grupo3 - producto vectorial

8/18/2019 Grupo3 - Producto Vectorial

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El producto vectorial entre dos vectores: u y

v de R3, distintos del vector nulo, da por

resultado un vector w con las siguientes

características:

• La dirección del vector w = u × v es

perpendicular a la dirección del vector u y a la

dirección del vector v. Por lo tanto, w = u × v

es perpendicular al plano ue deter!inan u y v.

• El sentido del vector w = u × v se puede

deter!inar !ediante la regla de la !ano

derec"a. #ea $ el %ngulo entre u y v, si

supone!os ue los dedos de la !ano derec"a

se !ueven siguiendo el giro del vector u seg&nel %ngulo $ "asta coincidir con el vector v ,

entonces el pulgar de la !ano derec"a

indicar% el sentido del vector: w = u × v


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Propiedades del producto vectorial entrevectores

Sean u, v y w tres vectores de R3 y sea α ∈ R, entonces:

1. El producto vectorial es anti conmutativo: u × v = – v × u!

". El producto vectorial de vectores paralelos es el vector nulo: Si u ## v $u × v = %

3. &onsecuencia propiedad "!: u × u = %

'. Si uno de los vectores del producto vectorial es el vector nulo entoncesel producto

vectorial es el vector nulo: % × u = u × % = %

(. El producto vectorial es distri)utivo respecto de la suma de vectores aderec*a y a

i+uierda! teniendo en cuenta la anti conmutatividad de la operaci-n:

u × v w! = u × v u × w

v w! × u = v × u w × u

/eniendo en cuenta la de0nici-n de producto vectorial, pueden deducirseel producto

vectorial

i × i = % × = % 2 × 2 = % i × = 2 × i = – 2

i × 2 = – 2 × i = × 2 = i2 × = – i


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Fórmula del producto vectorial entre vectores

Sean los vectores: A = ax i + ay j + az k y B = bx i + by j + bz k

Entonces para calcular el producto vectorial entre los vectores A y B de !"

en #unción de sus componentes se utiliza la #unción de determinante$

%rimero se arma un determinante de tercer orden y se lo desarrolla en

tres determinantes de orden dos tal como se muestra a continuación:

zyx

zyx

b b b

aaa

k ji

ba =×a i j k = + +a a ax y z

b i j k = + + b b bx y z

k jiba ) ba ba() ba ba() ba ba(xyyxzxxzyzzy

−+−+−=×


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&arios vectores libres son linealmente independientes si nin'uno de ellos puede

ser escrito con una combinación lineal de los restantes(

Vectores linealmente independientes

a1 = a2 = ··· = an = 0

)os vectores linealmente independientes tienen distinta

dirección y sus componentes no son proporcionales(

Ejemplo:

Estudiar si son linealmente dependientes o independientes los vectores:

= * " $, = *$ - $, = *- " .$,

a * " $, + b*$ - $, + c *- " .$, = *- - -,


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r = n = " Sistema compatible indeterminado(

El sistema tiene in#initas soluciones por tanto los vectores

son linealmente dependientes(

http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/rouche.htmlhttp://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/rouche.html


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VECTORES LINEALMENTEDEPENDIENTES

Un conjunto de vectores libres del

plano se dice que son linealmente

dependientes si hay una combinación

lineal de ellos que es igual al vectorcero, con la condición de que alguno

de los coeficientes de la combinación

lineal sea distinto de cero.


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PROPIEDADES1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces

al menos uno de ellos se puede expresar como combinación

lineal de los demás.

2. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y

sólo si, son paralelos.

También se cumple el reciproco: si unvector es

combinación lineal de otros, entonces todos los

vectores sonlinealmente dependientes.


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3. Dosvectores libres del plano U= (u1, u2) y V= (v1, v2) son

linealmente dependientes si sus componentes son

proporcionales.

Por las propiedades de los determinantes, se cumplirá que:


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EJEMPLO:

M ( 2, - 4); R: (-1,2)

M = α R

(2 , - 4) =α ( - 1, 2 )

(2 , - 4) = (- α, 2 α )

2α = - 4 - 4 / 2 α = - 2

α= -2 α= -2

Como ambos α son iguales los vectores

Son Linealmente Dependientes


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COMBINACION LINEAL

/na combinación lineal de dos o m0s vectores es el vector 1ue seobtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares(

2ual1uier vector se puede poner como combinación lineal de otros

1ue ten'an distinta dirección(

Esta combinación lineal es 3nica(


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COMBINACION LINEAL

4 ados dos vectores u 5 y v5 denotamoscom)inaci-n lineal de u 5 y v5 a cualuiere6presi-n de la7orma: 8u 5 9v5 donde 8 y 9 son nmeros

reales.4 ;n vector w5 es com)inaci-n lineal de u 5 y v5 sie6isten nmeros reales escalares! 8 y 9 uepermitan e6presar w5 de la 7orma: w5 =8u 5 9v5 .

4


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EJEMPLOS

4 Eemplo 1:ados los vectores, *allar el vector co!inaci"n lineal


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EJEMPLO


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EJERCICIO

4 ndiue si el primer vector es com)inacionlineal de los restantes 1" . " . 1

"' ( '

Solucion

4

4 ( ' "' % 1 ?'

&omo el sistema es consistente, el vector s@

es com)inacion lineal de los restantes


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