tema 4: geometrÍa analÍtica ii: Ángulos y ......de producto escalar. con ello podremos resolver...
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Alonso Fernández Galián
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TEMA 4: GEOMETRÍA ANALÍTICA II: ÁNGULOS Y DISTANCIAS
Para estudiar analíticamente ángulos y distancias necesitamos introducir un nuevo concepto: el
de producto escalar. Con ello podremos resolver cualquier problema métrico en el plano.
4.1 EL PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
Se define el producto escalar de los vectores ( )21 , uuu =
y ( )21 , vvv =
como:
( ) ( ) 22112121 ,, vuvuvvuuvu +==
Observemos que el producto escalar de dos vectores da como resultado un número real.
Propiedades del producto escalar: El producto escalar satisface las siguientes propiedades:
1. (Conmutativa) Dados los vectores u
y v
se cumple:
uvvu=
2. (Asociativa con escalares) Dados los vectores u
y v
, y el escalar se cumple:
( ) ( )vuvu=
3. (Distributiva) Dados los vectores u
, v
y w
se cumple:
( ) wuvuwvu
+=+
El módulo de un vector. El producto escalar de un vector ( )21 , uuu =
por sí mismo es:
22
21 uuuu +=
Notemos que la expresión de la derecha coincide con el cuadrado del módulo de u
. Es decir:
uuu=
2
Finalmente, tomando raíces se obtiene:
uuu=
Expresión geométrica del producto escalar. El producto escalar de dos
vectores no nulos es igual al producto de sus módulos por el coseno del
ángulo que forman:
cos= vuvu
•Ejemplo: Calcular el producto escalar de los siguientes pares de vectores:
(a) ( )3,2 −=u
y ( )1,5=v
.
( ) ( ) 71)3(521,53,2 =−+=−= vu
(b) ( )2,6=u
y ( )7,3−=v
.
( ) ( ) 472)3(67,32,6 −=+−=−= vu
•Ejemplo: Escribe y calcula el módulo de ( )5,2=u
usando el producto escalar:
( ) ( ) 29525,25,2 22 =+=== uuu
Matemáticas I
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Demostración: Consideremos la siguiente figura:
Aplicando el teorema del coseno obtenemos:
cos222222
vuvuvu
−+=−
Por otro lado, se tiene:
( ) ( ) 22222 vvuuvvvuuuvuvuvu
+−=+−=−−=−
Igualando:
cos222222
vuvuvvuu
−+=+−
Finalmente, simplificando la igualdad se deduce la fórmula que buscábamos.
Ángulo que forman dos vectores. Despejando “ cos ” en la expresión geométrica obtenemos:
vu
vu
=cos ,
lo que permite calcular el ángulo que forman los vectores u
y v
.
Perpendicularidad. Sea el ángulo que forman u
y v
. Se tiene:
vu
⊥ 000cosº90 ==
== vu
vu
vu
Es decir, dos vectores son perpendiculares si y sólo si su producto escalar es nulo:
vu
⊥ 0= vu
Nota: En ocasiones se emplea el término “normal” como sinónimo de “perpendicular”.
•Ejemplo: Comprobar que los vectores
( )3,6 −=u
y ( )4,2=v
son perpendiculares.
Hay que ver que el producto escalar es cero:
( ) ( ) 012124,23,6 =−=−= vu
Los vectores sí son perpendiculares:
vu
⊥
•Ejemplo: Calcular el ángulo que forman los vectores ( )1,1=u
y ( )3,2−=v
.
( ) ( )
26
1
132
31)2(1
3)2(11
3,21,1cos
2222=
+−=
+−+
−=
=
vu
vu
Por tanto:
º69,7826
1arccos
=
Tema 4: Ángulos y distancias
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4.2 ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS
En la intersección de dos rectas secantes r y s se forman cuatro ángulos iguales dos a dos:
º180=+
Se denomina ángulo entre las rectas r y s al menor de estos ángulos, que representaremos por
. Si u
y v
son dos vectores directores cualquiera de r y s, respectivamente, se tiene:
vu
vu
=cos
donde se toma el valor absoluto para despreocuparnos de la elección del sentido de u
y v
.
Alternativamente, también podemos calcular mediante su tangente a partir de la relación:
mm
mm
+
−=
1tan
donde m y m son, respectivamente, las pendientes de r y s.
Demostración: El ángulo que forman dos rectas es igual a la diferencia de los ángulos que for-
man dichas rectas con el semieje positivo de abscisas:
sr −=
Usando la fórmula de la tangente de la resta de dos ángulos se tiene:
( )mm
mm
sr
srsr
+
−=
+
−=−
1tantan1
tantantan
donde se toma el valor absoluto despreocuparnos de qué ángulo es mayor.
•Ejemplo: Calcular el ángulo que forman las rectas 23: += xyr y 15: −= xys .
º13,78
1
16
2
16
2
531
53
1tan ==
−=
+
−=
+
−=
mm
mm
•Ejemplo: Calcular el ángulo que forman las rectas 012: =−− yxr y 04: =−+ yxs .
Los vectores directores de r y s son, respectivamente, ( )2,1=u
y ( )1,1−=v
. Por tanto:
( ) ( )º57,71
10
1
25
1
1)1(21
1,12,1cos
2222=
=
+−+
−=
=
vu
vu
Matemáticas I
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4.3 CÁLCULO DE PERPENDICULARES
Veamos cómo calcular la recta perpendicular a otra por un punto dado.
Relación entre las pendientes de dos rectas perpendiculares. Consideremos dos rectas r y s, y
denotemos sus respectivas pendientes por rm y sm . Se cumple que:
sr ⊥r
ssrm
mmm1
1−
=−=
Es decir, las rectas son perpendiculares si sus pendientes son inversas en valor absoluto, y
además tienen signo contrario.
Demostración: Consideremos las rectas expresadas en forma explícita, y escribámoslas en
forma general para obtener sus vectores directores:
( )rrrrrr munyxmnxmyr ,10: ==+−+=
( )ssssss munyxmnxmys ,10: ==+−+=
Las rectas serán perpendiculares si lo son sus vectores directores.
Por tanto:
=⊥⊥ 0srsr uuuusr
( ) ( )r
ssrsrsrm
mmmmmmm1
1010,1,1−
=−==+=
Como queríamos demostrar.
Cálculo de una recta perpendicular a otra por un punto dado. Para calcular la perpendicular a
una recta por un punto dado, ( )00 , yxP , podemos utilizar la relación anterior entre las
pendientes y la ecuación punto-pendiente de la recta.
- Punto: ( )00 , yxP .
- Pendiente: m
m1−
=⊥.
•Ejemplo: Calcular la recta s perpendicular a 023: =−+ yxr y que pasa por ( )0,5P .
Escribimos r en forma explícita para calcular su pendiente:
+−= 23: xyr 3−=rm
La pendiente de una recta perpendicular a r será:
3
1
3
11=
−
−=
−=⊥
rmm
Por tanto, la ecuación punto-pendiente de la recta s será:
( )( ) 05
3
1:
3/1:
0,5:+−=
=−
−xys
mpendiente
Ppunto
s
En forma general:
053: =−− yxs
Tema 4: Ángulos y distancias
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4.4 EL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO. APLICACIONES
Muchos problemas geométricos se resuelven fácilmente usando el punto medio de un segmento.
Coordenadas del punto medio de un segmento. El punto medio del segmento de extremos
( )21 , aaA y ( )21 ,bbB , que denotaremos por M, se expresa en coordenadas como:
++
2,
2
2211 babaM
Demostración: Las coordenadas del punto M vienen dadas por su vector de posición, OM :
( ) ( ) ( )22112121 ,2
1,
2
1, ababaaABOAmmOM −−+=+==
Así:
( )222
1 111111111
baabaabam
+=
−+=−+=
( )222
1 222222222
baabaabam
+=
−+=−+=
La mediatriz de un segmento. Se denomina mediatriz de un segmento a la recta perpendicular
que pasa por el punto medio del segmento.
•Ejemplo: Calcular la mediatriz del segmento de extremos ( )4,1−A y ( )2,3B .
El punto medio del segmento es:
( )3,12
24,
2
31MM =
++−
[...]
•Ejemplo: Calcular en cada caso el punto medio a partir de los extremos del segmento:
(a) ( )5,2 −A y ( )1,6B .
( )2,42
15,
2
62−
+−+MM
(b) ( )4,0A y ( )7,2B .
++
2
11,1
2
74,
2
20MM
Matemáticas I
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Nota: Alternativamente, la mediatriz de un segmento AB se puede definir como el lugar
geométrico formado por los puntos que equidistan de extremos del segmento. Es decir:
Un punto X pertenece a la mediatriz ( ) ( )BXdAXd ,, =
Simetrías. Veamos ahora cómo usar el punto medio para calcular el simétrico de un punto.
[…] La recta que contiene al segemento, es decir, la que pasa por ( )4,1−A y ( )2,3B , es:
( )( ) 2
7
2
1...
2
4
4
1
2,4:.
4,1:+−=
−
−=
+
−=−
−−xy
yx
ABdirvector
Apunto
Por tanto, la recta que contiene al segmento tiene pendiente 2/1−=m . Debemos calcular su
perpendicular por el punto ( )3,1M .
( )( ) 312:
2:
3,1:+−=
=−
−xyr
mpendiente
Mpunto
r
Es decir, la mediatriz buscada tiene ecuación ( ) 312 +−= xy . La escribimos en forma
general:
012: =+− yxr
•Ejemplo: Calcular el simétrico de ( )4,1P respecto de la recta 032: =−− yxr .
Sea ( )21 , qqQ el simétrico de P respecto a r.
(i) La recta s que pasa por P y Q es perpendicular a r. Determinemos su ecuación:
Calculamos la pendiente de la recta r:
232:032: =−==−− rmxyryxr
La recta s será entonces:
( )( ) 092:41
2
1:
2/1:
4,1:=−++−−=
−=−
−yxsxys
mpendiente
Ppunto
s
(ii) La intersección de las rectas r y s es el punto medio del segmento PQ. Calculamos dicho
punto resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de las rectas:
( )3,3...092
032M
yx
yx
=−+
=−−
Finalmente, calculemos las coordenadas de Q sabiendo que M es el punto medio de P y Q:
( ) 2y 53,32
4,
2
121
21 ===
El punto buscado es ( )2,5Q .
Tema 4: Ángulos y distancias
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4.5 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA. BISECTRICES
La distancia del punto ( )00 , yxP a la recta 0: =++ cbyaxr es
igual a la distancia entre P y la proyección de P sobre r. Ésta
viene dada por:
( )22
00,
ba
dbyaxrPd
+
++=
Observemos que el numerador se obtiene sustituyendo las coordenadas de P en el lado
izquierdo de la ecuación general de r.
Demostración: La distancia del punto P a la recta r es igual a la distancia entre P y el punto en
el que éste se proyecta sobre r. Para obtener este punto, P , tracemos la recta s que es
perpendicular a r y que pasa por el punto P.
Empezamos calculando la pendiente de r.
b
cx
b
ayrcbyaxr −−==++ :0: . La pendiente de r es
b
am
−= .
Por tanto, la recta s perpendicular a r por P tiene pendiente abm /=⊥. Veamos su ecuación:
( ) 0:: 0000 =+−−+−= ayxaybxsyxxa
bys
La intersección de las dos rectas se obtiene resolviendo el sistema formado por sus ecuaciones:
22
002
00222
00
)(
ba
abyxbacx
abyxbacxba
b
a
aybxaybx
cbyax
+
−+−=
−+−=+
−=−
−=+
22
02
0
02
022
00
)(
)(
ba
yaabxbcy
yaabxbcyba
a
b
aybxaybx
cbyax
+
+−−=
+−−=+
−
−=−
−=+
La proyección de P sobre r es entonces
+
+−−
+
−+−
22
02
0
22
002
,ba
yaabxbc
ba
abyxbacP .
La distancia de P a r es igual al módulo del vector PP .
=
−
+
+−−−
+
−+−= 022
02
0022
002
, yba
yaabxbcx
ba
abyxbacPP
=
+
−−+−−
+
−−−+−=
22
02
02
02
0
22
02
02
002
,ba
ybyayaabxbc
ba
xbxaabyxbac
( )baba
cbyax
ba
ybabxbc
ba
xaabyac comúnfactor
,,22
00
22
02
0
22
02
0
+
++−=
+
−−−
+
−−−= .
Así:
( ) ( )22
00.
22
22
00
22
00 ,,ba
cbyaxba
ba
cbyaxba
ba
cbyaxPPrPd
racionaliz
+
++=+
+
++=
+
++−==
como queríamos demostrar.
Matemáticas I
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La distancia entre dos rectas paralelas puede calcularse como la
distancia de cualquier punto de una de ellas a la otra:
( ) ( )sPdsrd ,, = , con rP
Veamos cómo usar la distancia de un punto a una recta para
calcular la bisectriz de dos rectas:
Bisectrices. Dadas dos rectas r y s, sus bisectrices son las dos
rectas, perpendiculares entre ellas, que bisecan los ángulos for-
mados por ellas.
Equivalentemente, una bisectriz de r y s puede definirse como el lugar geométrico formado por
los puntos ( )yxP , situados a igual distancia de r y s.
•Ejemplo: Calcular las bisectrices de las rectas
042: =−+ yxr y 0542: =++ yxs
Sea ( )yxP , un punto cualquiera de las bisectrices. Debe cumplirse que ( ) ( )sPdrPd ,, = . Es
decir:
2222 42
542
12
42
+
++=
+
−+ yxyx
Dos expresiones con el mismo valor absoluto difieren, a lo sumo, en el signo. Por lo tanto:
52
542
5
42 ++=
−+ yxyx
Al tomar cada uno de los signos obtenemos las ecuaciones de cada una de las bisectrices:
1ª bisectriz: 01322...52
542
5
42=−−
+++=
−+yx
yxyx
2ª bisectriz: 0366...52
542
5
42=−+
++−=
−+yx
yxyx
• Ejemplo: Calcular la distancia del punto ( )2,3 −P a la recta 0834: =++− yxr .
25
10
25
10
3)4(
8)2(334),(
2222
00==
−=
+−
+−+−=
+
++=
ba
cbyaxrPd u.l.
• Ejemplo: Calcular la distancia entre las siguientes rectas:
054: =−+ yxr y 024: =++ yxs
Las rectas son paralelas. Tomemos un punto cualquiera de r, por ejemplo ( )5,0P . Ahora:
( ) ( )17
177
17
7
14
2504,,
2222
00==
+
++=
+
++==
ba
cbyaxsPdsrd u.l.
Tema 4: Ángulos y distancias
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4.6 LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
Se define la circunferencia de centro C y radio r como el lugar geométri-
co formado por los puntos P cuya distancia a C es igual a r.
( ) rPCd =,
La ecuación reducida de la circunferencia. Sea ( )yxP , un punto cualquiera de la circunferen-
cia de centro ( )21 , ccC y radio r. El punto P debe cumplir que ( ) rPCd =, , es decir:
rCP =
En coordenadas:
( ) ( ) rcycx =−+−2
2
2
1
Elevando al cuadrado:
( ) ( ) 22
2
2
1 rcycx =−+−
Esta igualdad se denomina ecuación reducida de la circunferencia.
La ecuación general de la circunferencia. Si en ecuación reducida desarrollamos y agrupamos
los términos en el lado izquierdo, obtenemos:
022 222
2121
22 =−++−−+ rccycxcyx
Sean 12cd −= , 22ce −= , 222
21 rccf −+= . Se tiene:
022 =++++ feydxyx
Esta igualdad se denomina ecuación general de la circunferencia.
•Ejemplo: Escribe en las formas reducida y general la ecuación de la circunferencia de cen-
tro ( )2,5C y radio 6=r .
Ecuación reducida: ( ) ( ) 222625 =−+− yx
Desarrollamos la ecuación: 36442510 22 =+−++− yyxx
Ecuación general: 0741022 =−−−+ yxyx
•Ejemplo: Escribe la ecuación reducida de la circunferencia de ecuación general:
01861022 =++−+ yxyx
Vamos a utilizar la técnica de agrupar cuadrados:
1º) Juntamos las x’s por un lado y las y’s por otro: 2 210 6 18 0x x y y − + + + =
.
2º) A cada corchete le sumamos y restamos un número para completar el cuadrado de un
binomio:
[…]
Matemáticas I
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Nota: Si el centro de la circunferencia coincide con el
origen de coordenadas, la ecuación de la circunferencia es
especialmente simple:
222 ryx =+
Por ejemplo, la circunferencia centrada en el origen de
coordenadas con radio 3=r tiene ecuación:
922 =+ yx
Posición relativa de una recta y una circunferencia. La posición relativa de una recta y una
circunferencia se determina resolviendo el sistema formado por sus ecuaciones:
=++++
=++
0
022 feydxyx
cbyax
Hay tres casos posibles:
-El sistema no tiene soluciones la recta es exterior a la circunferencia.
-El sistema tiene una solución la recta es tangente a la circunferencia.
-El sistema tiene dos soluciones la recta es secante a la circunferencia.
• Ejemplo: Calcular la posición relativa de la recta r y la circunferencia c.
07: =−− yxr y 078: 22 =+−+ xyxc
Debemos resolver el sistema formado por sus ecuaciones:
=+−−+
=+−+
=−− −=
078)7(078
07 227
22xxx
xyx
yx xy
=+−=+−+−+ 0562220784914 222 xxxxxx […]
[…]
2 210 25 25 6 9 9 18 0x x y y − + − + + + − + =
3º) Cada corchete es una identidad notable (el cuadrado de un binomio). La escribimos y
además sumamos todo lo que ha quedado fuera del corchete y lo pasamos al otro lado:
( ) ( )2 2
5 3 16x y− + + =
Ya tenemos la forma reducida de la ecuación de la circunferencia. Observemos además que
el centro de la circunferencia es ( )3,5 −C y radio es 4=r .
Tema 4: Ángulos y distancias
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En el caso de que la recta sea tangente a la circunferencia, el radio que une el centro de la cir-
cunferencia con el punto de tangencia es perpendicular a la recta:
[…]
=
=
=
−==+−
4
7
2
311
2
1121211102811
2
12
x
xxxx
Dos soluciones: la recta es secante a la circunferencia. Los puntos de corte son:
077 11 =−== xyx . ( )0,71P
374 22 −=−== xyx . ( )3,42 −P
•Ejemplo: Determinar la posición relativa de la recta r y la circunferencia c.
r: 05 =−+ yx c: 032422 =+−−+ yxyx
Resolvamos el sistema formado por sus ecuaciones:
( ) ( ) =+−−−+−
=+−−+
=−+ −=
0325450324
05 225
22yyyy
yxyx
yx yx
=+−=+−+−++− 08820324201025 222 yyyyyyy
22
04
2
161640442 =
=
−==+− yyyyy
Una solución: la recta es tangente a la circunferencia. El punto de tangencia es:
2=y 35 =−= yx . ( )2,3P
•Ejemplo: Calcular la recta r tangente a la circunferencia c: 032422 =+−−+ yxyx en el
punto ( )2,3P .
Nota: El punto pertenece a la circunferencia. Veamos:
03412493223423 22 =+−−+=+−−+
Vamos a calcular en primer lugar la pendiente de la recta que une el centro de la
circunferencia, C, con el punto P para luego determinar la perpendicular por el punto P.
La ecuación reducida de c es 02)1()2( 22 =−−+− yx . Su centro es ( )1,2C . […]
Matemáticas I
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Nota (las secciones cónicas): La circunferencia pertenece a una familia de curvas denominadas
secciones cónicas, que son las obtenidas al intersecar la superficie de un cono con un plano.
Las demás secciones cónicas son la elipse, la hipérbola y la parábola:
[…]
La recta que une C con P tiene ecuación:
( )( )
1011
2
1
3
1,1:.
2,3:−==−−
−=
−
=−
−xyyx
yx
CPdirvector
Ppunto
La pendiente de esta recta es 1=m . Calculamos ahora la perpendicular r:
( )( ) 231:
11/1:
2,3:+−−=
−==−
−xyr
mpendiente
Ppunto
r
Finalmente, escribimos la ecuación de la recta r en forma general:
05: =−+ yxr
Gráficamente:
Tema 4: Ángulos y distancias
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El producto escalar de dos vectores
1. Calcula el producto escalar de los siguientes pares de vectores:
(a) ( )3,2=u
y ( )4,7=v
(b) ( )1,4 −=u
y ( )3,0=v
(c) ( )5,2−=u
y ( )2,6 −−=v
(d) ( )5,3=u
y ( )3,5 −=v
(e) ( )4,2=u
y ( )0,1=i
(f) ( )4,2=u
y ( )1,0=j
2. Calcula t sabiendo que el producto escalar de los vectores ( )tu ,1=
y ( )5,−= tv
es igual a 4.
3. Calcula el producto escalar de los vectores u
y v
sabiendo que 3=u
y 7=v
, y que
forman un ángulo de 60º.
4. Calcula el ángulo que forman los siguientes pares de vectores:
(a) ( )4,3=u
y ( )1,3=v
(b) ( )3,3=u
y ( )3,1−=v
(c) ( )5,1−=u
y ( )1,5=v
(d) ( )0,3=u
y ( )2,2−=v
5. Encuentra el valor de k para que los vectores ( )ku ,2=
y ( )1,3=v
formen un ángulo de 30º.
6. Indica si los siguientes pares de vectores son perpendiculares:
(a) ( )4,2 −=a
y ( )3,6=b
(b) ( )1,2 −−=c
y ( )2,1=d
(c) ( )5,2−=e
y ( )2,5 −−=f
(d) ( )5,2=g
y ( )4,10 −=h
7. Escribe tres vectores perpendiculares al vector ( )3,2=u
.
8. Calcula k para que el vector ( )ku ,3=
sea perpendicular al vector ( )2,3 −=v
. Después,
representa ambos vectores.
9. Comprueba que los puntos ( )1,3 −−A , ( )1,2B y ( )11,2−C forman un triángulo rectángulo.
10. Considera el vector ( )8,6 −=u
. Calcula:
(a) Un vector paralelo a u
con módulo 1.
(b) Un vector perpendicular a u
con módulo 1.
11. Calcula k para que los puntos ( )5,2−A , ( )5,3 −B y ( )kC ,6 formen un triángulo rectángu-
lo con el ángulo recto en el vértice C. Después, representa el triángulo.
12. Los puntos ( )4,1B y ( )3,8C son dos vértices de un triángulo rectángulo ABC con el ángulo
recto en A. Calcula las coordenadas del punto A sabiendo que está sobre la recta 1−= xy .
Ángulo que forman dos rectas
13. Calcula el ángulo que forman las siguientes rectas:
0132: =+− yxr y 034: =−+ yxs
EJERCICIOS DEL TEMA 4
Matemáticas I
- 14 -
14. Calcula el ángulo que forman los siguientes pares de rectas:
(a) 052: =−+ yxr y 32
1:
−=
− yxs (b)
+−=
−=
22
47:
y
xr y
−=
+=
2
21:
y
xs
(c) 045: =+− yxr y 7: =ys (d) 53: += xyr y 12: +−= xys
15. Calcula el valor de k para que la recta de ecuación 086 =−+ ykx forme un ángulo de 45º
con la recta de ecuación 0523 =+− yx .
16. Calcula los ángulos del triángulo de vértices ( )2,2−A , ( )3,5B y ( )15,2C .
Rectas perpendiculares
17. Decide cuáles de los siguientes pares de rectas son perpendiculares:
(a) 0752: =−+ yxr y 0310: =+− yxs
(b) 1
3
2
1:
+=
− yxs y
−−=
+=
2
35:
y
xs
(c) 4
72:
−=
xyr y 22: −−= xys
18. Determina el valor de a para que las rectas
01)3( =−−+ yaax y 02)12( =++− ayxa
sean perpendiculares.
*19. Calcula la recta que pasa por el punto ( )3,4−P y tiene vector normal ( )2,3−=n
.
20. Calcula en cada caso:
(a) La recta perpendicular a 34: += xyr por el punto ( )3,2P .
(b) La recta perpendicular a 0253: =+− yxr por el punto ( )4,1 −P .
21. Encuentra la proyección del punto ( )2,1 −P sobre la recta 042 =+− yx .
22. Los puntos ( )5,3A y ( )1,7B son dos vértices consecutivos del rectángulo ABCD. Además,
el vértice C está situado sobre la bisectriz del cuarto cuadrante. Encuentra los vértices C y D.
23. Dada la recta 1=+ byax , determinar a y b sabiendo que la recta dada es perpendicular a la
recta 1142 =+ yx y que pasa por el punto ( )2/3,1P .
El punto medio: mediatrices y simetrías
24. Calcula en cada caso el punto medio de los puntos que se dan:
(a) ( )2,3P y ( )8,5Q (b) ( )1,2−P y ( )7,4 −−Q
(c) ( )5,3 −P y ( )1,4Q (d)
−1,
2
3P y
2
3,
4
9Q
Tema 4: Ángulos y distancias
- 15 -
25. Encuentra los puntos que dividen el segmento de extremos ( )5,3A y ( )15,6B en cuatro
partes iguales.
26. Encuentra Q de manera que el punto medio de ( )6,4−P y Q sea
−
2
5,7 .
27. Calcula la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos ( )1,3−A y ( )6,1B .
28. Halla la ecuación de la mediatriz del segmento que forma la recta 01232 =−+ yx al
intersecar con los ejes de coordenadas.
29. Calcula el punto simétrico de ( )2,3A respecto de la recta 032 =−+ yx .
30. La recta 5434 =− yx es la mediatriz del segmento AB. Si las coordenadas de A son ( )0,1 ,
¿cuáles son las coordenadas de B?
31. En un triángulo isósceles, el lado desigual tiene extremos ( )2,1 −A y ( )3,4B . Encuentra el
vértice C sabiendo que pertenece a la recta de ecuación 083: =+− yxr .
32. Un rombo ABCD tiene un vértice en el eje de ordenadas, y dos vértices opuestos son
( )1,1−−B y ( )3,5−D . Encuentra los dos vértices restantes.
33. Encuentra el punto perteneciente a la recta 0784 =+− yx que equidista de los puntos
( )1,2A y ( )3,1 −B .
Distancia de un punto a una recta
34. Encuentra la distancia del punto ( )4,7 −P a la recta 01232 =−− yx .
35. Calcula la distancia del punto ( )2,5−P a las siguientes rectas:
(a) 4
23:
−=
xyr (b) 03: =+xs
36. Comprueba que las siguientes rectas son paralelas y calcula la distancia entre ellas.
044: =+− yxr y 0382: =−+− yxs
37. Averigua el valor de k para que las rectas r: 012 =−+ ykx y 0134 =−− yx sean paralelas.
Después, calcula la distancia entre ellas.
38. Encuentra la ecuación de la recta paralela a r: 0143 =−− yx que dista 3 unidades de ella.
39. Calcula un punto del eje de abscisas que esté a igual distancia de las rectas 0634 =++ yx
y 0942 =−+ yx .
40. Calcula el área del triángulo cuyos vértices son ( )1,1 −−A , ( )4,2B y ( )1,4C .
41. Calcula el área del cuadrilátero ABCD con vértices ( )2,3A , ( )2,1 −B , ( )1,1 −−C y ( )3,1D .
Matemáticas I
- 16 -
42. Encuentra la ecuación de la recta perpendicular a 02512 =++ yx que dista 5 unidades del
origen de coordenadas.
Bisectrices
43. Calculas las bisectrices de los ángulos formados por las siguientes rectas:
0534:1 =−+ yxr y 0243:2 =−+ yxr
44. Calculas las bisectrices de los ángulos forma-dos por las siguientes rectas
0543:1 =+− yxr y 0186:2 =++ yxr . Después, comprueba el resultado gráficamente.
45. Calcula las bisectrices del triángulo de vértices ( )0,4A , ( )3,4B y ( )3,0C , y calcula el punto
de intersección (denominado incentro).
MISCELÁNEA (REPASO Y AMPLIACIÓN)
46. Dos vértices consecutivos de un cuadrado tie-nen coordenadas ( )0,3 y ( )4,5 . ¿Cuáles son
las coordenadas de los otros dos vértices?
47. Dos vértices opuestos del cuadrado ABCD son ( )2,2A y ( )4,6C . Calcula los otros dos
vértices y el área. (Indicación: utiliza el punto medio de la diagonal)
48. Calcula los vértices del triángulo ABC del que se conocen las coordenadas del punto ( )3,4A
y las ecuaciones de dos de las alturas, que son:
02: =+− yxr y 062: =−+ yxr
49. Calcula las medianas del triángulo de vértices ( )4,5A , ( )2,1 −B y ( )6,3−C .
50. Calcula las medianas y las mediatrices del triángulo de vértices ( )4,5A , ( )2,1 −B y
( )6,3−C .
51. Calcula el área de un cuadrado que tiene dos de sus lados sobre las rectas 054: =+− yxr
y 01228: =+− yxs .
52. Calcula el perímetro y el área del triángulo limitado por las tres rectas 0432:1 =−− yxr ,
01632:2 =−+ yxr y 02:3 =− yxr .
La ecuación de la circunferencia
53. Encuentra las ecuaciones reducida y general de la circunferencia con centro ( )1,3C y radio
4.
54. Encuentra las ecuaciones reducida y general de la circunferencia que tiene centro ( )0,2−C
y radio 5.
55. Encuentra la ecuación de la circunferencia que tiene por diámetro un segmento de extremos
( )2,2A y ( )6,4 −B .
Tema 4: Ángulos y distancias
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56. Haya la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje de abscisas y cuyo centro es el
punto ( )2,4C .
57. Haya la ecuación reducida de la circunferencia con ecuación general
066222 =+−−+ yxyx , especificando el centro y el radio de la misma.
58. Calcula m de manera que el radio de la circunferencia 04422 =++++ ymxyx sea 1.
59. Escribe la ecuación reducida de las siguientes circunferencias:
(a) 0232222 =−+−+ yxyx
(b) 08222 =−−+ yyx
(c) 042422 =−+−+ yxyx
(d) 082822 =+−−+ yxyx
(e) 08622 =−−+ yxyx
60. Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro ( )1,1 −C y que pasa por el punto
( )2,3C .
61. Encuentra la ecuación de la circunferencia que tiene radio 3 y cuyo centro está en el punto
de intersección de las rectas 0432: =+− yxr y 03: =−+ yxs
62. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos ( )4,1A y ( )1,0B y cuyo
centro está situado en la recta 064: =+− yxr .
63. Calcula, si existen, los puntos de intersección de la recta 04: =−− yxr y la circunferencia
c: 042422 =−−−+ yxyx .
65. Comprueba que el punto ( )4, 1P − pertenece a la circunferencia 2 2 10 4 19 0x y x y+ − − + = ;
después, calcula la ecuación de la recta tangente a la circunferencia que pasa por P .
66. Calcula para qué valores del parámetro a la recta 06: =−+ ayxr es tangente a la
circunferencia de ecuación 4222 =−+ xyx .
Matemáticas I
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