3.vectores en el plano

3.1. Sistemas de referencia

3.2. Funciones y gráficas

3.3. Resolución de triángulos rectángulos

3.4. Magnitudes escalares y vectoriales

3.5. Vectores en el plano

3.6. Formas de expresión y transformaciones

Dr. Segundo Morocho C.16 de diciembre de 2011

SISTEMAS DE REFERENCIAAquello a lo que nos vamos a referir para determinar la posición de un objeto

SISTEMA UNIDIMENSIONAL

Constituido por una recta, un origen y un sentido positivo y negativo.

Y P

P (x)

P (5) Y (-2)

Relación biunívoca (uno a uno), para cada valor hay uno y solo un punto en la recta y viceversa

Dr. Segundo Morocho C.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

16 de diciembre de 2011

Dr. Segundo Morocho C.

SISTEMA BIDIMENSIONAL

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

La posición de un punto en el plano queda determinado por un par de números ordenados (x, y), llamados coordenadas rectangulares que corresponden a la intersección de una abscisa (x) y una ordenada (y).También hay una relación biunívoca entre un par ordenado y un punto en el plano y viceversaEjemplo 1: Representar la posición de los siguientes puntos en el planoA(5,1) B(-4,4) C(2,-4) D(-1,-3) E(4,-6) F(7,3)

G(-5,-5) H(-3,6) I(4,0) J(0,2) K(-6,0) L(0,-2)

Y (+)

2do

CUADRANTE 1er

CUADRANTE

(-) o X (+)

3er

CUADRANTE 4to

CUADRANTE

(-)

16 de diciembre de 2011

L a representación en el sistema de coordenadas rectangulares es:

Determine que coordenadasrectangulares representan lossiguientes puntos:

16 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

H

B

F

J

A

K

I

L

D

C

G

E

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

Eje numérico de referencia X denominado eje polar

La posición de un punto quedadeterminada por un parordenado (r, Φ), donde:

r es el radio vector y representa ladistancia positiva del origen alpunto y,

Φ es el ángulo polar y representala medida del ángulo desde el ejepolar hasta el radio vector,medido en sentido antihorario.

También hay una relaciónbiunívoca entre un par ordenadoy un punto en el plano yviceversa


r

Φ

o X (0°)

Ejemplo: Determinar que coordenadas polares representan los siguientes puntos:

Ejemplo 1: Representar la posición de los siguientes puntos en el plano

A(50 km,120°)

B(20km,330°)

C(40km,45°)

D(30km,220°)

E(10km,180°)


A y

15m B

40°

60° 10m C 5m 40°

x 45°

D

7m

12m 20°

E

SISTEMA DE COORDENADAS GEOGRAFICASDos ejes perpendiculares entre sí, éstos dividen al plano en los cuatro puntos cardinales.

La posición de un punto queda determinada por un par ordenado (r, rumbo), donde:

r representa la distancia positiva del origen al punto y,

rumbo representa la dirección medida a partir del Norte o Sur.

También hay una relación biunívoca entre un par ordenado y un punto en el plano y viceversa


N

O E

s

Ejemplo 2: Determinar quecoordenadas geográficas representanlos siguientes puntos:


Ejemplo 1: Representar la posición de los siguientes puntos en el plano:

A(10kgf, S40°O)

B(4kgf,N30°E)

C(8kgf,S20°E)

D(6kgf,N60°O)

E(12kgf,SE)

F(5kgf, O)

N

A

100km

B 40°

80km 120km C

O 10° 15° E

45° 60km

70km 70° D

E

s

SISTEMA TRIDIMENSIONAL

Esta constituido por tres ejes perpendiculares que se cortan entre sí, un origen. El espacio se ha dividido en 8 partes (octeto). Este sistema sirve para ubicar puntos en el espacio.

Para ubicar un punto se necesita tres valores (terna ordenada):

P (x, y, z)


y

x

z

FUNCIONES Y GRAFICAS

FUNCION.-

Al estudiar los fenómenos que se producen en la naturaleza, se comprueban queen ellos, generalmente hay dos (o más) magnitudes relacionadas entre sí. Estosignifica que al variar una de las magnitudes, la otra también cambia.

EJEMPLOS 1. La longitud de un tramo de riel de acero aumenta cuando se eleva su

temperatura.

2. La fuerza que un imán ejerce sobre un clavo disminuye cuando aumentamosla distancia entre ambos, etc.

Cuando esto sucede, es decir, cuando las magnitudes están relacionadas, decimosque una es función de la otra.

Así la longitud del riel es función de su temperatura, y la fuerza que el imán

ejerce sobre el clavo es también función de su distancia


Se dice que una magnitud y (llamada variabledependiente) es una función de otra magnitud x(llamada variable independiente), cuando su valor esdeterminado por el valor de la x.

Una función se escribirá simbólicamente: y = f(x)

Y = 3X Y = 2X3 + 5 Y = X2

Toda ecuación es función pero no toda función es ecuación.

GRAFICOS

Es la representación lineal de una función en un sistema de coordenadas rectangulares.

Tiene una relación de indicativo.


FUNCION DIRECTAMENTE PROPORCIONAL

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando su cociente esconstante, de modo que al aumentar una, la otra tambiénaumenta (en el mismo orden de magnitud) y recíprocamente.

Si x e y son dos magnitudes directamente proporcionales, debe cumplirseque:

Esto significa que: y es directamente proporcional a x.

Constante de proporcionalidad

Se llama así al cociente entre las dos magnitudes (k)


kxykx

y o

EJEMPLOS

1. Una persona al recoger el agua que sale de una manguera, obtiene los siguientes datos:

En 5 segundos (s) recoge 15 litros (lt)

En 10 s recoge 30 lt

En 30 s recoge 90 lt, etc.

a) Podemos decir que hay una proporción directa entre el volumen de agua y el tiempo empleado en la operación.

Si

b) ¿Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad entre las magnitudes?


s

l

s

l

s

l

30

90

10

30

5

15

S

Lk

s

lk TAMBIÉN 3

5

15

2. Al soltar un cuerpo desde cierta altura obtuvimos los siguientes datos:

En un tiempo t1 = 1 s recorrió una distancia d1 = 5 m



¿Podemos decir que la distancia recorrida d es directamente proporcional al tiempo de caída t?

No

Por tanto en este caso la distancia no es directamente proporcional al tiempo.


s

m

s

m

s

m

3

45

2

20

1

5

PROCEDIMIENTO PARA GRAFICAR UNA FUNCIÓN

Paso 1. Se elabora una tabla de datos, que se disponen en forma detablero a dos columnas o filas.

Paso 2. Para cada par de la tabla de datos, se dibuja, en el plano unpunto.

Paso 3. Se unen estos puntos por una línea de curvatura suave.

EJEMPLOS:

1. Al graficar la función y = ax obtenemos una recta que pasa porel origen, por lo que se dice que es una relación de proporcionalidad

directa.

El coeficiente a se llama pendiente (m = constante) y da la

inclinación de la recta con respecto a los ejes.


Si a es + la recta esta en los cuadrantes 1 y 3

Si a es – la recta esta en los cuadrantes 2 y 4


Al graficar la función y = ax + b; obtenemos una recta, tambiénnos indica una relación de proporcionalidad directa.El término b da el desplazamiento (sobre el eje y) del origen a larecta

Si b es – el desplazamiento es hacia abajo

-b


Si b es + el desplazamiento es hacia arriba

+b

Deducción de ecuaciones lineales

Y 4 8 16 40

X 1 2 4 10

Y 6 10 18 14

X 1 2 4 3

Y 3 4 10

X 1 2 8

y 2 0 -4

x 5 3 -1

Y 7 21 70

X 1 3 10

y 2 5 9

x 6 15 27

y 1 4 10

x 0 1 3

y -12 -2 18

x -2 0 4

Deducción de ecuaciones lineales

PROPORCIÓN INVERSA.

Dos magnitudes son inversamente proporcionalescuando su producto es constante, de modo que alaumentar una, la otra disminuye (en el mismo ordende magnitud) y recíprocamente.

Esto significa que:

y es inversamente proporcional a x.


x

kykxy o

EJEMPLOS

1. Supongamos que una persona realiza un viaje por automóvil en unadistancia de 180km entre una ciudad y otra. Sea x la velocidad delauto e y el tiempo transcurrido en el viaje, es fácil concluir que:

Si x = 30km/h y = 6h

Si x = 60km/h y = 3h

Si x = 90km/h y = 2h, etc.

El tiempo de viaje entre las dos ciudades es inversamente proporcional a la velocidad desarrollada.

La constante es:k = 30X60 = 180Km


Al graficar una función de este tipo se tienen las siguientes características:

Su gráfica es una curva que se denomina hipérbola

Al graficar la variable dependiente con el recíproco de la variableindependiente se obtiene una recta (Linealizar)

Si a es positivo la hipérbola se encuentra en el primer cuadrante ysi a es negativo la curva se encuentra en el cuarto cuadrante

Los ejes x e y se dicen asíntotas (por más que se prolonguen lacurva nunca los llega a alcanzar) de la hipérbola

EJEMPLOS.- Graficar:


x

ay

m

l20

l

R100

FUNCION DIRECTA CON LOS CUADRADOS

Una Función de este tipo es y = ax2, tiene las siguientes características:

y es directamente proporcional a x2

su gráfica es una curva que se denomina parábola

al graficar la variable dependiente con el cuadrado de la variable independiente se obtiene una recta (Linealizar)

La constante (pendiente de la recta) se obtiene dividiendo y para x2

Si a es positivo las ramas se abren hacia arriba y si a es negativo las ramas se abren hacia abajo.

EJEMPLOS.- Graficar: y = 6x2

t = - 65x2


RESOLUCIÓN DE TRIANGULOS RECTÁNGULOS

Seis elementos: 3 lados, dos ángulos agudos y un ángulo recto

A

α

c

b

β

B

a

C


Para resolver un triángulo rectángulo se aplica:

a) TEOREMA DE PITAGORAS:

El cuadrado de la medida de la hipotenusa, es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos.


222 bac

22 bac

22 bca

22 acb

b) FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO


FUNCION SIMBOLO DEFINICION FORMULA

Seno sen α

Coseno cos α

Tangente tan α

hipotenusa

adyacentecateto

adyacentecateto

opuestocateto

hipotenusa

opuestocateto

c

a

c

b

b

a

EJEMPLOS

1. En el triángulo ABC, determinar:

a) B en términos de a, b

b) b en términos de a, c

c) a en términos de c, C

d) C en términos de b, c

e) b en términos de c, B

f) c en términos de a, C

2. Resolver el triángulo rectángulo:


C

a

b

A c B

X y = 22cm Z

28°

z x

Y

3. Resolver el triángulo rectángulo:


c=37m

E D

d

e=52m

C

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES


REPRESENTACION GRAFICA DE UNA MAGNITUD VECTORIAL

Las cantidades vectoriales son representadas gráficamente por flechasllamadas vectores.

Los vectores sonsegmentosorientados

Todo vector quedadeterminado por:

Tamaño; representa en una escala seleccionada su valor numérico(módulo o magnitud)

Dirección; ángulo (θ)que forma el vector con el eje +x en sentido antihorario

Sentido; es la saeta (punta de flecha)


b

B

A θ

a

NOTAS: En un vector se distinguen también su origen (punto A) y su extremo

(punto B)

Línea de acción del vector, es la recta a lo largo de la cual esta dirigido elvector (recta ab)

Los vectores se representan con letras mayúsculas y una flecha en laparte superior

El módulo del vector se representa con la misma letra pero sin flecha


b

B

A θ

a

EJERCICIOS

1. Representar gráficamente los siguientes vectores


);15( SmA

)140;50( KgfB

)70;40( ESh

KmC

)225;28( cmD

2. Determinar el módulo y dirección de los siguientes vectores


N y

M

h

Km20 45°

O E 80° x

3m

S N

N y

P

500Km

35°

O E 45° x

45cm

S Q

CLASES DE VECTORES

VECTOR LIBRE.- Cuando el punto de aplicación (origen) se trasladaa cualquier punto sin alterar el efecto de su acción

VECTOR DESLIZANTE.- Es aquel en que el punto de aplicación se

traslada a lo largo de su línea de acción


P

P

CLASES DE VECTORES

VECTOR FIJO.- Cuando no se puede mover el punto de aplicación

VECTORES IGUALES.- Cuando tienen la misma magnitud,

dirección y sentido


P

R

T

TR

CLASES DE VECTORES

VECTOR NEGATIVO.- (Opuesto de otro dado).- Si tienen la misma

magnitud, la misma dirección pero sentido opuesto

VECTOR NULO.- Es aquel en el cual el origen y el extremo

coinciden, En este caso su módulo es igual a cero, carece de dirección ysentido


H

H

o

CLASES DE VECTORES

VECTOR UNITARIO.- Es aquel cuyo módulo es 1

Para obtener un vector unitario se divide el vector para su módulo

Por tanto

El tiene la misma dirección y sentido que el y

no tiene unidades


A

AU A

AUAA

AU

A

A

AU

DESCOMPOSICION DE UN VECTOR EN EL PLANO

y

α

x

Módulo de un vector

Dirección en función de sus componentes


yA

xA

A

yx AAA ,

coscos AAxA

Ax

AsenAyA

Aysen

22

yx AAA

x

y

A

Atan

ANGULOS DIRECTORES

Son aquellos que forman el vector con los ejes positivos x e y de un sistema

de coordenadas rectangulares, varían entre 0° y 180°, no existe

convención para el giro

Los ángulos directores en el plano son:

α es el que forma el vector con el eje positivo de las x

β es el que forma el vector con el eje positivo de las y

y

β

α

x


P

VECTORES BASE O UNITARIOS NORMALIZADOS


yA

xA

i

j

iA

AU

x

xAx

jA

AU

y

y

Ax

jAiAA yx

jiUA

coscos

A

EJERCICIOS

1.- La magnitud de un vector es 18cm, y forma un ángulo de 75

con el sentido positivo del eje x. Determinar:

a) Las componentes del vector

b) Las coordenadas del vector

c) Los ángulos directores

d) El vector en función de los vectores base

e) El vector unitario

2. Dado el vector , determinar:

a) Las componentes rectangulares del vector

b) Las coordenadas del punto extremo del vector

c) El módulo del vector

d) La dirección

e) Los ángulos directores

f) El vector unitario


NjiF )6735(

P

3. El módulo de un vector es 125Km y su vector unitario

Determinar:

a) El valor de m

b) Los ángulos directores

c) El vector en función de sus vectores base

d) Las componentes rectangulares del vector

e) Las coordenadas del punto extremo del vector

f) La dirección

4. El módulo de un vector es 68m y tiene como ángulos

directores α = 135 y β = 45 . Determinar:

a) El vector unitario

b) El vector en función de los vectores base

c) Las componentes rectangulares del vector

d) Las coordenadas del punto extremo del vector

e) La dirección


G

EJERCICIOS

jmiUK

542,0

K

5. El módulo del vector es 87cm, y forma un ángulo de 315 con

el eje positivo de las x. Determinar:

a) Los ángulos directores

b) Las componentes rectangulares del vector

c) Las coordenadas del punto extremo del vector

d) El rumbo

e) El vector en función de los vectores base


6. Las coordenadas de los puntos inicial y final del vector son

(13,22)m y (-15,-22)m respectivamente. Determinar:

a) Las componentes del vector

b) El módulo

c) La dirección (rumbo)

d) Los ángulos directores

e) El vector en función de los vectores base



M

Q

EJERCICIOS

FORMAS DE EXPRESION DE UN VECTOR Y SUS TRANSFORMACIONES

1. EN FUNCIÓN DE SU MODULOY ÁNGULO

Coordenadas polares

F es el módulo del vector

θ ángulo medido desde el eje +Xhasta el vector en sentidoantihorario


EJEMPLO

y

8Kgf

125°

x

);(FF

)125;8( KgfF

F


2. EN FUNCIÓN DE SUSCOORDENADASRECTANGULARES

Donde:

Coordenadas del punto extremo


EJEMPLO

y

x

);( yx GGG

ycomoasix GG

mG )5;3(

G


3. EN FUNCIÓN DE LOSVECTORES BASE

Donde:

Componentes rectangulares delvector


EJEMPLO

y

x

y

comoasí

X CC

)( jCiCC yX

KmjiC )37(

C


4. EN FUNCIÓN DE SUSCOORDENADASGEOGRAFICAS

Donde:

D es el módulo del vector

Rumbo es la dirección


EJEMPLO

N

250cm

25°

O E

S

);( rumboDD

)25;250( ENcmD

D


5. EN FUNCIÓN DE SU MODULOY SU UNITARIO

Donde:

E es el módulo del vector

Es el vector unitario del


EJEMPLO

EUEE

EU

E

)843,0538,0(27 jiKgfE

3.vectores en el plano

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