Teoría y ejercicios Luis Zegarra Agramont

GEOMETRÍA VECTORIAL

En diversos cursos de la formación de un ingeniero, son importantes los vectores ysu representación desde el punto de vista geométrico y algebraico, los conceptosque ellos involucran dejan una visión clara del fénomeno que se quiere estudiar, espor esto que en ésta formación básica son fundamentales y no se pueden omitir.

Los vectores representarán cantidades que tienen magnitud, dirección y sentido.Es costumbre representar un vector por un segmento rectilineo que tiene un puntoinicial y un punto final , en este último punto va una punta de flecha la queE Findica el sentido del vector, a la longitud de dicho segmento se suele definir comola norma o magnitud del vector y se denotará por || || así entoncesEF ßt

A

Bur

? œ EFt t

Note que || || 0 para todo vector ?   ?t t

En forma más precisa diremos que la dirección de un vector da la pendiente oinclinación de la recta portadora y el sentido de un vector indica en qué forma actúaa lo largo de dicha recta.

Igualdad

Se define la igualdad si y solo si || || || || y también la igualdad en la+ œ , + œ ,t tt t

dirección y sentido.

Suma

La suma de vectores se define mediante la ley del paralelogramo como se indica enla figura.

A

ar

br

O

B

barr

+

Propiedades:

1) + , œ , +t tt t

#Ñ + Ð, -Ñ œ Ð+ ,Ñ -t t t tt t

3) + ! œ +t tt

4) + Ð +Ñ œ !t t t

Donde el vector se llama o neutro de la suma, su magnitud es 0 y se! @/->9< 8?69t

representa por un punto y el vector es el de , que es un + @/->9< 9:?/=>9 +t tvector paralelo, de la misma longitud pero de sentido contrario.

La diferencia se puede definir como la suma de dos vectores es decir+ ,t t

+ Ð ,Ñt t

A

ar

br

O

B

barr

−

Ponderación

Dado el vector y el número real se define el vector como el vector con+ 5ß 5+t tla misma dirección de pero de longitud Si es un número positivo, el+ ll5+llÞ 5t tsentido de es el mismo que el de y si es un número negativo, es de5+ +à 5 5+t t tsentido contrario al de Al real se acostumbra a llamar +Þ 5 /=-+6+<Þt

ar

akr

akr

akr

1>k

10 << k01 <<− k

Propiedades:

1) 5Ð:+Ñ œ Ð5:Ñ+t t

2) 5Ð+ ,Ñ œ 5+ 5,t tt t

3) Ð5 :Ñ+ œ 5+ :+t t t

4) 5+ œ ! Í 5 œ ! ” + œ !t tt t

5 tal que y Ñ + ll , Í b5 − + œ 5,ß 5 Á !ß + , Á !t t tt t t t‘

Ejemplo 1 Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se dimidian

A B

CD

E

ar

br

Demostración.

De la figura se tiene EI IH œ EH Í 5Ð+ ,Ñ :Ð, +Ñ œ ,t t t t tt t t

de donde como y son dos vectores noÐ5 :Ñ + Ð5 : "Ñ , œ ! + ,t tt tt

paralelos entonces

y de donde se obtiene 5 : œ ! 5 : " œ !à 5 œ : œ"

#

por tanto, las diagonales se bisecan mutuamente.

Los vectores atendiendo a las aplicaciones físicas se pueden clasificar en:

1. Vectores libres.

2. Vectores deslizantes.

3. Vectores fijos.

Un vector libre no tiene posición fija en un sistema (plano o espacio). Tal cantidadse puede representar por un número infinito de vectores que tienen la mismamagnitud, dirección y sentido.Un vector deslizante tiene una y sólo una recta en el sistema a lo largo de la cuálactúa. Puede representarse por cualquier vector que tenga la misma magnitud,dirección y sentido, contenido en esta recta.Un vector fijo tiene un punto de aplicación y solo uno y por tanto su representaciónes única.Con respecto a los vectores fijos es costumbre implantar un punto O, quecomunmente se suele llamar origen, con respecto del cuál se fijan todos los vectoresinmersos en un sistema, este sistema se llama sistema de referencia, más adelanteimplantaremos los referenciales y .‘ ‘# $

En un sistema cualquiera sea O el origen y el vector que lo representa es el vector

!Þt

Un vector cualquiera fijo en este sistema y con respecto al origen O, lo fijaremos

mediante el llamado , es decir @/->9< ./ :9=3-398 SE œ +Þt t

ar

O

A

U

R

ur

rr

Relación fundamental.

Notemos que con la sustentación de la diferencia de vectores se tiene la relaciónfundamental

EF œ SF SE œ , +t t t t t

ar

O

A

B

br

abrr

−

División de un segmento.

Vector de posición de un punto que divide a un segmento en una razónT ß EF

dada .-

Sean y dos puntos dados sobre una recta y sus vectores de posiciónE F + ,t t

con . Un punto divide al segmento en la razón si y solo si+ Á , T EFt t -

ET œ TF Í : + œ Ð, :Ñ Í : œt t t t t tt + ,t t

" - -

-

-

ar

O

A

B

br

P

pr

hora si de donde se infiere que divide al trazo - œ Ê : œ ß T EF7 8+ 7,

8 8 7t

t t

en la razón .7

8

Si o bien se obtiene el vector de posición del punto medio del7 œ 8 œ "ß-

segmento que es EFß : œ Þt+ ,t t

#

Variación de , en forma esquemática se puede expresar-

Ð " !Ñ Ð! _Ñ Ð _ "Ñ- - -l l

E F

Si el punto está en en o en un punto al- - -œ !ß œ „_ß œ "ß T Eß Fß

infinito de esa recta.

Consecuencias:

1) Tres puntos distintos y son colineales si y solo si existen tresEßF G

escalares distintos de cero, tales que con :ß ;ß < :+ ;, <- œ ! : ; < œ !t tt t

2) Cuatro puntos y tales que no haya tres de ellos colineales, sonEßFßG H

coplanares si y solo si existen cuatro escalares distintos de cero tales que:ß ;ß <ß >

con :+ ;, <- >. œ ! : ; < > œ !t tt t t

Dependencia lineal y bases

1. Se dice que el vector es combinación lineal de los vectores ? + ß + ß Þ Þ Þ ß +t t t t" # 8

solo si existen escalares tales quesi y B3

? œ B + B + Þ Þ Þ B +t t t t" " # # 8 8

2. Se dice que los vectores son linealmente independientes si y solo+ ß + ß Þ Þ Þ ß +t t t" # 8

si

B + B + Þ Þ Þ B + œ ! Í B œ B œ Þ Þ Þ œ B œ !t t t t" " # # 8 8 " # 8

en caso contrario se dirán linealmente dependientes.

3. Se dice que los vectores + ß + ß Þ Þ Þ ß +t t t" # 8 forman una base si y solo si, son son linealmente independientes y tienen la capacidad de generar todos los del sistema.Consecuencias:

1) En el plano dos vectores y no nulos y no colineales son linealmente+ ,t t

independientes y generan todos los vectores de dicho plano, entonces Ö+ß ,×t t

es una base.

2) En el espacio tres vectores no nulos y no coplanares son linealmente+ß ,ß -t tt

independientes y generan todos los vectores de dicho espacio, entonces Ö+ß ,ß -×t tt

es una base.

Ejemplo 2

Demostrar vectorialmente EF llGH Í œSE SF

EG FH

O A

B

C

D

ar

br

Demostración.

Ê Ñ

Sea una base, entonces si Ö+ß ,×t t por otraEF llGH Ê EF œ 7GHß 7 Á !ßt t

parte asíSG œ B+ß SH œ C ,ß GH œ SH SG œ C , B+ßt tt tt t tt t

comoEF œ , + œ 7ÐC , B+Ñ Í Ð" 7BÑ+ Ð7C "Ñ, œ !ßt t t tt t t

de donde Ö+ß ,× " 7B œ ! •t t es una base 7C " œ ! B œ C œ"

7

Así, SG SH SGSE SHSF EG FH SE SF

SE SF SE SF SE SF EG FHœ Í œ Í œ Í œ

É Ñ

SE SF EG FH SEEG SFFH SG SHEG FH SE SF SE SF SE SFœ Í œ Í œ Í œ œ 5

de donde

SG œ 5 + • SH œ 5 ,ßt t

por otra parte

EF œ , + • GH œ SHSG œ 5, 5+ œ 5Ð, +Ñ œ 5EFt t t tt t tt t tt

por tanto .EF llGH

Ejemplo 3.

Demostrar que la recta que une el punto de intersección de los lados de un trapeciocon el punto de intersección de sus diagonales, dimidia las bases.

A B

CD

P

N

Q

M

Demostración.

HGllEF Í HG œ EF Ð, +Ñ Í - + œ . , ‡t t t t tt t t- - - - Í - . œt t a b este es un vector de posición del punto de interscciónÍ œ

- + . ,t t

" "

t t- -

- -

de las diagonales y es decir EG HF ; œ œ "t- + . ,t t

" "

t t- -

- -a b

analogamente de se tiene que a b a b‡ : œ œ #t- , . +t tt t

" "

- -

- -

De y se tiene a b a b" # Ð" Ñ; œt- - + • Ð" Ñ: œ . +ßt t t tt- - - sumando

miembro a miembro de dondeÐ" Ñ; t- Ð" Ñ: œ - .t t t-

este es el vector de posición de un puntoÐ" Ñ; t- Ð" Ñ: - .t t

Ð" Ñ Ð" Ñ #œ

t-

- -

entre y que no es otro que el punto y como es puntoTU GH Q 7 œ ßt- .t t

#

medio de GHÞ

Analogamente se obtiene + , Ð" Ñ; Ð" Ñ:t t tt

# #œ œ 8t

- -

-

Igualdades que nos indican que y son colineales con y y ademásQ R T U

que dimidian a y respectivamente.GH EF

Ejercicios Resueltos

"Þ Demuestre que en todo paralelógramo, el segmento que une un vértice con el puntomedio del lado opuesto, triseca una diagonal y es trisectado por ella.

A BM

CD

Solución.

punto medio de Q EF Ê 7 œ Ð+ ,Ñ Í , œ #7 + "t t t tt t"# a b

Por ser un paralelógramo EH œt FG Í . + œ - , "t t tt t por a b. + œ - t t t #7 + Í . #7 œ - #+ Í œt t t t tt . #7 - #+t t t t

$ $ de donde

se tiene que y como se pretendía.ET " QT "

TG # TH #œ œ ß

2. Sea el punto medio de la transversal de gravedad del triángulo LaH EI EFGÞrecta corta a en el punto Determine vectorialmente la razón en queFH EG JÞJ EGÞdivide

Solución.

A B

C

E

DF

1

1

11

1

λ

Sea el origen el vertice base, luego se tiene:Eß Ö,ß -×t t

y , también . œ / œ Ê . œ 0 œ "t t/ , - , - -t t t t

# # % " t

t tt

-a b

Como y son colineales, entonces:JßH F

0 œ . Ð" Ñ,ß −t t t! ! ! ‘

Así: 0 œ . Ð" Ñ, œ Ð" Ñ, œ Ð" Ñ , - #t t t t t, - $ "t t

% % %t! ! ! ! ! ! a b

Como es una base de y se deduce que:Ö,ß -× " #t t a b a b y Ð" œ ! œ Ñ Ê œ #$ " "

% % "! ! --

Luego divide a en la razón J EG " À #Þ

3. Si es un triángulo cualquiera los puntos medios de sus lados, EFG PßQßR EFßFG GE EPQRy respectivamente, demostrar que es un paralelógramo.

Demostración.

AB

C

L

MN

Sea O un origen cualquiera, por demostrar que

y EP RQ ER œ PQt t t tœ

como son los puntos medios de los lados y entoncesPßQßR EFß FG GE

6 œ ß 7 œ ß 8 œt + , , - - +t t t tt t

# # #t t

De inmediato

EP œ 6 + œ + œ œ œt t t t+ , , + , - - +t t t t tt t t

# # # #RQt

analogamente para .ER œ PQt t

4. Se da en un triángulo la transversal de gravedad . Por se traza unaEFGß EH Frecta que pasa por el punto medio de sobre Demostrar que:FIJ I EH J EG Þa b$EJ œ EGÞ

AB

C

EDF

Demostración.

Se tiene que y de donde obtenemos. œ / œt , - + .t tt t

# #t

y entonces #. œ , - . œ #/ + #Ð#/ +Ñ œ , -t t t tt t t t t t

de aquí 4 esta igualdad implica que 4

/ , œ #+ - Í œ œ 0t t tt / , #+ -t t tt

$ $t

#EJ œ JG Í #EJ EJ œ EJ JG œ EG Í $EJ œ EGt t t t tt t t t

Compare esta forma de solución con la solución dada en el problema 2.

5. Demostrar que si en un triángulo las transversales y sonEFGß GHßEI FJconcurrentes en se tiene:T ß

HE IF JG

HF IG JE† † œ "

A B

C

D

F EP

Demostración. Sean:

HE IF JG

HF IG JEœ :ß œ ;ß œ <

entonces : HE œ :HF Ê + . œ :Ð, .Ñ Í . œt t t t t t t + :,t t

" :

analogamente obtenemos: y / œ 0 œt, ;- - <+t t t t

" ; " <t

Ahora, como los puntos y son coplanares existen escalares no todosEßFßG T

nulos tales que:

con ! " # 1 ! " # 1+ , - : œ !ß œ !t t tt t

De estas expresiones se obtiene:

pues ! " # 1

! " # 1

+ , - :t t tt

œ œ .ß H œ EF GTt

pues # " ! 1

# " ! 1

- , + :t t tt

œ œ /ß I œ FG ETt

pues # ! " 1

# ! " 1

- + , :t t t

œ œ 0ß J œ EG FT

tt

Así,

! " "

! " !

+ , + :,t tt t

" :œ œ Ê : œ

+ ,t t

"

"!"!

# " #

# " "

- , , ;-t tt t

" " ;œ œ Ê ; œ

, -t t#"#"

# ! !

# ! #

- + - <+t t t t

" " <œ œ Ê < œ

- +t t!#!#

Finalmente:

HE IF JG

HF IG JE† † œ : † ; † < œ † † œ "

" # !

! " #

6. En el paralelógramo de la figura, si divide al trazo en la razón ,T EF -

demuestre que la recta divide a la diagonal en la razón HT EG "

-

-

A BP

CD

λ 1

Solución.

T EF Í : œ Í Ð" Ñ: œ + , "t t t+ ,t t

" tdivide al trazo en la razón - - -

-

-a b

Como es un paralelógramo entonces, T EH œ FG Í . + œ - , #t t t tt t a bDe eliminamos ocupando resulta:a b a b# ß . + œ - , , "t t tt t- - - - -

de aquíÐ" Ñ: . + œ + - Í Ð" Ñ: . œ Ð" Ñ+ -t t t t t t tt t- - - - - - - -

divide a la diagonal en la razónÐ" Ñ: . Ð" Ñ+ -t t tt

" # " #œ Ê HT EG

- - - -

- --

- "

7. Demuestre que los segmentos que unen los puntos medios de los lados sucesivos deun cuadrilátero determinan un paralelógramo cuyo centro esEFGH

"%Š ‹+ , - .t tt t

Demostración.

A B

CD

M

N

P

Q

Por demostrar que: QU œ RT • UT œ QRt t t t

Hip.: y 7 œ Ð+ ,Ñß 8 œ Ð, -Ñß : œ Ð- .Ñ ; œ Ð+ .Ñt t t t t t t tt t t t" " " "# # # #

QU œ ; 7 œ Ð+ .Ñ Ð+ ,Ñ œ Ð. ,Ñ "t t t t tt t t t" " "# # # a b

RT œ : 8 œ Ð- .Ñ Ð, -Ñ œ Ð. ,Ñ #t t t t tt t t t" " "# # # a b

De y se tiene , analogamente para a b a b" # QU œ RT UT œ QRt t t t

En un paralelógramo el centro se obtiene, en la intersección de sus diagonales quees el punto medio de y así:QT URß

< œ Ð: 7Ñ œ Ò Ð- .Ñ Ð+ ,ÑÓ œ + , - .t t t t t t tt t t t" " " " "# # # # %Š ‹

o bien < œ Ð; 8Ñ œ Ò Ð+ .Ñ Ð, -ÑÓ œ + , - .t t t t t t tt t t t" " " " "# # # # %Š ‹

8. En un triángulo se trazan las transversales de gravedad y porEFGß EQ FRßR FG G FRÞuna paralela a y por una paralela a Estas dos rectas se cortan enT H TRÞ GH QRÞy sea el punto medio de Demostrar que es paralela a

Demostración.

A B

CP

N MD

Sea el origen, { base; entonces G +ß ,× 7 œ ß 8 œt t tt , +t

# #

t

Por otra parte y luego es un paralelógramo,À TRllFG TGllFR FGTR

entonces GT GF œ GR Í : , œ 8 Í : œ ,t t t t t tt t+t

#

Ahora: GH œ . œ œ œ "t t 8 : + ,t t t

# # #

,t t+ +t t# # a b

QR œ 87 œ #t t t+ ,t t

#a b

Finalmente por y a b a b" # GH œ QR Ê GHllQRÞt t

9. Sea un triángulo y un punto variable de Si es la resultante deEFG T FGÞ TUt

ET ß TF TGß EFUG Ut t t y demostrar que es un paralelógramo y por tanto esfijo.

A B

C

P

Q

Solución. Por hipótesis se tiene,

TU œ ET TF TG "t t t t a b considerando el punto como el origen, de se sigue queE "a b

; : œ : , : - : œ , - : Ê ; œ , -t t t t t t t t t tt t t

de aquí se deduce lo que describe a un paralelógramo deEU œ EF EGt t t

vértices y donde es fijo ya que no depende del punto variable.EßFßU Gß U T

10. y dividen a los lados y de un triángulo en las razonesT U GE GF EFG

y respectivamente. Si demostrar que: B C

" B " CTU œ EFß B œ C œ Þt t- -

AB

C

PQ

x

x−1

y

y−1qr

br

Solución. Sea el origen, entonces:E

EF œ ,ß EG œ -ß ET œ :ß EU œ ;t tt t t t tt

por hipótesis:

ET " B ET " B

TG B TG ET B Ð" BÑœ Ê œ œ " B Ê ET œ Ð" BÑEGt t

FU " C FU " C

UG C UG FU C Ð" CÑœ Ê œ œ " C Ê FU œ Ð" CÑFGt t

Por una parte se tiene,

; œ : TU œ : t t tt - -EF œ : ,ß : œ Ð" BÑ-t t t tt pero por tanto

; œ Ð" BÑ- ,t t t- a b"

también

; œ , FU œ , Ð" CÑFG , Ð" CÑt t t tt t œ Ð- ,Ñt t

; œ C , Ð" CÑ - #t tt a b pero forman una base, por tanto de y se tieneÖ,ß -× " #t t a b a b por tanto " B œ " C • C œ B œ C œ- -

""Þ Demostrar que en todo triángulo, las transversales de gravedad se trisecanmutuamente.

A

B

C

E

FG

H

Demostración. Sean y puntos medios de y respectivamente, I J EF FG L œ IG EJ

considerando al punto como el origen, se tieneF

pero 2 œ FEEL œ FE EJ œ + Ð0 +Ñß 0 œ -t t tt t t t tt t "

#- -

2 œ Ð" Ñ+ - "t t t#

-- a b

también,

pero 2 œ FG GL œ - GI œ - Ð/ -Ñß / œ +t t t t t t t t tt "

## #

2 œ - Ð + -Ñ œ Ð" Ñ- + #t t t t t t"

# ## #

# a b como son linealmente independientes, entonces de y se obtienenÖ+ß -× " #t t a b a b

Ð " œ • " œ Ñ Ê œ œ# # $

#- # # -

# -

por tanto, triseca a y ya que:L EJ GIß

EL œ EJ Í œ • GL œ GI Í œt t t# EL # # GL #

$ EJ $ $ GI $t

"#Þ EG FH EFGH Las diagonales y de un cuadrilátero se intersecan en un punto

que divide a en la razón y a en la razón Hallar laT ß EG 7 À 8 FH 7 À 8 Þw w

razón en la cual el punto de intersección divide a los lados y Uß EH FGÞ

A B

CD

Q

Pm 'm

n'n

Solución.

Considerando al punto como el origen, entoncesU À + œ . • , œ -ßt tt t- . pordeterminar y .- .

Note que se puede expresar de dos maneras:T ß

: œ œ Í : œ œt t8+ 7- 8 , 7 . 8 . 7- 8 - 7 .t t t t

8 7 8 7 87 8 7

t t t tw w w w

w w w w

- .

pero como son linealmente independientes, se tieneÖ-ß .×t t

8 7 Ð8 7Ñ7

8 7 8 7 Ð8 7 Ñ8œ Í œ

--

w w

w w w w

7 8 Ð8 7 Ñ7

8 7 8 7 Ð8 7Ñ8œ Í œ

w w w

w w w

..

Así,

y UE Ð8 7Ñ7 UF Ð8 7 Ñ7

UH Ð8 7 Ñ8 UG Ð8 7Ñ8œ œ œ œ- .

w w w

w w w

13. Dos fuerzas actúan en el vértice de un cuadrilátero representadas porEFGHß

EF EHà Gß GF GHÞt t t ty y otras dos en representadas por y Demostrar que

su resultante está representada por 4 donde y son los puntos mediosTUß T Ut

de y EG FHÞ

A B

C

D

P Q••

Demostración.

Por demostrar que EF EH GF GH œ % TUt t t t t

Sea el origen, entonces: E EF œ ,ß EH œ .ß GH œ . -ß GF œ , -t t t tt t t tt t

Por lo tanto

EF EH GF GH œ , . , - . -t t t t t t t tt t

œ #Ð, .Ñ #-t t t

por otra parte punto medio de ß T EG Ê : œ Í - œ # :t t t-t

#

punto medio de U FH Ê ; œ Í , . œ #;t t, .t t

#t t

luego EF EH GF GH œ % ; % : œ %Ð; :Ñ œ %TUÞt t t t t t t t t

14. Demostrar que si dos fuerzas concurrentes son representadas por y 8SE 7SFßt t

su resultante está dada por donde es el punto de intersección deÐ7 8ÑST ß Tt

EFt con dicha resultante.

O

A

BP

R

Demostración. Siendo el origen, se define de dos maneras, que son:S :t

: œ SEET œ SE EF œ + Ð, +Ñ œ Ð" Ñ+ t t t tt tt t t- - - - ,t

y : œ SV œ Ð8t t. . SE7SFÑ œ 8+ 7,t t t t. .

Dado que y son dos vectores linealmente independientes, se tiene:+ ,t t

Ð. - . - - .8 œ " 7 œ Ñ Ê œ œ7 "

7 8 7 8y y

luego, : œ Ð" Ñ+ , œt t7 7 8+ 7,

7 8 7 8 8 7t t t

de donde se obtiene

8+ 7, œt t Ð7 8Ñ :t

15. Por un punto cualquiera del interior de un trángulo se trazan M EFG TUllEFß

VWllFG XY llGE ÐT ß W EGà X ßU FGà YV EFÑÞy en en en Demostrar que

TU VW XY

EF FG GE œ #

A

B

C

I

U R

Q

T

S

P

Demostración. Sea el origen, entoncesM

: œ + Ð" Ñ-à ; œ , Ð" Ñ-t t t t tt- - - -

de donde

TU œ ; : œ Ð, +Ñ œ EF Í œ "t t t tt t TU

EF- - - a b

analogamente

? œ + Ð" Ñ,à > œ - Ð" Ñ,t t tt tt# # # #

YX œ > ? œ Ð- +Ñ œ EG Í œ #t t t t t t# # #XYGE a b

por otra parte

< ; œ , Í < œ , ; œ Ð" Ñ, Ð" Ñ-t t t t tt t t- -

= > œ - Í = œ - > œ Ð" Ñ- Ð" Ñ,t t t t tt t t# #

de aquí

VW œ < = œ Ð# Ñ- Ð# Ñ, œ Ð# ÑÐ- ,Ñt t t t tt t- # - # - #

VW œ Ð# ÑFG Í œ # $t t VW

FG- # - # a b

finalmente de y se siguea b a b a b" ß # $

TU VW XY

EF FG GE œ # œ #- # - #

16. En un plano se dan los triángulos y si son los puntosEFG PQRß T ßUßVmedios de los trazos y demostrar que los centros de gravedad deEPß FQ GRlos triángulos y son colineales.EFGß PQR TUV

A

B

C

P

L

M

NQ

R

Demostración. Sean los centros de gravedad de los triángulos yK ßK ßK EFGß PQR" # $

respectivamente, entonces:TUV

1 œ ß 1 œ ß 1 œt t t+ , - 6 7 8 : ; <t t t t t t tt t

$ $ $" # $

De donde obtenemos:

y $1 œ + , -à $ 1 œ 6 7 8 $1 œ : ; < ‡t t t t t t t t t tt t" # $ a b

Ahora por hipótesis: y : œ ß ; œ < œt t t+ 6 , 7 - 8t t t tt t

# # #

Remplazando en resulta a b‡ $1 œ Ð+ , - 6 7 8Ñ Ít t t t t"

#t t

$

y ' 1 œ $1 $ 1 Í ' 1 $1 $ 1 œ ! ' $ $ œ !t t t t t t t$ " # $ " #

entonces son colineales.K ßK ßK" # $

17. Dados los triángulos y tales que las rectas que unen los vérticesEFG PQR

homólogos se cortan en un punto . Demuestre que los puntos de intersección deW

los lados homólogos de estos triángulos, son colineales.

S A L

B

C

M

N

QP R

Demostración.

WßEßP Í = œ + Ð" Ñ 6 "t t t colineales ! ! a b

colineales WßGßR Í = œ - Ð" Ñ8 #t t t" " a b colineales WßFßQ Í = œ , Ð" Ñ7 $t tt# # a b

De y se deduce a b a b a b" # œ œ < %- + Ð" Ñ 6 Ð" Ñ8t t t

Ð" Ñ Ð" Ñ

tt

# ! ! #

# ! ! #

De y se deduce a b a b a b# $ œ œ ; &, - Ð" Ñ8 Ð" Ñ7t t t t

Ð" Ñ Ð" Ñt

" # # "

" # # "

De y se deduce a b a b a b" $ œ œ : '+ , Ð" Ñ7 Ð" Ñ 6t tt t

Ð" Ñ Ð" Ñt

! " " !

! " " !

De y respectivamente se obtienen:a b a b a b% ß & '

# ! # ! " # " # ! " ! "- + œ Ð Ñ<à , - œ Ð Ñ;à + , œ Ð Ñ:t t t t t t tt t

sumando miembro a miembro, se obtiene

Ð Ñ< Ð Ñ; Ð Ñ: œ !t t t t# ! " # ! "

relación que nos indica la colinealidad de los puntos y puésVßU T

Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ œ !# ! " # ! "

18. Demostrar que las bisectrices de un triángulo de lados y concurren alEFG +ß , -

punto incentroMÐ Ñ

3 œt ++ ,, --t tt

+ , -

2α

2α

β

γ

A

B B

CC

A

y

D D

c

bab

c

E

F

xa

x

yI

m

n

rs

θ

θ−180

Demostración. Sea bisectriz, por teorema del seno en triángulos y se tienenEH EHG EHFß

Ð œ • œ œ Ñ Ê œ=/8 =/8

B , C - - C -

=/8 =/8Ð")! Ñ =/8 B ,! !# #) ) )

analogamente: 7 + < ,

8 - = +œ • œ

entonces tenemos: y también. œ œ œ œt B , C - , , - -t tt t

B C " , -

, -t t , -t t

"

BCBC

,-,-

y / œ 0 œt+ + - - ++ , ,t t t

+ - + ,t

t

de estas expresiones establecemos

Ð, -Ñ . œ , , - - Í ++ Ð, -Ñ . œ ++ , , - -t t t tt t t t

++ Ð, -Ñ . ++ , , - -t t tt t

+ , - + , -œ

en forma similar obtenemos

,, Ð+ -Ñ / ++ , , - - -- Ð+ ,Ñ 0 ++ , , - -t t tt t t t t t

+ , - + , - + , - + , -œ • œ

t

por tanto concluímos

++ Ð, -Ñ . ,, Ð+ -Ñ / -- Ð+ ,Ñ 0 ++ , , - -t t t t tt t t

+ , - + , - + , - + , -œ œ œ œ 3

tt

19. Sea el punto de contacto de la circunferencia inscrita a un triángulo H EFGß

con el lado Demostrar que el punto medio de el incentro y elEFÞ Q EFß M

punto medio de son colineales.R GH

A B

C

MD

N⋅I

c

ab

Demostración. Sea el origen un punto arbitrario, entonces se tiene:S

7 œ à 3 œ Ð++ , , - -Ñß W œ Ð+ , -Ñt t t+ , " "t t

# #W #t t

también EH œ W + Ê œ Ê EH œ EF œ Ð, +ÑEH W + W + W +

EF - - -t t t t

de aquí . œ , +ßt tW + - + W

- -t

luego 8 œ Ð. -Ñ œ + , t t t" - + W W + -

# #- #- #t t

tt

Vamos a demostrar que y son ponderados uno del otro, es decirQM QRt t

QM œ 3 7 œ Ð Ñ+ Ð Ñ, -t t t t t+ = , = -

#W #W #Wt

QR œ 87 œ Ò Ð Ñ+ Ð Ñ, - Ót t t t tW + = , = -

- #W #W #Wt

Por tanto son colineales.QR œ QM Ê Qß MßRt tW

-

20. Dado un triángulo se triseca el lado obteniéndose los puntos y SEFß EFß R QÞ

Por se traza una paralela a que es cortada en e por las rectas F SEß \ ] ß SQy respectivamente (Eligiendo como origen)SRß S

a) Determinar los vectores de posición e en términos de los de y \ ] E FÞ

b) Determinar en que razón divide a a y al trazo \ F] ß Q S\ R S] Þ

X

OA

B Y

M

N

Solución.

a) Por hipótesis se tiene: 8 œ à 7 œt t, #+ + #,t tt t

$ $

ahora:

S] œ SR œ 8 Í C œ , + "t t t t t$ $t #

- -- - a b

S\ œ SQ œ 7 Í B œ + , #t t t t t$ $

# t" "" " a b

Por otra parte:

S] œ SESF Í C œ + , $t tt t t t! ! a b S\ œ SESF Í B œ + , %t tt t t t# # a b De y a b a b" $ à Ð

#

$ $ Ñ + Ð "Ñ , œ !ß Ö+ß ,×t tt tt- -! y como son L.I.

Ð œ ! • " œ ! Ñ Ê œ # •#

$ $

- -! ! - œ $

De y a b a b# % à Ð" "

# " #$ $ # # Ñ + Ð "Ñ , œ ! Ê œ • œt

# $ "t t

Así entonces resultan:

C œ , # + • B œ + ,t t t tt t"

#

b) De B œ + , Í , B œ + Í F\ œ SE Ê œt t t t" " " F\ "

# # # SE #t t t t

también por tanto C B œ + Í \] œ SE Ê œ ß œt t t$ $ \] $ F\ "

# # SE # \] $t t

Ahora S\ œ SQ Í SQ Q\ œ SQ Í Q\ œ Ð "ÑSQ Êt t t t t t t" " "

SQ " #

Q\ " "œ œ"

Finalmente S] œ SR Í SR R] œ SR Ê œt t t t t SR

R]- -

" "

" #œ

-

Ejercicios propuestos

1. Los vectores y forman lados consecutivos de un hexágono regular, el extremo+ ,t t

de +t ,Þ + ,ßt ttcoincide con el origen de En términos de y hallar los vectores queforman los otros cuatro lados.

2. Demostrar que en todo triángulo, el trazo que une los puntos medios de dos ladoses paralelo al tercero e igual a su mitad.

3. En un triángulo los puntos y son los puntos medios de los lados.EFGß PßQ RUna recta cualquiera por corta a en y a en Demostrar queG QR T PQ UÞET FUÞes paralela a

4. Demostrar que el baricentro de un triángulo, es también el baricentro del triángulocuyos vértices son puntos que dividen a los lados de aquel en una misma razón.

5. Demuestre que en todo triángulo, las alturas concurren en un punto.

6. Si son los vectores de posición de determinar de modo que+ß , EßFà Gt t

EG œ $EF H FH œ #FEÞt t t ty determinar de modo que

7. Si son puntos fijos y un punto variable de modo que la fuerzaEßFßG T

resultante de y pasa por hallar el lugar geométrico de TE TF Gß T Þt t

8. Demostrar que si son los puntos medios de los lados de un triánguloHßIß JEFGß Sßentonces cualquiera sea el origen se verifica

+ , - œ . / 0t t tt t t

9. Se dibujan vectores desde el centro de un pentágono regular a sus vértices.Demostrar que su suma es cero.

10. Demostrar que las diagonales de un paralelepípedo de lados se bisecan ,+ß , -t tt

mutuamente.

11. Dado un triángulo , se toman los puntos y en los lados y ,EFG H I FG GErespectivamente. Demostrar que los segmentos y no pueden dimidiarseEH FImutuamente.

12. Demostrar que si en un paralelógramo es un punto del lado unEFGHß T EFß Upunto en el lado y además y se cortan en y se cortanGH EU HT Pß UF GTen y y se cortan en , entonces los puntos y sonQ EG FH R PßQ Rcolineales.

13. En un triángulo , las trasversales de gravedad y se cortanEFG EE ß FF GGw w w

en Se toma el punto medio de y el punto medio de DemostrarKÞ H KE I KFÞque es un paralelógramo.HIE Fw w

14. Dado un cuadrilátero se traza por una paralela al lado EFGHß F FJ GH ÐJsobre y por una paralela al lado sobre Demostrar queEGÑ G GK EFÐK FHÑÞJK EHÞes paralela a

15. Demostrar que las alturas de un triángulo de ángulos , , concurren a unEFG ! " #punto ortocentro) cuyo vector de posición esÐ

>1 + >1 , >1 -t tt

>1 >1 >1

! " #

! " #

16. Demostrar que las simetrales de un triángulo de ángulos , , EFG ! " #concurren a un punto(circuncentro) cuyo vector de posición es

=/8 # + =/8 # , =/8 # -t tt

=/8 # =/8 # =/8 #

! " #

! " #

" Þ S L EFGß7 a) Si es el circuncentro y el ortocentro de un triángulo demostrarque: y que: SESF SG œ SL LELF LG œ #LSÞt tt t tt t t

b) Demostrar que si es diámetro de la circunferencia circunscrita al triánguloEH

EFG ß EL LF LG œ EHt t ttentonces:

18. Por los vértices y de un triángulo se trazan rectas que cortan a losEß F G EFGlados opuestos en y respectivamente. Si son concurrentes,T ßU V ET ßFUßGVentonces

FT GU EV

TG UE VF† † œ "

19. En un cuadrilátero el punto en que las diagonales y seEFGHß Uß EG FHintersecan, divide a estos segmentos en las razones y respectivamente. ¿En% #

$ $

que razón divide el punto en el que se intersecan los lados y a estosT ß EF GHßsegmentos.

20. Dado un ángulo se toma sobre y se traza por una paralela a\S] ß J S] JS\ß I SÞ F IJÞque corta en a una recta que pasa por Sea el punto medio de Por se traza una recta que corta en y respectivamente, a yF EßG Hß S\ßSIS] ÞDemostrar que:

EG EH

GF HFœ