ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO ESCALAR

I. VECTORES

Una de las ideas principales del Algebra Lineal es la de considerar los coeficientes y trminos independientes correspondientes a los sistemas de ecuaciones lineales como vectores.Por ahora consideraremos que los vectores son conjuntos ordenados de nmeros reales tales como (1, 0), (1, 3, -5) o (8, 1,-2,5). Se dice que cada uno de los nmeros reales del conjunto ordenado es una componente del vector.

Diremos que dos vectores son iguales si y slo si sus componentes son iguales y estn en el mismo orden. Por ejemplo, los vectores (-3, 1) y (-3, 1) son iguales, mientras que los vectores (-3, 1) y (1, -3) son diferentes.Con los vectores se pueden efectuar las siguientes dos operaciones:

Suma de vectores. Para efectuar esta operacin con dos vectores se suman sus componentes correspondientes.Por ejemplo, la suma de los vectores (1, -3, 5) y (4, 8, 1) es:(1, -3, 5) + (4, 8, 1) = (5, 5, 6)

Producto de un escalar por un vector. Para efectuar esta operacin se multiplica el escalar (nmero real) por cada una de las componentes del vector.Por ejemplo, el producto del vector (5, 5, 6) por el escalar 7 es :7 (5, 5, 6) = (35, 35, 42)

Ejercicio 1a) Si u = (1, 3) y v = (-2, -1) encuentre: i) u + v ii) u - 2vb) Encuentre el vector v: i) (1, 4, 3) - 5v = (2, 4, 1) ii) 3v + 4 (1, 2, 3) = (0, 0, 0)

II. ESPACIO VECTORIALUn conjunto de vectores como por ejemplo R3 (Recuerde que R3 es el conjunto de ternas ordenadas de nmeros reales) tiene con respecto a las dos operaciones antes definidas, una serie de propiedades. Por tener esas propiedades se dice que R3 es un espacio vectorial sobre el campo de los nmeros reales.Veamos a continuacin esas propiedades que caracterizan a cualquier espacio vectorial: -------------------------------------------------Sea un conjunto V de elementos llamados vectores y C un campo a cuyos elementos llamamos escalares. -------------------------------------------------Si se pueden definir en ese conjunto dos operaciones: la suma de vectores y la multiplicacin de un vector por un escalar, -------------------------------------------------De tal manera que el conjunto V tenga con respecto a estas dos operaciones las propiedades siguientes:-------------------------------------------------

-------------------------------------------------Si u, v y w son vectores del conjunto V y a y b son escalares, entonces:-------------------------------------------------1. u + v pertenece a V -------------------------------------------------2. u + v = v + u -------------------------------------------------3. u + (v + w) = (u + v) + w -------------------------------------------------4. Existe un elemento en V, denotado por 0 tal que u + 0 =u -------------------------------------------------5. Si u pertenece a V, existe un elemento denotado por -u en V tal que------------------------------------------------- u + (-u ) = 0------------------------------------------------- 6. au pertenece a V------------------------------------------------- 7. (a + b)u = au + bu------------------------------------------------- 8. a(u + v ) = au + av -------------------------------------------------9. (ab)u = a(bu )-------------------------------------------------10. 1u = u-------------------------------------------------

-------------------------------------------------Entonces se dice que el conjunto V es un espacio vectorial sobre el campo C.

A todo conjunto de objetos en el que se puedan definir las dos operaciones mencionadas y que tengan estas propiedades, le llamaremos un espacio vectorial.

Ejemplos: a) Los conjuntos tales como R2 y R3 son espacios vectoriales. b) Las soluciones de un sistema de ecuaciones homogneo tal como: x + 3y = 0 2x + 6y = 0 son de la forma (-3y, y) y constituyen un espacio vectorial sobre el campo de los nmeros reales.c) En cambio, el conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones x + 3 y = 5 2x + 6y = 10 no es un espacio vectorial, ya que carece de una o varias de las propiedades antes mencionadas. Por ejemplo, no tiene la primera propiedad, ya que a pesar de que (2, 1) y (8, -1) pertenecen al conjunto de soluciones del sistema, la suma de ambos, que es (10, 0) no pertenece al conjunto de soluciones del sistema.

Ejercicios 2:Utilizando tres soluciones particulares distintas del sistema homogneo: x + 3y = 0 2x + 6y = 0 y dos escalares cualesquiera, compruebe que se satisfacen las propiedades de un espacio vectorial.

Representacin grfica de los vectores y de sus operacionesEl espacio vectorial R2es el conjunto de las parejas ordenadas (x, y) tales que x e y son nmeros reales. La representacin grfica de este espacio es todo el plano coordenado. Cada una de las parejas ordenadas corresponde a un punto del plano y cada punto del plano corresponde a una pareja ordenada. Por los estudios de Fisica sabemos que un vector tal como (1, 1) se puede representar grficamente por medio de una flecha:

y que las operaciones con vectores se pueden representar tambin grficamente.As, al multiplicar un vector por un escalar, la longitud del vector queda multiplicada por el escalar.Al sumar dos vectores obtenemos un tercer vector. Uno de los mtodos grficos para hacer la suma es el mtodo del paralelogramo.Por ejemplo, la suma de los vectores (1, 1) y (1, -2) se puede representar como el vector de color rojo de la siguiente figura:

Ejercicio 3:Si u = (1, 3) y v = (-2, -1 ) grafique: i) u + v ii) 2v ii) u - 2v

III. SUBESPACIOS DE UN ESPACIO VECTORIAL

En ocasiones, un subconjunto S de vectores de un espacio vectorial V constituye tambin un espacio vectorial. En ese caso se dice que ese subconjunto S es un subespacio vectorial de V.

Definicin:

-------------------------------------------------Si V es un espacio vectorial sobre un campo C y S es un subconjunto no vacio de V que es un espacio vectorial con respecto a las mismas operaciones definidas en V, entonces S es un subespacio de V.

Por ejemplo, el conjunto de los vectores de la forma (x, 0) es un subespacio del espacio vectorial R2. Desde el punto de vista geomtrico este subespacio corresponde al eje de las "X", el cual es una recta que, claramente, est contenida en el plano R2. El siguiente teorema establece que para asegurarnos de que un subconjunto dado es un subespacio vectorial basta verificar que tiene dos de las propiedades de un espacio vectorial:

Teorema:-------------------------------------------------Sean V es un espacio vectorial sobre un campo C y S un subconjunto no vaco de V, entonces S es un subespacio de V si y slo si:-------------------------------------------------a) La suma de dos elementos cualesquiera de S es tambien un elemento de S.-------------------------------------------------b) El producto de un vector cualquiera de S por un escalar cualquiera de C es un elemento de S.

Ejemplos de un subespacio vectorial:a) El conjunto de vectores de la forma m(2, 1, 4) es un subespacio vectorial de R3. Desde el punto de vista geomtrico este subespacio corresponde a una recta contenida en el espacio tridimensional.a) El conjunto de vectores de la forma k(1, 0, 3) + m(2, 1, 4) es un subespacio vectorial de R3. Desde el punto de vista geomtrico este subespacio corresponde a un plano contenido en el espacio tridimensional.b) El conjunto solucin de un sistema homogneo de ecuaciones lineales con 3 incgnitas y coeficientes reales es un subespacio del espacio vectorial R3.En cambio, el conjunto solucin de un sistema de ecuaciones lineales no homogneo con 3 incgnitas y coeficientes reales no es un subespacio del espacio vectorial R3 Ejercicio 4: Demuestre que: a) El conjunto solucin del sistema homogneo: 3x + 10y - z = 0 15x + 50y - 5z = 0 Es un subespacio vectorial de R3 b) El conjunto solucin del sistema : 3x + 10y - z = 12 15x + 50y - 5z = 60 c) No es un subespacio vectorial de R3Un ejemplo de una demostracin de que un conjunto S es un subespacio de un espacio vectorial:Demuestre que S = {(-t, 4 t, 3 t, 0) t es un nmero real} es un subespacio vectorial de R4.Demostracion:1 S est formado por vectores que se obtienen dando valores arbitrarios a t como por ejemplo: (-1, 4, 3, 0) y (2, -8, -6, 0) que se obtienen dndole a t los valores 1 y -2 respectivamente. 2 Debemos demostrar que la suma de dos elementos cualesquiera de S es tambin un elemento de S.Para ello, tomamos dos elementos cualesquiera de S: (-a, 4a, 3a, 0) y (-b, 4b, 3b, 0). La suma de estos dos elementos es (-a - b, 4 a + 4 b, 3 a + 3 b, 0)Factorizando nos queda: (-(a + b), 4(a + b), 3 (a + b) ), que es tambin un elemento de S, ya que es el vector que se obtiene al dar a t el valor a + b3 Finalmente, debemos demostrar que el producto de un escalar por un vector de S es tambin un elemento de S. Para ello, tomamos un escalar k y un vector cualquiera de S: (-a, 4a, 3a, 0)El producto del escalar por el vector es k(-a, 4a, 3a, 0) = (-ka, 4ka, 3ka, 0), que es tambin un elemento de S por ser el vector que se obtiene al dar a t el valor ka. Podemos concluir entonces que S es un subespacio vectorial de R4por ser cerrado bajo la adicion de vectores y bajo la multiplicacion de un vector por un escalar.

Ejercicio 5:1. Sean V=R4 y S= {(-t, 4t, 3t, 1) t es un nmero real} i) Diga si S es cerrado bajo la adicin ii) Diga si S es cerrado bajo la multiplicacin por un escalar iii) Diga si S es un subespacio vectorial de V

2. Mostrar que las soluciones del sistema homogneo x-3y=0 2x-6y=0 constituyen un subespacio vectorial de R2 .

IV. COMBINACION LINEAL

En ocasiones un vector se puede obtener a partir de otros vectores mediante las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. En ese caso hablamos de una combinacin lineal de vectores, como lo establece la siguiente definicin:

Se dice que el vector c es una combinacin lineal de los vectores a1, a2,..., an si existen escalares k1, k2,..., kn tales que c=k1a1 + k2a2 + ...+ knanPor ejemplo: el vector (5, 2) es una combinacin lineal de los vectores (1, 0) y (1, 1) ya que existen los escales 3 y 2 tales que 3 (1, 0) + 2 (1, 1) = (5, 2).

Ejercicios 6:a) Es el vector (5, 2) una combinacin lineal de los vectores (1, 2) y (1, 1) ?b) Escriba tres combinaciones lineales del conjunto de vectores {(3, -1)}c) Escriba tres combinaciones lineales del conjunto de vectores {(3, -1), (2, 3)}d) Es el vector (-9, 2) una combinacin lineal de los vectores (1, 2) y (-3, 4)?d) Considere la matriz ampliada del sistema de ecuaciones: 2x + 3y = 11 x - 2y = -5 Muestre que el vector de trminos independientes es una combinacin lineal de los vectores columna de la matriz de coeficientes del sistema.e) Convierta la siguiente matriz a la forma escalonada reducida:

137 2410 3 513

Podemos decir que el tercer rengln es una combinacin lineal de los otros dos?f) Es (-2, 16, 0) una combinacin lineal de los vectores (1, 2, 2) y (-3, 4, 6)? (Sugerencia: elabore una matriz con los tres vectores y convirtala a la forma escalonada reducida.

V. ESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO DE VECTORES.

A veces, todo el espacio vectorial se puede obtener a partir de combinaciones lineales de un conjunto de vectores dado. En ese caso se aplica la siguiente definicin:

-------------------------------------------------Se dice que el conjunto A de vectores genera al espacio vectorial V si todo elemento de V es una combinacin lineal de los vectores de A.

Por ejemplo: el conjunto de vectores {(1,0), (0,1)} genera al espacio vectorial R2 ya que cualquier elemento (x, y) de R2 es igual a x (1,0) + y (0,1)

El siguiente teorema nos asegura que cualquier subconjunto no vaco de vectores de un espacio vectorial, genera un subespacio vectorial:

-------------------------------------------------Si A es un subconjunto no vaco del espacio vectorial V, el conjunto W de todas las combinaciones lineales de los elementos de A es un subespacio de V.

Ejemplo:Si consideramos la matriz A de coeficientes de un sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas cuyas soluciones son vectores de Rn, entonces el subconjunto de Rngenerado por los renglones de A es un subespacio y se llama subespacio rengln de A. El subconjunto de Rm generado por las columnas de A es un subespacio y se llama espacio columna de A.Para ilustrar lo anterior, supongamos que la matriz: 3715 23

Representa la matriz de coeficientes de un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incgnitas cuyas soluciones son vectores de R3. Entonces, el subconjunto de R3 generado por el conjunto de vectores {(3, 7, 2) , (1, 5, 3)}es el subespacio rengln de A y el subconjunto de R2 generado por el conjunto de vectores {(3, 1), (7, 5), (2, 3)} es el subespacio columna de A.De lo anterior se sigue que la solucin o soluciones de un sistema de ecuaciones lineales son combinaciones del espacio de columnas de la matriz de coeficientes del sistema:En efecto, consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:3 x + 7y + 5z = 13 x + 5y + 3z = 4Encontrar la solucin de este sistema es encontrar los valores x, y y z tales que: x (3, 1) + y (7, 5) + z (5, 3) = (13, 4)Es decir, encontrar la solucin del sistema es lo mismo que mostrar que el vector (13, 4) es una combinacin lineal de los vectores columna del sistema: (3, 1), (7, 5) y (5, 3) o dicho de otro modo, que el vector (13, 4) pertenece al espacio columna de la matriz de coeficientes del sistema. Si consideramos ahora la matriz de coeficientes del sistema anterior 3715 23resulta de lo antes dicho que un sistema de ecuaciones con esta matriz de coeficientes tendr solucin si y slo si su trmino independiente pertenece al espacio columna de la matriz de coeficientes del sistema.

Ejercicio 7 Considere el sistema cuya Matriz ampliada es: 3715 23

i) Escriba tres vectores de trminos independientes (a, b) distintos para este sistemaii) Escriba una solucin del sistema como combinacin lineal de los vectores columna de su matriz de coeficientes. iii) Diga si un vector de trminos independientes puede ser igual a (1, 4) VI. DEPENDENCIA LINEAL

Dado un conjunto de vectores se presenta alguno de los dos casos que se definen a continuacin:

-------------------------------------------------Se dice que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si al menos uno de ellos es combinacin lineal de los dems y linealmente independiente si ninguno de ellos es combinacin lineal de los dems.

Ejemplo:{(4, 1), (8, 2)}es un conjunto de vectores linealmente dependiente y {(4, 3), (8, 3)} es un conjunto de vectores linealmente independiente

Cmo podemos saber si dentro de un conjunto de vectores hay o no hay uno que sea combinacin lineal de los dems? La respuesta se facilita mediante el siguiente:

Teorema:-------------------------------------------------El conjunto de vectores A =(a1, a2,..., an )es linealmente dependiente si y slo si:-------------------------------------------------Hay escalares k1, k2, ... , kn, al menos uno de los cuales es diferente de cero, tales que k1a1+k2a2+...+knan= 0.-------------------------------------------------De lo contrario, el conjunto de vectores A es linealmente independiente.

Ejemplos:El conjunto de vectores {(2, 4), (5,10)} es linealmente dependiente, ya que hay los escalares -2.5 y 1 tales que -2.5 (2, 4) + (5, 10) = (0, 0). En cambio, el conjunto de vectores {(1, 0), (1, 1)} es linealmente independiente ya que la nica forma de que k(1, 0) + s(1, 1) = (0,0) es que k = s = 0.

Ejercicio 8 Es el siguiente conjunto de vectores linealmente dependiente o independiente? {(3, 0, -1),(0, 3, 5),(1, -4, -7)} Justifique su respuesta Sugerencia: Ver si k (3, 0,-1)+m (0, 3, 5)+ s (1,-4, -7) = (0,0,0) para algn k, m o s distintos de cero. VII. BASE Y DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL

-------------------------------------------------Se dice que el conjunto de vectores A es una base del espacio vectorial V si y slo si:-------------------------------------------------a) A es linealmente independiente-------------------------------------------------b) A genera a V.

EjemploEl conjunto de vectores {(1, 0), (1,1)} es una base de R2. (Para verificarlo compruebe que el conjunto es linealmente independiente y luego suponga que (x, y) es un vector cualesquiera de R2 y muestre que (x, y) es una combinacin lineal de los vectores (1, 0) y (1,1)).

Enunciamos a continuacin dos teoremas sobre las bases de un espacio vectorial:

Teoremas: a) -------------------------------------------------Todo espacio vectorial tiene una base b) -------------------------------------------------Si una base de un espacio vectorial tiene n elementos, entonces cualquier otra base de ese espacio vectorial tiene n elementos.

A partir de los teoremas anteriores definimos ahora el concepto de:

Dimensin de un espacio vectorial-------------------------------------------------Si una base de un espacio vectorial V tiene n elementos, se dice que la dimensin de V es n.

Ejemplo: la dimensin del espacio vectorial R2 es 2, ya que una base de R2, llamada la base cannica es: {(1, 0), (0,1)}, que tiene dos elementos.

Enunciamos a continuacin dos teoremas sobre las bases de un espacio vectorial: Teorema:-------------------------------------------------Sea V un espacio vectorial de dimensin n, entonces:-------------------------------------------------a) Un conjunto de ms de n vectores en V es linealmente dependiente.-------------------------------------------------b) Todo conjunto S linealmente independiente de n vectores es una base de V.-------------------------------------------------c) Todo conjunto T de n vectores que genera a V es una base de V.

Por ejemplo, el conjunto R4 de vectores de la forma (x, y, z, t) es un espacio vectorial de dimensin 4.Entonces, de acuerdo con el teorema anterior, un conjunto de cinco vectores de R4 es linealmente dependiente.El conjunto {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}es una base de R4 y cualquier otro conjunto de cuatro vectores que genere a R4 es una base de R4.

Teorema:-------------------------------------------------Si S es un conjunto de vectores que genera el espacio vectorial V, entonces-------------------------------------------------a) Cualquier subconjunto de S que sea linealmente independiente y tenga el mximo nmero posible de elementos de S, es una base de V. -------------------------------------------------b) Si se suprime en S todo vector que sea combinacin lineal de los restantes, entonces todos los vectores restantes generan a V.

Ejercicio 9 a) Determine la dimensin del subespacio de R3 generado por el conjunto de vectores {(1, 1, 1), (2, 1, -1), (1, 0, -2)}Sugerencia: para encontrar la dimensin del espacio vectorial generado por un conjunto de vectores, puede encontrarse la matriz escalonada reducida de la matriz cuyos renglones (o columnas) estn formados por esos vectores. El rango de la matriz es la dimensin del subespacio generado por esos vectores:b) Diga si el conjunto {(1, 2), (2, 1)} es o no una base de R2c) Diga si el conjunto {(1, 0, 0), (0, 0, 1)} es o no una base de R3 d) Cuntos elementos tiene cualquier base de R2?e) Cuntos elementos tiene cualquier base de Gen[(1, 0, 0), (0,0,1)]?f) Cul es la dimensin de R2?g) Es el conjunto de vectores (1, 2), (3, 4), (5, 6)? una base de R2?h) Es { (1, 3), (3, 1)} una base de R2?i) Suponga que un conjunto S de cinco vectores genera el espacio vectorial V. Si R es un conjunto de tres vectores y R es el subconjunto linealmente independiente de S que tiene ms vectores, Es R una base de V? Qu vectores pueden suprimirse de S para obtener una base de V?j) Considere el espacio vectorial W generado por los siguientes vectores: {(1, 1, 2), (3, 1, 0), (7, 2, 1), (1, -1, 5), (2,0, 1)} Elija el menor nmero de estos vectores con los cuales pueda generar a W k) Aada un vector al conjunto B = {(1, 3, -1), (1, 1, 2)} para que B sea una base de R3 . Bases de los espacios de una matriz

Hay diversos espacios asociados a una matriz. Uno de ellos es el espacio nulo, que consiste en el conjunto de soluciones del sistema homogneo asociado a la matriz. A manera de ejemplo, veamos la forma de encontrar una base para el espacio nulo de la matriz: 1-10 101 2 -4 -2

a) La solucin general del sistema homogneo que tiene esa matriz de coeficientes es: (-4z, 2z, z)b) Que puede escribirse z(-4, 2, 1). Esto significa que todas las soluciones del sistema se pueden obtener como combinaciones lineales del vector (-4, 2, 1)c) Dado que el conjunto {(-4, 2, 1)} es adems linealmente independiente, constituye una base del espacio nulo de la matriz.

Ejercicio 10Considere la siguiente matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales:

1-12 -10-1 2 -4 6

a) Encuentre una base para el espacio de soluciones del sistema homogneo asociado (Llamado espacio nulo)b) Encuentre una base para el espacio de renglones de la matriz (el subespacio de R3 generado por los vectores rengln)c) Encuentre una base para el espacio de columnas de la matriz (el subespacio de R3 generado por los vectores columna)e) Cul es la dimensin de cada uno de esos espacios?f) Hay alguna relacin entre el rango de la matriz y la dimensin de estos espacios?

VIII.COORDENADAS DE UN VECTOR CON RESPECTO A UNA BASE

Teorema: -------------------------------------------------Si A es una base del espacio vectorial V, entonces cualquier elemento de V se puede escribir, de slo una manera, como una combinacin lineal de los vectores de A.

Por ejemplo, el vector (1, 5) es un elemento de R2. Consideremos el conjunto A={(1, 2), (2, 1)}, que es una base de de R2. Escribamos el vector (1, 5) como una combinacin lineal de los vectores de A:3(1, 2) - (2, 1)El teorema nos asegura que no hay otra manera de obtener el vector (1, 5) a partir de los vectores de A.Definicin:El teorema anterior asegura que si A = (a1, a2,..., an) es una base del espacio vectorial V y si b es un vector cualesquiera de V, entonces existe una sla manera de escribir b en la forma b = k1a1+k2a2+...+knan.Se dice entonces que los escalares k1,k2,...,kn son las coordenadas de b con respecto a la base A y que los vectores a1, a2,..., an son sus componentes. As, en el ejemplo anterior, los escalares 3 y -1 son las coordenadas del vector (1, 5) con respecto a la base {(1, 2), (2, 1)}y los vectores (1, 2) y (2, 1) son sus componentes. Podemos expresar esto de una manera ms compacta diciendo que el vector (1, 5) se escribe ( 3, -1) con respecto a la base {(1, 2), (2, 1)}. Consideremos otro ejemplo :A = {(2, 4), (-2, 1)} es una base del espacio vectorial R2. Si v = (a, b) es un vector cualesquiera de R2, entonces v se escribe:((a+2b)/10, (-2a+b)/5)con respecto a la base A.

Ejercicio 11a) Cmo se escribe el vector v = (a, b) con respecto a la base {(1, 3), (2, 5)}? Verifique su respesta.b) Muestre que {(1, 3), (3, 1)} es una base de R2c) Escriba (2, 5) como una combinacin lineal de los vectores {(1, 3), (3, 1)}d) Cules son las coordenadas de (2, 5) con respecto a la base {(1, 3), (3, 1)}e) Cules son las componentes de (2, 5) con respecto a la base {(1, 3), (3, 1)}f) Cmo se escribe el vector v = (a, b) con respecto a la base {(1, 2), (0, 1)}? Verifique su respuesta.g) Escriba el vector (1, 5, 3) con respecto a la base {(1, 2, 0), (2, 0, 1), (1, 1, 2)}.

VIII. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

En el espacio vectorial Rn podemos definir una operacin llamada producto escalar de dos vectores de la siguiente manera:

-------------------------------------------------Sean a = (a1, a2, ..., an) y b = (b1, b2, ..., bn) dos vectores del espacio vectorial Rn. -------------------------------------------------El producto escalar de a y b es el escalar a1b1+ a2b2 + ...+ anbn, -------------------------------------------------que se denota mediante la expresin ab

Por ejemplo, si a = (2, -3, 4) y b = (1, 1, -3), entonces el producto escalar de a y b es -13, ya que 2(1) + (-3)(1) + (4)(-3) = -13, y podemos escribir: ab = -13.Cabe notar que este producto se llama escalar porque el resultado de la operacin con los dos vectores es un escalar. Se le llama tambin producto punto.

Desde el punto de vista geomtrico el producto de dos vectores de R2 o R3 es igual al producto de las longitudes (llamadas tambin normas) de los vectores y el coseno del ngulo que forman.Es decir, que si a y b son dos vectores de R2 o R3 cuyas normas son a y b respectivamente y es el ngulo formado por ellos, entonces:

a b = abcos

Por ejemplo, sean los vectores (2, 1) y (4,-1). Utilizando el teorema de Pitgoras podemos verificar que el producto escalar de cada vector por s mismo es igual al cuadrado de su longitud, de manera que la longitud o norma del vector (2, 1) es:

=

y la del vector (4, -1) es

=

Mientras que el coseno del ngulo formado por los vectores (2, 1) y (4, -1) es:

cos = ((2, 1)(4, -1) )/(5 17) = 7/85

lo cual corresponde al ngulo:

ArcCos(7/85)

Ejercicio 12a) Cul es el producto escalar de los vectores (1, 1) y (-1, 1)?b) Cul es la norma del vector (3, 4)?c) Cul es el ngulo formado por los vectores (1, 1) y (0, 1)?d) Cul es el producto escalar de dos vectores perpendiculares? Porqu? Ilustre su respuesta por medio de dos ejemplos.e) Cul es el producto escalar de dos vectores paralelos? Porqu? Ilustre su respuesta por medio de dos ejemplos.f) Encuentre un vector paralelo al vector (1, -2)g) Encuentre un vector perpendicular a cada uno de los vectores (1, 1, 2) y (3,-3,4) i) Es este vector una solucin del siguiente sistema homogneo? x + y + 2z = 0 3x -3y +4z = 0 ii) Qu sugiere esta situacin?