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1Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12

Tema 2: Vectores libres

FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Aeroespacial

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla


ÍndiceÍndice

Magnitudes escalares y vectoriales

Definición de vector

Vectores libres

Suma y producto por un escalar

Bases vectoriales

Producto escalar, vectorial, mixto

Doble producto vectorial

Derivada de un vector

Vectores deslizantes y ligados


Magnitudes escalares y vectorialesMagnitudes escalares y vectoriales

Magnitud escalar : queda definida con un número y una unidad

Temperatura, longitud, carga eléctrica, tiempo, etc

Magnitud vectorial: require magnitud, dirección y sentido

Velocidad, aceleración, fuerza, etc

Magnitud tensorial


ÍndiceÍndice



Vectores libres


Bases vectoriales






Definición de vectorDefinición de vector

En Matemáticas es un elemento de un espacio vectorial

En Física es un segmento orientado: una flecha

Módulo

Recta soporte

Dirección

Sentido

Punto de aplicación

Representación: a o

Recta soporte

(dirección)

módulo

Punto de aplicación

Sentido


Tipos de vectoresTipos de vectores

Libres: módulo, dirección y sentido

Pueden moverse libremente en el espacio

Deslizantes: módulo, dirección, sentido y recta soporte

Pueden desplazarse libremente sobre su recta soporte

Ligados: módulo, dirección, sentido y punto de aplicación

No pueden desplazarse en el espacio

Una misma magnitud puede describirse con diferentes tipos de

vectores en diferentes situaciones


ÍndiceÍndice



Vectores libres


Bases vectoriales






Vectores libresVectores libres

Relación de equivalencia: a y b son vectores equivalentes si tienen

el mismo módulo, dirección y sentido

Dos vectores libres equivalentes pueden hacerse coincidir si se desplazan

en el espacio


ÍndiceÍndice



Vectores libres


Bases vectoriales






Vectores libresVectores libres

Suma de vectores libres

Dos vectores

Suma de vectores libres

Dos vectores

Varios vectores


Vectores libres: sumaVectores libres: suma

Propiedades de la suma

Conmutativa

Asociativa

Existencia de elemento neutro

Existencia de elemento opuesto


Vectores libres: producto por un escalarVectores libres: producto por un escalar

El producto por un escalar es otro vector

Propiedades

Asociativa respecto al producto por un escalar

Distributiva respecto a la suma de vectores

Distributiva respecto a la suma de escalares

Existencia de escalar unidad


ÍndiceÍndice



Vectores libres


Bases vectoriales






Bases vectorialesBases vectoriales

Una base en E3 es una terna de vectores, B = {v1, v2, v3} , tal que cualquier

vector a puede escribirse como combinación lineal de ellos

a1, a2, a3 son las componentes de a en la base B

Para que tres vectores sean una base no deben ser ni colineales ni coplanarios

(linealmente independientes)

La dimensión del espacio vectorial es el número mínimo de vectores linealmente

independientes que pueden describir todos los vectores del espacio


Base cartesianaBase cartesiana

Triedro OX1X2X3 ≡ OXYZ

X1≡X

X2≡Y

X3≡Z

O

Componentes

Base ortonormal

Álgebra vectorial


ÍndiceÍndice



Vectores libres


Bases vectoriales






Producto escalarProducto escalar

Definición

El resultado de la operación es un escalar

El punto es importante

Permite expresar de modo sencillo la condición de ortogonalidad, distancias y ángulos


Producto escalar: aplicacionesProducto escalar: aplicaciones

Condición de ortogonalidad para dos vectores

=/2

Si uno de los vectores es unitario da la proyección ortogonal sobre él del otro

vector

Extrae la componente del vector paralela a la dirección del vector

Está relacionado con la proyección ortogonal de un vector sobre otro

Si ninguno de los vectores es unitario


Producto escalar: aplicacionesProducto escalar: aplicaciones

Distancia entre dos puntos

X1

X2

X3

P(p1,p2,p3)

O

Q(q1,q2,q3)

Ángulo entre dos vectores

Permite definir una métrica en el espacio


Producto escalar: propiedadesProducto escalar: propiedades

Propiedades

Asociativa resp. prod. por un escalar

Conmutativa

Distributiva resp. a suma

Cancelativa


Producto escalar: base ortonormalProducto escalar: base ortonormal

Los vectores de una base ortonormal son mutuamente perpendiculares y

de módulo unidad

Producto escalar de dos vectores expresados en una base ortonormal


Producto escalar: base ortonormalProducto escalar: base ortonormal

Aplicaciones

Distancia entre dos puntos

Ángulo entre dos vectores

Componentes cartesianas de un vector

Cosenos directores

X1

X2

X3

O

12

3


Producto escalar: ecuación vectorial de un planoProducto escalar: ecuación vectorial de un plano

XY

Z

P1

O

P

Punto por el que pasa el plano

Punto genérico del plano

Vector normal al plano

Condición para que el punto P esté en el plano

Ecuación general del plano


Producto vectorialProducto vectorial

Definición

El resultado de la operación es un vector

Escritura alternativa

Permite expresar de modo sencillo la condición de paralelismo

Permite construir rápidamente vectores perpendiculares

Extrae la componente perpendicular en una proyección ortogonal



Condición de paralelismo

=0 =

Se relaciona con la componente perpendicular de la proyección ortogonal

Si |u|=1 es la componente perpendicular de la proyección

Área del paralelogramo que forman dos vectores



Propiedades

No es asociativo

Anticonmutativa

Asociativa resp. al prod. por un escalar

Distributiva respecto a la suma

Cancelativa


Producto vectorial: base cartesianaProducto vectorial: base cartesiana

Es una base ortonormal dextrógira

Expresión en una base ortonormal


Producto vectorial: ecuación vectorial de una rectaProducto vectorial: ecuación vectorial de una recta

Punto por el que pasa la recta

Punto genérico de la recta

Vector director de la recta

Condición para que el vector sea paralelo al vector director

Ecuaciones de la recta

XY

Z

O

P

P1

r

Vectorial Paramétricas Continua


Producto mixtoProducto mixto

Definición: involucra tres vectores

El resultado de la operación es un escalar

El valor absoluto es el volumen del paralelepípedo

Condición de coplanariedad

h

Tres vectores forman una base si y solo si su producto mixto es no nulo


Producto mixtoProducto mixto

Propiedades

Permutabilidad cíclica

Permutabilidad acíclica

Expresión en una base cartesiana


Producto mixto: ecuación de un plano que pasa por tres puntos no alineadosProducto mixto: ecuación de un plano que pasa por tres puntos no alineados

X Y

Z

P1

O

P3

P2

Puntos por los que pasa el plano


Punto genérico del plano

Ecuación del plano


ÍndiceÍndice



Vectores libres


Bases vectoriales






Doble producto vectorialDoble producto vectorial

Aplicación al desarrollo del producto escalar de dos productos vectoriales

Definición: involucra tres vectores

El resultado de la operación es un vector

Resolución de un sistema de ecuaciones vectoriales


ÍndiceÍndice



Vectores libres


Bases vectoriales






Derivada de un vectorDerivada de un vector

Un vector puede ser función de una variable (típicamente el tiempo)

Variación del módulo

Variación de la dirección

En general varían las dos cosas


Derivada de un vectorDerivada de un vector

Derivada de un vector expresado en una base cartesiana

Derivada del producto escalar y vectorial de dos vectores

Los vectores de la base cartesiana no dependen del tiempo


ÍndiceÍndice



Vectores libres


Bases vectoriales






Vectores deslizantesVectores deslizantes

AG

B1

B2

La fuerza F equilibra la barra al ser aplicada en cualquier punto de la

recta Δ

AG

Vector deslizante

La misma fuerza aplicada en otra recta no equilibra la barra

Son vectores deslizantes distintos

En un vector deslizante hay que especificar la recta soporte

Producen efectos mecánicos diferentes

El vector a considerado como vector libre se llama cursor del vector deslizante


Vectores deslizantes: momento de un vector deslizanteVectores deslizantes: momento de un vector deslizante

La recta soporte puede especificarse usando el momento del vector

respecto a un punto

OP1

El momento es el mismo para todos los puntos P1 de la recta

Es perpendicular al plano que contiene a la recta y pasa por el punto O

OP1

P2


Álgebra de vectores deslizantesÁlgebra de vectores deslizantes

Definimos la suma de un conjunto de vectores deslizantes

El resultado es otro vector deslizante, definido por un cursor R (resultante) y su

momento respecto a un punto MO (momento resultante)

OP

2P1

X

Y

O

P


Vectores ligadosVectores ligados

El vector está ligado a un punto

Ejemplo: a cada punto del espacio se le asigna un vector de posición

XY

Z

O

P

El resultado de realizar el desplazamiento indicado por el vector

depende del punto de partida

Ejemplo: momento de un vector deslizante respecto a un punto

Si cambia el punto, cambia la recta soporte del vector deslizante


ResumenResumen


Vectores libres


Bases vectoriales

Conjunto mínimo de vectores linealmente independientes que permiten expresar todos los vectores del

espacio

Base cartesiana: tres vectores unitarios y mutuamente perpendiculares constantes en todo el espacio

Producto escalar

Condición de ortogonalidad

Permite calcular distancias y ángulos: define una métrica en el espacio

Extrae la componente paralela de la proyección ortogonal de un vector sobre una dirección (aplicación

al cálculo de componentes en bases cartesianas)


ResumenResumen

Producto vectorial

Condición de paralelismo

Extrae la componente perpendicular de la proyección ortogonal de un vector sobre una dirección

Área del paralelogramo

Producto mixto


Volumen del paralelepípedo



Puede cambiar el módulo y/o la dirección

Derivada de un producto escalar y vectorial


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