sistema de coordenadas en el plano suma vectorial posicion vectorial producto escalar producto...
TRANSCRIPT
ANALISIS VECTORIALSISTEMA DE COORDENADAS EN EL PLANO
SUMA VECTORIAL
POSICION VECTORIAL
PRODUCTO ESCALAR
PRODUCTO VECTORIAL
DR. VICTOR HUGO CAIZA R.FISICA
RESTA VECTORIAL
VECTORES EN EL ESPACIO
x
y
SISTEMA DE COORDENADAS EN EL PLANO
RECTANGULARES POLARES GEOGRAFICAS
X
θ
r
N
S
EO
MENU PRINCIPAL
Ay)(Ax;A
)(A;A
Rumbo) (A;A
ϴ
VECTORDEFINICION FISICA.- vector es una magnitud vectorial que tiene modulo dirección y sentido y se representa con una letra mayúscula y en la parte superior una flechita.
DEFINICION GEOMETRICA.-
y
ϴ
x
DEFINICION MATEMATICA.-
)j Ay i (AxA
DESCOMPOSICION DE UN VECTOR EN EL PLANO
ϴ
CosA Ax
SenA Ay
222 AyAxA
Ax
Ay Tg
Ax
Ay
x
y
A
AxCos
A
AyCos
α
β
A
Componentes del vector
Modulo del vector
Angulo del vector
Cosenos Directores
A
FORMAS DE EXPRESAR UN VECTOR
EN FUNCIÓN DE SU MÓDULO Y ÁNGULO (POLARES)
EN FUNCIÓN DE SUS COORDENADAS RECTANGULARES
EN FUNCIÓN DE SUS VECTORES BASE
EN FUNCIÓN DE SUS COORDENADAS GEOGRAFICAS
EN FUNCIÓN DE SU MÓDULO Y UNITARIO
θ),(A A
Ay), (AxA
)j Ay i (AxA
Rumbo),(A A
AuA.A
EJERCICIO Nº 11)Expresar el vector . En:a) Coordenadas polares. b) Función de su vector base. c) Coordenadas geográficas. d) Función de su módulo y unitario.
)º01,122;43,9(
º99,575
8
43,9)8()5(
);()
1
22
cmA
tg
cmA
AAa
)85() jiAb
)º01,32;43,9() ONcmAc
jicm
cmjiu
A
Au
jicmAd
A
A
85,053,043,9
)85(
)85,053,0(43,9)
cm)8;5(A
DATOSAx=-5cmAy= 8cm
57,99º
Expresar el vector en: a) Coordenadas geográficas. b) Coordenadas Rectangulares. c) Función de su vector base. d) Función de su módulo y unitario.
EJERCICIO Nº 2
)º30;12(
);()
ENcmA
RumboAAa
cmA
cmSencmAy
cmCoscmAx
AyAxAb
)39,10;6(
39,10º60.12
6º60.12
);()
cmjiA
jAyiAxAc
)39,106(
)()
)º60;12( cmA
DATOSA=12cmθ=60º
60º
N
S
EO
jicm
cmjiu
A
Au
jicmAd
A
A
865,05,012
)39,106(
)865,05,0(12)
EJERCICIO Nº 3Expresar el vector En: a) Coordenadas polares. b) Coordenadas Rectangulares c)Función de su vector base. d) Función de su módulo y unitario.
)º295;10(
);()
mA
AAa
)06,9;23,4(
);()
A
AyAxAb
)º25;10( ESmB
EJERCICIO Nº 4Expresar el vector En: a) Coordenadas polares. b) Función de su vector base. c) Coordenadas geográficas. d) Función de su módulo y unitario.
)º87,216;5(
);()
cmC
CCa
cmjiCb )34()
)º13,53;5() OScmCc
º87,216
º13,53
.)3;4( cmC
N
S
O
jicm
cmjiu
C
Cu
jicmCd
A
C
6,08,05
)34(
)6,08,0(5)
SUMA VECTORIAL
MÉTODO DEL PARALELOGRAMOy
x
)(5cm;330ºB
E)N40º(4cm;A
MÉTODO DEL POLIGONOy
x
)cmj0,56i(6,90R
)cmj2,50i(4,33B
)cmj3,06i(2,57A
MÉTODO ANALITICOBAR
)64º(6,92cm;4,R
R
RA
A B
B
),33º(6,92cm;85R
EJEMPLO 1
METODO PARALELOGRAMO METODO POLIGONO
METODO ANALITICO
)(4cm;120ºD
4)cm (3;C
)cmj7,46 i (R
)cmj3,46 i(-2D
)cmj4 i3 (C
)82,37º 7,53cm; (R
C
D
R
EJEMPLO 2
METODO PARALELOGRAMO METODO POLIGONO
METODO ANALITICO
MENU PRINCIPAL
E) 50º N (6m;C
1)m- (-5;B
)120º (8m;A
)mj9,79 i4,4- (R
)mj3,86i(4,60C
)mj- i5- (B
)mj6,93 i4- (A
)m114,20º (10,73m;R
A
B
C
R
R
BA
AB
C
ACTIVIDAD EN CLASE
CBA:REALIZAR
2)cm- (6;C
O)N15º(5cm;B
)20º (4cm;A
METODO PARALELOGRAMO
METODO ANALITICO
)cmj4,19 i8,47 (R
)cmj2 - i6 (C
)cmj4,82 i1,29- (B
)cmj1,37 i3,76 (A
)26,32º (9,45cm;R
A
B
C
R
PROBLEMADeterminar la resultante de las tres fuerzas que actúan sobre el perno de la figura. Solución: ( N.
F2=72N
F1=45N
25º
30º
MENU PRINCIPAL
) 55º (72N;F
)25º (45N;F
2
1
) j 78 i(82,08 R
) j58,98i(41,30F
)j19,02 i(40,78F
2
1
) 43,54º (113,23N; R
35º
F2=80N
RESTA VECTORIAL
METODO PARALELOGRAMO
EJEMPLO
METODO POLIGONO
METODO ANALITICO
MENU PRINCIPAL
)Kmj2,06i(10,5D
)Kmj6,06i(3,5B
)Kmj4 i7 (A
)120º (7Km;B
4)Km 7; (A
)B(-AB-A
)349º (10,70Km;D
A
B
D
B- D
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
jkAyikAxAk
)jAyik(AxAk
x
A
Dado el vector y el vector Hallar: a) b)
)(18kgf;71ºA
)kgfj6i(-14B
B2A3
B5A2
)kgf j63,06 i10,42- (B2A3
)kgf j12 i28- ( )j6 i2(-14B2
)kgfj51,06i(17,58)j17,02i3(5,86A3
)kgfj4,02i(81,72B5A2
x
A
EJEMPLO 1
PRODUCTO ESCALAR
MENU PRINCIPAL
x
y
BBB
BB
μμAA
μA.Cosθ.AA.B
B.ACosθ
Ay.ByAx.BxB.AAB.CosθB.A
B.A de proyeccion c)La .By A por formado angulo b)El .B.A producto a)El
Calcular E);N20º(18Km;B (12;9)Km;A
: vectoressiguientes los Dado
EJEMPLO
2226.11KmB.A
(9)(16,91) 12)(6,16)B.A
1)Km(6,16;16,9B )(18km;70ºB
12;9)Km (Aa)
(
33,13ºθ
0.837415Km.18Km226.11km
Cosθ
A.BB.A
b)Cos θ
2
)kmj11,80i(4.30A
)18
j16,91i6,16(,13º15km.Cos33A
uA.Cosθ.Ac)
B
B
BB
A
B
PRODUCTO VECTORIAL
MENU PRINCIPAL
y
x
z
ϴ
CBA
AB
C
kAy.Bx)Ax.BykByBx
AyAxBA
(
k A.B.SenθBA
MENU PRINCIPAL
EJEMPLO
vectores. dos los por ocomprendid angulo c)El
vectores dos los por formada area b)El
;BAa)
:Hallar )Km; j24 i(-18BO); 32º S (40Km;A :vectores los Dado
x
y
2
)92,33)(18()24)(20,21(2418
92,3320,21
(
kmk1119,36-BA
kkBA
kAy.Bx)Ax.BykByBx
AyAxBAa)
2
2
1119,36km
Area
k1119,36-Area
BA amoParalelogr b)Area
km
68,88º
(0,9328)Senθ 1
3040
1119,36-Sen
A.B
BAc)Sen
A
B
68,88º
VECTOR POSICION
MENU PRINCIPAL
Para definir la posición A que ocupa una partícula en movimiento en un tiempo t, elegimos un sistema de referencia fijo Oxy, trazamos el vector , que une el origen del sistema de referencia con el punto A.
TRAYECTORIA
jrirr yxA
Ar
VECTOR POSICION RELATIVA
MENU PRINCIPAL
Para definir la posición A que ocupa.
TRAYECTORIA
jrirr
jrirr
yxB
yxA
22
11
Ar
Br
A(x1,y1)
B(x2,y2)
BAA/B rrr
A(4, -5)
B(-8, 3)
x
y
MENU PRINCIPAL
j3i8r
j5i4r
B
A
EJEMPLO 1
ji
812
A/B
B
A
BAA/B
r
j3i8r-
j5i4r
rrr
42,14
)8(12 22
A/B
A/B
r
r
Sea A(4, -5) y B(-8,3)Determinar:a)La posicion de A con respecto a Bb) La distancia entre A y B.
Ar
Br
A/Br
Una Persona camina 550 m. hacia el este de un centro médico y luego 250m. Al S 30° E. Determinar: a) La posición final de la persona, b) La distancia de la persona al centro médico c) La dirección de la posición final.
) (250m;300ºr
)0º (550m;r
2
1
)mj216,51i(675r
m) j216,51-i(125r
)mj0 i(550r
f
2
1
m87,708fb)r
E 72,22º c)S
N
S
EO1r
2r
fr
EJEMPLO 1
) ES30º(250m;r
E) (550m;r
2
1
N
S
EO
La Pieza dental Nº 21 esta a 35mm ; N27ºO. De la pieza nº 27 y la pieza dental Nº 14 esta a 26mm ; S48ºO. de la pieza dental Nº21. DeterminarLa posición vectorial de la pieza dental Nº 14 con respecto a la Nº 27
EJEMPLO 2
Nº 21 A(35mm ; N27ºO) de la nº 27 Nº 14 B(26mm ; S48ºO) de la nº21.Determinar la posición vectorial de la Nº 14 con respecto a la Nº 27
N
S
EO 27
21
14
jir
81,1320,352114
Un Turista sale del Hotel donde se hospeda, camina 100 m. hacia el este y 75m. N20ºE. Seguidamente sale el guía 50m. Al N 60ºO y 200m N 50° E. Determinar la distancia del Guía al Turista.
ACTIVIDAD EN CLASE
)48,7070,25( ji
) EN20º(75m;r
)j0i(100E) (100m;r
T2
T1N
S
E
O
T1r
T2r
G1r
G2r
) EN50º(200m;r
O)N60º (50m;r
G2
G1
G2G1G rrr
Sol. 84,57m
ji
48,7070,125
T
T2T1T
r
rrr
G2G1G rrr
GTT/G rrr
Dados los puntos A (1, 4); B (-5, 2) y C (-4, -3), determinar: a) Los vectores posición de cada punto, b) El perímetro del triángulo ABC, c) El área del triangulo. d)Los ángulos del triángulo ABC.
A
B
C
j2i5r
j4ir
B
A
Ar
Br
A/Br
ji
26
A/B
B
A
BAA/B
r
j2i5r-
j4ir
rrr
33,6
26 22
A/B
A/B
r
r
1.- Determinar la resultante de las dos fuerzas que actúan sobre el perno A
F1=55 N
F2=40 N
35º
30º ) 35º (40N;F
)65º (55N;F
2
1
Un avión recorre 2500km. hacia el Oeste de su base y luego 1500km. al N 30° O. Determinar: a) La posición final del avión, b) La distancia del avión a la base c) La dirección de la posición final.
O1r
2r
fr
O)N68,21º(3500km;r
)8,21º(3500km;15r
9,04)km(-3250;129r
f
f
f
base la de Oc)N68,21º
b)3500km