ejercicios_resueltos rectas y planos

7/25/2019 ejercicios_resueltos Rectas y Planos

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Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemticas II 2 Bachillerato 1

TEMA 6 y 7 - RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

ECUACIONES DE LA RECTA

Para hallar la ecuacin de una recta en el espacio necesito:

Dos puntos

Un punto y su vector director

Nota: Nosotros utilizaremos siempre un punto A(x0,y0,z0) y un vector

v = (a,b,c).

Si me dan dos puntos A(x0,y0,z0), B(x1,y1,z1) Tomaremos uno de los mismos A(x0,y0,z0) y como

vector

v =

AB= (x1- x0, y1 y0, z1 z0)

Ecuacin vectorial: (x,y,z) = (x0,y0,z0) + k.(a,b,c) k R

Ecuaciones paramtricas:

+=

+=

+=

kczz

kbyy

kaxx

0

0

0

k R

Ecuacin continua:c

zz

b

yy

a

xx 000 =

=

Ecuacin implcita (como interseccin de dos planos):

=+++

=+++

0DzCyBxA

0DzCyBxA

2222

1111

Ejemplo 1 : Halla las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos P(1,0,-1) y Q(2,1-3)

===

)2,1,1()1,0,1()3,1,2(PQPQ:Vector

)1,0,1(P:Punto

:r

Ecuacin vectorial: (x,y,z) = (1,0,-1) + .(1,1,-2) R

Ecuaciones parmetricas: R

21z

y

1x

=

=

+=

Ecuacin continua:2

1z

1

y

1

1x

+==

Ecuacin implcita:

=

=

+=+

=

1zx2

1yx

1z2x2

y1x

Ejemplo 2: Hallar dos puntos y un vector de las siguientes rectas:

a) (x,y,z) = (2,0,-1) + t.(1,2,3) Puntos:

=

=

(3,2,2)P1t

(2,0,-1)P0t

2

1 Vector: (1,2,3)

b)

====

====

++++====

43z

y

1x

Puntos:

=

=

(2,-1,-1)P1

(1,0,3)P0

2

1 Vector (1,-1,-4)

c)3

2z4

1y2

1x ++++========++++ Puntos

= )2

1(0,3,-P0x

(-1,1,-2)P

2

1

Vector (2,4,3)


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d)

====++++

====++++++++

4z3yx2

3zy2x

2150

3121

4312

3121

=+

=++

2zy5

3zy2x

=

=

=

+=

=

=

25z

y

75x

5223x

25z

y

)5,1,7(:Vector

)3,1,2(P

)2,0,5(P:Puntos

2

1

Nota: Otra forma de hallar el vector )5,1,7(

312

121

kji

=

ECUACIONES DE UN PLANO

Para hallar la ecuacin de un plano en el espacio necesito:

Tres puntos

Un punto y dos vectores directores

Nota: Nosotros utilizaremos siempre un punto A(x0,y0,z0) y dos vectores

v 1= (a1,b1,c1),

v 2= (a2,b2,c2)

Si me dan tres puntos A(x0,y0,z0), B(x1,y1,z1), C(x2,y2,z2) Tomaremos uno de los mismos A(x0,y0,z0)

y como vectores

v 1=

AB = (x1- x0, y1 y0, z1 z0)

v 2=

AC = (x2- x0, y2 y0, z2 z0)

Ecuacin vectorial: (x,y,z) = (x0,y0,z0) + s.(a1,b1,c1) + t. (a1,b1,c1) s,t R


++=

++=

++=

210

210

210

tcc.szz

tbb.syy

taa.sxx

s,t R

Ecuacin implcita o general: Ax + By + Cz + D = 0

0

cba

cba

zzyyxx

222

111

000

=

Ax + By + Cz + D = 0

Vector normal =

n = (A,B,C) =

v 1x

v 2 (Es perpendicular a los dos vectores directores)Nota: Si conocemos el vector normal y un punto podemos hallar directamente la ecuacin general del

plano. Del vector normal conocemos A, B y C ; y si sustituimos el punto hallamos D.

Ejemplo 3 : Hallar las ecuaciones del plano que pasa por los puntos A(0,1,-1), B(2,3,-5), C(1,4,3)

==

==

)4,3,1(ACv

)4,2,2(ABv:Vectores

)1,1,0(A:Punto

:

2

1

Ecuacin vectorial: (x,y,z) = (0,1,-1) + s.(2,2,-4) + t.(1,3,4) s,t R


+=

++=

+=

t4s41z

t3s21y

ts2x

s,t R



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0

431

422

1z1yx

=

+

20x 12(y-1)+4(z+1) = 0 5x-3y+z+4=0

Ejemplo 4: Hallar dos punto, dos vectores y el vector normal

a) (x,y,z) = (1,2,3) + (4,5,6) +(1,0,3) Puntos:

== )6,2,2(P10,(1,2,3)P

2

1

Vectores:

== )5,6,15(vxvn

)3,0,1(v

)6,5,4(v

21

2

1

b)

====

====

++++++++====

3z

2y

21x

Puntos:

== )3,1,2(P10,

(1,0,3)P

2

1 Vectores:

==

)4,1,1(vxvn

)0,1,1(v

)1,2,2(v

21

2

1

c) x + 2y z = 4 z = x + 2y -4 Puntos: P(0,0,-4), Q(1,1,-1), R(1,0,-3) )1,2,1(n

Vectores:

==

==

)1,0,1(PRv

)3,1,1(PQv

2

1

Ejemplo 5 : Hallar la ecuacin del plano, cuyo vector normal es (1,2,3) y pasa por el punto (2,0,4)

014z3y2x14D0D3.42.02

0D3z2yx=++

==+++

=+++

EJERCICIOS REPASO RECTAS Y PLANOS

Ejercicio 6 : Halla las ecuaciones paramtricas de los ejes de coordenadas

Eje OX R

0z

0y

x

)0,0,1(PP:Vector

)0,0,0(P:Pto

)0,0,1(P

)0,0,0(P

21

1

2

1

=

=

=

=

Eje OY R

0z

y

0x

)0,1,0(PP:Vector

)0,0,0(P:Pto

)0,1,0(P

)0,0,0(P

21

1

2

1

=

=

=

=

Eje OZ R

z

0y

0x

)1,0,0(PP:Vector

)0,0,0(P:Pto

)1,0,0(P

)0,0,0(P

21

1

2

1

=

=

=

=


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Ejercicio 7 : Escribe todas las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(-3,2,1) y

B

0,

2

3,

2

5

r:

=

+=

)2,1,1(||1,21,

2110,2

23,3

25AB:Vector

)1,2,3(A:Punto

Ecuacin vectorial: (x,y,z) = (-3,2,1) + .(1,-1,-2) R


21z

2y

3x

=

=

+=

Ecuacin continua:2

1z

1

2y

1

3x

=

=

+

Ecuacin implcita:

=+

=+

=+

=

5zx2

1yx

1z6x2

2y3x

Ejercicio 8 : Comprueba si existe alguna recta que pase por los puntos P(3,1,0),Q(0,-5,1), R(6,-5,1)

Mtodo: Hallamos la recta que pasa por P y Q, y comprobamos si R pertenece a la recta.

Recta que pasa por P y Q1

z

6

1y

3

3x

)1,6,3(PQ:Vector

)0,1,3(P:Punto=

=

=

Comprobamos si el punto R la cumple: 111

1

1

6

15

3

36===

=

Falso.

No existe ninguna recta que pase por los puntos P, Q y R a la vez.

Ejercicio 9 : Halla todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(-4,2,5) y es paralela aleje OZ.

r:

)1,0,0(v)1,0,0(P

)0,0,0(POZejeVector

)5,2,4(A:Punto

2

1

Ecuacin vectorial: (x,y,z) = (-4,2,5) + .(0,0,1) R


5z

2y

4x

+=

=

=

Ecuacin continua:1

5z

0

2y

0

4x =

=

+

Ecuacin implcita:

=

=+

02y

04x


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Ejercicio 10 : Escribe todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P(1,-3,0) y paralela al

vector )0,0,2(v),2,1,1(usiendo,vxu

r:

==

)1,2,0(||)2,4,0(

002

211

kji

vxu:Vector

)0,3,1(A:Punto

Ecuacin vectorial: (x,y,z) = (1,-3,0) + .(0,2,1) R


z

23y

1x

=

+=

=

Ecuacin continua:1

z

2

3y

0

1x=

+=

Ecuacin implcita:

==

=+=

3z2y1x

z23y02x2

Ejercicio 11 :

a) Halla el vector director de la recta determinada por los planos

====++++

====

2zy

0yx

Modo 1: Pasando a paramtricas: y = , x = , z = 2 - v(1,1,-1)

Modo 2: Perpendicular a los vectores normales de los dos planos )1,1,1(110011

kji

=

Nota: Son paralelos, vale cualquiera de los dos.

b) Escribe las ecuaciones paramtricas de la recta anterior

Modo 1: Directamente Ecuaciones parmetricas: R

2z

y

x

=

=

=

Modo 2:

===

)1,1,1(v:Vector2z0,y0,xx,aejemploporun valor,Dado:Punto R

2z

y

x

+=

=

=

Ejercicio 12 : Dada la recta z11y

2x

====

++++==== , exprsala como interseccin de dos planos.

=

=+

=

+=

0z2x

1y2x

z2x

1y2x


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Ejercicio 13 : Halla todas las ecuaciones de los siguientes planos:

a) Determinado por el punto A(1,-3,2) y por los vectores )3,0,1(v),0,1,2(u Ecuacin vectorial: (x,y,z) = (1,-3,2) + s.(2,1,0) + t.(-1,0,3) s,t R


+=

+=

+=

t32z

s3y

ts21x

s,t R


0

301

012

2z3y1x

=

+

3(x 1) -6(y + 3) + (z 2) = 0 3x 6y + z - 23 = 0

b) Pasa por el punto P(2,-3,1) y cuyo vector normal es (5,-3,-4)

015z4y3x515D0D4.1-3.(-3)-5.2

0D4z-3y-5x=

==+

=+

c) Perpendicular a la recta3z

11y

2x ====

++++==== y que pasa por el punto (1,0,1)

: 05z3yx25D0D320Dz3yx2)3,1,2(vn

)1,0,1(P:Punto

r

=+==++=++

==

=

Ejercicio 14 : Halla las ecuaciones paramtricas e implcitas de los planos OXY, OYZ y OXZ

OXY

=

=

)0,1,0(PP

)0,0,1(PPVectores

)0,0,0(PuntoP

)0,1,0(P),0,0,1(P),0,0,0(P:Puntos

31

21

1

321


=

=

=

0z

ty

sx

s,t R

Ecuacin implcita o general: Ax + By + Cz + D = 0 0

010

001

zyx

= z = 0

Anlogamente: OYZ:

=

==

tz

sy0x

s,t R, x = 0

OXZ:

=

=

=

tz

0y

sx

s,t R, y = 0

Ejercicio 15 : Escribe las ecuaciones paramtricas de los planosa) z = 3 b) x = -1 c) y = 2

a)

=

=

=

3z

ty

sx

s,t R, b)

=

=

=

tz

sy

1x

s,t R, c)

=

=

=

tz

2y

sx

s,t R,


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Ejercicio 16:a) Cul es el vector normal del plano x = -1? (1,0,0)b) Escribe las ecuaciones de una recta perpendicular al plano que pase por A(2,3,0)

r: r:

== )0,0,1(nv:Vector

)0,3,2(A:Punto

r

Ecuacin vectorial: (x,y,z) = (2,3,0) + .(1,0,0) R


0z

3y

2x

=

=

+=

Ecuacin continua:0

z

0

3y

1

2x=

=

Ecuacin implcita:

=

=

0z

03y

POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOSPOSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

Coincidentes Paralelas Secantes Se cruzan

Mtodo: Escribimos las ecuaciones paramtricas de cada una de ellas (con distinto parmetro), las

igualamos y resolvemos el sistema:

Sistema compatible determinado Existe una nica solucin Se cortan en un punto Secantes.

Sistema compatible indeterminado Existen infinitas soluciones Se cortan en infinitospuntos Coincidentes.

Sistema incompatible No existe solucin No se cortan Paralelas o se cruzan.o Hallar el vector director de cada una

o Si son paralelos (proporcionales) las rectas son paralelas

o Si no son paralelos, las rectas se cruzan.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS

Coincidentes Paralelos Secantes

Mtodo: Escribimos las ecuaciones generales de cada uno de ellos y resolvemos el sistema:

Sistema compatible determinado No puede ser Sistema compatible indeterminado Existen infinitas soluciones Se cortan en infinitos

puntos Se cortan en un plano o en una rectao

Si hay un grado de libertad Un vector Se cortan en una recta Secanteso Si hay dos grados de libertad Dos vectores Se cortan en un plano Coincidentes

Sistema incompatible No existe solucin No se cortan Paralelos.


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POSICIN RELATIVA ENTRE RECTA Y PLANO

Recta Contenida en el plano Secantes Paralelos

Escribimos las ecuaciones paramtricas de la recta y la general del plano y resolvemos el sistema:

Sistema compatible determinado Existe una nica solucin Se cortan en un punto Secantes.

Sistema compatible indeterminado Existen infinitas soluciones Se cortan en infinitospuntos Recta contenida en el plano.

Sistema incompatible No existe solucin No se cortan Paralelos.

POSICIN RELATIVA DE TRES PLANOS

Coincidentes Dos coincidente y Dos coincidentes y Paralelos Paralelos

el otro secante el otro paralelo

Dos paralelos Secantes en una recta Secantes en un punto Secantes 2 a 2

Y el otro secante en una recta

Escribimos las ecuaciones de los tres planos en forma general y resolvemos el sistema:

Sistema compatible determinado Existe una nica solucin Se cortan en un punto Sistema compatible indeterminado:

o Un grado de libertad: Se cortan en una recta

Dos planos coincidentes y el otro secante Los tres se cortan en una recta

o Dos grados de libertad: Se cortan en un plano Coincidentes Sistema incompatible No existe solucin

o Dos coincidentes y el otro paralelo

o Tres paralelos

o Dos paralelos y el otro los corta

o Se cortan dos a dos en una recta


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Ejemplo 17 : Estudiar la posicin relativa de las siguientes rectas:

a)

====

++++====

====

5z

2y

5x

:r s:

====

====

====

z

53y

32x

Vectores directores no paralelos, se Cruzan o se cortan

Resolvemos el sistema

=

=+=

3500

440

151

...

235

511

151

511

151

235

5

532

325

Rango A = 2, RangoA= 3 Sistema incompatible No existe solucin Se cruzan.

b)

====

++++====

====

5z

2y

53x

:r s:2z

2y4

101x

====

====

Vectores directores paralelos (paralelas o

coincidentes), tomamos un punto de r, (3,2,5) y comprobamos si cumple s:2

5

2

24

10

13=

=

No lo

cumple, por tanto , paralelas.

c) r:

====

++++====

====

tz

t53y

t32x

s: (x,y,z) = (1,0,5) + (-1,2,0) Vectores no paralelos, se Cruzan o se cortan

Resolvemos el sistema

===

=

=+

=

Cierto141152145t5t

2t53

1t32

Sistema compatible determinado Existe una nica solucin, se cortan en un punto

Hallar el punto de corte, como t = 5 P(-13,28,5)

d)

====

====

++++====

2z

3y

2x

:r s:22z

12y

13x

====

====

Vectores directores paralelos (paralelas o

coincidentes) Cogemos un punto de s(3,2,2) y comprobamos si cumple r:

=

=

=

=

=

+=

1

1

1

22

32

23

Si, por

tanto coincidentes.

Ejemplo 18 : Estudiar la posicin relativa de los siguientes planos.

a)

====++++++++

====++++

040z16y12x4

011z4y3x b)

====++++++++

====++++

03zy5x2

011z4y3x c)

====++++

====++++

022z8y6x2

011z4y3x

Dos modos: O resolviendo el sistema o comparando sus vectores normales

a)40

11

16

4

12

3

4

1 ==

= La ltima igualdad no se cumple, paralelos

b)3

11

1

4

5

3

2

1 ==

= Vectores normales no paralelos, se cortan en una recta.

Si nos piden la recta, resolvemos el sistema y obtenemos la recta en paramtricas.

c)22

11

8

4

6

3

2

1

==

= Se cumplen todas, coincidentes.


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Ejemplo 19: Estudiar la posicin relativa entre la recta y el plano:

a) : x 3y+5z+11=0 r:

++++====

====

++++====

t64z

t1y

3t2x

a) Sustituimos las ecuaciones de la recta en la ecuacin del plano:

-2t + 3 -3(1 t) + 5.(4 + 6t) + 11 = 0 -2t + 3 -3 +3t + 20 + 30t + 11 = 0 31t + 31 = 0 t = -1Sistema compatible determinado. Existe una solucin. Se cortan en un punto.Si nos piden el punto de corte, sustituimos en las ecuaciones de la recta: P(5,2,-2)

b) z4

2y23

2x====

++++====

-y + 2z - 1 =0

b) Pasamos la recta a paramtricas y sustituimos en la ecuacin del plano

-(2t-1) + 2t -1 = 0 0 = 0 Sistema compatible indeterminado, existen infinitas soluciones Recta contenida en el plano.

c)

====

++++====

++++====

t2z

2ty

1t4x

x + 2y z = 0

c) (4t + 1) + 2(-t + 2) 2t = 0 5 = 0 Sistema incompatible, no tiene solucin Paralelos

Ejemplo 20 : Estudiar la posicin relativa de estos tres planos:

a)

====++++++++

====++++

====++++

02zyx

01z2y3

03zy2x

a) Resolvemos el sistema por Gauss y nos sale compatible determinado, existe una nica solucin

Se cortan en un punto P(7/4,1/2,-1/4)

b)

====++++

====++++====++++

04zyx3

02zyx03zyx2

b) Resolvemos el sistema por Gauss y nos sale un sistema compatible indeterminado con un grado

de libertad, es decir, se cortan en una recta. Como los planos no son paralelos entre se cortan los tres

en una recta.

c)

====++++++++

====++++

====++++

04z3y2x2

0z2yx3

01zyx

c) Resolvemos el sistema por Gauss y nos sale sistema incompatible, no tiene solucin. Comoninguno es paralelo entre si, se cortan dos a dos en una recta (Tienda de campaa)

d)

====++++++++

====++++++++

====++++++++

1zayx

aazyx2

1azyx

d) Como es un sistema con parmetros con el mismo nmero de ecuaciones que de incgnitas,

hallamos el determinante: 2a,1a02a3a0

1a1

a12

1112 ===+=


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CASO I: Si a = 1 Sistema3'RangoA

2RangoA

1000

1110

0111

1111

1112

0111

=

=

Incompatible

El primer y el tercer plano paralelos y el otros los corta en una recta.

CASO II: Si a = 2 Sistema

3IncogN

2'RangoA

2RangoA

0000

0010

1111

...

1121

2212

1111

=

==

Compatible

indeterminado con un grado de libertad (ninguno paralelo) se cortan en una recta.

CASO III: a { }2,1R |A| 0 Sistema compatible determinado Se cortan en un punto.Resolviendo (por Cramer o por Gauss) obtenemos el punto de corte en funcin de a.

REPASO DE RECTAS Y PLANOS Y POSICIONES RELATIVASEjercicio 21 : Estudia la posicin relativa de las siguientes rectas y halla el punto de corte,cuando sea posible:

a) r:4

1z2

2y3

1x ====

++++====

s:

32z

23y

12x

====

====

++++

Vectores directores (3,2,4) y (-1,2,3) no paralelos, se cortan o se cruzan. Resolvemos el sistema:

+=+

+=

=+

2314

3222

213

15300

2180

313

15130

2180

313

134

522

313

3'RangoA

2RangoA

=

=Sistema

incompatible, no existe solucin, se Cruzan.

b) r: 2z2

1y11x

====

====

s:

25z

14y

44x

====

====

Vectores directores (-1,2,1) (4,1,2) no paralelos, se cortan o se cruzan. Resolvemos el sistema:

522

412

441

+=+

+=+

+=+

000

990

341

660

990

341

321

312

341

=

=

=

2IncogN

2'RangoA

2RangoA

Sistema

compatible determinado, existe una nica solucin, se cortan en un punto.

)3,3,0(P199

34

=

=

=

c) r:3

1z1y

2

x ++++======== s:

====++++

====

01zy3

01y2x

Vectores directores (2,1,3), )3,1,2(

130

021

kji

=

Paralelos, Paralelos o coincidentes.

Tomamos un punto de r Pr(0,1,-1) y vemos si pertenece a s :

=++

=

0113

0120No pertenece a s por

tanto no pueden ser coincidentes. Son paralelas.


12/24


d) r:4z

3y

21x

========

s:

++++====

++++====

++++====

t84z

t63y

t43x

Vectores directores (2,3,4), (4,6,8) paralelos, por tanto paralelas o coincidentes.

Tomamos un punto de r: Pr(1,0,0) y comprobamos si pertenece a s:

=

=

=

+=

+=

+=

2/1t

2/1t

2/1t

t840

t630

t431

Si

pertenece a s por tanto son coincidentes.

Ejercicio 22 : Obtn el valor de a para que las rectas r y s se corten y halla el punto de corte.

r: x = y = z a s:0

2z23y

31x2

====

++++====

Pasamos a paramtricas y resolvemos el sistema:

=+

=

+=

2a

322

13

7732

132=

=+

=

3a,1,1 === P(-1.-1.2)

Ejercicio 23 : Halla los valores de m y n para que las rectas r y s sean paralelas:

r:

====

++++====

++++====

tz

t3y

t45x

s:n

3z

3

1y

m

x ++++====

====

Los vectores directores proporcionales:

=

=

==

3n

12m

n

1

3

1

m

4

Ejercicio 24 : Calcula m y n para que los planos: : mx + y 3z -1 = 0 : 2x + ny z 3 = 0sean paralelos. Pueden ser coincidentes?

Los vectores normales proporcionales:

==

==

6m3/1n

1

3

n

1

2

m

Para que sean coincidentes:3

1

1

3

3/1

1

2

6

== No son coincidentes.

Ejercicio 25 : Escribe la ecuacin del plano que pasa por los puntos (0,0,0), (2,2,0) y (1,1,2)

Plano:

==

)2,1,1(AC)0,2,2(AB:Vectores

)0,0,0(A:Punto

0211022

0z0y0x

=

4x 4 y = 0 x y = 0


13/24


Ejercicio 26 : Determina la ecuacin del plano que contiene al punto P(2,1,2) y a la recta

3

4z

1

3y2x

====

====

P(2,1,2), Pr(2,3,4), vr(1,-1,-3)

Plano:

=

=

)3,1,1(v

)2,2,0(PP:Vectores

)2,1,2(P:Punto

r

r 0311

220

2z1y2x

=

-4(x-2) + 2(y1) -2(z-2)=0

-4x + 2y - 2z + 10 = 0 -2x + y z + 5 = 0

Ejercicio 27 : Comprueba que las rectas r: 2zy2

1x========

s:

====

====

11y2x

5z2xson

paralelas y halla la ecuacin del plano que las contiene.

Vectores directores proporcionales: vr(2,1,1), vs=

021

201

kji

= (-4, -2, -2)

Pr(1,0,2) , vr(2,1,1), Ps(Por ejemplo z = 0, x = 5, y = -3 (5,-3,0))

Plano:

= )2,3,4(PP

)1,1,2(v:Vectores

)2,0,1(P:Punto

sr

r

r

0

234

112

2zy1x

=

(x 1) + 8y -10(z 2) = 0

x + 8y 10z + 19 = 0

Ejercicio 28 : Son coplanarios los puntos A(1,0,0), B(0,1,0), C(2,1,0), D(-1,2,1)?

Con tres puntos A, B y C hallamos el plano que los contiene y comprobamos si D Al plano

Plano:

=

=

)0,1,1(AC

)0,1,1(AB:Vectores

)0,0,1(A:Punto

011

011

zy1x

= 0 -2z = 0 z = 0 D no cumple que z = 0,

por tanto no son coplanarios.

Ejercicio 29 : Halla la ecuacin del plano que pasa por los puntos A(1,3,2) y B(-2,5,0) y es

paralelo a la recta

====

++++====

====

t32z

t2y

t3x

Plano:

=

)3,1,1(v

)2,2,3(AB:Vectores

)2,3,1(A:Punto

r

0

311

223

2z3y1x

=

-4(x1) -7(y3) (z2) = 0

-4x 7y z +27 = 0


14/24


Ejercicio 30 : Halla la ecuacin del plano que contiene a la recta r:

====

====

++++====

z

1y

32x

y es paralelo

a: s:3

z

2

1y

5

3x

====

++++====

Plano:

)3,2,5(v

)1,1,3(v:Vectores

)0,1,2(P:Punto

s

r

r

0

325

113

z1y2x

=

+

(x 2) +14(y + 1) +11z = 0

x + 14y + 11z +12 = 0

Ejercicio 31 : Dado el plano : 2x 3y + z = 0 y la recta r:2

1z12y

11x ++++

====

====

, halla la

ecuacin del plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano .

Plano:

)1,3,2(n

)2,1,1(v:Vectores

)1,2,1(P:Punto

r

r

0

132

211

1z2y1x

=

+

5(x 1) + 3.(y 2) (z + 1) = 0

5x + 3y z 12 = 0

Ejercicio 32 : Sea la recta r:

====++++

====++++

03zx2

0zyx3y el plano ax y + 4z 2 = 0

a) Calcula el valor de a para que r sea paralela al plano.b) Existe algn valor de a para que r sea perpendicular al plano?

a) Vector director de la recta y vector normal del plano perpendiculares (vr.n= 0)

vr=

102

113

kji

= (1, 5,2) vr.n= (1,5,2).(a,-1,4) = a 5 + 8 = 0 a = -3

b) Vector de la recta y vector normal del plano, paralelos:4

2

1

5

a

1=

= . No existe.

Ejercicio 33 : Dados la recta r:

====

====++++

04zy

03z2xy el plano : x + 2y + 3z 1 = 0, halla la

ecuacin de una recta s contenida en el plano que pase por el punto P(2,1,-1) y seaperpendicular a r.

Recta s:

==

=

=

===

)3,5,1(

321

112

kji

xnv

)3,2,1(n

)1,1,2(

110

201

kji

vxnvv:Vector

)1,1,2(P:Punto

rrrs

3

1z

5

1y

1

2x +=

=


15/24


Ejercicio 34 : Halla la ecuacin de una recta que cumpla las condiciones siguientes:

1) Es paralela a la recta de ecuaciones: r:

====++++

====++++

5z3y

5z2x

2) Pasa por el punto de interseccin de la recta s con el plano :

s:

3

2z

2

3y

4

1x ++++====

++++====

: x y + z = 7

vr: z = , x = 5 - 2, y = 5 - 3vr(-2,-3,1)

Pr: s: )1,1,5(P1t5t57)2t3()3t2(1t4

2t3z

3t2y

1t4x

r ===++

=

=

+=

1

1z

3

1y

2

5x =

+=

Ejercicio 35 : Escribe la ecuacin del plano que pasa por los puntos A(1,-3,2) y B(0,1,1) y es

paralelo a la recta r:

====++++

====++++

03z3y2

01y2x3

Plano:

==

=

)2,3,2(||)6,9,6(

320

023

kji

v

)1,4,1(AB

:Vectores

)2,3,1(A:Punto

r

0

232

141

2z3y1x

=

+

5(x 1) + 4(y + 3) + 11(z 2) = 0 5x + 4y + 11z 15 = 0

Ejercicio 36 : Dados los planos mx + 2y 3z 1 = 0 y 2x 4y + 6z + 5 = 0, halla m para quesean: a) Paralelos b) Perpendiculares

a) Proporcionales:6

3

4

2

2

m =

= m = -1

b) Vectores normales perpendiculares: (m,2,-3).(2,-4,6) = 0 2m 8 -18 = 0 m = 13

Ejercicio 37 : Halla la ecuacin de la recta que pasa por el punto P(1,2,3) y es perpendicular alplano que pasa por el origen y por los puntos B(1,1,1) y C(1,2,1).

Recta:

=+=

= )1,0,1(v:0zx0

121

111

zyx

:

)1,2,1(OC

)1,1,1(OB:Vectores

)0,0,0(O:Punto

:nv:Vector

)3,2,1(P:Punto

rr

1

3z

0

2y

1

1x =

=


16/24


Ejercicio 38 : Escribe la ecuacin del plano que contiene a la recta r:

====++++

====++++

0zyx2

01yxy es

paralelo a s:42z

3y

2x1

++++========

Plano:

)4,3,2(v

v:Vectores

P:Punto

s

r

r

Pasamos r a paramtricas: y = , x = 1 - , z = -2 + 2+ = 3- 2

)3,1,1(v

)2,0,1(P

r

r

Plano: 0

432

311

2zy1x

=

+

-13(x 1) -10y (z + 2) = 0 -13x 10y z +11 = 0

Ejercicio 39 : Indica qu condiciones deben cumplir a, b, c y d, para que el plano : ax + by +cz + d = 0 sea:a) Paralelo al plano OXY b) Perpendicular al plano OXYc) Paralelo al eje Z d) Perpendicular al eje Xe) No sea paralelo a ninguno de los ejes.

a) n|| noxy1

c

0

b

0

a== a = 0, b = 0

b) n.nOXY= 0 (a,b,c).(0,0,1) = 0 c = 0

c) n.vZ =0 (a,b,c).(0,0,1) = 0 c = 0d) n|| vX

0

c

0

b

1

a== b = 0, c = 0

e) No es paralelo a ninguno de los ejes, a 0, b 0, c 0

Autoevaluacin pg 181 del libro.


17/24


NGULOS

ANGULO ENTRE DOS RECTAS Cos (r1,r2) = cos (

v 1,

v 2) =

2

1

2

1

v.v

v.v

ANGULO ENTRE DOS PLANOS Cos (1, 2) = cos(

n 1,

n 2) =2

1

2

1

n.n

n.n

NGULO ENTRE RECTA Y PLANO Sen (r, ) = cos (

v r,

n ) =

r

r

n.v

n.v

Ejemplo 40 : Hallar el ngulo que forman las siguientes rectas:r:

1z

31y

53x

====

++++====

s:

====++++

====++++

05y2x

4z5y3x2

cos (r,s) = cos (vr, vs)

=

=

)7,5,10(||)7,5,10(

021

532

kji

v

)1,3,5(v

s

r

cos(vr,vs) =

74,0

174.35

58

4925100.1925

71550

|v|.|v|

v.v

sr

sr==

++++

+= = 41 59 35,79

Ejemplo 41 : Hallar el ngulo que forman los siguientes planos:1: x + 8y 4z = 0 2: 2x y + 3 = 0

cos (1,2) = cos (n1, n2) = 3,05.81

6

014.16641

82

|n|.|n|

n.n

21

21==

++++

=

= 72 39 14,16

Ejemplo 42 : Hallar el ngulo que forman la recta y el plano:r: (x,y,z) = (3,-1,1) + t.(2,5,-1) : 2x 5y +7z 11 = 0

sen (r,) = sen (vr, n) = 57,078.30

28

49254.1254

7254

|n|.|v|

n.v

r

r==

++++

=

= 35 22 5,54

Ejercicio 43 : Halla el valor de m para que r y s formen un ngulo de 90:

r:

====

====

====

t2z

ty

t52x

s:

====

====

++++====

mtz

t2y

t2x

vr.vs= 0 (-5,1,-1).(1,2,m) = 0 -5 + 2 m = 0 m = -3


18/24


Ejercicio 44 : Halla, en cada caso, el ngulo que forman la recta y el plano:

a) r:2z

43y

21x

====++++

====

++++ : x 2y z + 1 = 0

sen (r,) = sen (vr, n) = 16.24

12

141.4164

282

|n|.|v|

n.v

r

r==

++++

=

= 90

b) r: x = t; y = 1 + 2t; z = -2 : 2x y + z = 0

sen (r,) = sen (vr, n) = 0114.041

022

|n|.|v|

n.v

r

r=

++++

+=

= 0

c) r:1z

13y

21x

====

====

: x + z = 17

sen (r,) = sen (vr, n) = 87,02.6

3

101.114

12

|n|.|v|

n.v

r

r==

++++

+=

= 60

Ejercicio 45 : Calcula el ngulo que forman los dos planos siguientes:: z = 3 : x y + 2z + 4 = 0

cos (,) = cos (n, n) = 82,06.

2

411.100

200

|n|.|n|

n.n==

++++

++=

= 35 15 51,8

Ejercicio 46 : Hallar los tres ngulos de un tringulo cuyos vrtices son: A(0,0,0), B(1,2,1), C(3,1,1)

AB = (1,2,1), AC = (3,1,1), BC = (2,-1,0)

Cos (AB,AC) = 74,011.6

6

119.141

123

==++++

++= = 42 23 31,36

Cos (AB,BC) = 05.6

0

014.141

022==

++++

+= = 90

= 180 - 90 - 42 23 31,36 = 47 36 28,64

Ejercicio 47 : Hallar el ngulo que forma el plano : x 2y + z = 0 con cada uno de los ejescoordenados.

sen (OX,) = sen ((1,0,0), n) = 41,06

1

141.1

1

|n|.|v|

n.v

OX

OX==

++=

= 24 5 41,43

sen (OY,) = sen ((0,1,0), n) = 82,06

2

141.1

2

|n|.|v|

n.v

OY

OY==

++

=

= 54 44 8,2

sen (OZ,) = sen ((0,0,1), n) = 41,06

1

141.1

1

|n|.|v|

n.v

OZ

OZ==

++=

= 24 5 41,43


19/24


DISTANCIA ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2)

d(A,B) = |

AB | = ( ) ( ) ( )2122

12

2

12 zzyyxx ++

DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA

d(P,r) =

r

r

r

v

vxPP

DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO: P(x0,y0,z0), : Ax + By + Cz + D = 0

d(P,) =222

000

CBA

DCzByAx

++

+++

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS

d(r,s) =[ ]

sr

srsr

x vv

PP,v,v

DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANOd(r, ) = d(Pr,)

DISTANCIA ENTRE DOS PLANOSd(1, 2) = d(P1, 2)

Si222

21

2

1

CBA

'DD),(d0'DCzByAx:

0DCzByAx:

++

=

=+++=+++

Ejemplo 48 : Hallar la distancia entre los puntos P(1,2,0) y Q(2,-3,1)

d(P,Q) = u2,5u3.3271251)01()23()12(222 ===++=++

Ejemplo 49 : Halla la distancia del punto P(5,-1,6) y la recta r:

++++====

====

====

t5z

ty

t21x

= 1)-1,(-4,PPr

1)vr(-2,-1,Pr(1,0,5),:rPPrx vr= )6,6,0(

112

114

kji

=

d(P,r) =

r

r

r

v

vxPP

= u46,3u3.212114

36360===

++

++

Ejemplo 50 : Halla la distancia del punto P(1,2,3) al plano : 2x + 3y z =-7d(P,) = u21,3

14

12

194

732.31.2==

++

++


20/24


Ejemplo 51 : Halla la distancia entre las rectas r:

++++====

====

++++====

t28z

1y

t5x

s:

++++====

====

++++====

t45z

t3y

t34x

[ ] 9)]0162()2403[(

341

413

201

PP,v,v)3,4,1(PP

)4,1,3(v),5,3,4(P:s

)2,0,1(v),8,1,5(P:rsrsrsr

ss

rr=++++=

=

Vrx Vs= )1,2,2(

413

201

kji

=

d(r,s) =[ ]

sr

srsr

x vv

PP,v,v= u3

144

|9|=

++

Ejemplo 52: Halla la distancia entre la recta r:1

2z

2

1y

5

3x

++++====

====

y el plano : x 3y z + 6=0

d(r, ) = d(Pr,) = u41,211

8

191

6)2(1.33==

++

+

Ejemplo 53 : Halla la distancia entre dos planos: 1: x 5y + 2z 19 = 0, 2: 2x 10y + 4z = 0

1: 2x 10y + 4z 38 = 0 222

21

CBA

'DD),(d

++

= = 47,3

120

38

161004

038==

++

u

Ejercicio 54 : Halla la distancia que hay entre los puntos A(2,5,-2), B(-1,1,-2)

d(A,B) = u5250169)22()51()21(222 ==++=+++

Ejercicio 55 : Considera la recta r:

====++++

====

1zx

3yx

y el plano : x + y 2z = 1a) Halla las coordenadas del punto S donde se cortan r y Pasamos la recta a paramtricas y resolvemos el sistema: x = , y = + 3, z = 1 - + (+ 3) -2(1 - ) = 1 4= 0 = 0 S(0,3,1)b) Calcula la distancia del punto P(4,0,1) al punto S del apartado anterior.

d(P,S) = u5250916)11()03()40(222 ==++=++

Ejercicio 56 : Calcula la distancia entre el punto P(2,-3,1) y el plano : 3x 4z = 3

d(P,) = u2,05

1

1609

31.42.3==

++

Ejercicio 57 : Calcula la distancia entre el punto Q(2,-1,0) y el plano que contiene a P(2,0,4) y a r:

====

++++====

====

4z

t32y

t23x

Plano: 0

032

021

4zy2x

)0,3,2(v

)0,2,1()4,0,2()4,2,3(PP:Vectores

)4,0,2(P:Punto

r

r =

== 7(z 4) = 0 z-4=0

d(Q,) = u4100

40=

++


21/24


Ejercicio 58: Halla la distancia entre los siguientes pares de planos:a) 1: x 2y + 3 = 0 2: 2x 4y + 1 = 0

1: 2x 4y + 6 = 0 222

21

CBA

'DD),(d

++

= = u12,1

20

5

164

16==

+

b) 3x 2y + z 2 = 0

2: 2x y + z = -5

No son paralelos, se cortan 0),(d 21 =

Ejercicio 59 : Halla la distancia entre la recta r:

++++====

====

++++====

71z

3y

42x

y el plano : 3x 4y 3 = 0

d(r, ) = d(Pr,) = d((2,0,-1),3x-4y-3=0) = u6,05

3

0169

30.42.3==

++

Ejercicio 60 : Calcula la distancia que hay entre el punto P(3,1,6) y la recta r: x = 4 + 4; y = 2 +; z = -1 - 3

= (1,1,-7)PPr

)vr(4,1,-3,Pr(4,2,-1):rPPrx vr= )3,25,4(

314

711kji

=

d(P,r) =

r

r

r

v

vxPP

= u52526

650

9116

962516===

++

++

Ejercicio 61 : Halla la distancia entre las rectas r:

++++====

====

====

59z

310y

4x

s:

++++====

++++====

====

t4z

t91y

t122x

[ ] 800)]1804490()6606180[(

5112

1912

534

PP,v,v)5,11,2(PP)1,9,12(v),4,1,2(P:s

)5,3,4(v),9,10,0(P:rsrsrsr

ss

rr=+=

=

Vrx Vs= )0,64.48(

1912

534

kji

=

d(r,s) =[ ]

sr

srsr

x vv

PP,v,v= u10

80

800

40962304

|800|==

+


22/24


EJERCICIOS IMPORTANTES

Corta o se apoya

Ejercicio 62 : Halla las ecuaciones de la recta r que pasa por el punto P(2,0,-1) y corta a las

rectas s1:1

1z12y

22x ++++

====

====

s2:

====++++

====++++++++

03z3y04yx

Ps1(2+2,-+2,-1), Ps2(z=,y=-3+3,x=-1-3)=(-1-3,-3+3,)

PPs1paralelo a PPs2133

2

33

2

+

=

+

+=

=

==+=+

=

=+

+=+

1

00)1(5055

6369

3322

636366

Si = 0 - 6=6 = -1 00

62

00 =

= cierto

r:0

1x

2

y

0

2x

)0,2,0(PP:Vector

)1,0,2(P:Punto

1s

+==

=

Ejercicio 63 : Halla la ecuacin de la recta que pasa por A(1,1,1), es paralela al plano : x y

+ z 3 = 0 y corta a la recta r:

====

====

3y

1x

APres perpendicular a n(Producto escalar cero): Pr(1,3,)

)1,1,1(n

)1,2,0(APr

APr.n= (0,2,-1).(1,-1,1) = 0 -2 + -1 = 0 = 3

r: 1z1y0

1x

)1,1,0(||)2,2,0(AP:Vector

)1,1,1(A:Punto

r

==

Ejercicio 64 : Halla la ecuacin de la recta s que pasa por el punto P(2,-1,1) y corta

perpendicularmente a la recta r:3z

21y

13x

====++++

====

PPrperpendicular a vr(Producto escalar nulo)

=

+=+=

)3,2,1(v

)13,2,1()1,1,2()3,12,3(PP

r

r

PPr.vr= 0 + 1 + 4+ 9- 3 = 0 14- 2 = 0 = 1/7

Recta:2

1z

1

1y

4

2x

)2,1,4(||)7/4,7/2,7/8(PP:Vector

)1,1,2(P:Punto

r

=

+=

=

Ejercicio 65 : Halla la recta perpendicular comn a las rectas:

r:2

3z1

1y0x ++++

====

==== s:3z

11y

11x

====

++++====

Recta r: Pr(0,+1,2-3) vr(0,1,2)

Recta s: Ps(+1,- -1,3) vs(1,-1,3)


23/24


V= vrx vs= )1,2,5(

311

210

kji

=

Pr.Psparalelo a v: 3/4455

1257

6462

105522

1

323

2

2

5

1=

=

=+

+=++

=+

+=

=

+

Recta:1

4z

2

3/1y

5

3/1x

)1,2,5(v:Vector

)4,3/1,3/1(P:Punto s

+=

=

+

=

Ejercicio 66 : Encuentra la recta que pasa por el punto P(1,0,-1) y corta a las rectas l1y l2de

ecuaciones: l1:

====++++

====++++

04zyx2

1zy2x3 l2:

++++====

====

++++====

t1z

ty

t3x

Pasamos l1a paramtricas:

==

=

=+

=++

97z55y

x

5yx5

1y2x3z

3150

1231

4121

1231

PPl1 paralelo a PPl2 8/7871t2

87

t

55

t2

1==

+

=

=

+

Recta:3

1z

1

y

3

1x

)3,1,3(||)8/15,8/5,8/15(PP:Vector

)1,0,1(P:Punto

1l

+==

Ejercicio 67 : Comprueba que las rectas: r:

====

++++========

tz

t5y 1x s:

====

++++====++++====

7z

t5y t37x se cruzan. Halla la

ecuacin de la recta perpendicular a ambas.

Comprobar que se cruzan: vr(0,1,1), vs(3,1,0) no son paralelos, se cortan o se cruzan. Resolvemos el

sistema:

=

=

=

=

+=+

+=

7t

12t

2s

7t

s5t5

s371

Sistema incompatible, no tiene solucin. Se cruzan.

Recta perpendicular comn: PrPsperpendicular a vr,vs

PrPs= (6+3s, -10+s-t, 7-t)

Vector perpendicular a vry a vsv = vrx vs= )3,3,1(

013

110

kji

=

PrPsparalelo a v 3

t7

3

ts10

1

s36

=

+=

+

=

=

=

=+

=+

+=

2t

1s

9s3t6

11s9t

t321t3s330

t7s918

Recta: 3

2z

3

3y

1

1x

)3,3,1(:Vector

)2,3,1(P:Punto r

+

=

=


24/24


Proyeccin ortogonal

Ejercicio 68 : Calcula la proyeccin ortogonal de la recta r:

====

====

====

2z

y

1x

sobre el plano : 2x- 3y +

z + 1 = 0

[1] P = r : 2(-1-) 3(-) + 2+ 1 = 0 3= 1 = 1/3 P(-4/3, -1/3, 2/3)[2] Q un punto cualquiera de r (distinto de P): Q(-1,0,0)

[3] r

=

=

+=

==

tz

t3y

t21x

:'r)1,3,2(nv:Vector

)0,0,1(Q:Punto

'r

[4] Q = r : 2(-1+2t) 3(-3t) + t + 1 = 0 14t = 1 t = 1/14 Q(-12/14,-3/14,1/14)

[5] s es la recta que pasa por P y Q s:

=

)5,1,4(||)42/25,42/5,14/20('PQ:Vector

)3/2,3/1,3/4(P:Punto

S:

=

+=

+=

53

2z

3

1y

434x

R

Simtricos

Ejercicio 69 : Halla el punto simtrico de P(1,0,1) respecto del plano : x y + z = 1

[1] Calcular la recta r:

+=

=

+=

== t1z

ty

t1x

:r)1,1,1(nv:Vector

)1,0,1(P:Punto

r

[2] Calcular el punto C = r : 1+t (-t) + 1 + t = 1 3t = -1 t = -1/3 C(2/3,1/3,2/3)

[3] C es el punto medio de P y P:

++=

2

1z,

2

y,

2

1x

3

2,

3

1,

3

2P

3

1,

3

2,

3

1

Ejercicio 70 : Determina el punto simtrico de A(-3,1,-7) respecto de la recta r:

2

1z

2

3y

1

1x ++++====

====

++++

[1] Calcular el plano :

==

)2,2,1(vn:Vector

)7,1,3(A:Punto

r

x + 2y + 2z + D -3 + 2 14 + D = 0

D = 15 x + 2y + 2z + 15 = 0[2] Calcular el punto C = r : (t-1) + 2(2t+3) + 2(2t-1) + 15 = 0 9t = -18 t = -2 C(-3,-1,-5)

[3] C es el punto medio de A y A: ( )

=

2

5z,

2

1y,

2

3x5,1,3 A(-3,-3,-3)

MS EJERCICIOSLibro, pagina 206 a partir del 31

ejercicios_resueltos rectas y planos

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