República Bolivariana de VenezuelaMinisterio Popular de Educación Superior

Instituto Universitario de Tecnología“Antonio José de Sucre”

Bachiller: Jonathan Villarroel C.I: 26.256.106

Tecnol. Mecánica Mtto.

Puerto. La Cruz, Octubre 2.015

INTRODUCCIÓN

El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que

provienen de la física. 

El concepto de vector es muy amplio y su aplicación se evidencia

en los diferentes campos de las ciencias. En matemáticas, un vector es un

elemento de una estructura algebraica denominada espacio vectorial. En

física, un vector es un concepto matemático que se util iza para describir

magnitudes tales como velocidades, aceleraciones o fuerzas.

En informática, se lo conoce también como arreglo en una dimensión. En

biología, se dice del elemento portador del agente infeccioso, como

podría ser el mosquito  Anopheles infectado con  Plasmodium , causante de

la malaria. En genética, un vector es un agente, que puede ser un virus o

un pequeño fragmento de ADN llamado  plásmido , que porta un gen

extraño o modificado. Cuando se usa en terapia génica, el vector pasa el

gen deseado a una célula objetivo

En esta oportunidad se desarrollará su estudio en el campo de las

matemáticas. Vectores en el plano y el espacio, su definición. Características

(magnitud, dirección y sentido) tanto en el plano como en el espacio.

VECTOR:En física, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es

una magnitud física definida en un sistema de referencia que se caracteriza por

tener módulo (o longitud) y una dirección (u orientación). En Matemáticas se define un

vector como un elemento de un espacio vectorial. Esta noción es más abstracta y para

muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo y

la dirección. En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son

representables de ese modo. Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar

geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas») en el plano   o en el

espacio  .

Así pues, en el plano, un vector no es más que un trozo de recta, en el que se

diferencia claramente su origen y su extremo

Representación gráfica de un vector como un segmento orientado sobre una recta.

Esquema de un vector como un segmento de recta entre dos puntos A y B

Se llama vector de dimensión   a una tupla de   números reales (que se llaman

componentes del vector). El conjunto de todos los vectores de dimensión   se

representa como   (formado mediante el producto cartesiano).

Así, un vector   perteneciente a un espacio   se representa como:

(left) , donde 

Un vector también se puede ver desde el punto de vista de la geometría como vector

geométrico (usando frecuentemente el espacio tridimensional   ó bidimensional  ).

Un vector fijo del plano euclídeo es un segmento orientado, en el que hay que distinguir

tres características:

Origen : es el punto donde nace el vector (punto 0 de la figura )

Módulo: Es el tamaño que tiene el segmento orientado. La longitud del

segmento. Corresponde al tamaño del vector, se simboliza como valor absoluto

Dirección: Es la inclinación que tiene el vector respecto al eje de abcisas (eje de

las X). esta inclinación se mide a travs del angulo menor que forma el vector con

eje 0X o un eje paralelo. Es la orientación de la recta. corresponde a la línea recta

en la cual el vector está contenido, también se llama línea de acción o recta

soporte.

Sentido: Es la orientación que adopta el vector. Se puede diferenciar entre Norte,

Sur, Este, Oeste, Noreste, Sureste, Suroeste. Indica cual es el origen y cuál es el

extremo final de la recta. es el indicado por la punta de flecha (por ejemplo

derecha o izquierda, arriba o abajo)

Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras mayúsculas, por ejemplo  ,

que indican su origen y extremo respectivamente.

CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR

Coordenadas cartesianas.

Un vector se puede definir por sus coordenadas, si el vector esta en el plano xy, se

representa:

siendo sus coordenadas:

Si se considera el triángulo formado por las componentes   (como catetos) y   

(como hipotenusa): se puede calcular   multiplicando   por elcosα (siendo α el

ángulo formado por   y  ) o multiplicando   por el senβ (siendo β el ángulo

formado por   y  ). De igual forma se puede calcular   multiplicando   por

el senα o multiplicando   por el cosβ (considerando las posiciones

de α y β mencionadas anteriormente).

Siendo el vector la suma vectorial de sus coordenadas:

Coordenadas tridimensionales.

Si un vector es de tres dimensiones reales, representado sobre los ejes x, y, z, se

puede representar:

siendo sus coordenadas:

Si se representa el vector gráficamente se puede diferenciar la recta soporte

o dirección, sobre la que se traza el vector.

El módulo, magnitud o amplitud con una longitud proporcional al valor del vector.

El sentido, indicado por la punta de flecha, siendo uno de los dos posibles sobre la

recta soporte.

El punto de aplicación que corresponde al lugar geométrico al cual corresponde la

característica vectorial representado por el vector.

El nombre o denominación es la letra, signo o secuencia de signos que define al vector.

Por lo tanto en un vector se puede diferenciar:

Nombre – Dirección – Sentido – Módulo -Punto de aplicación

MAGNITUD O MÓDULO DE UN VECTOR 

La magnitud de un vector en el plano es la medida de su longitud. Para calcular

la magnitud de un vector  , llamada también módulo de  , conociendo sus

coordenadas, se utiliza la siguiente fórmula:

Módulo de  :

Esta fórmula es una aplicación del Teorema de Pitágoras,

El triángulo   es rectángulo y   es la hipotenusa. Por lo

tanto,  . Es decir,

   ó

Ejemplo: El módulo del vector   es  , pues 

VECTOR EN EL ESPACIO:Las características de los vectores en el espacio, así como las operaciones, son

idénticas a las de los vectores en el plano. Se debe recordar que:

Un Vector es un segmento orientado. A los puntos P y Q que definen el vector

se les llama respectivamente: “origen” y “extremo” del vector.

Todo vector se caracteriza por:

Módulo: que es la distancia del punto P al Q.

Dirección: que es la misma que la recta que lo contiene (o paralela).

Sentido: para un vector, lo marca el del recorrido de P a Q.

(cada dirección tiene dos sentidos opuestos de recorrido).

Dos vectores son “iguales” si tienen el mismo módulo, la

misma dirección y el mismo sentido.

Los vectores: PQ⃗

y RS⃗

cumplen las tres condiciones de

igualdad, de ahí que cuando queramos hacer uso de un vector

podamos tomar uno cualquiera de los que son iguales a él.

Todos ellos son representantes de un único vector.

Habitualmente al vector se le designa con una flecha encima de una letra

minúscula: u→

(por ejemplo) o bien mediante uno de sus representantes escribiendo el

orígen y el extremo con una flecha encima: PQ⃗

A partir de los vectores, se construirá, un sistema de referencia que va a

permitir expresar los puntos del espacio ordinario y posteriormente las distintas figuras

espaciales.

Un sistema de referencia (R ) en el espacio consiste en un conjunto de tres vectores

(que forman una base) y un punto (origen común de los vectores).

Al punto fijo se le nombra con la letra O y se llama Origen.

A los vectores de la base: B= {i→, j→

, k→ }

(en adelante, supondremos que la base

utilizada es siempre ortonormal).

R={O , ( i→ , j→

, k→)}

A cada punto P del espacio ordinario, le corresponde un vector de orígen O y extremo P

(OP→ )

que tiene unas coordenadas, (a , b , c ) , en la base B= {i→, j→

, k→ }

del sistema de

referencia dado.

Se dice que (a , b , c ) son las coordenadas del punto P en la referencia R .

Recíprocamente a cada terna de coordenadas le corresponde un único punto.

Ejemplo.-

Representa los siguientes puntos del espacio ordinario:

P (5,2,3 ) Q (3 ,−2,5 ) R (1,4,0 ) S (0,0,4 ) T (0,6,3 )

Sol.-

Componentes de un vector en el espacio

Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o

componentes del vector   son las coordenadas del extremo menos las

coordenadas del origen.

Ejemplo:  

Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar en el triángulo

de vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).

Módulo de un vector

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo

tiene módulo cero.

Cálculo del módulo conociendo sus componentes

Ejemplo:  

Dados los vectores  y  , hallar los módulos de   y 

·

Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de

extremos dichos puntos.

Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0).

EJERCICIOS

1. Calcule el magnitud de los vectores UV donde U (2,1), V (-3,2)

UV = √(vx−ux )2+(vy−uy)2

UV = √(−3−2)2+(2−1)2

UV = √(−5)2+(1)2

UV = √25+1

UV = √26 = 5, 09

2 Determinar magnitud y dirección de un vector del plano cuyas componentes Vy = 8 rectangulares son Vx = −12

Como se conocen las componentes cartesianas del vector V es posible aplicar

en forma inmediata la ecuación que define el módulo de un vector, es decir:

V = √(vx)2+(vy )2 = √(−12)2+(8)2 = √144+64 = √208 = 14,422, es decir,

la magnitud del vector V es 14,422.

Como Vx es negativa y Vy es positiva, el vector se encuentra en el segundo

cuadrante, y por lo tanto la dirección queda determinada por α = 180º− β

β = tg-1 VyVx

β = tg-1 812

β = 33,69º Por lo tanto la dirección es: α = 180º−33,69º = 146,31 dirección de V

y

3. Encontrar las componentes cartesianas de un vector V cuya magnitud vale 80 y su dirección es de 230º

Como las componentes de un vector quedan determinadas con las ecuaciones

Vx = v * cos α

Vy = v * sen α

Vx = 80* cos 230 = − 51,42

Vx = 80* sen 230 = − 61,28

Vectores en el Espacio

x

8

-12

α = 146,31 β = 33,69º

1. Determinar magnitud y dirección del vector V = 5 i − 8 j + 10 k

UV = √ i2+ j2+k2

UV = √52+(−8)2+102

UV = √25+64+100

UV = √189 = 13,75 (Magnitud del vector V)

La dirección del vector se obtiene aplicando la fórmula de los cósenos

directores, es decir:

Cos βx = VxV

Cos βy = VyV

Cos βz = VzV

βx = cos-1 VxV

βy = cos-1 VyV

βz = cos-1 VzV

βx = cos-1 513,75

βy = cos-1 −813,75

βz = cos-1 1013,75

βx = 68,673º βy = 125,584º βz = 43,333º

2- Dados los vectores F1 = −5 i + 8 j – 15 k, F2 = −7 i - 12 j + 3 k, F3 = 6 i + 9 j + 2 k, obtener magnitud y dirección de la resultante R = F1 + F2 + F3

La resultante R se obtiene simplemente sumando los términos semejantes, es

decir:

R = (−5 i + 8 j – 15 k) + (−7 i - 12 j + 3 k) + (6 i + 9 j + 2 k)

R = (−5 −7 +6) i + (8 – 12 + 9) j + (-15 + 3 + 2) k

R = -6 i + 5 j – 10 k

La magnitud de R es

R = √ i2+ j2+k2

R = √(−6)2+52+(−10)2

R = √36+25+100

R = √161 = 12,69

La dirección del vector se obtiene aplicando la fórmula de los cósenos directores,

es decir:

Cos βx = VxV

Cos βy = VyV

Cos βz = VzV

βx = cos-1 VxV

βy = cos-1 VyV

βz = cos-1 VzV

βx = cos-1 −612,69

βy = cos-1 512,69

βz = cos-1 −1012,69

βx = 118,22º βy = 66,79º βz = 142,00º