rectas planos y superficies

RECTAS, PLANOS Y SUPERFICIES EN EL

ESPACIO

Mtro. Óscar Ruiz Chávez

Universidad Autónoma de Ciudad Juárez

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

1

INDICE

RECTAS, PLANOS Y SUPERFICIES EN EL ESPACIO___________2

RECTAS EN EL ESPACIO________________________________________2

Ecuaciones paramétricas y ecuaciones simétricas de la recta____________2

PLANOS EN EL ESPACIO________________________________________4

Ecuación de un plano___________________________________________4

Ángulo entre dos planos_________________________________________5

Trazado de planos en el espacio__________________________________6

Distancia de un punto a un plano__________________________________8

Distancia de un punto a una recta__________________________________9

SUPERFICIES EN EL ESPACIO___________________________________10

Esferas_____________________________________________________10

Cilindros____________________________________________________11

Superficies cuádricas__________________________________________12

Superficies de revolución_______________________________________17


2

RECTAS, PLANOS Y SUPERFICIES EN EL ESPACIO

RECTAS EN EL ESPACIO.

En el espacio, al igual que en el plano, para expresar la ecuación de una recta es suficiente, ya sea, conocer dos puntos diferentes por los que pase la recta o conocer un punto y su dirección.

En el plano la dirección la dá el ángulo de inclinación de la recta con respecto al eje ‘x’ o su pendiente, que es la razón de cambio de las coordenadas de sus puntos. En el espacio, la dirección la determina un vector.

Ecuaciones paramétricas y ecuaciones simétricas de la recta.Supongamos que conocemos un punto que pertenece a la recta y un

vector paralelo a la recta.

Si tomamos un punto cualquiera de la recta y formamos el vector

que es

paralelo y, por lo tanto, múltiplo escalar del vector de dirección .

de la igualdad de vectores tenemos que:

Que se denominan como las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa

por y es paralela al vector . La variable t es el parámetro,

y conforme t varía el punto Q se mueve sobre la línea. Los coeficientes a, b y c son los números directores ( o de dirección) de la recta.

Si despejamos t en cada una de las ecuaciones paramétricas e igualamos obtendremos las ecuaciones simétricas de la recta:


3

x

z

y

P

Qv

v es el vector de dirección de la recta

Ejemplo: Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas y las ecuaciones

simétricas para la recta que pasa por el punto y es paralela al vector

.

Solución: Tomamos las coordenadas del punto P

y los números de

dirección del vector

Ejemplo: Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas y las ecuaciones

simétricas para la recta que pasa por los puntos y .

Solución:

Como nos dan dos puntos de la recta, con ellos formamos un vector de dirección

y tomando

uno de los puntos (P por ejemplo) tenemos un conjunto de

ecuaciones paramétricas: y las

ecuaciones simétricas .

Si en lugar de tomar el punto P usamos las coordenadas del punto Q tendríamos ecuaciones diferentes:

paramétricas: simétricas .

O, incluso si el vector de dirección fuera el vector obtendríamos otros conjuntos de ecuaciones representando a la misma recta.


4

x

z

y

v

P(1,3,5)

x

z

y

P(-1,5,3)PQ

Q(2,3,6)

paramétricas: simétricas .

PLANOS EN EL ESPACIOCuando empezamos a trabajar en tres dimensiones, el espacio se dividió en ocho octantes por medio de tres planos coordenados: el plano xy, el plano xz y el plano yz. Cada uno de estos planos es perpendicular a uno de los ejes, por ejemplo, el plano xy es perpendicular al eje z. Por lo tanto cualquier vector normal (perpendicular) al plano xy es paralelo al eje z y al vector unitario .

Suponiendo que el vector normal fuera una palanca pegada al plano que tiene que permanecer perpendicular a éste. Si cambiamos la orientación (dirección) del vector cambiaría tambien la orientación del plano.

Ecuación de un planoSuponiendo que conocemos un vector

normal al plano y las

coordenadas de uno de sus puntos , si Si tomamos un punto

cualquiera del plano y formamos el

vector ortogonal al

vector normal .

Como sabemos el producto escalar de dos vectores ortogonales es cero:

ecuación del plano en su forma canónica :

de donde se desprende la forma general de la ecuación del plano:

con .


5

x

z

y

P

n

PQ

Q

x

z

y

j

k

i

Plano yz

plano xz

plano xy

vectores unitarios normales a los planos coordenados

Ejemplo: Encuentre la ecuación general del plano que contiene a P(1,3,-2) y con

un vector normal

Solución: Sustituimos las coordenadas de y los números de dirección

del vector normal en la ecuación .

Ejemplo: Encuentre la ecuación general del plano que contiene a los puntos P(1,2,0), Q(0,3,4) y R(2,0,2).

Solución: Si los puntos dados no son colineales entonces el producto vectorial de dos de los vectores que unen a dichos puntos da como resultado un vector ortogonal a los vectores en el plano y, por lo tanto, normal al plano.

,

La ecuación del plano, tomando el punto P(1,2,0)

Ángulo entre dos planosDos planos no paralelos se intersectarán en una recta formando un ángulo entre ellos. Si tomamos sus vectores normales podemos ver que forman el mismo ángulo que los planos, por lo tanto, si es dicho ángulo, entonces

ó


6

4

2

2 31

2

R

P

Q

PR

PQ

n=PQxPR

El vector normal como el producto cruz de PQ y PR

n2 n1

Ángulo entre 2 planos

n1xn2

y el producto cruz de las normales es un vector paralelo a la recta intersección de los planos.

Ejemplo: Calcule el ángulo entre planos y encuentre un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta intersección.

Plano 1: Plano 2:

Solución: de las ecuaciones de los planos obtenemos los vectores normales

y , con y , sustituyendo en la

fórmula:

los planos son perpendiculares .

Para las ecuaciones de la recta intersección solamente necesitamos encontrar un punto común a los planos, ya que sabemos que el producto cruz de las normales es paralelo a la recta.

El punto común lo hallamos resolviendo el sistema de ecuaciones

de donde tenemos que

y ,

si hacemos que , entonces y .

Con el punto y el vector , las ecuaciones paramétricas de la recta serían:


7

Trazado de planos en el espacio Si queremos dibujar un plano es útil hallar las intersecciones con los ejes coordenados y trazar rectas por esos puntos. Las rectas de intersección con los planos coordenados se denominan trazas. Ejemplo: Dibuje los planos y la recta intersección

Plano 1: Plano 2:

Solución: Para encontrar las intersecciones del plano con cada eje, hacemos que los valores de las otras dos variables sean cero en la ecuación y resolvemos

Plano 1Intersección con: condición ecuación punto Eje ‘x’

Eje ‘y’

Eje ‘z’ Plano 2Intersección con: condición ecuación punto Eje ‘x’

Eje ‘y’

Eje ‘z’

Cuando no aparece alguna de las variables en la ecuación entonces el plano es paralelo al eje de esa variable. Cuando faltan dos variables, es paralelo al plano coordenado de las variables ausentes.

x

y

z

34

2

1

1 2 3 4 51

2

3

45

5

6

6

3y+5z-15=0Plano

Paralelo al eje 'x'

x

y

z

34

2

1

1 2 3 4 51

2

3

45

5

6

6

5x+5z-15=0Plano

Paralelo al eje 'y'

x

y

z

34

2

1

1 2 5431

2

3

45

5

6

6

3y-15=0Plano

Paralelo al plano 'xz'

Plano xz

Cuando no aparece el término independiente ( d = 0 ), el plano corta a los tres ejes en el origen O(0,0,0).


8

x

y

z

34

2

1

1 2 3 4 51

2

3

45

5

6

6

Recta intersección de los planos

x+2y+6z-6=0

5x+3y+5z-15=0

Plano 1

Plano 2

x

y

z

34

2

1

1 2 5431

2

3

45

5

6

6

x+y-z=0Plano

pasa por el origen

6

y=z

x=z

Distancia de un punto a un planoYa analizamos el caso de querer calcular la distancia entre dos puntos en el espacio, pero, ¿qué pasa cuando queremos encontrar la distancia de un punto a un plano o a una recta?

Primero, consideremos un plano y un punto Q que no pertenezca a éste.La distancia D es la longitud del segmento perpendicular al plano (paralelo al vector normal ).

Tomamos un punto cualquiera P del plano y formamos el vector con

como el ángulo entre y .

Donde

La distancia D entre el punto Q y el plano:

Para el plano con y la

distancia entre el punto y el plano está dada por

Ejemplo: ¿Qué tan cerca pasa el plano del origen? ¿A qué distancia del punto Q(1,2,3)?

Solución:


9

P

nQ

PQ

R

DProyn

P Q

De la ecuación del plano obtenemos los valores de a=1, b=2, c=6 y d = - 6. Los sustituimos junto con las coordenadas del punto dado en la fórmula:

del origen.

del punto Q.

Distancia de un punto a una recta

Si tenemos una recta que pasa por el punto P y es paralela al vector ,

la distancia de un punto Q a la recta está dada por .

Con como el ángulo entre los vectores y , tal que

, de donde

y, por lo tanto,

Ejemplo:

Calcule la distancia entre la recta con ecuaciones y el punto Q(2,-1,3)

Solución: un punto de la recta es P(1,3,0) (cuando t=0). El vector y

el vector . El producto cruz de y :

,

,


10

Q

vP

PQD

La distancia del punto a la recta:

SUPERFICIES EN EL ESPACIOLos planos son un tipo de superficie en el espacio. Existen muchos otros tipos de superficies, de las cuales, vamos a estudiar algunas en esta sección.

EsferasUna esfera es el lugar geométrico de todos los puntos en el espacio que se encuentran a una misma distancia de un punto fijo. Ese punto fijo es el centro de

la esfera y la distancia el radio r.

Si tomamos un punto cualquiera de la esfera y consideramos que la

distancia a C es igual a r, entonces .

Ecuación canónica de la esfera:

Desarrollando obtenemos la ecuación general de una esfera

Ejemplo: Encuentre la ecuación de la esfera con centro en el origen y radio r = 3.

Solución: Sustituimos las coordenadas del centro y el

radio: de donde obtenemos

la ecuación:

Esfera creada en Derive


11

y

z

x

3 4

-1

12

Q

P

Ejemplo: Encuentre las coordenadas del centro y la longitud del radio de la esfera con ecuación

Solución: De la ecuación general obtenemos la forma canónica reordenando términos y completando trinomios cuadrados perfectos.

De donde obtenemos las coordenadas del centro y el radio

Esfera creada en Mathematica

CilindrosRegularmente, cuando pensamos en un cilindro nos viene a la mente la figura del cilindro circular recto, como el que se muestra en la figura.

Para obtener esta superficie imaginemos que dibujamos un círculo en un plano y hacemos pasar rectas perpendiculares al plano por cada uno de los puntos de la circunferencia.

Ahora, si tomamos una curva cualquiera C en el plano y una recta L no paralela al mismo plano y hacemos pasar rectas paralelas a L por cada punto de la curva C, entonces la superficie que obtendremos es un cilindro. La curva C se denomina curva directriz del cilindro y las líneas paralelas a la recta L se conocen como rectas generatrices.

Si el plano que contiene a la curva C es alguno de los planos coordenados y las rectas generatrices son perpendiculares a éste, entonces la ecuación del cilindro es una expresión que contiene solamente las variables de dicho plano.

Por ejemplo, la gráfica de la ecuación es una parábola en el plano xz. En el espacio

representa a la superficie que se

muestra en la figura.

En el plano yz.

En el espacio es un cilindro


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-7.5-5

-2.5

0

0

2.5

57.5

-2.5

0

2.5

5

-7.5-5

-2.5

0

0

2.5

57.5

-4-2

0

2

4

-5

-2.5

0

2.5

5

-2

0

2

-4-2

0

2

4

-5

-2.5

0

2.5

5

curvadirectriz C

Recta LRectas generatrices

Otro ejemplo de un cilindro es la ecuación en el plano yz es una curva senoidal y en el espacio es la superficie mostrada.

¿Cómo será la superficie con ecuación ?

Su traza (intersección de la superficie con el plano) en el plano xy es una hipérbola.

Superficies cuádricasLa ecuación de una superficie cuádrica en el espacio es la ecuación de segundo grado de tres variables

Para dibujar una superficie es útil determinar sus trazas con los planos coordenados y con algunos otros planos paralelos.

Elipsoide

La forma canónica de la ecuación de un elipsoide es con centro

en el origen O(0,0,0) y a,b,c como las longitudes de los semiejes en la dirección de x,y,z respectivamente.

Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación

Trazas con los planos coordenados.

Plano xy ( z = 0). Plano xz ( y = 0). Plano yz ( x = 0) .

Elipse Elipse Elipse

traza con el plano xy traza con el plano


13-2

0

2-2

-1

0

1

2-1-0.5

00.51

-2

0

2

Elipsoide

Hiperboloide de una hoja

La forma canónica de la ecuación del hiperbolide de una hoja es

(uno de los coeficientes de los términos cuadráticos es negativo, el eje es el de la variable del término negativo).


Trazas con los planos coordenados.Plano xy ( z = 0). Plano xz ( y = 0). Plano yz ( x = 0).

Elipse Hipérbola Hipérbola

traza con el plano xy traza con el plano xz traza con el plano yz

Hiperboloide de una hoja

Hiperboloide de dos hojas

La forma canónica de la ecuación del hiperbolide de una hoja es

(uno de los coeficientes de los términos cuadráticos es positivo, el eje es el de la variable del término positivo y no hay traza en el plano perpendicular al eje).




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Hipérbola Hipérbola

No hay traza

traza con el plano xz

traza con el plano yz

Hiperboloide de dos hojas

Cono elípticoLa ecuación canónica del cono elíptico es parecida a la del hiperboloide solo que se iguala a cero en vez de igualar a uno.

Ecuación de un cono elíptico (uno de los coeficientes de los

términos cuadráticos es de signo diferente a los otros dos, el eje es el de la variable de signo diferente).



es el punto (0,0) son las rectas son las rectas



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Cono elíptico

Paraboloide elípticoLa ecuación canónica del paraboloide elíptico solo tiene términos cuadráticos en dos de sus variables y de la tercera solo término lineal.

Ecuación de un paraboloide elíptico (los coeficientes de los términos

cuadráticos son del mismo signo, el eje del paraboloide es el de la variable sin término cuadrático).



Parábola Parábola

es el punto (0,0)


Paraboloide elípticoParaboloide hiperbólicoLa ecuación canónica del paraboloide hiperbólico, al igual que la superficie anterior, solo tiene términos cuadráticos en dos de sus variables y de la tercera solo término lineal.


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Ecuación de un paraboloide hiperbólico (los coeficientes de los

términos cuadráticos son de signo contrario, el eje del paraboloide es el de la variable sin término cuadrático).



Parábola Parábola

rectas

traza con el plano xy traza con el plano xz

traza con el plano yz

curvas de nivel

En ocaciones no basta con conocer las trazas con los planos coordenados para imaginarse a la superficie y será necesario utilizar otros planos paralelos a alguno de los planos coordenados para realizar cortes a la superficie y dibujar esas trazas. Por ejemplo, con planos paralelos al xy, dando diferentes valores a la variable z, obtendremos las curvas de intersección con los planos a diferentes alturas. Estas gráficas se denominan curvas de nivel ( son todos los puntos que se encuentran a la misma altura con respecto al plano xy ).

En topografía esas curvas de nivel se conocen como mapas de contorno, en metereología se usan para determinar zonas de temperaturas ( cada curva es una isoterma-“misma temperatura” ) ó zonas de presión ( isobaras ).

Para la superficie ya obtuvimos las trazas con los planos

coordenados las cuales no nos dan mucha información. Ahora probemos con algunas curvas de nivel.

Planos paralelos al xy ecuación de la curva tipo de curva


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hipérbola

hipérbola

hipérbola

rectas

hipérbola

hipérbola

hipérbola

-3 -2 -1 0 1 2 3-2

-1

0

1

2

Cortes con planos z=1, z=-2 Curvas de nivel Paraboloide hiperbólico

Superficies de revoluciónYa vimos que un cilindro circular recto se forma cuando hacemos girar, por un círculo, a una recta perpendicular al plano que contiene a ese círculo. Existe un eje central paralelo a la recta generatriz y, por lo tanto, a la superficie.

¿Que pasaría si , en lugar de una recta, lo que se moviera alrededor del eje fuera cualquier curva? Lo que obtenemos se denomina una superficie de revolución.

Por ejemplo, si tenemos una curva C, definida por una función que determine la distancia de sus puntos a alguno de los ejes coordenados. Digamos,

, para una curva en el plano xy. Cuando hacemos girar la curva alrededor del eje x nos genera la superficie de revolución.

C es la curva generatriz de la superficie de revolución Paraboloide circular


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es la función radio de los círculos paralelos al plano yz que se forman al girar todos los puntos de C alrededor del eje x. Para cada valor xo de x

obtendremos un círculo de radio con ecuación . Si

hacemos que x pueda tomar cualquier valor del dominio de entonces la

ecuación de la superficie de revolución es .

En el ejemplo, la función radio es , la ecuación de la superficie es

ecuación de un paraboloide.

Ecuación de la superficie de revolución

Si el eje de giro es alguno de los ejes coordenados, la ecuación toma la forma:

Alrededor del eje x:

Alrededor del eje y:

Alrededor del eje z:

Ejemplo: Hallar la ecuación de la superficie que se genera al girar la gráfica de alrededor del eje z. Bosqueje su gráfica

Solución: La curva C está en el plano xz y gira alrededor del eje z, debemos obtener una función radio despejando la variable x, tenemos

para la ecuación de la superficie tomamos la tercera opción (alrededor de z)

Elipsoide


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Ejemplo: Hallar la ecuación de la superficie que se genera al girar la gráfica de alrededor del eje y. Bosqueje su gráfica

Solución: La curva C está en el plano yz y gira alrededor del eje y, debemos obtener una función radio despejando la variable z, tenemos

,

Alrededor del eje y:


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rectas planos y superficies

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