u)ζt · ~N dΩ

=

∫Γ

a(b(u),∇u)ζt · ~N dΓ +

∫∂Ω\Γ

a(b(u),∇u)ζt · ~N d(∂Ω \ Γ)

con lo que se tiene que,∫

Ω

∇ · [a(b(u),∇u)ζt] = 0 y reemplazando esto en la ecuación

de la derivada de un producto,∫Ω

[∇ · a(b(u),∇u)]ζt = −∫

Ω

a(b(u),∇u) · ∇ζt. (5.6)

Usando el resultado (5.6) en la ecuación (5.5), se tiene∫Ω

(∂tb(u))ζt +

∫Ω

a(b(u),∇u) · ∇ζt =

∫Ω

f(b(u))ζt,

integrando esta ecución sobre (0, T )∫ T

0

∫Ω

(∂tb(u))ζ +

∫ T

0

∫Ω

a(b(u),∇u) · ∇ζ =

∫ T

0

∫Ω

f(b(u))ζ.

para toda función test ζ ∈ L2(0, T ;V ).

72

Observación. Si u pertenece a L2(0, T ;V ) se tiene que u(t, ·) ∈ V , para t ∈ (0, T )

jo. Luego, u+uD cumple la condición de frontera, pues (u+uD)(x) = u(x)+uD(x) =

uD(x) para x ∈ Γ.

Denición 5.1.2 (Solución Débil). Tome en consideración las condiciones inicial

y de frontera. Se llama u ∈ [uD + L2(0, T ;V )] solución débil del problema (5.1) si

cumple las siguientes condiciones:

1. b(u) ∈ L∞(0, T ;L1(Ω)) y ∂tb(u) ∈ L2(0, T ;V ′) con valor inicial b0, así,∫ T

0

∫Ω

∂t(b(u))ζ +

∫ T

0

∫Ω

(b(u)− b0)∂tζ = 0

para toda función test ζ ∈ L2(0, T ;V ) ∩W 1,1(0, T ;L∞(Ω)) con ζ(T ) = 0.

2. a(b(u),∇u), f(b(u)) ∈ L2((0, T )× Ω) y u satisfacec la ecuación diferencial:∫ T

0

∫Ω

(∂tb(u))ζ +

∫ T

0

∫Ω

a(b(u),∇u) · ∇ζ =

∫ T

0

∫Ω

f(b(u))ζ

para toda ζ ∈ L2(0, T ;V ).

5.2. Existencia de Solución

Observación (Cociente de Diferencias). La denición de la derivada de una función

real indica que, la derivada es un límite en la que se hace cada vez más pequeño el

paso. Considere la función b(u) denida sobre (0, T )×Ω, entonces su derivada parcial

respecto de t, suponiendo que exista, viene dada por:

∂tb(u) = lımh→0

b(u(t+ h))− b(u(t))

h

se toma entonces la siguiente convención para la notación de los cocientes de dife-

rencias, ver [13]

∂ht b(u) =b(u(t+ h))− b(u(t))

h,

∂−ht b(u) =b(u(t))− b(u(t− h))

h.

Observación (Primitiva como Integral). Considere f una función real integrable

sobre (a, b), entonces se dene F (t) =

∫ t

a

f(x)dx. El primer Teorema Fundamental

de Cálculo presenta la relación

d

dtF (t) = F ′(t) = f(t).

73

Se tiene entonces que F es derivable, usando la denición de derivada

F ′(t) = lımh→0

F (t)− F (t− h)

h= lım

h→0

1

h

[∫ t

a

f(x)dx−∫ t−h

a

f(x)dx

]donde, se tiene

f(t) = lımh→0

1

h

∫ t

t−hf(x)dx.

Lema 5.2.1. Suponga se satisfacen las condiciones inicial y de frontera, con ∂tuD ∈

L1(0, T ;L1(Ω)). Si u ∈ uD + L2(0, T ;V ) satisface la primera condición de solución

débil, Denición 5.1.2, entonces

B(u) ∈ L∞(0, T ;L1(Ω)),

y para casi todo punto t se mantiene lo siguiente:∫Ω

B(u(t))−∫

Ω

B(u0) =

∫ t

0

∫Ω

∂tb(u)(u− uD)−

∫ t

0

∫Ω

(b(u)− b(u0))∂tuD +

∫Ω

(b(u(t))− b(u0))uD

Demostración. De la Proposición 5.1.1, relación entre b y B, se tiene para casi todo

t > 0. Analizando alrededor de u(h):

B(u(t))−B(u(t− h)) ≤ (b(u(t))− b(u(t− h)))u(t) (5.7)

y para t > h

B(u(t))−B(u(t− h)) ≥ (b(u(t))− b(u(t− h)))u(t− h) (5.8)

Se tiene que u(t) = u0 cuando −h < t < 0, por tanto, b(u(t− h)) = b(u0) si t < h.

Para poder integrar la desigualdad (5.7) sobre Ω, la multiplicamos por la función

λε(t) = mın

(1,

1

ε|u(t)|

).

Donde, si ε|u(t)| ≤ 1, se sigue:

(b(u(t))− b(u(t− h)))u(t)λε(t) = (b(u(t))− b(u(t− h)))u(t)

≤ (b(u(t))− b(u(t− h)))1

ε∈ L1(Ω)

74

y si ε|u(t)| > 1,

(b(u(t))− b(u(t− h)))u(t)λε(t) = (b(u(t))− b(u(t− h)))u(t)1

ε|u(t)|

≤ (b(u(t))− b(u(t− h)))1

ε∈ L1(Ω)

donde el producto es integrable pues está acotada superiormente por una función

que pertenece al espacio vectorial L1(Ω).

Multiplicando la desigualdad (5.7) por λε(t) e integrando sobre Ω se sigue:∫Ω

λε(t)[B(u(t))−B(u(t− h))] ≤∫

Ω

[b(u(t))− b(u(t− h))]u(t)λε(t)

=

∫Ω

[b(u(t))− b(u(t− h))][u(t)λε(t)− uD(t) + uD(t)]

=

∫Ω

[b(u(t))− b(u(t− h))][u(t)λε(t)− uD(t)]

+

∫Ω

[b(u(t))− b(u(t− h))][uD(t)]

(5.9)

Tomando ε = 1/n, con n ∈ N se tiene una sucesión de funciones, lo que indica que

al multiplicar λε por otra función, se tiene una convergencia casi todo punto,

[b(u(t))− b(u(t− h))](λεu− uD)(t) −−→ε→0

[b(u(t))− b(u(t− h))](u− uD)(t)

consecuentemente,∫Ω

[b(u(t))− b(u(t− h))](λεu− uD)(t) −−→ε→0

∫Ω

[b(u(t))− b(u(t− h))](u− uD)(t).

Ahora, en la desigualdad (5.9) considere primero que u(t − h) = u0 y después

haciendo ε −→ 0, seguido a esto, multiplicar por 1/h e integrar t de 0 a τ ,

1

h

∫ τ

0

∫Ω

[B(u))−B(u0)] ≤∫ τ

0

∫Ω

∂−ht b(u)(u− uD) +

∫ τ

0

∫Ω

∂−ht b(u)uD.

De donde, para la integral del lado izquierdo

1

h

∫ τ

0

∫Ω

[B(u))−B(u0)] =1

h

∫ τ−h

0

∫Ω

[B(u))−B(u0)]

+1

h

∫ τ

τ−h

∫Ω

[B(u))−B(u0)]

1

h

∫ τ

0

∫Ω

[B(u))−B(u0)] ≥ 1

h

∫ τ

τ−h

∫Ω

[B(u))−B(u0)]

75

y para la segunda integral del lado derecho, aplicando la primera condición de solu-

ción débil a uD y haciendo T como τ − h:∫ τ

0

∫Ω

∂−ht b(u)uD =

∫ τ−h

0

∫Ω

∂−ht b(u)uD +1

h

∫ τ

τ−h

∫Ω

[b(u)− b(u0)]uD

= −∫ τ−h

0

∫Ω

[b(u)− b(u0)]∂ht uD +

1

h

∫ τ

τ−h

∫Ω

[b(u)− b(u0)]uD

Entonces,

1

h

∫ τ

τ−h

∫Ω

[B(u))−B(u0)] ≤∫ τ

0

∫Ω

∂−ht b(u)(u− uD)

−∫ τ−h

0

∫Ω

[b(u)− b(u0)]∂ht uD +

1

h

∫ τ

τ−h

∫Ω

[b(u)− b(u0)]uD.

(5.10)

Tomando límite cuando h→ 0 se tiene para casi todo punto τ :∫Ω

[B(u(τ)))−B(u0)] ≤∫ τ

0

∫Ω

∂tb(u)(u− uD)

−∫ τ

0

∫Ω

[b(u)− b(u0)]∂tuD +

∫Ω

[b(u(τ))− b(u0)]uD.

(5.11)

De la manera similar, para la desigualdad (5.8) se tiene t > h y multiplicando por

la función λε(t− h) para integrar sobre Ω,∫Ω

λε(t− h)[B(u(t))−B(u(t− h))] ≥∫

Ω

[b(u(t))− b(u(t− h))]u(t− h)λε(t),

como antes tomando límite cuando ε → 0, multiplicando la desigualdad por 1/h e

integrando t de h a τ :

1

h

∫ τ

h

∫Ω

[B(u(t))−B(u(t− h))] ≥∫ τ

h

∫Ω

[b(u(t))− b(u(t− h))][u(t− h)− uD]

+1

h

∫ τ

h

∫Ω

[b(u(t))− b(u(t− h))]uD.

Lo que implica, haciendo uso de las propiedades de la Integral,

1

h

∫ τ

τ−h

∫Ω

B(u)− 1

h

∫ h

0

∫Ω

B(u) ≥∫ τ−h

0

∫Ω

∂ht b(u)[u− uD]

−∫ τ

h

∫Ω

[b(u)− b(u0)]∂−ht uD +1

h

∫ τ

τ−h

∫Ω

[b(u)− b(u0)]uD−1

h

∫ h

0

∫Ω

[b(u)− b(u0)]uD

(5.12)

76

Para la segunda integral del lado izquierdo, vea que

−1

h

∫ h

0

∫Ω

B(u) = −1

h

∫ h

0

∫Ω

[(B(u)−B(u0)) +B(u0)]

= −1

h

∫ h

0

∫Ω

B(u0)− 1

h

∫ h

0

∫Ω

[B(u)−B(u0)]

usando esto en la desigualdad (5.12) y tomando límite cuando h→ 0:∫Ω

B(u(τ))−∫

Ω

B(u0) ≥∫ τ

0

∫Ω

∂tb(u)(u− uD)

−∫ τ

0

∫Ω

[b(u)− b(u0)]∂tuD +

∫Ω

[b(u(τ))− b(u0)]uD

+ lımh→0

1

h

∫ h

0

∫Ω

[B(u)−B(u0)− (b(u)− b(u0))uD]

(5.13)

Finalmente, uniendo las desigualdades (5.11) y (5.13) se obtiene lo que se desea, pero

antes se debe mostrar que el último límite en la desigualdad (5.13) es no negativo.

Para esto, considere el razonamiento siguiente: Si se tiene que [DR + ε] ≤ A y

A ≤ DR, donde si ε < 0, equivale a DR − (−ε) ≤ A, consecuencia de esto es que

DR pasa a ser solamente un supremo para A. Entonces, se requiere que ε > 0.

Para terminar la prueba del Lema, considere la función siguiente con R > 0,

BR(u0) = sup|σ|≤R

∫ σ

0

(b(u0)− b(s))ds,

la que es creciente para R, esto es, si R < S se tiene que BR(u0) ≤ BR(u0).

De la Dención 5.1.1, la función∫ σ

0

(b(u0)− b(s))ds tiene su supremo para σ = u0.

Consecuencia de esto es que BR(u0) es acotado superiormente,

sup|σ|≤R

∫ σ

0

(b(u0)− b(s))ds ≤ B(u0).

Fijando x ∈ Ω y se hace R → ∞ entonces BR(u0) → B(u0) puntualmente en Ω.

Como B(u0) ∈ L1(Ω), se tiene que BR(u0) ∈ L1(Ω).

Aplicando Convergencia Dominada se concluye que BR(u0)→ B(u0) en L1(Ω).

Se busca hacer acotaciones inferiores tales que para en el límite sean no negativas.

Para esto, se sabe que las funciones simples son densas en L1(Ω), entonces es posible

encontrar funciones vR ∈ L∞(Ω) tal que∥∥b(u0)− vR∥∥L1(Ω)

≤ 1

R2(5.14)

77

y funciones uR(t) ∈ L∞(Ω), Proposición 4.2.18, tal que la diferencia (uR − uD) ∈C∞0 (Ω) con |uR| ≤ R y que cumplan∥∥∥∥∥ sup

|σ|≤R

∫ σ

0

(vR − b(s))ds−∫ uR(t)

0

(vR − b(s))ds

∥∥∥∥∥L1(Ω)

<1

R. (5.15)

Considere el siguiente desarrollo,∫ σ

0

(b(u0)− b(s))ds =

∫ σ

0

(b(u0)− vR)ds+

∫ σ

0

(vR − b(s))ds

= (b(u0)− vR)σ +

∫ σ

0

(vR − b(s))ds

de donde, tomando supremo sobre |σ| ≤ R se sigue

BR(u0) ≤ (b(u0)− vR)R + sup|σ|≤R

∫ σ

0

(vR − b(s))ds

+

∫ uR(t)

0


0

(vR − b(s))ds,

entonces,

B(u(t))−BR(u0) ≥∫ uR(t)

0

(b(u(t))− b(s))ds−∫ uR(t)

0

(vR − b(s))ds

−(b(u0)− vR)R−

[sup|σ|≤R

∫ σ

0

(vR − b(s))ds −∫ uR(t)

0

(vR − b(s))ds

]integrando sobre Ω y aplicando (5.14), (5.15):∫

Ω

B(u(t))−BR(u0) ≥∫

Ω

(∫ uR(t)

0

(b(u(t))− b(s))ds−∫ uR(t)

0

(vR − b(s))ds

)

−R(∫

Ω

(b(u0)− vR)

)−∫

Ω

(sup|σ|≤R

∫ σ

0


0

(vR − b(s))ds

)

≥∫

Ω

∫ uR(t)

0

(b(u(t))− vR)ds−R 1

R2− 1

R

esto es, ∫Ω

B(u(t))−BR(u0) ≥∫

Ω

(b(u(t))− vR)uR(t)− 2

R

=

∫Ω

(b(u(t))− b(u0))uR(t) +

∫Ω

(b(u0)− vR)uR(t)− 2

R.

78

En el lado derecho de lo anterior, aplicando la desigualdad de Hölder a las funciones

(b(u0)− vR) ∈ L1 y uR ∈ L∞, junto con lo impuesto a∥∥b(u0)− vR

∥∥L1 , |uR| se tiene:

≥∫

Ω

(b(u(t))− b(u0))uR(t)−∥∥b(u0)− vR

∥∥L1‖uR‖L∞ −

2

3.

Consecuentemente,∫Ω

B(u(t))−BR(u0) ≥∫

Ω

(b(u(t))− b(u0))uR(t)− 3

R

Así, en el límite cuando R→∞∫Ω

B(u(t))−B(u0)←∫

Ω

B(u(t))−BR(u0) ≥∫

Ω

(b(u(t))− b(u0))uR(t)

De esta manera,

lım suph→0

1

h

∫ h

0

∫Ω

[B(u)−B(u0)− (b(u)− b(u0))uD]

≥ lımR→∞

lım suph→0

1

h

∫ h

0

∫Ω

(b(u)− b(u0))(uR − uD)

(5.16)

usando la primera condición de solución débil

lım suph→0

1

h

∫ h

0

∫Ω

(b(u)− b(u0))(uR − uD)

= ınfδ>0

sup0<|h|<δ

1

h

∫ h

0

∫Ω

(b(u)− b(u0))(uR − uD)

= ınfδ>0

sup0<|h|<δ

∫ h

0

∫Ω

∂tb(u(t))

(−1

h

∫ t

h

(uR − uD)

)

= ınfδ>0

sup0<|h|<δ

−∫ h

0

∫Ω

∂tb(u(t))

(1

h

∫ t

h

(uR − uD)

).

Ahora, tome en cuenta lo siguiente: puesto ∂tb(u(t)) ∈ V ′, se tiene∫Ω

∂tb(u(t))ζ ≤ ‖∂tb(u(t))‖V ′‖ζ‖V ,

de esta manera,∫Ω

∂tb(u(t))

(1

h

∫ t

h

(uR − uD)

)≤ ‖∂tb(u(t))‖V ′

∥∥∥∥1

h

∫ t

h

(uR − uD)

∥∥∥∥V

≤ ‖∂tb(u(t))‖V ′(t− hh

)∥∥uR − uD∥∥L∞79

multiplicando por (−1) e integrando t desde 0 a h, se tiene:

−∫ h

0

∫Ω

∂tb(u(t))

(1

h

∫ t

h

(uR − uD)

)≥ ‖∂tb(u(t))‖V ′

∥∥uR − uD∥∥L∞ (t− t2

2h

)h0

= ‖∂tb(u(t))‖V ′∥∥uR − uD∥∥L∞ (h2

).

Usando lo desarrollado en la desigualdad (5.16) junto con el hecho que h→ h/2 es

continua. Se concluye tomando límite superior

lım suph→0

1

h

∫ h

0

∫Ω

[B(u)−B(u0)− (b(u)− b(u0))uD] ≥ 0.

Lo que restaba para concluir el resultado del Lema.

Note, la desigualdad (5.10) muestra que B(u) es L1(Ω) para t ∈ (0, T ) y está integral

es acotada superiormente consecuentemente pertenece a L∞(0, T ;L1(Ω)).

Proposición 5.2.2. Sea u ∈ L2(0, T ;V ), tal que u+uD cumple la primera condición

de solución débil, entonces se mantiene la identidad∫ t

0

∂tb(u)u = B(u(t))−B(u0).

Demostración. Del Lema anterior, para u ∈ uD+L2(0, T ;V ) que satisface la primera

condición de solución débil, se tiene∫Ω

B(u(t))−∫

Ω

B(u0) =

∫ t

0

∫Ω

∂tb(u)(u− uD)−

∫ t

0

∫Ω

(b(u)− b(u0))∂tuD +

∫Ω

(b(u(t))− b(u0))uD

de donde para u+ uD, se mantiene la igualdad y para u se tiene:∫Ω

[B(u(t))−B(u0)] =

∫ t

0

∫Ω

∂tb(u)u.

Aplicando Fubini-Tonelli a la integral de la derecha se tiene que:∫ t

0

∫Ω

∂tb(u)u =

∫Ω

∫ h

0

∂tb(u)u,

lo que equivale a, ∫Ω

([B(u(t))−B(u0)]−

∫ t

0

∂tb(u)u

)= 0,

80

de donde, se tiene para casi todo punto de Ω∫ t

0

∂tb(u)u = B(u(t))−B(u0).

Se presenta a continuación un resultado referente a los ceros de un campo vec-

torial, importante en el estudio de la existencia de una solución al problema (5.1).

Proposición 5.2.3. Asuma que la función continua v : Rn → Rn satisface:

v(x) · x ≥ 0, si |x| = r, para algún r > 0.

Entonces, existe x ∈ B(0, r) tal que v(x) = 0.

Demostración. Suponga esto es falso, entonces v(x) 6= 0 para toda B(0, r).

Dena,

w(x) = − r

|v(x)|v(x), x ∈ B(0, r).

La función w es continua pues v es continua, además su recorrido es un subconjunto

de la bola B(0, 1). Se puede aplicar el Teorema de Punto jo de Brouwer, ver [24],

y se tiene que existe z ∈ B(0, r) tal que

w(z) = z.

Se sigue que |z| = r, por tanto,

r2 = z · z = − r

|v(z)|v(z) · z ≤ 0,

una contradiccón de haber supuesto v(x) 6= 0 para toda B(0, r).

Se presentan a continuación proposiciones tomadas de [3], en las que se apoya la

prueba del Teorema de Existencia de Solución.

Proposición 5.2.4. Si dos aplicaciones v1 y v2 de H1(Ω) satisfacen

‖vi‖H1(Ω) ≤M, ‖B(vi)‖L1(Ω) ≤M, i = 1, 2

y ∫Ω

(b(v2)− b(v1))(v2 − v1) ≤ δ,

entonces, ∫Ω

|b(v2)− b(v1)| ≤ ωM(δ)

donde ωM son funciones continua con ωM(0) = 0.

81

Demostración. Supongamos esto es falso, entonces sean las sucesiones (v1δ) y (v2δ)

que satisfacen las hipótesis mientras δ → 0 y

‖b(v2δ)− b(v1δ)‖L1(Ω) ≥ κ > 0 (5.17)

Ahora, como viδ son acotadas en H1(Ω), se puede encontrar una sucesión parcial que

converge casi todo punto a vi. Luego, de la continuidad de b se sigue que b(viδ) →b(vi) casi todo punto, con el resultado de la Proposición 5.1.1 y las hipótesis se tiene

que esta convergencia es también en L1(Ω). Usando (5.17) se tiene:

‖b(v2)− b(v1)‖L1(Ω) ≥ κ.

Use la notación PR(z) = mın(1, R/z)z, se obtiene haciendo δ → 0:∫Ω

(b(v2)− b(v1))PR(v2 − v1)←∫

Ω(b(v2δ)− b(v1δ))PR(v2δ − v1δ)

≤∫

Ω(b(v2δ)− b(v1δ))(v2δ − v1δ) ≤ δ → 0,

se tiene entonces, para casi todo punto en Ω que (b(v2)− b(v1))(v2 − v1) = 0.

Entonces, para 0 < θ < 1

0 ≤ [b(v1 + θ(v2 − v1))− b(v1)](v2 − v1) ≤ (b(v2)− b(v1))(v2 − v1) = 0,

lo que indica que la función Ψ es lineal a lo largo del segmento que une v1 y v2.

Se concluye para todo z ∈ R

Ψ(v2 + z)−Ψ(v2) = Ψ(v2 + z)−Ψ(v1)−Ψ′(v1)(v2 − v1)

≥ Ψ′(v1)(v2 + z − v1)−Ψ′(v1)(v2 − v1) = b(v1)z,

que implica b(v2) = Ψ′(v2) = b(v1), una contradicción con la contrucción hecha.

Lema 5.2.5. Suponga que uε converge débilmente en L2(0, T ;H1(Ω)) hacia u, man-

teniendo la acotación

1

h

∫ T−h

0

∫Ω

[b(uε(t+ h))− b(uε(t))][uε(t+ h)− uε(t)]dt ≤ C

y ∫Ω

B(uε(t)) ≤ C, con 0 < t < T.

Entonces, b(uε)→ b(u) en L1((0, T )× Ω) y B(uε)→ B(u) casi todo punto.

82

Demostración. Se va a mostrar que las funciones b(uε) son relativamente compactas

en L1((0, T )× Ω), si hay un punto de acumulación β se concluirá que β = b(u).

Usando la notación de PR como en la proposición anterior, se tiene para v ∈L2(0, T ;H1(Ω)), con las hipótesis de la proposición anterior existe una sucesión

parcial convergente, entonces:

0 ≤∫ T

0

∫Ω

PR(b(v)− b(uε))(v − uε) −→∫ T

0

∫Ω

PR(b(v)− β)(v − u),

reemplazando v por u+ δv y haciendo δ → 0, se tiene

0 ≤∫ T

0

∫Ω

PR(b(u+ δv)− β) −→∫ T

0

∫Ω

PR(b(u)− β)v,

lo que implica que b(u) = β.

Se debe probar primero que∫ T−h

0

∫Ω

|b(uε(t+ h))− b(uε(t))|dt→ 0

mientras h→ 0 uniformemente en ε.

Considere ahora, para un sucientemente grande M el conjunto:

E =t ∈ (0, T − h) | ‖uε(t+ h)‖H1(Ω) + ‖uε(t)‖H1(Ω) +

∥∥uD(t)∥∥H1(Ω)

+1

h

∫Ω

(b(uε(t+ h))− b(uε(t)))(uε(t+ h)− uε(t)) > M

Note que, de las hipótesis se tiene que la integral en el conjunto anterior es acota-

da independiente de ε, con medida menor igual que C/M , con M sucientemente

grande.

Aplicando la proposición anterior se tiene para t ∈ (0, T − h) \ E∫Ω

|b(uε(t+ h))− b(uε(t))| ≤ ωM(hM),

usando la Proposición 5.1.2 e integrando desde 0 a T − h, se tiene:∫ T−h

0

∫Ω

|b(uε(t+ h))− b(uε(t))| ≤ T (ωM(hM) + Cδ) + CδC

M,

que converge a lo requerido tomando adecuadamente los valores de δ, M y h; M

sucientemente grande y h pequeño.

Se aproximan las funciones b(uε) por funciones escalonadas del tiempo, dena

vε =

uε(t) , t /∈ E0 , t ∈ E

.

83

Ahora,

1

h

∫ h

0

∫ T

0

∫Ω

∣∣∣∣∣∣b(uε(t))−T/h∑i=1

b(vε((i− 1)h+ s))χ((i−1)h,ih)(t)

∣∣∣∣∣∣dtds

=1

h

T/h∑i=1

∫ ih

(i−1)h

∫ ih

(i−1)h

∫Ω

|b(uε(t))− b(vε(s))|dsdt

≤ 1

h

∫ h

−h

∫ mın(T,T−s)

max(0,−s)

∫Ω

|b(uε(t))− b(vε(t+ s))|dtds

≤ sup|s|≤h

∫ mın(T,T−s)

max(0,−s)

∫Ω

|b(uε(t))− b(uε(t+ s))|dtds+

∫E

∫Ω

|b(uε(t))|dt,

que de lo anterior, es tan pequeño como se desee uniformemente para ε.

Por tanto, para todo ε se tienen sε ∈ (0, h) tal que

∫ T

0

∫Ω

∣∣∣∣∣∣b(uε)−T/h∑i=1

b(vε((i− 1)h+ sε))χ((i−1)h,ih)

∣∣∣∣∣∣dtdses muy pequeño.

La denición de E implica que vε((i − 1)h + sε) son acotadas en H1(Ω), por tanto

existe una función v ∈ H1(Ω) tal que se tiene casi todo punto que vε((i−1)h+sε)→v. Entonces, también b(vε((i− 1)h+ sε))→ b(v) casi todo punto, inclusive en L1(Ω)

por la acotación en (5.1.2), lo que prueba el lema.

Teorema 5.2.6 (Existencia). Suponga se cumplen los supuestos junto con las con-

diciones inicial y de frontera establecidas antes, además ∂tuD ∈ L1(0, T ;L∞(Ω)),

entonces existe una solución débil.

Demostración. Se discretiza la derivada parcial respecto del tiempo, esto es, se re-

emplaza ∂tb(u) por el cociente de diferencias ∂−ht b(u), ver Observación 5.2.

V es un espacio de Hilbert separable pues V ⊂ H1(Ω) es un subespacio cerrado. En-

tonces, seleccione funciones ei ∈ V ∩L∞, un conjunto ortonormal, tal que el espacio

generado es denso en V , Proposición 2.2.1.

Se busca una función,

uhm(t, x) = uDh (t, x) +m∑i=1

αhmi(t)ei(x),

84

con αhmi ∈ L∞(0, T ) tal que se cumpla la siguiente ecuación, para ctp t ∈ (0, T ):∫Ω

∂−ht b(uhm(t))ζ +

∫Ω

a(b(uhm(t)),∇uhm(t))∇ζ −∫

Ω

f(b(uhm(t)))ζ = 0 (5.18)

para toda función test ζ ∈ Vm = spane1, · · · , em.Los datos iniciales están dados por:

uhm(t) = u0h(t), −h < t < 0.

Se hacen los datos iniciales y de frontera, tales que:

u0h = mın

(1,

1

h∣∣u0∣∣)u0

y que uDh sea independiente del tiempo para cada intervalo ((k − 1)h, kh):

uDh =1

h

∫ kh

(k−1)h

uD(s, x)ds, (k − 1)h ≤ t ≤ kh

Por simplicidad, se toma T/h un entero.

Note que,

∇uhm = ∇uDh +m∑i=1

αhmi∇ei

Ahora de la ecuación (5.18), se dene la función continua φhm : R → R, dondeφhm = (φ1

hm, · · · , φmhm) para d = (d1, · · · , dm) y use la notación

v =m∑i=1

diei

Se tiene, una componente de la función vectorial φhm:

φkhm(d) =

∫Ω

[∂−ht b(uDh + v)ek + a(b(uDh + v),∇(uDh + v))∇ek − f(b(uDh + v))ek

]Note, que por haber discretizado la derivada ∂tb(u) y de como se denió la función

uDh (inductivamente para t ∈ ((k − 1)h, kh)), si se conoce uhm(t − h) se pretende

buscar los coecientes para uhm(t).

Ahora, considerando que las funciones ei ∈ L∞ y las desigualdades de la condición

85

de crecimiento, Supuesto 4:

φhm(d) · d =

∫Ω

[∂−ht b(uDh + v)

(m∑j=1

diei

)+ a(b(uDh + v),∇(uDh + v))

·

(m∑j=1

di∇ei

)− f(b(uDh + v))

(m∑j=1

diei

)]

=

∫Ω

[∂−ht b(uDh + v)v + a(b(uDh + v),∇(uDh + v))∇v − f(b(uDh + v))v

].

De donde, aplicando la desigualdad triangular de la norma:∣∣a(b(uDh + v),∇(uDh + v))∇v − f(b(uDh + v))v∣∣

≤∣∣a(b(uDh + v),∇(uDh + v))∇v

∣∣+∣∣f(b(uDh + v))v

∣∣≤

∣∣a(b(uDh + v),∇(uDh + v))∣∣2|∇v|2 +

∣∣f(b(uDh + v))∣∣2|v|2

≤∣∣a(b(uDh + v),∇(uDh + v))

∣∣2K1 +∣∣f(b(uDh + v))

∣∣2K2

≤ K(∣∣a(b(uDh + v),∇(uDh + v))

∣∣2 +∣∣f(b(uDh + v))

∣∣2)

≤ C(1 +B(uDh + v) +∣∣∇uDh +∇v)

∣∣2),

de la Proposición 5.1.1, se tiene B(z) ≤ zb(z) haciendo x = 0 y tomando δ = h en

la Proposición 5.1.2 se tiene:

b(z) ≤ hB(z) + sup|σ|≤1/h

|b(σ)|.

Como uD ∈ L2(0, T ;H1(Ω)) ∩ L∞((0, T )× Ω) se tiene la desigualdad

b(uDh + z)uDh ≤ h(uDh + z)b(uDh + z) +M(h).

Entonces, ∣∣a(b(uDh + v),∇(uDh + v))∇v − f(b(uDh + v))v∣∣

≤ C(1 + (uDh + v)b(uDh + v) +∣∣∇uDh ∣∣2 + |∇v|2).

86

Aplicando esto al producto φhm(d) · d, se tiene la desigualdad:

φhm(d) · d ≥ c

∫Ω

|∇v|2 +

[1

2h− C

] ∫Ω

(uh(t)D + v)b(uh(t)

D + v)

− C(h)

(1 +

∫Ω

|buhm(t− h)|2),

donde, si h es lo sucientemente pequeño el lado derecho es no negativo. Luego,

aplicando la Proposición 5.2.3, se tiene que φhm posee un cero, esto es uhm(t) existe.

Ahora, usando un procedimiento similar al del Lema 5.2.1, esto es, partiendo de

la desigualdad B(uhm(t)) − B(uhm(t − h)) ≤ (b(uhm(t)) − b(uhm(t − h)))uhm(t) y

replicando el proceso. Después, usando como función test a ζ = uhm(t) − uDh (t) e

integrando t desde 0 a τ

1

h

∫ τ

τ−h

∫Ω

[B(uhm))−B(u0h)] ≤

∫ τ

0

∫Ω

∂−ht b(uhm)(uhm − uDh )

−∫ τ−h

0

∫Ω

[b(uhm)− b(u0h)]∂

ht u

Dh +

1

h

∫ τ

τ−h

∫Ω

[b(uhm)− b(u0h)]u

Dh (t+ h)

esto es, ∫ τ

0

∫Ω

∂−ht b(uhm)(uhm − uDh ) ≥ 1

h

∫ τ

τ−h

∫Ω

[B(uhm))−B(u0h)]

+

∫ τ

0

∫Ω

[b(uhm)− b(u0h)]∂

ht u

Dh −

1

h

∫ τ

τ−h

∫Ω

[b(uhm)− b(u0h)]u

Dh .

(5.19)

Con esto, y usando lo descrito en [3], los supuestos de uD y la forma diferencial de

la desigualdad de Gronwall, ver Anexos, se tiene el estimado:

sup0≤t≤T

∫Ω

B(uhm(t)) +

∫ T

0

∫Ω

|∇uhm|2 ≤ C. (5.20)

Adicional a esto, haciendo uso de la desigualdad de Poincaré, como Ω es acotado

abierto, existe una constante ξ tal que:

‖uhm‖2 ≤ ξ‖∇uhm‖2.

Usando esto en (5.20), se tiene que la sucesión de funciones (uhm) es acotada en

L2(0, T ;V ), consecuentemente existe una sucesión parcial de (uhm) y una función u ∈L2(0, T ;V ), tal que uhm u débilmente en L2(0, T ;V ) mientras (h,m) → (0,∞).

87

Sea k ∈ N y usando funciones ζ(t) = ∂kht (uhm − uDh )(τ), para jh ≤ t ≤ (j + k)h

con (j − 1)h ≤ τ ≤ jh y 1 ≤ j ≤ (T/h) − k, adicional a lo obtenido en (5.19) e

integrando sobre τ se tiene:∫ T−kh

0

∫Ω

[b(uhm(τ + kh))− b(uhm(τ))]∂kht uDh

=

∫ T−kh

0

∫Ω

[b(uhm(τ + kh))− b(uhm(τ))]1

kh[uhm(τ + kh)− uhm(τ)],

usando esto con la ecuación (5.18) y la acotación obtenida en (5.20), se sigue:∫ T−kh

0

∫Ω

[b(uhm(τ + kh))− b(uhm(τ))][uhm(τ + kh)− uhm(τ)] ≤ Ckh

lo que se cumple para cualquier función uhm, más aún, si se reemplaza kh por

cualquier real positivo. Lo que implica que existe una sucesión parcial de b(uhm) que

converge hacia b(u) en L1((0, T )× Ω), ver Lema 5.2.5.

Note que con un argumento similar al de la ecuación (5.18) tomando ζ ∈ L2(0, T ;Vm)

con ζ(t) = 0 para t > T − h y usando la identidad en (5.4), se tiene:∫ T

0

∫Ω

∂−ht b(uhm)ζ = −∫ T−h

0

∫Ω

(b(uhm)− b(u0h))∂

ht ζ (5.21)

de la estimación (5.20), con ζ como antes, se sigue que ∂−ht b(uhm) =: λhm dene

un funcional acotado en L2(0, T ;V ′). Por tanto, para la sucesión (λhm) existe una

sucesión parcial tal que λm λ débilmente en L2(0, T ;V ′), donde λ = ∂tb(u).

Para mostrar la convergencia de ∇uhm, tome la función ζ = uhm − (uDh + vhm)

como función test en el intervalo (0, th), donde

th = khh con (kh − 1)h < t < khh para t ∈ (0, T )

y vhm ∈ L2(0, T ;Vm) una aproximación de (u − ud) en el espacio L2(0, T ;V ), fun-

ciones independientes del tiempo en cada intervalo ((k − 1)h, kh).

Usando la ecuación (5.18) y restando a cada lado de ésta el término

−∫

Ω

a(b(uhm),∇(uDh + vhm)) · ∇ζ

y de la condición de elipticidad de a, ver Supuesto 3, se tiene:∫ t

0

∫Ω

∂−ht b(uhm)ζ + c

∫ t

0

∫Ω

|∇ζ|2

≤ −∫ t

0

∫Ω

a(b(uhm),∇(uDh + vhm)) · ∇ζ +

∫ t

0

∫Ω

f(b(uhm))ζ.

(5.22)

88

Se va a considerar primero el término del lado izquierdo de esta desigualdad.

Entonces, note primero que como se tiene que b(uhm) converge a b(u) en L1((0, T )×Ω) y de como se tomaron las funciones vhm, se tiene:∫ t

0

∫Ω

∂−ht b(uhm)ζ =

∫ t

0

∫Ω

∂−ht b(uhm)(uhm − uDh )−∫ t

0

∫Ω

∂−ht b(u)(u− uD) + σ(1),

donde el símbolo σ(1), denota un término que converge hacia cero mientras h → 0

y m→∞. Además, de las ecuaciones (5.19) y del Lema 5.2.1, se tiene que:∫ t

0

∫Ω

∂−ht b(uhm)(uhm − uDh ) ≥ 1

h

∫ t

t−h

∫Ω

B(uhm)−∫

Ω

B(u0h)

+

∫ t

0

∫Ω

(b(uhm)− b(u0h))∂

ht u

Dh −

1

h

∫ t

t−h

∫Ω

(b(uhm)− b(u0h))u

Dh (t+ h)

y ∫ t

0

∫Ω

∂−ht b(u)(u− uD) =

∫Ω

B(u(t))−∫

Ω

B(u0)

+

∫ t

0

∫Ω

(b(u)− b(u0))∂tuD −

∫Ω

(b(u(t))− b(u0))uD(t).

Con esto, se tiene∫ t

0

∫Ω

∂−ht b(uhm)ζ ≥ 1

h

∫ t

t−h

∫Ω

B(uhm)−∫

Ω

B(u(t)) + σ(1). (5.23)

Se prosigue con el lado derecho de la ecuación (5.22), usando el hecho de que vhm es

una aproximación de u− uD, se sigue aplicando la desigualdad de Cauchy:∣∣∣∣∫ t

0

∫Ω

a(b(uhm),∇(uDh + vhm))∇ζ∣∣∣∣ ≤ δ

∫ t

0

∫Ω

|∇ζ|2

+Cδ

∫ t

0

∫Ω

∣∣a(b(uhm),∇(uDh + vhm))− a(b(u),∇u)∣∣2 + σ(1).

Considere lo siguiente:

mın

(1,

1 +B(u)

1 +B(uhm)

)≤ 1,

usando esto, la segunda integral de la derecha puede estimarse por:∫ t

0

∫Ω

∣∣∣∣∣a(b(u),∇u)− a(b(uhm),∇(uDh + vhm)) mın

(1,

1 +B(u)

1 +B(uhm)

)1/2∣∣∣∣∣2

+

∫ t

0

∫Ω

∣∣∣∣∣a(b(uhm),∇(uDh + vhm))

(1−mın

(1,

1 +B(u)

1 +B(uhm)

))1/2∣∣∣∣∣2

.

89

usando la acotación para el mínimo, el hecho de que b(uhm) converge puntualmente

y el Teorema de Convergencia Dominada y la primera integral va a cero. Para la

segunda integral, usando la condición de crecimiento para a:∫ t

0

∫Ω

∣∣∇(uDh + vhm)∣∣2(1−mın

(1,

1 +B(u)

1 +B(uhm)

)1/2)2

+

∫ t

0

∫Ω

max(0, [(1 +B(uhm))1/2 − (1 +B(u))1/2])2.

donde, como antes la primera integral tiende a cero y la segunda puede acotarse por:∫ t

0

∫Ω

max(0, B(uhm)−B(u)) ≤∫ t

0

∫Ω

(B(uhm)−B(u)) + σ(1)

esto es, ∫ t

0

∫Ω

max(0, B(uhm)−B(u))−∫ t

0

∫Ω

(B(uhm)−B(u)) ≤ σ(1).

Lo que implica que para casi todo punto se tiene B(uhm)→ B(u).

Como f puede manejarse de la misma forma, se tiene entonces usando (5.23):∫Ω

(B(uhm(t))−B(u(t))) + c

∫ t

0

∫Ω

|∇(uhm − u)|2

≤ C

∫ t

0

∫Ω

(B(uhm)−B(u)) + σ(1).

Usando el argumento de Gronwall, ver [3], aplicado a la función acotada no negativa

ψ(t) = lım sup(h,m)→(0,∞)

∫Ω

(B(uhm(t))−B(u(t))),

se tiene que para t < T que

∇uhm → ∇u, en L2((0, t)× Ω).

De todo esto, concluimos que para casi todo punto:

a(b(uhm),∇uhm)→ a(b(u),∇u)

f(b(uhm))→ f(b(u))

por tanto, débilmente en L2((0, t)× Ω).

Esto es, u es una solución débil.

90

5.3. Regularidad y Unicidad

Para esto, se usa el siguiente teorema de comparación para probar la unicidad

de solución regular y se precisa de la siguiente denición.

Denición 5.3.1. Sea u ∈ L2(0, T,H1(Ω))

Se llama subsolución si u ≤ uD en (0, T )× Γ.

Se dice supersolución si u ≥ uD en (0, T )× Γ.

Y también, si se cumplen las condiciones de solución débil reemplazando el igual

por los símbolos (≤,≥) respectivamente. Esto, para toda función test ζ con ζ(0) ≤ 0

para la primera condición y ζ ≥ 0 para la segunda, así,

Para toda función test ζ con ζ(0) ≤ 0,

∫ T

0

∫Ω

∂b(u±)ζ +

∫ T

0

∫Ω

(b(u±)− b0)∂tζ R 0

con ζ ≥ 0

∫ T

0

∫Ω

∂tb(u±)ζ +

∫ t

0

∫Ω

a(b(u±),∇u±)∇ζ R∫ t

0

∫Ω

f(b(u±))ζ

Teorema 5.3.1 (Comparación). Suponga se tiene la propiedad de continuidad

|a(b(z2), p)− a(b(z1), p)| ≤ C|z2 − z1|1/2[1 +B(z1)1/2 + B(z2)1/2 + |p|

],

f(z2)− f(z1) ≤ C(z2 − z1), si z2 > z1.

Si u− es una subsolución y u+ una supersolución tal que B(u±) y ∂t(b(u−)− b(u+))

están en L1((0, T )× Ω), entonces u− ≤ u+.

Demostración. Sea δ > 0 pequeño, haga ψδ(z) = mın(

1,max(zδ, 0))

y ζ = ψδ(u−−u+) en el intervalo (0, t) como una función test para la segunda condición, Denición

5.3.1, de solución débil para u− y u+.

91

Entonces,∫ t

0

∫Ω

∂t(b(u−)− b(u+))ψ(u− − u+) +c

δ

∫ t

0

∫Ω

χ0<u−−u+<δ|∇(u− − u+)|2

≤ C

δ

∫ t

0

∫Ω

χ0<u−−u+<δ|a(b(u−),∇u+)− a(b(u+),∇u+)|2

+

∫ t

0

∫Ω

χu−−u+>0max(0, f(b(u−))− f(b(u+)))

≤ C

∫ t

0

∫Ω

χ0<u−−u+<δ(1 +B(u−) +B(u+) + |∇u+|2

)C∫ t

0

∫Ω

max (b(u−)− b(u+), 0)

(5.24)

Donde el primer término de la derecha tiende a cero mientras δ → 0.

Del primer término de la izquierda se tiene∫ t

0

∫Ω

χu−>u+∂t(b(u−)− b(u+)) =

∫ t

0

∫Ω

∂t max (b(u−)− b(u+), 0)

=

∫Ω

max (b(u−(t))− (u+(t)), 0),

aplicando la primera condición de solución débil, para u− y u+.

Como en [3] aplicando el Lema de Gronwall se sigue que b(u−) ≤ b(u+), en particular

se tiene b(u−) = b(u+) en el conjunto u− > u+; usando esto en el primer estimado

de (5.24), se cancela todo excepto el término elíptico.

Así,

∇(u− − u+) = 0, en 0 < u− − u+ < δ,

esto es, max(0,mın(u− − u+, δ)) es constante, lo que implica que u− ≤ u+, ya que

es verdadero en (0, T )× Γ.

Ahora, se probará un resultado de unicidad tomado de [3], en el caso en que

a(z, p) es lineal para p.

Teorema 5.3.2. Considere los supuestos y a(t, x, b(z), p) = A(t, x)p+e(b(z)), donde

A(t, x) es una matriz simétrica y medible para t y x tal que para algún α > 0,

A− αI y A+ α∂tA

92

son denidas positivas. Además, asuma que

|e(b(z2))− e(b(z1))|2 + |f(b(z2))− f(b(z1))|2 ≤ C(b(z2)− b(z1))(z2 − z1),

entonces, existe solo una solución débil.

Demostración. Suponga que u1 y u2 son dos soluciones débiles, entonces

β = b(u2)− b(u1) ∈ L2(0, T ;V ′).

De la primera condición de solución débil existe una función v ∈ L2(0, T ;V ) tal que∫ T

0

∫Ω

∇vA∇ζ =

∫ T

0

〈β, ζ〉 ,

para toda ζ ∈ L2(0, T ;V ), luego

2

∫ τ+h

h

⟨∂−ht β, v

⟩+

1

h

∫ h

0

〈β, v〉

=

∫ τ

0

⟨∂ht β(t), v(t+ h)

⟩dt−

∫ τ

0

⟨β, ∂ht v

⟩+

1

h

∫ τ+h

τ

〈β, v〉

=

∫ τ+h

h

∫Ω

∇v∂−ht a∇v +1

h

∫ τ+h

h

∫Ω

∇vA∇v

+1

h

∫ τ

0

∫Ω

(∇v(t+ h)−∇v(t))A(t) (∇v(t+ h)−∇v(t)) dt,

haciendo que h→ 0 se obtiene para casi todo τ∫ τ

0

〈∂tβ, v〉 =1

2

(∫ τ

0

∫Ω

∇v∂tA∇v +

∫Ω

∇v(τ)A(τ)∇v(τ)

).

Por otro lado,∫ τ

0

∫Ω

∇vA∇(u2 − u1) =

∫ τ

0

〈β, u2 − u1〉 =

∫ τ

0

∫Ω

(b(u2)− b(u1))(u2 − u1).

Usando v como función test en la segunda condición de solución débil,

1

2

∫Ω

∇v(τ)A(τ)∇v(τ) +

∫ τ

0

∫Ω

(b(u2)− b(u1))(u2 − u1)

=

∫ τ

0

∫Ω

(f(b(u2))− f(b(u1)))v − (e(b(u2))− e(b(u1)))∇v − 1

2∇v∂tA∇v

≤ δ

∫ τ

0

∫Ω

(b(u2)− b(u1))(u2 − u1) +1

2

∫ τ

0

∫Ω

∇v(CδI − ∂tA)∇v.

La armación se sigue del Lema de Gronwall.

93

5.4. La Ecuación de Richards

Si se denota p la presión, θ el contenido de agua relativo , k la permeabilidad del

medio poroso que depende de θ, esto es k = k(θ). La posición x, g la gravedad, ρ la

densidad del uido y ~e vector en dirección hacia arriba.

La Ecuación de Continuidad se escribe como

θt = ∇ · ~q,

donde, ~q es el ujo.

La Ley de Darcy, tiene forma:

~q = −k(∇p+ ρg~e),

adicionalmente

θ = φ(x)s(p),

con s(p) ∈ [0, 1] que denota la saturación del medio y φ(x) la porosidad del medio.

Esto indica claramente que el contenido de agua en el medio depende del grado de

saturación y la porosidad del mismo.

De esta manera, combinando esto con la Ecuación de Continuidad, se tiene

φs(p)t −∇ · [k(s(p), x)(∇p+ ρg~e)] = 0.

Si se restringe k(s, x) = k(s)a(x), como en [4] y se introduce la transformación

u =

∫ p

0

k(s(ξ))dξ, (5.25)

con esto, la Ecuación de Richards toma forma

φs(u)t −∇ · [a(x)(∇u+ k(s(u))~e)] = 0.

Es claro que junto con cada problema especíco se añaden las condiciones inciales

y de frontera de acuerdo a la necesidad de los modelos o problemas prácticos. Un

estudio de está clase se propone en [4] y otros en [7].

94

Capítulo 6

CONCLUSIONES Y

RECOMENDACIONES

6.1. Conclusiones

De las propiedades topológicas del espacio de Sobolev H1(Ω) se deriva su sepa-

rabilidad, lo que permite suponer la existencia de un subconjunto ortonormal

contable con el que se discretiza la ecuación diferencial (5.1).

Reemplazando la derivada temporal de la ecuación (5.1) por un coeciente de

diferencias y con la Proposición 5.2.3 que con ayuda del Teorema de Punto Fijo

de Brouwer, se prueba que para el problema (5.1) discretizado en su dominio

espacial existe una solución.

La relación entre la Transformada de Legendre B de la primitiva de b, Propo-

sición 5.1.1, hace posible la prueba del Teorema de Existencia 5.2.6.

Como en [3] se propone que para u en el espacio de funciones solución al

problema (5.1), es tal que cumple la siguiente estimación:

sup0≤t≤T

∫Ω

B(u) +

∫ T

0

∫Ω

‖∇u‖2 ≤ C,

relación que de principio permite probar la existencia de una solución débil

del problema, Proposición A.1.7.

Usando el Método de sub - super soluciones y el Teorema de Comparación

5.3.1, se prueba la existencia de una solución lo suciente regular que resuelve

la ecuación diferencial (5.1).

95

Haciendo uso de la transformada (5.25), se permite que para el problema del

ujo de un uido en un medio poroso, Ecuación de Richards, exista solución.

6.2. Recomendaciones

A cada lector, con el n de que se familiarice con las ecuaciones elíptico pa-

rabólicas, se le recomienda estudiar los problemas propuesto en [24] para los

espacios de Sobolev y las ecuaciones lineales evolutivas.

Con el objetivo de extender el estudio, se plantea considerar buscar una solu-

ción en el espacio de Sobolev W 1,p(Ω) para t ∈ (0, T ), donde 1 < p < ∞ y q

sea su exponente conjugado.

Para los estudiantes de espacios de funciones, Análisis Funcional, se propone

el cambio de un espacio separable por uno que no lo sea, de tal manera que se

busque una forma alterna de encontrar un conjunto linealmente independiente.

Con el propósito de estudiar una variación del problema (5.1), jando t ∈ (0, T )

se propone estudiar la ecuación si el campo vectorial a fuese la derivada de un

funcional lineal de energía.

96

Anexo A

RESULTADOS AUXILIARES

A.1. Del Cálculo, Derivación e Integración

Denición A.1.1. Se llama multi-índice a la n−tupla α = (α1, · · · , αn) de enteros

no negativos. Se dene

|α| =n∑j=1

αj.

Proposición A.1.1. Desigualdades del análisis útiles.

1. Desigualdad de Cauchy.

ab ≤ a2

2+b2

2, a, b ∈ R.

2. Desigualdad de Cauchy con ε.

ab ≤ εa2 +b2

4ε, a, b > 0, ε > 0.

3. Desigualdad de Young. Sea 1 < p, q <∞, p−1 + q−1 = 1.

Entonces,

ab ≤ ap

p+bq

q, a, b > 0.

4. Desigualdad de Young con ε.

ab ≤ εap + C(ε)bq, a, b > 0, ε > 0.

para C(ε) = (εp)−q/pq−1.

97

Denición A.1.2. Sea E un espacio vectorial. Una función φ : E →] −∞,∞] se

dice convexa si

φ(tx+ (1− t)y) ≤ tφ(x) + (1− t)φ(y), ∀x, y ∈ E, ∀t ∈ (0, 1).

Denición A.1.3. Dada una función φ : E →] −∞,∞] tal que φ 6= ∞, se dene

la función φ∗ : E ′ →]−∞,∞], conjugada de φ por

φ∗(f) = supx∈E〈f, x〉 − φ(x), f ∈ E ′

Denición A.1.4. Sea f ∈ L1loc, x ∈ Rn y r > 0, se nota Arf(x) el valor

Arf(x) =1

m(B(x, r))

∫B(x,r)

f(y)dy

Proposición A.1.2. Si f ∈ L1loc, entonces lımr→0Arf(x) = f(x) ctp x ∈ Rn.

Proposición A.1.3 (Cambio de Variable). Sea A una matriz invertible n × n,

G(u) = A(u) la correspondiente transformación lineal de Rn. Suponga S es una

región medible de Rn y f integrable sobre S. Entonces G−1(S) = A−1(x) | x ∈ Ses medible y f G es integrable en G−1(S), y∫

S

f(x)dx = |det(A)|∫G−1(S)

f(A(u))du

Proposición A.1.4 (Divergencia de Gauss). Sea R una región compacta de R3 con

frontera suave a trozos, ∂R, orientada tal que el vertor normal positivo apunte fuera

de R. Suponga también que F es un campo vectorial de clase C1 en R. Entonces,∫ ∫∂R

F · ndA =

∫R

div(F )dV

Proposición A.1.5. Desigualdad de Gronwall, forma diferencial.

1. Sea η una función no negativa y absolutamente continua en [0, T ], que satisface

para casi todo t la desigualdad diferencial

η′(t) ≤ φ(t)η(t) + ψ(t)

donde φ y ψ son funciones no negativas e integrables en [0, T ].

Entonces,

η(t) ≤ e∫ t0 φ(s)ds

[η(0) +

∫ t

0

ψ(s)ds

]ctp 0 ≤ t ≤ T

98

2. En particular, si η′ ≤ φη en [0, T ] y η(0) = 0, se tiene η = 0 en [0, T ].

Proposición A.1.6. Desigualdad de Gronwall, forma integral.

1. Sea ζ(t) una función no negativa e integrable sobre [0, T ] la que satisface para

casi todo t la desigualdad integral

ζ(t) ≤ C1

∫ t

0

ζ(s)ds+ C2 para C1, C2 > 0.

Entonces,

ζ(t) ≤ C2(1 + C1teC1t) ctp 0 ≤ t ≤ T.

2. En particular, si ζ(t) ≤ C1

∫ t

0

ζ(s)ds, para casi todo punto 0 ≤ t ≤ T , entonces

para casi todo punto se tiene ζ(t) = 0.

Denición A.1.5. Sea X un espacio de Banach real. Decimos que (un)n∈N ⊂ X

converge débilmente a u ∈ X, notado un u, si

〈f, un〉 → 〈f, u〉 , ∀f ∈ X ′.

Observación. Si un → u, entonces un u. También es verdadero que cualquier

sucesión débilmente convergente es acotada. Adicionalmente, si un u, entonces

‖u‖ ≤ lım infn→∞

‖un‖.

Proposición A.1.7. Sea X un espacio de Banach reexivo y suponga que la suce-

sión (un)n∈N ⊂ X es acotada. Entonces existe una sucesión parcial (unj)j∈N y u ∈ Xtal que

unj u.

Denición A.1.6. Sea X un espacio de Banach y T un operador lineal acotado en

X. T se llama compacto si para cualquier sucesión (xn)n∈N en X, la sucesión de

imágenes (Txn)n∈N tiene una sucesión parcial convergente.

Lo que equivale, T es compacto si envía conjuntos acotados en conjuntos con clausura

compacta, relativamente compacto.

T se dice de rango nito si su recorrido es nito dimensional.

Proposición A.1.8. Si T es un oprador acotado en X y si existe una sucesión

(Tm)m∈N de operadores de rango nito, tales que, ‖Tm − T‖ −→ 0, entonces T es

compacto.

99

Proposición A.1.9. El operador T en un espacio de Banach es compacto si y solo

si el operador dual T ∗ en el espacio dual X ′ es compacto.

Proposición A.1.10 (Teorema de Fredholm). Sea T un operador compacto en un

espacio de Hilbert X con producto interno (·|·). Para cada λ ∈ C, haga

Vλ = x ∈ X : Tx = λx, Wλ = x ∈ X : T ∗x = λx.

Entonces,

1. El conjunto de λ ∈ C para los que Vλ 6= 0 es nito o contable, y en el segundo

caso su único punto de acumulación es el cero. Adicionalmente, dim(Vλ) <∞para todo λ 6= 0.

2. Si λ 6= 0, dim(Vλ) = dim(Wλ).

3. Si λ 6= 0, R(λI − T ) es cerrado.

Los resultados presentados en este apartado fueron tomados de [9], [14], [21], [24],

[25], entre algunos de los textos que se usaron como bibliografía de este trabajo, en

ellos puede hallar varias de las demostraciones.

100

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102

universidad central del ecuadoren este subespacio. finalmente, con las soluciones en cada subespacio...

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