vectores · suma de vectores en forma binomica y cartesiana. 10 12. producto de un escalar por un...

4º de E.S.O. Matemáticas B

Departamento de Matemáticas. I.E.S. “Fuente Lucena”. Alhaurín el Grande 1

VECTORES

INDICE

Pág.

1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. 3

2. VECTORES. 3

3. VECTORES: OPUESTO Y NULO. 4

4. VECTORES EQUIPOLENTES Y LIBRES. 5

5. SUMA Y DIFERENCIA DE VECTORES. 5

5.1. Regla del polígono. 5 5.2. Regla del paralelogramo. 6 5.3. Diferencia de vectores. 6

6. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR. 7

7. COMBINACION LINEAL. 7

8. DEPENDENCIA LINEAL. 8

9. BASE DE VECTORES EN EL PLANO. 8

10. COMPONENTES DE UN VECTOR. 9

11. SUMA DE VECTORES EN FORMA BINOMICA Y CARTESIANA. 10

12. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR. 11

13. MODULO DE UN VECTOR SEGUN SUS COMPONENTES. 11

14. CAMBIO DE BASE: 11

15. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES. 12

16. PRODUCTO ESCALAR EN FORMA BINOMICA. 13

17. APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR. 13



17.1. Cálculo de la proyección de un vector sobre otro. 13 17.2. Cálculo del ángulo formado por dos vectores. 15 17.3. Condición de perpendicularidad de dos vectores. 15

ANEXO I: RELACIONES DE EJERCICIOS 17

ANEXO II: RELACION DE EJERCICIOS RESUELTOS.



1.- MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES.

Magnitudes escalares: Son las que quedan determinadas por el número que expresa

su medida. Por ejemplo:

La temperatura El tiempo

El volumen El dinero

Magnitudes vectoriales: Son aquellas que necesitan, además del número que expresa

su medida, de otros elementos como la dirección y el sentido. Por ejemplo:

Una fuerza no queda definida únicamente por su intensidad sino

que necesitamos también conocer su dirección y sentido. (La

resultante de dos fuerzas de 8 y 3 Newton dependerá de la dirección y

sentido de las mismas. Si tienen la misma dirección y sentido será una fuerza

de 11 N; si tienen la misma dirección y sentidos opuestos, su resultante será de

5 N).

2.- VECTORES.

Las magnitudes vectoriales se representan mediante vectores. Un vector es un segmento

orientado.

Dos puntos ordenados, � y �, del plano definen un segmento �� y una forma de recorrerlo: de � hacia �. A este par (�, �) le llamamos vector ��.

Al punto � lo llamamos ORIGEN y al punto � EXTREMO.

E l segm ento �� y e l segm ento �� so n igua les , pero lo s vectores �� y �� son distintos:

�� = �� ≠ ��

Módulo de un vector: Es la longitud del segmento que determinan su origen y su extremo.



El módulo del vector �� es de tres unidades.

Dirección de un vector: Es la de la recta que pasa por su origen y su extremo o la de cualquier

recta paralela al segmento determinado por el origen y el extremo del vector.

� ∥ �′

Sentido de un vector: En cada dirección hay dos sentidos, siendo el del vector el determinado por

la forma de recorrerlo.

Los vectores �� y �� tienen el mismo sentido.

Los vectores ��y �� tienen sentidos contrarios.

Los vectores �� y �� tienen sentidos contrarios.

3.- VECTORES: OPUESTO Y NULO.

Vectores opuestos: Son los que tienen el mismo módulo y dirección pero sentidos contrarios.

� ∥ �′



Los vectores �′�′�� y �� son vectores opuestos, ya que tienen la misma dirección �� ∥ �′�′��, el mismo módulo �� = ��′�′�� pero sentidos contrarios �� ↓ �′�′��.

Vector nulo: Es aquel vector que tiene de módulo cero-Su origen y su extremo coinciden.

��′�� = 0

4.- VECTORES EQUIPOLENTES Y LIBRES.

Dos vectores �� y �� tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Los vectores equipolentes se representan: �� = ��

�� = ��

�� ∥ ��

�� ↑ ��

Luego �� y �� son vectores equipolentes.

Si dos vectores �� y �� no nulos son equipolentes, entonces el cuadrilátero �� es un paralelogramo o los cuatro puntos �, �, � y � están alineados.

�� es un paralelogramo �, �, � y � están alineados

Todos los vectores equipolentes entre si se pueden representar por uno de ellos al que

denominaremos VECTOR LIBRE y que representaremos por ��.

5.-SUMA Y DIFERENCIA DE VECTORES.

5.1. Regla del polígono.

Dados dos vectores libres �� y �� podemos tomar dos representantes �� y ��, tal que llamaremos vector suma � al representante ��.



5.2. Regla del paralelogramo.

Dados dos vectores libres �� y �� y un punto �, hallamos dos representantes �� y �� de �� y �� y completamos el paralelogramo, siendo la diagonal del mismo, ��, el representante del vector suma.

5.3. Diferencia de vectores.

Para restar dos vectores libres �� y �� se suma al primero el opuesto del segundo.

�� − �� = �� + �−��



6.- PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.

Dado un número real # y un vector $�, definimos el vector producto %$�� como un vector que tenga:

• Por módulo: el módulo de $�� multiplicado por el valor absoluto de #

�#$�� = |#| · |$�|

• Por dirección: La dirección de $��.

• Por sentido: El sentido de $�� si # es positivo:

#$�� ↑ $�si% > 0

Y sentido contrario a $� si # es negativo:

#$�� ↓ $�si% < 0

7.- COMBINACION LINEAL.

Dados los vectores libres $�,, $�-, $�3, ⋯ , $�0 y los números reales �,, �-, �3, ⋯ , �0, se llama combinación lineal de los vectores anteriores a cada uno de los vectores de la forma:

$� = �,$�, + �-$�- + �3$�3 +⋯+ �1$�0

Ejemplos:



8.- DEPENDENCIA LINEAL.

Siempre que un vector $�� se pueda expresar como combinación lineal de otros v��,, v��-, se dice que ese vector depende linealmente de v��, y v��-.

En el apartado anterior: v�� depende linealmente de v��, y v��-.

3�� depende linealmente de $�, y $�9. :�� depende linealmente de $��1, $��2 y $��3. Obsérvense ahora los vectores siguientes:

En el caso de los vectores �� y ��, el vector �� no lo puedo expresar como combinación lineal de ��. A estos vectores se les llama LINEALMENTE INDEPENDIENTES.

9.- BASE DE VECTORES EN EL PLANO.

Dos vectores =��, y =��2 de distinta dirección son linealmente independientes. Cualquier otro vector del plano puede expresarse como combinación lineal de ellos.

Estos dos vectores >=��,, =��-? de distinta dirección forman una BASE del plano vectorial, de forma que:

∀ vector E�, ∃ �,, �- ∈ ℝ / E� = �,=,�� + �-=-�� A la expresión E� = �,=,�� + �-=-�� se le denomina EXPRESION BINOMICA DE UN

VECTOR.

Ejemplo:

Consideremos una base >=��,, =��-? y tres vectores cualesquiera E�, :� y J�. Obsérvese cómo los tres vectores pueden expresarse como combinación

lineal de los vectores de la base >=��1, =��2?.



10.- COMPONENTES DE UN VECTOR.

Si consideramos un sistema cartesiano de ejes rectangulares, cualquier vector �� queda determinado por los puntos ��E,, :,� y ��E-, :-�.

A las diferencias E- − E, e :- − :, se les llama primera y segunda componentes del vector ��. Ejemplo: Si ��1,1� y ��3,2�, la primera componente será:

E- − E, = 3 − 1 = 2 y la segunda:

:- − :, = 2 − 1 = 1

Se puede comprobar que existen otros vectores que tienen las mismas componentes.



11.- SUMA DE VECTORES EN FORMA BINOMICA Y CARTESIANA.

a) Forma binómica.

Dada una base del plano >=��1, =��2? y dos vectores E�� = ��,, �-� e :� = ��,, �-�, el vector suma E + :�� viene determinado por la suma de las componentes respectivas.

E�� = �1=1�� + �2=2�� :� = �1=1�� + �2=2�� Entonces:

E + :�� = E� + :� = ��,=,�� + �-=-�� + ��,=,�� + �-=-�� = �,=,�� + �-=-�� + �,=,�� + �-=-�� = ��, + �,�=,�� + ��- + �-�=-��

b) Forma cartesiana.

Dada una base ORTONORMAL (vectores perpendiculares y unitarios) >=��1, =��2?, y d o s v e c t o r e s E�� e :�, d e c o m p o n e n t e s �E,, :,� e �E-, :-�, el vector suma E + :�� v i e n e d e t e r m i n a d o p o r l a s u m a d e s u s c o m p o n e n t e s



12.- PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a) En forma binómica

El producto de un número real K por un vector dado en forma binómica E�� = �1=1�� + �2=2�� es otro vector KE�� cuyas componentes serían K�, y K�-. E�� = �1=1�� + �2=2�� ⟹ K · E�� = K��1=1�� + �2=2�� = K�1=1�� + K�2=2�� = KE��

El vector KE�� tendrá la misma dirección que el vector E��, el mismo sentido si K > 0 y sentido contrario si K < 0. b) En forma cartesiana

E�� = ��1, �2� ⟹ K · E�� = K��1, �2� = �K�1, K�2� = KE�� 13.- MODULO DE UN VECTOR SEGUN SUS COMPONENTES

El módulo de un vector según sus componentes es la raíz cuadrada de la suma de los

cuadrados de sus componentes.

$� = M$N- + $O-

14.- CAMBIO DE BASE

Dada una base del plano � = >=��,, =��-?, todo vector E� de ese plano vendrá expresado como combinación lineal de los vectores de la base, E� = �1=1�� + �2=2��. Si considerásemos otra base del plano distinta de la anterior �′ = >$�,, $�-?, el vector E�� también se podrá expresar como combinación lineal de los vectores de esta nueva base E� = �1$1�� + �2$2��.



15.- PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES.

Se llama producto escalar de dos vectores al número que resulta de multiplicar los

módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman.

El producto escalar de los vectores �� y �� se :representa de la forma �� · ��. �� · �� = |��| · �� · cos ��, ��P

15.1.- Propiedades del producto escalar.

a) Conmutativa.

El resultado del producto escalar de dos vecto res es independiente del

orden en que estos se consideren.

�� · �� = |��| · �� · cos ��, ��P = |��| · �� · cos Q �� · �� = �� · |��| · cos ��, ��P = �� · |��| · cos�−Q� Como cos�−Q� = cos Q:

�� · �� = �� · |��| · cos ��, ��P = �� · |��| · cos�−Q� = |��| · �� · cos Q = �� · �� Con lo cual podemos concluir que:

�� · �� = �� · ��

b) Distributiva respecto de la suma.

La demostración se deja para el alumno.



16.- PRODUCTO ESCALAR EN FORMA BINOMICA.

Dada una base ortonormal de vectores del plano � = >=��,, =��-? y dos vectores �� y ��, dados en forma binómica, el producto escalar de los mismos viene dado por la suma de los productos de sus componentes respectivas.

E� = �1=1�� + �2=2��:� = �1=1�� + �2=2�� ⟹ E� · :� = ��1=1�� + �2=2�� · ��1=1�� + �2=2�� = = �1�,=1�� · =1�� + �1�-=1�� · =2�� + �2�,=-�� · =,�� + �-�-=-�� · =2�� = (1)

Considerando ahora los productos escalares de los vectores unitarios =1�� y =2�� , tenemos:

=,�� · =,�� = |=,��| · |=1��| · cos 0 = 1 · 1 · 1 = 1

=,�� · =-�� = |=,��| · |=2��| · cos 90 = 1 · 1 · 0 = 0

=-�� · =,�� = |=2��| · |=1��| · cos 90 = 1 · 1 · 0 = 0

=-�� · =-�� = |=2��| · |=2��| · cos 0 = 1 · 1 · 1 = 1

Sustituyendo en (1) estos productos escalares obtenemos:

= �1�, · 1 + �1�- · 0 + �2�, · 0 + �-�- · 1 = �1�, + �-�-

E� · :� = �1�, + �-�-

17.- APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR.

17.1. Cálculo de la proyección de un vector sobre otro.

La proyección de un vector sobre otro es igual al cociente que resulta de

dividir el producto escalar de ambos vectores entre el módulo del vector que recibe la

proyección.

Demostración:



En el triángulo rectángulo ��, la proyección del vector �� sobre el vector �� es el segmento ��. Si consideramos el coseno del ángulo que forman los dos vectores obtenemos:

• cos Q = ST��SU�� • �� es la proyección del vector �� sobre el ��. • �� es el vector ��.

Luego de la expresión cos Q = ST��SU�� se deduce que: cos Q = �� ⟹ �� = �� · cos Q = �� · cos Q (1)

Si consideramos el producto escalar:

�� · �� = |��| · �� · cos Q

Sustituimos la expresión obtenida en (1):

�� · �� = |��| · �� · cos Q = |��| · �� ⟹

�� = �� · ��

|��|

Si llamamos % (puesto que es la proyección) al segmento ��:

% = �� · ��

|��|

Si expresamos tanto el producto escalar como el módulo en forma

binómica, obtenemos la siguiente expresión:

% = �,�1 + �2�2V�,- + �--



17.2. Cálculo del ángulo formado por dos vectores.

Si en la expresión del producto escalar despejamos cos Q: cos Q = �� · ��|��| · ��

Si expresamos el producto escalar y los módulos en forma binómica

obtenemos:

cos Q = �,�1 + �2�2V�,- + �-- · M�,- + �-- El coseno del ángulo formado por dos vectores es igual al cociente que

resulta de dividir el producto escalar de los vectores entre el producto de sus

módulos.

17.3. Condición de perpendicularidad de dos vectores.

La condición necesaria y suficiente para que dos vectores sean

perpendiculares es que su producto escalar sea igual a cero.

��, ��P = 90° ⟺ �� · �� = 0 Demostración:

Si dos vectores son perpendiculares el ángulo formado por los

mismos es de 90°, con lo cual sustituyendo en la expresión del producto escalar tenemos:

�� · �� = |��| · �� · cos 90 Como cos 90 = 0

�� · �� = |��| · �� · 0 = 0 ⟹ �� · �� = 0 También lo podemos expresar de la siguiente forma:

��, ��P = 90° ⟺ �,�1 + �2�2 = 0

18.- PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES.

Se llama producto vectorial de dos vectores, A OTRO VECTOR de DIRECCION

PERPENDICULAR al plano definido por los dos vectores, de SENTIDO el dado por el



avance de un sacacorchos que gira de multiplicando a multiplicador por el camino

más corto y de MODULO el producto de los módulos de ambos vectores por el

seno del ángulo que forman.

DIRECCION: Perpendicular al plano Y. SENTIDO: El de avance de un sacacorchos que vaya de �� a �� por el camino más

corto.

MODULO: |$�| = |��| · �� · sen Q



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RELACION DE PROBLEMAS. DE VECTORES

1) Si ��6,8� y ��−4,2� son dos puntos del plano que definen vector ��, determina las coordenadas de dicho vector.

2) Las coordenadas del vector �� son �4,6� y las del punto ��0,2� ¿Cuáles son las coordenadas de �?

3) Sean �� y �� dos vectores cuyas coordenadas respecto de una base son �6, −4� y �10, � respectivamente. Determina el valor de para que ambos vectores sean linealmente independientes. ¿Cuánto valdrá para que �� y �� sean dependientes?

4) Determina la proyección del vector =�� = �2,1� sobre el vector $� = �−3,4�.

5) Dados los vectores =�� = �3, −4� y $� = �5,6�, determina: a) Producto escalar. b) Módulos. c) Ángulo formado por =�� y $�. d) Un vector unitario en la dirección y sentido de =��.

6) El cuadrilátero de vértices ��2,5�, ��6,3�, ��4,1� y ��0,3�. ¿Es un paralelogramo?

7) Los vectores ��′�� y ��′�� siendo ��2,3�, �′�3,4�, ��3,4� y �′�5,5�. ¿Son equipolentes?

8) Dados los puntos ��2,3�, ��1,5� y ��−2,4�, halla el cuarto punto � para que los vectores �� y �� sean equipolentes.



9) D a do s lo s v ec to re s =�� = �−2,3� y $� = �4, −5�, construye un paralelogramo que tenga como lados consecutivos =�� y $�. Determina las coordenadas de los dos vectores que forman los otros dos lados.

10) D a do s lo s v e ct o r e s =�� = �2,3�, $� = �1, −5� y 3�� = �2,1�, i n v e st i g a s i $� y 3�� f o rm a n u n a b as e y e n c aso a f i r m a t iv o , e x p re sa co m o se r ía n l as c o o r de n a d as de l v ec to r =�� re s pe c to d e d i c h a b a se .

11) Hal la ^ sab iendo que E� = �^, 5� y que |E�| = 13.

12) Halla la proyección del vector =�� = �2, −5� sobre el vector $� = �5,1�.

13) Sean los vectores de _- E� = �3, −1� e :� = ��, 2�. Calcular el valor de � para que el vector E� sea ortogonal al vector E + :��.

14) Sean los vectores =�� = �3,5� y $� = ��, −1�. Calcular el valor de � para que el vector $� tenga la misma dirección. que = + $��.

15) Siendo u�� = �3,4� y v�� = � 2, −3�, calcula x�� = �x,, x-� si se cumple que u�� · x�� = 0 y v�� · x�� = 1.

16) Sabiendo que u�� = −3v�� y |u��| = 6, calcula u�� · v��.

17) Sean u�� y v�� tales que |=��| = |$�|. Calcula �=�� + $�� · �=�� − $��.

18) Sean u�� y $� tales que |=��| = 9 y �=�� + $�� · �=�� − $�� = 17. Calcula |$��|

19) Un vector E� = �1,3� está refer ido a una base ortonormal. Encontrar las coordenadas de un vector :� perpendicular a E� y cuyo módulo sea 2 �|:�| = 2�.



20) Sean =,��y=-�� dos vectores tales que |=1��| = |=2��| = 1 y =1�� · =2�� = 0. Demostrar que los vectores =�� = E=,��+ :=-�� y $� = −:=1�� + E=2�� son ortogonales.

21) Sea B = >u,��, u-��? una base ortogonal donde |u,��| = 1 y |u-��| = 2. Calcular el ángulo que forman los vectores x�� = −5u,�� + u-�� e y�� = u,�� + u-��.

22) Sea B = >u,��, u-��? una base ortonormal. Determinar � para que los vectores E�� = 3=1�� +2=2�� e :� = �=1�� − 6=2�� sean ortogonales.

23) Sea B = >u,��, u-��? una base y |=1��| = |=2��| = 1. ¿Puede ser =1�� · =2�� > 1?

24) Siendo a�� = mı�+ 3ȷ� y b�� = 2ı�+ ȷ�, calcular m para que el módulo del vector 2�� − 3�� sea 5.



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SEGUNDA RELACION DE PROBLEMAS DE

VECTORES

1) Dados los siguientes vectores, indica el módulo de cada uno y cuales tienen la misma dirección y sentido.

2) Indica cuales de los vectores del ejercicio anterior son equipolentes.

3) ¿Son equipolentes los vectores �� y ��?

4) De los vectores fijos del ejercicio 3, indica cuales representan el mismo vector libre.

5) Dados los siguientes vectores, realiza gráficamente las operaciones que se indican:

a) �� + 2�� b)

,- �� + �� c)

9l �� − 5 � d)

,l �� + ,- �� − 2 �



. . .

6) Comprueba para los vectores a�� y b�� del ejercicio anterior que 3�a�� + b�� = 3a�� +3b��.

7) Dados los vectores ��, �� y ��, comprueba:

a) �� + �� = �� b) �� + �� + �� = 0��

8) Dibuja cuatro vectores cuya suma sea el vector nulo.

9) Dado el vector ��, dibuja los vectores ,- ��, −5��, 6�� e indica las semejanzas y diferencias entre cada uno de ellos.

10) Dados los vectores de la figura:

a) ¿Es $� combinación lineal de ��? b) ¿Es �̂�� combinación lineal de ��? c) ¿Es 0�� combinación lineal de �� y ��? d) ¿Es J� combinación lineal de �� y ��? e) ¿Es 3�� combinación lineal de �� y �?

En caso afirmativo halla los escalares.

f) Dibuja un vector combinación lineal de ��, �� y J�.

11) Explica por qué los vectores á y 5,7del ejercicio anterior son una base de los vectores libres.

12) Indica cuales son las coordenadas de 0�� y J� respecto de esa base.



13) Explica cómo tiene que ser un conjunto de vectores para ser base de los vectores libres.

14) A partir de los vectores de la figura, indica si los siguientes conjuntos de vectores son dependientes o independientes:

15) Halla las coordenadas de $� y de 3�� respecto de la base m��, ��n.

16) Explica qué es una base ortogonal y una base ortonormal.

17) A partir de la figura, calcula |$��| y �3�� − 2��.



EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE

VECTORES

1) Sean los vectores �� = �3,2�, �� = �1,5�, � = �1, −8) y o� = (4,3).

a) Halla el vector w�� = 2a�� + 3b�� − 5c�. (Sol: 3�� = (4,59))

b) Comprueba que 5�� − 3�� = � − 2o� + (19,9) c) Calcula el vector E� que verifica que 5�� − 3 � = −2�� + 2E�.

(Sol: E� = (7,22))

d) Comprueba que �� y �� forman una base. e) Halla el vector cuyas coordenadas respecto a la base son 2 y −5.

(Sol: J� = (1,−21))

f) Encuentra las coordenadas de � respecto de la base.

(Sol: 1 y −2)

2) Los siguientes conjuntos de vectores ¿son dependientes o independientes?

a) >=�� = (2,−1), $� = (6,−3)? b) >=�� = (3,4), $� = (6,7)? c) >�� = (1,2), �� = (3,5), � = (7,12)?

3) Halla � para que los vectores (2,5) y (3, �) sean proporcionales.

(Sol: � = 15/2)

4) Dado el vector �� de origen �(1,1) y extremo �(9,5):

a) Calcula el punto medio del segmento. (Sol: � = (5,3))

b) Halla las coordenadas de los tres puntos que resultan al dividir el segmento en cuatro partes iguales.

(Sol: (3,2), (5,3), (7,4))

5) El segmento �q�� lo dividimos en tres partes iguales; si �(1,2) y el segundo punto que resulta al hacer la división es r(5,4), halla L..

(Sol: q(9,6))



EJERCICIOS DE VECTORES COMPLEMENTO

PRODUCTO ESCALAR Y APLICACIONES

1) Si |=,��| = |=-��| = 5, cos�=,��, =-��s � = 0, �� = 2=,�� − 3=-�� y �� = 5=,�� + =-��, calcula:

a) �� · �� b) �� · �2�� c) �� · �� + ��

2) Si |��| = 3, �� = 5, y cos��, �� = 1/2, calcula:

a) �� + �� · (�� + ��) b) �� + �� · (�� − ��)

3) Si �̂�� = (4,−3) y 0�� = (2,7) respecto de una base ortonormal, calcula �̂�� · 0��.

4) Si m��, ��n son una base ortonormal y $� = 3�� + 2��, 3�� = −�� + #��, halla # sabiendo que $� · 3�� = 3.

5) Si respecto de una base ortonormal t� = (−1,2) y %� = (3,4), calcula el ángulo que forman.

6) Sea >��, ��? una base ortogonal en la que |��| = 2, �� = 1. Si respecto a esta base las coordenadas de =�� y $� son =�� = (3, −4) y $� = (5,1), halla la proyección de =�� sobre $��.

7) Sea >=,��, =-��? una base ortogonal con módulos 3 y 2 respectivamente. Si �� = 5=1�� −3=-�� y �� = 2=1�� + 3=2��, halla el ángulo que forman �� y ��.

8) >=��,$��? son una base en la que |=��| = 2, |$�| = 3, �=��, $�P � = 60°. Si respecto de esta base �� = (5, −1) y �� = (−6, 17), comprueba que �� y �� son ortogonales.



EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE

VECTORES (COMPONENTES Y C. DE BASE)

1) Sean los vectores �� = �1,3�, �� = �2,1�, � = �−3,0�,o� = (4,−5).

a. Escribe un vector combinación lineal de a�� y b��. b. Halla el vector z� = 2a�� − 3b�� + 4c� − 5d��.

Sol: J� = (−36, 28) c. Comprueba que 3a�� − 5b�� = 4c� − (−5,−4). d. Resuelve las siguientes ecuaciones vectoriales:

i. 3�� − 5 � − �� = 2o��+ 4E��. Sol: E� = �3, v-�

ii. (5,4) − 2(E, :) + 3(1,−2) = 5(1,−1) − (3,−4) Sol: (E, :) = �3,− ,-�

iii. (1, −2) − (3,−12) + J� = 2(1,6) − (0,−3) Sol: J� = (4,5)

iv. (5,1) − ,9 (9, −12) + 3�� = 2(1,−6) − 5(−1,2) Sol: �� = �v9 , −9�

e. Comprueba que a�� y b�� forman una base. f. Si las coordenadas de J� respecto de la base son 5 y −2, halla J�.

Sol: J� = (1,13) g. Halla las coordenadas de $� = (0,−5) respecto de esta misma base.

Sol:−2y1 h. Comprueba que a�� y c� forman otra base.

2) m��, ��n y > �̂��, 0��? son dos bases. La relación entre ellas es:

�� = −�̂�� + 30�� = 5�̂�� + 20��

Si $� = 2�� + 3��, ¿cuáles son las coordenadas de $�� respecto de la otra base?

Tenemos que encontrar los escalares que multiplicados por �̂�� y 0�� nos den $�.

Como a�� y b�� los tenemos expresados respecto a m�� y n��, sustituimos:

$� = 2�� + 3�� = 2(−�̂�� + 30��) + 3(5�̂�� + 20��) = −2�̂�� + 60�� + 15�̂�� + 60�� =

= 13�̂�� + 120��



Luego v�� = 13m�� + 12n��, esto es, sus coordenadas son 13 y 12. 3� ma��, b��n y >v��, w��? son dos bases de vectores. Sabemos que v�� = 2a�� − 2b�� y w�� = a�� + 3b��. Si J� = 8�� − 16��, ¿cuáles son sus coordenadas respecto de la base >$��, 3��??

Como �� y �� no los tenemos expresados respecto de >$��, 3��?, no podemos sustituirlos como en el ejercicio anterior.

Queremos expresar z� como combinación lineal de v�� y w��. Los escalares son las incógnitas.

J� = E$� + :3�� v�� y w�� sí podemos sustituirlos en función de a�� y b��: J� = E$� + :3�� = E�2�� − 2�� + :�� + 3�� = 2E�� − 2E�� + :�� + 3:�� = = �2E + :�� + �−2E + 3:�� Así, nos queda:

J� = �2E + :�� + �−2E + 3:�� Como z� = 8a�� − 16b��, tenemos planteado un sistema:

y 2E + : = 8−2E + 3: = −16z Sumando las ecuaciones:

4: = −8 ⟹ : = −84 = −2 Sustituyendo en una ecuación:

E = 8 − :2 = 8 + 22 = 102 = 5 Luego las coordenadas de J� respecto de >$��, 3��? son 5 y −2. Por tanto, J� = 5$� − 23��

4) m �, o�n y >%�, {�? son dos bases de vectores libres. Sabemos que � = 5%� − 3{� y que o� = %� + 4{�. Si las coordenadas de J� respecto >%��, {�? son 8 y 9, halla sus coordenadas respecto de la otra base.

J� = 8%� + 9{� %� y {� no los tenemos expresados respecto a � y o�; es un ejercicio análogo al anterior.



il

Tenemos que expresar J� como combinación de � y o�. J� = E � + :o�

Sustituimos:

J� = E$� + :3�� = E�5%� − 3{�� + :�%� + 4{�� = 5E%� − 3E{� + :%� + 4:{� = = �5E + :�%� + �−3E + 4:�{� Luego

J� = �5E + :�%� + �−3E + 4:�{� Como J� = 8%� + 9{�, nos queda el sistema:

y 5E + : = 8−3E + 4: = 9z

Luego las coordenadas de J� respecto a m �, o�n son 1 y 3. J� = � + 3o�



PROBLEMAS RESUELTOS

SOLUCION APARTADO A

El producto escalar de dos vectores puede calcularse de dos formas según vengan expresados

los vectores.

Si vienen expresados mediante sus módulos y el ángulo que forman podemos utilizar la

expresión:

�� · �� = |��| · �� · cos Q Si los vectores vienen expresados por sus componentes, su producto escalar es la suma de los

productos de las componentes respectivas:

�� · �� = �N · �N + �O · �O Como:

�N = 3 �O = −4�N = 5 �O = 6 Se tiene que:

�� · �� = 3 · 5 + �−4� · 6 = 15 − 24 = −9

SOLUCION APARTADOS B Y C

Partiendo de la expresión del producto escalar de dos vectores �� · �� = |��| · �� · cos Q, d e s p e j a m o s cos Q:

cos Q = �� · ��|��| · ��

1) Dados los vectores �� = �3, −4� y �� = �5,6�, determina:

a) Su producto escalar. b) El ángulo formado por �� y ��. c) Módulos de �� y de ��. d) Proyección de �� sobre ��.

�� · �� = −9



El producto escalar a�� · b�� ya fue hallado en el apartado anterior, siendo igual a -9, con lo cual tendríamos que hallar solamente los módulos de los vectores �� y ��, que es cuestión del apartado c.

RECUERDA que el módulo de un vector dado por sus componentes es igual a la raíz cuadrada

de la suma de los cuadrados de sus componentes:

|��| = M�N- + �O- Luego

|��| = M�N- + �O- = V3- + �−4�- = √9 + 16 = √25 = 5 �� = M�N- + �O- = V5- + 6- = √25 + 36 = √61

Una-vez conocidos el valor del producto escalar �−9� y de los módulos de los dos vectores sustituimos en la expresión de cos Q:

cos Q = �� · ��|��| · �� = −95 · √61 Operando nos quedaría cos Q = −0′2305, que nos indica que Q es e l ángulo cuyo coseno es −0′2305, pudiéndose expresar: Q = arccos�−0.2305� El cálculo de Q se hace utilizando la calculadora en la forma:

1.- Se introduce el valor de cos Q (normalmente este valor lo tendrás en la calculadora como resultado de calcular la fórmula del coseno)

2.- Tecleamos INV COS

3.- La expresión resultante es un- número decimal de grados (103′32453), que para expresarlo en su forma habitual tendremos que volver a teclear INV, apareciendo en la

pantalla la expresión 103°19′28"

El ángulo formado por los dos vectores es Q = 103°19′28".



1

SOLUCION APARTADO D

La proyecc ió n de un vector so bre ot ro no s v iene dada po r e l cociente entre el

producto escalar de ambos y el módulo del vector que recibe la proyección.

% = ��·�� = √, = √,,

Si el coseno del ángulo que forman los dos vectores es −1, eso quiere decir que dicho ángulo es de 180°, ya que cos 180° = −1, con lo cual podemos decir que ambos vectores t ienen la misma dirección, aunque su sentido sería contrario.

Su producto escalar sería �� · �� = |��| · �� · �−1�, es decir, el opuesto del producto de sus módulos.

3�2,5� − 23 �15, �� = −2 �, − 476 ⟹ �6,15� − 10, 23 � = −2�, 946 De, aquí resultan dos ecuaciones:

6 − 10 = −2�15 − 2�3 = 946 z Resolviendo ambas, resulta:

3=�� − 23 $� = −23�� 3) Determina el valor de las constantes � y � de manera que los vectores =�� = (2,5),

$� = (15, �) y 3�� = ��, − l � verifiquen que:

2) Si �� y �� son dos vectores tales que cos ��, ��P � = −1, ¿qué podemos decir de la dirección y el sentido de ambos vectores? ¿Cuánto valdrá �� · ��?

% = −9√6191

�� · �� = −|��| · ��



6 − 10 = −2� ⟹ −4 = −2� ⟹ � = −4−2 = 2 15 − 2�3 = 946 ⟹ 90 − 4� = 94 ⟹ −4� = 94 − 90 = 4 ⟹ � = − 44 = −1

El área de un paralelogramo determinado por dos vectores nos viene dada por el módulo del

vector producto vectorial de los dos vectores dados, luego tendremos que realizar el

producto vectorial y luego hallar el módulo.

El producto vectorial de dos vectores nos viene dado por la expresión:

�� × �� = ��O� − ��O�� + ��N − �N�� + ��N�O − �O�N�#�� Sustituyendo las respectivas componentes:

�� × �� = �2 · 3 − �−3� · �−1�� + ��−3� · 2 − �−3� · 3�� + ��−3� · �−1� − 2 · 2�#�� = = �6 − 3�� + �−6 + 9� · � + �3 − 4�#�� = 3� + 3� − #�� Este sería el vector producto vectorial de �� y ��:

�� × �� = 3� + 3� − #�� El .área. del paralelogramo nos vendrá dado por el módulo de este vector:

�� × �� = M�N- + �O- + �- = V3- + 3- + �−1�- = √19

4) Dados los vectores �� = −3� + 2� − 3#�� y �� = 2� − � + 3#��, halla el área del paralelogramo del que son lados.

� = −1� = 2

El área del paralelogramo es de 19=-



Para que �� sea ortogonal a �� ⊥ ��, el producto escalar de ambos debe ser cero. Luego: �� · �� = 0

Por tanto si �� = �E, :� y �� = �3, −2�, �� · �� = 3E − 2:

Como su producto escalar debe ser cero para que sean vectores perpendiculares:

3E − 2: = 0 Por otro lado, el vector �� debe tener de módulo 2 �� = 2�, y como sabemos que el módulo de �� es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes:

�� = VE- + :- ⟹ 2 = VE- + :- ⟹ E2 + :2 = 4 Con lo cual tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que resuelto

nos dará el valor de las componentes del vector ��. z3E − 2: = 0E- + :- = 4

Resolviendo por sustitución:

3E − 2: = 0 ⟹ : = 9- E E- + :- = 4 ⟹ E- + 32 E

- = 4 ⟹ E- + 94 E- = 4 ⟹ 134 E- = 4 ⟹ 13E- = 16 ⟹ E- = 1613 ⟹ E = ±1613 = ± √16√13 = ± 4√13 = ± 4√1313 Sustituimos en la primera ecuación:

: = 32 E ⟹ : = 32 ± 4√1313 = ± 12√1326 = ± 6√1313 El vector b�� tendrá componentes �E, :�, donde la E y la : son las calculadas anteriormente, lo que significa que hay 4 vectores distintos que cumplen la condición

exigida:

5) Dado el vector �� = �3, −2�, halla un vector �� ortogonal a �� y cuyo módulo sea 2.



b1�� = 4√1313 , 6√1313 b2�� = 4√1313 , − 6√1313

b3�� = − 4√1313 , 6√1313 b4�� = − 4√1313 , − 6√1313

Para que dos vectores tengan la misma dirección (sean paralelos), deben tener

proporcionales sus componentes respectivas. Por tanto, las componentes del vector =�� + $� y las del vector $� deben ser proporcionales. Las componentes del vector $� las conocemos, son ��, −3�, pero las del vector =�� + $� debemos hallarlas sumando las componentes respectivas de =�� y $�: =�� + $� = �8,7� + ��, −3� = �8 + �, 7 + �−3�� = �8 + �, 4� $� = (�, −3) Como los vectores deben ser proporcionales:

8 + �� =

4−3 ⟹ −3(8 + �) = 4� ⟹ −24 − 3� = 4� ⟹ −7� = 24 ⟹ � = −

247

6) Dados los vectores =�� = (8,7) y $� = (�, −3), halla el valor de � para que $� tenga la misma dirección que =�� + $�.

E = ±4√1313: = ±6√1313

� = −247

vectores · suma de vectores en forma binomica y cartesiana. 10 12. producto de un escalar por un...

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