rectas y planos 4
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Profesor: Gerson Villa Glez.
Métodos Matemáticos Tensores y
Vectores
Métodos Matemáticos Tensores y Vectores
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL GRUPO: 1FM7 [email protected]
Rectas y segmentos de recta en el espacio
En el plano, una recta queda determinada por un punto un numero que representa la pendiente de la recta. En el espacio, una recta queda determinada por un punto y un vector que indica la dirección de la recta.
Figura Un punto P está en la recta L que pasa por 0P paralela a v si y solo si 0P P
es
múltiplo escalar de v .
Suponga que L es una recta en el espacio que pasa por el punto 0 0 0 0, ,P x y z y que es
paralela a un vector 1 2 3v v i v j v k . Entonces L es el conjunto de todos los puntos
( , , )P x y z , tal que 0P P
es paralelo a v (Figura A). Así donde t es un parámetro escalar. El
valor de t depende de la posición del punto P a lo largo de la recta, y el dominio de t es
, . La forma desarrollada de la ecuación 0P P tv
es
0 0 0 1 2 3( )x x i y y j z z z k t v i v j v k
Que puede escribirse como
0 0 0 1 2 3xi yj zk x i y j z k t v i v j v k (1)
Si r t es el vector de posición de un punto ( , , )P x y z sobre la recta y 0r es el vector de
posición del punto 0 0 0 0( , , )P x y z , entonces la ecuación (1) da la siguiente forma vectorial
para la ecuación de una recta en el espacio.
Ecuación vectorial de una recta
Una ecuación vectorial para la recta L que pasa por 0 0 0, 0( , )P x y z paralela a v es:
0( ) , , 2r t r tv
Donde r es el vector posición de un punto ( , , )P x y z en L y 0r es el vector de posición de
un vector 0 0 0 0( , , )P x y z
Al igualar las componentes correspondientes a los dos lados de la ecuación (1) obtenemos tres ecuaciones escalares con el parámetro t :
0 1 0 2 0 3, , x x tv y y tv z z tv
Estas ecuaciones nos dan la parametrizaciones estándar de la recta en el intervalo t .
Ejemplo 1
Parametrización de una recta que pasa por un punto y que es paralela a un vector
Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por 2,0, 4 y que es
paralela a 2 4 2v i j k
Figura Algunos valores del parámetro y los puntos correspondientes sobre la recta 2 2 , 4 , 4 2x t y t z t . Las flechas indican la dirección en que t crece.
Ecuaciones paramétricas de una recta
La parametrización estándar de la recta que pasa por 0 0 0 0, ,P x y z y que es paralela a
1 2 3v v i v j v k es
0 1 0 2 0 3, , 3x x tv y y tv z z tv
Solución
Con 0 0 0 0( , , )P x y z igual a 2,0, 4 y 1 2 3v i v j v k igual a 2 4 2i j k las ecuaciones (3)
quedan como
2 2 , 4 , 4 2x t y t z t
Ejemplo 2
Parametrización de una recta que pasa por dos puntos
Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por ( 3,2, 3)P y 1, 1, 4Q
Solución
El vector 1 3 1 2 4 3 4 3 7PQ i j k i j k
Es paralelo a la recta y las ecuaciones (3) con 0 0 0( , , ) ( 3, 2, 3)x y z dan
3 4 , 2 3 , 3 7x t y t z t
Estas ecuaciones nos sirven igual que las primeras, solo que nos colocan en un punto distinto en la recta para un valor dado de t .
Ejemplo 3
Parametrización de un segmento de recta
Parametrizar el segmento de recta que une a los puntos ( 3,2, 3)P y (1, 1,4)Q figura.
Figura. La flecha indica la dirección en que t crece.
Solución
Comenzaremos con las ecuaciones para la recta que pasa por P y Q tomándolas, en este
caso del ejemplo 2:
3 4 , 2 3 , 3 7x t y t z t
Observamos que el punto
( , , ) ( 3 4 , 2 3 , 3 7 )x y z t t t
Sobre la recta pasa por ( 3,2, 3)P en 0t , y por (1, 1,4)Q en 1t . Agregamos la restricción
0 1t para parametrizar el segmento.
3 4 , 2 3 , 3 7 , 0 1x t y t z t t
La forma vectorial de la ecuación 2, de una recta en el espacio es más ilustrativa si pensamos en
ella como la trayectoria de una partícula que parte de la posición 0 0 0 0, ,P x y z y se mueve en la
dirección del vector v . Escribimos la ecuación 2 como
0
( )
direccióntiempo
Posición inicial rapidez
vr t r t v
v (B)
En otras palabras la posición de la partícula en el instante t es su posición inicial más la distancia
recorrida rapidez tiempo (rapidez x tiempo) en la dirección /v v de su movimiento
rectilíneo.
Ejemplo 4 Vuelo de un Helicóptero
Un helicóptero vuela directamente desde un helipuerto ubicado en el origen , en la dirección del
punto (1,1,1) con una rapidez de 60 /pies seg ¿Cuál es su posición del helicóptero después de
10s?
Solución Colocamos el origen en la posición inicial (helipuerto) del helicóptero. Entonces el vector
unitario
1 1 1
3 3 3u i j k
Proporciona la dirección del vuelo del helicóptero. De acuerdo con la ecuación (B), la posición del
helicóptero en cualquier instante t es
0( )
1 1 10 (60)
3 3 3
20 3
r t r t rapidez u
t i j k
i j k
Cuando 10t seg
(10) 200 3
200 3,200 3,200 2
r t i j k
Después de 10 segundos de vuelo desde el origen hacia el punto 1,1,1 , el helicóptero se localiza
en el punto 200 3,200 3,200 2 del espacio por lo que ha recorrido una distancia de
60 / 10 600pies seg seg pies que es la longitud del vector (10)r .
La distancia de un punto a una recta en el espacio
PS v
dv
(C)
Figura. La distancia de S a la recta que pasa por P y que es paralela a v es PS sen
, donde
es el ángulo entre PS
y v
Ejemplo 5 Cálculo de la distancia de un punto a una recta
Calcular la distancia del punto (1,1,5)S a la recta
: 1 , 3 , 2L x t y t z t
Solución A partir de las ecuaciones de L vemos que esta recta pasa por (1,3,0)P y que es
paralela a 2v i j k . Con
1 1 1 3 5 0 2 5PS i j k j k
Y
0 2 5 5 2
1 1 2
i j k
PS v i j k
De la ecuación (C)
1 25 4 305
1 1 4 6
PS vd
v
La ecuación de un plano en el espacio
Figura. La ecuación estándar para un plano en el espacio se define en términos de un vector
normal al plano, un punto P está en el plano que contiene a 0P y es normal a n si y solo si
0 0n P P
El plano que pasa por 0 0 0 0, ,P x y z , normal a n Ai Bj Ck se describe igualmente porcada
una de las siguientes ecuaciones:
Ecuación vectorial: 0 0n P P
Ecuación cartesiana: 0 0 0( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z
Ecuación cartesiana simplificada: 0 0 0
dondeAx By Cz D
D Ax By Cz
Ejemplo 6 Obtención de la ecuación de un plano
Determinar una ecuación para el plano que pasa por 0 ( 3,0,7)P perpendicular a 5 2n i j k
Solución La ecuación cartesiana
5( ( 3)) 2( 0) ( 1)( 7) 0x y z
Al simplificar obtenemos
5 15 2 0
5 2 22
x y z
x y z
Ejemplo 7 La ecuación de un plano que pasa por tres puntos
Determinar una ecuación para el plano que pasa por (0,0,1), (2,0,0) (0,3,0)A B y C
Solución Encontramos un vector normal al plano y lo usamos con uno de los puntos (no importa
cual) para escribir una ecuación del plano
El producto cruz
2 0 1 3 2 6
0 3 1
i j k
AB AC i j k
Es normal al plano. Sustituimos las componentes de este vector y las coordenadas de (0,0,1)A
en la ecuación cartesiana para obtener
3( 0) 2( 0) 6( 1) 0
3 2 6 6
x y z
x y z
Rectas de intersección
Así como las rectas son paralelas si y solo si tienen la misma dirección, dos planos son paralelos si y
solo si sus vectores normales son paralelos, es decir, 1 2n kn para cierto escalar k. Dos planos no
paralelos se intersecan en una recta.
Ejemplo 8
Obtención de un vector paralelo a la recta de intersección de dos planos
Figura. Relación entre la recta de la intersección de los dos planos y los vectores normales a dichos
planos.
Determinar un vector paralelo a la recta de intersección de los planos 3 6 2 15x y z y
2 2 5x y z .
Solución
La recta de intersección de dos planos es perpendicular a los dos vectores normales 1n y 2n y por
tanto es paralela a 1 2n n . Visto de otra manera, 1 2n n es un vector paralelo a la recta de
intersección de los planos. En nuestro caso,
1 2 3 6 2 14 2 15
2 1 2
i j k
n n i j k
Cualquier múltiplo escalar no nulo de 1 2n n nos sirve de la misma forma.
Ejemplo 9 Parametrización de la recta de intersección de dos planos
Determinar las ecuaciones paramétricas para la recta de intersección de los planos
3 6 2 15x y z y 2 2 5x y z
Solución Hallamos un vector paralelo a la recta y un punto sobre la recta, para usar las ecuaciones
(3).
El ejemplo anterior identifica a 14 2 15v i j k como un vector paralelo a la recta. Para hallar
un punto sobre la recta, podemos considerar cualquier punto común a ambos planos. Al sustituir
z=0 en las ecuaciones de los planos y resolver simultáneamente el sistema en términos de x y y ,
vemos que uno de estos puntos es 3, 1,0 . La recta es:
3 14 , 1 2 , 15x z y t z t
La elección 0z es arbitraria y podríamos haber elegido también 1z o 1z . O bien hacer
0x y resolver el sistema en términos de y y z. Las distintas opciones nos hubieran dado
distintas parametrizaciones de la misma recta.
En ocasiones queremos determinar si una recta y un plano se intersecan. Por ejemplo, si
observaos una placa delgada y un segmento de recta que la atraviesa, podría interesarnos conocer
la parte del segmento que no es visible por quedar oculta por la placa. Esta aplicación se utiliza en
los gráficos por computadora.
Ejemplo 10
La intersección de una recta y un plano
Determinar el punto donde la recta 8
2 , 2 , 13
x t y t z t interseca al plano
3 2 6 6x y z .
Solución el punto 8
2 , 2 ,13
t t t
Está en el plano si sus coordenadas satisfacen la ecuación del plano, es decir, si
83 2 2 2 6 1 6
3
8 6 4 6 6 6
8 8
1
t t t
t t t
t
t
El punto de intersección es
1
8 2, , 2, 2,1 1 ,2,0
3 3tx y z
La distancia de un punto a un plano
Si P es un punto en un plano con vector normal n , entonces la distancia de cualquier punto S al
plano es la longitud del vector proyección de PS
sobre n . Es decir, la distancia de S al plano es
n
d PSn
(D)
Donde n Ai Bj Ck es normal al plano
Ejemplo 11 Cálculo de la distancia de un punto a un plano
Calcular la distancia de (1,1,3)S al plano 3 2 6 6x y z
Figura. La distancia de S al plano es la longitud del vector proyección de PS
sobre n.
Solución Hallamos un punto P en el plano y calculamos la longitud del vector proyección de PS
sobre un vector normal al plano. Los coeficientes de la ecuación 3 2 6 6x y z dan
3 2 6n i j k
Los puntos del plano que son más fáciles de determinar a partir de su ecuación son las
intersecciones con los ejes. Sea el punto (0,3,0)P la intersección con el eje y , entonces
2 2 2
(1 0) (1 3) (3 0)
2 3 ,
3 2 6 49 7
PS i j k
i j k
n
La distancia de S al plano es
3 2 62 3
7 7 7
3 4 18 17
7 7 7 7
nd PS
n
i j k i j k
Angulo entre planos
El ángulo entre dos planos que se cortan se define como el ángulo (agudo) determinado por sus
vectores normales
Figura. El ángulo entre dos planos se obtiene a partir del ángulo entre sus normales.
Ejemplo 12 Calcular el ángulo entre los planos 3 6 2 15x y z y 2 2 5x y z
Solución Los vectores
1 23 6 2 , 2 2n i j k n i j k
Son normales a los planos. El ángulo entre ellos es
1 1 2
1 2
1
cos
4cos
21
1.38
n n
n n
radianes
Ejercicios Propuestos
Rectas y segmentos de rectas
1. Determine las ecuaciones paramétricas de las rectas
a. La recta que pasa por (1,2, 1)P y ( 1,0,1)Q
b. La recta que pasa por (1,2,0)P y (1,1, 1)Q
c. La recta que pasa por (0, 7,0) y es perpendicular al plano 2 2 13x y z
Planos
Determine las ecuaciones de los planos
2. El plano que pasa por 2, 4,5 , 1,5,7 y 1,6,8
3. Encuentre el plano determinado por las rectas que se intersecan
1
2
: 1 , 2 , 1 ,
: 1 4 , 1 2 , 2 2 ,
L x t y t z t t
L x s y s z s t
Distancias
Calcule la distancia del punto a la recta
4. (0,0,12); 4 , 2 , 2x t y t z t
Calcule la distancia del punto al plano
5. (0,0,0), 3 2 6 6x y z
Ángulos
Calcule los ángulos entre los planos
6. 1, 2 2 2x y x y z
Intersección de rectas y planos
Encuentre el punto en donde el plano corta a la recta
7. 1 , 3 , 1 ; 2 3 6x t y t z t x y z