vectores rectas y planos

7/18/2019 Vectores Rectas y Planos

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Vectores, rectas y planos 1

VECTORES, RECTAS Y PLANOSProf. Clara Matheu

Recorreremos juntos este texto a partir del cual iremos definiendo algunos conceptosy veremos cmo aplicarlos en algunos ejemplos. Tambin habrn algunos ejerciciospropuestos que te recomiendo hagas en cada momento para que verifiques si vasentendiendo lo que les.Ac tens un ndice con todos los temas:

1. Vectores .. pg 21.1.Caractersticas pg 2

1.1.1. Vectores equivalentes pg 31.2. Norma de un vector ..pg 31.2.1. Vector unitario .pg 4

1.3 Distancia entre dos puntos pg 51.4 Producto escalar pg 61.5 ngulo entre dos vectores .Pg 6

1.5.1 Vectores ortogonales.Pg 7

2. Rectas Pg 82.1. Rectas en el espacio. Ecuacin vectorial Pg 82.2. Rectas paralelas y perpendiculares.Pg 92.3. Interseccin de rectas . Pg 10

3. Planos ..Pg 133.1 Definicin ..Pg 133.1.1 Ecuacin implcita .......................................................................... Pg 143.2 Producto vectorial .. Pg 153.3 Plano que pasa por 3 puntos .. Pg 173.4 Plano que contiene 2 rectas .Pg 183.5 Interseccin entre recta y plano Pg 21


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1. VECTORES

Empezamos recordando del colegio secundario qu es un vector y sus caractersticas:

1. 1 VECTOR - CARACTERSTICAS

Un vector es un segmento dirigido. Tiene tres caractersticas: direccin, longitud y

sentido. Lo representamos mediante una flecha. Para dar un vector necesitamos dar un

origen A y un extremo B.

Ejemplo: A= (1,2) y B= (4,3) lo representamos:

Veamos algunos ejemplos de vectores para entender bien cules son suscaractersticas en cada caso:

Estos vectores tienen la misma direccin, es decir, la inclinacin:

Cmo son sus longitudes?

Dibuj otro vector u

en el esquema anterior que tenga la misma direccin yuno v

que tenga una direccin distinta.

Estos vectores tienen la misma direccin y sentido opuesto:

Fijate que ABBA

. Estosdos vectores tienen igualdireccin y mdulo pero elsentido es opuesto.

1 4

2

3


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1.1.1 VECTORES EQUIVALENTES:

Son los que tienen igual direccin, longitud y sentido.

Un ejemplo de vector equivalente: Si tomamos el vector CD con C=(2,1) y D = (5,2) ,

ste es equivalente al vector BA

1) Grafic en el esquema del comienzo, donde se encuentra AB y observar quetienen igual direccin, mdulo y sentido.2) Si el origen de w es el punto E= (1, -1) , Cul debe ser su extremo para quesea equivalente a AB?3) D las coordenadas del origen y extremo de otro vector que sea equivalente

a BA

1.2 NORMA DE UN VECTOR:

Si ),,( cbau , la norma del vector u es 222 cbau .

En 2 y 3 , la norma es la longitud del vector.

Por ejemplo: Si )3,2,1(u y )2,2,1( v , calculemos la norma de cada uno:

14941321 222 u

39441)2(2)1( 222 v

Calcul la norma de los siguientes vectores:

(-1,0,1) (0,0,1) (2,0,3)

Un vector queda bien determinado si seconoce su direccin, longitud y sentido, no

importa cul es el origen. Dos vectoresequivalentes para nosotros sern lo mismo.


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Propiedades de la norma:

1) 0v para todo v

2) si k , entonces vkkv

1.2.1 VECTOR UNITARIO

Un vector se dice unitario si tiene norma 1.

Ejemplos:

1) Decidir si el vector v es unitario siendo v=

5

1,

5

2

Para decidirlo, calculamos la norma de v

115

1

5

4

5

1

5

222

v

Como la norma dio 1, conclumos que v es unitario.

2) Hallar un nmero real a tal que el vector v sea unitario, siendo v= 2,a

Necesitamos que 1v

12 22 a

122 a

22 12a

12 a

Pero esta ecuacin no tienen solucin en los reales, entonces decimos que noexiste ningn a para que el vector v sea unitario.

1) Hallar, si es posible, un nmero real a para que w sea unitario, siendo

3

1,0,aw

2) Hallar un vector paralelo a u=(4, 3) que sea unitario.


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1.3 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Si tenemos dos puntos (x,y,z) y (a,b,c) en3 la distancia entre ellos es la longitud del

segmento que los une.

La calculamos haciendo ),,(),,( cbazyx

Definicin: La distancia entre dos puntos A y B es

222, zcybxaABBAd

Ejemplos:

1) Encontrar la distancia entre A= (1,2,-3) y B= (2,1,-2):

3111)3(2)2112),( 222222 BAd

2) Hallar a para que 3),( BAd siendo A= (1, 0, a) y B = (3,0,3)

Entonces, tenemos que pedir,

3),( BAd

330013 222 a

332 22 a

22 334 a

493 2 a

53 a

53 a 53 a

a 53 a 53

Estos dos valores de a cumplen lo pedido por lo tanto tenemos dos soluciones.

Encontr los valores de a para que la distancia entre A y B sea 2 siendoA = (1, -1, 4) y B = (2, 0, a)


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1.4 PRODUCTO ESCALAR

Definicin: Dados dos vectores 321 ,, aaaA y 321 ,, bbbB llamamos productoescalar de A con B al nmero

332211 .... bababaBA

Por ejemplo: Si A= (1,0,2) y B = (-2, 1, 3) , calculemos A. B

A . B = 1. (-2) + 0 . 1 + 2 . 3 = .-2 + 6 = 4

Propiedades:

1) A . B = B . A

2) A . (B + C) = A . B + A . C = (B + C) . A

3) Si k : (k . A) . B = k . (A . B) = A . (k . B)

1.5 NGULO ENTRE DOS VECTORES

Llamaremos ngulo entre v y w al nico ngulo entre 0 y que verifica:

wv

wv

.

.cos

Ejemplo: Hallemos el ngulo entre los siguientes vectores:

v = (0,1, 3 ) y w = (0, 0, -2)

Calculemos v . w = 0 . 0 + 1 . 0 + 3 . (-2) = -2 3

Calculemos ahora 2310 222 v y 2w

Entonces, reemplazando,

wv

wv

.

.cos tenemos:

2

3

2.2

32cos

6

5

Encontr el ngulo entre los vectores u = (1, 0, 0) y v = (1, 0, 3 )


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1.5.1 VECTORES ORTOGONALES

Diremos que v y w son ortogonales si v . w = 0

Fijate que si v. w = 0 , reemplazando en la frmula anterior, nos quedara

0cos 2

los vectores son perpendiculares u ortogonales.

Ejemplos:

1) Hallar un vector que sea ortogonal a v= (1,-1, 2):Tenemos que hallar un vector w = (x,y,z) que cumple v. w =0

Es decir, (1,-1,2) . (x, y , z) = 0 1.x -1 . y + 2 . z = 0

Despejando x = y2z

Si por ejemplo, elegimos y = 0 y z = 1, nos queda que x = 02.1 = -2

Entonces un posible w sera (-2, 0, 1)

Podemos ver que hay infinitos vectores ortogonales a v ya que podemos elegirinfinitas combinaciones de y y de z dndonos cada una un vector diferente.

2) Hallar un vector ortogonal a BA

siendo A = (1, 0, -1) y B = (2, 1, 1).

Fijate que la diferencia con el ejercicio anterior es que antes el vector quetenamos sala directamente del origen mientras que ste tiene origen en (1, 0,-1)

Primero buscamos un vector equivalente que salga del origen. Para estohacemosBA = (2, 1, 1)(1, 0, -1) = (1, 1, 2)

Ahora s tenemos un vector que sale del origen y un vector ortogonal a stetambin lo ser al AB. Entonces seguimos igual que en el ejercicio anterior.

Pedimos que (x, y, z) . (1, 1, 2) = 0 x + y + 2z = 0

Un posible vector sera (1, -1, 0) ya que cumple la ecuacin.

1) Hall todos los vectores ortogonales a (1, 0, 0)2) Hall un vector que sea ortogonal a v= (1, -1, 0) y tambin sea ortogonal a

w = (2, 0, 1)

3) Sean u y v dos vectores de norma 1 que forman un ngulo de3

, calcul u . v


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2.

RECTAS

2. 1 RECTAS EN EL ESPACIO ECUACIN VECTORIAL

Sean P = 000 ,, zyx y Q = 111 ,, zyx puntos de3 . La recta L que pasa por P y Q se

puede expresar en la forma

L : (x,y,z) = P + t(Q-P)

El vector QP

da la direccin de la recta.

Ejemplo:

Apliquemos la frmula anterior para un caso concreto.

Objetivo: Hallar la ecuacin de la recta que pasa por P= (1, -1, 0) y Q = (2, 0, -1)

Buscamos el vector PQ = QP = (2, 0, -1)(1, -1, 0) = (1, 1, -1)

Entonces L : (x,y,z) = (1, -1, 0) + t ( 1, 1, -1) t

Ser esta la nica ecuacin??

Fijmonos que tambin puede escribirse la misma rectaL : (x,y,z) = (2, 0, -1) + t ( 1, 1, -1) t . En este ejemplo, elegimos P en elprimer caso y Q en el segundo pero podramos elegir cualquier punto quepertenezca a L.

P

Q

Una recta tiene infinitas ecuacionesvectoriales ya que puede elegirse

cualquier punto de ella y en ladireccin puede elegirse cualquier

mltiplo.


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1) Encontr 3 puntos que pertenezcan a la recta anterior.2) Decid si el punto R= ( 1, 2, 1) pertenece a L del ejercicio anterior.

2.2 RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

Rectas paralelas: Dos rectas son paralelas si tienen la misma direccin. Es decir, si sus

direcciones son uno mltiplo del otro.

Rectas perpendiculares: Dos rectas son perpendiculares si sus direcciones son vectores

ortogonales. Es decir, si el producto escalar de sus direcciones es 0.

Ejemplos:

1) Decidir si las siguientes rectas son paralelas:

L: (x,y,z) = (1, -1, 2) + t (2, -2, 6)

L: (x,y,z) = k ( -1, 1, -3) + (1, 2, 0)

La recta L tiene al vector (2, -2, 6) como vector direccin mientras que la recta

Ltiene al (-1, 1, -3)

Ahora, (2, -2, 6) = -2 . (-1, 1, 3) .

Como los vectores directores son mltiplos, las rectas son paralelas.

2) Hallar la ecuacin de una recta perpendicular a w = (1, 1, 1)

La direccin de la recta debe ser un vector perpendicular a (1, 1, 1). Este

procedimiento ya lo hicimos antes cuando vimos vectores perpendiculares.

Si llamamos (a, b, c) a la direccin, sta debe verificar

(a, b, c) . (1, 1, 1) = 0 a + b + c = 0

Por ejemplo podemos elegir (-1, 0 , 1) que es un vector que verifica la ecuacin.Ya tenemos la direccin de la recta. Todava necesitamos un punto quepertenezca a ella. Como la nica condicin es la de perpendicularidad, el puntopodemos elegirlo como ms nos guste. Por ejemplo (1, 0, 0)

Entonces L : (x, y, z) = t(-1, 0, 1) + (1, 0, 0)

El vector direccin essiempre el que estmultiplicado por el

parmetro k o t, no el queest solo.


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1) Hall la ecuacin de la recta que pasa por (2, -3, 0 ) y (1, 2, 1)2) Hall la ecuacin de la recta que es paralela a v= (1, 1, 1) y pasa por el

punto P = (1, 0, 3)3) Hall la ecuacin de una recta perpendicular a la recta

L : (x, y , z) = (1, 2, 3) + t ( 1, -2, 1) y que pase por Q = (1, 0 ,4)

2.3 INTERSECCIN DE RECTAS

Buscamos los puntos en comn entre dos rectas.

Veamos algunos casos:

Objetivo: Hallar la interseccin entre L y L en cada caso

a)

)1,1,1()8,4,1(),,(:

)2,5,3()4,1,0(),,(:

zyxL

tzyxL

Queremos hallar un punto P que pertenezca a las dos rectas.

Si P pertenece a L, entonces para algn t, igualando coordenadas : P

tz

tytx

24

5130

Si P tambin pertenece a L entonces para algn : P

8

4

1

z

y

x

Como los dos son el mismo P, igualamos las ecuaciones de las x, la de las y y la de las z.

824

451

13

t

t

t

Resolvemos el sistema y utilizando las dos primeras ecuaciones llegamos a que 2 y 1t (Hacelo vos usando sustitucin o el mtodo que ms te guste)

Vemos si se verifica la tercer ecuacin: 4 + 2 . 1 = 82 6=6


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Como esta ltima igualdad es verdadera, entonces existen valores de t y de que sonsolucin del sistema. Es muy importante ver que la solucin verifica las 3 ecuaciones.

Entonces reemplazamos el valor de t o el de . Por ejemplo

si elegimos t = 1, lo reemplazamos en L ( ya que la letra t la usamos en la ecuacin de L)

61.24

61.51

31.3

z

y

x

Si hubiramos elegido 2 , lo haramos en L y nos dara el mismo punto. (Verificalo)

Entonces P = 6,6,3LL . En este caso las rectas se cortan en un solo punto.

b)

)6,0,4()6,1,4(),,(:

)3,0,2()3,1,2(),,(:

tzyxL

kzyxL

Siguiendo los mismos pasos anteriores armamos el sistema:

tk

tk

6633

11

4422

resolviendo un poco nos queda

tk

tk

21

11

21

Este sistema es indeterminado, o sea, tiene infinitas soluciones por lo cual las rectas secortan en infinitos puntos. La nica manera de que esto ocurra es que las rectas seancoincidentes, es decir, la misma. Entonces LLL

L

L

P


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c)

)1,1,1()8,4,1(),,(:

)3,0,2()3,1,2(),,(:

tzyxL

kzyxL

Volvemos a armar el sistema de ecuaciones:

tk

t

tk

833

41

122

Resolviendo las dos primeras ecuaciones, queda que t = -3 y k = -2

Vemos si verifica la tercer ecuacin reemplazando los valores de t y de k en ella

-33 (-2) 8- (-3)

Como no obtenemos una igualdad, la tercera ecuacin no se verifica por lo que elsistema no tiene solucin. Quiere decir que LL o sea, no se cortan. Estas rectasse llaman alabeadas.

Resumiendo:Dos rectas pueden:

- cortarse en un punto- cortarse en un infinitos puntos (rectas coincidentes)- no cortarse (alabeadas)

Sean L: (x, y, z) = t (1, 2, 1) + (1, -1, 0) y L: (x, y, z) = k ( , 1, ) + (3, 0, 0)Son perpendicuares? Son paralelas? En cuntos puntos se cortan? Encontr lainterseccin y explic tu respuesta.

En el espacio dos rectaspueden no cortarse y sinembargo no ser paralelas.


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3.

PLANOS

3.1 PLANOS

Definicin: El plano es el conjunto de puntos3

Xtales que X P es perpendicular al

vector N siendo P un punto del plano y N la normal del plano.

Segn la definicin, para determinar un plano necesitamos un vector normal N y unpunto P por el que pase el plano. Veamos esta definicin en el siguiente grfico:

Vemos en el grfico que X-P y N son perpendiculares. Tambin lo vemos en ladefinicin. Entonces,

(XP) . N = 0 X . NP . N = 0 X .N = P . N

Esto es lo que llamamos ecuacin implcita del plano:

X . N = P . N

Ejemplos:

1) Hallar la ecuacin del plano que tiene vector normal N = (-1, 1, 3) y pasa porP=(1,2, 3)

Entonces: X . N = P . NReemplazamos: (x, y, z) . (-1, 1, 3) = (1, 2, 3) . (-1, 1, 3)

-x + y + 3z = -1 + 2 + 9

: -x + y + 3z = 10

P

X

X

N

X - PX - P


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2) Hallar el vector normal del siguiente plano : 2xy + 3z = 3

Observando los coeficientes que multiplica a x, y y z, el vector normal esN = (2, -1, 3)

Resumiendo:

3.1.1 ECUACIN IMPLCITA DEL PLANO

X . N = P . N

Desarrollada queda

ax + by + cz = d

donde (a, b, c) es el vector normal al plano y d el resultado del producto escalar entre

algn punto del plano y la normal.

1) Busc un vector que sea normal a : 2x 3y = 52) Encontr la ecuacin del plano que es perpendicular al vector(1, 4, 3) y pasa por (1, 5, -1)

3.2 PRODUCTO VECTORIAL

Definimos ahora un producto entre dos vectores de3

Sean u = ( 321 ,, uuu y v = 321 ,, vvv

u x v = 122113132332 ..,..,.. vuvuuvvuvuvu

u x v =

21

21

31

31

32

32 ,,vvuu

vvuu

vvuu

En la ecuacin implcita delplano, est el vector normal a

la vista. ste se forma con loscoeficientesque multiplican a

x, y y zrespectivamente.


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Para recordarlo y calcularlo ms fcilmente, utilizamos la segunda forma de expresarlo.Colocamos el vector v debajo del vector u y para obtener el nmero que va en cadacoordenada, tapamos la columna correspondiente y calculamos el determinante de lamatriz correspondiente. No nos olvidemos de cambiar el signo en la coordenada del

medio!!

Ejemplo: Sean u = (2, 0, -1) y v = (1, -2, 3) . Hallar u x v

Colocamos el vector v debajo del u

3,2,1

1,0,2

Para obtener la primer coordenada, tapamos la primer columna y nos queda

2)2).(1(3.0

32

10

Para obtener la segunda, tapamos la segunda columna: 731

12

y le cambiamos

el signo, por lo que queda -7.

Para obtener la tercera, tapamos la tercera columna: 421

02

Entonces u x v = (-2, -7 , -4)

Propiedades:

1) u x v = - (v x u )2) u x (v + w) = u x v + u x w3) si k , (k . u ) x v = k . (u x v) = u x (k . v)4) u x u = (0,0,0)5) u x v es perpendicular a u y a v, es decir, (u x v ) . u = 0 y (u x v) . v = 0

6) senvuuxv .. donde es el ngulo entre u y v

Ejemplos:1) Hallar un vector perpendicular a u = (1, 0, 3) y a v = (0, -1, 1) que tenga longitud

2

11.

Empecemos por buscar un vector perpendicular a u y a v y despus nosocuparemos de la norma. Cada vez que queremos buscar un vectorperpendicular a dos vectores dados, podemos hacerlo usando el productovectorial que, por la propiedad 5) es lo que necesitamos. Es decir, el productovectorial entre dos vectores nos da otro vector que es perpendicular a los dos

originales. (Esta propiedad es muy importante y la vamos a usar en muchasocasiones).


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Encontrar un vector perpendicular a dos vectores dados es algo que yasabamos hacer usando el producto escalar. Plantebamos dos ecuacionespidiendo que cada uno de los vectores sea perpendicular a un (x, y, z) o sea,planteando que el producto escalar fuera 0. (Hacelo vos de esta forma)

Ahora tenemos esta nueva herramienta.

Entonces buscamos el producto vectorial:

u x v = (3, -1, -1)(Verificalo haciendo las cuentas)

Este vector y todos sus mltiplos son perpendiculares a u y a v. Busquemosahora cul de todos los mltiplos tiene la norma pedida.

2

11)1,1,3( k

2

111,1,3 k

2

1111 k

2

1k

Si por ejemplo tomamos k =2

1 el vector buscado sera

.2

1,

2

1,

2

31,1,3

2

1. Podramos haber tomado tambin k =

21

2) Hallar la ecuacin del plano que es paralelo a los vectores u = (1, 2, 1 ) yv = (-1, 3, 2) que pasa por el punto P = (1, 1, 1)

Como el plano es paralelo a u, entonces u es perpendicular a la normal N

Como el plano es paralelo a v, entonces v es perpendicular a la normal N

Entonces la normal es perpendicular a u y a v. Podemos hallarla usando elproducto vectorial de u y v

N = u x v = (1, -3, 5)Ya tenemos la normal y un punto PArmamos la ecuacin del plano:

(x, y, z) . (1, -3, 5) = (1, 1, 1) . (1, -3, 5)

x3y + 5z = 3


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Encontr todos los vectores que son perpendiculares a (1, 3, 2) y a (-1, 2, 0).Cuntos son? (Atenti que hay dos formas de hacerlo y en una hay que prestarms atencin a la cantidad de soluciones!)

3.3 PLANO QUE PASA POR TRES PUNTOS

Dados 3 puntos no alineados existe un nico plano que los contiene. Imagin 3puntos en el espacio y convencete de esto.

Objetivo: Hallar la ecuacin del plano que pasa por P = (1,1,1) ; Q = (1, 2, -1) y

R = (0, 1,2)

Para hallar el plano indicado, necesitamos la normal y un punto, como siempre.Puntos tenemos tres, podemos elegir cualquiera. Lo que nos falta es la normal.En este caso, nos dan 3 puntos del espacio que pertenecen al plano. Entoncesobservemos que el plano es paralelo a la direccin por ejemplo de PQ o de PR o decualquier vector que tenga origen en alguno de estos puntos y extremo en otro.

Por ejemplo, elegimos PQ y PR

PQ = QP = (0, 1, -2)

PR = RP = (-1, 0, 1)

Ahora el ejercicio es igual al anterior, buscamos un plano paralelo a (0, 1, -2) y(-1, 0, 1) y que pase por P, Q o R.

N = (0, 1, -2) x (-1, 0, 1) = (1, 2, 1)

Eligiendo P como punto del plano, nos queda:

x + 2y + z = (1, 1, 1) . (1, 2,1)

x + 2y + z = 5

PQ

R

Este plano es un planocualquiera que contiene 3 puntospero no se corresponde a escalacon los puntos propuestos en elejercicio.


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Busc la ecuacin implcita del plano que pasa por (1, 2, 1) ; (-1, 3, 4)y (3, 0, -2)

3.4 PLANO QUE CONTIENE A DOS RECTAS

Primero nos preguntamos si dadas dos rectas cualesquiera siempre existe un planoque las contiene.Como vimos antes, las rectas pueden a) cortarse en un punto

b) ser alabeadasc) ser paralelas

Veamos el primer caso: Las rectas se cortan en un punto.

Es claro como vemos en el grfico que hay un plano que las contiene. Veamos cmobuscarlo:

Hallar la ecuacin del plano que contiene a las rectas

L : (x, y, z ) = t (1, 3, 0)L: (x, y, z) = k (1, 0, 1) + (0, 3, -1)

Comprobar que se las rectas se cortan en P = (1, 3, 0) (Te lo dejo como ejercicio)

El plano es paralelo a las dos rectas, por lo tanto es paralelo a sus direcciones. Es decir,es paralelo a (1, 3, 0) y a (1, 0, 1)

Entonces buscamos la normal, otra vez, con el producto vectorial

L

L

Es muy importante que lo

compruebes!! Sino, podshacer el procedimiento sin

darte cuenta que el plano noexiste!!


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(1, 3, 0) x ( 1, 0, 1) = (3, -1. -3)

Ya tenemos la normal. Ahora necesitamos un punto: Tenemos por ejemplo el punto

(1, 3, 0) que es el de la interseccin. O Podemos utilizar cualquier punto quepertenezca a cualquiera de las rectas ya que al estar contenidas en el plano, todos suspuntos son puntos del plano. Otro ejemplo sera el (0, 0 , 0) que pertenece a L.

Entonces 3xy3z = (3, -1, -3) . (0, 0, 0)

Veamos ahora el segundo caso: Las rectas son alabeadas

Vemos en el grfico que no existe ningn plano que las contenga

Si, como dijimos antes, buscamos la interseccin, ah nos damos cuenta que el planono existe y se acab el ejercicio.

Veamos el tercer caso: Las rectas son paralelas

Vemos en el grfico que si las rectas son paralelas, tambin existe un plano que lascontiene. El plano es paralelo a las dos rectas, es decir, que es paralelo a sus

3x - y - 3z = 0

LL

P

Q

L

L


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direcciones. Pero stas son mltiplos entre si!! Entonces no podemos usar las dos paraencontrar la normal. Observ en el grfico que si tomamos un punto P de la recta L yun punto Q de L el vector PQ es paralelo al plano. Teniendo dos vectores paralelos alplano ya podemos encontrar la normal.

Vemoslo en un ejemplo.

Objetivo: Hallar la ecuacin del plano que contiene a las rectas

L : (x, y, z) = t (1, 3,1) + (1, 0, 0)L: (x, y, z) = k (2, 6, 2) + ( -1, 0, 2)

Los vectores directores son mltiplos, por lo tanto las rectas son paralelas. Comodijimos antes, el plano es paralelo a (1,3, 1) y a un vector PQ que construiremostomando algn punto P de L y algn punto Q de L.

Por ejemplo, P = (1, 0, 0) y Q = (-1, 0, 2)

PQ = QP = (-2, 0, 2)

Ya tenemos dos vectores paralelos al plano y varios puntos para elegir del plano(cualquiera de L o de L).

N = (1, 3, 1) x (-2, 0, 2) = (6, -4, 6)

Eligiendo como punto P = (1, 0, 0)

(Verificarlo haciendo la cuenta)

Sean L: (x, y, z) = t (1, -1, 2) + (1, 2, 3) y L: (x, y, z) = k (1, 0, 1) + (0, 1, 3)a) Son L y L paralelas?b) Existir un plano que contenga a L y a L?

c) Si existe, encontr la ecuacin de dicho plano

6x - 4y + 6z = 6


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3.4 INTERSECCIN ENTRE RECTA Y PLANO

Veamos las posibilidades:

a) La recta puede ser paralela al plano, con lo cual la interseccin ser vaca,

Ejemplo: Hallar la interseccin entre el plano y la recta L

: x + 2y + z = 1L: (x, y, z) = t ( -1, 1, -1) + (1, 0, 2)

Para buscar la interseccin escribimos en forma genrica los puntos de L

(x, y, z) = (-t +1, t, -t + 2)

y le pedimos que cumpla la ecuacin de : (-t + 1) + 2 ( t) + (-t + 2) = 1

Resolvemos la ecuacin y obtenemos t + 2tt = 1- 1 -20 = -2

Esta ecuacin no tiene solucin!! Por eso no hay ningn punto de L que verifique laecuacin del plano y por eso la interseccin es vaca.

Oberv que la direccin de la recta es perpendicular a la normal del plano, con lo cualla recta podra ser paralela o contenida en el plano. En este caso, paralela.

L

x y z


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b) La recta puede ser secante al plano, con lo cual la recta y el plano se cortanen un punto P.

Ejemplo: Hallar la interseccin entre el plano y la recta L

: x + 2y + z = 1L: (x, y, z) = t ( 1, -2, 2) + (1, 3, -5)

Hacemos lo mismo que en el caso anterior:

(x, y, z) = (t +1, -2t + 3, 2t - 5) y lo reemplazamos en la ecuacin del plano

(t + 1) + 2 (-2t + 3) + (2t5) = 1

t4t + 2t = 1 -1 -6 + 5-t = -1t = 1

Entonces P = (1 +1, -2 . 1 + 3, 2. 1 -5) = (2, 1, -3)

c) La recta puede estar contenida en el plano, con lo cual la recta y el plano secortan en infinitos puntos (en todos los de la recta).

L

P

L


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Ejemplo: Hallar la interseccin entre el plano y la recta Lsiendo : x + 2y + z = 1y L: (x, y, z) = t ( -2, 0, 2) + (1, 0, 0)

Resolviendo como antes (x, y, z) = (-2t +1, 0, 2t)

Reemplazamos en la ecuacin de : (-2t+1) + 2 . 0 + (2t) = 10 = 0

Esta ecuacin tiene infinitas soluciones, con la cual todos los puntos de la rectaverifican la ecuacin del plano y esto significa que la recta est contenida en el plano.Entonces LL

Hasta ac llegamos!! Esto son solo las cosas bsicas necesarias para despus aplicarlasa la resolucin de la gua de ejercicios. Ahora con todo lo aprendido, a resolver la gua!Suerte!!

vectores rectas y planos

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