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Temas 6 y 7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato 1

TEMA 6 y 7 - RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

ECUACIONES DE LA RECTA Para hallar la ecuación de una recta en el espacio necesito:

• Dos puntos • Un punto y su vector director

Nota: Nosotros utilizaremos siempre un punto A(x0,y0,z0) y un vector →v = (a,b,c).

Si me dan dos puntos A(x0,y0,z0), B(x1,y1,z1) ⇒ Tomaremos uno de los mismos A(x0,y0,z0) y como

vector →v =

→AB = (x1- x0, y1 – y0, z1 – z0)

Ecuación vectorial: (x,y,z) = (x0,y0,z0) + k.(a,b,c) ∀ k ∈ R

Ecuaciones paramétricas:

+=+=+=

kczz

kbyy

kaxx

0

0

0

∀ k ∈ R

Ecuación continua: c

zz

b

yy

a

xx 000 −=

−=

−

Ecuación implícita (como intersección de dos planos):

=+++=+++

0DzCyBxA

0DzCyBxA

2222

1111

Ejemplo 1 : Halla las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos P(1,0,-1) y Q(2,1-3)

−=−−−=−=

−

)2,1,1()1,0,1()3,1,2(PQPQ:Vector

)1,0,1(P:Punto:r

Ecuación vectorial: (x,y,z) = (1,0,-1) + λ.(1,1,-2) R∈λ∀

Ecuaciones parámetricas: R

21z

y

1x

∈λ∀

λ−−=λ=

λ+=

Ecuación continua: 2

1z

1

y

1

1x

−+==−

Ecuación implícita:

−=−−=−

→

+=+−=−

1zx2

1yx

1z2x2

y1x

Ejemplo 2: Hallar dos puntos y un vector de las siguientes rectas:

a) (x,y,z) = (2,0,-1) + t.(1,2,3) Puntos:

⇒=⇒=

(3,2,2)P1t

(2,0,-1)P0t

2

1 Vector: (1,2,3)

b)

λλλλ−−−−====λλλλ−−−−====

λλλλ++++====

43z

y

1x

Puntos:

⇒=λ⇒=λ

(2,-1,-1)P1

(1,0,3)P0

2

1 Vector (1,-1,-4)

c) 3

2z4

1y2

1x ++++====−−−−====

++++ Puntos

⇒= )2

1(0,3,-P0x

(-1,1,-2)P

2

1

Vector (2,4,3)


d)

====++++−−−−====++++++++

4z3yx2

3zy2x

−−≈

− 2150

3121

4312

3121

−=+−=++

≈2zy5

3zy2x

−α=α=

α−=→

α−+α−=−α=

α=

25z

y

75x

5223x

25z

y

−

−−

→)5,1,7(:Vector

)3,1,2(P

)2,0,5(P:Puntos

2

1

Nota: Otra forma de hallar el vector )5,1,7(

312

121

kji

−−=−

ECUACIONES DE UN PLANO Para hallar la ecuación de un plano en el espacio necesito:

• Tres puntos • Un punto y dos vectores directores

Nota: Nosotros utilizaremos siempre un punto A(x0,y0,z0) y dos vectores →v 1 = (a1,b1,c1),

→v 2 = (a2,b2,c2)

Si me dan tres puntos A(x0,y0,z0), B(x1,y1,z1), C(x2,y2,z2) ⇒ Tomaremos uno de los mismos A(x0,y0,z0)

y como vectores →v 1 =

→AB = (x1- x0, y1 – y0, z1 – z0)

→v 2 =

→AC = (x2- x0, y2 – y0, z2 – z0)

Ecuación vectorial: (x,y,z) = (x0,y0,z0) + s.(a1,b1,c1) + t. (a1,b1,c1) ∀ s,t ∈ R


++=++=++=

210

210

210

tcc.szz

tbb.syy

taa.sxx

∀ s,t ∈ R

Ecuación implícita o general: Ax + By + Cz + D = 0 ⇒

0

cba

cba

zzyyxx

222

111

000

=−−−

⇒ Ax + By + Cz + D = 0

Vector normal = →n = (A,B,C) =

→v 1 x

→v 2 (Es perpendicular a los dos vectores directores)

Nota: Si conocemos el vector normal y un punto podemos hallar directamente la ecuación general del plano. Del vector normal conocemos A, B y C ; y si sustituimos el punto hallamos D. Ejemplo 3 : Hallar las ecuaciones del plano que pasa por los puntos A(0,1,-1), B(2,3,-5), C(1,4,3)

==

−==

−

π

)4,3,1(ACv

)4,2,2(ABv:Vectores

)1,1,0(A:Punto

:

2

1

Ecuación vectorial: (x,y,z) = (0,1,-1) + s.(2,2,-4) + t.(1,3,4) ∀ s,t ∈ R


+−−=++=

+=

t4s41z

t3s21y

ts2x

∀ s,t ∈ R

Ecuación implícita o general: Ax + By + Cz + D = 0


0

431

422

1z1yx

=−+−

⇒ 20x – 12(y-1)+4(z+1) = 0 ⇒ 5x-3y+z+4=0

Ejemplo 4: Hallar dos punto, dos vectores y el vector normal

a) (x,y,z) = (1,2,3) + λλλλ(4,5,6) +µµµµ(1,0,3) Puntos:

→=µ=λ )6,2,2(P10,

(1,2,3)P

2

1

Vectores:

−−== )5,6,15(vxvn

)3,0,1(v

)6,5,4(v

21

2

1

b)

λλλλ−−−−====µµµµ−−−−λλλλ====

µµµµ++++λλλλ++++====

3z

2y

21x

Puntos:

−→=µ=λ )3,1,2(P10,

(1,0,3)P

2

1 Vectores:

−−−==

−

−

)4,1,1(vxvn

)0,1,1(v

)1,2,2(v

21

2

1

c) x + 2y – z = 4 z = x + 2y -4 Puntos: P(0,0,-4), Q(1,1,-1), R(1,0,-3) )1,2,1(n −

Vectores:

==

==

)1,0,1(PRv

)3,1,1(PQv

2

1

Ejemplo 5 : Hallar la ecuación del plano, cuyo vector normal es (1,2,3) y pasa por el punto (2,0,4)

014z3y2x14D 0 D 3.4 2.0 2

0 D 3z 2y x =−++⇒

−=⇒=+++=+++

EJERCICIOS REPASO RECTAS Y PLANOS Ejercicio 6 : Halla las ecuaciones paramétricas de los ejes de coordenadas

Eje OX R

0z

0y

x

)0,0,1(PP:Vector

)0,0,0(P:Pto

)0,0,1(P

)0,0,0(P

21

1

2

1 ∈λ∀

==

λ=⇒

=⇒

Eje OY R

0z

y

0x

)0,1,0(PP:Vector

)0,0,0(P:Pto

)0,1,0(P

)0,0,0(P

21

1

2

1 ∈λ∀

=λ=

=⇒

=⇒

Eje OZ R

z

0y

0x

)1,0,0(PP:Vector

)0,0,0(P:Pto

)1,0,0(P

)0,0,0(P

21

1

2

1 ∈λ∀

λ===

⇒

=⇒


Ejercicio 7 : Escribe todas las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(-3,2,1) y

B

−−−−0,

23

,25

r:

−−

−−=

−−+−=

−

)2,1,1(||1,2

1,

2

110,2

2

3,3

2

5AB:Vector

)1,2,3(A:Punto

Ecuación vectorial: (x,y,z) = (-3,2,1) + λ.(1,-1,-2) R∈λ∀


21z

2y

3x

∈λ∀

λ−=λ−=

λ+−=


1z

1

2y

1

3x

−−=

−−=+


−=+−=+

→

−=−+−−=−−

5zx2

1yx

1z6x2

2y3x

Ejercicio 8 : Comprueba si existe alguna recta que pase por los puntos P(3,1,0),Q(0,-5,1), R(6,-5,1) Método: Hallamos la recta que pasa por P y Q, y comprobamos si R pertenece a la recta.

Recta que pasa por P y Q 1

z

6

1y

3

3x

)1,6,3(PQ:Vector

)0,1,3(P:Punto=

−−=

−−

⇒

−−=

Comprobamos si el punto R la cumple: 1111

1

6

15

3

36 ==−⇒=−

−−=−−

⇒ Falso.

No existe ninguna recta que pase por los puntos P, Q y R a la vez. Ejercicio 9 : Halla todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(-4,2,5) y es paralela al eje OZ.

r:

⇒

−

)1,0,0(v)1,0,0(P

)0,0,0(POZ eje Vector

)5,2,4(A:Punto

2

1

Ecuación vectorial: (x,y,z) = (-4,2,5) + λ.(0,0,1) R∈λ∀


5z

2y

4x

∈λ∀

λ+==

−=


5z

0

2y

0

4x −=−=+


=−=+

02y

04x


Ejercicio 10 : Escribe todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P(1,-3,0) y paralela al

vector )0,0,2(v ),2,1,1(u siendo ,vxu −−−−

r:

=−=

−

)1,2,0(||)2,4,0(

002

211

kji

vxu: Vector

)0,3,1(A:Punto

Ecuación vectorial: (x,y,z) = (1,-3,0) + λ.(0,2,1) R∈λ∀


z

23y

1x

∈λ∀

λ=λ+−=

=


z

2

3y

0

1x =+=−


−=−=

⇒

=+=−

3z2y

1x

z23y

02x2

Ejercicio 11 :

a) Halla el vector director de la recta determinada por los planos

====++++====−−−−

2zy

0yx

Modo 1: Pasando a paramétricas: y = α, x = α, z = 2 - α ⇒ v(1,1,-1)

Modo 2: Perpendicular a los vectores normales de los dos planos )1,1,1(

110

011

kji

−−=−

Nota: Son paralelos, vale cualquiera de los dos. b) Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta anterior

Modo 1: Directamente ⇒ Ecuaciones parámetricas: R

2z

y

x

∈α∀

α−=α=α=

Modo 2:

−−

===

)1,1,1(v: Vector

2 z 0, y 0, x x,a ejemplopor un valor, Dado:PuntoR

2z

y

x

∈α∀

α+=α−=α−=

Ejercicio 12 : Dada la recta z11y

2x ====

−−−−++++==== , exprésala como intersección de dos planos.

=−−=+

⇒

=+=−

0z2x

1y2x

z2x

1y2x


Ejercicio 13 : Halla todas las ecuaciones de los siguientes planos:

a) Determinado por el punto A(1,-3,2) y por los vectores )3,0,1(v),0,1,2(u −−−− Ecuación vectorial: (x,y,z) = (1,-3,2) + s.(2,1,0) + t.(-1,0,3) ∀ s,t ∈ R


+=+−=

−+=

t32z

s3y

ts21x

∀ s,t ∈ R

Ecuación implícita o general: Ax + By + Cz + D = 0

0

301

012

2z3y1x

=−

−+− ⇒ 3(x – 1) -6(y + 3) + (z – 2) = 0 ⇒ 3x – 6y + z - 23 = 0

b) Pasa por el punto P(2,-3,1) y cuyo vector normal es (5,-3,-4)

015z4y3x515D 0 D 4.1- 3.(-3)- 5.2

0 D 4z-3y -5x =−−−⇒

−=⇒=+=+

c) Perpendicular a la recta 3z

11y

2x ====

−−−−++++==== y que pasa por el punto (1,0,1)

π: 05z3yx25D0D320Dz3yx2)3,1,2(vn

)1,0,1(P:Punto

r

=−+−⇒−=⇒=++⇒=++−⇒

−==

=

π

π

Ejercicio 14 : Halla las ecuaciones paramétricas e implícitas de los planos OXY, OYZ y OXZ

OXY

=

=

)0,1,0(PP

)0,0,1(PPVectores

)0,0,0(PuntoP

)0,1,0(P),0,0,1(P),0,0,0(P:Puntos

31

21

1

321


===

0z

ty

sx

∀ s,t ∈ R

Ecuación implícita o general: Ax + By + Cz + D = 0 ⇒ 0

010

001

zyx

= ⇒ z = 0

Análogamente: OYZ:

===

tz

sy

0x

∀ s,t ∈ R, x = 0

OXZ:

===

tz

0y

sx

∀ s,t ∈ R, y = 0

Ejercicio 15 : Escribe las ecuaciones paramétricas de los planos a) z = 3 b) x = -1 c) y = 2

a)

===

3z

ty

sx

∀ s,t ∈ R, b)

==

−=

tz

sy

1x

∀ s,t ∈ R, c)

===

tz

2y

sx

∀ s,t ∈ R,


Ejercicio 16: a) ¿Cuál es el vector normal del plano x = -1? (1,0,0) b) Escribe las ecuaciones de una recta perpendicular al plano que pase por A(2,3,0)

r: r:

== π )0,0,1(nv:Vector

)0,3,2(A:Punto

r

Ecuación vectorial: (x,y,z) = (2,3,0) + λ.(1,0,0) R∈λ∀


0z

3y

2x

∈λ∀

==

λ+=


z

0

3y

1

2x =−=−


==−

0z

03y

POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS Coincidentes Paralelas Secantes Se cruzan Método: Escribimos las ecuaciones paramétricas de cada una de ellas (con distinto parámetro), las igualamos y resolvemos el sistema:

• Sistema compatible determinado ⇒ Existe una única solución ⇒ Se cortan en un punto ⇒ Secantes.

• Sistema compatible indeterminado ⇒ Existen infinitas soluciones ⇒ Se cortan en infinitos puntos ⇒ Coincidentes.

• Sistema incompatible ⇒ No existe solución ⇒ No se cortan ⇒ Paralelas o se cruzan. o Hallar el vector director de cada una o Si son paralelos (proporcionales) las rectas son paralelas o Si no son paralelos, las rectas se cruzan.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS Coincidentes Paralelos Secantes Método: Escribimos las ecuaciones generales de cada uno de ellos y resolvemos el sistema:

• Sistema compatible determinado ⇒ No puede ser • Sistema compatible indeterminado ⇒ Existen infinitas soluciones ⇒ Se cortan en infinitos

puntos ⇒ Se cortan en un plano o en una recta o Si hay un grado de libertad ⇒ Un vector ⇒ Se cortan en una recta ⇒ Secantes o Si hay dos grados de libertad ⇒ Dos vectores ⇒ Se cortan en un plano ⇒ Coincidentes

• Sistema incompatible ⇒ No existe solución ⇒ No se cortan ⇒ Paralelos.


POSICIÓN RELATIVA ENTRE RECTA Y PLANO Recta Contenida en el plano Secantes Paralelos Escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta y la general del plano y resolvemos el sistema:

• Sistema compatible determinado ⇒ Existe una única solución ⇒ Se cortan en un punto ⇒ Secantes.

• Sistema compatible indeterminado ⇒ Existen infinitas soluciones ⇒ Se cortan en infinitos puntos ⇒ Recta contenida en el plano.

• Sistema incompatible ⇒ No existe solución ⇒ No se cortan ⇒ Paralelos. POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS Coincidentes Dos coincidente y Dos coincidentes y Paralelos Paralelos el otro secante el otro paralelo Dos paralelos Secantes en una recta Secantes en un punto Secantes 2 a 2 Y el otro secante en una recta Escribimos las ecuaciones de los tres planos en forma general y resolvemos el sistema:

• Sistema compatible determinado ⇒ Existe una única solución ⇒ Se cortan en un punto • Sistema compatible indeterminado:

o Un grado de libertad: Se cortan en una recta � Dos planos coincidentes y el otro secante � Los tres se cortan en una recta

o Dos grados de libertad: Se cortan en un plano ⇒ Coincidentes • Sistema incompatible ⇒ No existe solución

o Dos coincidentes y el otro paralelo o Tres paralelos o Dos paralelos y el otro los corta o Se cortan dos a dos en una recta


Ejemplo 17 : Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:

a)

αααα−−−−====αααα++++====

αααα−−−−====

5z

2y

5x

:r s:

αααα====αααα−−−−====αααα−−−−====

z

53y

32x

Vectores directores no paralelos, se Cruzan o se cortan

Resolvemos el sistema

−≈≈

−−−−≈

−−−

−→

β=α−β−=α+β−=α−

3500

440

151

...

235

511

151

511

151

235

5

532

325

Rango A = 2, RangoA´= 3 ⇒ Sistema incompatible ⇒ No existe solución ⇒ Se cruzan.

b)

αααα−−−−====αααα++++====αααα−−−−====

5z

2y

53x

:r s: 2z

2y4

101x ====

−−−−====−−−−

Vectores directores paralelos (paralelas o

coincidentes), tomamos un punto de r, (3,2,5) y comprobamos si cumple s: 2

5

2

24

10

13 =−=− No lo

cumple, por tanto , paralelas.

c) r:

====++++====−−−−====

tz

t53y

t32x

s: (x,y,z) = (1,0,5) + λλλλ(-1,2,0) Vectores no paralelos, se Cruzan o se cortan

Resolvemos el sistema

→−=−→=λ→=→

=λ=+

λ−=−

Cierto141152145t5t

2t53

1t32

Sistema compatible determinado ⇒ Existe una única solución, se cortan en un punto Hallar el punto de corte, como t = 5 ⇒ P(-13,28,5)

d)

λλλλ====λλλλ−−−−====λλλλ++++====

2z

3y

2x

:r s:22z

12y

13x

−−−−−−−−====

−−−−====−−−−−−−−

Vectores directores paralelos (paralelas o

coincidentes) Cogemos un punto de s(3,2,2) y comprobamos si cumple r:

=λ=λ=λ

→

λ=λ−=λ+=

1

1

1

22

32

23

Si, por

tanto coincidentes. Ejemplo 18 : Estudiar la posición relativa de los siguientes planos.

a)

====++++++++−−−−====−−−−++++−−−−

040z16y12x4

011z4y3x b)

====++++++++−−−−====−−−−++++−−−−03zy5x2

011z4y3x c)

====−−−−++++−−−−====−−−−++++−−−−

022z8y6x2

011z4y3x

Dos modos: O resolviendo el sistema o comparando sus vectores normales

a) 40

11

16

4

12

3

4

1 −==−−= ⇒ La última igualdad no se cumple, paralelos

b) 3

11

1

4

5

3

2

1 −==−−= ⇒ Vectores normales no paralelos, se cortan en una recta.

Si nos piden la recta, resolvemos el sistema y obtenemos la recta en paramétricas.

c) 22

11

8

4

6

3

2

1

−−==

−−= ⇒ Se cumplen todas, coincidentes.


Ejemplo 19: Estudiar la posición relativa entre la recta y el plano:

a) ππππ: x – 3y+5z+11=0 r:

++++====−−−−====

++++−−−−====

t64z

t1y

3t2x

a) Sustituimos las ecuaciones de la recta en la ecuación del plano: -2t + 3 -3(1 – t) + 5.(4 + 6t) + 11 = 0 ⇒ -2t + 3 -3 +3t + 20 + 30t + 11 = 0 ⇒ 31t + 31 = 0 ⇒ t = -1 Sistema compatible determinado. Existe una solución. Se cortan en un punto. Si nos piden el punto de corte, sustituimos en las ecuaciones de la recta: P(5,2,-2)

b) z4

2y23

2x ====++++====

−−−− -y + 2z - 1 =0

b) Pasamos la recta a paramétricas y sustituimos en la ecuación del plano -(2t-1) + 2t -1 = 0 ⇒ 0 = 0 ⇒ Sistema compatible indeterminado, existen infinitas soluciones ⇒ Recta contenida en el plano.

c)

====++++−−−−====++++====

t2z

2ty

1t4x

x + 2y – z = 0

c) (4t + 1) + 2(-t + 2) – 2t = 0 ⇒ 5 = 0 ⇒ Sistema incompatible, no tiene solución ⇒ Paralelos Ejemplo 20 : Estudiar la posición relativa de estos tres planos:

a)

====−−−−++++++++====−−−−++++

====−−−−−−−−++++

02zyx

01z2y3

03zy2x

a) Resolvemos el sistema por Gauss y nos sale compatible determinado, existe una única solución ⇒ Se cortan en un punto P(7/4,1/2,-1/4)

b)

====−−−−++++−−−−====−−−−++++−−−−

====−−−−++++−−−−

04zyx3

02zyx

03zyx2

b) Resolvemos el sistema por Gauss y nos sale un sistema compatible indeterminado con un grado de libertad, es decir, se cortan en una recta. Como los planos no son paralelos entre se cortan los tres en una recta.

c)

====++++−−−−++++====−−−−++++====−−−−++++−−−−

04z3y2x2

0z2yx3

01zyx

c) Resolvemos el sistema por Gauss y nos sale sistema incompatible, no tiene solución. Como ninguno es paralelo entre si, se cortan dos a dos en una recta (Tienda de campaña)

d)

====++++++++====++++++++

−−−−====++++++++

1zayx

aazyx2

1azyx

d) Como es un sistema con parámetros con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas,

hallamos el determinante: 2a,1a02a3a0

1a1

a12

1112 ==⇒=−+−⇒=


CASO I: Si a = 1 Sistema3'RangoA

2RangoA

1000

1110

0111

1111

1112

0111

⇒

==

⇒

−−≈

Incompatible

El primer y el tercer plano paralelos y el otros los corta en una recta.

CASO II: Si a = 2 Sistema

3IncogºN

2'RangoA

2RangoA

0000

0010

1111

...

1121

2212

1111

⇒

===

⇒

−≈≈

Compatible

indeterminado con un grado de libertad (ninguno paralelo) se cortan en una recta. CASO III: a { }2,1R −∈ ⇒ |A| ≠ 0 ⇒ Sistema compatible determinado ⇒ Se cortan en un punto. Resolviendo (por Cramer o por Gauss) obtenemos el punto de corte en función de “a”.

REPASO DE RECTAS Y PLANOS Y POSICIONES RELATIVAS Ejercicio 21 : Estudia la posición relativa de las siguientes rectas y halla el punto de corte, cuando sea posible:

a) r: 4

1z2

2y3

1x −−−−====++++====

−−−− s:

32z

23y

12x −−−−====

−−−−====−−−−++++

Vectores directores (3,2,4) y (-1,2,3) no paralelos, se cortan o se cruzan. Resolvemos el sistema:

+β=+α+β=−α−β−=+α

2314

3222

213

−−−

≈

−−−

≈

−−

−

15300

2180

313

15130

2180

313

134

522

313

3'RangoA

2RangoA

==

Sistema

incompatible, no existe solución, se Cruzan.

b) r: 2z2

1y11x −−−−====

−−−−====−−−−−−−−

s: 2

5z1

4y4

4x −−−−====−−−−====

−−−−

Vectores directores (-1,2,1) (4,1,2) no paralelos, se cortan o se cruzan. Resolvemos el sistema:

522

412

441

+β=+α+β=+α

+β=+α−

−−−

≈

−−−−

≈

−−−−

000

990

341

660

990

341

321

312

341

===

2IncogºN

2'RangoA

2RangoA

Sistema

compatible determinado, existe una única solución, se cortan en un punto.

)3,3,0(P199

34⇒−=β

=β−=β−α−

c) r: 3

1z1y

2x ++++====−−−−==== s:

====++++−−−−====−−−−−−−−

01zy3

01y2x

Vectores directores (2,1,3), )3,1,2(

130

021

kji

=−

− Paralelos, Paralelos o coincidentes.

Tomamos un punto de r Pr(0,1,-1) y vemos si pertenece a s :

=++=−−

0113

0120 No pertenece a s por

tanto no pueden ser coincidentes. Son paralelas.


d) r: 4z

3y

21x ========

−−−− s:

++++====++++====++++====

t84z

t63y

t43x

Vectores directores (2,3,4), (4,6,8) paralelos, por tanto paralelas o coincidentes.

Tomamos un punto de r: Pr(1,0,0) y comprobamos si pertenece a s:

−=−=−=

⇒

+=+=+=

2/1t

2/1t

2/1t

t840

t630

t431

Si

pertenece a s por tanto son coincidentes. Ejercicio 22 : Obtén el valor de a para que las rectas r y s se corten y halla el punto de corte.

r: x = y = z – a s: 0

2z23y

31x2 −−−−====

−−−−++++====

−−−−

Pasamos a paramétricas y resolvemos el sistema:

=+α−β−=α

+β=α

2a

322

13

⇒ 7732

132=β−⇒

−=β+α=β−α

⇒

3a,1,1 =−=α−=β ⇒ P(-1.-1.2) Ejercicio 23 : Halla los valores de m y n para que las rectas r y s sean paralelas:

r:

−−−−====++++====++++====

tz

t3y

t45x

s: n

3z3

1ymx ++++====

−−−−====

Los vectores directores proporcionales:

−==

⇒−==

3n

12m

n

1

3

1

m

4

Ejercicio 24 : Calcula m y n para que los planos: αααα: mx + y – 3z -1 = 0 ββββ: 2x + ny – z – 3 = 0 sean paralelos. ¿Pueden ser coincidentes?

Los vectores normales proporcionales:

==

−−==

6m

3/1n

1

3

n

1

2

m

Para que sean coincidentes: 3

1

1

3

3/1

1

2

6

−−≠

−−== No son coincidentes.

Ejercicio 25 : Escribe la ecuación del plano que pasa por los puntos (0,0,0), (2,2,0) y (1,1,2)

Plano:

=

=

)2,1,1(AC

)0,2,2(AB:Vectores

)0,0,0(A:Punto

0

211

022

0z0y0x

=−−−

4x – 4 y = 0 ⇒ x – y = 0


Ejercicio 26 : Determina la ecuación del plano que contiene al punto P(2,1,2) y a la recta

34z

13y

2x−−−−−−−−====

−−−−−−−−====−−−−

P(2,1,2), Pr(2,3,4), vr(1,-1,-3)

Plano:

−−=

=

)3,1,1(v

)2,2,0(PP:Vectores

)2,1,2(P:Punto

r

r 0

311

220

2z1y2x

=−−

−−− -4(x-2) + 2(y–1) -2(z-2)=0

-4x + 2y - 2z + 10 = 0 ⇒ -2x + y – z + 5 = 0

Ejercicio 27 : Comprueba que las rectas r: 2zy2

1x −−−−========−−−−

s:

====−−−−====−−−−

11y2x

5z2x son

paralelas y halla la ecuación del plano que las contiene.

Vectores directores proporcionales: vr(2,1,1), vs =

021

201

kji

−− = (-4, -2, -2)

Pr(1,0,2) , vr(2,1,1), Ps (Por ejemplo z = 0, x = 5, y = -3 (5,-3,0))

Plano:

−−= )2,3,4(PP

)1,1,2(v:Vectores

)2,0,1(P:Punto

sr

r

r

0

234

112

2zy1x

=−−

−− (x – 1) + 8y -10(z – 2) = 0

x + 8y – 10z + 19 = 0 Ejercicio 28 : ¿Son coplanarios los puntos A(1,0,0), B(0,1,0), C(2,1,0), D(-1,2,1)? Con tres puntos A, B y C hallamos el plano que los contiene y comprobamos si D ∈ Al plano

Plano:

=−=

)0,1,1(AC

)0,1,1(AB:Vectores

)0,0,1(A:Punto

011

011

zy1x

−−

= 0 -2z = 0 ⇒ z = 0 ⇒ D no cumple que z = 0,

por tanto no son coplanarios. Ejercicio 29 : Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1,3,2) y B(-2,5,0) y es

paralelo a la recta

−−−−−−−−====++++====−−−−====

t32z

t2y

t3x

Plano:

−−−−=

)3,1,1(v

)2,2,3(AB:Vectores

)2,3,1(A:Punto

r

0

311

223

2z3y1x

=−−−−−−−

⇒ -4(x–1) -7(y–3) – (z–2) = 0

-4x – 7y – z +27 = 0


Ejercicio 30 : Halla la ecuación del plano que contiene a la recta r:

λλλλ====λλλλ−−−−−−−−====λλλλ++++====

z

1y

32x

y es paralelo

a: s: 3

z2

1y5

3x−−−−

====++++====

−−−−

Plano:

−−

−

)3,2,5(v

)1,1,3(v:Vectores

)0,1,2(P:Punto

s

r

r

0

325

113

z1y2x

=−

−+−

(x – 2) +14(y + 1) +11z = 0

x + 14y + 11z +12 = 0

Ejercicio 31 : Dado el plano ππππ: 2x – 3y + z = 0 y la recta r: 2

1z12y

11x ++++====

−−−−−−−−====

−−−−, halla la

ecuación del plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano ππππ.

Plano:

−−

−

π )1,3,2(n

)2,1,1(v:Vectores

)1,2,1(P:Punto

r

r

0

132

211

1z2y1x

=−−

+−− 5(x – 1) + 3.(y – 2) – (z + 1) = 0

5x + 3y – z – 12 = 0

Ejercicio 32 : Sea la recta r:

====++++−−−−====++++−−−−

03zx2

0zyx3 y el plano ax – y + 4z – 2 = 0

a) Calcula el valor de a para que r sea paralela al plano. b) ¿Existe algún valor de a para que r sea perpendicular al plano? a) Vector director de la recta y vector normal del plano perpendiculares (vr.nπ = 0)

vr =

102

113

kji

−− = (1, 5,2) vr.nπ = (1,5,2).(a,-1,4) = a – 5 + 8 = 0 ⇒ a = -3

b) Vector de la recta y vector normal del plano, paralelos: 4

2

1

5

a

1 =−

= . No existe.

Ejercicio 33 : Dados la recta r:

====−−−−−−−−====++++−−−−04zy

03z2x y el plano ππππ: x + 2y + 3z – 1 = 0, halla la

ecuación de una recta s contenida en el plano ππππ que pase por el punto P(2,1,-1) y sea perpendicular a r.

Recta s:

−==

=

=−−

===

−

π

π

π )3,5,1(

321

112

kji

xnv

)3,2,1(n

)1,1,2(

110

201

kji

vxnvv:Vector

)1,1,2(P:Punto

rrrs

3

1z

5

1y

1

2x +=−−=−


Ejercicio 34 : Halla la ecuación de una recta que cumpla las condiciones siguientes:

1) Es paralela a la recta de ecuaciones: r:

====++++====++++

5z3y

5z2x

2) Pasa por el punto de intersección de la recta s con el plano ππππ:

s: 3

2z2

3y4

1x ++++====++++====

−−−− ππππ: x – y + z = 7

vr: z = α, x = 5 - 2α, y = 5 - 3α ⇒ vr(-2,-3,1)

Pr : s: )1,1,5(P1t5t57)2t3()3t2(1t4

2t3z

3t2y

1t4x

r −⇒=⇒=⇒=−+−−+⇒

−=−=+=

1

1z

3

1y

2

5x −=−+=

−−

Ejercicio 35 : Escribe la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1,-3,2) y B(0,1,1) y es

paralelo a la recta r:

====−−−−++++====++++−−−−

03z3y2

01y2x3

Plano:

−−−−=−=

−−=−

)2,3,2(||)6,9,6(

320

023

kji

v

)1,4,1(AB

:Vectores

)2,3,1(A:Punto

r

0

232

141

2z3y1x

=−−

−−−+−

5(x – 1) + 4(y + 3) + 11(z – 2) = 0 ⇒ 5x + 4y + 11z – 15 = 0 Ejercicio 36 : Dados los planos mx + 2y – 3z – 1 = 0 y 2x – 4y + 6z + 5 = 0, halla m para que sean: a) Paralelos b) Perpendiculares

a) Proporcionales: 6

3

4

2

2

m −=−

= ⇒ m = -1

b) Vectores normales perpendiculares: (m,2,-3).(2,-4,6) = 0 ⇒ 2m – 8 -18 = 0 ⇒ m = 13 Ejercicio 37 : Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,2,3) y es perpendicular al plano que pasa por el origen y por los puntos B(1,1,1) y C(1,2,1).

Recta:

−=+−⇒=π⇒

π= π )1,0,1(v:0zx0

121

111

zyx

:

)1,2,1(OC

)1,1,1(OB:Vectores

)0,0,0(O:Punto

:nv:Vector

)3,2,1(P:Punto

rr

1

3z

0

2y

1

1x −=−=−−


Ejercicio 38 : Escribe la ecuación del plano que contiene a la recta r:

====++++−−−−====−−−−++++

0zyx2

01yx y es

paralelo a s: 42z

3y

2x1

−−−−++++========

−−−−−−−−

Plano:

−− )4,3,2(v

v:Vectores

P:Punto

s

r

r

Pasamos r a paramétricas: y = α, x = 1 - α, z = -2 + 2α + α = 3α - 2

−−

)3,1,1(v

)2,0,1(P

r

r

Plano: 0

432

311

2zy1x

=−−

−+−

-13(x – 1) -10y – (z + 2) = 0 ⇒ -13x – 10y – z +11 = 0

Ejercicio 39 : Indica qué condiciones deben cumplir a, b, c y d, para que el plano ππππ: ax + by + cz + d = 0 sea: a) Paralelo al plano OXY b) Perpendicular al plano OXY c) Paralelo al eje Z d) Perpendicular al eje X e) No sea paralelo a ninguno de los ejes.

a) nπ || noxy 1

c

0

b

0

a == ⇒ a = 0, b = 0

b) nπ.nOXY = 0 (a,b,c).(0,0,1) = 0 ⇒ c = 0 c) nπ .vZ =0 (a,b,c).(0,0,1) = 0 ⇒ c = 0

d) nπ || vX 0

c

0

b

1

a == ⇒ b = 0, c = 0

e) No es paralelo a ninguno de los ejes, a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0

Autoevaluación pág 181 del libro.


ÁNGULOS

ANGULO ENTRE DOS RECTAS Cos (r1,r2) = cos (→v 1,

→v 2) =

2

→

1

→

2

→

1

→

v.v

v.v

ANGULO ENTRE DOS PLANOS Cos (ΠΠΠΠ1, ΠΠΠΠ2) = cos(→n 1,

→n 2) =

2

→1

→

2

→1

→

n.n

n.n

ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO Sen (r, Π) = cos (→v r,

→n Π) =

π

→

r

→

π

→

r

→

n.v

n.v

Ejemplo 40 : Hallar el ángulo que forman las siguientes rectas:

r: 1

z3

1y5

3x−−−−

====++++====

−−−− s:

====++++−−−−====−−−−++++05y2x

4z5y3x2

cos (r,s) = cos (vr, vs) ⇒

−−−=−

−=

−

)7,5,10(||)7,5,10(

021

532

kji

v

)1,3,5(v

s

r

⇒ cos(vr,vs) =

74,0174.35

58

4925100.1925

71550

|v|.|v|

v.v

sr

sr ==++++

−+= ⇒ α = 41º 59’ 35,79’’

Ejemplo 41 : Hallar el ángulo que forman los siguientes planos: ππππ1 : x + 8y – 4z = 0 ππππ2: 2x – y + 3 = 0

cos (π1,π2) = cos (nπ1, nπ2) = 3,05.81

6

014.16641

82

|n|.|n|

n.n

21

21 ==++++

−=

ππ

ππ⇒

α = 72º 39’ 14,16’’ Ejemplo 42 : Hallar el ángulo que forman la recta y el plano: r: (x,y,z) = (3,-1,1) + t.(2,5,-1) ππππ: 2x – 5y +7z – 11 = 0

sen (r,π) = sen (vr, nπ) = 57,078.30

28

49254.1254

7254

|n|.|v|

n.v

r

r ==++++

−−=

π

π⇒

α = 35º 22’ 5,54’’ Ejercicio 43 : Halla el valor de m para que r y s formen un ángulo de 90º:

r:

−−−−−−−−========

−−−−====

t2z

ty

t52x

s:

========

++++====

mtz

t2y

t2x

vr.vs = 0 ⇒ (-5,1,-1).(1,2,m) = 0 ⇒ -5 + 2 – m = 0 ⇒ m = -3


Ejercicio 44 : Halla, en cada caso, el ángulo que forman la recta y el plano:

a) r: 2z

43y

21x ====

++++====−−−−++++

ππππ: x – 2y – z + 1 = 0

sen (r,π) = sen (vr, nπ) = 16.24

12

141.4164

282

|n|.|v|

n.v

r

r ==++++

−−−=

π

π⇒ α = 90º

b) r: x = t; y = 1 + 2t; z = -2 ππππ: 2x – y + z = 0

sen (r,π) = sen (vr, nπ) = 0114.041

022

|n|.|v|

n.v

r

r =++++

+−=

π

π⇒ α = 0º

c) r: 1z

13y

21x ====

−−−−====−−−−

ππππ: x + z = 17

sen (r,π) = sen (vr, nπ) = 87,02.6

3

101.114

12

|n|.|v|

n.v

r

r ==++++

+=

π

π⇒ α = 60º

Ejercicio 45 : Calcula el ángulo que forman los dos planos siguientes: αααα: z = 3 ππππ: x – y + 2z + 4 = 0

cos (α,π) = cos (nα, nπ) = 82,06.

2

411.100

200

|n|.|n|

n.n==

++++

++=

πα

πα⇒ α = 35º 15’ 51,8’’

Ejercicio 46 : Hallar los tres ángulos de un triángulo cuyos vértices son: A(0,0,0), B(1,2,1), C(3,1,1) AB = (1,2,1), AC = (3,1,1), BC = (2,-1,0)

Cos (AB,AC) = 74,011.6

6

119.141

123 ==++++

++= ⇒ α = 42º 23’ 31,36’’

Cos (AB,BC) = 05.6

0

014.141

022 ==++++

+−= ⇒ α = 90º

α = 180º - 90º - 42º 23’ 31,36’’ = 47º 36’ 28,64’’ Ejercicio 47 : Hallar el ángulo que forma el plano ππππ: x – 2y + z = 0 con cada uno de los ejes coordenados.

sen (OX,π) = sen ((1,0,0), nπ) = 41,06

1

141.1

1

|n|.|v|

n.v

OX

OX ==++

=π

π⇒ α = 24º 5’ 41,43’’

sen (OY,π) = sen ((0,1,0), nπ) = 82,06

2

141.1

2

|n|.|v|

n.v

OY

OY ==++

−=

π

π⇒ α = 54º 44’ 8,2’’

sen (OZ,π) = sen ((0,0,1), nπ) = 41,06

1

141.1

1

|n|.|v|

n.v

OZ

OZ ==++

=π

π⇒ α = 24º 5’ 41,43’’


DISTANCIA ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2)

d(A,B) = |→

AB | = ( ) ( ) ( )212

212

212 zzyyxx −+−+−

DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA

d(P,r) =

r

→

r

→→

r

v

v xPP

DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO: P(x0,y0,z0), Π: Ax + By + Cz + D = 0

d(P, Π) = 222

000

CBA

DCzByAx

++

+++

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS

d(r,s) = [ ]

sr

srsr

x vv

PP,v,v

DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO d(r, Π) = d(Pr, Π) DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS d(Π1, Π2) = d(P1, Π2)

Si 22221

2

1

CBA

'DD),(d

0'DCzByAx:

0DCzByAx:

++

−=ππ⇒

=+++π=+++π

Ejemplo 48 : Hallar la distancia entre los puntos P(1,2,0) y Q(2,-3,1)

d(P,Q) = u2,5u3.3271251)01()23()12( 222 ===++=−+−−+−

Ejemplo 49 : Halla la distancia del punto P(5,-1,6) y la recta r:

++++====−−−−====

−−−−====

t5z

ty

t21x

= 1)- 1, (-4, PPr

1) vr(-2,-1,Pr(1,0,5), :r⇒ PPr x vr = )6,6,0(

112

114

kji

=−−

−−

d(P,r) =

r

→

r

→→

r

v

v xPP= u46,3u3.212

114

36360 ===++++

Ejemplo 50 : Halla la distancia del punto P(1,2,3) al plano ππππ: 2x + 3y – z =-7

d(P, Π) = u21,314

12

194

732.31.2==

++

+−+


Ejemplo 51 : Halla la distancia entre las rectas r:

++++====−−−−====

++++====

t28z

1y

t5x

s:

++++====−−−−====++++====

t45z

t3y

t34x

[ ] 9)]0162()2403[(

341

413

201

PP,v,v)3,4,1(PP)4,1,3(v),5,3,4(P:s

)2,0,1(v),8,1,5(P:rsrsrsr

ss

rr =++−++=−−

−=⇒−−

−−

Vr x Vs = )1,2,2(

413

201

kji

−=−

⇒ d(r,s) = [ ]

sr

srsr

x vv

PP,v,v= u3

144

|9| =++

Ejemplo 52: Halla la distancia entre la recta r: 12z

21y

53x

−−−−++++====

−−−−====−−−−

y el plano ππππ: x – 3y –z + 6=0

d(r, Π) = d(Pr, Π) = u41,211

8

191

6)2(1.33==

++

+−−−

Ejemplo 53 : Halla la distancia entre dos planos: ππππ1: x – 5y + 2z – 19 = 0, ππππ2: 2x – 10y + 4z = 0

π1: 2x – 10y + 4z – 38 = 0 ⇒ 22221

CBA

'DD),(d

++

−=ππ = 47,3

120

38

161004

038==

++

−−u

Ejercicio 54 : Halla la distancia que hay entre los puntos A(2,5,-2), B(-1,1,-2)

d(A,B) = u5250169)22()51()21( 222 ==++=+−+−+−−

Ejercicio 55 : Considera la recta r:

====++++−−−−====−−−−1zx

3yx y el plano ππππ: x + y – 2z = 1

a) Halla las coordenadas del punto S donde se cortan r y ππππ Pasamos la recta a paramétricas y resolvemos el sistema: x = α, y = α + 3, z = 1 - α α + (α + 3) -2(1 - α) = 1 ⇒ 4α = 0 ⇒ α = 0 ⇒ S(0,3,1) b) Calcula la distancia del punto P(4,0,1) al punto S del apartado anterior.

d(P,S) = u5250916)11()03()40( 222 ==++=−+−+−

Ejercicio 56 : Calcula la distancia entre el punto P(2,-3,1) y el plano ππππ: 3x – 4z = 3

d(P, Π) = u2,05

1

1609

31.42.3==

++

−−

Ejercicio 57 : Calcula la distancia entre el punto Q(2,-1,0) y el plano que contiene a P(2,0,4) y a r:

====++++====−−−−====

4z

t32y

t23x

Plano: 0

032

021

4zy2x

)0,3,2(v

)0,2,1()4,0,2()4,2,3(PP:Vectores

)4,0,2(P:Punto

r

r =−

−−⇒

−=−= ⇒ 7(z – 4) = 0 ⇒ z-4=0

d(Q, Π) = u4100

40=

++

−


Ejercicio 58: Halla la distancia entre los siguientes pares de planos: a) ππππ1: x – 2y + 3 = 0 ππππ2: 2x – 4y + 1 = 0

π1: 2x – 4y + 6 = 0 ⇒ 22221

CBA

'DD),(d

++

−=ππ = u12,1

20

5

164

16==

+

−

b) 3x – 2y + z – 2 = 0 ππππ2: 2x – y + z = -5 No son paralelos, se cortan ⇒ 0),(d 21 =ππ

Ejercicio 59 : Halla la distancia entre la recta r:

λλλλ++++−−−−====λλλλ====

λλλλ++++====

71z

3y

42x

y el plano ππππ: 3x – 4y – 3 = 0

d(r, Π) = d(Pr, Π) = d((2,0,-1),3x-4y-3=0) = u6,05

3

0169

30.42.3==

++

−−

Ejercicio 60 : Calcula la distancia que hay entre el punto P(3,1,6) y la recta r: x = 4 + 4αααα; y = 2 + αααα; z = -1 - 3αααα

= (1,1,-7) PPr

) vr(4,1,-3,Pr(4,2,-1) :r⇒ PPr x vr = )3,25,4(

314

711

kji

−−=−−

d(P,r) =

r

→

r

→→

r

v

v xPP= u525

26

650

9116

962516 ===++

++

Ejercicio 61 : Halla la distancia entre las rectas r:

λλλλ++++====λλλλ−−−−−−−−====

λλλλ====

59z

310y

4x

s:

++++====++++====−−−−====

t4z

t91y

t122x

[ ] 800)]1804490()6606180[(

5112

1912

534

PP,v,v)5,11,2(PP)1,9,12(v),4,1,2(P:s

)5,3,4(v),9,10,0(P:rsrsrsr

ss

rr −=−+−−−−=−

−−

=⇒−

−−−

Vr x Vs = )0,64.48(

1912

534

kji

−−=−

− ⇒ d(r,s) = [ ]

sr

srsr

x vv

PP,v,v= u10

80

800

40962304

|800| ==+

−


EJERCICIOS IMPORTANTES Corta o se apoya Ejercicio 62 : Halla las ecuaciones de la recta r que pasa por el punto P(2,0,-1) y corta a las

rectas s1: 1

1z12y

22x ++++====

−−−−−−−−====

−−−− s2:

====++++−−−−====++++++++

03z3y

04yx

Ps1 (2α+2,-α+2,α-1), Ps2(z=β,y=-3+3β,x=-1-3β)=(-1-3β,-3+3β,β)

PPs1 paralelo a PPs2 ⇒ 133

2

33

2

+βα=

β+−+α−=

β−−α

−=β=α

=β+α⇒=αβ+α

=αβ−β−α⇒

αβ−α−=α+αββ−αβ+−α=αβ+α−

1

00)1(5055

6369

3322

636366

Si α = 0 ⇒ - 6β=6 ⇒ β = -1 ⇒ 0

0

6

2

0

0 =−

= ⇒ cierto

r: 0

1x

2

y

0

2x)0,2,0(PP:Vector

)1,0,2(P:Punto

1s

+==−⇒

=−

Ejercicio 63 : Halla la ecuación de la recta que pasa por A(1,1,1), es paralela al plano ππππ: x – y

+ z – 3 = 0 y corta a la recta r:

========

3y

1x

APr es perpendicular a nπ (Producto escalar cero): Pr(1,3,α) ⇒

−−α

π )1,1,1(n

)1,2,0(APr

APr.nπ = (0,2,α-1).(1,-1,1) = 0 ⇒ -2 + α -1 = 0 ⇒ α = 3 ⇒

r: 1z1y0

1x)1,1,0(||)2,2,0(AP:Vector

)1,1,1(A:Punto

r

−=−=−⇒

Ejercicio 64 : Halla la ecuación de la recta s que pasa por el punto P(2,-1,1) y corta

perpendicularmente a la recta r: 3z

21y

13x ====

++++====−−−−

PPr perpendicular a vr (Producto escalar nulo)

=−αα+α=−−α−α+α=

⇒)3,2,1(v

)13,2,1()1,1,2()3,12,3(PP

r

r

PPr.vr = 0 ⇒ α + 1 + 4α + 9α - 3 = 0 ⇒ 14α - 2 = 0 ⇒ α = 1/7

Recta: 2

1z

1

1y

4

2x)2,1,4(||)7/4,7/2,7/8(PP:Vector

)1,1,2(P:Punto

r −−=+=−

⇒

−−=−

Ejercicio 65 : Halla la recta perpendicular común a las rectas:

r: 2

3z1

1y0x ++++====

−−−−==== s: 3z

11y

11x ====

−−−−++++====

−−−−

Recta r: Pr(0,α+1,2α-3) vr(0,1,2) Recta s: Ps(β+1,- β-1,3β) vs(1,-1,3)


V= vr x vs = )1,2,5(

311

210

kji

−=−−

Pr.Ps paralelo a v: 3/4455

1257

6462

105522

1

323

2

2

5

1 −=β⇒

−=α−β−=α+β

⇒

+α−=+α+β−α−−=+β

⇒−

+α−β=−α−β−=+β

Recta: 1

4z

2

3/1y

5

3/1x

)1,2,5(v:Vector

)4,3/1,3/1(P:Punto s

−+=−=+

⇒

−=−−

Ejercicio 66 : Encuentra la recta que pasa por el punto P(1,0,-1) y corta a las rectas l1 y l2 de

ecuaciones: l1:

====−−−−++++−−−−====−−−−++++

04zyx2

1zy2x3 l2:

++++========

++++====

t1z

ty

t3x

Pasamos l1 a paramétricas:

−α−=α−−=

α=≈

−=+−=++−

≈

−−≈

−−−

97z

55y

x

5yx5

1y2x3z

3150

1231

4121

1231

PPl1 paralelo a PPl2 ⇒ 8/7871t2

87

t

55

t2

1 −=α⇒−α−=−α⇒+

−α−=α−−=+−α

Recta:3

1z̀

1

y

3

1x)3,1,3(||)8/15,8/5,8/15(PP:Vector

)1,0,1(P:Punto

1l

+==−⇒

−−−−

Ejercicio 67 : Comprueba que las rectas: r:

====++++====

====

tz

t5y

1x

s:

====++++−−−−====

++++====

7z

t5y

t37x

se cruzan. Halla la

ecuación de la recta perpendicular a ambas. Comprobar que se cruzan: vr (0,1,1), vs(3,1,0) no son paralelos, se cortan o se cruzan. Resolvemos el

sistema:

=−=−=

⇒

=+−=+

+=

7t

12t

2s

7t

s5t5

s371

Sistema incompatible, no tiene solución. Se cruzan.

Recta perpendicular común: PrPs perpendicular a vr,vs PrPs = (6+3s, -10+s-t, 7-t)

Vector perpendicular a vr y a vs ⇒ v = vr x vs = )3,3,1(

013

110

kji

−−=

PrPs paralelo a v ⇒ 3

t7

3

ts10

1

s36

−−=−+−=

−+

⇒

−=−=

≈

−=−−=+

≈

−=+−+−=−−

2t

1s

9s3t6

11s9t

t321t3s330

t7s918

Recta:3

2z

3

3y

1

1x

)3,3,1(:Vector

)2,3,1(P:Punto r

−+=−=

−−

⇒

−−−


Proyección ortogonal

Ejercicio 68 : Calcula la proyección ortogonal de la recta r:

λλλλ====λλλλ−−−−====

λλλλ−−−−−−−−====

2z

y

1x

sobre el plano ππππ: 2x- 3y +

z + 1 = 0 [1] P = r ∩ π: 2(-1-λ) – 3(-λ) + 2λ + 1 = 0 ⇒ 3λ = 1 ⇒ λ = 1/3 ⇒ P(-4/3, -1/3, 2/3) [2] Q un punto cualquiera de r (distinto de P): Q(-1,0,0)

[3] r’

=−=

+−=⇒

−==−

π tz

t3y

t21x

:'r)1,3,2(nv:Vector

)0,0,1(Q:Punto

'r

[4] Q’ = r’ ∩ π: 2(-1+2t) – 3(-3t) + t + 1 = 0 ⇒ 14t = 1 ⇒ t = 1/14 ⇒ Q’(-12/14,-3/14,1/14)

[5] s es la recta que pasa por P y Q’ ⇒ s:

−−=−−

)5,1,4(||)42/25,42/5,14/20('PQ:Vector

)3/2,3/1,3/4(P:Punto

S:

α−=

α+−=

α+−=

53

2z

3

1y

43

4x

∀α ∈ R

Simétricos Ejercicio 69 : Halla el punto simétrico de P(1,0,1) respecto del plano ππππ: x – y + z = 1

[1] Calcular la recta r:

+=−=

+=⇒

−== π t1z

ty

t1x

:r)1,1,1(nv:Vector

)1,0,1(P:Punto

r

[2] Calcular el punto C = r ∩ π: 1+t –(-t) + 1 + t = 1 ⇒ 3t = -1 ⇒ t = -1/3 ⇒ C(2/3,1/3,2/3)

[3] C es el punto medio de P y P’:

++=

2

1z,

2

y,

2

1x

3

2,

3

1,

3

2⇒ P’

3

1,

3

2,

3

1

Ejercicio 70 : Determina el punto simétrico de A(-3,1,-7) respecto de la recta r:

21z

23y

11x ++++====

−−−−====++++

[1] Calcular el plano π: ⇒

==−−

π )2,2,1(vn:Vector

)7,1,3(A:Punto

r

x + 2y + 2z + D ⇒ -3 + 2 – 14 + D = 0 ⇒

D = 15 ⇒ x + 2y + 2z + 15 = 0 [2] Calcular el punto C = r ∩ π: (t-1) + 2(2t+3) + 2(2t-1) + 15 = 0 ⇒ 9t = -18 ⇒ t = -2 ⇒ C(-3,-1,-5)

[3] C es el punto medio de A y A’: ( )

−−−=−−−2

5z,

2

1y,

2

3x5,1,3 ⇒ A’(-3,-3,-3)

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