unidad didÁctica vectores en el plano
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Universidad de Los AndesFacultad de Humanidades y EducaciónEscuela de EducaciónDepartamento de Medición y EvaluaciónCátedra: Álgebra IProfesor: Francisco Rivero.
UNIDAD DIDÁCTICA:UNIDAD DIDÁCTICA:VECTORES EN EL PLANO.VECTORES EN EL PLANO.
MATEMÁTICAS 4º AÑO
Bachiller: Dugarte R. Jessica D. C.I V – 18.209.101
Educación mención Matemática.
Mérida, marzo de 2011.
ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN......................................................................................................................2
2. OBJETIVOS..............................................................................................................................2
3. CONTENIDOS..........................................................................................................................3
4. DISTRIBUCIÓN TEMPORAL...................................................................................................3
5. METODOLOGÍA Y ACTIVIDADES...........................................................................................4
6. EVALUACIÓN...........................................................................................................................8
7. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD EN EL AULA..........................................................................9
9. INTERDISCIPLIANARIEDAD...................................................................................................9
ANEXO: HOJAS DE ACTIVIDADES..........................................................................................10
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1. INTRODUCCIÓN.
Vectores tema relevante en el área de álgebra, geometría y las matemáticas.
Los contenidos que trataremos son fundamentales sobre todo en vistas a su aplicación
en el bachillerato tanto para las Matemáticas, Álgebra como para el estudio de la Física o el
Dibujo técnico y la Tecnología.
Creo conveniente insistir en las operaciones con vectores a partir de las operaciones con
números vistas anteriormente. Por otra parte, es importante desarrollar aspectos gráficos de los
vectores como base para el estudio de la recta.
Aportaremos, con esta unidad a los objetivos propios de la etapa de 4° año, las
capacidades relativas al uso de códigos y símbolos necesarios para organizar y transmitir
información. Desarrollaremos capacidades relacionadas con la resolución de problemas y los
hábitos de trabajo.
En cuanto a los objetivos generales del área de Matemáticas contribuiremos al correcto
desarrollo del lenguaje matemático además de las capacidades relativas a la resolución de
problemas y la utilización de las nuevas tecnologías.
Concretaremos a continuación los objetivos de aprendizaje de esta unidad.
2. OBJETIVOS.
Los objetivos de esta unidad son:
1. Manejar los vectores con soltura y operar con ellos gráficamente y en coordenadas.
2. Utilizar los vectores para resolver problemas de álgebra y geometría analítica.
3. Utilizar los medios tecnológicos para resolver y comprobar soluciones en problemas
algebraicos y geométricos.
3. CONTENIDOS.
CONCEPTOS
1. Vectores fijos y libres. Equipolencia de vectores fijos.
2. Vector de posición de un punto del plano.
3. Módulo de un vector. Distancia entre dos puntos.
4. Adición de vectores.
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5. Producto de un vector por un número real.
6. Problemas métricos. Punto medio de un segmento.
7. Vectores paralelos y perpendiculares.
PROCEDIMIENTOS
1. Construcción de vectores que verifiquen ciertas condiciones sobre su módulo, dirección y
sentido.
2. Obtención de las coordenadas de un vector como diferencia entre las coordenadas del
extremo menos las del origen.
3. Identificación de vectores fijos equipolentes.
4. Obtención de la expresión del módulo de un vector y aplicación al cálculo de la distancia
entre dos puntos.
5. Uso de las operaciones con vectores para obtener nuevos vectores, representando
gráficamente y calculando sus coordenadas.
6. Relación entre las coordenadas de un vector y otro perpendicular a él a partir de sus
coordenadas.
7. Determinación de las coordenadas del punto medio de un segmento, en función de las
coordenadas de los puntos extremo y origen.
8. Formulación, planteamiento y resolución de problemas algebraicos y geométricos.
4. DISTRIBUCIÓN TEMPORAL.
Esta unidad didáctica está pensada para ser impartida en 6 sesiones más un examen,
dependiendo del nivel medio de la clase y de la programación del Docente. En todas las
sesiones se realizarán ejercicios de arrastre de los contenidos anteriores. El detalle de cada
sesión lo veremos en el siguiente apartado.
5.METODOLOGÍA Y ACTIVIDADES.
La metodología se va observando a través del avance en cada una de las actividades,
pasaremos directamente a ver el detalle de las sesiones.
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Sesión 1: Vectores fijos. Vector de posición de un punto del plano. Equipolencia de
vectores fijos. Vectores libres.
Comenzamos la sesión planteando una actividad de introducción. Dibujaremos en la
pizarra el trazado de un circuito y propondremos a los estudiantes que dibujen la trayectoria
que les parece más beneficiosa para ganar la carrera.
Deberán tener en cuenta que la mejor vuelta no la da siempre el piloto que lleva el mejor
coche sino que depende en gran medida de la trazada que lleve en las curvas, si entra bien en
ellas o no, si la velocidad es adecuada en cada momento, etc. Así observaremos que la
velocidad es una magnitud vectorial. Esto significa que no sólo depende del valor numérico
sino que para estar bien definida es necesario conocer además la dirección y el sentido que
lleva.
A partir de esta idea podemos definir los vectores fijos, indicando que se representan
mediante una flecha que tienen un punto inicial (origen) y otro final (extremo) de modo que
representan un movimiento. Así el vector A⃗B representa el movimiento desde el punto A
hasta el punto B.
A B
Y estará caracterizado por el módulo: longitud,
la dirección: la recta que define
y el sentido: en que la recorre.
Trataremos que los estudiantes conozcan tanto la nomenclatura asociada a los vectores
como la notación y simbología adecuada. Por tanto insistiremos en que los vectores se
representan v⃗ (con letra minúscula y flecha encima) pero también A⃗B representa un vector en
este caso el que va del punto A al punto B.
Como caso particular nombraremos el vector de posición de un punto que va desde el
origen de coordenadas al punto y las coordenadas del punto y las componentes del vector de
posición asociado coinciden (pues nuestra referencia para el origen es O (0, 0).
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De esta forma introduciremos el cálculo de
vectores en coordenadas, indicando que se
obtienen como la diferencia de las
coordenadas de su extremo menos las de
su origen A⃗B = O⃗B−O⃗A .
A⃗B
A B
Haremos un ejemplo con números suponiendo que el origen del vector es A (1,2) y B (3, 4)
A⃗B= (2, 2) y B⃗A = (-2, -2)
Definiremos la equipolencia de vectores cuando tienen el mismo módulo, dirección y
sentido. Llamaremos vector libre (o simplemente vector) al conjunto de todos los vectores fijos
equipolentes; es decir, a todos los que tienen el mismo módulo, dirección y sentido.
Así, dados los puntos C (1,1) y D (3,3) determinan el vector C⃗D= (2, 2) que es
equipolente al vector A⃗B , es decir representan el mismo vector libre pero como vectores fijos
son diferentes pues ocupan posiciones distintas en el plano. En general trabajaremos con
vectores libres tomando como representante aquel vector fijo que nos interese sin entrar en
detalles, pero es importante matizar esta diferencia.
Dedicaremos el resto de la sesión a plantear y resolver actividades del tipo de la hoja 1 y
propondremos, para casa actividades del mismo tipo.
En esta sesión habremos trabajado:
Objetivos: 1,2
Contenidos: Conceptos 1, 2 Procedimientos 1, 2, 3 Actitudes todas
Sesión 2: Módulo de un vector. Distancia entre dos puntos.
Comenzamos la sesión resolviendo dudas y revisando y corrigiendo las actividades
propuestas el día anterior.
La parte central de la sesión la dedicaremos a deducir, mediante el Teorema de
Pitágoras, la fórmula de cálculo del módulo de un vector, observaremos que entre las
coordenadas del vector y el mismo se forma un triángulo rectángulo. Haremos ejemplos de
este tipo si A⃗B= (2, 2) |⃗AB|=√22+22=√8=2√2
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Aplicaremos la definición de módulo para deducir la forma de calcular la distancia entre
dos puntos del plano, por ejemplo si A (1,2) y B (3, 4) A⃗B= (2,2)
|⃗AB|=√22+22=√8=2√2En el resto de la sesión haremos actividades del tipo de la hoja 2 y propondremos, para
casa actividades del mismo tipo.
En esta sesión habremos trabajado:
Objetivos: 1,2
Contenidos: Conceptos 3 Procedimientos 4, 8 Actitudes todas
Sesión 3: Operaciones con vectores
Comenzamos la sesión resolviendo dudas y revisando y corrigiendo las actividades
propuestas el día anterior.
Dedicaremos esta sesión al estudio de las operaciones con vectores.
Comenzaremos con el producto de vectores por un número. Observaremos qué ocurre
si consideramos un vector v⃗ y lo multiplicamos por dos, es decir, hacemos el doble, se
representará 2 · v⃗ y gráficamente equivaldrá a
v⃗
2·v⃗
Deduciremos que, en general, si k∈ℜ , se puede formar k· v⃗ que es otro vector con la
misma dirección y {k>0→mismo sentido ¿ ¿¿¿
. En cuanto a su módulo será igual al valor absoluto
de k por el módulo de v⃗ , es decir, |k· v⃗|=|k|·|v⃗|Definiremos también la suma de dos vectores v⃗+ w⃗ indicando que geométricamente
significa hacer un movimiento, v⃗ , y después el otro, w⃗ , así el resultado irá desde el origen del
primer vector al extremo del segundo. Analíticamente se suman las coordenadas
correspondientes. Por ejemplo si v⃗= (3, 1) y w⃗ = (1,-2) v⃗+ w⃗ = (4, -1)
Para introducir la resta de vectores analizaremos el vector opuesto, - v⃗ , que es
equivalente a (-1) · v⃗ y lo usaremos para definir la resta de vectores gráficamente.
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En general definiremos la resta de vectores coordenada a coordenada de forma análoga
a la suma, así v⃗−w⃗=(3,1 )− (1 ,−2 )=(3−1,1−(−2 ) )=(2,3 )
Haremos actividades del tipo de la hoja 4 y propondremos, para casa actividades del
mismo tipo. En esta sesión habremos trabajado:
Objetivos: 1,2
Contenidos: Conceptos 4, 5 Procedimientos 5, 8 Actitudes todas
Sesión 4: Aplicaciones
Comenzamos la sesión resolviendo dudas y revisando y corrigiendo las actividades
propuestas el día anterior.
Dedicaremos el resto de la sesión a plantear y resolver problemas relacionados con el
punto medio de un segmento, puntos intermedios, determinar cuándo tres o más puntos están
alineados, etc.
También deduciremos gráficamente cuando dos vectores son perpendiculares, como
aplicación del teorema de Pitágoras y como consecuencia de la resta de vectores.
Estableceremos la relación entre sus componentes de forma que si v⃗=( a ,b ) v⃗¿=(−b ,a )Pondremos algún ejemplo con números y en el tiempo restante haremos actividades del
tipo de la hoja 4 y propondremos, para casa actividades del mismo tipo.
En esta sesión habremos trabajado:
Objetivos: 1,2
Contenidos: Conceptos 6, 7 Procedimientos 6, 7,8 Actitudes todas
Sesión 5: Repaso
Comenzaremos con la revisión y corrección de las actividades propuestas en la sesión
anterior y resolviendo dudas.
En atención a la diversidad en el aula o salón de clases propondremos actividades de
ampliación y de refuerzo. Además esta sesión servirá de síntesis por lo que se revisarán todos
los contenidos tratados en la unidad.
En esta sesión trataremos todos los objetivos y contenidos. Además nos servirá para organizar
la sesión siguiente que se llevará a cabo en el aula de informática del centro.
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Sesión 6: CABRI/DERIVE
En esta sesión haremos uso de las tecnologías de la información y la comunicación
desarrollando una sesión interactiva en la que se refuercen y repasen los contenidos tratados
en la unidad. Tendremos en cuenta la sesión de repaso para insistir en los contenidos en que
hayamos observado que los estudiantes tienen más dudas y profundizaremos en aquellos que
nos lo permitan. Para ello usaremos Internet visitando la página del Proyecto Descartes,
buscando el índice de unidades didácticas de secundaria y haciendo clic en Vectores nos
aparecerá un índice con diferentes actividades para trabajar los conceptos de esta unidad.
Con el software geométrico Cabri-Geómetre haremos actividades del tipo de la hoja 5.
Objetivos: todos
Contenidos: Conceptos todos Procedimientos todos Actitudes todas
Sesión 7: Examen
Realizaremos una prueba escrita para poder determinar de forma objetiva la adquisición de los
contenidos tratados en esta unidad.
En resumen, la relación de cada una de las sesiones con los objetivos y los tres tipos de
contenidos quedan recogidas en la tabla siguiente:
SESIÓN OBJETIVOSCONTENIDOS
CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES
1 1, 2 1,2 1,2,3,8 TODAS
2 1,2 3 4,8 TODAS
3 1, 2 4,5 5,8 TODAS
4 1, 2 6,7 6,7,8 TODAS
5: REPASO 1, 2 TODOS TODOS TODAS
6: CABRI TODOS TODOS TODOS TODAS
6. EVALUACIÓN.
Para la evaluación del proceso de aprendizaje de los estudiantes tendremos en cuenta: por un
lado los conocimientos previos del estudiante y por otro los criterios de evaluación.
En esta unidad didáctica se desarrolla cierto criterio de evaluación que se concreta en los
siguientes criterios de evaluación para la unidad:
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1. Determinar las coordenadas del vector resultante de unas operaciones.
2. Aplicar propiedades de los vectores.
3. Resolver problemas algebraicos y geométricos en los que intervengan vectores.
Respecto a los OBJETIVOS MÍNIMOS, Todos los estudiantes al finalizar esta unidad
deberán ser capaces de:
1.- Dominar el concepto de vector y sus propiedades.
2.- Aplicar correctamente las operaciones con vectores.
3.- Resolver problemas sencillos relacionados con vectores.
7. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD EN EL AULA.
Siempre que sea necesario se recordarán los conceptos previos relacionados con los
que se van a tratar de modo que los estudiantes con un aprendizaje más lento se puedan
enganchar lo mejor posible al ritmo de la clase. Además se les puede proporcionar unas
actividades de refuerzo de este tipo (Actividades de Refuerzo). Respecto a los estudiantes más
aventajados o con un aprendizaje más rápido podemos proponerles actividades de ampliación
de este tipo (Actividades de Ampliación), proponerles tareas de investigación como un estudio
más profundo de la perpendicularidad de vectores, o participación en concursos.
8. INTERDISCIPLIANARIEDAD.
Por último destacar la aplicación de los contenidos de esta unidad tanto a unidades de
Geometría que se tratarán con esta programación como a unidades de Análisis y Álgebra.
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ANEXO: HOJAS DE ACTIVIDADES.
HOJA 1
1.- Dibuja dos vectores que tengan el origen común, la misma dirección, el módulo de uno sea
doble que el del otro y sus sentidos sean opuestos.
2.- Los vectores de posición de los puntos A y B son, respectivamente: 0⃗ A=(2 ,−3 ) y
0⃗B=(−4,5 ) . Halla las coordenadas del vector A⃗B
3.- Escribe las coordenadas de los vectores del siguiente diagrama.
4.- Dibuja en tu cuaderno los siguientes vectores: a⃗=(2,1 ) , b⃗=(−1,3 ) , c⃗= (0,2 ) y d⃗= (−3,0 ) .
5.- El triángulo de vértices A (3, 3), B (1, 6) y C
(6, 2) se traslada mediante el vector u⃗ de la
figura. Halla las coordenadas de los vértices
del triángulo trasladado A’B’C’.
6.- Dado el vector libre v⃗=( 23 ,−1) hallar el origen de los representantes del mismo en los casos
en que el extremo sea: a) M (-1, -5) b) N(-3, 2)
7.- Dibuja dos vectores que sean equipolentes.
8.- Sean ABCDEF los vértices de un hexágono regular.
¿Son equipolentes entre sí los vectores F⃗E y B⃗C ?
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HOJA 2
1.- Calcula el módulo de los siguientes vectores: a⃗=(2,1 ) , b⃗=(−1,3 ) , c⃗= (0,2 ) y d⃗= (−3,0 ) .
2.- Comprueba que los vectores A⃗B y C⃗D tienen el mismo módulo, siendo A (2, 1), B (4, 2), C
(0, – 4) y D (–1, – 2).
3.- Halla el valor de m para que el módulo del vector A⃗B sea igual a 10, sabiendo que
A (– 4, –8) y B (2, m).
4.- Halla la distancia entre los puntos P (2, 9) y Q (8, 1).
5.- Calcula el perímetro de un triángulo de vértices A (1, 2), B (1, 5) y C (4, 2).
6.- Si los puntos A (2, 10), B (3, 2) y C (6,4) son los vértices de un rectángulo ¿Puedes
determinar las coordenadas del vértice D?
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HOJA 3
1.- Representa en tu cuaderno los vectores a⃗ + b⃗ , 2a⃗ , a⃗ – b⃗ y –3 b⃗ . Calcula sus
coordenadas.
2.- Tomando como referencia la figura siguiente, calcula:
PB2)d
ABPD)c
ABAD)b
CBDC)a
3.- Dados los vectores: a⃗=(2,1 ) , b⃗=(−1,3 ) , c⃗= (0,2 ) . Calcula las coordenadas de los vectores:
a) a⃗ + b⃗
b) 5·c⃗
c) a⃗ – b⃗
d) 2a⃗ – 3·b⃗ + c⃗
4.- Dados los vectores a⃗=(2 ,−3 ) , b⃗=(1,2 ) calcula las coordenadas del vector x⃗ que verifica la
relación siguiente 2 a⃗−3 x⃗=4 b⃗ .
5.- Dados los vectores a⃗=(2 ,−3 ) , b⃗=(1,2 ) , c⃗= (−3,5 ) . Calcula el valor de un número x que
verifique que 2 a⃗+x b⃗= c⃗ .
6.- Un avión vuela en dirección norte con una velocidad respecto al aire de 800 km/h. Mientras
vuela hay una corriente hacia el Este de 200 Km/h originada por un fuerte viento. Halla
gráficamente la dirección del movimiento del avión con respecto al suelo y calcula la velocidad
del avión.
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HOJA 4
1.- Dado el segmento de extremos P ( 4,3) y Q (2, 5) halla las coordenadas de su punto
medio.
2.- El punto P (2, 3) es el punto medio del segmento AB, y conocemos A (1, 8). Halla B.
3.- Dado el segmento de extremos A (2, 5) y B (7, 9), halla las coordenadas de un punto P, tal
que A⃗P=5
2A⃗B
.
4.- Dado el segmento determinado los puntos P (6, 8) y R (x, y) sabemos que el punto Q (9, 2)
está situado a una distancia de P igual a las tres séptimas partes de la longitud del segmento
total, hallar las coordenadas de R.
5.- Se quiere construir un supermercado entre dos ciudades A y B. Lo ideal sería que estuviese
a la misma distancia de las dos ciudades para que ningún ciudadano se pudiera ofender y
asegurarse así, el favor de todos los vecinos. Si en un plano las coordenadas de las ciudades
son A (1, –2) y B (3, 7). ¿Podrías decir el punto exacto donde debe situarse el supermercado?
6.- Los puntos del plano A (1, 2), B (1, 5) y C (4, 2), ¿Forman un triángulo? ¿De qué tipo es?
7.- Los puntos A (– 1, –4), B (3, 1) y C (– 2, 5) son los vértices de un triángulo. Calcula su
perímetro y di de qué tipo es: equilátero, isósceles o escaleno. ¿Es rectángulo?
8.- Si M (−3 , 52 )es el punto medio del segmento AB, y las coordenadas de B son (5, -2)
¿Cuáles son las coordenadas de A?
HOJA CABRI
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1.- El módulo de a⃗ es 5 y el de b⃗ es 6 ¿Podemos saber sólo con esos datos cuál es el módulo
de a⃗ + b⃗ ? Dibuja, si es posible, los vectores a⃗ y b⃗ de modo que:
a) El módulo de a⃗ + b⃗ sea igual a 11.
b) El módulo de a⃗ + b⃗ sea menor que 11.
c) El módulo de a⃗ + b⃗ sea mayor que 11.
2.- Dibuja el punto medio del segmento de extremos A (2, 5) y B (7, 9), utilizando dos formas
diferentes para la construcción.
3.- Dibuja un heptágono regular, nombra con letras mayúsculas sus vértices y observa los
vectores que determinan sus lados, ¿qué observas respecto a sus direcciones y módulos?
Haz lo mismo con un octógono y anota en tu cuaderno lo que has observado.
4.- Inventa dos vectores a⃗ , b⃗ y determina gráficamente los vectores a⃗ + b⃗ , 2a⃗ , a⃗
– b⃗ , 3a⃗ + 5b⃗ y – 3 b⃗ .
5.- Sitúa tres punto A, B y C cualesquiera,
a) ¿Cómo puedes determinar el punto D para que al unirlos obtengas un paralelogramo
ABCD?
b) Determina su perímetro.
c) Determina su área.
d) Marca los puntos medios de sus lados y únelos, ¿qué figura se obtiene?
e) Determina la relación entre los perímetros y áreas de los dos cuadriláteros obtenidos.
ACTIVIDADES DE REFUERZO
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1.- Indica las coordenadas de los siguientes vectores:
2.- El vector A⃗B tiene coordenadas (–3, 4). Si A (–1, –3) halla las coordenadas de B.
3.- Dados los vectores a⃗ = (0, – 2), b⃗ = (5, 3) c⃗ = (– 4, – 5)
a) Halla las coordenadas de a⃗ + b⃗ –c⃗
b) Halla las coordenadas de 2a⃗ + 3b⃗ –5c⃗
c) Halla las coordenadas de –3a⃗ + c⃗
d) Si P⃗Q es un representante de a⃗ con origen en P (–1, 5), halla las coordenadas del
punto Q.
4.- En un triángulo ABC, las coordenadas de sus vértices son A (–3, 2), B (1, 3) y C (4, 1).
Hallar las coordenadas de los puntos medios de los lados.
5.- Comprueba si el triángulo de vértices A (2, 10), B (3, 2) y C (6,4) es rectángulo y calcula su
perímetro.
6.- Dados los puntos A (3, 0), B (1, 4),C (-1, 3) y D (-1, -2), calcula el perímetro del cuadrilátero
formado por dichos puntos.
7.- Los puntos A (-2, -3), B (- 4, 1) y D (6, 3) son los vértices de un paralelogramo ABCD. Halla
las coordenadas del vértice C.
ACTIVIDADES DE AMPLIACIÓN
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1.- Si elegimos como representantes de todos los vectores libres que tienen la misma dirección,
los vectores que tienen como origen el punto A (1, 2), ¿dónde se encuentran los extremos de
estos vectores?
2.- Determina un vector en la misma dirección y sentido opuesto a a⃗=(3,4 ).
3.- Demostrar que los puntos A (3, 8), B (–11, 3) y C (–8, –2) son los vértices de un triángulo
isósceles.
4.- Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero forman un paralelogramo.
Compruébalo con el cuadrilátero de vértices:
A (2, 2) B (1,4) C (7, 3) D (5, 0)
5.- De cada vector libre que tenga módulo 1 se toma un representante con un mismo origen 0.
¿Qué figura describen los extremos de estos representantes?
6.- En un triángulo ABC se conocen los vértices A (3, 6), B (–5, 2) y las del baricentro G( 53 , 23 ) .
Halla las coordenadas del vértice C.
7.- En un paralelogramo ABCD se conocen los vectores A⃗B=(−2 , 13 ) y
B⃗C=( 12 ,−3), calcula
cuánto miden las diagonales.
8.- En un triángulo ABC el vértice A es (2, 5), el punto medio del lado BC es (3, 1) y el punto
medio del lado AB es (0, 4). Halla los vértices del triángulo.
9.- Dados los vectores v = (1, –1) y u = (0, 2), halla un vector unitario en la dirección y sentido
del vector 2u – v.
EXÁMEN
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1.- (4 puntos) Si A⃗B es un representante del vector libre v⃗=(3 ,−2 ) hallar las coordenadas del
punto A conocidas las de B (-1, -5).
2.- (4 puntos) Dados el vector v⃗=( 4 , x ), calcula el valor de x para que su módulo sea 5.
3.- (4 puntos) Dados los vectores a⃗=(3,4 ), b⃗=(4 ,−2) y c⃗=(1,0) , calcula:
a) 2b⃗ - a⃗
b) 3 c⃗
c)
32b⃗
+ 2 c⃗
4.- (3 puntos) De qué tipo es el triángulo de vértices A (-4, 1), B (6, 3) y C (-2, -3).
5.- (4 punto) Dados los puntos A (3, 0), B (1, 4),C (-1, 3) y D (-1, -2), calcula la diagonal A⃗C del
cuadrilátero formado por dichos puntos.
6.- (1 punto) Sean los puntos A, B, C ¿Cómo puedes saber si están alineados?
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