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Matrices Positivas Definidas

Arsenio Cornejo JordanDept. de Matematica

Universidad Nacional de Panama

Junio 4, 2010

Arsenio Cornejo Jordan Dept. de Matematica Universidad Nacional de Panama ()Matrices Positivas Definidas Junio 4, 2010 1 / 20

Espacio Vectorial con Producto Interno

Temas

1 Espacio Vectorial con Producto Interno

2 Productos Internos

3 Generacion de Productos Internos

4 Ejemplo de Matriz SPD

5 Observaciones sobre matrices positivas definidasMatrices con elementos no positivosLas matrices PD son invertibles

6 Caracterizacion de matrices SPDEl Teorema de SylvesterTeorema de los Valores Propios



Producto Interno

Definicion

Sea E un espacio vectorial sobre R. Se llama producto interno sobre Ea toda funcion 〈u|v〉 : E ×E → R que satisfaga los siguientes axiomas:

[Axioma de Simetrıa] ∀u, v ∈ E , 〈u|v〉 = 〈v |u〉 (1)

[Axioma de Aditividad] ∀u, v ,w ∈ E , 〈u + v |w〉 = 〈u|w〉+ 〈v |w〉(2)

[Axioma de Homogeneidad] ∀u, v ∈ E , r ∈ R, 〈ru|v〉 = r〈u|v〉 (3)

[Axioma de Positividad] ∀u ∈ E , 〈u|u〉 ≥ 0; 〈u|u〉 = 0 ⇐⇒ u = 0(4)



Notacion y Observaciones

Notacion

Si 〈.|.〉 es un producto interno sobre un espacio vectorial E, diremosque la estructura (E,〈.|.〉) es un espacio con producto interno.



Notacion y Observaciones

Notacion

Si 〈.|.〉 es un producto interno sobre un espacio vectorial E, diremosque la estructura (E,〈.|.〉) es un espacio con producto interno.

Observacion

Del axioma de homogeneidad se tiene que 〈0|v〉 = 0, para todo v ∈ E.En consecuencia, el axioma de positividad puede quedar en la forma

∀u ∈ E , 〈u|u〉 ≥ 0; 〈u|u〉 = 0 =⇒ u = 0 (5)


Productos Internos

Temas








Productos Internos

Producto Interno sobre Rn

Recordemos que el producto interno usual en Rn esta dado por

〈u|v〉 =n

∑

i=1

ui vi (6)

Si x , y son las matrices de coordenadas de los vectores u, v , conrespecto a la base natural, podemos afirmar que

〈u|v〉 = xT y (7)

Por ejemplo, si u = (1,−3, 2),v = (3, 1, 2), entonces

〈u|v〉 =[

1 −3 2]

312

= 4


Generacion de Productos Internos

Temas









Producto Interno y Matrices

El producto interno usual en Rn tiene la forma

〈u|v〉 = xT Ay (8)

en donde A es la matriz identidad.La cuestion que planteamos es la siguiente:

¿Que condiciones debe satisfacer una matrizA ∈ Mn(R), para que

〈u|v〉 = xT Ay (9)

sea un producto interno sobre Rn?



Para que la matriz A genere un producto interno, debe ser cierto que:

[Axioma de Simetrıa] ∀x , y ∈ Rn, xT Ay = yT Ax (10)

[Axioma de Aditividad] ∀x , y , z ∈ Rn, (x + y)T Az = xT Az + yT Az

(11)

[Axioma de Homogeneidad] ∀x , y ∈ Rn, r ∈ R, (rx)T Ay = r(xT Ay

(12)

[Axioma de Positividad] ∀x ∈ Rn, xT Ax ≥ 0; xT Ax = 0 =⇒ x = 0

(13)

Observe que, las propiedades (11) y (12) pueden establecerseapelando a las propiedades de las operaciones con matrices y laoperacion de trasponer matrices.



Deduzcamos que condicion debe satisfacer A para que (10) sea cierta:

xT Ay = (xT Ay)T

= yT AT (xT )T

= yT AT x?= yT Ax

El calculo realizado muestra que A debe ser una matriz simetrica sideseamos que el producto interno correspondiente sea simetrico.



Finalmente, para que dicho producto interno sea positivo es necesarioque la matriz sea positiva definida en el sentido de la siguiente

Definicion

Diremos que una matriz A ∈ Mn(R) es positiva definida si:1 ∀x ∈ R

n, xT Ax ≥ 02 ∀x ∈ R

n, xT Ax = 0 =⇒ x = 0


Ejemplo de Matriz SPD

Temas








Ejemplo de Matriz SPD

Consideremos la matriz B =

2 −1 0−1 2 −1

0 −1 2

. Sea x =

x1

x2

x3

∈ Mn(R).

Se tiene:

xT Bx =[

x1 x2 x3]

2 −1 0−1 2 −1

0 −1 2

x1

x2

x3

=[

x1 x2 x3]

2x1 − x2

−x1 + 2x2 − x3

−x2 + x3

= 2x1 − 2x1x2 + 2x22 − 2x2x3 + 2x2

3

= x21 + x2

3 + (x1 − x2)2 + (x2 − x3)

2

La forma obtenida muestra que, en efecto, B es PD.


Observaciones sobre matrices positivas definidas

Temas








Observaciones sobre matrices positivas definidas Matrices con elementos no positivos

La matriz[

2 −1−1 4

]

es PD puesto que, para cualquier[

x1

x2

]

∈ R2 se

tiene

[

x1 x2]

[

2 −1−1 4

] [

x1

x2

]

= x21 + (x1 − x2)

2 + 3x22

Esto muestra que una matriz en la que ocurran numeros no positivospuede ser positiva definida.


Observaciones sobre matrices positivas definidas Las matrices PD son invertibles

En efecto, si A ∈ Mn(R) es PD y x ∈ Rn, de Ax = 0 resulta xT Ax = 0;

como A es PD se deduce que x = 0. Esto demuestra que A esinvertible.


Caracterizacion de matrices SPD

Temas








Caracterizacion de matrices SPD El Teorema de Sylvester

Sea A una matriz simetrica. Entonces, A es positiva definida si y solosi todos sus menores principales son positivos.Por ejemplo, los menores principales lıderes de la matriz

2 −1 0−1 2 −1

0 −1 2

son: det([2] = 2, det([

2 −1−1 2

]

, y

det

2 −1 0−1 2 −1

0 −1 2

= 4 Como todos son positivos, B es PD.


Caracterizacion de matrices SPD Teorema de los Valores Propios

Sea A una matriz simetrica. Entonces, A es positiva definida si y solosi todos sus valores propios son positivos.Por ejemplo, los valores propios de la matriz

H =

1 0 20 1 02 0 5

son λ1 = 0.172, λ2 = 1 y λ3 = 5.828. La matriz H es

SPD puesto que todos sus valores propios son positivos.


Caracterizacion de matrices SPD Teorema de los Valores Propios

Muchas graciaspor sus aplausos


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