Un vector (A) una magnitud fsica caracterizable mediante un mdulo y una direccin (u

orientacin) en el espacio. Todo vector debe tener un origen marcado (M) con un punto y

un final marcado con una flecha (N), tal como lo muestra la figura N 3.1

Figura N 1. Vector

De un modo ms formal y abstracto, un vector es una magnitud fsica tal que, una vez

establecida una base, se representa por una secuencia de nmeros o componentes

independientes tales que sus valores sean relacionables de manera sistemtica e inequvoca

cuando son medidos en diferentes sistemas de coordenadas.

Los vectores se pueden representar geomtricamente como segmentos de recta dirigidos o

flechas en planos o ; es decir, bidimensional o tridimensional.

DEFINICIN

MAGNITUD ESCALAR

Es una cantidad que est especificada con la unidad apropiada y no tiene direccin. Ejm:

masa, tiempo, rapidez, trabajo, energa, volumen, rea, distancia recorrida, entre otros.

MAGNITUD VECTORIAL

Cantidad fsica que est especificada por un nmero y las unidades apropiadas ms una

direccin. Ejm: velocidad, desplazamiento, fuerza, cantidad de movimiento, entre otras.

A y B son iguales si tienen la misma magnitud y la misma direccin tal como se

muestra en la figura N 3.2

Figura N 3.2 Vectores A y B iguales.

3.4.2 Conmutativo

A+B = B+A

3.4.3 Asociativo

A+(B+C) = (A+B)+C

3.4.4 Negativo de un vector

El negativo del vector A se define como el vector que al sumarse a A da como

resultado cero.

A+(-A) = 0

3.4.5 Multiplicacin de un escalar por un vector

Si el vector A se multiplica por una cantidad escalar m, entonces el m producto mA

tiene la misma direccin de A y la magnitud mA.

m = A = (Ax,Ay, Az)

PROPIEDADES DE LOS VECTORES

Igualdad de dos vectores

mA= *(Ax,Ay, Az)

mA= ( Ax, Ay, Az)

Son las proyecciones de un vector a lo largo de los ejes de un sistema coordenado. En

la figura N 3.3 se muestra la el vector A en sus componentes rectangulares; donde Ax

es la proyeccin del vector A sobre el eje x y Ay es la proyeccin del vector A sobre el

eje y

Figura N 3.3 Componentes rectangulares del vector A

Dados dos o ms vectores como se muestra en la figura 3.4 y se requiere determinar el

vector suma R; este mtodo grfico consiste en colocar un vector cualquiera, a partir

del mismo se le traza a partir de su punta de flecha otro vector, y as sucesivamente

COMPONENTES DE UN VECTOR EN EL PLANO

Los trminos i y j son vectores unitarios , lo cuales su magnitud es igual a la unidad

, estos solo indican direccin (no tienen otro significado fsico). Generalmente el

vector unitario est asociado al eje de las x y el vector j esta asociado al eje y.

SUMA DE VECTORES EN EL PLANO

Mtodo Grfico

haber graficado todos los vectores que se requieran sumar; luego, el vector suma

resultante R (A+B+C+D), es el vector trazado desde el origen del primer vector

graficado hasta la punta de flecha del ltimo vector (Vase la figura N 3.5).

Este mtodo requiere del uso de escuadras y transportador, por lo que el estudiante

debe tener la destreza requerida para operar estos instrumentos de dibujo, de lo

contrario, la suma le saldr errada.

Figura N 3.4 Vectores libres que se van a sumar

Figura N 3.5 Vector suma R obtenido mediante el mtodo grfico.

medio de la ley del seno y coseno. Aqu hay una limitante, y es que permite sumar slo

dos vectores de manera directa.

Paralelogramo: Vase figura N 3.6 que R es el vector suma de A + B, dichos

vectores componentes forman un ngulo , por lo que se aplica la ley del coseno en

su segunda expresin:

Mtodo Trigonomtrico

Este mtodo consiste en el anlisis de un tringulo no rectngulo (generalmente), por

(1)

Figura N 3.6 Paralelogramo formado por los vectores componentes A y B

Note, que el paralelogramo est formado por dos tringulos, por tanto, tambin se

puede analizar cualquiera de ellos. Suponga que se quiere el estudio del tringulo A-

B-R tal como lo muestra la figura N 3.7

Figura N 3.7 Anlisis del tringulo A-B-R

Por ley del Seno:

(2)

Por ley del coseno (en su primera forma):

(3)

(4)

(5)

se deseen sumar de manera directa. Slo se necesita tener la informacin completa de

cada vector con respecto a un sistema de referencia (plano cartesiano)

El mtodo consiste en descomponer cada vector en los ejes x e y, para luego sumar

las componentes en x y aparte las componentes en y. Luego obtener la resultante

mediante el teorema de Pitgoras.

La descomposicin se puede realizar de diversas formas, aqu se explica una de ellas:

Se requiere conocer el ngulo que forma cada vector con el eje x+ de manera

antihoraria. Para ello se anexa en la figura N 3.8 el valor de los ngulos de cada

cuadrante del sistema cartesiano.

Figura N 3.8 ngulos de los cuadrantes del sistema cartesiano

Luego se proyecta cada vector sobre los ejes cartesianos tal como se muestra en la

figura N 3.9. Se escogi arbitrariamente sumar tres vectores

Mtodo Analtico (componentes rectangulares)

Este mtodo es el ms utilizado ya que no tiene lmites en la cantidad de vectores que

Figura N 3.9 Descomposicin de cada vector sobre los ejes cartesianos

Se identifica el ngulo que forma el vector A con el eje x+. En este caso el valor est

directo y no es mas que

Se identifica el ngulo que forma el vector B con el eje x+. En este caso el valor no

est directo y hay que determinarlo, el ngulo es:

180-

Se identifica el ngulo que forma el vector C con el eje x+. En este caso el valor no

est directo y hay que determinarlo, el ngulo es:

270-

El valor de cada componente en x va ser la magnitud del vector por el coseno del

ngulo que forma con el eje x+. No se preocupe por el signo del sentido, este se lo

da la calculadora la cual debe estar en modo DEG si se est realizando los

clculos con los ngulos en grados

El valor de cada componente en y va ser la magnitud del vector por el seno del

ngulo que forma con el eje x+. No se preocupe por el signo del sentido, este se lo

da la calculadora la cual debe estar en modo DEG si se est realizando los

clculos con los ngulos en grados

Luego se calcula la resultante en x Rx que no es ms que la suma algebraica de

cada componente en x de los vectores

Luego se calcula la resultante en x Rx que no es ms que la suma algebraica de

cada componente en x de los vectores

Se escribe el vector resultante R en su forma vectorial

Se obtiene la magnitud |R| mediante el teorema de Pitgoras:

(6)

Se obtiene la direccin () con respecto al eje x sea en sentido positivo o negativo

mediante la funcin trigonomtrica tangente inversa.

(7)

agrega una nueva direccin. En la figura N 3.10 se muestra un esquema de un vector

en el espacio.

Figura N 3.10 Esquema de un vector en el espacio.

Donde:

x, y y z son los ngulos directores del vector A con respecto a cada uno de los ejes

coordenados. Por ello, se dice que cos x, cos y y cos z son los cosenos directores; y

representan los vectores unitarios (x, y, z)

(8)

COMPONENTES DE UN VECTOR EN EL ESPACIO

Las componentes son muy parecidas las ya explicadas en el plano, slo que ahora se

(9)

Al momento de realizar un ejercicio prctico, es posible verificar si se cumple la

igualdad de la ecuacin (8) o (9) de manera de estar seguro si existen errores en los

clculos o si el procedimiento est mal efectuado.

El mtodo que se utiliza es el de las componentes rectangulares ya explicado

anteriormente en la suma de vectores en el plano. Sin embargo, a continuacin se

muestra las expresiones matemticas para el clculo de la magnitud y direccin de la

resultante.

(10)

(11)

(12)

(13)

PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

Definicin

El producto escalar de dos vectores en un espacio eucldeo se define como el

producto de sus mdulos por el coseno del ngulo que forman. En la figura N 3.11 se

muestran dos vectores que van a ser multiplicados escalarmente conociendo el ngulo que

forman entre ellos. El resultado es siempre una magnitud escalar. Se representa por un

punto centrado ().

SUMA DE VECTORES EN EL ESPACIO

(14)

Conmutativa

Distributiva respecto a la suma vectorial:

Asociativa respecto al producto por un escalar m:

Si los vectores son perpendiculares (A B) su producto escalar es nulo (cos 90 =

0), y viceversa.

(15)

En particular, para los vectores unitarios cartesianos tenemos:

Siendo esta definicin de naturaleza puramente geomtrica, es independiente del

sistema de coordenadas elegido. El producto escalar de dos vectores es un nmero (escalar)

y, si ninguno de los vectores es nulo, dicho producto ser un nmero positivo, nulo o

negativo, segn que el ngulo formado por los dos vectores (0) sea agudo, recto u

obtuso.

Propiedades del producto escalar

(16)

(17)

Figura N3.12 Proyeccin del Vector A en la direccin de B

(18)

Proyeccin escalar de un vector sobre otro (A/B).

Puesto que A cos representa el mdulo de la proyeccin del vector A sobre la direccin

del vector B, tal como lo muestra la figura N 3.12

ngulo () formado por dos vectores

De la ecuacin (14) se tiene que:

Expresin analtica del producto escalar:

El producto escalar de dos vectores es igual a la suma de los productos de las componentes

cartesianas rectangulares correspondientes.

Si los vectores A y B se expresan en funcin de sus componentes cartesianas rectangulares:

A=Ax i+ Ay j+ Az k, y B=Bx i+ By j+ Bz k; en base a las propiedades anteriores se tiene que:

Figura N 3.11 Producto vectorial de dos vectores A y B

Sean dos vectores A y B en el espacio vectorial 3. El producto vectorial entre y da como

resultado un nuevo vector C. Este nuevo vector est dado por la siguiente expresin:

Sean A = Ax i + Ay j + Az k y B = Bx i + By j + Bz k y dos vectores concurrentes de :

(20)

(19)

donde es el vector unitario y perpendicular a los vectores A y B y su direccin est dada

por la regla de la mano derecha y es, como antes, el ngulo entre A y B.

Producto escalar de dos vectores

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES

Definicin

En lgebra lineal, el producto vectorial es una operacin entre dos vectores que da como

resultado un vector perpendicular a los dos vectores originales, tal como se muestra en la

figura N 3.11. Con frecuencia se lo denomina tambin producto cruz, pues se lo denota

mediante el smbolo x.

Se debe tener cuidado al momento de llenar el determinante, ya que se debe colocar en la

segunda fila del mismo, las componentes del vector que est a la izquierda de la cruz (x), en

este caso: A. En la primera fila siempre van a estar los vectores unitarios ijk

(21)

A x B = - (B x A), (anticonmutatividad)

Si A 0 y B 0, entonces A y B son paralelos siempre que:

(22)

Distributiva:

(23)

3.8.4 rea del paralelogramo

En base a la figura N 3.12, el rea del paralelogramo formada por dos vectores A y B es el

mdulo o magnitud del producto vectorial entre ellos:

Figura N 3.12 rea del paralelogramo formada por dos vectores A y B

(24)

Propiedades

Cualesquiera que sean los vectores A, B y C:

Se A un vector de coordenadas A = Ax i + Ay j + Az k; para graficarlo en un sistema R3 se

deben realizar los siguientes pasos:

Se indica cada coordenada del vector sobre el sistema de referencia tal como se

muestra en la figura N 3.13

Figura N 3.13 Coordenadas del vector A en el sistema coordenado xyz.

Se grafica un punto en el plano xz que representa el piso, para ello apartir de la

coordenada x se traza una paralela al eje z, y a partir de la coordenada z se traza una

paralela al eje x; en la interseccin de dichas rectas se encuentra el punto en el

plano, tal como se muestra en la figura N 3.14

Figura N 3.14 Punto en el piso del vector A

GRAFICAR UN VECTOR EN R3 ( EN TRES DIMENSIONES)

Luego se proyecta el punto anterior al espacio, trazando a partir del punto piso

una paralela al eje y, luego a partir de la coordenada y se traza una paralela al eje

x o z (en este caso se traz paralela al eje x), donde se intercepten ambas rectas, all

est el punto en el espacio, tal como se muestra en la figura N 3.15.

Figura N 3.15 Proyeccin de las coordenadas del vector A en el espacio

Luego se grafica el vector A, trazando una recta desde el origen del sistema

coordenado hasta el punto en el espacio, tal como se muestra en la figura N 3.16.

Figura N 3.16 Vector A graficado en el sistema R3

a) D= 2A 4B

b) Hallar el rea del paralelogramo formado por B y C

De la ecuacin (23):

Se calcula el producto vectorial entre B y C en base a la ecuacin (20)

Se calcula la magnitud del vector B x C en base a la ecuacin (10). Considerando

B x C = D

c) Hallar un vector paralelo a A cuya magnitud sea igual a 7

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Dado los siguientes vectores A (-2i+4j-k); B(3i-2j+4k); C (i+5j-2k), calcular:

La magnitud de dicho vector es 7, solo faltara direccionarlo. Un vector paralelo a

A, es su vector unitario. Para ello se necesita calcular la magnitud del vector A en

base a la ecuacin

Se calcula la magnitud del vector A en base a la ecuacin (10)

Luego se divide cada componente del vector A entre la magnitud de dicho vector para as

calcular el vector unitario :

Del resultado anterior, se nota que cada componente del vector unitario () es menor a la

unidad. Luego se multiplica el vector unitario por la magnitud del vector paralelo que lo

vamos a denotar como P

d) Hallar el ngulo entre los vectores A y C

Se calcula las magnitudes tanto del vector A como del vector C. ya se calcul

previamente el mdulo de A.

Luego se calcula el producto escalar entre A y C, en base a la ecuacin (16)

Se calcula el ngulo mediante la ecuacin (17)

2. Dos vectores de 5 y 8 unidades de longitud forman entre s un ngulo de 45,

determinar la magnitud del vector resultante y direccin respecto al ms pequeo.

Se elabora un diagrama del problema en estudio:

Se calcula la magnitud de la resultante R mediante la ecuacin (1). El ngulo que

forman los dos vectores componentes es 45.

Se calcula el ngulo mediante la ley de los cosenos

Al despejar el ngulo :

Luego por ley de los senos, se calcula el ngulo (que es el ngulo que forma la

resultante R con el vector de 5 unidades).

Resolviendo para :

3. Determinar la magnitud y direccin de la resultante del sistema mostrado:

Se determinan los ngulos que forman cada vector con el eje x positivo. En caso

del vector A, el ngulo est directo y tiene un valor de 20. En caso del vector B, se

da el ngulo que forma con el eje y negativo, por tanto, el ngulo con respecto al eje

x positivo sera 270-30 = 240; sin embargo es posible decir: 90 + 30 = 120, en

este caso sera -120 ya que se mide en forma horaria.

Se calculan las componentes rectangulares del vector A

Se calculan las componentes rectangulares del vector B. Se utilizar para este caso

240

Se calcula Rx:

Se calcula Ry:

Se escribe el vector R en sus componentes rectangulares:

Se calcula la magnitud de la resultante mediante la ecuacin (6)

Se calcula la direccin del vector resultante mediante la ecuacin (7)

Se grafica el vector resultante sobre el sistema cartesiano: