El  Producto  escalar  para  “las    comunicaciones”  (parte  1)  

Luca  Mar9no  Apuntes  no  revisados  

Cuidado!  

Producto  Escalar    

•  El  “producto  escalar”,  también  conocido  como  “producto  interno”  o  “producto  punto”,  es  una  operación  matemá9ca    definida  sobre  dos  elementos  cuyo  resultado  es  un  número  (un  escalar).  

Producto  Escalar  (def.  genérica)  

•  El  producto  escalar  entre  2  genéricos  elementos  x  y  z,  9ene  las  siguientes  propiedades:    

€

< x,x > ≥ 0

€

< x,z >= (< z,x >) *

€

< ax + by,z >= a < z,x > +b < y,x >

1.  Definido  Posi9vo  

2.  Hermi9cidad  (simetría  en  campo  real)  

3.  Linealidad  

€

< x,x >= 0 Si  y  solo  si  x=0  El  producto  escalar  dado  2  elementos  nos  proporciona  un  numero,  un  escalar.  

€

< x,z >= es un valor escalar

Producto  Escalar  entre  vectores  

•  Consideremos  2  vectores  de  dimensión  N    

•  Un  posible  producto  escalar  en  este  caso  es      

€

x = [a1,a2,....aN ] z = [b1,b2,....bN ]

€

< x , z >= aibi

i=1

N

∑ = a1b1 + a2b2 + ....+ aNbN

€

< x , x >=

x 2 = ai2

i=1

N

∑€

ai y bi valores reales

€

< x , z >= aibi

*

i=1

N

∑

€

valores complejos

Producto  Escalar  entre  vectores  

•  Consideremos  ahora  2  vectores  de  dimensión  2    

€

x = [a1,a2] z = [b1,b2]

€

< x , z >= a1b1 + a2b2

€

x

€

z

€

a1€

a2

€

b1€

b2

Producto  Escalar  entre  vectores  

•  Hay  otra  manera  de  expresarlo  

€

x = [a1,a2] z = [b1,b2]

€

< x , z >= a1b1 + a2b2 =

€

x

€

z

€

< x , z >=

x z cosϑ

€

x = a12 + a2

2

z = b12 + b2

2 €

ϑ

Por  esto  si  los  vectores  son  ortogonales  

€

< x , z >= 0

€

(cosϑ = 0)

€

x

€

z

€

ϑ = π2

€

x cosϑ

€

x

€

z

€

ϑ

€

z cosϑ

Producto  Escalar  con  un  vector  unitario  

•  Si  un  vector  es  unitario  por  ejemplo    

•  En  este  caso  el  producto  escalar  coincide  con  la  proyección  de      sobre            donde                            .        

€

x

€

z

€

< x , z >=

x ⋅ 1⋅ cosϑ =

= x cosϑ

€

z =1

€

ϑ

€

x cosϑ

€

z =1

€

z

€

x

Producto  Escalar  con  vectores  unitarios  (base  ortonormal)  

•  Los  ejes  en  un  sistema  de  referencia  están  definidos  por  vectores  unitarios  

•  En  este  caso  el  producto  escalar  de            con            y            coincide  con  las  coordenadas  del  punto  correspondiente  a          .    

€

< x , v 1 >=

x ⋅ 1⋅ cosϑ1 =

= x cosϑ1 = a1

< x , v 2 >=

x ⋅ 1⋅ cosϑ2 =

= x cosϑ2 = a2

€

v 1 =1

€

< v 1, v 2 >= 0

€

x

€

a1€

a2

€

1€

1

€

v 2

€

v 1

€

ϑ1

€

ϑ2

€

x

€

v 1

€

v 2

€

x

€

< x , v 1 >= a1

< x , v 2 >= a2

€

v 2 =1

Base  ortonormal  

•  Este  concepto  es  muy  importante,  pues,  lo  vamos  a  evidenciar.  

•  Dada  una  base  ortonormal  (vectores  ortogonales  y  unitarios)  

•  Un  vector  genérico                                          se  puede  expresar  así:  

•  Lo  repe9mos  porque  es  un  concepto  muy  importante.  

€

x

€

a1€

a2

€

1€

1

€

v 2

€

v 1

€

ϑ1

€

ϑ2

€

< x , v 1 >= a1

< x , v 2 >= a2

€

v 1 =1

€

< v 1, v 2 >= 0

€

v 2 =1

€

x = a1,a2( )

€

x = < x , v 1 >,< x , v 2 >( )

Producto  Escalar  entre  vectores  infinitos    

•  Se  podría  incluso  pensar  a  unos  vectores  infinitos  

•  Y  claramente  el  producto  escalar  pasará  a  ser  una  serie  (suma  infinita)  

•  En  este  caso  se  pone  el  problema  de  convergencia  de  la  serie.  Es  decir,  en  general,  esta  suma  podría  divergir  a  infinito.  La  convergencia  dependerá  si  la  “señales  discretas”          y            9enen  “energía  finita”.    

€

N →+∞

€

x = [a1,a2,a3,....,ai,...] z = [b1,b2,b3,....,bi,...]

€

< x , z >= aibi

i=1

∞

∑ = a1b1 + a2b2 + ....+ aibi + ....

Pensar  a  señales  discretas  infinitas  (un  tren  de  deltas  infinito).  

€

x

€

z

Producto  Escalar  entre  matrices  

•  Para  evidenciar  que  el  producto  escalar  puede  ser  definido  sobre  elementos  de  diferente  9po,  como  ejemplo  damos  una  la  definición  de  un  producto  escalar  entre  matrices  llamado  “producto  interno  de  Frobenius”.  

•   Dada  2  matrices  A,  B  de  dimensiones  

•  El  producto  escalar  de  Frobenius  está  definido  como    €

n × m

€

A = aij[ ]

€

B = bij[ ]

€

i =1,....,nj =1.....,m

€

< A,B >= tr(ABT ) = tr(BAT ) = aijj=1

m

∑ biji=1

n

∑ = aiji=1

n

∑ bijj=1

m

∑

Producto  Escalar  entre  matrices  

         Claramente,  este  producto  escalar  respecta  las  propiedades  definidas  en  las  primeras  trasparencias.    

•  Ejemplo  

€

A =1 6 37 1 4⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

< A,B >=1⋅ 8 + 6⋅ 2 + 3⋅ 1+ 7⋅ 0 +1⋅ 5 + 4⋅ 9 = 64

€

B =8 2 10 5 9⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

ABT =23 5762 41⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

Solo  para  comprobar  la  definición  podemos  calcular  

€

BAT =23 6257 41⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

tr(ABT ) = 23+ 41 = 64

€

tr(BAT ) = 23+ 41 = 64

Producto  Escalar  entre  funciones  (señales  con9nuas)  

•  Ahora  consideraremos  señales  de  energía  finita,  es  decir  

•  En  este  caso  el  producto  escalar  está  definido  como  €

x(t) 2dt < +∞−∞

+∞

∫

€

x(t)2dt < +∞−∞

+∞

∫

Para  señales  a  valores  complejos  

Que  se  reduce  a  

 para  señales  a  valores  reales  

€

< x(t),z(t) >= x(t)z * (t)dt−∞

+∞

∫

€

< x(t),z(t) >= x(t)z(t)dt−∞

+∞

∫ €

señales a valorescomplejos

€

señales a valores reales

Función  de  correlación  como  Producto  Escalar    

•  Para  señales  de  energía  finita,  

•  La  correlación  entre  2  señales  está  definida  como  

•  Esto  es  claramente  un  producto  escalar  entre  una  señal  y  la  otra  desplazada,  

€

x(t) 2dt < +∞−∞

+∞

∫

€

RXZ (τ) =< x(t),z * (t −τ) >= x(t)z * (t −τ)dt−∞

+∞

∫€

RXZ (τ) = x(t)z * (t −τ)dt−∞

+∞

∫

€

señales a valorescomplejos

Función  de  correlación  como  Producto  Escalar    

•  La  autocorrelación  queda    

€

RX (τ) =< x(t),x * (t −τ) >= x(t)x * (t −τ)dt−∞

+∞

∫

Convolución  como  producto  escalar    

•   Sabemos  que  la  convolución  entre  2  señales  está  definida  como  

•  Se  puede  ver  como  un  producto  escalar  

€

CXY (τ) = x(t)∗ y(t) = x(t)−∞

+∞

∫ y * (τ − t)dt

€

CXY (τ) = x(t)−∞

+∞

∫ y * (τ − t)dt =< x(t),y * (τ − t) >

Transformada  de  Fourier  como  Producto  Escalar    

•   La  trasformada  de  Fourier  está  definida  (una  de  las  muchas  posible  definiciones)  

•  Podemos  expresarlo  como  producto  escalar  entre                        y  la  exponencial  compleja      

•   En  termino  de  senos  y  cosenos  seria    

€

F( f ) = x(t)e− j2πftdt−∞

+∞

∫

€

F( f ) =< x(t), e j 2πft( )* > x(t)e− j2πftdt−∞

+∞

∫€

x(t)

€

e j2πft

Recordar  que  está  el  conjugado!  

€

F( f ) =< x(t),cos(2πft) > − j < x(t),sin(2πft) >

Significado  del  Producto  Escalar    

•   El  producto  escalar,  en  un  cierto  sen9do,  mide  el  parecido  entre  dos  vectores/funciones/  señales.  

•  El  producto  escalar  compara  dos  vectores/funciones/señales.  

•  Cuando  2  elementos  son  ortogonales  (producto  escalar  nulo)  podemos  afirmar  que  son  LINEALMENTE  INDEPENDIENTES  (es  decir,  NO  CORRELACIONADOS).  

•  La  correlación  (y  la  autocorrelación)  es  un  producto  escalar  entre  versiones  desplazadas  de  las  señales.  

•  La  trasformada  de  Fourier  mide  el  parecido  entre  la  señal  y  un  seno  y  un  coseno  (a  frecuencia  establecida),  a  través  de  un  producto  escalar.  

Pequeño  resumen  

•   Hemos  visto  diferentes  productos  escalares  entre  2  elementos:  

Tipo  elemento   Producto  escalar   Formula  

Vectores  finitos   Suma  finita  entre  las  coordenadas    

Vectores  infinitos  (señales  discretas)  

Suma  infinita  entre  las  coordenadas  (serie)  

Matrices  (finitas)   Doble  suma  entre  las  coordenadas  

Funciones  (señales  con9nuas)  

Integral  del  producto  de  las  funciones  

€

aibi*

i=1

N

∑

€

aibi*

i=1

+∞

∑

€

aijbij*

i=1

m

∑i=1

n

∑

€

x(t)z * (t)dt−∞

+∞

∫