4eso-a tema09 vectores y rectas en el plano

8/8/2019 4ESO-A Tema09 Vectores Y Rectas en el Plano

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Tema 9

Vectores y rectasen el plano

Luis AlonsoCEIPS Adolfo Surez

Curso 2010-2011


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Tema 9

1.-Vectores en el plano2.-Operaciones con vectores3.-Ecuaciones de la recta

a)Ecuacin vectorialb)Ecuaciones paramtricasc)Ecuacin continuad)Ecuacin general

e)Ecuacin punto-pendientef)Ecuacin explcita4.-Posiciones relativas


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1.- Vectores en el plano

Las magnitudes que se expresan con un solonmero se llaman magnitudes escalares , perosi adems tenemos que saber la direccin y elsentido, tenemos magnitudes vectoriales ysus elementos son los vectores .

Por ejemplo, un mapa del tiempo contienemagnitudes constantes, como la temperatura, y

magnitudes en movimiento, como el viento.


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1.- Vectores en el plano

Un vector AB es un segmento orientado con origen A yextremo B. Grficamente es una flecha. Los elementos de un vector son:

Mdulo de AB (|AB|) a la longitud del segmento AB Direccin de AB a la recta que pasa por A y B Sentido de AB a la orientacin en la recta: de A a B

Dos vectores son equipolentes (iguales) si tienen igualmdulo, direccin y sentido.

Todos los vectores equipolentes entre s son el mismo vectorlibre .


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Clculo de las coordenadas de unvector

Dados A(4,1) y B(1,2) dibuja el vector AB yhalla sus coordenadas.

Para ir de A a B tenemos que ir 3 a la izquierda (-3) y 1 para arriba (+1).

Luego el vector AB=(-3,1). Es decir, AB = ( 1-4 , 2-1 )


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Clculo de las coordenadas de unvector

Es decir, para calcular las coordenadas de unvector conocidos dos puntos, simplementerestamos sus coordenadas:

A(x1,y1), B(x2,y2) entonces AB=(x2-x1,y2-y1)


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Mdulo de un vector

El mdulo de un vector es lo que mide. Veamos el dibujo que formamos.

Luego podemos, por el Teorema de Pitgoras,

calcular cunto mide la hipotenusa deltringulo:

AB= d A ,B = x2 x1 2 y2 y1 2


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EJERCICIOS

Realiza los siguientes ejercicios:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 14 (p. 153)


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Tema 9





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2.- Operaciones con vectores

a) SUMA DE VECTORES: En coordenadas, si

el vector suma se calcula sumando:

Ejemplo: Si A(0,0), B(-1,3), C(-2,-2), D(1,-3),calcula: AB, CD, AB+CD, CD+AB

u= u1, u 2 ,v= v1, v 2

u v= u 1, u 2 v1, v2 = u 1 v1 , u 2 v 2


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2.- Operaciones con vectores

b) PRODUCTO DE UN N POR UN VECTOR: OBSERVACIN:

El vector -v es el mismo que v pero de sentido

contrario. Restar dos vectores u y v es:

u v = u v


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EJERCICIOS

Realiza los siguientes ejercicios:16, 17, 19, 20, 21, 22 (p. 155)


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Tema 9





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3.- Ecuaciones de la recta

Las rectas son funciones lineales y=mx+ndonde m es la pendiente de la recta y n laordenada en el origen.

Veamos las distintas formas de expresarla.


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Curso 2010/2011 17

a) Ecuacin vectorial

Una recta queda definida por dos puntos A y B. Cualquier punto de la recta ser una traslacin

del punto A. La ecuacin vectorial de la recta que pasapor A y tiene por vector director v es:

donde P es un punto de la recta y t unparmetro que puede valer cualquier n real.

OP = OA t v


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Curso 2010/2011 18

b) Ecuacin paramtrica

Si escribimos la ecuacin vectorial encoordenadas:P(x,y), A(a,b), entonces:

Luego las ecuaciones paramtricas de la

recta son:con t un nmero real.

v= v1, v2 x , y = a , b t v1, v2 x , y = a t v 1 , b t v 2

{ x= a t v 1 y= b t v 2


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c) Ecuacin continua

Si despejamos el parmetro t de las dosecuaciones, entonces nos queda:

Como t es el mismo nmero, podemos igualar y

obtenemos la ecuacin continua de la recta:

{ x= a t v 1 y= b t v 2 t =

x av 1 y t =

y bv2

x av1

= y bv2


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d) Ecuacin general

De la ecuacin continua, vamos a operar paradejarlo todo en una igualdad ms sencilla.Ejemplo: x 2

3= y

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d) Ecuacin general

Hemos obtenido por tanto la ecuacin general de la recta: Ax+By+C=0donde el vector director de la recta es

v= B , A


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Curso 2010/2011 22

e) Ecuacin punto-pendiente

Si despejamos de la ecuacin continua,podemos obtener:

La ecuacin punto-pendiente de la recta es:

donde m es la pendiente de la recta.

x av1

= y bv2

y b=v2v1

x a =m x a

y b= m x a


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e) Ecuacin punto-pendiente

Si conocemos el vector director de la recta,entonces la pendiente es:

Podemos decir tambin que la pendiente es lainclinacin de la recta y est relacionada con latangente del ngulo de inclinacin. De ah quese dividan de esa forma las coordenadas.

v= v1, v2 m=v2v1


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f) Ecuacin explcita

Si ahora despejamos la y de la ecuacin punto-pendiente (o de la general o de la continua queson la misma) obtenemos la ecuacinexplcita de la recta que es:

que es la forma general en la que nosotrosconocemos las rectas.

y= mx n


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Curso 2010/2011 25

EJERCICIOS

Tienes que tener todos los ejercicios siguientessobre ecuaciones de la recta:a) 29, 32 (p. 157)

b) 30 (p. 157)c) 31, 33 (p. 157)d) 41, 42 (p. 159)e) 43, 44 (p. 159)f) 46, 47 (p. 159)48, 49 (p. 159)


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Tema 9




4 P i i l i


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4.- Posiciones relativas

En el plano dos rectas pueden ser paralelas,coincidentes o secantes: Paralelas : tienen la misma direccin y no poseen

puntos comunes. Coincidentes : tienen la misma direccin y todos

los puntos son comunes. Secantes : sus direcciones son distintas y slo

tienen un punto en comn, que es el punto decorte de ambas rectas.

4 P i i l i


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Curso 2010/2011 28


Para estudiar las posiciones relativas debemosobservar primero los vectores directores. Si son proporcionales (dividimos sus

coordenadas y vemos si son constantes),entonces tienen la misma direccin. Luegotenemos rectas paralelas o coincidentes.

Si no son proporcionales entonces son secantes.

4 P i i l i


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Curso 2010/2011 29


Completa la siguiente tabla:Posiciones Vectoresdirectores Pendientes

Ecuacingeneral

ParalelasProporcionales

Coincidentes

Secantes Distintasm m'

A A'

= B B '

= C C '

u 2u 1

= v2v1

EJERCICIOS


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Curso 2010/2011 30

EJERCICIOS

Realiza los siguientes ejercicios:34, 35, 39 (p. 157), 50, 51, 52 (p. 159)

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