VECTORESUn vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).ELEMENTOS DE UN VECTORDireccin de un vector: es la direccin de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.Sentido de un vector: El sentido del vector es el que va desde el origen A al extremo B.Mdulo de un vector: El mdulo del vector es la longitud del segmento AB, se representa por .El mdulo de un vector es un nmero siempre positivo o cero.

COORDENADAS DE UN VECTORSi las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:

Las coordenadas del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

MDULO DE UN VECTOR A PARTIR DE SUS COMPONENTES

EJEMPLO MDULO A PARTIR DE LAS COORDENADAS DE DOS PUNTOS

EJEMPLO

CLASES DE VECTORESVECTORES EQUIPOLENTES: Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual mdulo, direccin y sentido.VECTORES LIBRES: El conjunto de todos los vectores equipolentes entre s se llama vector libre. Es decir los vectores libres tienen el mismo mdulo, direccin y sentido.

VECTORES FIJOS: Un vector fijo es un representante del vector libre. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo mdulo, direccin, sentido y origen.

VECTORES LIGADOS: Los vectores ligados son vectores equipolentes que actan en la misma recta. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo mdulo, direccin, sentido y se encuentran en la misma recta.

VECTORES OPUESTOS: Los vectores opuestos tienen el mismo mdulo, direccin, y distinto sentido.

VECTORES UNITARIOS: Los vectores unitarios tienen de mdulo la unidad.Para obtener un vector unitario, de la misma direccin y sentido que el vector dado se divide ste por su mdulo.

VECTORES CONCURRENTES: Los vectores concurrentes tienen el mismo origen.

VECTOR DE POSICIN: El vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posicin del punto P.

VECTORES ORTOGONALES: Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto escalar es cero.

VECTORES ORTONORMALESDos vectores son ortonormales si:1. Su producto escalar es cero.2. Los dos vectores son unitarios.

OPERACIONES CON VECTORESSuma de vectoresPara sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector. Regla del paralelogramo Se toman como representantes dos vectores con el origen en comn, se trazan rectas paralelas a los vectores obtenindose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

Resta de vectoresPara restar dos vectores libres y se suma con el opuesto de .

EJEMPLO - Producto de un nmero por un vectorEl producto de un nmero por un vector es otro vector:De igual direccin que el vector .Del mismo sentido que el vector si es positivo.De sentido contrario del vector si es negativo.De mdulo Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por las componentes del vector.

EJEMPLO

APLICACIONES DE VECTORESCoordenadas del punto medio de un segmentoLas coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de los extremos.

EJEMPLO - Hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB.

Condicin para qu tres puntos estn alineadosLos puntos A (x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) estn alineados siempre que los vectores y tengan la misma direccin. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales.

EJEMPLO - Calcular el valor de a para que los puntos estn alineados.

Simtrico de un punto respecto de otroSi A' es el simtrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del segmento AA'. Por lo que se verificar igualdad:

Ejemplo - Hallar el simtrico del punto A(7,4) respecto de M(3,-11).

PRODUCTO ESCALAREl producto escalar de dos vectores es un nmero real que resulta al multiplicar el producto de sus mdulos por el coseno del ngulo que forman.

EJEMPLO

Expresin analtica del producto escalar

EJEMPLO

Expresin analtica del mdulo de un vector

EJEMPLO

Expresin analtica del ngulo de dos vectores

EJEMPLO

Condicin analtica de la ortogonalidad de dos vectores

EJEMPLO

NO son perpendicularesInterpretacin geomtrica del producto escalarEl producto de dos vectores no nulos es igual al mdulo de uno de ellos por la proyeccin del otro sobre l.

Propiedades del producto escalar1. Conmutativa 2. Asociativa 3. Distributiva 4. El producto escalar de un vector no nulo por s mismo siempre es positivo.

LA RECTAECUACIN VECTORIAL DE LA RECTADefinimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una direccin dada .Si P(x1,y1) es un punto de la recta r, el vector tiene igual direccin que , luego es igual a multiplicado por un escalar:

EJEMPLO - Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuacin vectorial.

ECUACIONES PARAMTRICAS DE LA RECTAA partir de la ecuacin vectorial:

Realizando las operaciones indicadas se obtiene:

Igualando componente a componente, obtenemos las ecuaciones paramtricas de la recta:

EJEMPLO - Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir sus ecuaciones paramtricas.

ECUACIN CONTINUA DE LA RECTASi de las ecuaciones paramtricas despejamos el parmetro .

Y si igualamos, obtenemos la ecuacin continua de la recta:

EJEMPLO - Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuacin continua.

ECUACIN PUNTO-PENDIENTE DE LA RECTAPendiente - la pendiente de una recta es la tangente del ngulo que forma la recta con la direccin positiva del eje OX.Pendiente dado el ngulo

Pendiente dado el vector director de la recta

Si el ngulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ngulo.

Si el ngulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso, la pendiente es negativa y decrece al crecer el ngulo.

Ecuacin punto-pendientePartiendo de la ecuacin continua de la recta

Y quitando denominadores:

Y despejando:

Como

Se obtiene la ecuacin punto-pendiente:

EJEMPLOS - Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director =(2,5). Escribir su ecuacin punto pendiente.

Hallar la ecuacin de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4,2).

Hallar la ecuacin de la recta que pasan por A(-2, -3) y tenga una inclinacin de 45.

ECUACIN GENERAL DE LA RECTAPartiendo de la ecuacin contina de la recta

Y quitando denominadores se obtiene:

Trasponiendo trminos:

Haciendo

Se obtiene la ecuacin general de la recta

Esta expresin recibe el nombre de ecuacin general o implicita de la recta. De esta forma se acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuacin de una recta.A partir de esta ecuacin, podemos obtener los siguientes datos:Las componentes del vector director

La pendiente de la recta

EJEMPLOS - Hallar la ecuacin de la que pasa por A (1,5) y tiene como vector director igual a (-2, 1).

Hallar la ecuacin de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m = -2.

ECUACIN DE LA RECTA EN FORMA EXPLCITASe puede hallar de dos maneras1. Si en la ecuacin general de la recta:

despejamos y, se obtiene la ecuacin explcita de la recta:

Si en la ecuacin punto-pendiente:

sustituimos el punto (x1,y1) por la ordenada en el origen

El coeficiente de la x es la pendiente, m.El trmino independiente, b, se llama ordenada en el origen de la recta, siendo (0,b) el punto de corte con el eje OYEJEMPLO - Hallar la ecuacin en forma explcita de la recta que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2.

ECUACIN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOSSean los puntos A (x1, y 1) y B (x2, y 2) que determina una recta r. Un vector director de la recta es:

cuyas componentes son:

Sustituyendo estos valores en la forma continua podemos hallar la recta que pasa por dos puntos.

EJEMPLO - Hallar la ecuacin de la recta que pasa por A(1,3) y B(2,-5)

NGULO QUE FORMAN DOS RECTASSe llama ngulo de dos rectas al menor de los ngulos que forman stas. Se pueden obtener a partir de:1 Sus vectores directores

2 Sus pendientes

EJEMPLOS - Calcular el ngulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus vectores directores son: = (-2, 1) y =(2, -3).

Dadas las rectas r 3x + y - 1 = 0 y s 2x + my - 8 = 0, determinar m para que formen un ngulo de 45.

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARESRectas paralelasDos rectas son paralelas si tienen el mismo vector director o la misma pendiente.

Rectas perpendicularesSi dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo.

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares.

Hallar una recta paralela y otra perpendicular a r x + 2 y + 3 = 0, que pasen por el punto A(3,5).

Calcula k para que las rectas r x + 2y - 3 = 0 y s x - ky + 4 = 0, sean paralelas y perpendiculares.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTASDadas dos rectas, Ax + By + C = 0, A'x + B'y + C' = 0, para calcular su posicin relativa tendremos en cuenta que::1 Si , las rectas son secantes, se cortan en un punto.

2 Si , las rectas paralelas, no se cortan en ningn punto.

3 Si , las rectas son coincidentes, todos sus puntos son comunes.

EjemplosEstudia las posiciones relativas de los siguientes pares de rectas:

Son secantes las rectas r x +y -2 = 0 y s x - 2 y + 4 = 0? En caso afirmativo calcular el punto de corte.

DISTANCIASDistancia de un punto a una rectaLa distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde el punto.

EjemploCalcula la distancia del punto P(2,- 1) a la recta r de ecuacin 3 x + 4 y = 0.

Distancia al origen de coordenadas

EjemploHallar la distancia al origen de la recta r 3x - 4y - 25 = 0.

Distancia entre rectasPara hallar la distancia entre dos en rectas paralelas, se toma un punto cualquiera, P, de una de ellas y calcular su distancia a la otra recta.

EjemploHallar la distancia entre r 3 x - 4 y + 4 = 0 y s 9 x - 12 y - 4 = 0.

Otra manera de expresar la distancia entre dos rectas es:

EjemploHallar la distancia entre las rectas:

EJERCICIOSEscribe de todas las formas posibles la ecuacin de la recta que pasa por los puntos A(1,2) y B(-2,5).De un paralelogramo ABCD conocemos A(1, 3), B(5, 1), C(-2, 0). Halla las coordenadas del vrtice D. solucin: (-6,2)Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x + 2y - 7 = 0.Estudiar la posicin relativa de las rectas de ecuaciones:2x + 3y - 4 =0 / 4x + 6 y - 8 = 0x - 2y + 1= 0 / 2x - 4y - 6 = 0La recta r = 3x + ny - 7 = 0 pasa por el punto A(3,2) y es paralela a la recta s = mx + 2y -13 = 0. Calcula m y n. solucin: n=-1, m=-6Calcular la ecuacin de la recta perpendicular a r 8x - y - 1 = 0 y pasa por el punto P(-3, 2)solucin: x+8y-13=0