TEMA 5. VECTORES EN EL ESPACIO

1. VECTORES.

1.1. Definición. Elementos.

1.2. Operaciones con vectores. Propiedades. Espacio vectorial.

1.3. Expresión analítica de un vector.

a) Combinación lineal de vectores.

b) Dependencia e independencia lineal.

c) Base de un espacio vectorial. Tipos de base.

d) Coordenadas de un vector respecto de una base.

e) Operaciones con coordenadas.

2. PRODUCTO ESCALAR.APLICACIONES.

2.1. Definición. Propiedades.

a) Definición. Propiedad fundamental

b) Módulo, ángulo, proyección ortogonal

c) Propiedades del producto escalar.

d) Expresión analítica del producto escalar.

2.2. Aplicaciones.

3. PRODUCTO VECTORIAL.APLICACIONES.

3.1. Definición. Propiedades.

a) Interpretación geométrica del producto vectorial.

b) Propiedades del producto vectorial

c) Expresión analítica del producto vectorial.

3.2. Aplicaciones.

4. PRODUCTO MIXTO.APLICACIONES.

4.1. Definición. Propiedades.

a) Interpretación geométrica del producto escalar.

b) Expresión analítica del producto escalar.

c) Propiedades del producto mixto

4.2. Aplicaciones.

1. VECTORES EN EL ESPACIO

1.1. DEFINICIÓN. ELEMENTOS

Un vector es un segmento orientado. Un vector AB queda determinado por dos puntos,

origen A y extremo B.

Elementos de un vector:

· Módulo de un vector es la distancia entre A y B y se designa por el vector entre barras

AB

· Dirección del vector es la dirección de la recta en la que se encuentra el vector y la de

todas las rectas paralelas a ella.

· Sentido si va de A a B o de B a A.

Igualdad de vectores: Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y

sentido (no necesariamente el mismo origen y el mismo extremo). Todos ellos se llaman

representantes de un único vector. Llamaremos representante canónico a aquel vector

que tiene por origen el punto O.

Notación: Los vectores se representan con una flechita encima de una letra: , , , ,u v x y z

o bien mediante uno de sus representantes, escribiendo su origen y su extremo con una

flecha encima AB

1.2. OPERACIONES CON VECTORES.PROPIEDADES. ESPACIO

VECTORIAL

SUMA DE DOS VECTORES

Dados dos vectores u y v , para sumarlos gráficamente hay dos posibilidades:

Se sitúa el origen del segundo vector sobre el extremo del primero y el vector suma es

el vector que une el origen del primero con el extremo del segundo.

Se sitúan los dos vectores con origen común. Se forma el paralelogramo que tiene por

lados los dos vectores y la diagonal que parte del origen de los dos vectores es el vector

suma. (regla del paralelogramo)

RESTA DE DOS VECTORES

Restar dos vectores es lo mismo que sumar al primer vector el opuesto del segundo:

( )u v u v (obsérvese el dibujo anterior)

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO

El producto de un número k 0 por un vector v es otro vector kv que tiene:

Módulo: igual al producto del módulo de v por el valor absoluto de k : · ·k v k v

Dirección: la misma que la de v

Sentido:- El de v si k > 0

- El del opuesto de v si k < 0

El producto 0· v es igual al vector cero: Es un vector cuyo origen y extremo coinciden

y, por tanto, su módulo es cero y carece de dirección y de sentido.

El vector -1. v se designa por - v y se llama opuesto de v

VECTORES UNITARIOS

Los vectores de módulo 1 se llaman vectores unitarios.

El vector 1

·v

vv v

es un vector unitario de la misma dirección y el mismo sentido que

v

El vector 1·

vv

v v

es un vector unitario de la misma dirección que v , pero con

sentido opuesto.

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES

Todas estas propiedades le confieren al conjunto de los vectores la estructura de

ESPACIO VECTORIAL

1.3. EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UN VECTOR

A) COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

Dados varios vectores, , , ,...,x y z w y varios números a,b,c,...m, el vector

....ax by cz mw se llama combinación lineal de los vectores.

Ejemplo:

El vector w es combinación lineal de los vectores

u y v

B) DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

Varios vectores se llaman linealmente dependientes si alguno de ellos se puede poner

como combinación lineal de los demás. Cuándo no es así, se llaman linealmente

independientes.

Ejemplos:

- Dos vectores alineados son linealmente dependientes

- Dos vectores no alineados son linealmente independientes

- Tres vectores coplanarios (están en el mismo plano) son linealmente dependientes.

- Tres vectores no coplanarios son linealmente independientes.

C) BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL. TIPOS DE BASE

Una base de un espacio vectorial es un conjunto de vectores que cumple:

- Son linealmente independientes

- Cualquier otro vector se puede poner como combinación lineal de ellos (sistema

generador)

* Tres vectores no nulos y no coplanarios , ,x y z son linealmente independientes y,

además cualquier otro vector del espacio se puede poner como combinación lineal de

ellos de ellos de forma única.

Por eso decimos que forman una base del espacio vectorial tridimensional

B = { , ,x y z }

Tipos de bases:

Normada: Si los tres vectores son unitarios (módulo 1).

Ortogonal: Si los tres vectores son perpendiculares entre sí.

Ortonormal: Si los vectores son perpendiculares entre sí y tienen módulo uno

(normada y ortogonal)

D) COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO DE UNA BASE

Dada una base B( , ,x y z ), cualquier vector, v , se puede poner de forma única como una

combinación lineal de sus elementos: v ax by cz

A los números a, b, c se les llama coordenadas de v respecto de B.

Y se expresa así: v = (a,b,c) ó v (a,b,c)

E) OPERACIONES CON COORDENADAS

Sea 1 2 3( , , )u u u u y

1 2 3( , , )v v v v

Suma de dos vectores: Las coordenadas del vector u v se obtienen sumando las

coordenadas de u con las de v :

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , ) ( , , )u v u u u v v v u v u v u v

Resta de dos vectores: Las coordenadas del vector u v se obtienen restando a las

coordenadas de u las de v :

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , ) ( , , )u v u u u v v v u v u v u v

Producto de un vector por un número: Las coordenadas del vector ku se obtienen

multiplicando por k las coordenadas de u :

1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , )ku k u u u ku ku ku

Combinación lineal de vectores:

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , ) ( , , )au bv a u u u b v v v au bv au bv au bv

Ejemplo:

Dados los vectores (2, 1,3)a , (0,2, 1)b , (3,0,1)c :

a) ¿Forman una base de R3?

b) En caso afirmativo, halla las coordenadas del vector (4, 7,14)u respecto a dicha

base.

c) Expresa, si es posible, el vector c como combinación lineal de a , b y u .

Solución:

a) Tres vectores de R3 forman una base si (y sólo si) son linealmente independientes.

Para ver si son linealmente independientes, calculamos el determinante de la matriz

formada por los tres vectores:

2 1 3

0 2 1 4 3 18 11 0

3 0 1

los vectores son linealmente independientes y, por

tanto, forman una base de R3.

b) Para hallar las coordenadas de u respecto a la base B={ a ,b , c }, tenemos que

expresarlo como combinación lineal de la base:

u xa yb zc con x, y, z números reales.

(4,-7,14) = x(2,-1,3) + y(0,2,-1) + z(3,0,1)

(4,-7,14) = (2x+3z, -x+2y, 3x-y+z)

Igualando coordenada a coordenada tenemos:

4 2x 3z

7 x 2y

14 3x y z

Resolviendo el sistema, se obtiene: x = 5, y = -1, z = -2

Por lo tanto, las coordenadas de u respecto a la base B son u (5,-1.-2), es decir:

5 2u a b c

c) De la igualdad anterior obtenida en b), tenemos que:

5 1 15 2 2 5

2 2 2u a b c c a b u c a b u

2. PRODUCTO ESCALAR. APLICACIONES

2.1. DEFINICIÓN. PROPIEDADES

A) DEFINICIÓN. PROPIEDAD FUNDAMENTAL

El producto escalar de dos vectores u y v es un número que resulta de multiplicar el

módulo de cada uno de los vectores por el coseno del ángulo que forman y se designa

por ·u v :

· · ·cos( , )u v u v u v

u y v son números positivos. Por tanto, ·u v es un número positivo o negativo según

el ángulo que forma u con v :

Si ,u v es agudo, cos ,u v > 0 ·u v es positivo

Si ,u v es obtuso, cos ,u v < 0 ·u v es negativo

PROPIEDAD FUNDAMENTAL

El producto escalar de dos vectores no nulos es cero si y sólo si son perpendiculares:

Es decir: si

B) MÓDULO, ÁNGULO Y PROYECCTIÓN ORTOGONAL

Módulo de un vector :

·u u u (pues 2

· · ·cos( , ) · ·cos0 · ·1u u u u u u u u u u u )

Ángulo de dos vectores:

·

cos( , )·

u vu v

u v (despejando el coseno de la expresión del producto escalar)

Proyección ortogonal:

El vector proyección de u sobre v es 2

··u

u vp v

v

La longitud del segmento proyección es · ·

·cos( , ) ··

u v u vu u v u

u v v , con signo + o -,

según que el ángulo sea agudo u obtuso.

Si este número lo multiplicamos por el vector unitario1

·vv

, se obtiene el vector

proyección.

C) PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR

D) EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR

Sea , ,B i j k una base ortonormal de R3.

Si las coordenadas de u y v respecto a la base B son 1 1 1( , , )u x y z y 2 2 2( , , )v x y z ,

entonces:

1 2 1 2 1 2· · · ·u v x x y y z z

Demostración:

2.2. APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR

Sean 1 1 1( , , )u x y z y

2 2 2( , , )v x y z las coordenadas de los vectores respecto a una base

ortonormal.

Producto escalar

Expresión vectorial: · · ·cos( , )u v u v u v

Expresión analítica: 1 2 1 2 1 2· · · ·u v x x y y z z

Módulo de un vector

Expresión vectorial: ·u u u

Expresión analítica: 2 2 2

1 1 1u x y z

Ángulo de dos vectores

Expresión vectorial: ·

cos( , )·

u vu v

u v

Expresión analítica: 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

· · ·cos( , )

·

x x y y z zu v

x y z x y z

Proyección de un vector u sobre otro v

Expresión vectorial: 2

··u

u vp v

v

Expresión analítica: 1 2 1 2 1 22 2 22 2 2

2 2 2

· · ··( , , )u

x x y y z zp x y z

x y z

Criterio de perpendicularidad: u ┴ v

Expresión vectorial: · 0u v

Expresión analítica: 1 2 1 2 1 2· · · 0x x y y z z

Ejemplo:

Dados los vectores (2, 1,3)u , (4,2, 1)v y (1,2, )w x , calcular:

a) ·u v b) u y v c) El ángulo que forman u y v

d) La proyección de u sobre v

e) El valor de x para que v y w sean perpendiculares.

f) El valor de x para que u y w formen 60º.

Solución:

a) · 2·4 ( 1)·2 3·( 1) 8 2 3 3u v

b)

2 2 2

2 2 2

2 ( 1) 3 14 3,74

4 2 ( 1) 21 4,58

u

v

c) · 3 3

cos 0,17 79,92º14· 21 294·

u v

u v

d)

2 2

· 3 1 4 2 1· ·(4,2, 1) (4,2, 1) , .

7 7 7 721u

u vp v

v

e) Para que v y w sean perpendiculares su producto escalar ha de ser cero.

· 0 (4,2, 1)·(1,2, ) 0 4 4 0 8v w x x x

f) Si u y w forman 60º, entonces 2

· 2 2 3 1cos( , ) cos60º

2· 14· 5

u w xu w

u w x

2 2 2 2 2

2

3 16 14(5 ) 36 14(5 ) 36 70 14

214· 5

xx x x x x x

x

2 2

35

70 35 35 1122 70

22 11 11 35

11

x

x x x

x

3. PRODUCTO VECTORIAL

3.1. DEFINICIÓN. PROPIEDADES

A) INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO VECTORIAL

Dados dos vectores u y v , el producto vectorial, u × v , es un vector que tiene:

Módulo: · · ,u v u v sen u v

Dirección: perpendicular a los vectores u y v

Sentido: el de avance de un sacacorchos que gira de u a v , es decir:

Si , 180ºu v , hacia arriba

Si , 180ºu v , hacia abajo

Gráficamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al área del

paralelogramo definido por los dos vectores.

Base = u

( , ) ( , )h

sen u v h v sen u vv

Área del paralelogramo = b · h = ( , )u v sen u v u v

B) PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL

1. Anticonmutativa: u v v u

2. El producto vectorial no cumple en general la propiedad asociativa, es decir,

u v w no es lo mismo que u v w

3. Cumple la propiedad distributiva respecto a la suma de vectores:

u v w u v u v

4. u v u v u v siendo λ un número real.

5. x

6. x

7. Si u y v son distintos de cero, entonces:

x u y v son paralelos (tienen la misma dirección)

C) EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO VECTORIAL

Si consideramos los vectores 1 1 1( , , )u x y z y 2 2 2( , , )v x y z respecto a la base ortonormal

, ,B i j k , tenemos que:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

, ,y z z x x y y z z x x y

u v i j ky z z x x y y z z x x y

o bien

1 1 1

2 2 2

i j k

u v x y z

x y z

(aunque esta expresión no es realmente un determinante)

Ejemplo: Calcular el producto vectorial de los vectores (1, 3,5)u y (2,1, 1)v

1 3 5 3 10 6 5 2 11 7 ( 2,11,7)

2 1 1

i j k

u v i j k k i j i j k

Comprobemos que u v es perpendicular a u y a v , con el producto escalar:

· (1, 3,5)·( 2,11,7) 2 33 35 0u u v u v ┴ u

· (2,1, 1)·( 2,11,7) 4 11 7 0v u v u v ┴ v

3.2. APLICACIONES DEL PRODUCTO VECTORIAL

Las aplicaciones del producto vectorial ya las hemos ido mencionando. Resumiendo,

serían:

Cálculo del área de un paralelogramo

Ejemplo:

Dados los vectores (3,2, 1)u y (5, 4,1)v , hallar el área del paralelogramo que tiene

por lados los vectores u y v

3 2 1 2 5 12 10 4 3 2 8 22 ( 2, 8, 22)

5 4 1

i j k

u v i j k k i j i j k

2 2 2 2( 2) ( 8) ( 22) 552A u v u

Cálculo del área de un triángulo

1

2A u v

Ejemplo:

Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1,1,3), B(2,-1,5) y

C(-3,3,1)

Los vectores que forman los lados del triángulo son:

(2 1, 1 1,5 3) (1, 2,2)AB

( 3 1,3 1,1 3) ( 4,2, 2)AC

1 2 2 4 8 2 8 4 2 0 6 6 (0, 6, 6)

4 2 2

i j k

AB AC i j k k i j i j k

2 2 3 2( 6) ( 6) 72 2 ·3 6 2AB AC (ésta sería el área del

paralelogramo)

El área del triángulo sería A = 26 23 2

2u

Obtención de un vector perpendicular a dos vectores dados

Sabemos que el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a ambos.

Ejemplo:

Hallar un vector que sea perpendicular a (1,0, 1)u y ( 2,3,1)v .

u v es un vector perpendicular a u y a v

1 0 1 2 3 3 3 3

2 3 1

i j k

u v j k i j i j k

El vector (3,1,3) es perpendicular a u y a v . También será perpendicular a ellos

cualquier vector proporcional a u v , es decir, (3,1,3) (3 , ,3 )k k k k con k

4. PRODUCTO MIXTO

4.1. DEFINICIÓN. PROPIEDADES

El producto mixto de los vectores , ,u v w se representa por , ,u v w

y es igual al

producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos, es decir, es

el número que se obtiene al operarlos de la siguiente manera:

, , ·u v w u v w

A) INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

El volumen del paralelepípedo de lados los vectores , ,u v w es el valor absoluto del

producto mixto.

Demostración:

, , · · ·cos cos ·u v w u v w u v w v w u v w OH

(área del paralelogramo de la base) · altura del paralelepípedo = Volumen del

paralelepípedo.

B) EXPRESIÓN ANALÍTICA

Si expresamos los vectores en la base ortonormal , ,B i j k , tenemos:

1 1 1( , , )u x y z , 2 2 2( , , )v x y z , 3 3 3( , , )w x y z

Aplicando las expresiones del producto escalar y el producto vectorial tenemos que:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

, , ( , , )· , ,y z x z x y y z x z x y

u v w x y z x y zy z x z x y y z x z x y

Que corresponde al desarrollo de un determinante formado por los tres vectores, luego

de forma más cómoda, el producto mixto se puede escribir:

1 1 1

2 2 2

3 3 3

, ,

x y z

u v w x y z

x y z

C) PROPIEDADES

Las siguientes propiedades son inmediatas y se derivan de la expresión del producto

mixto como un determinante:

1. El producto mixto no varía si se permutan circularmente sus factores, pero cambia de

signo si éstos se trasponen.

, , , , , ,u v w v w u w u v

, , , , , , , ,u v w v u w u w v w v u

* Para el cálculo de volúmenes, como se toma el valor absoluto del producto mixto, se

pueden tomar los vectores en el orden que convenga.

2. , , 0u v w

,u v y w son linealmente dependientes (son coplanarios)

3. , , , ,au bv cw abc u v w

4. ', , , , ', ,u u v w u v w u v w

4.2. APLICACIONES DEL PRODUCTO MIXTO

Las aplicaciones del producto mixto son:

a) Cálculo del volumen del paralelepípedo.

b) Cálculo del volumen del tetraedro.

El volumen de un tetraedro determinado por los vectores ,u v y w es igual a 1/6 del

producto mixto, en valor absoluto.

1, ,

6V u v w

Ejemplos:

a) Dados los vectores (2,1,3)u y (1,2,3)v y ( 1, 1,0)w , hallar el volumen del

paralelepípedo que tiene por aristas los vectores dados.

Solución:

2 1 3

, , 1 2 3 0 3 3 6 6 6

1 1 0

u v w

El volumen del paralelepípedo es el valor absoluto del producto mixto, por tanto:

V = 6 u2

b) Obtener el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos A(3, 2, 1), B(1, 2, 4),

C(4, 0, 3) y D(1, 1, 7).

(1 3,2 2,4 1) ( 2,0,3)AB

(4 3,0 2,3 1) (1, 2,2)AC

(1 3,1 2,7 1) ( 2, 1,6)AD

2 0 3

, , 1 2 2 24 0 3 12 4 0 5

2 1 6

AB AC AD

21 5, ,

6 6V AB AC AD u