Vectores en el plano. Producto escalar.

1. Vectores en el planoa) Definición de vector fijob) Componentes de un vector c) Igualdad de vectores. Vectores libres

2. Característica de un vector3. Suma de vectores

a) Propiedades de la suma4. Producto de un número real por un vector

a) Propiedades del producto de un número real por un vectorb) Condición de paralelismo de vectores

5. Combinaciones lineales de vectoresa) Dependencia e independencia lineal de vectoresb) Sistema generador y base vectorial.

6. Producto escalara) Propiedades de producto escalarb) Interpretación geométrica del producto escalarc) Consecuencias del producto escalar

7. Aplicaciones de las operaciones con vectores

Vectores en el plano. Producto escalar.

VECTORES EN EL PLANOLos vectores son elementos de estructuras algebraicas matemáticas

denominadas espacios vectoriales.

En particular, los vectores planos son elementos matemáticos que representa

cualquier movimiento que suponga una traslación en línea recta, y por tanto

tiene gran utilidad para resolver infinidad de problemas físicos.

Definición de vector fijoLlamamos vector fijo del plano a cualquier par ordenados de puntos del plano. Al primer punto

se le denomina origen del vector y al segundo se le denomina extremo del vector. Es decir:

Un VECTOR FIJO AB.

Es un segmento orientado de Origen el punto A y Extremo el punto B.

A

B

Componentes de un vectorDenominamos componentes o coordenadas de un vectorAB al par de

números que se obtiene al restar a las coordenadas del extremo B las

coordenadas del origen A. Es decir, si A = (a1,a2) y B = (b1,b2), las

componentes del vectorAB será: AB = (b1-a1, b2-a2)

A(a1,a2) AB(b1-a1, b2-a2)

B(b1,b2)

Ejemplo: Las coordenadas del vectorAB, si A = (1,2) y B = (4,7) serán

AB = (4-1,7-2) = (3,5)

Igualdad de vectores. Vectores libres.Dos vectoresAB yCD (AB =CD ) son iguales si y solo si tiene las

mismas componentes, es decir si (b1-a1, b2-a2) = (d1-c1, d2-c2)

En particular existen infinitos vectores fijos equivalentes, a este conjunto de

vectores equivalentes se le denominan vector libre.A

B

C

D

Ejemplo: Sean los puntos A(0,1), B(2,3), C(-1,0), D(1,2),se cumple que

AB yCD son vectores equivalente, ya que:

AB = (2-0,3-1) = (2,2) = (1-(-1),2-0) =CD

CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR

Cada vector libre en el plano viene definido por tres características que lo

definen y lo diferencian de cualquier otro vector. Estas características son

La DIRECCIÓN.- Es el conjunto de rectas paralelas a la recta sobre la que

está representada el vector.

Ejemplo: El vector u = (1,3) tiene la misma dirección que cualquier recta de

la forma y = 3 x + b (b un número real cualquiera)

El SENTIDO.- Es el orden de los puntos que pueden definir el vector u.

Dos vectores pueden tener igual dirección y distinto sentido, por ejemplo

los vectoresAB yBA, tienen la misma dirección, pero distinto sentido.

El MODULO.- Es la longitud o distancia de un vector.

Ejemplo: El módulo del vector u = (1,3) = (1²+3²) = 10

CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOREs decir:

• El módulo de un vector es la distancia entre sus extremos.

• La dirección de un vector es la recta que lo contiene.

• El sentido de un vector es el señalado desde su origen al extremo

Dos vectores son EQUIVALENTES, si tienen el mismo módulo,

dirección y sentido. El conjunto de todos los vectores equipolentes se

puede representar por un único vector u, llamado VECTOR LIBRE.

El conjunto de todos los vectores del plano se representa por V2

• Ver VECTORES LIBRES EN EL PLANO (figura de CABRI).

SUMA DE VECTORESDados dos vectores u = (u1,u2) y v = (v1,v2) definimos suma de vectores (u+v)

al vector u + v = (u1+v1,u2+v2).

Si hacemos coincidir los orígenes de u y v, gráficamente, la suma de vectores

representa la diagonal del paralelogramo cuyos lados son los vectores dados.

Si hacemos coincidir el extremo de u con el origen de v, gráficamente, la suma

de vectores es el vector de origen el origen de u y de extremo el extremo de v.

u u v

u+v u+v

v

Ejemplo: Sean los vectores u = (1,3) y v = (-1,1) la suma de vectores (u+v)

será el vector u + v = (1+(-1),3+1) = (0,4)

Propiedades de la suma de vectoresLa suma de vectores cumple las siguientes propiedades:

• Asociativa: (u +v ) +w =u + (v +w ) para cualquier u ,v ,w V2

• Existencia de vector nulo0 =(0,0) tal queu +0 =0 +u para todou V2

• Existencia de opuesto deu ( -u ) tal queu + ( -u ) = ( -u ) +u =0 para

cualquieru V2

• Conmutativa:u +v =v +u para cualquier u ,v V2

El VECTOR OPUESTO al VECTOR AB es el VECTOR EQUIVALENTE al VECTOR

BA. Denominado - AB

• El VECTOR RESTA o DIFERENCIA de los VECTORES AB y CD, ES EL VECTOR

suma de los VECTORES AB y – CD. - Ver diferencia de vectores -

A C

B D

PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR

El VECTOR PRODUCTO de un número r por el VECTOR AB es el

VECTOR AE, donde E es tal que el punto B pertenece al segmento de

extremos A y E, y su longitud es r veces el VECTOR AB.

• Ver PRODUCTO DE NÚMERO POR VECTOR (figura de CABRI).

E

B A VECTOR AE = 5. AB

Ejemplo: Si r = 3 y el VECTOR AB = (3,1) es el VECTOR

r AB = (9,3)

Propiedades del producto de un vector por un número

El producto de un número por un vector cumple las siguientes propiedades:

• Distributiva respecto de la suma de vectores

r (u +v ) = r u + rv para cualquieru,v V2, r R

• Distributiva respecto de la suma de números

(r+s)u = r u + su para cualquieru V2, r, s R

• Asociación mixta

r ( su ) = ( r s )u para cualquieru V2, r, s R

• Existencia de elemento unidad 1 tal que

1u =u para cualquieru V2

Condición de paralelismo de vectores

Teniendo en cuenta la definición del producto de un número real por un vector,

si dos vectores u = (u1,u2) y v = (v1,v2) son paralelos (se representa u | | v),

debe de existir un número real r, tal quev = r . u

Es decir que equivale a que u1 u2

------- = -------

v1 v2

Ejemplo: Los vectores u = (3,9) y v = (1,3) son paralelos ya que 3 9------- = ------- 1 3

• Ver VECTORES LIBRES EN EL PLANO (figura de CABRI).

COMBINACIONES LINEALES DE VECTORESUn VECTOR es COMBINACIÓN LINEAL de varios VECTORES, si se

puede obtener utilizando la suma, resta o producto de un número real por

un vector.

• Ver COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES (figura de CABRI).

Así por ejemplo el vector s , es combinación lineal de u, v y w, puesto que:

2 u + 3 v – w = s

Dependencia e independencia lineal de vectoresDecimos que los vectores u1, u2, … , un son LINEALMENTE

INDEPENDIENTES, si ninguno de dichos vectores se puede poner como

combinación lineal del resto de vectores.

En caso contrario, es decir si alguno de los vectores se puede poner como

combinación lineal del resto, diremos que los vectores u1, u2, … , un son

LINEALMENTE DEPENDIENTES.

Ejemplos:

• Los vectores (1,1), (1,0) son linealmente independientes, ya que si

planteamos la ecuación de variable x:

(1,1) = x.(1,0)

Obteniendo el sistema { x = 1 ; 1= 0 } que no tiene solución.

• Los vectores (1,1), (1,0), (0,1) son linealmente dependientes, ya que:

(1,1) = 1.(1,0) + 1.(0,1)

Sistema generador. Base.

Dados dos vectores u y v, no paralelos ni nulos. Cualquier vector w, se

puede poner como combinación lineal de los vectores u y v.

Un SISTEMA GENERADOR DE VECTORES, es un conjunto de

vectores, tal que cualquier vector del plano se puede poner como

combinación de ellos

Una BASE { u , v } de los vectores del plano está formada por dos

vectores no paralelos, ni nulos. Si { u, v } es decir es un SITEMA

GENRADOR LINEALMENTE INDENDIENTE. Dado un vector w, si a,

b son dos números reales, tales que:

w = a u + b v

Decimos que (a,b) son las coordenadas de w, respecto de la BASE { u, v }

Sistema generador. Base.

• Ver COORDENADAS DE UN VECTOR (figura de CABRI).

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectoresu = ( u1, u2 ) y v = ( v1, v2 ) se define como

PRODUCTO ESCALAR, al número:

u v = ( u1, u2 ) ( v1, v2 ) = u1 v1 + u2 v2

Ejemplo:

• Sean los vectores u = (1,-3) yv = (2,2) el producto escalaru v

será

u v = (1,-3) (2,2) = 1 2 + (-3) 2 = -4

Propiedades del producto escalar

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR

• El producto escalar de un vector por si mismo es mayor o igual a cero, es

decir: u u = |u |² 0.

Hay que observar que se cumple |u | = (u u )

• El producto escalar es conmutativo, es decir:

u v =v u

• El producto escalar es distributivo respecto de la suma de vectores. Es

decir:

u (v +w ) =u v + u w

• El producto es calar es asociativo con respecto al producto de un número

real, es decir:

k (u v ) = ( k u ) v

Interpretación geométrica del producto escalar

Dados dos vectoresu yv, si es el ángulo formado entre los vectores u yv, y si tomamos el triángulo formado por los vectores u ,v y u -v.

1) Teniendo en cuenta el teorema del coseno de dicho triángulo se cumplirá |u -v |² = |u |² + |v |² - 2 |u | |v | Cos .

2) Teniendo en cuenta Las propiedades del producto escalar se cumplirá |u -v |² = (u v ) (u v ) = |u |² - 2.u v + |v |²

Que IGUALANDO 1) y 2) se obtiene: u u = |u | |v | Cos

Interpretación geométrica del producto escalar

Ejemplo.- Dados dos vectoresu yv, tal que |u | = |v | = 1 y forman un ángulo = 60º, para calcular u v

u u = |u | . |v | cos = ½

Consecuencias del producto escalar

1 1 2 2

2 2 2 21 2 1 2

cosu v u vu v

u v u u v va

× + ×= =

× + × +

g

1 1 2 2

2 2 2 21 2 1 2

cosu v u v

Arcu u v v

aæ ö× + × ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷+ × + ÷ççè ø

ÁNGULO DE DOS VECTORES.- De la interpretación geométrica del producto escalar, se deduce que si es el ángulo formado entre dos vectoresu yv, como

u v = |u | |v | Cos ; u v = u1 v1 + u2 v2

Se deduce

Ejemplo.- Siu = ( 3,1) yv = (1,2), para calcular el ángulo entre u yv

¶2 2 2 2

3 1 1 2 2, cos cos 45º

23 1 1 2u v Arc Arc

æ ö æ ö× + × ÷ ÷ç ç÷ ÷= = =ç ç÷ ÷ç ç ÷÷ ç÷ç è øè ø+ × +

Consecuencias del producto escalar

1

1u u

u= ×

VECTORES ORTOGONALES.- Dos vectoresu yv son ortogonales (u v ) si y solo si

u v = u1 v1 + u2 v2 = 0

Si dos vectores ortogonales tienen módulo 1, se dicen que son VECTORES ORTONORMALES.

Dado un vectoru, siempre lo podemos NORMALIZAR (hallar otro vector u1 con su misma

dirección y sentido pero unitario) por el vector

Ejemplo.- Siv = (2,3) obtener un vectoru, en su dirección y sentido y otro ortonormal conu . Será:

( )1 1 2 3

2,3 ,13 13 13

u vv

æ ö÷ç= × = = ÷ç ÷çè øAdemás si tomamosw = ( 3/13 , -2/13 ) podemos comprobar fácilmente que u w y que |w | = 1

Consecuencias del producto escalar

Proy cosu

u vv v

ua= × =

g

7Proy

10u

u vv

u= =

g

Una consecuencia importante en el cálculo de distancias es el cálculo de la PROYECCIÓN de un VECTORv sobre otro VECTORu ( Proy u v )

Como

Cos = |Proy u v | / |v | | Proy u v | = |v | . Cos

Será

v

u

Ejemplo.- Siv = (3,2) yu = (3,-1), hallar Proy u v :

Consecuencias del producto escalar

2Proy Proyu u

u u vv v u

u u= × = ×

uuuuuuur g

( )2

7 21 7Proy 3,1 ,

10 10 10u

u vv u

uæ ö÷ç= × = × = ÷ç ÷çè ø

uuuuuuur g

Si lo que deseamos es hallar la distancia del VECTOR PROYECCIÓN de un

VECTORv sobre otro VECTORu ( Proy u v )

Bastará con que multipliquemos Proy u v por un vector unitario, en la misma

dirección y sentido queu, es decir

Ejemplo.- Siv = (3,2) yu = (3,-1), hallar | Proy u v | :

APLICACIONES DE LAS OPERACIONES CON VECTORES

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS A(a1,a2) y B(b1,b2) DEL PLANO (d(A,B))

( ) ( ) ( )2 2

1 1 2 2,d A B AB b a b a= = +

uuur– –

Ejemplo.- Si A = (1,2) y B = (2,-1)

( ) ( ) ( )( )22, 2 1 1 2 10d A B AB= = + =uuur

– –—

APLICACIONES DE LAS OPERACIONES CON VECTORES

Si M es el punto medio del segmento [A,B] resolviendo la ecuacion

1 se obtiene

2AM AB= ×uuuur uuur

Coordenadas del punto medio del segmento de extremos A(a1,a2), B(b1,b2)

Ejemplo.- Si A = (1,2) y B = (2,-1)

( )1 2 2 1 3 1

, , ,2 2 2 2

M x yæ+ ö æ ö÷ ÷ç ç= =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

—

( ) 1 1 2 2, ,2 2

a b a bM x y

æ ö+ + ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø

APLICACIONES DE LAS OPERACIONES CON VECTORES

Baricentro G de un triángulo [A,B,C]; A = A(a1,a2), B = B(b1,b2), A = A(c1,c2)

Ejemplo.- Calcular el Baricentro G del triángulo de vértices (1,2), (2,-1), (3,3)

1 2 3 2 1 3 4, 2,

3 3 3G

æ+ + + ö æ ö÷ ÷ç ç= =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø—

( ) 1 1 1 2 2 2, ,3 3

a b c a b cG x y

æ ö+ + + + ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø

Como el BARICENTRO G, es el punto en el que intersecan las rectas que pasan por los vértices del triángulo y los puntos medios de los lados opuestos

Basta con que resolvamos un sistema de dos cualesquiera de las ecuaciones de las rectas (AF, BD ó CE) y se obtiene

Mas ayuda del tema de la página

Matemática de DESCARTES del

Ministerio de Educación y ciencia

(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)

En la siguiente diapósitiva

Mas ayuda del tema de la página

de figuras de Geogebra de

Manuel Sada Allo(http://docentes.educacion.navarra.es/

msadaall/geogebra/vectores.htm)

En la siguiente diapósitiva