problemario de cÁlculo vectorial · como el producto vectorial de las dos recta que son...

139
Este Problemario contiene una serie de problemas resueltos que sirvan de base para que los estudiantes cuenten con una guía para poder resolver otros problemas que versen sobre el Cálculo vectorial. Este problemario se elaboró como apoyo a los estudiantes del SEAARA PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL ESIME ZACATENCO FRANCISCO MUÑOZ APREZA

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Page 1: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

Este Problemario contiene una serie de

problemas resueltos que sirvan de base

para que los estudiantes cuenten con una

guía para poder resolver otros problemas

que versen sobre el Cálculo vectorial. Este

problemario se elaboró como apoyo a los

estudiantes del SEAARA

PROBLEMARIO DE

CÁLCULO VECTORIAL ESIME ZACATENCO

FRANCISCO MUÑOZ APREZA

Page 2: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

1

Modulo I

Índice

La ecuación de la Recta

La ecuación del Plano

Sistema de coordenadas rectangulares

Sistema de coordenadas polares

Sistema de coordenadas cilíndricas

Sistema de coordenadas esféricas

La Ecuación de la recta y del plano

DEFINICIÓN

“DOS PUNTOS CUALESQUIERA DEFINEN A UNA RECTA”

Definición de la recta en su representación vectorial

ℓ={P|Po+ta para todo t en R}

1.- Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (2, 3, 5); B (6, -1, 8);

Solución

B- A = (2, 3, 5)- (6, -1, 8) = ( 4, -4, 3 )

(x, y, z)= (2, 3, 5 ) + t (4, -4, 3 ) ecuación vectorial

(x, y, z)= (2+4 t, 3+ -4t, 5+ 3t)

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2

x = 2+4 t;

y = 3 - 4 t; Ecuaciones Paramétricas

z = 5+3 t;

2.- Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos

A (1, 0, 0); B (3, -2, -7)

Solución

(x, y, z)= (1+ t (3-1), 0+ t (-2-0), 0+ t (-7-0))

(x, y, z)= (1+ t (2), t (-2), t (-7))

x = 1+2 t;

y = - 2 t; Ecuaciones Paramétricas

z = -7 t;

3.- Ecuación de la recta que pasa por los puntos A (5, -2, 4);B (2, 6, 1)

Solución

(x, y, z) = (5+ t (2-5), -2+ t (6+2), 4+ t (1-4))

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3

(x, y, z) = (5+ t (-3), -2+ t (8), 4+ t (-3))

x = 5-3 t;

y = - 2 +8t; Ecuaciones Paramétricas

z = 4-3 t;

4.- Obtener las ecuaciones Paramétricas de la recta que pasa por

P(6, 4, -2) y es paralela a la recta tzyx

6

5

3

1

2

Solución

t = x/2; t = 1-y / 3; t = z-5 /6;

x = 6+2 t;

y = 4 – 3 t; ecuaciones Paramétricas

z = -2+6 t;

5.- Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P (1, 2, 1); Q (3, 5, -2)

a =Q– P = ( x2 –x1, y2 –y1, z2 –z1 ) = ( a1 , a2, a3 )

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4

(x, y, z)= P + t a

a = (3-1, 5-2, -2-1)= (2, 3, -3)

(x, y, z) = (1, 2, 1) + t (2, 3, -3)

6.- Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P (10, 2, -10);

Q (5, -3, 5);

a = (3-1, 5-2, -2-1)= (2, 3, -3)

(x, y, z) = (1, 2, 1) + t (2, 3, -3)

𝒙 − 𝟏 = 𝟐𝒕, 𝒚 − 𝟐 = 𝟑𝒕, 𝒛 − 𝟏 = −𝟑𝒕 Ecuaciones paramétricas

𝒙 − 𝟏

𝟐= 𝒕,

𝒚 − 𝟐

𝟑= 𝒕,

𝒛 − 𝟏

−𝟑= 𝒕

𝒙−𝟏

𝟐=

𝒚−𝟐

𝟑=

𝒛−𝟏

−𝟑 Ecuaciones simétricas

7.- Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos

1,

2

1,

2

1P

2

1,

2

5,

2

3Q

a = P-Q =

1

2

1,

2

1

2

5,

2

1

2

3=

2

3,3,2

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5

(x, y, z) =

1,

2

1,

2

1 + t

2

3,3,2

Ecuación de la recta

8.- Hallar el ángulo entre dos rectas l1 y l2

l1 = l1 =

36.4021

16cos

21

16

7*3

1262cos

1

ba

ba

9.- Encuentre las ecuaciones paralelas, simétricas y la ecuación vectorial de la recta que

pasa por el punto 𝑷𝟎 (𝟎, 𝟎, 𝟎) y es paralela al vector (3,1,5)V

( x-0, y-0, z-0 ) = ( 0,0,0 )t + (3, 1, 5 ) Ecuación vectorial de la recta

3x t , y t , z=5t Ecuaciones paramétricas de la recta

3 1 5

x y z

Ecuaciones Simétricas de la recta

x = 5 + 2s

y = 1 + 3s

x = 4 - t

y = 3 + 2t

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6

10.- Obtener las ecuación de la recta de para por el punto Po = ( 1, 0, 1 ) y es

paralela a la recta con ecuaciones paramétricas dadas

x = 3 + t, y = 5 -2t, z = -7+ t

Por lo tanto

V = < 1, -2, 1 >

Entonces la ecuación de la recta en su forma vectorial es:

(x,y,z ) = ( 1, 0, 1 ) + t ( 1 , -2, 1 )

11.- Encuentre la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y al ecuación cartesiana

de la recta que pasa por los puntos

P1= (7,2,-3)

P2= (1,1,1)

Solución

P2-P1= (1,1,1)- (7,2,-3) = (-6,-1,4) =a

Ecuación vectorial

Po = P+ta

(x,y,z)= (1,1,1)+t(-6,-1,4)

Ecuaciones paramétricas

(x,y,z) = (1,-6t,1-t,1+4t)

X=1-6t t=1-x/6

Y=1-t t=4-1

T=1+4t t=z-1/4

Ecuación cartesiana

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7

Como

(1 − 𝑥

6= 𝑦 − 1 =

𝑧 − 1

4)

Multiplicamos por 24

24 (1−𝑥

6= 𝑦 − 1 =

𝑧−1

4)

4-4x = 24y-24 = 6z-6

6z+4-24y-6+24-4 = 0

4x-24y+6z+14

12.- Encuentre la ecuación vectorial, las paramétricas y la cartesiana de la recta que pasa

por:

P1(7, 2, -3)

P2(1, 1, 1)

P2-P1= (1, 1, 1) – (7, 2, -3)= (-6, -1, 4)=9

(x,y,z) = (1, 1, 1) + t(-6, -1, 4)

Ecuaciones paramétricas.

(x,y,z) = (1, 1, 1) + (-6t, -t, 4t)

(x,y,z) = (1, -6t, 1 -t, 1+4t)

X= 1 – 6t 𝑡 =1−𝑥

6

Y= 1 – t 𝑡 = 4 − 1

Z= 1 + 4t 𝑡 =𝑧−1

4

Ecuación cartesiana.

1−𝑥

6 = y – 1 =

𝑧−1

4

4 − 4𝑥 = 244 − 24 = 6𝑧 − 6

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8

6z + 4x – 24y – 6 + 24 – 4 = 0

13.- Sean dos rectas con vectores directores (2,2,2) y ( 5, -1, 1 ) encuentre si las dos

rectas son paralelas u ortogonales y calcule el ángulo formado por ellas

Dado que

Definiciones

ℓ1 || ℓ2a1||a2

ℓ1 ⊥ ℓ2a1⊥a2

ℓ1 ∢ ℓ2a1∢a2

Sean ( 2,2,2) y ( 5,-1,1)

Demuestre sí ℓ1 || ℓ2

(2,2,2) =r(5,-1,1)

2 = 5r

2= -r

2= r

Como las r son diferentes

ℓ1 ∦ ℓ2

Encontrar si ℓ1 ⊥ ℓ2?

(2,2,2)˖(5,-1,1) = 10-2+2 = 10 ≠ 0

Por lo tanto

∴ℓ1 ⊥ ℓ2

Encontrar el ángulo formado por ℓ1 y ℓ2?

Definición

a*b= |a||b| cosƟ

4x – 24y + 6z + 14 =0

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9

Definición

|𝑎| = √𝑎2 + 𝑎2 +⋯𝑎2𝑛

Entonces

|a1|=√25 + 1 + 1 = √27

|a 2|=√4 + 4 + 4 = √12

10=√27√12 𝑐𝑜𝑠Ɵ

10

√27√12 = cos 𝜃

Ɵ= cos-1- 10

√27√12

Ɵ=62.5o

14.- Sea a=(1,2,3) b=(7,5,4)

¿a||b?

(1, 2, 3) = r(7, 5, 4)

(1, 2, 3) = (7r, 5r, 4r)

1=7r r=1/7

2=5r r=2/5

3=4r r=3/4

∴ a || b

a|b

(1, 2, 3)(7, 5, 4) = 7 + 10 + 12 = 0

= 29

∴ a|b

𝑎∢b

|a|=√1 + 4 + 9 =√14

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10

|b|=√49 + 25 + 16 =√90

29=√14 + √90 𝑐𝑜𝑠𝜃

29

√14 √90= 𝑐𝑜𝑠𝜃

cos−129

√14 √90= 𝜃

𝜃 = 35° 10′48"

DEFINICIÓN

3 PUNTOS NO COLINEALES DEFINEN UN PLANO

15.- Encontrar la ecuación vectorial del plano si A = (5, 1, 3) es perpendicular al vector

2i + 3j + 4k

Solución:

[ai + bj + ck] • [(x–x0)i – (y–y0)j + (z–z0)k] = 0

< 5, 1, 3> • < 2(x–x0) – 3(y–y0) + (z–z0)4> = 0 Ecuación vectorial del plano

[2(x–5) – 3(y–1) + 4(z–3)] = 0

2x – 10 – 3y + 3 + 4z – 12 = 0

2x – 3y + 4z – 19 = 0

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11

Ecuación general del Plano 2x - 3y + 4z = 19

16.- Halle la ecuación del Plano que pasa por P (6, 10, -7) y es perpendicular al vector -

5i + 3k

Solución:

[6, 10, -7] • [-5(x–x0) + 3(z–z0)] = 0

[-5(x–6) + 3(z+7)] = 0

-5x + 30 + 3z + 21 = 0

(-5x + 3z = -51)*(-1)

Ecuación del Plano 5x - 3z = 51

17.- Calcular la ecuación del Plano que pasa por P(5, 2, -3) y es perpendicular a

2x –y + 4z = 7 y 3y – z = 8

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12

Solución

Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal

del plano entonces a = 2i – j + 4k y b = 3j - k

130

412

kji

ban

n = (1–12) i – (–2) j + (6) k = -11i + 2j + 6k

[5, 2, 3] • [-11(x–x0) + 2(y–y0) + 6(z–z0)k] = 0

-11(x–5)i + 2(y–2) + 6(z–3)k] = 0

-11x + 55 + 2y – 4 + 6z + 18 = 0

-11x + 2y + 6z + 69 = 0

(-11x + 2y + 6z = -69)(-1)

Ecuación del Plano 11x – 2y - 6z = 69

18.- Encuentre la ecuación del plano que pasa por P(2,1,-1) y es perpendicular a la recta

de intersección de los planos 2x + y – z = 3, x + 2y + z = 2.

Solución:

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13

yx

yx

zyx

zyx

3

5

533

22

32

yz

yz

zyy

zyx

3

1

23

5

223

5

22

𝑠𝑖 𝑦 = 𝑡

tz

ty

tx

3

1

3

5

N = <-1,1,-1>

0

0112

01,1,11,1,2

zyx

zyx

zyx

19.- Encuentre las ecuaciones del plano que pasa por el Po(2,4,5) y es perpendicular

a la recta x=5+t, y=1+3t, z=4t

V1=(1, 3, 4) V2(5 - 2,1- 4, 0-5) = < 3, -3, -5>

V1xV2 =|𝑖 𝑗 𝑘1 3 43 − 3 − 5

| = (−15 + 12)𝑖 − (−5 − 12)𝑗 +

(−3 − 9)𝑘

N = -3i+17j-12k

< -3, 17, -12 >•< x – 2, y – 4, z – 5> = 0

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14

x-2+3y-12+4z-20=0 Ecuación escalar

x+3y+4z-34=0 Ecuación General

21.- Encuentre la ecuación vectorial del plano que pasa por los puntos (2,3,7), ( 1,6,4) y (

1,-3,3)

Analicemos si los putos son no colineales

Definición

Tres puntos son no colineales si uno de los tres no pertenece a la recta generada por los

otros dos

Construyamos la ecuación de una recta que pase por dos de los puntos

P1-P2=(2,3,7)-(1,6,4)=(1,-3,3)=a

(x,y,z)= (2,3,7)+t(1,-3,3)

Comprobar que el tercer punto no pertenezca a la recta.

(5,4,3 )= (2,3,7) +t(1,-3,3)

(5,4,3)=(2+t,3-3t,7+3t)

5=2+t t=3

4= 3-3t =>t=-1/3

3=7+3t

∴P1P2P3 no colineales

Encontremos la ecuación del plano en su forma vectorial

P1(-P3=(2,3,7)-(5,4,3)=(-3,-1,4)=b

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15

(x,y,z)=(2,3,7)+t(1,-3,3)+s(-3,-1,4)

Encontremos las ecuaciones paramétricas

(x,y,z)=2+t-3s,3-3t-s,7+3t+4s)

X=2+t-3s

Y=3-3t-s ec. paramétrica

Z=7+3t+4s

Calculemos la ecuación normal del plano

Definición

n* (P-P1)=0 ec. Normal del plano

Definición de la normal

n= axb = |𝑖 𝑗 𝑘

𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑏1 𝑏2 𝑏3

|

22.- Encontrar las ecuaciones del plano que pasa por los vectores a= (1,-3,3)

b= (-3,-1,4)

|𝑖 𝑗 𝑘1 − 3 3 −3 − 1 4

|

=i (-12+3)-j (4+9)+k (-1-9)=i (-9)-j (13)+k (-10)

= (-9,-13,-10)

(-9,-13,10).(x,y,z)-(1,6,4)=0

(-9,-13,10).(x-1,y-6,z-4)=0

-9(x-1)+(-13)(y-6)+(10)(z-4)=0

-9x+9-13y+48+10z-40=0

-9x-13y+10z+127=0 ec. Cartesiana del plano

22.-

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16

Si 𝜋1 ∩ 𝜋2 entonces lo hacen en una recta

¿En qué recta en 𝜋1 ∩ 𝜋2?

Sean 𝜋1; 2x+3y+z=5

𝜋2; 5x-3y+7z=-3

Multiplicando por 7 a 𝜋1 y sumándoselo a 𝜋2 tenemos

-7x -21y- 7z = 35

5x -3y +7z = -3

Tenemos -2x -24y = 32 que es la recta de 𝜋1 ∩ 𝜋2

23.-

Dos planos son perpendiculares si sus normales lo son

Sean

𝜋1 = (x, y, z) = (1,1,1) + t(2,7,4) + s(1,5,6)

𝜋2 = (x,y,z) = (3,2,7) + a(5,6,7) + b(6,6,6) Encuentre si los planos son o no paralelos

Como las normales son:

i j k n1 2 3 4 = i(18 – 20) – j(12-4) +k(10-3) 1 5 6 = i(-2) – j(8) + k(7) = (-2,8,7) i j k n2 5 6 7 = i(36-42) – j(30-42) + k(30-36) 6 6 6 = i(-6) – j(12) + k(-6) = (-6,12,-6) Entonces (-2,-8,7) = r(-6,12,-6) -2 = -6r r = 1/3 -8 = 12r ═> r = 8/12 7 = 6r

Z

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17

Como las r no son iguales entonces los planos no son paralelos Encuentre si los planos son perpendiculares (-2,-8,7) · (-6,12,-6) = 12 – 96 -42 = - 126 Como el producto punto de las normales es diferente a cero los planos no son ortogonales o perpendiculares 24.-

Si un plano y una recta se intersectan lo hacen en un punto

Sean 𝑙1 = (x,y,z)= (6,2,3)+ b(6,4,7)

𝜋2 = (x,y,z)= (1,2,-3)+ t(5,2,1)+ s(3,7,4)

Encuentre si 𝑙1 𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝜋2

Igualando las ecuaciones (1,2,-3) + t(5,2,1) + s(3,7,4) = (6,2,3) + b(6,4,7) (1+5t+3s, 2+2t+7s, -3+t+4s) = (6+6b, 2+4b, 3+7b) Construyendo el Sistema de ecuaciones 1+5t+3s = 6+6b 5t+3s-6b = 5 2+2t+7s = 2+4b = 2t+3s-4b = 0 -3+t+4s = 3+7b t+4s-7b = 6 Eliminando t -10t + 6s – 12b = 10 10t + 35s + 20b = 0

-24s + 8b = 10 24s – 8b = -10

2t + 7s – 4b = 0 -2t + 18s + 14b = -12 -11s + 10b = -12

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18

11s – 10b = 12 319s – 88b = -110 -319 + 290b = -348 202b = 458 Obtenemos el valor del parámetro b b = -458 202 Sustituyendo el valor de b en la ecuación vectorial de la recta Sus (x,y,z) = (6,2,3) + (458/ 202 ) (6,4,7) = (6,2,3) + (-13.60, -9.06, -15.87) = (-7.60, -7.06, -12.87) punto de intersección

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19

Módulo II

Índice

Sistema de coordenadas rectangulares

Sistema de coordenadas polares

Sistema de coordenadas cilíndricas

Sistema de coordenadas esféricas

Problema 1

Convertir el Punto a coordenadas cilíndricas.

Encontramos

Ahora encontramos

el cuadrante donde es negativo (-3) y es positivo (3) es el IV

cuadrante.

Ahora encontramos :

Entonces, el punto en coordenadas cilíndricas es:

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20

Problema 2

Convertir el punto en coordenadas cilíndricas a coordenadas rectangulares. Encontremos

Ahora encontremos

Ahora encontremos

Entonces, el punto en coordenadas rectangulares es:

Problema 3

Escribir la ecuación en coordenadas cilíndricas.

Sabemos que entonces sustituimos en la ecuación, obteniendo:

y ésta ecuación ya está expresada completamente en coordenadas cilíndricas,

pues solo depende de y

Problema 4

Convertir el punto a coordenadas rectangulares.

Page 22: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

21

El punto en coordenadas rectangulares es: .

Problema 5

Convertir la ecuación rectangular a coordenadas cilíndricas.

Problema 6

Convertir la ecuación rectangular a coordenadas esféricas.

Problema 7

Encuentre una ecuación rectangular para la superficie cuya ecuación esférica es

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22

ρ = senθsenφ Solución,

= ρ =ρ = senθsenφ = y

Que es la ecuación de una esfera con centro y radio

Problema 8

Hallar las coordenadas cilíndricas de (6, 6, 8) y localizar el punto

Si un punto tiene coordenadas cilíndricas (8, 2π/3, -3), ¿Cuáles son sus coordenadas cartesianas?

Solución:

a) para (6, 6, 8)

4)1(

2266

1

22

tag

r

El Punto en coordenadas cilíndricas es: 8,4/,26

b) para (8, 2π/3, -3)

342

38

3

28

42

8

3

2cos8cos

sensenry

rx

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23

El Punto en coordenadas cartesianas es: 3,34,4

Problema 9

Hallar las coordenadas esféricas de (1, -1, 1)

Solución:

36

1174.54

3

1coscos

4

3

41

1

31)1(1

11

11

222222

z

tgx

ytg

zyx

Problema 10

Hallar las coordenadas cartesianas 4/,2/,3

Solución:

scartesianasCoordenadaP

z

sensensenseny

sensenx

)2

23,

22

3,

22

33(

2

23

2

3

4cos3cos

22

3

2

1

2

13

643

22

33

2

3

2

13

6cos

43cos

Problema 11

Page 25: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

24

Transformar las coordinadas como se indica:

P1(12,,5) Cilíndricas Esféricas

.)36

13,,13(

36

1336.037.65

12

5coscos

131695012

0sin12

12cos12

11

222

esfericassCoordenadaP

r

z

y

x

P2(2

,2

3,22

) Esféricas Cilíndricas

sCilindricasCoordenadaP

yxr

z

y

x

)0,2

3,22(

2222

02

3cos22cos

222

sin2

3sin22sinsin

02

cos2

3sin22cossin

222

Problema 12

Hallar ecuaciones en coordenadas cilíndricas para las superficies cuyas ecuaciones

rectangulares se especifican a continuación:

a) x 2 + y 2 =4z2

b) y2 = x

Solución a)

Page 26: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

25

Por la sección procedente sabemos que la grafica de x2 +y2 =4z2 es un cono «de dos

hojas» con su eje en el eje z. si sustituimos x2 + y2 por r2, obtenemos su ecuación en

cilíndricas.

X2 +y2 =4z2 ecuación en coordenadas rectangulares.

r2 = 4z2 ecuación en coordenadas cilíndricas.

Solución b)

La superficie y2 = x es un cilindro parabólico con generatrices paralelas al eje z.

Sustituyendo y2 por r2 sen2 ө y x por r cos ө, obtenemos:

y2 = x ecuación rectangular.

r 2 sen2 ө = r cos ө sustituir y por sen ө, x por r cos ө.

r(r sen2 ө –cos ө) = 0 agrupar terminos y factorizar

r sen2 ө –cos ө = 0 dividir los dos miembros por r

r =cos ө / sen2 ө despejar r

r cosec ө ctg ө ecuación en cilíndricas.

Problema 13

Hallar una ecuación en coordenadas esféricas parar las superficies cuyas ecuaciones en

coordenadas rectangulares se indican.

a).- cono: x2 + y2 = z2

b).- esfera: −4z = 0

Solución:

a).-haciendo las sustituciones adecuadas para x, y, z en la ecuación dada se obtiene:

Page 27: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

26

x2 + y2 = z2

p2 sen2 Ф cos2ө + p2 sen2Ф sen2ө =p2 cos2Ф

p2 sen2 Ф (cos2ө + sen2ө) =p2 cos2Ф

p2 sen2 Ф = p2 cos2 Ф

sen2 Ф/ cos2 Ф = 1 p> 0

tg2 Ф = 1 Ф = π /4 o Ф = 3π/4

La ecuación Ф = π/4 representa la mitad superior del cono y la ecuación Ф = 3π/4 su

mitad inferior.

b).-como p2 = x2 +y2 + z2 y z = p cos Ф, la ecuación dada adopta la siguiente forma en

coordenadas esféricas.

P2 – 4 p cos Ф = 0 → p (p −4 cos Ф) = 0

Descartando por el momento la posibilidad de que p = 0, obtenemos la ecuación en

esféricas.

P −4 cos Ф = 0 o p = 4cos Ф

Problema 14

Transformar las coordenadas cilíndricas

en esféricas

)0,2

,22(

22)22(0

02

3cos22cos22

222

cos2

3sin22sinsin

02

cos)2

3sin(22cossin

)2

,2

3,22(

)36

13,,13(

36

1337.65

12

5coscos

13

13169)5(0)12(

0sin12

12cos12

)5,,12(

2

222

2

1

11

22

1

P

yxr

z

y

x

P

P

r

z

y

x

P

Page 28: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

27

Problema 15 Transformar las coordenadas cilíndricas a cartesianas.

𝑃 (11,5

2𝜋, 6)

𝑥 == 11 cos (5

2𝜋) = 11(0.9906) = 10.8 =

54

5

𝑦 = 11 sin (5

2𝜋) = 11(0.1266) = 105 =

3

2

Z=6

R=(54

5,3

2, 6)

16.- Transformar las coordenadas cartesianas a esféricas.

𝑃 (0,2 √3,−2)

𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = √02 + 2 √32+ (−22) = 4

𝑐𝑜𝑠𝜑 =𝑧

𝑟=−2

4= 𝜑 =

2𝜋

3

𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝑥

𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑=

0

4𝑠𝑖𝑛2𝜋3

=𝜋

2

R=𝑃 (4,2𝜋

3,𝜋

2)

Problema 16

Transformar las coordenadas polares a cartesianas.

(−5.9

2𝜋)

𝑐𝑜𝑠9

2𝜋 = 0.9697

𝑥 = −5(0.9697) = −4.84 = −121

25

Page 29: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

28

𝑠𝑖𝑛9

2𝜋 = 0.2442

𝑦 = −5(02442) = −1.22 = −1221

1000

R=P(−121

25, −

1221

1000)

Problema 17

Transformar las coordenadas esféricas a cartesianas.

𝑃 (6,𝜋

4,𝜋

3)

𝑥 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜃 = 6𝑠𝑖𝑛𝜋

4𝑐𝑜𝑠

𝜋

3=3 √2

2

𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃 = 6𝑠𝑖𝑛𝜋

4𝑠𝑖𝑛

𝜋

3=3 √6

2

𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 = 6𝑐𝑜𝑠𝜋

4= 3 √2

R=𝑃 (3√2

2,3√6

2, 3√2)

Page 30: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

29

Módulo III

Funciones vectoriales

Problemas

Problema 1

1 Trazar la grafica correspondiente a la función vectorial

Las ecuaciones parametricas de la curva son x = 2 cos t

Y = 2 sent . eliminando el parámetro t de las 2 primeras ecuaciones,

Se ve que los puntos de la curva están situados en el cilindro circular

X2 + y2 = 4

2.- trazar la grafica correspondiente a la función vectorial

los puntos de la curva están situados en el cilindro X2 + y2 = 4

el valor constante z = 3 hace que la curva este situada 3 unidades arriaba del plano xy

Page 31: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

30

obtengo la función vectorial que describe la curva c de intersección del plano y = 2 x y el

paraboloide z = 9 - X2 - y2

si hacemos x = t, entonces y = 2t, y de esta manera z = 9 – t2 - 4 t2 = 9 -5t2

DOMINIO

A) jtittR 4)/1()(

]4,()0,(

4

1)4(

]4,(04

4)(

)0,(;)/1()(

......

2

2

11

21

R

R

R

RnRRR

D

t

t

Dt

jttR

DittR

DDDD

Page 32: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

31

]3,3[

33

3

9

09

9

1

2

2

2

1

RD

t

t

t

t

tR

D=R-(0,4]

B) R (t)= jttit 829 22

)2,4(

)4,(),2(

)4,()2,(

),4(),2(

4&2

4&2

04&02

04&02

0)4)(2(

082

82

2

2

2

2

RD

tt

tt

tt

tt

tt

tt

jttR

D = ( -4, 3 )

C) Si ttttg

ttttf

3,,4)(

2,9,3)(

2

2

obtener

gfD

Page 33: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

32

),(2

]3,3[

33

9

9

1)9(

09

9

),(3

,9,43))((

3,,42,9,3))((

)()())((

3

2

2

2

2

2

2

11

22

22

tD

D

t

t

t

t

t

tD

DtD

ttttttgf

tttttttgf

DDDtgtftgf

f

f

f

ff

gfgf

]3,3[),(]3,3[),(321 ffff DDDD

]3,3[),4[]3,3[)(

),4[),(),(),4[

),(3

),(

),4[4044

321

3

2

2

1

gfD

DDDDg

tD

tD

tttD

ggg

g

g

g

Page 34: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

33

Límites

Problema 1

Halle el límite de cada una de las siguientes funciones:

a. kejtt

tittr t3

2 31ln

cuando t 0

kejtt

tittr t

tttt

3

02000lim

3lim1lnlimlim

kj

kjt

it

3

1

3

1lim1ln

0

Page 35: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

34

b. kt

tj

t

tittr

2

3tan

1

13

2

2

cuando t 1

kt

tj

t

tittr

tttt

2

3tanlim

1

1lim3limlim

12

1

2

11

kji

kjt

it

2

3tan1

2

12

2

3tan

1

1lim2

1

Problema 2

a) R (t)= (t-2) i + 2

42

t

tj ;

2

)(limt

tR

jtRiml

jtiml

t

ttimlitRiml

jt

timlitimltRiml

t

t

tt

ttt

4)(

)2(

)2(

)2)(2(0)(

2

4)2()(

2

2

22

2

222

Problema 3

Halle el límite de kt

jtit

ttR

1

1

1)( 3

2

existenolímiteelkEnjitR

existenolímiteelkEnjit

tttR

kt

jtit

ttR

t

tt

tttt

01)(lim

01

)1)(1(lim)(lim

1limlim

1

1lim)(lim

0

00

0

3

0

2

00

Page 36: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

35

]2,(

2

1)2(

02

2

2

2

R

R

D

t

t

t

tD

Problema 4

ktR

k

t

ttitR

k

t

t

t

t

tt

t

t

t

itR

ktt

ttietR

t

tt

tt

t

t

tt

5

4)(lim

25

134

lim0)(lim

25

134

lim0)(lim

25

134limlim)(lim

2

3

33

3

33

2

3

3

3

23

CONTINUIDAD DE FUNCIONES VECTORIALES:

DERIVADAS DE FUNCIONES

Encontrar el dominio de R(t) y determine R´(t).

1) R (t) = jtit 21

),1[

1

01

1

1

1

R

R

D

t

t

tD

ktt

ttietR t

25

134)(

3

23

Page 37: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

36

DR(t) = [1, 2]

R´ (t) =

j

t

ttti

t

ttt

t

2211lim

0

j

tti

ttj

tti

tt

jttt

ittt

jtttt

ti

tttt

t

jtttt

ttti

tttt

ttt

jttt

ttt

t

ttti

ttt

ttt

t

ttt

t

t

t

t

t

22

1

11

1

202

1

110

1

22

1

11

1

2211

22

22

11

11

22

2222

11

1111

0

0

0

0

0

lim

lim

lim

lim

lim

R´ (t) = jitt

2212

11

Problema 2

R´(t) = ktjeitt 2

),0(

0

1

1

R

R

D

t

tD

),(

),(

3

2

2

tD

eD

R

t

R

DR(t) = ),0(),(),(),0(

R´ (t) =

t

tttj

t

eei

t

tttiml

ttt

t

2)(2

0

Page 38: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

37

kjei

ttt

ttt

t

tttiml t

t

2

02

R´ (t) =

kje

t

t222

1

Problema 3 Si la trayectoria de una partícula esta descrita por la grafica de la función 𝑟→(𝑡) =𝑒-t i + (-2e-t +1)

Obtener, en el punto P(1, -1);

a) La velocidad b) La aceleración, c) La rapidez, d) La distancia que recorre la partícula entre los puntos (e, -2e+1) y (1, -1).

a) Velocidad =

𝑟→1(t1)= - 𝑒−𝑡 + 2 𝑒−𝑡 𝑗

b) Aceleracion = 𝑟→1 (n)= -i + 2j

c) Rapidez = | 𝑟→ (t)| = √1 + 4 = √5

d) P (1,-1) → t= 0 Q(e, -2e + 1)

𝑒−𝑡= e → -t= 1 → t= -1

-2 𝑒−𝑡 + 1= -2e + 1 → 𝑒−𝑡 = e → t = -1 → t= -1 1 ≤t ≤0

L= ∫ √50

−1( 𝑒−𝑡)2 + (𝑒−𝑡)2 dt

=∫ √50

−1( 𝑒−2𝑡)2 + (4 𝑒−2𝑡)2 dt =∫ √5

0

−1 𝑒−𝑡 dt

=−√5 𝑒−𝑡|0-1 = −√5 (e0-e)

=√5𝑒 − √5 = (e - 1) √5

Problema 4

Page 39: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

38

Encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta que es tangente a la curva dada en t0 = 0.

kejttittr t cossin)( 2

Solución:

1,1,00r t = 0 P (0,-1,1)

tzytx

tzyx

tzzyyxx

r

kejttittr t

11

1,0,11,1,0

1,0,1,,

1,0,10'

sin2cos'

000

Problema 5

Encontrar los vectores tangente, unitario, normal y binormal a la curvatura que

describe la función vectorial.

kttjttittr )3

1()

3

1()( 232 , t=0,

ktjttitr )3

21()1(2)(' 2

ktjitr3

222)("

|)('|

)()(

tr

trtT

kjitT

2

1,

2

1,

2

0

2

1,1,0

|))0(3

21()01())0(2(|

1,1,0)(

2222

|)('|

)(')(

tr

tTtN

2

3

2

,2

2,

2

2

)3

21()1()2(

3

22,2

)(2222

ti

ttt

ti

tN

Page 40: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

39

B(t)=T(t)XN(t)

i J K

0

2

1

2

1

2

2

2

2

2

3

2

667i -1j -1 k>

Problema 6

Calcula la curvatura de: y = sin x

23

2cos1

sin

x

xK

Problema 7

Calcule la curvatura de la función y=ex en x=1

1119.0

2918.24

78.2

)1(

||

)1(

||

)(1

||

)('(1

|"|)(

332

2

32

2

32

e

e

e

e

e

e

xf

xFtk

x

x

x

x

x

Problema 8

Encuentre la longitud de la curva :

r(t)=(2cost)i + (2sent)j+ t5 k ; 0≤t≤π

se deriva da función y se calcula su magnitud para luego integrar para calcular la longitud

de arco:

Page 41: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

40

r’(t)=-2sent+2cost+ 5

r’(t)= 22 )5()cos2()2( tsent

r’(0)= 39540

r’(π)= 39540

0

0 3)0(3)(3|33 tdt

Problema 9

Determina la longitud de arco de la curva

r(t)= 2t𝑖 + 3t𝑗 +2

3𝑡3/2𝑘

Entre el origen y el punto 𝑃(2,3,2

3)

𝑟 , (𝑡) = 2𝑖̂ + 3𝑗̂ + √𝑡�̂�

‖𝑟 , (𝑡)‖ = √13 + 𝑡

𝐿 = ∫√13 + 𝑡 𝑑𝑡

1

0

= 2

3[143/2 − 153/2] = 3.

Page 42: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

41

INTEGRALES DE FUNCIONES VECTORIALES

Problemas

Evaluar las siguientes integrales

Problema 1

2

0

2 346 dtkjtit

ktjtit

kdtjtdtidttkdtjtdtidtt

2

0

2

0

22

0

3

2

0

2

0

2

0

22

0

2

0

2

0

2

322

346346

kji 6816

Problema 2

4/

0tancos

dtktjtisent

ktjsentit

kdttjdttidtsent

4/

0

4/

0

4/

0

4/

0

4/

0

4/

0

seclncos

tancos

kji

2ln

2

1

2

1

2

11

Problema 3

Page 43: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

42

2

0

123 )1(412 dtktjeit t

kjei

ktjeit

kdttjdteidtt

t

t

3ln)22(48

)1ln(23

)1(412

4

2

0

2

0

22

0

4

2

0

12

0

22

0

3

kjei 3ln)1(2484

LONGITUD DE ARCO

Problema 1

Encuentra la longitud de la curva:

ktjtittr 3sin4cos4 2

0

t

5259cossin163cos4sin4' 22222 tttttr

2

555 2

0

2

0

tdt

Problema 2

Encuentre la longitud de la curva r(t)=(2cost)i + (2sent)j+ t5 k ; 0≤t≤π

r’(t)=-2sent+2cost+ 5

r’(t)= 22 )5()cos2()2( tsent

r’(0)= 39540

Page 44: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

43

r’(π)= 39540

0

0

3)0(3333 tdt

EVALUACION DE FUNCIONES VECTORIALES

Problema 1

Determine los vectores velocidad, aceleración y la rapidez de una partícula cuya función

está dada por:

𝑟(𝑡) = (℮−𝑡)𝑖 + (2 cos 3𝑡)𝑗 + (2 sin 3𝑡)𝑘 𝑡 = 0

𝑣 = 𝑟(𝑡) = −℮−𝑡𝑖 − 6 sin 3𝑡 𝑗 + 6 cos 3𝑡 𝑘 𝑟(0) = −𝑖 + 0𝑗 + 6𝑘

𝑎 = 𝑟(𝑡) = ℮−𝑡𝑖 − 18 cos 3𝑡 𝑗 + 18 sin 3𝑡 𝑘 𝑟(0) = 𝑖 − 18𝑗 + 0𝑘

//𝑣(𝑡)//= √(−1)2 + 02 + 62 = √37

Problema 2

Calcular la integral

∫ [𝑡℮𝑡2 𝑖 + ℮−𝑡𝑗 + 𝑘]𝑑𝑡1

0

∫ 𝑡℮𝑡2𝑖 𝑑𝑡 + ∫ ℮−𝑡𝑗𝑑𝑡 + ∫ 𝑘𝑑𝑡1

0

1

0

1

0

𝑢 = 𝑡 𝑑𝑣 = ℮𝑡2 𝑑𝑢 = 1 𝑣 = ℮𝑡2

= 𝑡℮𝑡2 −∫℮𝑡2(1) = 𝑡℮𝑡2 −℮𝑡2 = ℮𝑡2(𝑡 − 1)

℮𝑡2(𝑡 − 1)𝑖 + ℮−𝑡𝑗 + 𝑘 ]01

Evaluando t=0

Page 45: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

44

℮0(0 − 1)𝑖 + ℮0 𝑗 + 0 𝑘 = −𝑖 + 𝑗

Evaluando t=1

℮12(1 − 1)𝑖 + ℮1 𝑗 + 1 𝑘 = ℮𝑗 + 𝑘

Problema 3

Obtener los vectores T(t) y N(t) si

𝑟(𝑡) = (6 sin 2𝑡)𝑖 + (6 cos 2𝑡)𝑗 + 5 𝑡 𝑘

𝑟´ (𝑡) = 12 cos 2𝑡 𝑖 − 12 sin 2𝑡 j + 5k

𝑇(𝑡) = (12 cos 2𝑡)𝑖 + (−12 sin 2𝑡)𝑗 + 5𝑘

√(12 cos 2𝑡)2 𝑖 + (−12 sin 2𝑡)2𝑗 + 52 𝑘= 1

𝑁(𝑡) =0

//1//= 0

1= 0

Problema 4Calcular la longitud de arco

𝑟(𝑡) = (𝑡 cos 𝑡)𝑖 + (𝑡 sin 𝑡)𝑗 + (2√2

3) 𝑡

32 ⁄ 𝑘 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋

𝑟´(𝑡) = (−𝑡 sin 𝑡 + cos 𝑡)𝑖 + (𝑡 cos 𝑡 + sin 𝑡)𝑗 + √2𝑡12 ⁄

// 𝑟´(𝑡)//= √𝑡2𝑠𝑖𝑛2𝑡 + 𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 𝑡2𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 𝑠𝑖𝑛2𝑡 + 2𝑡

= √𝑡2 + 1 + 2𝑡 = (𝑡2 + 1 + 2𝑡)12 ⁄ = ((𝑡 + 1)2)

12⁄ = 𝑡 + 1

∫ (𝑡 + 1)𝑑𝑡𝜋

0

= ∫ 𝑡𝑑𝑡𝜋

0

+ ∫ 1𝑑𝑡𝜋

0

= 𝑡2

2]0𝜋 + 𝑡0

𝜋 = 𝜋2

2+ 𝜋

Problema 5

Obtener k para la curva

𝑟(𝑡) = (3 sin 𝑡)𝑖 + (3 cos 𝑡)𝑗 + 4𝑡𝑘 𝑡 = −3𝜋

𝑟´(𝑡) = 3 cos 𝑡 𝑖 − 3 sin 𝑡 𝑗 + 4𝑘 𝑟(−3𝜋) = −3𝑖 + 0𝑗 + 4𝑘

𝑟´´(𝑡) = −3 sin 𝑡 𝑖 − 3 cos 𝑡 𝑗 + 0𝑘 𝑟(−3𝜋) = 0𝑖 + 3𝑗 + 0𝑘

Page 46: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

45

𝑟′(𝑡) ∗ 𝑟′′(𝑡) = |−3 0

0 3

40| = (0 − 12)𝑖 + (0 − 0)𝑗 + (−9 − 0)𝑘 = −12𝑖 − 0𝑗 − 9𝑘

= √(−12)2 + 02 + (−9)2 = √225 = 5

|𝑟´ (𝑡)| = √−32 + 02 + 42 = √25 = 5

𝑘 = 15

53=3

25

Problema 6

Obtener la curvatura de

𝑦 = 𝑥(1 − 𝑥)25⁄ 𝑥𝑜 =

12⁄

𝑦´ = 𝑥 2 5⁄ (1 − 𝑥)25⁄−1

(−1) + (1 − 𝑥)25⁄ (1)

= −2𝑥

5(1 − 𝑥)

−35⁄ + (1 − 𝑥)

25⁄

𝑦′′ = −2𝑥

5−3

5(1 − 𝑥)

−35⁄−1

(−1) + (1 − 𝑥)−3

5⁄5(−2) − 2𝑥(0)

5=−10

25+ 2

5(1 − 𝑥)

−35 (−1)⁄

= −6𝑥

25(1 − 𝑥)

−85⁄ −

10

25(1 − 𝑥)

−35⁄ −

2

5(1 − 𝑥)

−35⁄

= −6𝑥

25(1 − 𝑥)

−85⁄ −

4

5(1 − 𝑥)

−35⁄

𝑘 = |−6𝑥25(1 − 𝑥)

−85⁄ −

45(1 − 𝑥)

−35⁄ |

[1 + (−2𝑥5(1 − 𝑥)

−15⁄ )2]

32⁄

𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥.= 1 2⁄

= |−

325(12)−8

5⁄ −45(12)−3

5⁄ |

[1 + (−15(12)

−15⁄

)2]

32⁄= 2.7018

Page 47: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

46

Problema 7

Encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta que es tangente a la curva dada en t0

= 0.

kejttittr t cossin)( 2

Solución:

1,1,00r t = 0 P(0,-1,1)

tzytx

tzyx

tzzyyxx

r

kejttittr t

11

1,0,11,1,0

1,0,1,,

1,0,10'

sin2cos'

000

Problema 8

Encuentra la longitud de la curva:

ktjtittr 3sin4cos4 2

0

t

5259cossin163cos4sin4' 22222 tttttr

2

555 2

0

2

0

tdt

Problema 9

Determina la longitud de arco de la curva

F(t)= 2t𝑖 + 3t𝑗 +2

3𝑡3/2𝑘

Entre el origen y el punto 𝑃(2,3,2

3)

𝑟→ (𝑡) = 2𝑖̂ + 3𝑗̂ + √𝑡�̂�

Page 48: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

47

𝑟→ (𝑡) = √13 + 𝑡

𝐿 = ∫√13 + 𝑡 𝑑𝑡

1

0

=2

3(13 − 𝑡)3/2∫ =

1

0

2

3[143/2 − 153/2] = 3.7

Problema 10

Determine el valor de ∫ 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑦 Sobre la curva dada por las ecuaciones

paramétricas x=t, y=t2 con 0≤ t≤ 3

: x=t, y=t2;0≤ t≤ 3

Obtenemos dx=dt ;dy=2dt

∫2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑦 = ∫[2𝑡 ∗ 𝑡2 + (𝑡2 + 𝑡4)2𝑡]𝑑𝑡

3

0

= ∫(2𝑡3 + 2𝑡3 + 2𝑡5)𝑑𝑡

3

0

= [4𝑡4

4+2𝑡6

6]0

3

= 324

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48

EJERCICIOS DE SUPERFICIES DE NIVEL

1) Describir las superficies de nivel de la siguiente función y dibujar una

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧

2) Hallar la velocidad y la rapidez en t=0 si

𝑟(𝑡) = 𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖̂ + 𝑒𝑡𝑗̂ + 𝑐𝑜𝑠𝑡�̂�

3) Usando la regla de la cadena calcular 𝑑𝑧

𝑑𝑡

𝑧 = 𝐿(2𝑦 + √1 − 𝑥2) , 𝑥 = 𝑡2 , 𝑦 = 𝑡4

4) Hallar la derivada direccional de la siguiente función en el punto A y en la dirección que

se indica

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧𝑒𝑥2𝑦 𝐴 (2,

1

2, 2) ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝐵 (1,−

1

2, 3)

5) Hallar la dirección en la que la siguiente función aumenta con mayor rapidez y la razón

de cambio en esa dirección.

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦2 + 2𝑦𝑧2 + 3𝑧𝑥2 𝑃(1, −2, −3)

SOLUCIONES:

1) 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 𝑐 𝑓𝑎𝑚𝑖𝑙𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠; 𝑠𝑖 𝑐 = 6, 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 6

Page 50: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

49

2) �⃗�(𝑡) = 𝑟(𝑡) = (𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑠𝑒𝑛𝑡)𝑖̂ + 𝑒𝑡𝑗̂ − 𝑠𝑒𝑛𝑡�̂� , �⃗�(0) = 𝑗 ̂

|�⃗�(𝑡)| = √(𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑠𝑒𝑛𝑡)2 + 𝑒2𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2𝑡

|�⃗�(𝑡)| = √𝑡2𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 2𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 𝑒2𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2𝑡, |�⃗�(0)| = 𝑒

3) 𝑑𝑧

𝑑𝑡=

𝑑𝑧

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡+

𝑑𝑧

𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡= −

2𝑥𝑡

√1−𝑥2(2𝑦+√1−𝑥2+

8𝑡3

2𝑦+√1−𝑥2= −

2𝑡3

√1−𝑡4(2𝑡4+√1−𝑡4+

8𝑡3

2𝑡4+√1−𝑡4

4) 𝜆 =(−1�̂�−�̂�+�̂�)

√3; 𝐷

�⃗⃗⃗�𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥𝑦𝑧𝑒𝑥

2𝑦𝑖̂ + 𝑥2𝑧𝑒𝑥2𝑦𝑗̂ + 𝑒𝑥

2𝑦�̂�) ∗−�̂�−�̂�+�̂�

√3

𝐷�⃗⃗⃗�𝑓 (2, −

1

2, 2) =

1

√3(4𝑒2𝑖̂ + 8𝑒2𝑗̂ + 𝑒2�̂�) = −

11

√3𝑒𝑧

5)𝜆 =𝛻𝑓(𝑟)

|𝛻𝑓(𝑟)|=

(𝑦2+6𝑥𝑧)�̂�+(2𝑥𝑦+2𝑧2)�̂�+(4𝑦𝑧+3𝑥2)�̂�

|𝛻𝑓(𝑟)|

𝜆 =𝛻𝑓(1, −2, −3)

|𝛻𝑓(1, −2, −3)|=−14𝑖̂ + 14𝑗̂ + 27�̂�

√1121 , |𝐷

�⃗⃗⃗�𝑓(1,−2,−3)|

𝑚𝑎𝑥= √1121

EVALUACIÓN

1. Describir la superficie de nivel de la siguiente función y grafica:

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧

2. Hallar l velocidad y la rapidez en 𝑡 = 0 de la curva 𝑟(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖̂ + 𝑡𝑒𝑡𝑗̂ + 𝑐𝑜𝑠𝑡�̂�

3. Usando la regla de la cadena calcular 𝑑𝑧

𝑑𝑡 para 𝑧 = 𝐿𝑛(2𝑦 + √1 − 𝑥2) , 𝑥 = 𝑡2, 𝑦 = 𝑡4

4. Encuentre la derivada direccional de la siguiente función en el punto P en la dirección

que se indica 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧𝑒𝑥2𝑦 de 𝐴(2,

1

2, 2) al punto 𝐵(1, −

1

2, 3)

5. Encuentre la ecuación del plano tangente y la recta normal a la superficie 𝑥2 + 4𝑦2 +

9𝑧2 = 36 en 𝑃(2,3, −2)

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50

Módulo IV

Funciones de varias variables

Curvas de nivel

Trazar las curvas de nivel de las siguientes funciones:

Problema 1

f (x,y) = 𝑥2 + 𝑦2 z en 0 En 4

Para f (x,y) = 7 f (x,y) = 𝑥2 + 𝑦2 y = 𝑥2 + 𝑦2

Z = 0,1,4,9,16 0 = 𝑥2 + 𝑦2 (2,0) (0,2) (-2,0) (0,-2)

Z = 𝑥2 + 𝑦2 (0,0)

1 - 𝑦2 = 𝑥2 1 = 𝑥2 + 𝑦2

(1,0) (0,1) (-1,0) (0,-1)

En 9 En 16

9 = 𝑥2 + 𝑦2 16 = 𝑥2 + 𝑦2

(3,0) (0,3) (-3,0) (0,-3) (4,0) (0,4) (-4,0) (0,-4)

Y

X

Page 52: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

51

Problema 2

f (x,y) = 2x-3y

En -2 En -1 En 0 En 0

-2-2x-3y y = 2𝑥+1

3 y =

2𝑥+6

3 y =

2𝑥+1

3

2x+3y+2 = 0

X Y

0 1/3

1 4/3

X Y

0 0

1 1/3

X Y

0 -1/3

1 1/3

X Y

0 -2/3

1 0

Y

X

Page 53: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

52

Problema 3

f (x,y) = -𝑥2 – y

Z = -2,-1,0,1,2

-2 = 𝑥2 – y -1 = 𝑥2 – y 0 = 𝑥2 – y 1 = 𝑥2 – y 2 = −𝑥2 - y

(0,2) (0,1) (0,0) (0,-1) (0,-1)

(2,-2) (-1,0) (1,-1) (1,-2) (-1,-2)

(2,-2) (1,0) (1,-1) (1,-2) (1,-2)

Y

X

Page 54: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

53

Problema 4

f (x,x) = xy

En -4 xy = -4 En 2 xy = 2 En 6 xy = 6 En -2 xy = -2 En 4 xy = 4

(2,-2) (2,1) (6,1) (-2,1) (4,1)

(-2,2) (1,2) (1,6) (1,-2) (1,4)

(4,1) (-1,-2) (-1,6) (-1,-2) (-4,-1)

(-4,1) (-2,-1) (-6,-1) (2,1) (-1,4)

Y

X

Page 55: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

54

Problema 5

f (x,y) = 2𝑥2 - y

z = -2,-1,0,1,2

2𝑥2 - y = -2 2𝑥2 - y = -1 2𝑥2 – y = 0 2𝑥2 - y = 1 2𝑥2 - y = 2

2𝑥2 - y +2 = 0 2𝑥2 - y +1 = 0 2𝑥2 = 0 2𝑥2 - y – 1 = 0 2𝑥2 - y -2=0

y = 2𝑥2 + 2 y = 2𝑥2 + 1 y = 2𝑥2 – 1 y = 2𝑥2 - 2

X Y

0 2

1 4

2 10

X Y

0 1

1 3

2 9

X Y

0 0

1 2

2 8

X Y

0 -1

1 1

2 7

X Y

0 -2

1 0

2 6

y

x

Page 56: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

55

Problema 6

f(x, y) = e2xe

y

f (x, y) = c

f (x, y)=e2xe

y= c

e2xe

y= c

ln (e2xe

y)= ln c

x2+ y = ln c = A

y = A - x2 Ecuación de la parábola

si c = e entonces la ecuación queda como:

Ln(e2x e

y) = Ln(e)

x2+ y = 1

La grafica de esta ecuación en R3 queda,

x

y

z = xx+y-1

Page 57: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

56

Problema 7

f(x, y) = x2 + 3xy

f (x, y) = c

c = x2 + 3xy

despejo “y”

x

cxy

33

Si c =2 entonces la ecuación queda como

2 = x2 + 3xy

Cuya grafica está representada en R3 como,

2 = x2 + 3xy

La ecuación en el plano cartesiano se establece de la siguiente forma:

x

xy

3

2

3 �

Page 58: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

57

Es la curva de nivel para c=2

LIMITES de FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

Problema 1

1. Calcule el límite de la función, determine su dominio y pruebe si es continua o

no en el P(0,0). 220,0,

limyx

xy

yx

Al aproximarnos a P(0,0) por el eje x nos da cero, es decir:

00

0

0lim

220,0,

xtodaparax

x

yx

Si lo hacemos por el eje y:

00

0

0lim

220,0,

ytodaparay

y

yx

y = -(x/3)+(2/(3x))

Page 59: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

58

Rxtodapara

xyxsi

yx

0

2lim

0,0,

Rytodapara

yxysi

yx

0

2lim

0,0,

La función tiene cuatro límites iguales por cuatro rectas diferentes.

aparentemente esto nos dice que el límite L=0, para asegurarnos de que esto

sea cierto utilizamos la definición de límite

022 yx

xysiempre que 220 yx

)0,0(

.0,0,,0lim

,,0

:1

1,0

220,0,

22

22

22

22

222

Pen

tinuadisconEsyxyxDesfunciónestadeniodomiElyx

xy

límitededefiniciónlaporAsíyyx

xy

tenemosentoncesqueescogemosSiyxyyx

yx

ntotaporyyx

xquedomodeyquepuestoyxxqueVemos

yx

Problema 2

f(x, y) = x2 + 3xy

si y = 0

0lim)0)((33lim 2

0

22

)0,0(),(

xxxxyx

xyx

si x = 0

00lim3lim0

2

)0,0(),(

yyxxyx

si (x, y) (1, 2)

7)2)(1(313lim 22

)2,1(),(

xyx

yx

Problema 3

Page 60: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

59

f(x, y) = 22

22

yx

yx

si y = 0

10

0lim)0,(lim

2

2

)0,0()0,()0,0()0,(

x

xxf

xx

si x = 0

10

0lim),0(lim

2

2

)0,0(),0()0,0(),0(

y

yyf

yy

Como son distintos el límite no existe.

CONTINUIDAD

Problema 1

Encuentre el dominio de la función donde es continua

f(x, y) = 422 yx

la función es continua en:

4,),(

4

04

22

22

22

yxyxyxD

yx

yx

f

a) f(x, y) = ln(x2 + y - 2)

Donde es continua la función

22

22

2

2&2,),(

2&2

02

xyyxyxyxD

xyyx

yx

f

Problema 2

Page 61: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

60

222

42),(

zyx

zyxf

el dominio dela función esta dado en:

0),,(

:

0

222

222

zyxzyxD

encontinuaesfunciónla

zyx

Problema 3

Calcule el límite de la función, determine su dominio y pruebe si es continua o no en el

P(0,0). 220,0,

limyx

xy

yx

Observamos que al aproximarnos a P(0,0) por el eje x nos da cero, es decir:

00

0

0lim

220,0,

xtodaparax

x

yx

Lo mismo que si lo hacemos por el eje y:

00

0

0lim

220,0,

ytodaparay

y

yx

Rxtodapara

xyxsi

yx

0

2lim

0,0,

Rytodapara

yxysi

yx

0

2lim

0,0,

Vemos que la función tiene cuatro límites iguales por cuatro rectas diferentes.

Aparentemente esto nos dice que el límite L=0, para asegurarnos de que esto sea

cierto utilizamos la definición de límite

022 yx

xysiempre que 220 yx

Page 62: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

61

)0,0(

.0,0,,0lim

,,0

:1

1,0

220,0,

22

22

22

22

222

Pen

tinuadisconEsyxyxDesfunciónestadeniodomiElyx

xy

límitededefiniciónlaporAsíyyx

xy

tenemosentoncesqueescogemosSiyxyyx

yx

ntotaporyyx

xquedomodeyquepuestoyxxqueVemos

yx

CALCULE LAS DERIVADAS PARCIALES DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES DE DOS VARIABLES

Page 63: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

62

Problema 1

f(x, y, z) = xyzeyxzx ln2

xy

xy

xy

exz

f

zxey

xy

f

zyeyxzx

f

0)3

10)2

ln2)1

2

Problema 2

f(x, y) = 22 yx

xy

3/2)

2y

2(x

3x

3/2)

2y

2(x

2xy

2xy

3x

)/12

y2

(x

2y

2x

2xy)(x)

2y

2(x

2y

2x

2y

2x2

y)2(xy)(x

2y

2x

2y

2x

2y

2x2

1xyx

2y

2x

2y

2x

xy

yy

f

3/22y

2x

3y

3/22y

2x

2yx

3y

2yx

2y

2x

2y

2x

y2

x(y)

2y

2x

2y

2x

x)2(1/22

y2

x2

1xy(y)

2y

2x

2y

2x

)2

y2

(xx

1/22y

2x

2

1xy(y)

2y

2x

2y

2x

2y

2x

xxyxy

x

2y

2x

2y

2x

xy

xx

f

Problema 3

Page 64: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

63

Determina la ecuación del plano tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de la ecuación Xy-yz-xz=-1 en el punto (0,1,1). xy – yz – xz = -1 P(0, 1, -1) xy – yz –xz + 1= 0 F(x, y, z) = xy – yz –xz + 1 ∇F = df/dx i + df/dy j + df/dz k ∇F = (y -z) i + (x - z)j + (-y-x) k ∇F (0, 1, 1) = 0i – j – k ← Vector normal al plano tangente y paralelo a la recta normal. Ecuación del plano tangente 0 (x - 0) + (-1) (y - 1) + (-1) (z - 1) = 0 -y + 1 – z + 1 = 0 Y + z = 2 Ecuaciones paramétricas de la recta normal X= 0 + 0t x = 0 Y= 1 – t y = 1 – t t = IR Z= 1 – t z = 1 – t

Problema 4

Verificar que se cumple el teorema de Clairaut xyyx UU ,, y la ecuación de Laplace

0 yyxx UU para 22ln yxU

LaplacedeEcyx

yyxx

yx

yyxxyxUU

yx

yyxU

yx

xyxU

ClairautdeTeoremayx

xyU

yx

xyU

yx

yU

yx

xU

yyxx

yyxx

yxxy

yx

.022

22

22

44

2222

44

222222

44

222

44

222

44

2

44

2222

Page 65: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

64

Problema 5

Utilice la regla de la cadena para hallar t

w

s

w

, de la función

tsztsystxzyxW sen,cos,;222 01cuando,

tys

t

w

s

w

0000cos)2(sen)2()2(

2020sen)2(tcos)2()2(

tsztsysxt

W

tzytxs

W

Problema 6

Calcular: y

z

x

z

, de la ecuación 321ln zxyyzx

33222

4232

33222

4232

33222

4332

33222

4332

33

22

33

22

33

1

33

1

zxyzyxy

zxyyzxz

yzx

zxyzyxy

yzx

zxyyzxz

x

z

zxyzyxy

zxyzxy

yzx

zxyzyxy

yzx

zxyzxy

x

z

Problema 7

Hallar dx

dy de yxeyx cos

Utilizando las derivadas parciales de una ecuación de dos variables:

y

y

y

y

xeyx

eyx

xeyx

eyx

dx

dy

)(sen

)(sen

)(sen

)(sen

Page 66: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

65

Derivadas de orden mayor y mixtas

Problema 8

Calcular las derivadas parciales de:

f(x, y) = x2y + sen (x y)

))(()1()cos(2)()(cos

)(

))(cos()(

cos2

)cos()))(((2))((cos2

)(2))(cos(2

)()(

22

2

22

2

2

2

2

22

2

2

yxysenxyxxxyxxy

f

xyx

f

xysenx

xxyxy

xysenyxyyy

f

yy

f

xyxysenxyx

xyxxysenyxyxyxyyx

f

yxy

f

xysenyyyxyxyx

xysenx

yxxx

xysenyxxxx

f

xx

f

Plano tangente y diferenciabilidad

Problema 1

Calcular el plano tangente a la gráfica de z = xyeyx 42

en el punto (1, 0, 2)

Solución:

z = f(x, y)=f(1, 0)

Page 67: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

66

104

40)2

2022

)(02)1

0

)0,1(

3

)0,1(

3

)0,1()0,1(

exeyy

f

xeyy

f

yexx

f

yexx

f

xy

xy

xy

xy

f( 00 , yx ) = f(1, 0) = 201 042 e

Sustituyendo en la ecuación del plano

z = 2(x-1) + 1(y-0) + 2

z = 2x –2 + y - 0 +2

z = 2x + y

2x + y – z = 0 Ecuación del plano

Ejercicios propuestos:

Determine las segundas derivadas parciales de las funciones

1. 2 yz xe

2. 3 2( , ) 4f x y x xy

3. Encontrar la ecuación del plano y de la recta , en 0 0 0( , , )f x y z

2 23 2z x y x (1, 2,1)P

2 2 22 3 3x y z (2, 1,1)P

Page 68: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

67

4.-Si 𝑢 = 𝑥2𝑦3 + 𝑦4 dónde: x= p + 3p2 , py Pe

Encontrar: du

dp

5.- Calcule la derivada de:

a) 2( , ) 2f x y x y en la dirección del Punto (1,5) al Punto (4,1)

b) 2( , , ) 1f x y z x y x z 1(1,2,3)P en la dirección de 2 2V i j k

6.- Determinar el f2( , , )

x yf x y z z e

a) Cuando es máximo la derivada direccional

b) Cuando es mínimo

c)Cuándo es cero

7.- Calcule los valores máximos y mínimos de la función 2 2( , ) 3f x y xy x y xy

10.-Determinar los valores Máximos o Mínimos con multiplicadores de Lagrange 2( , )f x y x y ; restricción

2 2 1x y

Grafique varias curvas de nivel de 2 2( , ) 4f x y x y

11.-Encontrar:

a) d

dt

de

2 2 2Ln x y z

sinx t cosy t tanz t

b) Calcular: z

s

,

z

t

2x yz e s

xt

t

ys

Problema 9

Page 69: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

68

2 yz xe

2 yze

x

; 2

20

z

x

;

22 yzxe

y

;

22

24 yzxe

y

Problema 10

3 2( , ) 4f x y x xy

2 212f

x yx

2

fxy

y

2

224

fx

x

2

22

fx

y

Problema 11

Encontrar la ecuación del plano tangente y de la recta normal, en 0 0 0( , , )f x y z= (1, -2, 1 )

a) 2 23 2z x y x (1, 2,1)P

6 2f

xx

2

fy

y

1

f

z

(1, 2,1)

8f

x

(1, 2,1)

4f

y

(1, 2,1)

1f

z

Ecuación del plano Tangente:

8( 1) 4( 2) ( 1) 0x y z

Ecuación de la recta Normal

1 2 1

8 4 1

x y z

b) 2 2 22 3 3x y z (2, 1,1)P

Page 70: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

69

2f

xx

4

fy

y

6

fz

z

Ecuación del plano tangente

4( -2) 4( 1) -6( -1) 0x y z

Ecuación de la recta Normal

2 1 1

4 4 6

x y z

Problema 12

Si 2 3 42u x y donde:

23x P p py Pe s nt P e p

u u x u y u z

p x p y p z p

32u

xyx

1 6

xp

P

2 23y

x yy

p Py

e PeP

34

uz

z

sin cosz

p p pp

3 2 2 32 (1 6 ) 3 ( ) 4 (sin cos )p puxy p x y e pe z p p p

P

2 32( 3 )( ) (1 6 )pP p pe p

2 2 33( 3 ) ( ) 4( sin ) (sin cos )p pp p e pe p p p p p 2 2 2 3 4 2 3 43( 3 ) 3( 6 9 ) 3 18 27p p p p p p p p

2 3 3 4 3 4 3 5 3 5 3 6 3(2 6 )( 6 ) 2 12 6 36p p p p p pp p p e p e p e p e p e p e 4 3 5 3 6 32 18 36p p pp e p e p e

4 3 5 3 6 3 7 33 21 45 27p p p pp e p e p e p e

3 3 3 4 4 3(4 sin )(sin cos ) 4 sin 4 sin cosp p p p p p p p p p

4 3 5 3 6 3 7 3 3 4 4 35 39 81 27 4 sin 4 sin cosp p p p pup e p e p e p e p p p p

p

Problema 14

Page 71: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

70

Calcule la derivada de:

a) 2( , ) 2f x y x y en la dirección del Punto (1,5) al Punto (4,1)

1 2 4 1,1 5 3, 4V PP 9 16 5V

5 4,

3 5u

1

21f

xx x

2f

yy

b)2( , , ) 1f x y z x y x z 1(1,2,3)P en la dirección de 2 2V i j k

4 1 4 9 3v 2 1 2

( , , )3 3 3

u

22 1f

xy zx

22 1

fxy z

x

1

2f

xuz

1

21

xzu

z

2 1 1(3) 2(1,2,3) (2(1)(2) 1 9)( ) 1( ) ( )( )

3 3 31 9duf

(1,2,3) 4.77 0.33 1 0.63 4.47duf

Problema 15

Determinar el f

22 2

2

x yx y x yz xe

f yz e i j ze ky

a) ¿ Cuando es máximo la derivada direccional?

El valor máximo de ( , )duf x y está dado por, la magnitud del gradiente de f(x , y).

|| f (x,y) ||

b) Cuando es mínimo de la derivada direccional

El valor mínimo de ( , )duf x y es ( , )f x y

2( , , )x y

f x y z z e

Page 72: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

71

c) Cuando es cero(0)

( , ) 0f x y

Problema 16

Calcule los valores máximos y mínimos de la función 2 2( , ) 3f x y xy x y xy

23 2f

y xy yx

2

22

fy

x

2 2

3 2 2f f

x yx y y x

23 2f

x x xyy

2

22

fx

y

Puntos Críticos:

2

2

3 2 0.........1

3 2 0..........2

y xy y

x xy x

De 1……. 2 3

2

y yx

y

3

2 2

yx

223 6 9

3 3 ( )2 4 4 4

y y yy y

23 216 0

4 4

yy

1 7y 2 1y

Para 1y 5x Para 2 1y Puntos Criticos (5,7),(1,1)

Para (5,7) 2

(5,7) (5,7) (5,7)d fxy fyy fxy

( 10)( 14) 2 140 441 301 0d

0d y (5,7) 0fxx (5,7) Es un Punto silla

Para (1,1) 2

(1,1) (1,1) (1,1)d fxx fyy fxy

22 2 (1) 4 1 3 0d

0d y (1,1) 0fxx (1,1) Es un máximo relativo

Page 73: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

72

Problema 17

Determinar los valores Máximos o Mínimos con multiplicadores de LaGrange 2( , )f x y x y ; restricción

2 2 1x y

2 2 1g x y

2

2

2 2 1

ˆ ˆ( , ) 2

2 2

2

f x y xyi x j

xy x

x y

x y

2 2

2 2

ˆ ˆ2 2

2

2 1

g xi yj

x y

x y

y y

23 1 0y

1 0.577y 2 0.577y

Para 1y 2 0.816x y (0.816,0.577)P

2(0,816,0.577) (0.816) (0.577) 0.384f

Para 2y 2 0.816x y ( 0.816, 0.577)P

2( 0.816, 0.577) ( 0.816) ( 0.577) 0.384f

El valor máximo sujeto a la restricción es 0.384

El valor mínimo sujeto a la restricción es 0.384

Problema 18

Grafique varias curvas de nivel de 2 2( , ) 4f x y x y

Page 74: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

73

2 24

2

4

6

x y c

c

c

c

Problema 19

Encontrar

a) d

dt

de

2 2 2Ln x y z

sinx t cosy t tanz t

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1ln

u u x x xu

u y x x y zx y z x y z x y z

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2cos ( sin ) sec

w x y zt t t

t x y z x y z x y z

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

sin cos sin tan seccos

sin cos tan sin cos tan sin cos tan

t t t t tt

t t t t t t t t t

2

2

tan sectan

sec

w t tt

t t

x

y

Page 75: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

74

2

2 2 2

sin cos sin cos tan sec

1 tan 1 tan 1 tan

t t t t t t

t t t

b) Calcular: z

s

,

z

t

2x yz e s

xt

t

ys

2 2

2

1( ) 2 ( )x y x yz t

e es t s

2 2 2 22 2 2 2

2 2

2 2s t s t s t s t

t s t s ts tse te e te

t s t s

2 2 2 22 2

2

2s t s t

st stz e e

t t s

Problema 20

Hallar ∂z/∂x, ∂z/∂y de la ecuación F(x, y+z) =1+ xy2z3.

yzxzxyy

yzxzy

x

z

yzx

yzxzxyy

yzx

yzxzy

zxyyzx

y

zyyzx

z

Fx

F

x

22

32

22

32

22

32

3

1

3

1

3

1

z

Page 76: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

75

yzxzxyy

yzxxyzz

y

z

yzx

yzxzxyy

yzx

yzxxyzz

zxyyzx

y

xyzyzx

z

z

F

y

F

y

22

3

22

3

22

3

3

2

3

2

3

2z

Problema 21

Hallar dy/dz de cos(x-y)=xey.

y

y

xeyxsen

eyxsen

y

Fx

F

x

y

yxsenxexeyxsen

eyxsen

x yy

y

11y

Page 77: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

76

GRADIENTE

Problema 1

Calcule el gradiente de:

a) f(x, y, z) = 222 zyx calcular f (2, 1, 0)

kjif

kjif

kzyx

zj

zyx

yi

zyx

xf

kz

fj

y

fi

x

fzyxf

05

1

5

2)0,1,2(

014

0

014

1

014

2)0,1,2(

)0,1,2(

),,(

222222222

b) f(x, y) = )(xysene xy calcular f

jxyxxeixyyyeyxf

jxyseney

ixysenex

yxf

xyxy

xyxy

))cos(()cos(),(

))(())((),(

Page 78: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

77

DERIVADA DIRECCIONAL

Problema 1

a) Calcular la derivada direccional en el punto P(1, 1, 1) en la dirección de a =2i +j +

3k para la función f(x, y, z) = 222 zyx

solución

14

12

14

6

14

2

14

4)1,1,1(

14

6

14

2

14

4),,(

14

3

14

1

14

2222),,(

14

3

14

1

14

14914

222),,(

fDu

zyxzyxfDu

kjikzjyixzyxfDu

kjiau

a

kzjyixzyxf

Problema 2

Calcular la razón de cambio de f(x, y, z) = zyex 2 en la dirección del vector

)1,1,1(v

en el punto P(1, 0, 0)

Page 79: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

78

3

2

3

1,

3

1,

3

10,0,2),,(

3

1,

3

1,

3

3111

)1,1,1(

)0,0,2()0,0,1(

,,2,,, 22

zyxfDu

v

vv

v

v

f

yexzexxez

f

y

f

x

ff zyzyzy

Problema 3 Suponga en cierta región del espacio, el potencial eléctrico V está dada por

xyzxyxzyxV 35,, 2

a) Encuentre la razón de cambio del potencial en P(3,4,5) en la dirección del

vector rjiV

b) ¿En qué dirección cambia V más rápidamente en P? c) ¿cuál es la mayor razón de cambio en P?

a) Primero calculamos el vector gradiente:

29.401263815,3,38

3,4,5V es cambio derazón máxima La

c)

12,6,38V gradiente vector deldirección

laen erápidament más aumenta V ldirecciona derivada la de teoremaelcon acuerdo De

b)

47.183

1,

3

1,

3

112,6,38U5,4,35,4,3D

V de cambio derazón la calculmos Ahora

3

1,

3

1,

3

1

3

1,1,-1U

:unitario vector el calculamos Luego

12,6,3843,5333,54433105,4,3

,3,310,,

:gradiente vector el calculamos Primero

a)

222

u

VV

V

xyxzxyzyxzyxV

Page 80: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

79

Problema 2

Calcule la ecuación del plano tangente y la recta normal a la superficie dada en el

punto especificado 1,0,1442222 Pxzxyzyx

13

1-x :queda doSimplifica

2

1

2

0

6

1-x

:es normal recta la deecuación La

4zy-3x queda doSimplifica8226

012021-x6

:es tangenteplano delecuación La

2,2,61412,1202,1402121,0,1F

:gradiente vector el calculamos Primero

zyzy

zyx

zy

Derivadas direccionales

Si w = f (x,y), entonces ...

fx = f

x , fy =

f

y

fx ( x,y) = x

f (x,y) = w

x = wx

fy ( x,y) = y

f (x,y) = w

y = wy

1.- Si F(x,y)=4x2-xy-3y2 encuentre la derivada direccional de F en (2,-1) en la dirección del vector a=4i+3j. R=El vector unitario en esta dirección de a=(4/5)i+(3/5)j. También Fx(x,y)=8x-y, Fy(x,y)=-x+6y; por lo tanto, Fx(2,-1)=17 y F y=(2,-1)=-8 en consecuencia.

Duf(2,-1)=4/5(17)+3/5(-8)=44/5 Derivadas direccionales

Page 81: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

80

1) Encuentre la derivada direccional de la función f(x,y,z)=xysen z en el punto (1,2, /2) y en la dirección del vector a=i+2j+2k.

R=El vector unitario u en la dirección de a es 1/3 i+2/3j+2/3k. También fx(x,y,z)=ysen z, fy(x,y,z)=xsen z, fz(x,y,z)=xycos z, por lo que fx(1,2, /2) =2, fy(1,2, /2)=1, fz(1,2, /2)=0 concluimos que

Duf((1,2, /2)=3

4)0(

3

2)1(

3

2)2(

3

1

Page 82: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

81

Derivadas direccionales 2) Hállese la derivada de f(x, y, z)=x3-xy2-z en Po(1, 1, 0) en la dirección del vector A=2i-3j+6k.

La solución de A se obtiene dividiendo A por su longitud [a]= 749)6()3()2( 222 u=

A

A 2/7i-3/7j+6/7k Las derivadas parciales de f en Po son: fx=3x2-)0,1,1(

2y =2 fy=-2x

2)0,1,1(

y fz=-1)0,1,1(

1

=-1

El gradiente de f en Po es )0,1,1(

f 2i-2j-k.

La derivada de f en Po en la dirección de A es entonces ufDuf .)0,1,1()0,1,1(

= (2i-2j-k)*(2/7i-

3/7j+6/7k) = 4/7+6/7-6/7 = 4/7

Page 83: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

82

Derivadas direccionales 3.- Aproxímese el cambio experimentado por f(x, y, z)=xey+yz si el punto P(x, y, z) se desplaza desde Po(2,0,0) en la línea recta hacia P1(4,1,-2) una distancia de s=0,1 unidades. Hallamos primero la derivada de f en Po en la dirección del vector kjiPoP 221 la dirección

del vector es u=1

1

PoP

PoP

=

3

10

PP = 2/3i+1/3j-2/3k. El gradiente de f en Po es )0,0,2(

f

(eyi+(xey+z)j+yk)](2,0,0) = i+2j. Por tanto (Duf)po=(i+2j)(2/3i+1/3j-2/3k) = 2/3+2/3=4/3. El cambio de f en f que resulta el alejarse s=0,1 unidades de Po en dirección de u es, aproximadamente, la derivada de f en esta dirección por s: f (Duf) s=4/3(0,1) 0,13

Page 84: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

83

Derivadas direccionales 4.- Hállese la derivada de f(x, y)=100-x2-y2 en el punto Po(3,4) en la dirección del vector unitario u=u1i+u2j. a)Tenemos f(x, y)=100-x2-y2 fx(x, y)=-2x}(3,4) = -6 fy8x, y)=-2y](3,4) = -8 y Duf = f*u = (-6i-8j) * u = -6u1-8u2

Page 85: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

84

Derivada direccional

5.--F(X,Y)=e X COS( Y) Po=(0,-1) =1/ 5

i +2/ 5

j

)5

2

5

1()(

1,0

1,0

jiiPofD

fPofD

if

iYSENeiYCOSe

kz

fj

y

fi

x

ff

x

x

Page 86: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

85

Derivada direccional

6.-ENCONTRAR LA DERIVADA DIRECIONAL DE 8334 2 YZXYXX

SEN Z+ (5,0,7) PUNTO ELHACIA (1,2,5) EN 3Z

a=(4,-2,2) VECTOR UNITARIO

6

525651024136

6

525677

6

)510241(

6

60

5)k COS 256(775)j SEN 10241(30

(1,2,5)

328434

6

1

6

1

6

2

2827323

COSSENCOSSENf

if

EVALUAR

kZCOSZYXjSENZYXiXYYXXf

kji

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86

Derivadas direccionales 7.- Si F(x,y)=4x2-xy-3y2 encuentre la derivada direccional de F en (2,-1) en la dirección del vector a=4i+3j. R=El vector unitario en esta dirección de a=(4/5)i+(3/5)j. También Fx(x,y)=8x-y, Fy(x,y)=-x+6y; por lo tanto, Fx(2,-1)=17 y F y=(2,-1)=-8 en consecuencia.

Duf(2,-1)=4/5(17)+3/5(-8)=44/5

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87

Derivadas direccionales 8.- Encuentre la derivada direccional de la función f(x,y,z)=xysen z en el punto (1,2, /2) y en la dirección del vector a=i+2j+2k. R=El vector unitario u en la dirección de a es 1/3 i+2/3j+2/3k. También fx(x,y,z)=ysen z, fy(x,y,z)=xsen z, fz(x,y,z)=xycos z, por lo que fx(1,2, /2) =2, fy(1,2, /2)=1, fz(1,2, /2)=0 concluimos que

Duf((1,2, /2)=3

4)0(

3

2)1(

3

2)2(

3

1

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88

Derivadas direccionales 9.- Hállese la derivada de f(x, y, z)=x3-xy2-z en Po(1, 1, 0) en la dirección del vector A=2i-3j+6k.

La solución de A se obtiene dividiendo A por su longitud [a]= 749)6()3()2( 222 u=

A

A 2/7i-3/7j+6/7k Las derivadas parciales de f en Po son: fx=3x2-)0,1,1(

2y =2 fy=-2x

2)0,1,1(

y fz=-1)0,1,1(

1

=-1

El gradiente de f en Po es )0,1,1(

f 2i-2j-k.

La derivada de f en Po en la dirección de A es entonces ufDuf .)0,1,1()0,1,1(

= (2i-2j-k)*(2/7i-

3/7j+6/7k) = 4/7+6/7-6/7 = 4/7

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89

Derivadas direccionales 10.- Aproxímese el cambio experimentado por f(x, y, z)=xey+yz si el punto P(x, y, z) se desplaza desde Po(2,0,0) en la línea recta hacia P1(4,1,-2) una distancia de s=0,1 unidades. Hallamos primero la derivada de f en Po en la dirección del vector kjiPoP 221 la dirección

del vector es u=1

1

PoP

PoP

=

3

10

PP = 2/3i+1/3j-2/3k. El gradiente de f en Po es )0,0,2(

f

(eyi+(xey+z)j+yk)](2,0,0) = i+2j. Por tanto (Duf)po=(i+2j)(2/3i+1/3j-2/3k) = 2/3+2/3=4/3. El cambio de f en f que resulta el alejarse s=0,1 unidades de Po en dirección de u es, aproximadamente, la derivada de f en esta dirección por s: f (Duf) s=4/3(0,1) 0,13

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90

Derivadas direccionales 11.- Hállese la derivada de f(x, y)=100-x2-y2 en el punto Po(3,4) en la dirección del vector unitario u=u1i+u2j. a)Tenemos f(x, y)=100-x2-y2 fx(x, y)=-2x}(3,4) = -6 fy8x, y)=-2y](3,4) = -8 y Duf = f*u = (-6i-8j) * u = -6u1-8u2

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91

Derivadas direccionales

13.- f(x,y,z) = 2xz + yx2 = 8

)5,2,1(

Df(x,y,z) =

z

zyxf

y

zyxf

x

zyxf ),,(),,(),,(.

8

3,

8

2,

8

1

= (27 + 2xy, x2, x).

8

3,

8

2,

8

1 =

8

6

8

2

8

22 2 xxxyz

= 8

6

8

2

8

2

8

2 2 xxxyz =

8

2(z + xy + x2 + 3x)

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92

Derivadas direccionales

14.- f(x,y,z) = yxxyz

x 22

3234

=

2

1,4,

3

8

Df(x,y,z) =

z

zyxf

y

zyxf

x

zyxf ),,(),,(),,(.

2

1,4,

3

8

= 22

222 4

,34

,6238 z

y

xxy

z

xxy

yz

x

= y

zy

x

xyz

x

yz

xyx

2

4

12416

3

4822364

22

22

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93

Derivadas direccionales

15.- f(x,y,z) = 3x2z + 2xyz2 + 5z =

2

7,

4

3,

2

1

Df(x,y,z) =

z

zyxf

y

zyxf

x

zyxf ),,(),,(),,(.

2

7,

4

3,

2

1

= (6xz + 2yz2,2xz2,3x2+4xyz+45).

2

7,

4

3,

2

1

= 3

452821

4

6

2

)26( 22

xyzxxzyzxz =

= 2

1(6x+2yz + 3xz2 + 21x2+28xyz +45)

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94

Derivadas direccionales

16.- f(x,y,z) = 12zy + x2yz + 2

1zy =

2

3,

2

2,

2

1

Df(x,y,z) =

z

zyxf

y

zyxf

x

zyxf ),,(),,(),,(.

2

3,

2

2,

2

1

= 2xyz, 12z+ x2z, + 2

z,12y + x2y +

2

y.

2

3,

2

2,

2

1

= 2

2

3336

2

224

2

22

2

yyxy

zxzxyz z

= 2

1(2xyz + 24z + 2x2z + z + 36y + 3x2y +

2

3y)

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95

Derivadas direccionales

17.- f(x,y,z) = 422

22 xzyzyyx =(6,2,1)

21

1

Df(x,y,z) =

z

zyxf

y

zyxf

x

zyxf ),,(),,(),,(.

21

1,2,6

=

2

2

2,

422,

42

2 22 xzyyxzzxzyxy.

21

1,

21

2,

21

6

= (xy + 2

,422

,4

22 yxzzxzyxyz) .

21

1,

21

2,

21

6

21212,

214212212,

214

6

21

6 22 xyzyxzzxzyxy =

= 212

1(12xy +

2

3 2zy, x2 + z +

2

xz+ y + 2xzy)

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96

Derivadas direccionales 18.- Sea f (x,y) = x3 y2 - 2x2 y + 3x, encontrar fx (x,y) y fy (x,y) ; además calcular fx(2, -1) y fy(2, -1).

fx (x,y) = 3x2 y2 - 4xy + 3

fy (x,y) = 2x3 y - 2x2

sustituyendo x = 2 y y = -1, tenemos...

fx( 2, 1) = 3( 2)2 ( - 1)2 - 4 ( 2)( - 1) + 3 = 23

fy( 2,-1) = 2 ( 2)2 ( - 1) - 2 ( 2)2 = - 24

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97

Derivadas direccionales

19.- Obtener

w

y para w = x y2 ex y .

Se escribe w =( xy2) ( ex y) y se deriva

y( uv) = u

v

y + v

u

y

w

y = ( xy2)

y ( ex y) + ( ex y)

y ( xy2)

= xy2 ( x ex y) + ex y ( 2xy) = ( xy + 2) xy ex y

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98

Derivadas direccionales

20.- Sea w = x2 y3 sen z + ex z . Encontrar

w

x ,

w

y y

w

z .

w

x = 2xy3 sen z + z ex y

w

y = 3x2 y2 sen z

w

z = x2 y3 cos z + x ex z

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99

Derivadas direccionales 21.- Sea f (x,y) = x y2 + x2 y sea Pq(1, -1).

f

x =

f

x (P) =

f

x (x,y) = y2 + 2x

f

x (1, -1) = 3

f

y (x,y) = x(2y)

f

x (1, -1) = - 2

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100

Derivadas direccionales

22.- Sea f (x,y,z) = x + yz

y + x

2

, calcule

f

x (Po) ,

f

y (Po) y

f

z (Po) donde Po

tiene por coordenadas x = 2, y = 2, z = -1.

f

x =

( y + x) 2x - ( x2 + yz) 1

( y + x)2

f

y =

( y + x) z - ( x2 + yz) 1

( y + x)2

f

x =

1

y + x y

f

x (Po) =

14

16 ;

f

y (Po) = -

6

16 ;

f

z (Po) =

2

4

REGLA DE LA CADENA

Problema 1

w = u2sen v con u = re-5 ; v = s2 e-r

Solución:

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101

)(2)cos(

)2)(())(cos(

)cos()()(2

)cos()()()(2

cos2

cos2

22522522

25222252

22522225

252255

225

225

rrr

rrr

rrr

rrr

r

r

essenreeseers

reesseneseserr

w

eseesressenre

esreesessenere

vuessenvue

esvueusenvdr

dv

v

w

dr

du

u

w

r

w

Problema 2

z = u2-v3 con u = e2x-3y y v = sen(x2- y2 )

22232

22232

22232

22232

cos66

cos)2(3)3(2

cos64

cos23)2(2

yxyvue

yxyveuy

z

yxxvue

yxxveux

z

yx

yx

yx

yx

3. Utilice la regla de la cadena para hallar las derivadas parciales indicadas.

dw ,dw

dsdt

w = x2 + y2 + z2

x = s t

y = s cos t

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102

z = s sen t

dw= 2x(s) + 2y(- sen t) + 2z(cos t)

dt

dw = 2x(t) + 2y(cos t) + 2z(sen t)

ds

CRECIMIENTO MAXIMO y MINIMO

Multiplicadores de Lagrange Problema 1

Hallar los valores máximo y mínimo de la función yxyxf 2, sujeta a la

restricción 62 22 yx

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103

4)1,2(

4)1,2(

:puntos losen extremos valoresposibles tiene Por tanto

(3)en 2xentonces -1, Si

(3).en 2 xentonces 1, Si

1

622

:3endoSustituyen

2

:)2(

:)3(

)3...(62)2...(4)1...(22

6,

22

222

f

f

f

y

y

y

yy

y

yx

enxdespejandoyestodoSustituyen

y

enDespejando

yxyxxxy

yxggfgf yyxx

Problema 2

Sea la función f (x, y) = yex 22 y dados los puntos P (2, 0), Q (-3, 1)

a) Calcular la derivada direccional a través de P, Q. b) Calcular la dirección de máximo y mínimo crecimiento. c) Calcular el mayor y mínimo crecimiento de la función.

Solución

a)

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104

26

28

26

8

26

20)0,2(

26

2

26

10

26

1

26

522

),(),(

22),(

26

1

26

5

26

15

15

1,5)0,2()1,3(

00

222

222

222

eeDuf

exxe

jijexixe

UayxfyxDuf

jexixeyxf

jijiUa

jia

PQQPa

yy

yy

yy

Problema 3

ocrecimientmínimodeDirecciónjiji

V

ocrecimientmáximodeDirecciónjiji

V

f

jieef

exxeyxf

yxf

yxfV

yy

80

8

80

4

80

84min

80

8

80

4

80

84max

806416)0,2(

8484)0,2(

22),(

),(

),(max

00

222

80)0,2(min

80)0,2(max

fDu

fDu

Problema 4

a) Obtener el máximo de f(x, y) = 229 yx sujeta a x + y =3

Solución

Page 106: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

105

2

9

2

3,

2

3:

2/3

2/3

032

22

03

2

2

11

22

3),(

fesnesrestriccioconmáximoEl

yx

y

y

yxoyx

yx

y

x

gyg

yfyxf

yxyxg

yx

yx

Problema 5

Determine los extremos de F(x, y, z) = 222 zyx sujeta a 2x – 2y – z = 5

Solución

81

225

9

5,

9

10,

9

10:

9

5;

9

10;

9

10

2

0522

2

22

22

522),,(

FesnesrestriccioconextremoUn

zyx

zyx

zyx

z

y

x

zyxzyxg

Problema

¿Cuál es el área máxima que puede tener un rectángulo si la longitud de su diagonal es 2 ?

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106

De acuerdo al área del rectángulo (b x h) se formula el problema como maximización de f(x, y)=x y sujeta a la restricción g(x, y)=x2 +y2 -4=0. Los gradientes que corresponden son : V f(x, y) = f x(x, y)i + f y(x, y)j = y i + x j V g(x, y)= g x(x, y)i + g y(x, y)j= 2xi+2yj Las ecuaciones de Lagrange son :

y = (2x) ecuación 1

x = (2y) ecuación 2 x2+y2=4 ecuación 3

Multiplicando la ecuación 1 por “y” y la segunda por “x” se obtiene y2=2x y “y” x2=2x y obtenemos y2=x2 Tomando en cuenta la ecuación 3 y 4 encontramos que x= raíz(2) y y = raíz(2) y substituyendo estos valores en la ecuación 1 :

=1/2 y por lo tanto la solución a las ecuaciones 1 a 3 es x =raíz de 2

y =raíz (2), =1/2. Por lo tanto su máxima área es 2. Problema Use el método de Lagrange para encontrar los valores máximo y mínimo de f(x, y)=y2-x2 sobre la elipse x2/4+y2=1. La restricción es g(x, y)=x2+4y2-4=0 V f = -2xi + 2yj V g = 2xi + 8yj Las ecuaciones de Lagrange son

-2x=2x ecuación 1

2y=8y ecuación 2 x2+4y2=4 ecuación 3

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107

De la ecuación 3 se concluye que x=+-2. Los puntos críticos son (+-2,0). Cuando x es

diferente de 0, =-1 de la primera ecuación y y=0 de la segunda ecuación. Por otra parte y es diferente de 0 cuando x=0 de la primera ecuación y y=+-1 en la tercera ecuación. f(x, y) =y2-x2 f(2,0)=-4 f(-2,0)=-4 f(0,1)=1 f(0,-1)=1 Por lo tanto el valor mínimo de f(x, y) sobre la elipse dada es -4 y el valor máximo 1. Problema Encuentre el mínimo de f(x, y, z) = 3x + 2y +z + 5 ; sujeta a la restricción g(x, y, z)= gx2+4y2-z=0. V f(x, y, z)=3i +2j +k V g(x, y, z)=18xi +8yj -k Las ecuaciones son :

3 = 18x ecuación 1

2 = 8y ecuación 2

1 = - ecuación 3 9x2+4y2-z=0 ecuación 4

De ecuación 3, =-1. Substituyendo =-1 en 1 y 2 se obtiene x=-1/6 y y=-1/4. Usando estos valores en la ecuación 4 se obtiene z=1/2 por lo tanto la solución es (-1/6,-1/4,1/2,-1) y el punto critico (-1/6,-1/4,1/2). El mínimo es f(-1/6,-1/4,1/2)=4 ½. Problema Encuentre los valores máximos y mínimos de f(x, y, z)= x + 2y + 3z sobre la elipse que es la intersección del cilindro x2+y2=2 y el plano y + z = 1. Se va a maximizar y minimizar f(x, y, z) sujeto a g(x, y, z)=x2+y2=0 y h(x ,y ,z)=y+z-1=0. Las ecuaciones de Lagrange son :

1= 2x ecuación 1

2= 2y= ecuación 2

3= ecuación 3 x2+y2-2=0 ecuación 4 y+z-1=0 ecuación 5

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108

De la ecuación 1 x=1/2, de 2 y 3 y=-1/2 por lo tanto de 4 (1/2)2 + (-1/2)2=2, lo que

implica que =+-1/2. La solución =1/2 da el punto critico (x, y, z)=(1,-1,2) y =-1/2 produce el punto critico (x, y, z)=(-1,1,0) por lo tanto se concluye que f(1,-1,2)=5 es el máximo valor y f(-1,1,0)=1 es el mínimo. Problema Use el método de lagrange para encontrar los valores máximo y mínimo de

f(x,y) = y2 -x2 sobre la elipse x2 /4 + y2 =1 La restricción es que g(x,y) = x2 + 4y2 –4 = 0

f = -2xi + 2yj

g = 2xi + 8yj Las ecuaciones de lagrange son

–2x = 2x-------1

2y =8y---------2 x2 + 4 y2 = 4---3

De la tercera ecuación se concluye que x = 2, los puntos críticos son (2,0), cuando x

diferente de cero, = -1 de la 1ª. Ecuación y y = 0 de la 2ª. Ecuación. Por otra parte y0

cuando x = 0 de la 1ª. Ecuación y 1 en la 3ª. Ecuación. F(x,y) = y2 - x2 f(2,0) = -4 f(-2,0) =-4 f(0,1) = 1 f(0,-1) = 1 Por lo tanto el valor mínimo de f(x,y) sobre la elipse dada es de –4; y el valor máximo es 1 Encuentre el mínimo de f(x,y,z) = 3x + 2y + +z + 5, sujeta a la restricción g(x.y,z) = gx2 + 4y2 – z = 0

f(x,y,z) = 3i + 2j + k

g(x,y,z) = 18x i + 8y j – k Las ecuaciones son:

3 = 18x-----1

2 = 8y-------2

1 = ----------3 9x² + 4y² - z = 0-------4

De ecuación 3, = -1, Sustituyendo = -1 en 1 y 2 se obtiene x = -1/6 y y = -1/4. Usando estos valores en la ecuación 4 se obtiene z = ½, por lo tanto la solución es ( - 1/6 , - ¼. ½, -1) y el p.c (-1/6, - ¼, ½ ). El mínimo es f( -1/6, - ¼ , ½) = 4 ½ 4.- Encuentre los valores máximos y mínimos de f(x,y,z) = x + 2y + 3z sobre la elipse que es la intersección del cilindro x² + y² =z y el plano y + z = 1

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109

Se va a maximizar y minimizar f(x,y,z) sujeto a g(x,y,z) = x² + y² - z = G h(x,y,z) = y + z-1 = 0 las ecuaciones de lagrange son

1 = 2x----1

2 = 2y =--2

3 = ---3 x² + y ² -z = 0---4 y +´z –1 = 0-----5

De la ecuación 1 x = ½ , de 2 y 3 y = -1/2 por lo tanto de 4 (1/2)² + (- ½ )²=2, lo que

implica que = ½. La solución = ½ da el punto critico. Problema Halle el valor máximo de:

f(x,y,z) = 3 xyz s.a x+y+z = k

(xyz) 1/3

(1/3 (xyz) -2/3 yz, 1/3 ((xyz) -2/3 xz, 1/3 (xyz) -2/3 xy = (1,1,1)

1/3 (xyz) -2/3 yz = 1/3 (xyz) -2/3 yz = 1/3 (xyz) -2/3 = xz

1/3 ((xyz) -2/3 xz = yz = xz

1/3 (xyz) -2/3 xy = y = x 1/3 (xyz) -2/3 xy = 1/3 (xyz) -2/3 yz xy = yz x=z x+x+x+x = k 3x = k x = k/3 y = k/3 z=k/3 Problema Encontrar él minimo de f(x,y)=x2+y2 sujeto a las restricciones g(x,y)=xy-3=0

Entonces y=3/x z= x2+y2 De acuerdo a la restricción 2x= y ...(1) 2y= x ...(2) xy-

3=0...(3)

Se checa que el producto sea diferente de cero de (1) y (2) ......4xy=2 xy entonces

2 =4 o sea = 2

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110

De (1) con =2 entonces (1) x = y entonces sustituyendo en (3) queda x2=3 o sea x=

3 y el P( 3 , 3 )(- 3 ,- 3 )

De (1) con =-2 en (1) x=-y entonces –x2=3 No hay solución real

Los valores mínimos de f son f(( 3 , 3 )=6 ( 3 )2+( 3 )2

f(- 3 ,- 3 )=6

De (3) con xy=3 0 se puede cancelar entonces y=3/x x2+2

9

x=6 x4+9-6x2=0

(x2-3)2=0

X2=3 x= 3 La curva de nivel es x2+y2=6 el radio es 6

Problema Encuentre el mínimo de f(xyz)=x2+y2+z2 sujeta a la restricción x+3y-2z=12 g(xyz)=x+3y-2z-12

Fx=2x= . (1) de (1) x= /2 sabiendo el valor de entonces

x=6/7

Fy=2y=3 (2) de(2) y=3/2 y=18/7

Fz=2z=-2 (3) de(3) z=- z=-12/7

Entonces /2+9/2 +2 =12 7 =12 =12/7

Así el valor mínimo es f )7

12,

7

18,

7

6( =

222 )7

12()

7

18()

7

6( =

28.1049

144323

Problema Cuáles son las dimensiones de una caja rectangular que tiene un máximo volumen cuando la superficie es de 48 No tiene tapa por eso hay 5 términos S=xy+2xz+2yz048........... restricción

Vx= yz = yz= (y+2z) Vy= xz = xz= (x+2z) Vz= xy =

xy= (2x+2y)

Sustituimos en (1) asi es (2x+2y)+2 (x+2z)+2 (y+2z)=48 (4x+4y+8z)=48

(x+y+2z)=48...(2)

0= (xy+2zx-2zx-2yz)

0= y(x-2z) no puede tomar el valor de cero porque multiplica a x,y,z entonces 0 y Y 0 así el volumen es diferente de cero entonces x=2z...(3) Sustituyendo en

Vy xz= 4z

z 0 entonces x=4 ...(4) luego de 3 y 4 z=2 ...(5)

sustituyendo 2 y= [y+4 ] 2y= y+4 y=4 ...(6)

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111

[4 +4 +4 ]= 2=1 = 1 se toma el valor de +1 porque el volumen

es + entonces x=4 y=4 z=2 Problema Use el método de Lagrange para encontrar los valores máximo y mínimo de f(x, y)=y2-x2 sobre la elipse x2/4+y2=1 R= Donde se supone que el valor mínimo ocurre en( 2) y el máximo en (0, 1)

pero se deberá justificar esto la restricción es g(x, y)=x2+4y2-4=0 ahora f=-2xi+2yi

yg=2xi+8yj entonces las ecuaciones de Lagrange son:

-2x= 2x............... (1) 2y= 8y..................(2)

x2+4y2=4................. (3) En la tercera ecuación “x” y “y” no puede ser cero ambos entonces si x es diferente

de cero en la primera ecuación queda =-1 y la segunda ecuación es exige

entonces que y=0 y para terminar y= 1 en la tercera ecuación. Concluyendo los puntos críticos también son (0, 1) ahora para f(x, y)=y2-x2, F(2,0)=-4 F(-2,0)=-4 F(0,1)=1 F(0, -1)= 1 El valor mínimo de f(x, y)==-4; y el valor máximo es 1 Problema Encuentre el mínimo de f(x, y, z)=3x+2y+3, sujeto a la elipse que es la intersección del cilindro x2+y2=2 y el plano es y+z=1 R= Queremos maximizar y minimizar f(x, y, z) sujeto a g(x, y, z)= x2+y2-2=0 y h(x, y, z)=y+z-1=0 y las ecuaciones resultantes son las siguientes:

1=2 x...(1) 2=2 y+ ...(2) 3= ...(3) x2+y2-2=0...(4)

y+z1=0...(5)

De la ecuación (1), x=1/2 ; de (2) y (3), y=-1/2 . Por lo tanto de (4) resulta (1/2 )2+(-

1/2 .)=2, lo que implica que = 1/2. Utilizando =+1/2 esto da el punto critico(x,

y, z)=(1,1,2) y =- ½ produce el punto crítico (x, y, z)=(-1,1,0). Concluimos que f(1, -

1, 2=5 es el máximo valor y que f(-1, 1, 0)=1 es el mínimo.

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112

Campo vectorial conservativo

Problema 1

Determine si el campo vectorial es o no conservativo, si es conservativo encuentre la

función f tal que Ff (función potencial) de kyjyzxxyizyxF 22 22,, y

calcule la divergencia.

Solución:

KzyyxzyxfespotencialfunciónlaAsízhzyzyg

obtenemosyarespectoconCIntegrando

Cyzzyg

quevemosconBComparando

Bzygxzyxf

obtenemosyarespectoconADerivando

Azygyxzyxf

obtenemosxarespectoconIntegrando

yzyxf

yzxzyxf

xyzyxf

voconservatiessivectorialcampoelntotaPor

xxyyFrot

ky

P

x

Qj

x

R

z

Pi

z

Q

y

RFrot

y

yy

z

y

x

222

2

2

2

2

,,:,)(),(

:,)(

)......(....................2),(

:)2()(

))........(,(),,(

:,

)().........,(),,(

:,)1(

)3(....................,,

)2.(..........2,,

)1.........(..........2,,

.,

0,0,022,00,22

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113

Modulo V

FUNCIONES VECTORIALES DE UN VECTOR (Campos vectoriales)

Problema 1

Determine si el campo vectorial es o no conservativo, si es conservativo encuentre la

función f tal que Ff (función potencial) de kyjyzxxyizyxF 22 22,, y

calcule la divergencia.

KzyyxzyxfespotencialfunciónlaAsízhzyzyg

obtenemosyarespectoconCIntegrando

Cyzzyg

quevemosconBComparando

Bzygxzyxf

obtenemosyarespectoconADerivando

Azygyxzyxf

obtenemosxarespectoconIntegrando

yzyxf

yzxzyxf

xyzyxf

voconservatiessivectorialcampoelntotaPor

xxyyFrot

ky

P

x

Qj

x

R

z

Pi

z

Q

y

RFrot

y

yy

z

y

x

222

2

2

2

2

,,:,)(),(

:,)(

)......(....................2),(

:)2()(

))........(,(),,(

:,

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:,)1(

)3(....................,,

)2.(..........2,,

)1.........(..........2,,

.,

0,0,022,00,22

Problema 2

Determine: rotacional y la divergencia de los siguientes campos vectoriales:

1. 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑖 + (𝑥 + 𝑦𝑧)𝑗 + (𝑥𝑦 − √𝑧)𝑘

𝑟𝑜𝑡 𝐹 = ||

𝑖 𝑗 𝑘𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧

1 𝑥 + 𝑦𝑧 𝑥𝑦 − √𝑧

|| = (𝑥 − 𝑦)𝑖 − 𝑦𝑗 + 𝑘

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114

𝑑𝑖𝑣 𝐹 = 𝑧 −𝑧−

12⁄

2

2. 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) =1

√𝑥2+𝑦2+𝑧2(𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘)

𝑟𝑜𝑡 𝐹 =|

|

𝑖 𝑗 𝑘𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧𝑥

√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

𝑦

√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

𝑧

√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

|

|= 0𝑖 + 0𝑗 + 0𝑘 = 0

= (−𝑦𝑧

√(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)3−

−𝑦𝑧

√(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)3) 𝑖 − (

−𝑥𝑧

√(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)3−

−𝑥𝑧

√(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)3) 𝑗

+ (−𝑥𝑦

√(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)3−

−𝑥𝑦

√(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)3) 𝑘

𝑑𝑖𝑣 𝐹 = (1

√(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)3−

𝑥4

(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)3) + (

1

√(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)3−

𝑦4

(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)3)

+ (1

√(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)3−

𝑧4

(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)3)

Problema 3

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ⟨ln 𝑥 , ln 𝑥𝑦 , ln 𝑥𝑦𝑧⟩

𝑟𝑜𝑡 𝐹 = ||

𝑖 𝑗 𝑘𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧ln 𝑥 ln 𝑥𝑦 ln 𝑥𝑦𝑧

|| =1

𝑦𝑖 −

1

𝑥𝑗 +

1

𝑥𝑘

𝑑𝑖𝑣 𝐹 =1

𝑥+1

𝑦+1

𝑧

Problema 4

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ⟨𝑒𝑥, 𝑒𝑥𝑦 , 𝑒𝑥𝑦𝑧⟩

𝑟𝑜𝑡 𝐹 = |

𝑖 𝑗 𝑘𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧

𝑒𝑥 𝑒𝑥𝑦 𝑒𝑥𝑦𝑧

| = 𝑥𝑧𝑒𝑥𝑦𝑧𝑖 − 𝑦𝑧𝑒𝑥𝑦𝑧𝑗 + 𝑦𝑒𝑥𝑦𝑘

𝑑𝑖𝑣 𝐹 = 𝑒𝑥 + 𝑥𝑒𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦𝑧

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115

Problema 5

Determinar si el campo vectorial es conservativo o no lo es. Si es conservativo calcular la

función potencial.

𝐹(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦)𝑖 + (𝑥 − 2)𝑗

𝜕𝑃

𝜕𝑦= −1

𝜕𝑄

𝜕𝑥= 1

1. 𝐹(𝑥, 𝑦) = (3 + 2𝑥𝑦)𝑖 + (𝑥2 − 3𝑦2)𝑗

𝜕𝑃

𝜕𝑦= 2𝑥 =

𝜕𝑄

𝜕𝑥

∫𝜕𝑓

𝜕𝑥= ∫(3 + 2𝑥𝑦)

𝜕𝑓

𝜕𝑦= 𝑥2 − 3𝑦2

𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 𝑥2𝑦 + 𝑔(𝑦)

𝜕𝑓

𝜕𝑦= 𝑥2 + 𝑔´(𝑦)

𝑥2 − 3𝑦2 = 𝑥2 + 𝑔´(𝑦)

∫𝑔´(𝑦) = ∫−3𝑦2

𝑔(𝑦) = −𝑦3 +𝐾

𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 𝑥2𝑦 − −𝑦3 + 𝐾

Problema 6

2. 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥 cos 𝑦 𝑖 + 𝑒𝑥 sin 𝑦 𝑗

𝜕𝑃

𝜕𝑦= −𝑒𝑥 sin 𝑦

𝜕𝑄

𝜕𝑥= 𝑒𝑥 sin𝑦

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116

Problema 7

𝐹(𝑥, 𝑦) = (ln 𝑦 + 2𝑥𝑦3)𝑖 + (3𝑥2𝑦2 +𝑥

𝑦) 𝑗

𝜕𝑃

𝜕𝑦=1

𝑦+ 6𝑥𝑦2 =

𝜕𝑄

𝜕𝑥

∫𝜕𝑓

𝜕𝑥= ∫(ln 𝑦 + 2𝑥𝑦3)

𝜕𝑓

𝜕𝑦= 3𝑥2𝑦2 +

𝑥

𝑦

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 ln 𝑦 + 3𝑥2𝑦2 + 𝑔(𝑦)

𝜕𝑓

𝜕𝑦=𝑥

𝑦+ 3𝑥2𝑦2 + 𝑔´(𝑦)

3𝑥2𝑦2 +𝑥

𝑦=𝑥

𝑦+ 3𝑥2𝑦2 + 𝑔´(𝑦)

∫𝑔´(𝑦) = ∫0

𝑔(𝑦) = 𝐾

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 ln 𝑦 + 3𝑥2𝑦2 +𝐾

Problema 8

3. 𝐹(𝑥, 𝑦) = (𝑦𝑒𝑥 + sin𝑦)𝑖 + (𝑒𝑥 + cos 𝑦)𝑗

𝜕𝑃

𝜕𝑦= 𝑒𝑥 + cos 𝑦 =

𝜕𝑄

𝜕𝑥

∫𝜕𝑓

𝜕𝑥= ∫(𝑦𝑒𝑥 + sin𝑦)

𝜕𝑓

𝜕𝑦= 𝑒𝑥 + 𝑥 cos 𝑦

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑒𝑥 + 𝑥 sin 𝑦 + 𝑔(𝑦)

𝜕𝑓

𝜕𝑦= 𝑒𝑥 + 𝑥 cos 𝑦 + 𝑔´(𝑦)

𝑒𝑥 + 𝑥 cos 𝑦 = 𝑒𝑥 + 𝑥 cos 𝑦 + 𝑔´(𝑦)

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117

∫𝑔´(𝑦) = ∫0

𝑔(𝑦) = 𝐾

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑒𝑥 + 𝑥 sin 𝑦 + 𝐾

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118

Integrales múltiples, de línea y de superficie

Problema 1

.-Determine el valor de

∫2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑦

Sobre la curva dada por las ecuaciones paramétricas x=t, y=t2 con 0≤ t≤ 3

: x=t, y=t2;0≤ t≤ 3

Obtenemos dx=dt ;dy=2dt

∫2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑦 = ∫[2𝑡 ∗ 𝑡2 + (𝑡2 + 𝑡4)2𝑡]𝑑𝑡

3

0

= ∫(2𝑡3 + 2𝑡3 + 2𝑡5)𝑑𝑡

3

0

= [4𝑡4

4+2𝑡6

6]0

3

= 324

Problema 2

Obtenga ∫ 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + (𝑥𝐶

2 – y2) dy sobre la curva C representada por las ecuaciones

paramétricas, X= -t Y= -t2 entre los puntos (0,0), (1, -1). X= -t Y= -t2 Si (0, 0) → X= 0, y-x= -t → t= 0 t = 0 Y= 0 y=-t2 → t= 0 (1, 1) → -t = 1 → t= 0 t = -1 -t2= -1 → t2=1 → t= +- 1

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119

= ∫ 2xy dx + (x2-y2) dy = ∫ [2(−𝑡)(−𝑡2)(−1) + ((−𝑡2) − (−𝑡2)2(−2𝑡)]𝑑𝑡0

−1

e

= ∫ 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + (𝑥2 − 𝑦2)𝑑𝑦 = ∫ [2(−𝑡)(−𝑡2)(−1) + ((−𝑡2) − (−𝑡2)(−2𝑡)]𝑑𝑡0

−1

0

−1

= (2t6/6 – 4t4/4) |0-1 = - (1

3 (-1)6 – (-1)4) -

1

3 + 1 =

2

3

Problema 3

1.-Calcule la longitud de la curva dada por la parametrización

𝑟(𝑡) = 𝑡𝑖 + 4

3𝑡32 𝑗 +

1

2𝑡𝑘𝑡𝜖[0,2]

Solución:

Derivamos la función, 𝑟 ,(𝑡) = (1,2𝑡1

2,1

2) 𝑡𝜖[0,2]

La curva r(t) es de clase 𝐶1 y por lo tanto se puede medir su longitud.

‖𝑟 ,(𝑡)‖ = √(1)2 + (2𝑡12)2 + (

1

2)2

=1

2√5 + 16𝑡

La longitud de r(t) está dada por:

Utilizando el método de cambio de variable Tomamos:

𝑢 = 5 + 16𝑡, 𝑑𝑢 = 16𝑑𝑡, 𝑑𝑒𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒𝑑𝑢

16= 𝑑𝑡y resolvemos

𝑆 = ∫ ‖𝑟 ,(𝑡)‖𝑑𝑡 = ∫1

2√5 + 16𝑡

2

0

𝑑𝑡 =1

2.1

16.2

3. (5 + 16𝑇)

32]02

2

0

=1

48(37√37 − 5√5)

Problema 4

Page 121: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

120

La ecuación de una curva está dada por:𝑦2 = 𝑥3. Encuentre la longitud de arco que une,

(1, −1)𝑎(1,1).

Solución:

Parametricemos la curva de la forma: 𝑥 = 𝑡2, 𝑦 = 𝑡3, con esta parametrización evitamos a

los radicales, sustituimos en la ecuación,𝑦2 = 𝑥3

(𝑡3)2 = (𝑡2)3𝑝𝑜𝑟𝑙𝑜𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜𝑡6 = 𝑡6𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡 = 𝑡

Así obtenemos la función vectorial

𝑟(𝑡) = (𝑡2, 𝑡3), 𝑙𝑎𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠𝑦𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎, 𝑟 ,(𝑡) = (𝑎𝑡, 3𝑡2)∀𝑡 ∈ 𝑅

Como r(t) es de clase 𝐶1 en los reales y además la parametrización dada recorre la curva

en el sentido que se pide ya que:

𝑟(−1) = (1,−1), 𝑟(0) = (0,0), 𝑟(1) = (1.1)

‖𝑟 ,(𝑡)‖ = √4𝑡2 + 9𝑡4 = |𝑡|√4 + 9𝑡2

La longitud del arco está dada por:

𝑆 = ∫ ‖𝑟,(𝑡)‖𝑑𝑡 = ∫ |𝑡|√4 + 9𝑡21

−1

𝑑𝑡1

−1

∫ 𝑡√4 + 9𝑡2𝑑𝑡 − ∫ 𝑡√4 + 9𝑡20

−1

𝑑𝑡1

0

1

27(+9𝑡2)

32 ]0

1 −1

27(+9𝑡2)

32 ]−10 =

1

27(26√13 − 16)

Problema 5

Calcular la ∫ 𝑧𝑟

, donde r es la curva descrita por la parametrización siguiente:

𝑟(𝑡) = 𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡𝑖 + 𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡𝑗 + 𝑡𝑘, 𝑐𝑜𝑛 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋.

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121

Solución :

𝑟(𝑡) = (𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑡), 𝑟 ,(𝑡) = (𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝑡 + 𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡, 1), 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑡 ∈ [0,2𝜋]

Como 𝑟(𝑡)𝑒𝑠𝑑𝑒𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒𝐶1(𝑟(𝑡)𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎)

‖𝑟 ,(𝑡)‖ = √2 + 𝑡2

Sea la función escalar 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧. 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

∫ 𝑧𝑟

= ∫ 𝑓(𝑟(𝑡)) ∙2𝜋

0

‖𝑟 ,(𝑡)‖𝑑𝑡 = ∫ 𝑡2𝜋

0

√2 + 𝑡2𝑑𝑡 =1

3(2 + 𝑡2)

32]02𝜋

=1

3(√(2 + 4𝜋2)3 − 2√2).

Problema 7

Calcule ∫ (𝑥 + 𝑦), 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜𝐶𝐶

un triángulo de vértices (0,0), (1,0)𝑦 (0,1)

Solución:

Sea C la trayectoria del triángulo recorrida en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Parametrizamos los segmentos de recta, en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Del punto (0,0) al punto (1,0) la diferencia del punto 𝑝2 − 𝑝1 = (1,0) − (0,0) =< 1,0 >

< 𝑥 − 0, 𝑦 − 0 > = 𝑡 < 1,0 > , luego obtenemos las ecuaciones paramétricas del segmento

de recta 𝑥 = 𝑡 ; 𝑦 = 0

De manera similar se calculan los otros dos segmentos de recta que forman el triangulo.

Después del punto 𝑝2 (1,0) al punto 𝑝3 (0,1) las ecuaciones paramétricas de este

segmento de recta son: 𝑥 = 1 − 𝑡 ; 𝑦 = 𝑡

Luego del punto𝑝3(0,1) al punto 𝑝1(0,0) las ecuaciones paramétricas del segmento de

recta son: 𝑥 = 0 ; 𝑦 = 1 − 𝑡

Tomando, 𝑟1(𝑡) = (𝑡, 0), 𝑟1,(𝑡) = (1,0), ‖𝑟 ,(𝑡)‖ = 1, 𝑡 ∈ [0,1].

𝑟2(𝑡) = (1 − 𝑡, 𝑡), 𝑟2,(𝑡) = (−1,1), ‖𝑟2

,(𝑡)‖ = √2, 𝑡 ∈ [0,1].

𝑟3(𝑡) = (0,1 − 𝑡), 𝑟3,(𝑡) = (0, −1), ‖𝑟3

,(𝑡)‖ = 1, 𝑡 ∈ [0,1].

Puesto que,

𝑟1(0) = (0,0) = 𝑟3(1), 𝑟1(𝑡) = (𝑡, 0), 𝑟1(1) = (1,0) = 𝑟2(0)𝑦

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122

𝑟2(1) = (0,1) = 𝑟3(0)

Se puede considerar C como el arco unión 𝐶 = 𝑟1 ∪ 𝑟2 ∪ 𝑟3

Luego entonces:

∫ (𝑥 + 𝑦) = 𝐶

∫ (𝑥 + 𝑦) = 𝑟1

∫ (𝑥 + 𝑦) = 𝑟2

∫ (𝑥 + 𝑦) = 𝑟3

∫ 𝑡𝑑𝑡 + 1

0 ∫ √2𝑑𝑡 + 1

0 ∫ (1 − 𝑡)𝑑𝑡 = 1

𝑜

[𝑡2

2+ √2𝑡 + 𝑡 −

𝑡2

2]0

1

= 1 + √2

Problema 8

Un alambre tiene forma de circunferencia, 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑎2. Determine su masa y su

momento de inercia respecto de un diámetro si la densidad en un punto (x,y) del alambre

está dada por la función

𝑓(𝑥, 𝑦) = |𝑥| + |𝑦|.

Solución:

La masa del alambre viene dada por la expresión :

𝑀 = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑡 = 𝑟

∫ |𝑥| +𝑟

|𝑦|𝑑𝑡

Como r es la curva cuya trayectoria representa la forma del alambre, en este caso una

circunferencia que parametrizamos por

𝑟(𝑡) = (𝑎𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑎𝑠𝑒𝑛𝑡), 𝑡 ∈ [0,2𝜋]

Que es de clase 𝐶1.

Derivando r(t) obtenemos:

𝑟 ,(𝑡) = (−𝑎𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑡) → ‖𝑟 ,(𝑡)‖𝑎

𝑀 = ∫ 𝑓(𝑟(𝑡))‖𝑟,(𝑡)‖𝑑𝑡 = 2𝜋

0

∫ (|𝑎𝑐𝑜𝑠𝑡| +2𝜋

0

|𝑎𝑠𝑒𝑛𝑡|)𝑎𝑑𝑡 =

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123

𝑎2∫ (𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑠𝑒𝑛𝑡)𝑑𝑡 +

𝜋2

0

𝑎2∫ (−𝑐𝑜𝑠𝑡 +𝜋

𝜋2

𝑠𝑒𝑛𝑡𝑑𝑡 +

𝑎2∫ (−𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡)𝑑𝑡 +

3𝜋2

𝜋

𝑎2∫ (𝑐𝑜𝑠𝑡 −𝜋

3𝜋2

𝑠𝑒𝑛𝑡𝑑𝑡 =

= 𝑎2[𝑠𝑒𝑛𝑡 − 𝑐𝑜𝑠𝑡]0

𝜋2 + 𝑎2[−𝑠𝑒𝑛𝑡 − 𝑐𝑜𝑠𝑡]𝜋

2

𝜋 + 𝑎2[−𝑠𝑒𝑛𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑡]𝜋

3𝜋2 + 𝑎2[𝑠𝑒𝑛𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑡]3𝜋

2

2𝜋 = 8𝑎2

Problema 9

Para calcular el momento de inercia respecto a un diámetro necesitamos la distancia de

un punto cualquiera (𝑥, 𝑦) a dicho diámetro. Para simplificar tomaremos como eje el eje x,

por lo tanto, la función que da la distancia de un punto al eje es 𝑟(𝑥, 𝑦) = |𝑦|. Teniendo en

cuenta la definición del momento de inercia respecto de un eje se tiene:

𝐼 = ∫ 𝑦2(|𝑥| + |𝑦|) =𝛾

𝑎4∫ (𝑠𝑒𝑛 𝑡)2(|𝑠𝑒𝑛 𝑡| + |cos 𝑡|)2𝜋

0

𝑑𝑡 + 𝑎4∫ 𝑠𝑒𝑛2𝜋2

0

𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 −

−𝑎4∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 + 𝑎4∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 + 𝑎4∫ 𝑠𝑒𝑛3𝑡 𝑑𝑡 − 𝑎4𝜋

0

2𝜋

3𝜋2

3𝜋2

𝜋2

∫ 𝑠𝑒𝑛3𝑡 𝑑𝑡 =𝜋

0

=𝑎4

3([𝑠𝑒𝑛3𝑡]0

𝜋−[𝑠𝑒𝑛3𝑡]𝜋2

3𝜋2 + [𝑠𝑒𝑛3𝑡]3𝜋

2

2𝜋) +

𝑎4∫ (𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 𝑡𝑐𝑜𝑠2𝑡)𝑑𝑡 − 𝑎4∫ (𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠2𝑡)𝑑𝑡 = 4𝑎42𝜋

𝜋

𝜋

0

Problema 10

Calcule la integral del campo vectorial:

𝐹(𝑥, 𝑦) = (𝑥2 − 2𝑥𝑦)𝑖 + (𝑦2 − 2𝑥𝑦)𝑗,a lo largo de la parábola 𝑦 = 𝑥2 desde

Page 125: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

124

𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴 = (−1,1)ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐵 = (1,1)

Problema 12

La integral curvilínea del campo F a lo largo de la parábola es

∫ 𝐹 = ∫𝐹(𝛼(𝑡))𝛼′(𝑡)𝑑𝑡

𝑏

𝑎𝛼

siendo𝛼 una parametrización de dicha parábola. Hacemos 𝑥 = 𝑡, 𝑦 = 𝑡2para obtener la

parametrización:

𝛼(𝑡) = (𝑡, 𝑡2), 𝑡 ∈ [−1,1]

que es de clase 𝐶1 y va desde (-1,1) a (1,1) pues 𝛼(-1)= (-1,1) y 𝛼(1)=(1,1).Así:

𝛼′(𝑡) = (1,2𝑡), 𝐹(𝛼(𝑡)) = (𝑡2 − 2𝑡3, 𝑡4 − 2𝑡3)

∫ 𝐹𝛼

= ∫ 𝐹(𝛼(𝑡))𝛼′(𝑡)𝑑𝑡1

−1

=

= ∫ (𝑡2 − 2𝑡3, 𝑡4 − 2𝑡3)1

−1

∙ (1,2𝑡)𝑑𝑡 = ∫ (𝑡2 − 2𝑡3 + 2𝑡5 − 4𝑡4)𝑑𝑡 =1

−1

= [𝑡3

3−𝑡4

2+𝑡6

3−4𝑡5

5]1

−1= −

14

15

Problema 13

Calcule la integral curvilínea

∫ (𝑥 + 2)𝑑𝑥 + 3𝑧𝑑𝑦 + 𝑦2𝑑𝑧𝛾

Siendo 𝛾 una parametrización de la curva intersección de las superficies

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1, 𝑧 = 𝑥 − 1

Solución:

Page 126: PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL · Como el producto vectorial de las dos recta que son perpendiculares al plano es la normal del plano entonces a = 2i

125

Parametricemos la curva:

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1𝑧 = 𝑥 − 1

}→𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 1 → 2𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 = 0 →

→ 2(𝑥 −1

2)2

+ 𝑦2 =1

2→(𝑥 −

12)2

1 4⁄+𝑦2

1 2⁄= 1

Para que se cumpla esta condición podemos tomar el parámetro t tal que:

𝑥 −12

1 2⁄= cos 𝑡,

𝑦

1 √2⁄= 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑧 = 𝑥 − 1

𝑥 =1

2+1

2𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑦 =

1

√2𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑧 = −

1

2+1

2𝑐𝑜𝑠𝑡

cont∈ [0,2𝜋]pues de esta forma se recorre toda la curva Así:

𝛾(𝑡) = (1

2+1

2𝑐𝑜𝑠𝑡,

1

√2𝑠𝑒𝑛𝑡,−

1

2+1

2𝑐𝑜𝑠𝑡) , 𝑡 ∈ [0,2𝜋]

𝛾(𝑡) = (−1

2𝑠𝑒𝑛𝑡,

1

√2𝑐𝑜𝑠𝑡,−

1

2𝑠𝑒𝑛𝑡) , 𝑡 ∈ [0,2𝜋]

Calculamos ahora la integral:

∫ (𝑥 + 2)𝑑𝑥 + 3𝑧𝑑𝑦 + 𝑦2𝑑𝑧 =𝛾

= ∫ [(5

2+1

2𝑐𝑜𝑠𝑡) (−

1

2𝑠𝑒𝑛𝑡) +

3

√2𝑐𝑜𝑠𝑡 (

1

2𝑐𝑜𝑠𝑡 −

1

2) −

1

2𝑠𝑒𝑛2𝑡 (

1

2𝑠𝑒𝑛𝑡)] 𝑑𝑡 =

2𝜋

0

=1

4∫ (−5𝑠𝑒𝑛𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡 + 3√2𝑐𝑜𝑠2𝑡 − 3√2𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡(1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑡)) 𝑑𝑡 =2𝜋

0

=1

4(−

𝑠𝑒𝑛2𝑡

2]2𝜋

0+ 3√2∫

1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑡

2

2𝜋

0

𝑑𝑡 − 3√2𝑠𝑒𝑛𝑡]2𝜋

0−𝑐𝑜𝑠3𝑡

3]2𝜋

0) =

=3√2

8[𝑡 +

𝑠𝑒𝑛2𝑡

2]2𝜋

0=3√2

4𝜋

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126

Problema14

calcule la integral ∫ 𝑧𝑑𝑦 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜𝑟(𝑡)𝑟(𝑡)

el arco contenido en el primer octante con x,y,z≥ 0,

dado por la intersección de las superficies

{𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑅2

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅𝑦

El sentido de r(t) es de el punto (0,0, 𝑅)𝑎𝑙𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜(0, 𝑅, 0) Solución: La curva es la intersección de una esfera y un cilindro: Parametrizamos la curva

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑅2

→ 𝑧2 + 𝑅𝑦 = 𝑅2 → 𝑧 = √𝑅2 − 𝑅𝑦 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅𝑦

𝑥2 + y2 = 𝑅𝑦 → 𝑥2 + (y −R

2)2

=𝑅2

4

Estas ecuaciones cumplirán si tomamos el parámetro t tal que:

𝑥 =𝑅

2𝑐𝑜𝑠 𝑡 ; 𝑦 =

𝑅

2+𝑅

2𝑠𝑒𝑛 𝑡 ; 𝑧 = √𝑅2 −

𝑅2

2−𝑅2

2𝑠𝑒𝑛 𝑡 = 𝑅√

1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑡

2 =

= 𝑅√1 − cos (

𝜋2− 𝑡)

2 = 𝑅√sen2 (

𝜋

4−𝑡

2) = 𝑅 sen (

𝜋

4−𝑡

2)

Siendo t∈ [−𝜋

2,𝜋

2] para que la curva se recorra desde (0,0,R) hasta (0,R,0) y sea sen(

𝜋

4−

𝑡

2)

≥ 0. Por tanto:

𝛼(𝑡) = (𝑅

2cos 𝑡 ,

𝑅

2+𝑅

2sen 𝑡 , 𝑅 sin(

𝜋

4−𝑡

2)) , 𝑡 ∈ [−

𝜋

2,𝜋

2]

Que es de clase C1 en el intervalo considerado. Por la expresión del integrando

únicamente necesitamos calcular 𝛼′1(𝑡) = 𝑦′ =𝑅

2. Así la integral vale

∫ 𝑧𝑑𝑦 = ∫ 𝑅 sin (𝜋

4−𝑡

2)𝑅

2cos 𝑡𝑑𝑡 =

𝜋2

−𝜋2𝛼

= 𝑅2

2∫

1

2𝑅 (𝑠𝑒𝑛 (

𝜋

4+𝑡

2) +𝑠𝑒𝑛 (

𝜋

4+3𝑡

2))𝑑𝑡 =

2

3𝑅2

𝜋2

−𝜋2

Problema 16

Y

X

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127

Calcule la siguiente integral

∫𝑥2𝑦𝑑𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑦 + 𝑥𝑑𝑧

𝛾

A lo largo del amino cerrado𝛾 limitado por los arcos 𝛾1, 𝛾2𝑦𝛾3dados por las ecuaciones

𝛾1 {𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1

𝑥 = 0𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0

𝛾2 {2𝑥 + 𝑧 = 1𝑦 = 0

𝑥 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0 𝛾3 {

4𝑥2 + 𝑧 = 1𝑧 = 0

𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

Solución: (0,0,1)𝛾1 𝛾2(0,1,0)𝑦 (1 2⁄ , 0,0)𝛾3

Cada una de las curvas está en un plano coordenado de modo que se unen en los puntos

(0, 1,0), (0, 0,1) y (1/2, 0,0).

Las parametrizamos de la siguiente manera:

𝛾1 {𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1

𝑥 = 0𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0

→ 𝑦2 + 𝑧2 = 1 → 𝑥 = 0, 𝑦 = cos 𝑡 , 𝑧 = sen 𝑡 → 𝛾1(𝑡)

= (0, cos 𝑡 , sen 𝑡), 𝑡 ∈ [0,𝜋

2]

𝛾1es un cuarto de circunferencia y habremos de tomar 𝑡 ∈ [0,𝜋

2] para que vaya desde

(0,1,0)=𝛾1(0) hasta (0,0,1)=𝛾1(𝜋

2).

𝛾2 {2𝑥 + 𝑧 = 1𝑦 = 0

𝑥 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0→𝑧 = 1 − 2𝑥

𝑦 = 0→ 𝛾2(𝑡) = (𝑡, 0,1 − 2𝑡)

Y tomaremos 𝑡 ∈ [0,1

2] para que vaya desde (0, 0,1)=𝛾2(0) hasta (

1

2, 0,0)=𝛾2 (

1

2).

𝛾3 {4𝑥2 + 𝑦2 = 1

𝑧 = 0𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

→ {𝑥 =

1

2cos 𝑡

𝑦 = sen 𝑡𝑧 = 0

→ 𝛾3(𝑡) = (1

2cos 𝑡 , sen 𝑡, 0)

Que con 𝑡 ∈ [0,𝜋

2] va desde (

1

2, 0,0) = 𝛾3(0) a (0, 1,0)=𝛾3 (

𝜋

2).

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128

De esta manera, como

𝛾1(0) = (0,1,0) = 𝛾3 (𝜋

2) , 𝛾1 (

𝜋

2) = (0,0,1) = 𝛾2(0), 𝛾2 (

1

2) = (

1

2, 0,0) = 𝛾3(0)

El camino 𝛾 dado es la unión de los otros tres, 𝛾 = 𝛾1 ∪ 𝛾2 ∪ 𝛾3 y la integral será la

suma de las tres integrales siguientes:

∫ 𝑥2𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑦 + 𝑥𝑑𝑧 = ∫ 2cos 𝑡 (− sen 𝑡)𝑑𝑡 = cos2 𝑡

𝜋2⁄

0𝛾1

]𝜋2⁄

0= −1

∫ 𝑥2𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑦 + 𝑥𝑑𝑧 = ∫ 𝑡(−2)𝑑𝑡 = −𝑡2]1 2⁄

0= −

1

4

𝜋2⁄

0𝛾2

∫ 𝑥2𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑦 + 𝑥𝑑𝑧 = ∫ (1

4𝑐𝑜𝑠2𝑡

𝜋2⁄

0

sen 𝑡 (−1

2sen 𝑡) + 2 sen 𝑡 cos 𝑡) 𝑑𝑡

𝛾2

= −1

8∫

𝑠𝑒𝑛22𝑡

4𝑑𝑡 + [𝑠𝑒𝑛2𝑡]

𝜋2⁄

0= −

1

32∫

1 − cos 4𝑡

2𝑑𝑡 + 1

𝜋2⁄

0

𝜋2⁄

0

= −1

32[1

2𝑡 −

1

8sen4𝑡]

𝜋2⁄

0+ 1 = −

𝜋

128+ 1

Sumando los tres resultados obtenemos:

∫𝑥2𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑦 + 𝑥𝑑𝑧

𝛾

= −1 −1

4−

𝜋

128+ 1 = −

1

4−

𝜋

128

Problema 18

. ¿Para qué valores de 𝑎 ∈ ℝ el campo vectorial

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑎𝑥𝑦 − 𝑧3, (𝑎 − 2)𝑥2, (1 − 𝑎)𝑥𝑧2)

es el gradiente de una función potencial? Para esos valores, calcule la función potencial.

Solución :

Para cualquier valor de a del campo F es de clase C¹ en ℝ³ (convexo) y será conservativo si su rotacional es cero ∀ (x,y,z) ∊ℝ³. Calculemos el rotacional

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129

𝑟𝑜𝑡𝐹 = |𝑖→

𝑗→

𝑘→

𝐷₁ 𝐷₂ 𝐷₃

𝑎𝑥𝑦 − 𝑧3 (𝑎 − 2)𝑥2 (1 − 𝑎)𝑥𝑧2| =

= (0,−3𝑧2 − (1 − 𝑎)𝑧2, 2𝑥(𝑎 − 2) − 𝑎𝑥)

Que se anula si se cumplen las ecuaciones:

{(1 − 𝑎)𝑧² + 3𝑧² = 02𝑥(𝑎 − 2) − 𝑎𝑥 = 0

∀ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∊ ℝ³de donde a=4

Por tanto, para a=4 el campo F es el gradiente de una función potencial y

∃𝑓 ∶ ℝ3 → ℝtal que ∇𝑓 = 𝐹 = (4𝑥𝑦 − 𝑧3, 2𝑥2, −3𝑥𝑧2)

Entonces:

𝜕𝑓

𝜕𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 4𝑥𝑦 − 𝑧³

𝜕𝑓

𝜕𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥²

𝜕𝑓

𝜕𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −3𝑥𝑧² }

Integrando la primera ecuación respecto de x y teniendo en cuenta que hay que añadir una función de las otras variables (que hace el papel de constante de integración al calcular la primitiva de F1 respecto de x) queda:

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∫(4𝑥𝑦 − 𝑧3)𝑑𝑥 = 2𝑥 ²𝑦 − 𝑧3𝑥 + ℎ(𝑦, 𝑧)

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130

Para calcular la función h(x,y,z), calculamos las derivadas parciales de 𝑓 respecto de yyz,

y comparamos con la segunda y tercera ecuación en el sistema anterior. →

𝜕𝑓

𝜕𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥2 = 2𝑥2 +

𝜕ℎ

𝜕𝑦(𝑦, 𝑧) →

𝜕ℎ

𝜕𝑦(𝑦, 𝑧) = 0 → ℎ(𝑦, 𝑧) = 𝑘(𝑧) ,

razonando igual que antes, k(z) es una función que no depende ni de x ni de y, así:

𝜕𝑓

𝜕𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −3𝑥𝑧2 = −3𝑥𝑧2 +

𝜕ℎ

𝜕𝑧(𝑦, 𝑧) = −3𝑥𝑧2 + 𝑘′(𝑧) → 𝑘′(𝑧) = 0

Luego k(z)= C y la función potencial del campo F es

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥²𝑦 − 𝑧3𝑥 + 𝐶.

INTEGRALES MULTIPLES Y DE SUPERFICIE

Integrales iteradas dobles y triples, Teorema de Green, Teorema de Stocks, T.

Divergencia y parametrizaciòn de superficies.

Problema 1

Obtenga el volumen del solido limitado por las graficas de las ecuaciones:

X=0, y=0, z=0 y la superficie de 6x+3y+2z=6 en el primer octante

Solución

6x + 3y + z = 6 => 𝑧 =−6𝑥 − 3𝑦 + 6

2

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131

Si z=0 −6𝑥−3𝑦+6

2= 0

−3𝑥 −3

2𝑦 = −3 =>si y=0 entonces x=1

Si x=0 entonces y=2

Si x=0, y=0 entonces z=3

Como y=-2x+2

𝑉 = ∫ ∫−6𝑥 − 3𝑦 + 6

2𝑑𝑦 𝑑𝑥

−2𝑥+2

0

1

0

=1

2∫(−6𝑥𝑦 −

3𝑦2

2+ 6𝑦)∫ .

−2𝑥+2

0

1

0

=1

2∫ [−6𝑥(−2𝑥 + 2) −

3

2(−2𝑥 + 2) + 6(−2𝑥 + 2)] 𝑑𝑥

1

0

=1

2∫(6𝑥2 − 12𝑥 + 6)𝑑𝑥 =

1

2(6𝑥3

2−12𝑥2

2+ 6𝑥)∫ .

1

0

1

0

=1

2(2 − 6 + 6) = 1𝑢3

Problema 2

-Determine el valor de

∫2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑦

Sobre la curva dada por las ecuaciones paramétricas x=t, y=t2 con 0≤ t≤ 3

: x=t, y=t2;0≤ t≤ 3

Obtenemos dx=dt ;dy=2dt

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132

∫2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑦 = ∫[2𝑡 ∗ 𝑡2 + (𝑡2 + 𝑡4)2𝑡]𝑑𝑡

3

0

= ∫(2𝑡3 + 2𝑡3 + 2𝑡5)𝑑𝑡

3

0

= [4𝑡4

4+2𝑡6

6]0

3

= 324

Problema 4

Un sólido está limitado por la superficie z= x2-y2, en el plano xy y los planos x=1 y x = 3.

Calcule su volumen por doble integración

Solución:

Intercesión de la superficie con el plano xy es:

𝑧 = 𝑥2 − 𝑦2

𝑧 = 0} → 𝑦2 = 𝑥2 →

𝑦 = 0

𝑦 = −𝑥}

y con los planos x=1 x=3, las parábolas z=1-y2y z=9-y2 respectivamente.

Parra hallar volumen del solido dado hemos de calculado la integral doble de función

𝑧 = ƒ (x, y) = x2 − y2 sobre la región D del plano xy comprendidas entre las rectas x=1,

x=3, y=c e y=-x:

𝐷 = {(𝑥, 𝑦)𝜖ℝ2: 1 ≤ 𝑥 ≤ 3,−𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥}

𝑉 =∬ (𝑥2 − 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ (∫ (𝑥2 − 𝑦2𝑑𝑦)𝑥

−𝑥

)𝑑𝑥 =3

1𝐷

= ∫ [𝑥2 −𝑦3

3]𝑥

−𝑥𝑑𝑥 = ∫

4

3𝑥3𝑑𝑥 =

1

3𝑥4]

3

1=80

3

3

1

3

1

Problema 6

Calcule∬ 𝑥2𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷

siendo D la porción acotada del primer cuadrante situada entre las

dos hipérbolas 𝑥𝑦 = 1 𝑦 𝑥𝑦 = 2 y las líneas rectas 𝑦 = 𝑥 𝑒 𝑦 = 4𝑥

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133

Solución:

La región D es el conjunto:

𝐷 = {(𝑥. 𝑦)𝜖ℝ2: 1 ≤ 𝑥𝑦 ≤ 2, 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 4} = {(𝑥, 𝑦)𝜖ℝ2: 1 ≤ 𝑥𝑦 ≤ 2, 1 ≤𝑦

𝑥≤ 4}

Esta expresión nos sugiere el cambio de variables:

𝑢 = 𝑥𝑦𝑣 =𝑦

𝑥

Con lo que:

𝑦 = 𝑣𝑥, 𝑢 = 𝑣𝑥2 → 𝑥 = √𝑢

𝑣, 𝑦 = √𝑢𝑣 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑢, 𝑣 > 0

y la transformación que obtenemos es:

𝑇: ]0, +∞[𝑥]0, +[→ ℝ2,∞ 𝑇(𝑢, 𝑣) = (√𝑢

𝑣, √𝑢𝑣)

T es una transformación inyectiva (para cada (x,y) hay un solo(u,v) tal que T(u,v) = (x,y)) y

es clase C1. Emos de comprobar además que su jacobino es nulo:

𝐽𝑇(𝑢, 𝑣) = ||

1 𝑢⁄

2√𝑢 𝑣⁄

−𝑢 𝑣2⁄

2√𝑢/𝑣𝑣

2√𝑢𝑣

𝑢

2√𝑢/𝑣

|| =

1

2𝑣≠ 0, ∀𝑢, 𝑣 > 0

Podemos dibujar fácilmente la región D calculado los puntos de corte de las rectas con

hipérbolas dadas (recordando que son solo los del primer cuadrante):

𝑥𝑦 = 1

𝑦 = 1} → 𝑥2 = 1 → 𝑃1 = (1,1);

𝑥𝑦 = 1

𝑦 = 4𝑥} → 𝑥2 =

1

4→ 𝑃2 = (

1

2, 1)

𝑥𝑦 = 2

𝑦 = 4𝑥} → 𝑥2 =

1

2→ 𝑃3 = (

1

√2,4

√2) ;

𝑥𝑦 = 2

𝑦 = 𝑥} → 𝑥2 = 2 → 𝑃4 = (√2, √2);

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134

Es obvio que esta región D (en el plano xy) es la imagen en T(Q), del recinto (en el plano

uv)

𝑄 = {(𝑢, 𝑣)𝜖ℝ2: 1 ≤ 𝑢 ≤ 2, 1 ≤ 𝑣 ≤ 4}

Aplicando el teorema del cambio de variable obtenemos:

∬ 𝑥2𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 =∬ 𝑢21

2𝑣𝑑𝑢𝑑𝑣 =

𝑄𝐷

= ∫ 𝑢2𝑑𝑢∫1

2𝑣𝑑𝑣 =

𝑢3

3]2

1.1

2log 𝑣]

4

1=7

3log 2.

4

1

2

1

Problema 16

Calcule la integral

∫∫∫ (2𝑧𝑥2 + 2𝑧𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉

Siendo V el volumen exterior a la hoja superior del cono x2= x2+y2 e interior al cilindro x2 +

y2 = , con z ≥ 0.

Solución:

La integración del cono en el cilindro es:

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2

𝑥2 + 𝑦2 = 1} → 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑥2 + 𝑦2 = 1 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑙𝑛𝑜 𝑧 = 1

El conjunto V será el conjunto descrito por:

𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝜖ℝ2: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1, 0 ≤ 𝑧 ≤ √𝑥2 + 𝑦2}

Haciendo cambio a coordenadas cilíndricas

𝑥 = 𝑝𝑐𝑜𝑠𝜑𝑦 = 𝑝𝑠𝑒𝑛𝜑𝑧 = 𝑧

}𝑇: 𝑈 → ℝ3, 𝑇(𝑝, 𝜑, 𝑧) = (𝑝𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑝𝑠𝑒𝑛𝜑, 𝑧)

siendo

𝑈 =]0,+∞[𝑥]0,2𝜋[𝑥ℝ,𝐽𝑇(𝑝, 𝜑, 𝑧) = 𝑝

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135

De esta manera, y puesto que 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑝2 = 1 en el cilindro 𝑧2 = 𝑝2 con el cono, el

recinto V es la imagen, T(Q) (salvo un conjunto de medida cero que es la región del plano

y = 0 compendiada entre el cilindro y el cono) del conjunto.

𝑄 = {(𝑝, 𝜑, 𝑧)𝜖𝑈: 0 < 𝑝 ≤ 1,0 < 𝜑 < 2𝜋, 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑝} ⊂ 𝑈

Por tanto, Haciendo la integral con este cambio de variable obtenemos

∫∫∫ (2𝑧𝑥2 + 2𝑧𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧2

= ∫∫∫ (2𝑧𝑥2 + 2𝑧𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧2

= ∫ [∫ (∫ 2𝑧𝑝3𝑑𝑧𝑝

0

)𝑑𝜑2𝜋

0

] 𝑑𝑝 =1

0

= ∫ (∫ 𝑧2𝑝3]2𝜋

0

𝑝

0𝑑𝜑)𝑑𝑝

1

0

= ∫ (∫ 𝑝5𝑑𝜑𝑝

0

)𝑑𝑝 = 2𝜋1

0

𝑝6

6]1

0=𝜋

3

Problema

calcule el flujo del campo vectorial F(x,y,z)=(x,y,2z), a través de la superficie cerrada S

que limita el solido

𝑉 ≔ {(𝑥, 𝑦, 𝑧) / 0 ≤ 𝑧 ≤ 4 − 2𝑥2 − 2𝑦2}

directamente

B) utilizando el teorema de Gauss

Solución:

A) La superficie cerrada S que limita el sólido V está compuesta por dos superficies

una porción del paraboloide 𝑧 = 4 − 2𝑥2 − 2𝑦2, 𝑠1, y la tapa inferior , 𝑠2 .

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136

Por tanto , hay que calcular el flujo de F a traves de cada una de ellas hacia el exterior de

la superficie cerrada.

Parametrizamos 𝑠1 de ecuacion 𝑧 = 4 − 2𝑥2 − 2𝑦2 (paraboloide);

𝑟1: 𝑅2 → 𝑅3: 𝑟1(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦, 4 − 2𝑥2 − 2𝑦2)

Donde las Variables X e Y varían en la proyección del solido en el plano XY, que

calculamos a partir de la intersección del paraboloide 𝑧 = 4 − 2𝑥2 − 2𝑦2 con el plano z=0.

𝑆1 = 𝑟1(𝐷) 𝐷 = {(𝑥, 𝑦)𝜖𝑅2; 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 2}.

El vector normal :

𝑁1(𝑥, 𝑦) =𝜕𝑟1𝜕𝑥

𝑦 ∇ 𝜕𝑟1𝜕𝑦

= (4𝑥, 4𝑦, 1);

∫ 𝐹 ∙ 𝑛𝑑𝑆 = ∬ 𝐹( 𝑟1(𝑥, 𝑦)) ∙𝐷𝑆1

𝑁1 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 =

=∬ (𝑥, 𝑦, 8 − 4𝑥2 − 4𝑦2) ∙ (4𝑥, 4𝑦, 1)𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦 =

=∬ 8𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝐷

16𝜋

Parametrizamos 𝑆2 , tapa inferior de ecuacion z=0,

𝑟2: 𝑅2 → 𝑅3: 𝑟2(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦, 0), 𝑆2 = 𝑟2(𝐷)

El vector normal :

𝑁2(𝑥, 𝑦) =𝜕𝑟2𝜕𝑥

∧ 𝜕𝑟2𝜕𝑦

= (0,0,1);

Esta dirigido hacia el interior de la superficie S. calculamos ;

∫ 𝐹 ∙ 𝑛𝑑𝑆 = ∬ 𝐹( 𝑟2(𝑥, 𝑦)) ∙𝐷𝑆1

(−𝑁2 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 =

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=∬ (𝑥, 𝑦, 0) ∙ (0,0,1)𝐷

𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0

Por tanto , el flujo de F hacia el exterior de la superficie cerrada S es :

∫ 𝐹 ∙ 𝑛𝑑𝑆 = ∫ 𝐹 ∙ 𝑛𝑑𝑆 + ∫ 𝐹 ∙ 𝑛𝑑𝑆 = 16𝜋𝑆2𝑆1𝑆

B) El flujo de F , utilizamos el teorema de Gauss, puede calcularse como la integral

triple en V de la divergencia de F.

𝑑𝑖𝑣 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1 + 1 + 2 = 4

Entonces :

∫ 𝐹 ∙ 𝑛𝑑𝑆 = ∭ 𝑑𝑖𝑣𝐹𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =𝑉𝑆

∭ 4𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =𝑉

=∬ (∫ 𝑑𝑧4−2𝑥2−2𝑦2

0

) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 4 ∬ (4 − 2𝑥2 − 2𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷𝐷

Para hacer esta integral doble en el circulo D pasaremos a coordenadas polares con

𝜌 ∈ (0, √2 ) 𝜑 ∈ ( 0, 2𝜋).

Por tanto :

∫ 𝐹. 𝑛𝑑𝑆 = 4 ∫ ∫ (4 − 2𝜌2)𝜌𝑑𝜌𝑑𝜑 = 16𝜋2𝜋

0

√2

0𝑆

Problema

Obtenga el volumen del solido limitado por las graficas de las ecuaciones:

X=0, y=0, z=0 y la superficie de 6x+3y+2z=6 en el primer octante

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Solución

6x + 3y + z = 6 => 𝑧 =−6𝑥 − 3𝑦 + 6

2

Si z=0 −6𝑥−3𝑦+6

2= 0

−3𝑥 −3

2𝑦 = −3 =>si y=0 entonces x=1

Si x=0 entonces y=2

Si x=0, y=0 entonces z=3

Como y=-2x+2

𝑉 = ∫ ∫−6𝑥 − 3𝑦 + 6

2𝑑𝑦 𝑑𝑥

−2𝑥+2

0

1

0

=1

2∫(−6𝑥𝑦 −

3𝑦2

2+ 6𝑦)∫ .

−2𝑥+2

0

1

0

=1

2∫ [−6𝑥(−2𝑥 + 2) −

3

2(−2𝑥 + 2) + 6(−2𝑥 + 2)] 𝑑𝑥

1

0

=1

2∫(6𝑥2 − 12𝑥 + 6)𝑑𝑥 =

1

2(6𝑥3

2−12𝑥2

2+ 6𝑥)∫ .

1

0

1

0

=1

2(2 − 6 + 6) = 1𝑢3