coordenada cartesiana

DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES FACULTAD DE CIENCIAS E

INGENIERÍA E.P. de: INGENIERÍA DE SISTEMAS E

INFORMÁTICA

ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA BÁSICA CICLO: I

Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. [email protected] – [email protected]

Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ [email protected] 999685938

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TEMA: Plano Cartesiano – Distancia entre dos puntos – Punto medio entre dos puntos SEMANA: 09

TURNO: NOCHE PABELLÓN: B AULA: 501B SEMESTETRE: 2017 - II

PLANO CARTESIANO

El plano cartesiano, plano euclidiano o simplemente

sistema de coordenadas, inventado por el matemático,

físico y filósofo francés René Descartes, es un sistema

de referencias bidimensional que posee ciertas

aplicaciones puntuales ya sea en la ciencia o en nuestra

vida cotidiana. Este plano es utilizado principalmente

en nuestras vidas como un sistema de referencias,

partiendo desde un origen, ya que con este podemos

ubicar exactamente cualquier partícula presente en

nuestro entorno siempre y cuando tengamos sus

coordenadas.

¿Qué conforma el plano cartesiano? El plano

cartesiano es una herramienta de la matemática que

está conformado por dos rectas numéricas infinitas

perpendiculares entre sí, una horizontal llamada eje de

las abscisas y una vertical llamada eje de las ordenadas,

que se cortan en un único punto conocido como

origen.

Este punto de intersección entre las dos rectas o ejes

es de vital importancia para el uso del sistema de

coordenadas, ya que es usado como punto de

referencia a la hora de graficar cualquier otro punto

sobre dicho sistema.

Aplicaciones en la matemática y en la física Además de

ser usados por todos, a veces sin querer, en nuestra

vida diaria, por ejemplo, a la hora de dar o recibir una

dirección, el sistema de coordenadas para los

estudiantes o profesionales que se dedican a ciertos

campos es muy importante.

En la matemática la función principal de este plano es

que permite hacer la representación gráfica de

funciones, al igual que como en la física, que este plano

es usado, por ejemplo, para graficar la posición,

velocidad o aceleración de cualquier partícula en

estudio. Este plano, desde su invención por el científico

francés, ha sido muy importante ya que gracias a este

se pudo avanzar en todas las áreas de la ciencia. Rene

Descartes, en la actualidad, es considerado como el

padre de la geometría analítica y de la filosofía

moderna.

Plano Cartesiano.- Es el plano determinado por dos

rectas numéricas, secantes y perpendiculares,

llamadas ejes coordenados

El punto de intersección de los ejes, es el origen de

coordenadas (0; 0)

Al eje de abscisas le llamaremos eje x

Al eje de ordenadas le llamaremos eje y.

Los ejes coordenados dividen al plano cartesiano en

cuatro cuadrantes.

Consideraremos al sentido anti horario como sentido

positivo (+) y al sentido horario como sentido negativo

(-).

Par ordenado.- Son un par de números de la forma

(𝑎; 𝑏), que fijan la posición de un punto en el plano

cartesiano.

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Donde a es el número que se asocia al punto en el eje

de abscisas y b es el número que se asocia al punto en

el eje de ordenadas.

(a; b): representa las coordenadas del punto P en el

plano cartesiano.

Los puntos A, B y C tienen coordenadas 𝐴 = (−3; 2);

𝐵 = (−2; −2) 𝑦 𝐶 = (2; −4), respectivamente.

Nota: En el plano cartesiano solo existe un único punto

que tiene coordenadas (𝑎; 𝑏)

Distancia entre dos puntos.- La distancia entre dos

puntos es la longitud del segmento de recta que los

une.

Esta distancia es igual a la raíz cuadrada de la suma de

los cuadrados de la diferencia de abscisas y la

diferencia de ordenadas.

AB = d = √(𝑥𝑏 − 𝑥𝑎)2 + (𝑦𝑏 − 𝑦𝑎)2

d = √(∆𝑥)2 + (∆𝑦)2

Punto medio de un segmento.- Es el punto que

pertenece al segmento y que lo divide en dos

segmentos parciales congruentes.

Las coordenadas del punto medio de un segmento de

recta, es igual a la semisuma de abscisas y ordenadas

de sus extremos.

Sea M el punto medio del segmento AB. Del gráfico,

observamos que xm ; ym son las longitudes de las bases

medias de los trapecios que se forman al trazar desde

los extremos, perpendiculares a los ejes de abscisas y

ordenadas, respectivamente.

Luego las coordenadas de M son:

M = (𝑥𝑚; 𝑦𝑚) = ( 𝑥𝑎+ 𝑥𝑏

2;

𝑦𝑎+ 𝑦𝑏

2 )

Observación: De lo anterior, se puede expresar las

coordenadas de M, como:

M = ( ( 𝑥𝑎 ; 𝑦𝑎)

2 ;

( 𝑥𝑏 ; 𝑦𝑏)

2 ) =

𝐴+𝐵

2

División de un segmento en una razón r.- Sea P un

punto del segmento AB, que divide a dicho segmento

en una razón r ( 𝐴𝑃

𝑃𝐵 = r)





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En el gráfico; sea PB = ℓ y AP = r ℓ, entonces 𝐴𝑃

𝑃𝐵 = r

En el trapecio sombreado:

𝑥𝑝 = (𝑥𝑎.ℓ+𝑥𝑏.r ℓ)

ℓ+rℓ =

𝑥𝑎+ 𝑟𝑥𝑏

1+𝑟 , análogamente, hallamos

𝑦𝑝 = (𝑦𝑎.ℓ+𝑦𝑏.r ℓ)

ℓ+rℓ =

𝑦𝑎+ 𝑟𝑦𝑏

1+𝑟

Entonces las coordenadas del punto P es:

P = (𝑥𝑝; 𝑦𝑝) = ( 𝑥𝑎+ 𝑟𝑥𝑏

1+𝑟;

𝑦𝑎+ 𝑟𝑦𝑏

1+𝑟 )

También podemos expresar a P como:

P = ( ( 𝑥𝑎 ; 𝑦𝑎)

1+𝑟 ;

𝑟( 𝑥𝑏 ; 𝑦𝑏)

1+𝑟 ) =

𝐴 + 𝑟𝐵

1+𝑟

Aplicación 01: Dado un triángulo ABC, donde A = (𝑥𝑎; 𝑦𝑎), B = (𝑥𝑏; 𝑦𝑏), C = (𝑥𝑐; 𝑦𝑐). Halle las coordenadas del baricentro del triángulo. (Baricentro es el punto de concurrencia de las medianas de un triángulo) Solución

Sea G el baricentro del triángulo ABC y M el punto

medio de BC. Entonces M = 𝐵+𝐶

2, luego 2M=B +C

Sabemos que el baricentro (G) divide a la mediana AM

en la razón de 2: 1, entonces AG = 2GM, luego r = 𝐴𝐺

𝐺𝑀

= 2.

Ahora usamos la fórmula para calcular las

coordenadas de G:

G = 𝐴 + 𝑟𝑀

1+𝑟 =

𝐴 + 2𝑀

1+2 =

𝐴 + 2𝑀

3 =

𝐴 + 𝐵+𝐶

3

Entonces G = (𝑥𝑎 ; 𝑦𝑎) + (𝑥𝑏 ; 𝑦𝑏)+ (𝑥𝑐 ; 𝑦𝑐)

3

G = ( (𝑥𝑎+ 𝑥𝑏 + 𝑥𝑐 )

3 ;

(𝑦𝑎 + 𝑦𝑏+ 𝑦𝑐)

3) = (𝐺𝑥 ; 𝐺𝑦)

luego:

𝐺𝑥 = (𝑥𝑎+ 𝑥𝑏 + 𝑥𝑐 )

3 ; 𝐺𝑦 =

(𝑦𝑎 + 𝑦𝑏+ 𝑦𝑐)

3

Aplicación 02: Hallar el área del siguiente polígono:

𝐴(−5,2), 𝐵(1, −4), 𝐶(5,1), 𝐷(3,4) 𝑦 𝐸(−2,6)

Solución





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𝑨 = (𝟎. 𝟓)[+(−𝟓)(−𝟒) + (𝟏)(𝟏) + (𝟓)(𝟒) + (𝟑)(𝟔) + (−𝟐)(𝟐)

− (−𝟓)(𝟔) − (−𝟐)(𝟒) − (𝟑)(𝟏) − (𝟓)(−𝟒) − (𝟏)(𝟐)]

𝑨 = (𝟎,𝟓)(𝟐𝟎 + 𝟏 + 𝟐𝟎 + 𝟏𝟖 − 𝟒 + 𝟑𝟎 + 𝟖 − 𝟑 + 𝟐𝟎 − 𝟐)

𝑨 = (𝟎,𝟓)(𝟏𝟎𝟖)

𝐴 = 54 𝑢2

Aplicación 03: Para el tendido de un cableado telefónico sobre una calle se requieren cuatro postes, los cuales deben estar separados por distancias iguales. Si el primero de los postes se encuentra en uno de los extremos del cableado que está en el punto 𝐴(60, 90), según un sistema coordenado como el que se muestra en la figura, y el último en el extremo que se localiza en 𝐵(−30, −30), se deben determinar las coordenadas de los puntos 𝐶 𝑦 𝐷 para colocar ahí los otros dos postes entre 𝐴 𝑦 𝐵. Las longitudes están dadas en metros. Solución Puesto que los puntos 𝐶 𝑦 𝐷 dividen al segmento comprendido entre los puntas 𝐴 𝑦 𝐵 en tres segmentos, 𝐴𝐶, 𝐶𝐷 𝑦 𝐷𝐵, de igual longitud, siendo el punto C el más cercano al punto 𝐴, como se muestra en la figura, se tiene que:

1

2

AC

CB

d

d

Al sustituir los valores 1 60,x 2 30x y 1

2r en

la ecuación 1 2

1

x rxx

r

se obtiene:

160 ( 30)

2;

11

2

x

60 15 2(45)

3 3

2

x

;

30.x

Y al sustituir los valores 1 90,y 2 30y y 1

2r

en la ecuación 1 2

1

y ryy

r

se obtiene:

190 ( 30)

2;

11

2

y

90 15 2(75)

3 3

2

y

50.y

Lo que significa que el otro poste debe colocarse en el punto 𝐶(0, 10). Las soluciones encontradas se muestran en la siguiente figura:

Resumen

Convenciones:

,x abscisa y ordenada

Distancia Entre 2 Puntos:

212

2

12 yyxxd





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Coordenadas del Punto Medio:

1 2 1 2,2 2

x x y yx y

.

Coordenadas de División de un segmento en una

razón dada:

1 2 1 2, , 11 1

x rx y ryx y r

r r

,

2

1

PP

PPr

Área, Perímetro y Semiperímetro De Polígonos:

1

2 2

3 3

1 1

1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 1 3

2

2 2

1 x y

x y

x y

x yA

x y x y x y x y x y x yA

Perímetro(p)

P Suma de las Longitudes de Todos los Lados

2

)( Perímetro troSemiperime

Pp

Ejercicios

01. En los siguientes ejercicios localice los pares de

puntos y encuentre la distancia entre ellos.

a. 𝐴(3, 1), 𝐵(7, 4) b. 𝑀(−3, −3), 𝑁(2, 2)

c. 𝑃(6, 3), 𝑄(−1, −1) d. 𝑅(0, 4), 𝑆(−3, 0)

e. 𝐶(−3, −1), 𝐷(7, 4) f. 𝑇(13, −4), 𝑈(0, 0)

g. 𝐿(−1, √2), 𝐾(3, −√2) h. 𝑆(3, 2), 𝑇(−5, 1)

02. En los siguientes ejercicios dibuje el triángulo con

los vértices dados y encuentre las longitudes de los

lados.

a. 𝐴(−1, 1), 𝐵(−1, 4) 𝑦 𝐶(3, 4)

b. 𝑀(2, −1), 𝑁(4, 2) 𝑦 𝑃(5, 0)

c. 𝑄(0, 0), 𝑅(5, −2) 𝑦 𝑆(−3, 3)

d. 𝑇(0, −3), 𝑈(3, 0) 𝑦 𝑊(0, −4)

03. Sea 𝐴 = (5, 3) 𝑦 𝐵 = (−3, −3) los extremos del

segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ encuentre las coordenadas del punto P

que lo divide a una razón 1

3r .

04. Hallar el perímetro del polígono cuyos puntos son:

𝐴(5, 2); 𝐵(−3, 4); 𝐶(−6, −3) 𝑦 𝐷(3, −2)

05. Graficar el polígono y hallar su área

correspondiente.

a) 𝐴(3, −4), 𝐵(5,2) 𝑌 𝐶(−7, −3)

b) 𝐴(4,7), 𝐵(1, −2) 𝑌 𝐶(2, −5)

c) 𝐴(−3,3), 𝐵(4,2), 𝐶(7,7) 𝑌 𝐷(−1,6)

d) 𝐴(−3, −4), 𝐵(4, −6), 𝐶(7,1), 𝐷(5,4), 𝐸(−2,6) 𝑦

𝐹(−6,2)

e) 𝐴(−3, −1), 𝐵(2, −4), 𝐶(4,1) 𝑌 𝐷(−3,2)

06. Determine el punto medio del segmento de recta

con los puntos extremos

4

3;

3

7,

4

9;

3

5

07. Demuestre que el triángulo cuyos vértices son (4; 3), (– 3; 4) 𝑦 (9; 8) es isósceles.

08. Se tiene los puntos baP ; y 7;6 Q ; si el

punto medio entre ellos es

2

1;2 , determinar las

coordenadas del punto baP ; .

09. Hallar las coordenadas de un punto P(x, y) que divida

al segmento determinado por 𝑃1(−2, 1) 𝑦 𝑷𝟐, (𝟑, −4) en la

relación 𝒓 = −8

3..

10. Hallar el área A del pentágono cuyos vértices son los puntos de coordenadas (- 5, -2), (-2,5), (2,7), (5, 1), (2,-4).





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11. Demostrar analíticamente que las rectas que unen los puntos medios de los lados adyacentes del cuadrilátero 𝐴(−3, 2), 𝐵(5, 4), 𝐶(7, −6) 𝑦 𝐷(−5, −4) forman otro cuadrilátero cuyo perímetro es igual a la suma de las diagonales del primero.

12. Demostrar que los puntos 𝐴(0, 1), 𝐵(3, 5), 𝐶(7, 2)

𝑦 𝐷(4, 2) son los vértices del cuadrado.

13. Demostrar que los cuatro puntos 𝐴(1, 1), 𝐵(3, 5),

𝐶(11, 6) 𝑦 𝐷(9, 2) son los vértices de un paralelogramo.

14. Uno de los puntos extremos de un segmento es el

punto (7, 8) y su punto medio es (4, 3). Hallar el otro

extremo.

15. Los puntos medios de los lados de un triángulo son

(2, 5), (4, 2) y (1, 1). Hallar las coordenadas de los

vértices.

16. Encuentre las coordenadas del punto P(x, y) que divide al segmento P1P2 en la razón

r = 2

1

PP

PP dada en cada caso.

a) 𝑃1(1, 3), 𝑃2(7, 9), r = 1/2.

b) 𝑃1(5,4), 𝑃2( 1/3, 2), r = 3/2.

c) 𝑃1(5,5); 𝑃2(2,3); r = 4/3.

17. Calcule el área del triángulo cuyos vértices son:

a) 𝐴(2, 3), 𝐵(8, 7) 𝑦 𝐶(8, 3).

b) 𝐴(5, 4), 𝐵(3, 6) 𝑦 𝐶(3, 4).

18. Demostrar que los puntos (0, 1), (3, 5), (7, 2) y

(𝟒, − 2) son los vértices de un cuadrado.

19. Los puntos medios de los lados de un triángulo son

(2, 5), (4, 2) 𝑦 (1, 1). Hallar las coordenadas de los tres

vértices.

20. Las coordenadas de los puntos medios de los lados

de un triángulo son 1 , 1 3 , 6 ,3 , 1 y . Halla

las coordenadas de sus vértices.

21. Dados los puntos 𝑃(3, 9) 𝑦 𝑄(8, – 1):

a) Halla el punto medio de PQ.

b) Halla el simétrico de P respecto de Q.

c) Halla el simétrico de Q respecto de P.

d) Obtén un punto A de PQ tal que 2

.3

PA

AQ

e) Obtén un punto B de PQ tal que 1

.5

PB

PQ

22. Calcula el valor de k para que los puntos de coordenadas A (1, 7), B (–3, 4), C (k, 5) estén alineados.

BIBLIOGRAFÍA

Instituto de Ciencias y Humanidades. (2008). Algebra y

principios del análisis. Lima: Lumbreras.

Zill, D., & Wright, W. (2011). Cálculo. Trascendentes

tempranas. México, D.F: Mc Graw Hill.

Fuller, G., Wilson, W., & Miller, H. (1986). Algebra

Universitaria. Mexico D.F: Continental.

Stewart, J. (2008). Cálculo de una variable:

Trascendentes tempranas. México, D.F: CENGAGE

Learning.

REFERENCIA

https://www.definicionabc.com/general/plano-

cartesiano.php

https://aga.frba.utn.edu.ar/matrices/

http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/mateI15/

T_matrdeter/MatrDeter

https://es.slideshare.net/miguelangeltarazonagiraldo/

matrices-58478482



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https://es.slideshare.net/miguelangeltarazonagiraldo/matrices-58478482

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