1. Tema 9 Vectores y rectas en el plano Luis Alonso CEIPS Adolfo Surez Curso 2010-2011

2. Curso 2010/2011 2 Tema 9 1.-Vectores en el plano 2.-Operaciones con vectores 3.-Ecuaciones de la recta a)Ecuacin vectorial b)Ecuaciones paramtricas c)Ecuacin continua d)Ecuacin general e)Ecuacin punto-pendiente f)Ecuacin explcita 4.-Posiciones relativas 3. Curso 2010/2011 3 1.- Vectores en el plano Las magnitudes que se expresan con un solo nmero se llaman magnitudes escalares, pero si adems tenemos que saber la direccin y el sentido, tenemos magnitudes vectoriales y sus elementos son los vectores. Por ejemplo, un mapa del tiempo contiene magnitudes constantes, como la temperatura, y magnitudes en movimiento, como el viento. 4. Curso 2010/2011 4 1.- Vectores en el plano Un vector AB es un segmento orientado con origen A y extremo B. Grficamente es una flecha. Los elementos de un vector son: Mdulo de AB (|AB|) a la longitud del segmento AB Direccin de AB a la recta que pasa por A y B Sentido de AB a la orientacin en la recta: de A a B Dos vectores son equipolentes (iguales) si tienen igual mdulo, direccin y sentido. Todos los vectores equipolentes entre s son el mismo vector libre. 5. Curso 2010/2011 5 Clculo de las coordenadas de un vector Dados A(4,1) y B(1,2) dibuja el vector AB y halla sus coordenadas. Para ir de A a B tenemos que ir 3 a la izquierda (-3) y 1 para arriba (+1). Luego el vector AB=(-3,1). Es decir, AB = ( 1-4 , 2-1 ) 6. Curso 2010/2011 6 Clculo de las coordenadas de un vector Es decir, para calcular las coordenadas de un vector conocidos dos puntos, simplemente restamos sus coordenadas: A(x1 ,y1 ), B(x2 ,y2 ) entonces AB=(x2 -x1 ,y2 -y1 ) 7. Curso 2010/2011 7 Mdulo de un vector El mdulo de un vector es lo que mide. Veamos el dibujo que formamos. Luego podemos, por el Teorema de Pitgoras, calcular cunto mide la hipotenusa del tringulo: AB=d A, B=x2x1 2 y2y1 2 8. Curso 2010/2011 8 EJERCICIOS Realiza los siguientes ejercicios: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 14 (p. 153) 9. Curso 2010/2011 9 Tema 9 1.-Vectores en el plano 2.-Operaciones con vectores 3.-Ecuaciones de la recta a)Ecuacin vectorial b)Ecuaciones paramtricas c)Ecuacin continua d)Ecuacin general e)Ecuacin punto-pendiente f)Ecuacin explcita 4.-Posiciones relativas 10. Curso 2010/2011 10 2.- Operaciones con vectores a) SUMA DE VECTORES: Para sumar grficamente dos vectores u y v se toma uno de ellos ( u ) y con origen en su extremo se dibuja el otro vector ( v ). Y la suma es otro vector con origen el de u y extremo el de v. Se denota por u+v. 11. Curso 2010/2011 11 2.- Operaciones con vectores a) SUMA DE VECTORES: En coordenadas, si el vector suma se calcula sumando: Ejemplo: Si A(0,0), B(-1,3), C(-2,-2), D(1,-3), calcula: AB, CD, AB+CD, CD+AB u=u1, u2 ,v=v1, v2 uv=u1, u2v1, v2=u1v1 ,u2v2 12. Curso 2010/2011 12 2.- Operaciones con vectores b) PRODUCTO DE UN N POR UN VECTOR: Grficamente, al multiplicar por un nmero un vector podemos modificar el mdulo del vector, y el sentido si el nmero es negativo. En coordenadas, si el producto de un nmero real k por dicho vector es: u=u1, u2 k u=k u1, k u2 13. Curso 2010/2011 13 2.- Operaciones con vectores b) PRODUCTO DE UN N POR UN VECTOR: OBSERVACIN: El vector -v es el mismo que v pero de sentido contrario. Restar dos vectores u y v es: uv=uv 14. Curso 2010/2011 14 EJERCICIOS Realiza los siguientes ejercicios: 16, 17, 19, 20, 21, 22 (p. 155) 15. Curso 2010/2011 15 Tema 9 1.-Vectores en el plano 2.-Operaciones con vectores 3.-Ecuaciones de la recta a)Ecuacin vectorial b)Ecuaciones paramtricas c)Ecuacin continua d)Ecuacin general e)Ecuacin punto-pendiente f)Ecuacin explcita 4.-Posiciones relativas 16. Curso 2010/2011 16 3.- Ecuaciones de la recta Las rectas son funciones lineales y=mx+n donde m es la pendiente de la recta y n la ordenada en el origen. Veamos las distintas formas de expresarla. 17. Curso 2010/2011 17 a) Ecuacin vectorial Una recta queda definida por dos puntos A y B. Cualquier punto de la recta ser una traslacin del punto A. La ecuacin vectorial de la recta que pasa por A y tiene por vector director v es: donde P es un punto de la recta y t un parmetro que puede valer cualquier n real. OP=OAt v 18. Curso 2010/2011 18 b) Ecuacin paramtrica Si escribimos la ecuacin vectorial en coordenadas: P(x,y), A(a,b), entonces: Luego las ecuaciones paramtricas de la recta son: con t un nmero real. v=v1, v2 x , y=a ,bt v1, v2 x , y=at v1 ,bt v2 {x=at v1 y=bt v2 19. Curso 2010/2011 19 c) Ecuacin continua Si despejamos el parmetro t de las dos ecuaciones, entonces nos queda: Como t es el mismo nmero, podemos igualar y obtenemos la ecuacin continua de la recta: {x=at v1 y=bt v2 t= xa v1 y t = yb v2 xa v1 = yb v2 20. Curso 2010/2011 20 d) Ecuacin general De la ecuacin continua, vamos a operar para dejarlo todo en una igualdad ms sencilla. Ejemplo: x2 3 = y1 2 21. Curso 2010/2011 21 d) Ecuacin general Hemos obtenido por tanto la ecuacin general de la recta: Ax+By+C=0 donde el vector director de la recta es v=B , A 22. Curso 2010/2011 22 e) Ecuacin punto-pendiente Si despejamos de la ecuacin continua, podemos obtener: La ecuacin punto-pendiente de la recta es: donde m es la pendiente de la recta. xa v1 = yb v2 yb= v2 v1 xa=m xa yb=mxa 23. Curso 2010/2011 23 e) Ecuacin punto-pendiente Si conocemos el vector director de la recta, entonces la pendiente es: Podemos decir tambin que la pendiente es la inclinacin de la recta y est relacionada con la tangente del ngulo de inclinacin. De ah que se dividan de esa forma las coordenadas. v=v1, v2 m= v2 v1 24. Curso 2010/2011 24 f) Ecuacin explcita Si ahora despejamos la y de la ecuacin punto- pendiente (o de la general o de la continua que son la misma) obtenemos la ecuacin explcita de la recta que es: que es la forma general en la que nosotros conocemos las rectas. y=mxn 25. Curso 2010/2011 25 EJERCICIOS Tienes que tener todos los ejercicios siguientes sobre ecuaciones de la recta: a) 29, 32 (p. 157) b) 30 (p. 157) c) 31, 33 (p. 157) d) 41, 42 (p. 159) e) 43, 44 (p. 159) f) 46, 47 (p. 159) 48, 49 (p. 159) 26. Curso 2010/2011 26 Tema 9 1.-Vectores en el plano 2.-Operaciones con vectores 3.-Ecuaciones de la recta a)Ecuacin vectorial b)Ecuaciones paramtricas c)Ecuacin continua d)Ecuacin general e)Ecuacin punto-pendiente f)Ecuacin explcita 4.-Posiciones relativas 27. Curso 2010/2011 27 4.- Posiciones relativas En el plano dos rectas pueden ser paralelas, coincidentes o secantes: Paralelas: tienen la misma direccin y no poseen puntos comunes. Coincidentes: tienen la misma direccin y todos los puntos son comunes. Secantes: sus direcciones son distintas y slo tienen un punto en comn, que es el punto de corte de ambas rectas. 28. Curso 2010/2011 28 4.- Posiciones relativas Para estudiar las posiciones relativas debemos observar primero los vectores directores. Si son proporcionales (dividimos sus coordenadas y vemos si son constantes), entonces tienen la misma direccin. Luego tenemos rectas paralelas o coincidentes. Si no son proporcionales entonces son secantes. 29. Curso 2010/2011 29 4.- Posiciones relativas Completa la siguiente tabla: Posiciones Vectores directores Pendientes Ecuacin general Paralelas Proporcionales Coincidentes Secantes Distintas m m' A A' = B B' = C C' u2 u1 = v2 v1 30. Curso 2010/2011 30 EJERCICIOS Realiza los siguientes ejercicios: 34, 35, 39 (p. 157), 50, 51, 52 (p. 159)