vectores - unam
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• Vectores
SR: Cuerpos que se toman como referencia para describir el movimiento del sistema bajo estudio.
Bases para el estudio del movimiento mecánico
x(t)
y(t)
z(t)
Se le asocia
• Observador• Sistema de Coordenadas
y
x
z
• Reloj
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Cómo describir la posición de un punto en el espacio: Sistemas de coordenadas
Un sistema de coordenadas que permita especificar posiciones consta de:
Un punto de referencia fijo, O, denominado origen
Un conjunto de direcciones o ejes especificados, con una escala y unas etiquetas apropiadas sobre sus ejes
Instrucciones que indican como etiquetar un punto en el espacio con respecto del origen y de los ejes.
Sistema de coordenadas cartesiano (u ortogonal)
Ejemplo en dos dimensiones:
Un punto arbitrario se define mediante las coordenadas (x,y)
y positivas hacia arriba
y negativas hacia abajo
x positivas hacia la derecha
x negativas hacia la izquierda
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Sistema de coordenadas polar
Ejemplo en dos dimensiones:
Un punto arbitrario se define mediante las coordenadas polares planas (r,)
es el ángulo entre dicha línea y un eje fijo (normalmente el x)
r es la longitud de la línea que une el origen con el punto
Movimiento planoCoordenadas Cartesianas
y (m)
x (m)O
origenabcisa
orde
nada (x,y)
Q (-2,2)
P (8,3)
Coordenadas Polares
O
origen
(r,)
Relacion entre (x,y) y (r,)
y (m)
x (m)O
origenabcisa
(x,y)
r
θx r cos θy rsen
θy tanx
2 2r x y
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Dos tipos de magnitudes físicas importantes: escalares y vectoriales
Magnitud escalar:aquella que queda completamente especificada mediante un número, con la unidad apropiada
Número de papas en un saco
Temperatura en un determinado punto del espacio
Volumen de un objeto
Masa y densidad de un objeto
…
Magnitud vectorial:aquella que debe ser especificada mediante su módulo, dirección y sentido
Posición de una partícula
Desplazamiento de un partícula (definido como la variación de la posición)
Fuerza aplicada sobre un objeto
…
Representación tipográfica de un vector
Letras en negrita: aFlecha encima del símbolo:
Convenciones para representar una magnitud vectorial en un texto
Convenciones para representar el módulo de una magnitud vectorial en un texto
Letras en formato normal: a
Dos barras rodeando a la magnitud vectorial:
El módulo de un vector siempre es positivo, y especifica las unidades de la magnitudque el vector representa
(Cuántos metros me he desplazado)
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¿Existe la derivada en la naturaleza?
¿Y los vectores?,
El vector, los vectores o los espacios vectoriales son modelosmatemáticos que explican de la naturaleza newtoniana.
La punta del vector (de la flecha) nos da una buena idea de ladirección donde lanzamos o aplicamos este vector.
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• Dichas cantidades se llaman: ESCALARES• Son ejemplos de cantidades escalares; el tiempo,
la masa, la energía, la carga eléctrica, entre otras.
• Existen cantidades físicas que quedantotalmente determinadas por sumagnitud o tamaño, indicada en algunaunidad conveniente.
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• Otras cantidades físicas requieren para sucompleta determinación, que se añada unadirección a su magnitud.
• Dichas cantidades se llaman VECTORES.• Dentro de las cantidades vectoriales tenemos; el
desplazamiento, la velocidad, aceleración, fuerza, entre otras.
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• Gráficamente, un vector esrepresentado por una flecha.La magnitud o módulo delvector es proporcional a lalongitud de la flecha.
• El vector de la figurasería . La magnitudo módulo del vector seindica por , osimplemente A.
A
A
A
• Un vector se acostumbra a denotar por una letra con una flecha sobre ella.
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Representación de un vector
x
y
z
θ
A
Ax
Ay
Az
θsenAAx cosθsenAsenAy
θcosAAz 222zyx AAAAA
kAjAiAA zyx
Base cartesiana para la representación de vectores en 3D.
En Física a un vector de módulo uno se le denomina versor
Base ortonormal en el espacio 3D: Tres vectores de módulo unidad que, además son perpendiculares entre sí.
La base formada por los vectores se le denomina base canónica. Es la más utilizada usualmente, pero no la única
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Componentes cartesianas de un vectorProyecciones de un vector sobre los ejes de un sistema de coordenadas cartesiano
: componentes cartesianas de un vector
Cosenos directoresEn una base ortonormal, se llaman cosenos directores del vector a los cosenos
de los ángulos que forma el vector con los vectores de la base
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A
B
AB
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A
B
AB
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Álgebra vectorial Adición de dos vectores
Vector Componentes en un sistema de coordenadas particular
La suma de dos vectores es otro vector
Cuyas componentes en un sistema de coordenadas particular vienen dadas por la suma de las componentes de los dos vectores en el mismo sistema de coordenadas
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Álgebra vectorial Adición de dos vectores
Propiedades de la adición de dos vectores
Propiedad conmutativa
Propiedad asociativa
Las dos se siguen inmediatamente a partir de sus componentes
Podemos sumar los vectores en cualquier orden
Significado geométrico de la suma de vectores
Se disponen gráficamente un vector a continuación del otro, es decir, el origen de coincide con el extremo de
El vector suma tiene como origen en el origen de y como extremo el extremo de
Los vectores se pueden sumar de esta forma sin hacer referencia a los ejes de coordenadas
Supongamos que y pueden representarse como segmentos en el papel, ¿Qué sería ?
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Observaciones:
Las componentes rectangulares de unvector dependen del sistema coordenadoelegido.
La magnitud del vector no cambia.Permanece invariante en cualquiersistema coordenado
Determínese la resultante de los siguientes vectores
A
4u 3u
B
BAR
7u
12
+
A
B
8u 4u =
BAR
4u
Observamos que, cuando los vectores están en la misma dirección podemos determinar fácilmente su magnitud
¿Que sucede si los vectores no están en la misma dirección ? , ¿ podremos determinar directamente su magnitud ?
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A B
La magnitud en este caso no puede determinarse directamente , por lo que debemos tratar de buscar otra forma de determinarla
BAR
• Igualdad de vectores:Sean y dos vectores, entonces si y solo si tienen igual magnitud y dirección.
• Si definiremos como el vector nulo.
B
0A A
A
A B A
B
A
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• Vector opuesto:Sea un vector. Se llama vector opuesto de al vector que tiene la misma magnitud pero sentido opuesto que . Se designa por .
A
A
A
A
A
A
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Suma de vectores
• Se forma un tercer vector construyendo un triángulo con formando dos lados del triángulo, a continuación de .
• El vector que va desde el origen de hasta el extremo de es definido como el vector suma .
B
A
A B
BA
y
BA
y
B A
A
B
A B
• Sean dos vectores.
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• Para calcular el módulo delvector suma se recurre a laley del coseno:
• Usando ley del Seno:
S A B
2 2 2 2 cosS A B AB
S A Bsen sen sen
S
A
B
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Sustracción de vectores• La diferencia de 2 vectores representada por
es un vector que sumado a reproduce el vector .BA
y A B
B
A
( )A B A B
B
B
A B
A
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A
A
B
B
B
D
D
S
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A
B
yA
xA
xB
yB
4u
3u
6u
yA
xA
xB
yB
4u3u
6u
yx AAA
yx BBB
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yy BA
xx BA
10u
5u
yyxx BABAR
Por Pitágoras podemos ahora determinar la magnitud del vector resultante
uR 55510 22
yA
xA
xB
yB
xCyC
xD
yD
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yyyyy DCBAR
xxxxx DCBAR
xR
yR
15 u5 u
yx RRR
105R
xy
z(x1,y1,z1)
(x2,y2,z2)
A
Dados los puntos indicados elvector que los une estarepresentado por
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xy
z(x1,y1,z1)
(x2,y2,z2)
A
k)z(zj)y(yi)x(xA 121212ˆˆˆ
Álgebra vectorial Multiplicación de un vector por un escalar
Vector Componentes en un sistema de coordenadas particular
El resultado de multiplicar un vector por un escalar es otro vector
Cuyas componentes en un sistema de coordenadas particular vienen dadas por el producto de las componentes por el escalar
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Álgebra vectorial Sustracción de vectores
Se define de la misma manera que la adición, pero en vez de sumar se restan las componentes
Gráficamente: dibujamos el vector desde hasta para obtener
Álgebra vectorial Multiplicación de vectores
Los vectores se pueden multiplicar de varias maneras diferentes
Producto escalar: el resultado es un escalar
Producto vectorial: el resultado es un vector
Producto mixto: el resultado es un escalar
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Álgebra vectorial Producto escalar de vectores
Dados dos vectores cualesquiera y definimos el producto escalar
El producto escalar de dos vectores se representa poniendo un punto, ,entre los dos vectores
El resultado de esta operación es un escalar, es decir una cantidad que no tiene dirección. La respuesta es la misma en todo conjunto de ejes
Al producto escalar también se le conoce como producto interno, escalar o punto
Álgebra vectorial Propiedades del producto escalar de vectores
Propiedad distributiva
Propiedad conmutativa
Propiedad asociativa
Producto escalar de los vectores de la base ortonormal canónica
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Producto escalar de dos vectores θABBA cos
cosθAAB
Proyección de A sobre B
cosθBBA
Proyección de B sobre A
1ˆˆ ii1ˆˆ jj
0ˆˆ ji
0ˆˆ kj0ˆˆ ki
xAiA ˆ
1ˆˆ kk
yAjA ˆ
zAkA ˆZZYYXX BABABABA
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Álgebra vectorial Definición geométrica del producto escalar
es el producto del módulo de por el módulo de por el coseno del ángulo que forman
es el menor de los ángulos que forman los vectores
Significado geométrico del producto escalar. La proyección de un vector sobre el otro.
es el producto del módulo de por el módulo de por el coseno del ángulo que forman
es el menor de los ángulos que forman los vectores
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Utilización del producto escalar para saber si dos vectores son ortogonales entre sí
es el producto del módulo de por el módulo de por el coseno del ángulo que forman
Si el producto escalar de dos vectores es cero, y el módulo de los dos vectores es distinto de cero, entonces los dos vectores son perpendiculares entre sí.
Magnitudes físicas en las que interviene el producto escalar de dos vectores
Trabajo
Flujo de un campo vectorial
Ley de Gauss para campos eléctricos
A student’s guide to Maxwell’s equations Daniel Fleisch Cambridge University Press (New York, 2008)
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Producto vectorial de dos
vectores BAC
θABC sen
0ii
0ˆˆ jj
0ˆˆ kk
kji ˆˆˆ ikj ˆˆˆ
jik ˆˆˆ
Álgebra vectorial Producto vectorial de vectores
Dados dos vectores cualesquiera y definimos el producto vectorial como un nuevo vector
Cuyas componentes vienen dadas por
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)kBjBiB()kAjAiA(BAC zyxzyx
YZZYX BABAC
zxxzy BABAC
xyyxz BABAC
Álgebra vectorial Producto vectorial de vectores
El resultado de esta operación es un vector, es decir una cantidad que sí tiene dirección.
Al producto vectorial también se le conoce como producto externo, o producto cruz
Dados dos vectores cualesquiera y definimos el producto vectorial como un nuevo vector
Cuyas componentes vienen dadas por
El producto escalar de dos vectores se representa poniendo una cruz, , o un ángulo, , entre los vectores
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Módulo del vector producto vectorial
Dados dos vectores cualesquiera y definimos el producto vectorial como un nuevo vector
Módulo del vector producto vectorial
El módulo de es el producto del módulo de por el módulo de por el seno del ángulo que forman
El módulo del vector producto vectorial coincide con el área del paralelogramo definido por los dos vectores
Dirección del vector producto vectorial
Dados dos vectores cualesquiera y definimos el producto vectorial como un nuevo vector
Dirección del vector producto vectorial
Dirección del vector producto vectorial: perpendicular a los vectores y
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El sentido de viene determinado por la regla de la mano derecha
Con los tres dedos consecutivos de la mano derecha, empezando con el pulgar, índice y, finalmente, el dedo medio, los cuáles se posicionan apuntando a tres diferentes direcciones perpendiculares. Se inicia con la palma hacia arriba, y el
pulgar determina la primera dirección vectorial, el índice la segunda y el corazón nos indicará la dirección del tercero.
Sentido del vector producto vectorial
Álgebra vectorial Propiedades del producto vectorial de vectores
Propiedad anticonmutativa
Si
Propiedad distributiva con respecto a la suma
Producto de un escalar con respecto a un producto vectorial
Productos vectoriales entre los vectores de la base canónica
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Álgebra vectorial Propiedades del producto vectorial de vectores
Utilización del producto vectorial para saber si dos vectores son paralelos
Reglas de la multiplicación usando productos escalares y vectoriales
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Determinese la suma de los siguientes vectores:
A 3i 8j 5kˆ ˆ ˆ
2 3B -5i j kˆ ˆ ˆ
7 2C 4i j kˆ ˆ ˆ
Dados los vectores:
k3j5i4Bk5j3i3A
Determine :a) El producto escalar entre ellos. b)el producto vectorial entre ambose) el ángulo que forman entre sí.