Un vector fijo es un segmento orientado determinado por dos puntos.

Vectores

En todo vector distinguiremos: el módulo, la dirección y el sentido.Los vectores que tienen la misma dirección, mismo sentido y mismo módulo se llaman equipolentes.

Módulo: distancia del origen al extremoDirección: determinada por la recta que contiene al vector y sus paralelas.Sentido: el que va del origen al extremo

Componentes de un vector

Se obtienen restando a las coordenadas del extremo del vector las coordenadas de su origen.

ABSi consideramos el vector

Coordenadas del origen son A = (1,3) y las del extremo son B = ( 3,5)

)2,2()35,13( AB

Componentes:

CDSi consideramos el vector

Coordenadas del origen son C = (3,3) y las del extremo son D = ( 4,4)

)1,1()34,34( CD

Componentes:

GHSi consideramos el vector

Coordenadas del origen son G = (3,2) y las del extremo son H = (1,0)

)2,2()20,31( GH

Componentes:

PQLMJK ,,Los vectores son equipolentes. Observa que tienen las mismas

componentes.

¿Cuáles son? (3,-1)

Módulo de un vector

Tomemos por ejemplo el vector AB

Coordenadas del origen son A = (1,1) y las del extremo son B = ( 5,4)

)3,4()14,15( AB

Componentes:

Las componentes se corresponden con las medidas de los catetos. Por Pitágoras:

52534 22 AB

Tomemos por ejemplo el vector EF

Coordenadas del origen son E = (2,1) y las del extremo son F = ( 1,4)

)3,1()14,21( EF

Componentes:

Las componentes se corresponden (con signo positivo) con las medidas de los catetos. Por Pitágoras:

103)1(31 2222 scomponenteAB

En general, dado un vector ),( baAB su módulo será:22 baAB

Ejemplos

1.-Sean los puntos A ( -1,3), B (3,0), C(2,-2) , D (6,-5). Calcula las componentes, módulos, y representa los vectores BCCDAB ,,

2.-Dados los puntos A(0,0) B(1,1) C(0,2). Calcula las coordenadas del punto D

para que los vectores CDAB, sean equipolentes.

)1,1()01,01( AB

)1,1(CD

Para que sean equipolentes tendrán que tener las mismas componentes

Ahora bien, como

CDCD

(1,1) = D – (0,2)

D = (0,2) + (1,1)

D = (1,3)Las coordenadas finales se obtienen sumando a las iniciales el “camino recorrido” (las componentes)

Un vector libre es un representante del conjunto de vectores equipolentes a él. A partir de ahora cuando hablemos de vector supondremos que es un vector libre.

Operaciones con vectores

Suma

Consideremos los vectores

)5,2(u

)1,4(v

)6,2()15),4(2()1,4()5,2( vu

Opuesto de un vector

Consideremos el vector )3,2(u

su opuesto es )3,2( v

Dos vectores opuestos tienen el mismo módulo, misma dirección y sentido contrario.

Resta

Consideremos los vectores

)5,2(u

)1,4(v

)4,6()15,42()1,4()5,2( vu

Directamente:

)4,6()15),4(2()1,4()5,2( vu

Ejemplo

Calcula la suma y diferencia de los vectores

)2,0(v

)3,3(u

)5,3()23,03()2,0()3,3( vu

)1,3()23,03()2,0()3,3( vu

• Suma:

• Resta:

)2,0( v

• Multiplicación de un vector por un número

Consideremos el vector )1,2( u

)2,4()1,2(22 u

)3,6()1,2(33 u

2

1,1)1,2(

2

1

2

1u

)1,2()1,2(11 u

)3,6()1,2(33 u

Si multiplicas un vector por un número el vector resultante no cambia de dirección, se alarga o encoge si el número es positivo. Si el número es negativo el vector resultante además cambia de sentido.

Efectúa vu

32

)2,6(u

)1,2(v

2 · (6,2) + 3 · (-2,1) = (12,4) + (-6,3) = (6, 7)

Efectúa uv

- ( -2,1) – (6,2) = (2, -1) – ( 6,2) = (-4, -3)

Efectúa gráficamente vu

32

)2,6(u

)1,2(v

)2,6(u

)1,2(v

Efectúa gráficamente uv

Traslación de un punto mediante un vector

AAu ´

uAA

´

Ejemplo

Calcula los puntos que se obtienen trasladando el punto A(-2,0) mediante los vectores:

)2,0(u

A´= (-2,0) + (0,2) = (-2,2)

)0,2(u

A´= (-2,0) + (2,0) = (0,0)

)2,1(u

A´= (-2,0) + (-1,2) = (-3,2)

)1,3( u

A´= (-2,0) + (3,-1) = (1,-1)

Distancia entre dos puntos

Consideramos los puntos A(1,-4) y B(3,-5). La distancia que hay entre ellos es el módulo del vector

(3-1, -5-(-4)) = (2,-1) AB

5)1(2),( 22 ABBAd

1.-Calcula el perímetro de un triángulo equilátero que tiene dos vértices situados en los puntos A(0,0) y B(-3,-2)

(-3-0,-2-0) = (-3, -2) AB

13)2()3(),( 22 ABBAd

133Perímetro =

2.-Determina el área de un cuadrado si sabes que dos vértices consecutivos son los puntos A(-1,1) y B(3,4)

:AB (3- (-1),4-1) = (4, 3)

52534),( 22 ABBAd

Área = lado · lado = 5 · 5 = 25

3.-Calcula la diagonal del rectángulo

:AC ( 6, -4)

22 )4(6),( ACCAd

521636

Punto medio de un segmento

Calculemos M el punto medio del segmento AB siendo A = (-2,3) y B(0,-1)

1º.- Determinaremos el vector AB

2º.- Determinaremos el vector ABAM 2

1

3º.- Trasladaremos el punto A mediante el

vector AM

)2,1()4,2(2

1AM

M = A+ AM = (-2,3) + (1,-2) = (-1,1)

AB (0 – (-2) , -1 – 3) = (2, -4)

También se podría calcular M de forma directa:

)1,1(2

)1(3,

2

02

M

Sin la fómula:

AB (7 – (-4) , 6 – 5) = (11, 1)

A(-4,5) B(7,6)

2

1,

2

11)1,11(

2

1AM

AMAM

2

1,

2

11)5,4(

2

15,

2

114

2

11,2

3

2

11,2

3

2

65,

2

74MCon la fórmula:

2.-Determina los puntos que dividen al segmento de extremos A(-1,0) y B(2,-3) en tres partes iguales.

El punto C se obtiene trasladando el

punto A mediante el vector AC

que es la tercera parte del vector AB

(2 – (-1) , -3 – 0) = (3, -3) AB

1,1)3,3(3

1AC

1,01,1)0,1( ACAC

1,0 C

El punto D se obtiene trasladando el

punto C mediante el vector CD

cuyas componentes son las mismas

que las de AC

2,11,1)1,0( ADCD

De la fórmula deducimos que:

Vectores paralelos

Dos vectores son paralelos si tienen la misma dirección

)1,3()21),2(1( AB

)2,6())1(3),2(4( CD

)5.0,5.1()5.01),5.0(2( FG

5,1

5,0

6

2

3

1

En general, dos vectores

),( 21 uuu

),( 21 vvv

son paralelos cuando 1

2

1

2

v

v

u

u

1.-Determina cuales de los siguientes vectores son paralelos.

)1,1( u

)4,2( v

)3,3( w

)4,2(n

no es paralelo a u

)4,2( v

ni a )4,2(n

ya que 2

4

1

1

y

2

4

1

1

u

es paralelo a )3,3( w

ya que 3

3

1

1

v

es paralelo a )4,2(n

ya que 2

4

2

4

2.- Comprueba si A(1,2) B(0,0) C(3,5) pueden ser los vértices de un triángulo.

)2,1()20,10( AB

)3,2()25,13( AC

2

3

1

2

No son paralelos por tanto los tres puntos pueden construir un triángulo.

3.- Comprueba si A( -2,0) B(1,1) C(-5,-1) pueden ser los vértices de un triángulo.

)1,3()01),2(1( AB

)1,3()01),2(5( AC 3

1

3

1

Son paralelos por tanto los tres puntos están alineados. No pueden construir un triángulo.

(-1,-1) · (2,-2) = -2 + 2= 0

El producto escalar es cero, por tanto son perpendiculares. El triángulo es rectángulo.