Rectas en el espacio

Consideremos la recta que pasa por y por . Esta recta es paralela al vector

, por lo tanto, dado un punto , se debe cumplir que

de donde .

Definición 1

Si es una recta que pasa por los puntos ,

y si ponemos entonces

1. La ecuación vectorial de es

2. Despejando obtenemos las ecuaciones parámetricas de

3. Si cada , despejando obtenemos las ecuaciones simétricas

de

Como podemos escoger dos puntos cualesquiera (distintos) de una recta para obtener una ecuación, las ecuación de una recta no es única.

EJEMPLO 1

Consideremos la recta que pasa por y . En este

caso , luego

1. Ecuación vectorial: 2. Ecuaciones parámetricas:

3. Ecuaciones simétricas:

Observe que el segmento que va de a es el conjunto de puntos

En particular, si , obtenemos el punto medio del segmento

Ángulo,paralelismo, perpendicularidad e intersección

Definición 2

Consideremos dos rectas,

1. si y sólo si

2. si y sólo si

3. El ángulo entre y es igual al ángulo entre y

Intersección

Para calcular la intersección entre dos rectas y , igualamos sus ecuaciones

La solución del sistema , o sea,

nos da el o los puntos de intersección entre y . Como el sistema es lineal,

entonces

Si hay solución única: las rectas se intersecan en un solo punto

Si hay infinitas soluciones: las rectas coinciden

Si no hay solución: las rectas no se intersecan

Observe que, para el cálculo de la intersección, usamos un párametro distinto

en cada recta. Esto es así porque si hay un punto de intersección, usualmente

puede ser obtenido, en cada recta, con un valor de parámetro distinto. Por

ejemplo:

La rectas

,

se intersecan en el punto .

Este punto se obtiene con en la primera recta y con en la segunda recta.

EJEMPLO 2

Consideremos la recta de ecuaciones simétricas

va en la dirección de

1. es paralela a la recta pues

2. es perpendicular a la recta

pues

3. no interseca a pues el sistema

no tiene solución (hay una clara inconsistencia entre la segunda y tercera ecuación).

Planos en el espacio tridimensional.

Ecuación vectorial, normal y cartesiana

Así como una recta esta determinada por dos puntos distintos, un plano está determinado por tres puntos no colineales.

Una manera muy conveniente de obtener una ecuación del plano en que pasa

por los puntos , es observar que los puntos tienen la propiedad

Esta ecuación es una ecuación normal de

Si ponemos y desarrollamos la ecuación anterior,

obtenemos una ecuación cartesiana de

Finalmente, podemos observar que si está en , entonces

Esta es una ecuación vectorial de .

Definición 3

Consideremos un plano que pasa por los puntos no colineales .

1. es un vector normal al

plano si para cualquier .

2. Si es un vector normal al plano entonces

se llama una ecuación normal de

3. Si es un vector normal del plano entonces

se llama una ecuación cartesiana del plano

4. Si y si entonces

se llama una ecuación vectorial del plano

Tres puntos y son no colineales si

EJEMPLO 3

Consideremos un plano que pasa por los puntos no colineales

y

1. Ecuación vectorial:

2. Ecuación cartesiana: un vector normal es

. Como

, una ecuación cartesiana es

Paralelismo, perpendicularidad y ángulo

Definición 4

Consideremos una recta y dos planos de ecuación

cartesiana

Entonces, siendo y , normales

a y , respectivamente,

1. si y sólo si

2. si y sólo si 3. El ángulo entre los planos es el ángulo entre los vectores normales

4. si y sólo si

5. si y sólo si

EJEMPLO 4

Consideremos tres puntos no

colineales. Para obtener un punto tal que los cuatro puntos conformen un

paralelogramo, debemos escoger de la siguiente manera

Esto es así puesto que debe estar en el plano que contiene a .

EJEMPLO 5

Consideremos el problema de obtener la ecuación cartesiana del plano que contenga a la recta

y al punto (que no está en ).

Para encontrar la ecuación cartesiana del plano , buscamos tres puntos no

colineales en este plano; podemos considerar el punto que ya tenemos y dos puntos de la recta.

Para obtener estos dos puntos de la recta, le damos una par de valores al parámetro , en la recta, tal que nos generen dos puntos adicionales. Digamos que

ponemos y . Así, tres puntos en el plano son

Observe que ,así que son puntos no colineales

Bien, ahora tomemos .

Como , una ecuación cartesiana es

EJEMPLO 6

Consideremos el problema de obtener la ecuación cartesiana del plano que sea paralelo, simúltaneamente, a las rectas

y que contenga al punto

De acuerdo a la teoría, un vector normal a debe ser perpendicular a y

a ; entonces para encontrar la ecuación cartesiana del plano , podemos

tomar . Como , una ecuación cartesiana es

EJEMPLO 7

Consideremos el problema de obtener la ecuación cartesiana del plano que sea perpendicular a la recta

y que contenga al punto

Para encontrar la ecuación cartesiana del plano , podemos tomar

. Como , una ecuación cartesiana es