función vectorial de variable vectorial

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  • 7/25/2019 Funcin Vectorial de Variable Vectorial

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    Universidad Nacional de Ingeniera

    Facultad de Ingeniera Civil

    Matemtica II

    Apuntes de Clase

    Parte II

    Autor:Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

    2012, UNI, Per

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    ndice general

    Portada i

    1. Funcin vectorial de variable vectorial 1

    1.1. Definiciones previas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.2. Campos Vectoriales y Campos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.2.1. Campos vectoriales en los sistemas de coordenadas cilndricas yesfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.3. Integrales de linea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.3.1. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    1.4. Integrales de Campos Escalares Sobre Superficies . . . . . . . . . . . . 29

    1.5. Integral de Superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    1.6. Teorema de la divergencia (teorema de Gauss) . . . . . . . . . . . . . . 34

    1.6.1. Teorema de la divergencia (para el caso de 2 superficies.). . . . . 36

    1.6.2. Teorema de Stockes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    Bibliografa 47

    Matemticas 2Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

    i

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    Funcin vectorial de variable vectorial

    1.1. Definiciones previas:

    Definicin 1. Seana pa1, a2,...,anq yx px1, x2,...,xnq, puntos deRn . Se definela longitud o norma dea como

    }a} b

    a21` a2

    2` ... ` a2n, }x a}

    bpx1 a1q2 ` ... ` pxn anq2

    Definicin 2. Se denomina Bola abierta de centro a y radio 0 al conjuntoB pa; q tx P Rn{ |x a| u Rn

    Definicin 3. Se llama Bola abierta reducida o vecindad reducida de centro ay radio 0 al conjunto

    B1 pa; q B pa; q tau Rn

    Definicin 4. Punto frontera. x0 es un punto frontera del conjunto A si y solo si

    @ 0, B px0; q X A ^ B px0; q X Ac ,esto es, x0 se llama punto frontera del conjunto A

    R

    n si cada bola abierta con centro

    enx0 contiene al mismo tiempo puntos que estn enA y puntos que estn enAc.

    Definicin 5. De conjunto cerrado y conjunto abierto

    Un conjunto A Rn se llama cerrado si y solo si A contiene a todos sus puntos defrontera.

    Un conjunto A Rn se llama abierto si y solo si A no contiene a ningn punto desu frontera.

    Ejemplo.

    C tpx, yq P R2

    {1 x 4, 1 y 3u este conjunto no es ni cerrado ni abiertoConjunto Convexo

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    Definicin 6. Un conjunto S Rn, se llama convexo, si para cada par de puntosx0,x1 deS, el segmento de recta que une ax0 yx1 est ntegramente contenida enS,esto es. x x0 ` t px1 x0q ,@t P r0, 1s

    Conjunto Conexo

    Definicin 7. Un conjunto D Rn, se llama conexo, si para cada par de puntosx0,x1deD , existe una curvar ptq que los une y est ntegramente contenida enD, esto es.r: ra, bs Rn, r ptq P D, @t P ra, bs donder paq x0, r pbq x1Definicin 8. Un conjunto S Rn es conexo si la nica manera de escribir aScomola unin disjunta de dos subconjuntos abiertos enS, es la trivial, es decirS SY H.Ejemplo 1. Las bolas abiertasB pa; q Rn son conjuntos conexos, as como tambinlas bolas cerradasB

    pa;

    q Rn, las coronas abiertas, cerradas o semiabiertos como

    D tx P Rn{1 |x a| 2u p1 0qDefinicin 9. Curva cerrada simple, es aquella curvar: ra,bs Rn que verifica

    rpt1q rpt2q, t1 t2, t1, t2P xa, by y rpaq rpbq

    Conjuntos simplemente conexos en el plano.,

    Definicin 10. Un conjunto conexo D R2

    se llama simplemente conexo si tiene lapropiedad siguiente . Que cualquiera que fuera la curva cerrada simpleCcontenida enD, los puntos que se encuentra en la regin encerrada por C pertenecen tambin alconjunto D

    Ejemplos.

    1. Las bolas abiertas, rectngulos son conjuntos simplemente conexos en el planoR

    2.

    2. Los conjuntosU B pa; qtau R2

    yV R2

    tau no son simplemente cone-xos en R2, pues existen curvas cerradas que no encierran regiones integramentecontenidas en los conjuntos dados, pues el conjuntotau no pertenece a ellos.

    Conjuntos simplemente conexos en Rn

    Definicin 11. En general un conjunto S Rn se llama simplemente conexo si todacurva cerrada simpleCcontenida enS, puede ser deformada de manera continua hastaconvertirla en un punto x0 deS, con la particularidad de que todas las curvas cerradasintermedias obtenidas en el proceso de deformacin estn contenidas enS.

    Ejemplos.

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    1. En R3, as como en Rn, n 3, todas las bolas abiertas reducidas B1 pa; q B pa; q tau Rn si resultan ser simplemente conexas, pues cualquier curvacerrada simpleCpuede ser deformada en forma continua hasta convertirla en un

    punto2. En R3, el conjuntoA R3 tp0, 0, zq {zP Ru que es el espacio R3 al que se le ha

    quitado el eje Zno es simplemente conexo

    Conjunto multiplemente conexo

    Un conjunto S R2 abierto y conexo que no es simplemente conexo se le llamamultiplemente conexo. esto es si tiene un hoyo se le llama doblemente conexo, si tienedos hoyos se le llama triplemente conexo y si tienen ms de dos hoyos se le llamamultiplemente conexo.

    1.2. Campos Vectoriales y Campos Escalares

    Integrales de Linea

    En este captulo damos una nueva generalizaxin del concepto de integral. Estageneralizacin tendr un sentido distinto al considerado en el captulo anterior en laque se estudiaron las integrales de funciones reales de n variables. Las regiones dondese efectuaban las integrales eran subconjuntos de su dominio limitados por rectas (o

    planos) y/o grficas de funciones continuas de k variables (con k n). En este casolas regiones en las que se efectuarn las integrales sern curvas en el espacio . Ademslas funciones que se integrarn son de naturaleza distinta a las funciones consideradasen el captulo anterior.

    Recordamos un poco sobre curvas en el espacio Sea r: ra,bs Rn una funcinque toma valores en Rn describiendo un conjunto C de puntos r ptq definida comor ptq pr1 ptq , r2 ptq ,...,rn ptqq donde ri : I R son las funciones coordenadas de r,i 1, 2,...,n llamada grfica de la funcin , traza o camino, o curva C descrita porr ptq.

    Definicin 12. La funcinr ptq que describe la curvaCse le llama una parametriza-cin deC.

    Ejemplo.

    La circunferencia C :x2 ` y2 9puede ser representada por la parametrizacinr ptq p3cos t, 3sentq , t P r0, 2s

    C : x 3cos t ; y 3sent t P r0, 2s , de tal manera que la grfica de r ptq se encuentra sobre la circunferencia x2 ` y2 9recorrida en sentido antihorario.(ver figura a)

    otras parametrizaciones pueden ser.v: r0, s R2 definida como v ptq p3cos2t, 3sen2tq , t P r0, s, o

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    w :r0, 2s R2 definida como w ptq p3 cosp2 tq , 3sen p2 tqq , tP r0, 2s estaparametrizacin invierte la orientacin del recorrido.

    Notacin: Dado una curva Cparametrizada por r

    pt

    qcon una cierta orientacin,

    cuando a esta curva se reparametriza por una funcin wptq que le invierte la orienta-cin, entonces lo denotamos por C (ver figura b)

    Al estudiar las integrales de linea nos interesa no solamente el conjunto de puntosde una curva Csino tambin la manera como ha sido originada es decir tambin nosinteresa la paramentrizacin, el cual nos dar el sentido de recorrido de la curva.

    Definicin 13. A una curvaCse le llama camino o trayectoria.

    Las curvas que estudiaremos pueden ser: regulares, seccionalmente regulares cerra-

    das o no.Definicin 14. La funcin r: ra,bs Rn describe una curva cerrada C si r paq r pbqDefinicin 15. SeaC :r ra, bs Rn un camino continuo enRn, al camino r ptq se lellama regular si existe el vector derivada r1 ptq 0 y continua en el intervalo abiertoxa, byDefinicin 16. Un camino C : r :ra, bs Rn se llama seccionalmente regular siel intervalo dominiora, bs se puede particionar en un nmero finito de subintervalos

    ra, t1

    s,

    rt1, t2

    s,...,

    rtn

    1, b

    s continuos y regulares enRn, al camino r

    pt

    q se le llama re-

    gular por tramos, y seaC C1 Y C2 Y ... Y CnDefinicin 17. En este captulo vamos a trabajar con funciones del tipo F : U Rn R

    n, definidas en un abierto UdeRn. El objetivo de este captulo es familiarizarnos conlas funciones, tanto con su naturaleza y propiedades como visualizaciones geomtricas,utilizando algunos ejemplos importantes.

    Campos Vectoriales y Campos Escalares

    Definicin 18. Una funcin del tipo F : U Rn Rn se llama campo vecto-rial (en Rn). Si este asocia a cada vector x

    px1, x2, ...xn

    q P U, un vectorF

    px

    q PRn. De modo que podemos escribir la imagen F pxq P Rn del vector xP U comoF pxq pF1 pxq , F2 pxq , ...Fn pxqq donde cada Fi pxq es una funcin real definidas enU Rn, Fi :U Rn R y son las funciones coordenadas del campo FEjemplo 2. Un campo vectorial enR2,F:U R2 R2 se ver como un conjunto devectores o flechas dentro del conjunto U. Cada flecha es la imagen bajo el campo F delpunto x P U donde comienza la flecha. Esta idea para representar campos vectoriales,es muy til, pues se puede usar como por ejemplo, campo de velocidades: un lquidoque fluye dentro de un tubo en un momento dado, cada partcula del lquido se estmoviendo a determinada velocidad en la direccin del flujo. Del mismo modo, un campo

    de fuerzas, es un campo vectorial en R

    2

    o en R

    3

    , donde a cada punto del plano odel espacio se ejerce una determinada fuerza, de modo que se establece la funcinF:U R2 R2 o F:U R3 R3 en que a cadax se le asocia la fuerzaF pxq

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    Definicin 19. Dada la funcinf : Rn R se dice que es un campo escalar si esteasocia un escalar a cada punto del espacio.

    Ejemplos;

    1. La temperatura, presin, etc.

    2. a) Mostrar en un grfico la representacin del campo vectorial F px,yq p y,xqb) Demostrar que el campo vectorial es tangente a una circunferencia con cen-tro en el origen y tiene una longitud igual al radio de la circunferencia.Solucin: a)b) Sea R px, yq px, yq el vector de posicin cuyo punto final est en px, yqentonces F px,yq .R px,yq py,xq px,yq 0. Por lo tanto los vectores R yS. ortogonales esto indica que F es tangente a la circunferencia con centro en

    el origen y radio}R px, yq} ax2 ` y2 y}F px,yq} ax2 ` y2 son de igualmagnitud.

    3. El campo vectorial en R3 es F px,y, zq GMd2

    px,y, zq . es un campo vectorialde fuerzas central.

    Definicin 20. Sea fpx , y , z q c una funcin que define una superficie de nivel,es una funcin escalar. Se llama gradiente de fpx , y , z q al vectorf se define comof

    BfBx ,

    BfBy ,

    BfBz

    . se le llama vector gradiente del campo f. El gradiente de un campo

    escalar en un punto dado P px , y , z q est orientado por la normal a la superficiede nivel f

    px , y , z

    q c que pasa por el punto P. Para cada punto este vector ofrece o

    muestra la velocidad mxima de variacin de la funcingradf f ;y al operador BBx ,

    BBy ,

    BBz

    se le llama operador Hamiltoneano. Y sabemos que la derivada direccional

    se expresa como Duf f u dondeu es un vector unitarioDefinicin 21. SeaF : R3 R3 un campo vectorial definida como F pP,Q,Rq ,denominamos divergencia del campo vectorialF a la funcin escalar

    divF F BPBx`BQBy`

    BRBz

    Definicin 22. SiF es el campo de velocidades de un fluido entoncesdivF da infor-macin a cerca del flujo o desplazamiento de masa. as si divF

    0 la masa fluye al

    punto k.psumideroq sidivF 0 la masa fluye desde el punto k.pfuenteq sidivF 0se dice que la masa es incompresible, esto es no hay aumento ni disminucin de masa(la masa que ingresa es igual a la masa que sale).

    Definicin 23. Dado el campo vectorialFse define el rotacional deF como:

    rotF F i j kBBx BBy BBz

    P Q R

    El rotacional da la informacin acerca del aspecto giratorio o rotativo del movimineto.

    Si se considera un punto Kpx , y , z q al rededor del cual el fluido gira entonces rotFcoincide con el eje de rotacin y se puede emplearlas para decribir las propiedadesrotacionales del campo.

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    Ejemplo 3. Determinar el rotacional deF si: F pe2x, 3x2yz, 2y2z` xqSolucin.

    rotF F `4yz 3x2y, 1, 6xyz ,divF F 2e2x ` 3x2z` 2y2

    Teorema 1.2.1. Supngase queF es un campo vectorial definido en una bola abiertaB, tal que si F pP,Q,Rq , y si las segundas derivadas parciales de P.Q,R soncontinuas enB entoncesdiv protFq 0 o F 0Teorema 1.2.2. Sifes un campo escalar en una bola abiertaB R3 si las derivadasparciales defson continuas enB entonces: rot pgradfq 0 o f 0Definicin 24. Dado un campo escalar f se puede determinar el campo vectorial

    gradiente def, a este campo gradiente determinamos su divergencia, obtenindose uncampo escalar, al cual se le llama el Laplaciano def. esto es. Seaf : R2 Rentoncesf pfx, fy, fzq y

    f BfxBx`BfyBy`

    BfzBz ;

    f fxx ` fyy ` fzz 2fDefinicin 25. Para el caso de funcionesf :R2 R se tiene:2f fxx ` fyy

    Oservacin 1.2.1. SiF P R2

    entoncesrotF BQBx BPByk; divF BQBx` BPByDefinicin 26. Si el laplaciano de f es cero entonces la ecuacin se llama ecuacinde Laplace2f 0

    Propiedades:

    a) pfFq f F` pfq F b) pf` gq f`gc) pF`Gq F` G d) pF`Gq F`Ge) pfFq f F`fF f) pFGq F GG F

    c) pFGq pG qFG p Fq pF qB` F p Gqc) pF Gq pG qF` pF qB`G p Fq ` F pGq

    Ejemplo 4. Dada las funciones determinar F y F si:

    1. a) F px,y, zq px3 ln z,xey, y2 2zqb) F px,y, zq px2z,y2x,y ` 2zqc) F px,y, zq p3x` y,xy2z,xz2q

    Ejemplo 5. Sea r p

    x,y, z

    q, r

    }r

    }. Demuestre que siF

    px,y, z

    q c

    rkr, donde c

    es una constante yk es cualquier nmero real positivo, entonces el rotacional deF escero.

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    1.2.1. Campos vectoriales en los sistemas de coordenadas ciln-dricas y esfricas

    Dentro de las aplicaciones a la fsica es comn trabajar con campos vectoriales enR3 descritos en otros sistemas coordenados distintos del cartesiano. Escribamos lasfunciones coordenadas del campo vectorial

    F pxq pP pxq ,Q pxq ,R pxqq P pxq i`Q pxqj`R pxqk

    donde i,j,k son los vectores de l abase cannica de R3, donde P , Q, R son las proyec-ciones de F en las direcciones de los ejes coordenados. En el sistema de coordenadascilndricas, el espacio R3 se describe en trminos de la base ortonormal ter, e, ezudonde

    er

    cos i

    `sen j , e

    sen i

    `cos j , ez

    k

    de aqu podemos obtener que

    i cos er sene, j sener ` cos e, k ez, adems sabemos que las ecuaciones de transformacin en coordenadas cilndricas son.xr cos , y rsen, z z, en el campo vectorial F reemplazamos estos valores ylos vectores de transformacin y obtenemos la representacin del campo vectorial en elnuevo sistema

    rF pr,,zq Ppr,,zq er `Q pr, , zq e `R pr, , zq ezde igual forma se podr expresar el campo vectorial Fen coordenadas esfricas.

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    1.3. Integrales de lineaDefinicin 27. SeaF : U Rn Rn, F pxq pF1pxq, F2pxq,...,Fnpxqq un campovectorial continuo y sea r :ra, bs Rn, rptq px1ptq, x2ptq,...,xnptqq un camino declaseC1 cuya traza est contenida enU , es decirr ra,bs U. La integral de linea alo largo del (o sobre el) camino r se define y denota por:

    rF,rF.dr o

    r

    ni1 Fidxi

    como: rF.dr b

    aF prptqq .r1ptqdt

    ba

    ni1 Fi prptqq .r1i ptq dt

    n

    i1 b

    aFi

    pr

    pt

    qq.r1i

    pt

    qdt

    Oservacin 1.3.1. Sin 2 denotaremosx px, yq ,F pxq pP pxq , Q pxqq Sin 3denotaremos

    x px , y , z q , F pxq pPpxq , Q pxq , R pxqq

    Ejemplos:

    1. Sea F:U R2 R2, Fpx, yq px ` y, yq un campo vectorial y sea r : r0, 1s R

    2, rptq pt, t2qLa integral de linea de F a lo largo del (o sobre el) camino res:

    rF

    r

    2i1

    Fidxi 10

    2i1

    Fi prptqq .r1iptqdt 4

    3

    2. Una partcula se mueve a lo largo de una curvaC :r ptq enU, se desea determinarel trabajo que se realiza al mover la partcula dentro de un campo vectorial Fdesde el punto A rpaqhasta el punto B rpbq a lo largo de C.M09J1706.wmf

    El campo de fuerzas F puede representar el viento y la partcula puede ser unavin volando dentro del campo de fuerzas del viento. Para hallar el trabajo toma-mos la componente deF a lo largo de la curva Cen el punto r ptq es decir la com-ponente deF en la direccin del vector tangente unitario T ptq

    r1

    ptq}r1ptq} a la curva

    C. Esta componente est dada por el producto escalar que se convierte en unafuncin det luego integramos esta funcin a lo largo de la curvaCy a ese resulta-do se interpreta como el trabajo totalWesto esW

    CF.dr

    C

    F prptqq .Tptqdsdondes es la longitud de arco definida pors ptq t

    a}r1 ptq} dt , t P ra, bs ds

    }r1ptq} dt luego se tiene que

    W C

    F pr ptqq . r1 ptq

    }r1 ptq}ds C

    F pr ptqq . r1 ptq

    }r1 ptq} }r1 ptq} dt

    W C

    F pr ptqq .r1 ptqdt C

    F pr ptqq .dr

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    3. Si n 2denotaremos

    r ptq px, yq , dr ptq pdx, dyq ,F pxq pPpxq , Q pxqq , t P ra, bs

    entonces C

    F C

    F pr ptqq .dr baF pr ptqq .r1 ptqdt reemplazando obtenemos

    C

    F BA

    pP pxq ,Q pxqq pdx,dyqdonde A r paq , B r pbqSi n 3denotaremos

    r ptq px , y , z q , dr ptq pdx,dy,dzq ,F pxq pPpxq , Q pxq , R pxqq , t P ra, bs

    entonces

    CF

    CF pr ptqq .dr

    b

    aF pr ptqq .r1 ptqdt reemplazando obtenemos

    C

    F BA

    pP pxq , Q pxq , R pxqq pdx,dy,dzq donde A r paq , B r pbq

    4. Calcular la integral de linea del campo vectorial F px, yq px2, y2q sobre la pa-rbola C :y x2, desde A p0, 0q hasta B p1, 1qSolucin: Parametrizamos la curva x t , y t2 r ptq pt, t2q y r1 ptq p1, 2tq dt,t P r0, 1s adems F px,yq px2,y2qy F pr ptq q pt2, t4qentonces

    CF

    B

    A pPpxq , Q pxqq pdx,dyq 1

    0 `t2, t4 . p1, 2tq dt 23Cuando se calcula desde el punto B p1, 1q hasta el punto A p0, 0q se tiene C :w ptq `1 t, p1 tq2 , t P r0, 1s donde w p0q p1, 1q ,w p1q p0,0q C

    F 23

    Teorema 1.3.1. Seanr ptq yw ptq dos caminos de la curvaC :

    1. a) 1) Si r ptq yw ptq originan la misma orientacin deC entoncesCF pwq .dw CF prq .dr

    2) Sir ptq yw ptq originan orientaciones opuestas deC entoncesC

    F pwq .dw C

    F prq .dr.

    Corolario 1.3.1. Si la curva C est definida por el camino r ptq , tP ra,bs la in-tegral de F sobre la curva C (con orientacin opuesta) es igual a

    C

    F prq .dr abF pr ptqq .r1 ptqdt

    Ejemplo:

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    1. Integrar el campo vectorial F px, yq px2, xyq desde el punto B p1, 1q hasta elorigen A p0, 0qa lo largo de:a) un segmento de recta. b) la curva y2 x c) la curva y x2.Solucin a) Se aCel segmento de recta que va deA p0, 0q aB p1, 1q representadopor C :px, yq r ptq A ` t pB Aq , tP r0, 1s esto es r ptq pt, tq donder p0q A, r p1q B. nos piden valuar la integral sobre el camino opuesto C desdeB hasta A, entonces

    C

    F C

    F prq .dr

    1

    0

    `t2, t2

    . p1, 1q dt 23

    2. EvaluarC

    xydx ` x2dy suponiendo que:a) que C consta un segmento de recta que va dep2, 1q ap4, 1q y dep4, 1q ap4, 5q. b) Ces el segmento que va dep2, 1q ap4, 5q c) Ctiene la ecuacinparamtrica x 3t 1, y 3t2 2t, t P 1, 5

    3

    .

    Integral de linea sobre caminos seccionalmente regular

    Si la curva C : r ptq , t P ra,bs es seccionalmente regular entonces existe una parti-cin a t0 t1 ... tn b del intervalora, bs, tal que Cresulta ser la unin de lascurvas regulares.

    C1 :r ptq , t P ra, t1s , C2 :r ptq , t P rt1, t2s ,...,Cn :r ptq , t P rtn, bs

    , esto es C C1 Y C2 Y ... Y Cn entonces C

    F prq .dr ni1CiF prq .dr

    Ejemplo 6. EvaluarC

    F prq .drparaF px, yq px ` y, y2q dondeCes la curva cerradaen cada caso:

    a) C Y3i1Ci b) C Y3i1Ci

    Figura 1.1: a) Figura 1.2: b)

    Solucin. Veamos el caso a)C

    F prq .dr 3

    i1

    CiF prq .dr entonces

    a) C1 :r ptq pt, 0q , t P r0, 1s ydx dt, dy 0 entonces

    C1

    F prq .dr p1,0qp0,0q`x ` y, y2 . pdx, dyq 1

    0

    pt, 0q pdt, 0q 12

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    b) C2 :r ptq p1, tq , t P r0, 1s ydx 0, dy dt entonces

    C2 F prq .dr p1,1q

    p1,0

    q `x ` y, y2

    pdx, dyq 1

    0 `1 ` t, t2

    p0, dtq 1

    3

    c) C3 :r ptq pt, tq , t P r0, 1s ydx dy dt entoncesC3

    F prq .dr p0,0qp1,1q

    `x ` y, y2 pdx,dyq 0

    1

    `2t, t2 pdt, dtq 4

    3

    por lo tantoC

    F prq .dr 12` 1

    3 4

    3.

    Ejemplo 7. Evaluar CF prq .dr para F px, yq px2 4x ` y, y ` xq donde C es lacurva que va desde el punto Ap0, 1q hasta el punto Bp1, 0q donde C1 y C3 sonsegmentos de recta, C3 : px 2q2 ` py 1q2 4, C4 : 2x2 2 y

    Ejemplo 8. CalcularC

    ydx ` xdyx2 ` y2 donde C : x

    2 `y2 a2, a 0, recorrido en

    sentido antihorario

    Solucin. Sear ptq px, yq pa cos t, asentq , t P r0, 2s ,r1 ptq pdx, dyq p asent, a cos tq dtentonces

    C

    F prq dr 2

    i1

    Ci

    F prq dr

    2

    0

    `a2sen2t ` a2 cos2 t dt 2

    Se observa que el valor de la integral no depende del radio a de la circunferencia.Oservacin 1.3.2. Cuando la curva C es cerrada, a la integral de linea del campovectorialF a lo largo deCse le denota por los siguientes smbolos:

    CF,CFrecorrido

    en sentido antihorarioCF recorrido en sentido horario.

    Oservacin 1.3.3. CuandoF pxq representa un campo de velocidades ,Tel vector uni-tario tangente a la curvaCen el punto x entonces: F pxq Trepresenta la componentetangencial de la velocidad y la integral de linea

    CF Tds

    CF prq d prq

    es llamada integral deflujo deF a lo largo de la curva C. Cuando C es cerrada laintegral de linea recibe el nombre decirculacindeF a lo largo deC.

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    Ejemplo 9. Determinar el valor de la integral de linea del campo vectorial definidocomo F px , y , z q p2yz, 2 x 3y, x2 ` zq a lo largo del borde de la superficie de lainterseccin de los cilindrosx2 ` y2 a2, x2 ` z2 a2, situados en el primer octantey recorrido en sentido horario visto desde el origen.

    Solucin. En el grficoC

    F prq dr 3

    i1

    CiF prq dr de manera que determinamos la

    integral a lo largo de cada una de las curvas:

    a) C1 : r ptq pasent, 0, a cos tq , tP

    0, 2

    y dx a cos tdt, dy 0, dz asentdt

    as C1

    F prq .dr pa,0,0qp0,0,aq p2yz, 2 x 3y, x2 ` zq . pdx,dy,dzq 2

    0pa3sen3t a2sent cos tq dt

    a22 2a3

    3

    b) C2 : r

    pt

    q pasent, a cos t, 0

    q, t

    P 0,2 y dx a cos tdt, dy asentdt, dz 0as

    C2

    F prq .dr p0,a,0qpa,0,0q p2yz, 2 x 3y, x2 ` zq . pdx,dy,dzq 2

    0pa2 cos2 t 3a2sent cos t ` 2a cos tq dt

    a24 3a2

    2` 2a.

    c) C3 :r ptq p0, a , tq , t P r0, as ydx 0, dy 0, dz dt asC3

    F prq .dr p0,a,aqp0,a,0q p2yz, 2 x 3y, x2 ` zq . pdx,dy,dzq0

    atdt

    a2

    2

    d) C4 :r ptq p0, t , aq , t P r0, as ydx 0, dy 1dt, dz 0 asC4

    F prq .dr p0,0,aqp0,a,aq p2yz, 2 x 3y, x2 ` zq . pdx,dy,dzq 0

    ap3t ` 2q dt 3a24a

    2

    Por lo tantoC

    F prq .dr a212

    p3 ` 8aq .

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    Integral de linea respecto a la longitud de arco

    Definicin 28. Sea fpxq un campo escalarxP Rn definido y acotado sobre la curvaC. La integral de linea defpxq respecto a la longitud de arco se define como sigue.

    C

    fC

    fpxq dsba

    fpr ptqq .s1 ptq dt ba

    fpr ptqq }r1 ptq} dt

    Ejemplo 10. Calcular la integralC

    px ` yq dsdondeCes una parte de la circunferen-ciax2 ` y2 ` z2 a2, y x, a 0 situada en el primer octante y recorrida en sentidohorario vista desde el ejeY`.

    Solucin. Se observa que la curva de interseccin esC :r ptq px , y , z qsi t P

    0,

    2

    y donde

    x

    asent. cos 4

    y asent. cos 4

    z a cos tentoncesds | r1 ptq | |a| a de manera que:

    C

    px ` yq ds

    0

    2

    ?2asentdt

    ?2a

    Interpretacin:

    Sea f : R3

    R una funcin escalar y la integral I

    Cf pxq ds donde C es lacurva parametrizada porr ptq px ptq , y ptq , zptqq , t P ra, bs y : |r1 ptq| ds.

    La imagen Cde r ptq representa un alambre en R3, luego:

    Si f 1 entonces la integral I representa la longitud total del alambre LC

    ds, s P r0, LsSif px , y , z q denota la densidad de masa en x px , y , z q entoncesIrepresenta lamasa total del alambre.

    Si fpx , y , z q denota la temperatura en x px , y , z q entonces la temperaturapromedio del alambre est dado por

    CfpxqdsCds

    1L

    C

    f pxq ds.

    Ejemplo 11. Hallar el valor de la integral;C

    px2 ` y2 ` z2q ds a lo largo de la hliceC :r ptq pa cos t, asent, btq , t P r0, 2s

    Solucin. Aplicamos la definicin

    C

    fpxq ds

    b

    afpr ptqq ds

    2

    0 f

    pa cos t, asent, bt

    q

    ?a2

    `b2dt

    20 pa2 ` b2t2q?a2 ` b2dt 2

    3 p3a2 ` b2 ` 4q?a2 ` b2

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    Ejercicio 1. CalcularC

    px ` yz,x,x yzq pdx,dy,dzq a lo largo de la curva C3

    i1Ci, dondeC1 es un arco de circunferencia de radio r 1, con centro enp1, 0, 0q en

    el plano XZ, conZ positivo , C2 un aro de circunferencia en el plano XY con centroenpp1, 1, 0q de radio 1 (con x 1 )y C3 es un segmento de recta que une el puntopp1, 2, 0q con el puntop0, 0, 4q.Ejercicio 2. Calcular

    C

    pxz,x, yzq pdx,dy,dzqa lo largo de la curvaC Y3i1 de lafigura, dondeC1 es un arco de circunferencia enXZ, C2 yC3 son segmentos de recta.

    FaltaungraficoJGK3460N.wmf

    Ejercicio 3. Calcular la integral del campo vectorialF px , y , z q pyexy, xexy,xyzq alo largo de la curva C de interseccin del cono x2 ` y2 pz 1q2 ,con los planoscoordenados en el primer octante, recorrido en sentido horario visto desde el origen.(resp. 0)

    Ejemplo 12. Sifpx , y , z q p3x2 ` 6yq cos 14yzcos ` 20xz2 cos . CalcularIC

    fds, dondeC es la curva descrita porr ptq pt, t2, t3q , t P r0, 1s. en la direccin deesta, donde, , son los ngulos directores del vector tangente a la curvaC.

    Solucin. Como la curva est dada por r ptq pt, t2, t3q , tP r0, 1s determinamossu vector tangente r1 ptq p1, 2t, 3t2q dt y el vector tangente unitario es de la formaT ptq r1ptq|r1ptq| pcos , cos , cos q se tiene

    I

    C

    f ds

    C

    p3x2 ` 6y, 14yz, 20xz2q .T ptqds

    C p3x2 ` 6y, 14yz, 20xz2q .r1 ptqdt 10p9t2 28t6 ` 80t9q dt 5.

    Ejemplo:

    1. Determinar el valor de prrq, si r px , y , z qy adems r }r}2. Determinar el trabajo realizado por la fuerzarFpx , y , z q px2y2qi`2xyj , para

    mover una partcula desde el punto Ap1, 0q hasta el punto Bp2, 2q a lo largo dela curva x2 x.

    3. Sea Gpx , y , z q p4xy 3x2z2, 2x2, 2x3zq. Demuestre que CG dr es indepen-diente de la trayectoria Cque pasa por los puntos dados.

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    4. Verifique el Teorema de Green paraCpy xqdx ` p2x yqdy , donde C es la

    frontera, tomada con orientacin positiva, de la regin acotada por las grficasy x, y x2 x

    5. Demuestre que Su vnds udv

    6. SeaC

    fpx, yqdx ` gpx, yqdy, donde fpx, yq x ypx2 ` y2qn y fpx, yq x ` ypx2 ` y2qn .

    Determinar el valor de la integral.

    7. Utilice el Teorema de Green para evaluar la integral de lnea a lo largo de la curvaorientada de manera positiva:

    Cpxy ` ex2qdx ` px2 lnp1 ` yqqdy

    Donde Cconsiste del segmento de recta que va desdep0, 0qap, 0qy de la curvay sin x con x .

    8. Demuestre que la integral de linea dada es independiente de la trayectoria yevale la integral.

    C

    p2xsenyqdx ` px2cosy 3x2qdy

    Donde Ces cualquier trayectoria que va desdep1, 0qhastap5, 1q.

    9. Sea f fpx , y , z q un campo escalar y F un campo vectorial dado por FpPpx , y , z q, Qpx , y , z q, Rpx , y , z qq. Suponga que existen las derivadas parciales yque stas son continuas. Demuestre que: divpf Fq fdivF`f F

    10. Sea Fpx , y , z q pyzp2x ` yq, xzpx ` 2yq, xypx ` yqqa) Demuestre que Fes un campo conservativo

    b) Encuentre el potencial escalar f

    c) CalculeC

    F dr donde Cest dado por rptq p1 ` t, 1 ` 2t2, 1 ` 3t3q

    11. Calcule Cxydx ` px ` yqdy , donde C es la frontera de la regin situada entrelas grficas de x2 ` y2 9, x2 ` y2 1612. Determinar el exponente constante , de modo que:

    L BA

    x

    ydx x

    2

    y2dy R2 x2 ` y2

    Sea independiente de la trayectoria, si la funcin est definida en una reginsimple convexa.

    13. Calcule la integral de linea Cyexydx`xexydy, donde C es la curva formadapor los siguientes segmentos de rectas:Punto Inicialp2, 1q p1, 2q p1, 2q p2, 1q p 2, 1q p 1, 2q p1, 2q p2, 1qpunto final.

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    14. Dado el campo vectorial Fpx, yq p3x2`2yy2ex, 2x2yex. Es posible afirmarqueC

    F dr es nula si C, definida por Rptq es una curva simple cerrada?

    15. Si Fpx , y , z q k

    px , y , z

    qpx2 ` y2 ` z2q3{2 calcule el trabajo realizado por F al desplazaruna partcula a lo largo del segmento de recta que va desde el punto p3, 0, 0q hastael puntop3, 0, 4q. Evale sin utilizar una funcin de potencial

    16. Sea la curva de interseccin de la esfera x2 ` y2 ` z2 4y el plano x z 0.Calcule la integral

    p2x yqdx yz2dy y2zdz

    Orientada en el sentido positivo, respecto del plano xy.

    17. Calcular

    x2ydy y2xdx

    donde es la hipocicloide x2{3 ` y2{3 a2{3, orientada en sentido positivo.18. Calcular p0,1,1q

    p1,0,1qsenycosxdx ` cosysenxdy ` dz

    19. Calcular

    py2 ` z2qdx ` pz2 ` x2qdy ` px2 ` y2qdz

    donde es la curva x2 ` y2 2z,x ` y z 120. hallar la longitud de los arcos de las siguientes curvas:

    a) x 3t2, y 3t2, z 2t3 entre los puntosp0, 0, 0qyp3, 3, 2qb) y arcsen x

    a, z a

    4ln ax

    a`x entre los puntosp0, 0, 0qypx0, y0, z0q21. Hallar la masa del arco de la curva

    x at,y a2 t2, z a3 t3,p0 t 1q

    si la densidad en cada punto est dada por b

    2y

    a

    22. Hallar las coordenadas del centro de gravedad del contorno del tringulo esfricox2 ` y2 ` z2 a2, x 0, y 0, z 0

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    Independencia del camino, campos conservativos y funciones potenciales

    Definicin 29. Se dice que la integral de linea del c.v. Fa lo largo de la curvaC Ses independiente del camino si para cada par de puntos A y B en S el valor de laintegral no vara para todos los caminos posibles que unen a los puntosA yB dentrodel conjunto S.

    Oservacin 1.3.4. Este fenmeno ocurre solamente cuando se satisfacen ciertas con-diciones para el campo vectorialF y para el dominio S deF en el cual se encuentracontenida la curvaC.

    Oservacin 1.3.5. Recordar que si el campo vectorialF :U Rn Rn es el campogradiente de alguna funcin escalar f : U Rn R. As si el campo vectorial Fes de clase Ck la funcin f deber de ser clase Ck`1, k 0, En efecto las funcionescoordenadas deF son las derivadas parciales de f de modo que teniendo f derivadasparciales de claseCk entonces esta funcinF ser de claseCk`1.

    Teorema 1.3.2. SeaF : U Rn Rn un campo de clase Ck, k 0 definido en elconjunto abierto U deRn. Las afirmaciones siguientes son equivalentes:

    1. Fes el campo gradiente def :U Rn R de claseCk`1

    2. La integralF dr del campo F a lo largo del camino r :ra, bs Rn (tal que

    r pra, bsq U) seccionalmente C1 (regular), depende solamente del punto inicialr

    pa

    qy del punto finalr

    pb

    qdel camino r

    3. La integralCF.dr del campo F a lo largo del camino r :ra, bs Rn (tal que

    r pra, bsq U) cerrado seccionalmenteC1 (regular), es igual a cero.

    Definicin 30. El campo vectorialF : U Rn Rn de clase Ck, k 0 Definido enel abiertoUdeRn, que cumpla con alguna de (y por lo tanto de todas ) las condicionesdel teorema anterior, se le llama campo vectorial conservativo y a la funcin escalarf :U Rn R de claseCk`1 tal queF gradf fse le llama funcin potencialTeorema 1.3.3. (Segundo teorema fundamental del clculo de integrales de linea). Sif :U

    R

    n

    R es un campo escalar diferenciable confcontinuo sobre un conjunto

    conexo y abierto S Rn entonces, para dos puntos cuales quieraA yB unidos por uncamino seccionalmente regularC :r ptq contenido enSse tiene que

    C

    fBA

    fprq .dr fpBq fpAq

    dependiendo este valor nicamente de los extremosA yB ms no de la trayectoriaCque uneA yB.

    Corolario 1.3.2. La integral de linea de un campo gradiente continuo sobre un con-junto conexo y abierto Ses cero 0 a lo largo de toda curva cerrada seccionalmente

    regularC S.

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    Teorema 1.3.4. (Primer teorema fundamental del calculo para integrales de linea).SeaF un campo vectorial continuo sobre el abierto conexo S Rn, tal que la integralde linea deF sea independiente de la trayectoria en S y sea A un punto fijo de S,

    f un campo escalar f : S Rn

    R. fpxq xAF prq .dr. Para cualquier camino rseccionalmente regular enSque uneA con un punto x P S, entonces el gradientefexiste y satisface quefpxq F pxqDefinicin 31. Cuando el campo vectorialF es el gradiente de un campo escalar fsobre un conjunto Sabierto entonces:

    1. a) a la funcinfse le llama funcin potencial del campo vectorialF yf Fb) al campo vectorialF se le llama campo vectorial conservativo sobre el con-

    junto S.

    Corolario 1.3.3. Con las mismas hiptesis del teorema anterior. Si CF 0para cada

    trayectoria cerradaCen un conjunto conexo abierto SdeRn, entoncesFes un campogradiente, es decir que existe una funcin potencialf tal quefpxq F pxq , @x P STeorema 1.3.5. (Condicin necesaria para que un campo vectorial sea conservativo)SeaF: U Rn Rn,F pF1, F2,...,Fnq un campo de claseCk, k 1 Definido en elabierto U deRn. SiF es conservativo entonces BFiBxj pxq

    BFjBxi pxq paraxP U, 1 i

    j n.

    Esta propiedad est establecida en trminos de las derivadas parciales de las funcio-

    nes coordenadas de F, es una propiedad local: tales derivadas parciales establecen uncomportamiento determinado del campo Fen los alrededores del punto en que ocurrela igualdad de tales derivadas parciales. No es extrao pues que, en principio, estasdos propiedades no sean equivalentes. Lo que si podemos esperar es que la propiedadestablecida garantice localmente que el campo Fes conservativo. Esto es.

    Teorema 1.3.6. Sea F : U Rn Rn,F pF1, F2,...,Fnq un campo de claseCk, k 1. Definido en el abierto U de Rn. Suponga que BFiBxj pxq

    BFjBxi pxq para todo

    x P U, 1 i j n. Entonces el campo F es localmente conservativo.

    Ejemplos:

    1. El campo vectorial F px, yq p2xy,y2q se tiene que BPBy 2x,BQBx 0 se observaque BPBy BQBx a menos que x0 Por lo tanto el campo F no es un gradiente enningn sub conjunto abierto S R2

    2. Sea S R2 tp0, 0qu un conjunto abierto y conexo y sea el campo vectorialF px, yq

    yx2`y2 ,

    xx2`y2

    . Se verifica que BPBy BQBx , @x P S. pero Fno es un gra-

    diente enSpues si tomamos la curvaCuna circunferenciar ptq pcos t, sentq , t P

    r0, 2

    sentonces CF CF.dr 2 0entonces CF.dr 0

    Corolario 1.3.4. SeaF un campo vectorial sobre un conjunto abierto S Rn.

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    a) Si F tiene una funcin potencialf entoncesCF.dr 0, @ camino C enS.

    b) Si existe un camino cerradoCenStal que

    CF.dr 0entonces el campo vectorial

    F no tiene una funcin potencial sobreS.

    Teorema 1.3.7. (Condicin necesaria y suficiente para que un campo vectorial se con-servativo) SeaF : U Rn Rn,F pF1, F2,...,Fnq un campo de clase Ck, k 1Definido en el abierto convexo U deRn. Una condicin necesaria y suficiente para queel campo Fsea conservativo es que BFiBxj pxq

    BFjBxi pxq parax P U, 1 i j n.

    SeaF: U Rn Rn,F pF1, F2,...,Fnq un campo de claseCk, k 1 Definido en elabierto convexo U deRn. Entonces el campo:

    F es un gradienteBFiBxj pxq BFjBxi pxqparax P U, 1 i j n. pi jq

    .

    Demostracin. Demostracin: Veamos la condicin suficiente. Consideremos el cason2. Sea p un punto fijo de U definimos f : U Rn R como: fpx, yq

    Fd.

    Donde :r0, 1s R2, ptq t px,yq ` p1 tqp. Notar que r0, 1s rp, px,yqs recta que une apcon px, yq ,y por serU convexo, pr0, 1sq U,por lo que hace perfectosentido la definicin def. tenemos que demostrar que gradfpx, yq F px, yq , px, yq P Uas:Sea Bf

    Bx px, yq BBxF d

    1

    0

    B

    Bx

    pM

    ptx, ty

    qx

    `N

    ptx, ty

    qy

    qdt

    10xBBxMptx, tyq ` Mptx, tyq ` yBBxNptx,tyq dtEjemplo 13. Determinar si el campo vectorialF px, yq p2xseny, x2 cos y ` 2yq es uncampo conservativo, si es as determinar su funcin potencial.

    Solucin. El dominio deF es S R2 es un abierto y conexo,identificamos las fun-ciones P px, yq 2xseny, Q px, yq x2 cos y ` 2y de donde se verifica que BPBypxq BQBxpxq entonces F pP, Qq es un gradiente de alguna funcin potencial f es decirf pP, Qq, as obtenemos que: a) BfBx px, yq P, b) BfBypx, yq Q, integra-mos a) respecto ax

    BfBx px, yq P BfBx px, yq dx

    2xsenydx

    fpx, yq x2 cos y ` h pyqluego derivando esta funcin respecto ay, y simplificando, para luego integrar respectodey se tiene

    BBy fpx, yq

    BBy px

    2 cos y ` h pyqqx2 cos y ` 2y x2 cos y ` h1 pyq

    2y h1 pyq 2ydy h1 pyq dyh pyq y2 ` c

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    por lo tanto la funcin potencial deF es: fpx, yq x2 cos y ` y2 ` cEjemplo 14. Evaluar la integral

    CF dondeCencierra un rea circular (antihorario)

    r

    pt

    q pcos t, sent

    q, t

    P 02 para el campo F px, yq py2, 2xy eyqSolucin. El dominio deFesS R2 es un abierto y conexo,P px, yq y2, Q px, yq 2xy ey se verifica que BPBypxq BQBxpxqentoncesF pP, Qqes un gradiente de algunafuncin potencial f es decir f pP, Qq de donde se tiene que: a) P, b)BfBypx, yq Q, integramos a) respecto ax

    BfBx px, yq P

    BfBx px, yq dx

    y2dx

    fp

    x, yq

    xy2

    `h

    pyq

    luego derivando esta funcin respecto ay, se tiene

    BfBypx, yq

    BfBypxy

    2 ` h pyqq2xy ey 2xy ` h1 pyq

    ey h1 pyqintegrando esto respecto ay ,

    h1 pyq dy

    eydy

    hp

    yq

    ey

    `c

    de donde se tiene que la funcin potencial deFes: fpx, yq xy2 ey ` c AsFes uncampo gradiente entonces la integral

    CF depende solamente de los extremosA p1, 0qy

    B p0, 1q de la curva asC

    F BA

    f fpBq fpAq fp0, 1q fp1, 0q e ` 1

    Ejemplo 15. Determinar si el campo vectorial:

    F px , y , z q `

    y cos pxyq , x cos pxyq ` 2yz3, 3y2z2 ` 2tiene una funcin potencialfpx , y , z q si es as, determinarla.

    Solucin. El dominio deFesS R3 es un abierto y conexo, consideremosF px , y , z q pP , Q , Rq y se verifica que BPBy BQBx ,BPBz BRBx ,BQBz BRBy , entoncesF pP , Q , Rq es uncampo gradiente de alguna funcin potencialfes decirf pP , Q , Rq de donde : a)BfBx P, b) BfBy Q, c) BfBz R, integramos a) respecto ax

    BBx fpx , y , z q Ppx , y , z q

    BBx fpx , y , z q dx y cos pxyq dxfpx , y , z q sen pxyq ` h py, zq

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    luego derivado esta funcin respecto ay, y simplificando se tiene

    B

    By

    fpx , y , z q B

    By

    psen pxyq ` h py, zqq

    x cos pxyq ` 2yz3 x cos pxyq `BBy h py, zq

    2yz3 BBy h py, zq

    e integrando esto respecto ay , BBy h py, zq dy

    2yz3dy

    h py, zq y2z3 ` u pzq ,

    entonces fpx , y , z q sen pxyq ` y2

    z3

    ` u pzq ahora derivamos esta expresin res-pecto dezse tiene

    BBzfpx , y , z q

    BBz`

    sen pxyq ` y2z3 ` u pzq3y2z2 ` 2 3y2z2 ` u1 pzq

    2 u1 pzqintegrando respecto dezse tieneu pzq 2z` c. por lo tanto la funcin potencial deFes:

    f

    px , y , z

    q sen

    pxy

    q `y2z3

    `2z

    `c.

    Ejercicios

    1. Calcular las siguientes integrales de linea:OA

    xdy ` ydx,OA

    xdy ydx

    donde O es el origen de coordenadas y A p1, 2q, a lo largo de las trayectorias:a) segmento que uneO con A

    b) parbola con ejeOY

    c) poligonal que se compone del segmento OB en el eje Xy un segmento ABparalelo al eje Y.

    2. CalcularC

    yzdx`xzdy`xydzdondeCconsiste de segmento de rectas que unenp1, 0, 0q conp0, 1, 0qy conp0, 0, 1q

    3. Sea una trayectoria suave.

    a) Probar que

    CF 0, si F es perpendicular a r1ptq a lo largo de la curva

    C :r

    pt

    qb) Probar que CF

    C| F|, si F es paralelo a r1ptq a lo largo de la curva

    C :rptq

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    4. Sea Fpx , y , z q px2xy,x2, 3xz2q. Probar que C

    F 0 si C es el permetro decualquier cuadrado unitario (es decir, con vrtice en el origen y lado 1).

    5. Probar que CPpx, yqdx ` Qpx, yqdy LM donde L es la longitud de C yMaP2 ` Q2 a lo largo de C.6. Calcular la integral de linea

    Cpexy 3x2coszqdx ` exdy ` x3senzdza lo largo de

    la hlicex cost, y sent, z tdesde el punto p1, 0, 0q hasta el punto p1, 0, qEjemplo 16. Evaluar

    C

    F prq .drparaF px, yq p6x2 ycosxy ` sec2x, xcosxy 2yqdonde C es la curva que va desde el punto Ap0, 1q hasta el punto Bp1, 0q dondeC1, C3 yC4 son segmentos de recta, C2 : px 2q2 ` py 1q2 4, C5 : 4x2 ` y2 4

    Ejercicio 4. Hallar el trabajo realizado al mover un objeto sobre la hlice circularC :r ptq pcos t, sent, tq , t P r0, 2s. Sometida a una fuerzaF pxq k x|x|2 , x 0

    1.3.1. Teorema de Green

    En esta seccin estudiaremos uno de los resultados clsicos del clculo en Rn el cualrelaciona integrales de linea con integrales dobles. Trabajaremos con campos vectorialesen R2,F: U R2 R2 de clase C1, denotaremos F px, yq pP px, yq , Q px, yqqy concierto tipo de regionesS U,que llamaremos compactas. Por el momento, el teoremade Green establece la siguiente igualdad entre una integral de lnea y una integral doble

    BS`F.dr

    S

    BQBx

    BPBy

    dA

    dondeBS es la frontera de S(imagen del camino r) positivamente orientado, lo cualindica que sta se recorre en sentido antihorario.

    Teorema 1.3.8. (Teorema de Green) SeaF : U R2 R2 ,F px, yq pPpx, yq , Q px, yqqun campo de claseC1, en el abierto U deR2. SeaS Uuna regin compacta con sufronteraBS positivamente orientada. Entonces

    BS`F.dr

    S

    BQBx

    BPBy

    dA

    S

    F kdA

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    donder es un camino seccionalmente regular de claseC1 cuya traza esBS . tambienpodemos denotar como:

    BS` P dx ` QdyS

    BQBxBPBy dxdyesto es equivalente a los casos

    aqS

    BQBx dxdy

    BS`

    Qdy bq S

    BPBydxdy

    BS`

    P dx

    Ejemplo 17. Hallar la integral del campo vectorialF px, yq py ` 4x, 2y xq al re-dedor de la elipseC; x

    2

    a2` y2

    b2 1 en sentido antihorario.

    Solucin. Por el teorema de Green se tiene que BS`F.dr 2abTeorema 1.3.9. Seaf :U R2 R una funcin real definida en el abierto U deR2.SeaS Ula regin (del tipo 1), S tpx, yq {a x b, 1 pxq y 2 pxqu . EntoncesBS`F.dr

    S

    BfBy dxdy, dondeF : U R2 R2 , es el campo F px, yq pfpx, yq , 0qy

    r es un camino cuya traza esBS la frontera deS, positivamente orientada.Teorema 1.3.10. Sea f : U R2 R una funcin real definida en el abierto UdeR2. Sea S U la regin (del tipo 2), S tpx, yq {1 pyq x 2 pyq , c y du. Entonces

    BS`F.dr

    SBfBxdxdy, dondeF : U R2 R2 , es el campo F px, yq

    p0, fpx, yqqyr es un camino cuya traza esBS la frontera de S, positivamente orien-tada.

    Definicin 32. Dado un conjunto Smultiplemente conexo conm1hoyos por lo tantosu frontera est constituida porm curvas cerradas simples seccionalmente regulares. Sellama borde a la reunin de lasm curvas. Ci con la orientacin tal que un observadorsobre una de tales curvas siempre va a encontrar la reginSa su izquierda. (las curvasinteriores recorren en sentido opuesto al de la curva exterior).BS C

    1Y C

    2Y ... Y Cm dondeCi, i 1,...,m 1 son las curvas interiores yCm es

    la curva exterior

    Ejemplos:

    1. Si m 2entonces el borde de SesBS C1Y C2 yBS`

    F C1YC2

    F C1

    F`C2

    F C2

    FC1

    F

    2. Si m 3entonces el borde de SesBS C1Y C

    2Y C3 y

    BS`

    F C3

    F C1

    F` C2

    FMatemticas 2Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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    Teorema 1.3.11. Teorema de Green para regiones multiplemente conexas. Sea F :U R2 R2 , F px, yq pP px, yq , Q px, yqq un campo de clase C1, en el abiertoU deR2. Sea S U una regin multiplemente conexa cuya fronteraBS constituidaporm curvas cerradas simples seccionalmente regulares orientadas de modo tal que unobservador sobre una de tales curvas siempre va a encontrar la reginSa su izquierda.es decirBS C

    1Y C

    2Y ... Y Cm donde Entonces

    BS`F.dr

    S

    BQBx

    BPBy

    dA Cm

    Fm1i1

    Ci

    F

    o equivalentemente

    S BQBx BPBy

    dA

    BS`P dx ` Qdy

    Cm

    P dx ` Qdy m1i1Ci

    P dx ` Qdy

    Corolario 1.3.5.(doblemente conexos) con las hiptesis del teorema anterior si ade-ms BQBx BPBy , @xP U S y siBS C1 Y C2 C1C2 entonces

    C2

    P dx ` QdyC1

    P dx ` Qdy donde las curvasC1 yC2 tienen la misma orientacinOservacin 1.3.6. Segn este corolario bastara hallar el valor de la integral deP dx`Qdy a lo largo de alguna curva cerradaCdonde fuese sencilla esta evaluacin

    Definicin 33. Cuando en un conjunto conexo Sexisten dos curvasC1, C2 tales queuna de ellas puede ser deformada de manera continua hasta coincidir con la otra curvasin salirse deSentonces dice que estas curvas son homotpicas (ver figura b) . SiC esuna curva cerrada y esta puede deformarse de manera continua hasta formar un puntoentonces se dice queCes homotpica a un punto (ver figura a).

    Oservacin 1.3.7. SeaF pP, Qq

    yx2`y2 ,

    xx2`y2

    entonces para cualquier curva

    cerrada seccionalmente regular que envuelve al punto "Problema p0, 0q"se tiene que(ver figura c):

    C

    P dx ` Qdy " 2 ; si C antihorario2 ; si C horarioOservacin 1.3.8. Sea F pP, Qq

    yx2`y2 ,

    xx2`y2

    sobre R2 tp0, 0qu entonces

    CP dx ` Qdy 0 pues BQBx BPBy, ademsCuna curva cerrada seccionalmente regular

    que no rodea al punto problemap0, 0q entonces C es homotpica a un punto A. (verfigura b)

    Oservacin 1.3.9. Si el campo vectorialF pP, Qqes de claseC1 sobre un dominioabierto y simplemente conexo S tal que BPBy BQBx sobre S y si R es una regin ence-

    rrada porCentonces por el teorema de Green se tiene (ver figura a) CP dx ` QdyA

    P dx ` Qdy 0

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    Corolario 1.3.6.(triplemente conexos) con las hiptesis del teorema anterior si ade-ms BQBx BPBy , @x P U Sy siBS C1Y C2Y C3 C1C2 C3 entonces

    C3

    P dx ` Qdy C1

    P dx ` Qdy ` C2

    P dx ` Qdy

    donde las curvasC1, C2 yC3 tienen la misma orientacin puesS

    BQBx BPBy

    dA 0

    Consideremos loa siguientes ejemplos:

    Ejemplo 18. Sean Ppx, yq , Q px, yq de clase C1 tal que BPBy BQBx en todo el planoexcepto en dos puntos (hoyos). SeanC1, C2 dos circunferencias tal queIk

    Ck

    P dx `Qdy ; k

    1, 2 tal queI1

    4, I2

    7

    a) Hallar el valor de la integral deP dx ` Qdy al rededor de la curva D1 y al rededorde la curva D2.

    b) Hallar el valor de la integral de P dx ` Qdy al lo largo de la curva D D1D2. (enforma de ocho)

    c) Dibujar una curva cerrada Ea lo largo de la cualE

    P dx ` Qdy 1

    Solucin. Como I1, I2 son diferentes de cero entonces C1, C2 estn rodeando a los

    hoyos del enunciado; y como BP

    By BQ

    Bx entonces por el teorema de Green se tieneC3

    P dx ` QdyC1

    P dx ` Qdy `C2

    P dx ` Qdy

    de dondeI3 I1 ` I2 4 ` 7

    a) Dentro de la reginR vemos queC1 yD1 son homotpicas enR ademsC2 yD2

    tambin son homotpicas enR entonces:

    D1 P dx ` Qdy C1 P dx ` Qdy 1D2

    D2

    C2

    P dx ` Qdy 7D

    D1`

    D2 4 ` p7q

    b) Sabemos queC1

    4y C2

    7entoncesE 2 p4q1 p7q puesE1 es el lazo interior

    que parte deMy vuelve aM, E2 es el lazo (exterior deE1) seccionalmente regularque pasa porM yN. como E1 es homotpica aC1 yE2 es homotpica aC1 yE3es homotpica aC

    2 entoncesE E1E2E3 luego

    E

    E1`

    E2`

    E3

    Ejemplo 19. Con los mismos datos del problema anterior excepto queI1

    4, I2

    12.

    Demostrar que no existe camino alguno Ea lo largo del cual EP dx ` Qdy 1Matemticas 2Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

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    Solucin. ConsideremosE

    P dx ` Qdy mI1 ` nI2 de donde se tiene que1 4m `12n n ` 3m 1

    4 esto no es posible puesm, n son enteros por lo tanto no existe tal

    curva cerradaE.

    Ejemplo 20. SeaIk Ck P dx ` Qdy dondeP px, yq y

    1

    px 4q2 ` y2 ` 1

    x2 ` y2

    , Q px, yq

    x 4px 4q2 ` y2 `

    x

    x2 ` y2

    donde: C1 :circunferencia de radio 0 a 4 al rededor dep0, 0q, C2 : circunferenciade radio 0 b 4 al rededor dep4, 0q, C3 : curva seccionalmente de la figura en elorden ABCDEFCGHA.

    a) EvaluarI1, I2 recorrido en sentido antihorario.

    b) CalcularI3

    Solucin. Veamos

    a) El campopP, Qq P C1 enR2 excepto en los puntosp0, 0q yp4, 0q que constituyenlos hoyos del dominio Sadems se sabe que

    BQBx

    BPBy

    y2 px 4q2`px 4q2 ` y22` y

    2 x2px2 ` y2q2

    ; px, yq P S

    yS

    R

    2

    tp0, 0

    q,

    p4, 0

    qupero podemos escribirF

    G

    `H donde

    G y

    x2 ` y2 , x

    x2 ` y2

    ,H y

    px 4q2 ` y2 , x 4

    px 4q2 ` y2

    entonesCF

    CG `

    CH siG px, yq pP1, Q1q yH px, yq pP2, Q2q, como C1

    contiene al hoyop0, 0qyC2 no lo contiene y como BQ1Bx BP1By de modo queC1G

    2;C2G 0. Por otro lado C1 no contiene al hoyop4, 0q y C2 si lo contiene y

    como BQ2Bx BP2By de modo queC1H 0;

    C2H 2. en efecto parametrizamos

    C2 :x 4 ` b cos t, y bsent, t P r0, 2s de donde

    C2H

    2

    0 bsentb2 ,b cos tb2 pbsent, b cos tq dt 2. Por lo tanto:

    I1C1F

    C1G`

    C1H 2 ` 0

    I2C2F

    C2G`

    C2H 0 ` 2

    b) Las curvasK1 es homotpica aC1 yK2 es homotpica aC2 enSy como BQBx BPBy ,

    yK1

    C1

    2; K2

    C2

    2 siC3 K1 Y K2 entonces

    I3 C3 K1 ` K2 4

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    Ejemplo 21. EvaluarS

    x2zds dondeSes la parte del cono circularz2 x2 ` y2 quese encuentra entre los planosz 1, z 4.Solucin: La funcin . f

    px, y

    q z

    ax2 ` y2 S x2zds D x2z|f|fz

    dA en coor-

    denadas polares se tiene 20

    21R

    2 cos2 R2?

    2drd 1023?2

    5

    Ejemplo 22. EvaluarS

    xzy

    dsdondeSes la porcin del cilindrox y2 que se encuentraen el primer octante entre los planosz 0, z 5, y 1, y 4..Solucin: .Proyeccin en el plano Y Z es el rectngulo fpy, zq x y2

    S

    xzy

    ds D

    y2z

    y

    |f|fx

    dA 41

    5

    0dzdy 1023

    ?2

    5

    Ejemplo 23. Calcular

    CF.Tds,F pxq py, x, 3yq C es el crculo de intervalo que

    resulta de intersectar el plano x ` y ` z 0 con la esferax2

    ` y2

    ` z2

    9 en sentidoantihorario visto desde el ejeY`

    Solucin: Por el teorema de Stokes se tieneC

    F.Tds S

    p Fq .nds S

    p3, 0, 2q . p1,1,1q?3 ds

    1?3

    S

    ds 3?3

    Ejemplo 24. CalcularS

    p Fq .nds,F pxq pxz,x2, xyq Ces la superficie del cubodeterminado por los planosx 0, x 1, y 0, y 1, z 0, z 1 sin la caraz 1,nes la normal exterior al cuboSolucin: . Por el teorema de Stokes se tiene

    Sp Fq .nds

    CF.Tds

    1

    0 1

    02xdxdy

    1, dondeds sec daEjemplo 25. Calcular

    C

    F.Tds,dondeCes la curva que une los puntosP p2, 0, 3q , Q p0, 0, 1q , R p0, 2,, Sp0, 3, 2q , Tp0, 3, 0q O p0, 0, 0q , Mp2, 0, 0q yP yF pxq pxz,x2, xyqSolucin: . Por el teorema de Stokes se tiene

    C

    F.Tds S

    p Fq .nds S1

    p Fq .n1ds`S2

    p Fq .n2ds S1

    px yqds` S2

    0

    pero en S1 y 0entonces

    S1px yq ds

    2

    0

    x`10

    xdzdx 143

    Ejemplo 26. Hallar una expresin paraSF.nds, sin utilizar la proyeccin sobre los

    planos coordenados, si S es el cilindro x2 ` y2 a2 limitada superiormente por zfpx, yq e inferiormente porz g px, yq (g px, yq fpx, yq )Solucin: . Determinemos el diferencial de areads addzdonde0 2, g px, yq z fpx, yq en coordenadas cilndricasxr cos , y rsen, z z pero r a porlo tanto se tiene

    S

    F.nds 20

    fpx,yqgpx,yqF.naddz

    Ejemplo 27. CalcularS

    p Fq .ndsdondeSes la superficie que envuelve al slidoencerrado por los paraboloidesz

    4

    x2

    `y2, 12

    z

    x2

    `y2,

    p20

    z

    x2

    `y2

    q ,

    F pxq pz3, x3, y3q yn normal exterior aS.Solucin: .

    S

    p Fq .nds V

    . p Fqdv V

    0dv 0

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    otra formaS

    p Fq .nds S1

    p Fq .n1ds`S2

    p Fq .n2ds por Stokes

    CF.Tds`

    CF.Tds 0la misma curva recorrida en sentido opuesto.

    Ejemplo 28. CalcularS

    p Fq .ndsdondeSes la superficie que envuelve al slidoencerrado superiormente por x2 ` y2 ` z2 4 e inferiormente por z2 x2 ` y2, z0,F pxq pz3, x3, y3q yn normal exterior aS.Solucin: .

    S

    p Fq .nds V

    . p Fqdv V

    0dv 0

    otra formaS

    p Fq .nds S1

    p Fq .n1ds`S2

    p Fq .n2ds por Stokes

    CF.Tds`

    CF.Tds 0la misma curva recorrida en sentido opuesto.

    Ejemplo 29. Proyectando sobre los 3 planos coordenados calcular el flujo del campo

    vectorialF pxq

    x a

    y z2, 1,a

    y z2 z a travs del lado exterior del parabo-loidey x2 ` z2 limitado por el plano y 4 y que se encuentra en el primer octante.Solucin: Sea S : y x2 ` z2 de esta ecuacin cartesiana de la superficie se tie-ne que x x py, zq

    ay z2, y y px, zq x2 ` z2, z zpx, yq

    ay x2

    si n pcos , cos , cos q ,F pxq pP,Q,Rq ahora la proyeccin a los planos ser:S

    p Fq .nds Ryz

    P px py, zq , y , z q dydz Rxz

    Q px, y px, zq , zq dxdz Rxy

    R px , y , z px, yqq dxdydondeRyz , Rxz, Rxy son las proyecciones de Ssobre los planosY Z, X Z, X Y respecti-vamente luego si hacemos f

    px , y , z

    q x2

    `z2

    y

    0 dondef

    p2x,

    1, 2z

    q as

    n p2x,1,2zq?4x2`4y2`1 pcos , cos , cos q utilizando las tres ecuaciones anteriores y como

    cos 0 se tieneP px py, zq , y , z q 0, Q px, y px, zq , zq 1, R px , y , z px, yqq 0 luegoS

    p Fq .nds Rxz

    Q px,y px, zq , zqdxdz Rxz

    1dxdz area pRxzq

    Ejemplo 30. Consideremos que la curvaCse encuentra inmovil sobre la superficie deun fluido, donde fluido es un conjunto de partculas, de modo que a cada punto px, yq deR

    2 le asignamos un vectorv px,yq que representa la velocidad de la partcula en dichopunto, el conjunto de vectoresv determina un campo de velocidades de la corriente delfluido, siv no cambia con el tiempo, es decir depende solo del punto se le denominacorriente estacionaria.

    Ejemplo 31. Si en cada puntopx, yq la densidad del fluido (masa por unidad dearea) es px, yq entonces el campo vectorialF px, yq px, yqv px,yq se le denominadensidad de flujo de la corriente y su mdulo tiene las dimensiones de masa por unidadde rea y por unidad de tiempo.

    el fluido entra o sale de la regin R encerrada por C, entonces la integral de lineaC

    F.nds es una medida de la cantidad de fluido que entra o sale de R por unidad de

    tiempo, si r ptq genera Cen sentido antihorario, si la integral es positiva la densidaden R disminuye y si la integral es negativa la densidad aumenta.

    MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM

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    1.4. Integrales de Campos Escalares Sobre Superficies

    Parametrizacin de una superficie

    Sea Suna superficie parametrizada por r: D S donde D R2, S R3 tal que

    r pu, vq px pu, vq , y pu, vq , zpu, vqq tal quepu, vq P D

    .

    Definicin 34. Sea funa funcin real, continua y definida sobre una superficie S :r pDq siendo r una parametrizacin de Clase C1 sobre D, se define la integral de su-perficie def sobreS como

    S f ds S fpx , y , z q dsD

    fpx , y , z q |ru rv| dudv

    donderu BrBu ; rv BrBvTeorema 1.4.1. SiS es la superficie parametrizada porr pu, vq px pu, vq , y pu, vq , zpu, vqq tal quepu, vq P D. entonces

    S

    fpx , y , z q ds D

    fpx , y , z q |ru rv| dudv

    En caso particular si fpx , y , z q 1 entonces el rea de la superficie S se calculacomo A pSq

    S

    ds

    Superficie orientada Sea Suna superficie con una parametrizacinr pu, vq de claseC1 sobre un dominio abierto y convexo del plano U V que contiene a una regin Dacotada y simplemente conexa (convexo y sin hoyos), ru rv 0, @ pu, vq P D.

    as Stiene un vector normal bien definido por n ru rv cuya direccin dependecontinuamente del punto r pu, vq P SDefinicin 35. Si una superficieStiene en cada punto un vector normal definido cuyadireccin depende continuamente de los puntos deSentonces aSse le llama superficiesuave o Ssuperficie seccionalmente suave

    Ejemplo 32. Superficie suave es la esfera, superfice seccionalmente suave es el cubo

    Definicin 36. Una superficie orientable es aquella superficie que tiene dos lados odos caras a uno de ellos se le llama lado interior o negativo y a la otra se le llama ladoexterior positivo. En cada puntopx , y , z q deShay dos vectores normales unitariosn1yn2 de modo quen2 n1Ejemplo 33. El cilindro, el plano, esfera, etc. son superficies de dos caras

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    Oservacin 1.4.1. Existen superficies de una sola cara o un solo lado, como por ejem-plo la cinta de Moebius la cual es una superficie no orientable

    Oservacin 1.4.2. Una superficie orientada se obtiene cuando el vector normal semueve a lo largo de una curva del borde de las superficie se encontrar siempre a la unsolo lado

    Definicin 37. Una superficie seccionalmente suave es orientable si al orientar posi-tivamente las curvas del borde de sus pedazos los bordes comunes a dos pedazos debentener orientaciones opuestas.

    Area de una superficie

    Sea Suna superficie definida por la funcin F px , y , z q 0, y sea D su proyeccinen el plano XY,el rea de la superficie Sest dada por:

    Sea Sirea en el plano tangente (Plano P1) y se Airea de su proyeccin sobre elplanoX Y (PlanoP2), sea el ngulo formado por dichos planos, entonces se tiene queSi aby Ai ab cos de donde se obtiene Ai Sicos Si Aisec de donde sumando todas las reas Si se tiene A pSq

    S

    ds D

    sec dA.

    el ngulo formado por los planos es el mismo ngulo formado por los vectoresnormales a los planos, donde

    k vector normal al plano XY y F vector normal al

    plano tangente luego se tiene que cos k .Fk }F} Fz}F} por lo tanto se tieneA pSq

    S

    ds

    D

    }F}|Fz| dA

    D

    aF2x` F2y` F2z

    |Fz| dA

    SiSest definida por la ec. z fpx, yq, es decir superficies de dos variables entoncesF px , y , z q fpx, yq z 0entonces sec

    af2x` f2y` 1

    1 de donde se tiene

    A pSq S

    ds

    D

    af2x` f2y` 1dA

    Dd

    z

    x

    2

    ` zy

    2

    dA

    Ejemplo 34. Calcular el rea de la porcin de la esfera x2 ` y2 ` z2 8 interior alcono z

    ax2 ` y2.

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    Solucin. Sea F px , y , z q x2 ` y2 ` z2 8 0, de donde se tiene: F px , y , z q p2x, 2y, 2zq . ademsds |Fpxq||Fz| dA. Determinamos los puntos de interseccin, z 0de la ecuacin del cono z2 x2 ` y2 en la ecuacin de la esfera se tienex2 ` y2 4que viene a ser la reginD. entonces

    A pSq S

    ds S

    |Fpxq||Fz| dA

    D

    ?x2`y2`z2

    |z| dA

    D

    ?x2`y2`8x2y2?

    8x2y2 dA

    D

    2?

    2

    a8 x2 y2 dA

    en coordenadas polares se tiene:A pSq 20

    20

    2?2ra8 r2 drd 8 `2 ?2.

    Ejemplo 35. Hallar el rea del paraboloideS :z x2 ` y2, 0 z 6.Solucin. SeaF px , y , z q x2`y2z 0, de donde se tiene: Fpx , y , z q p2x, 2y, 1q. Determinamos los puntos de interseccin, z 0 de la ecuacin del cono z2 x2 ` y2en la ecuacin de la esfera se tienex2 ` y2 4 que viene a ser la reginD. entonces

    A pSq S

    ds

    D aF2x` F2y` F2z

    |Fz| dA

    D

    a4x2 ` 4y2 ` 1

    |1| dA

    D

    a4x2 ` 4y2 ` 1dA

    en coordenadas polares :x r cos , y r sin se tieneA pSq 20

    ?6

    0

    ?4R2 ` 1rdrd

    323

    .

    Ejercicio 5. Evaluar

    S

    x2zds suponiendo que S es la parte del cono circular y2 x2

    `z2 que se encuentra entre los planos y

    1, y

    4y porcin del plano y

    4 que

    se encuentra en el interior del cono

    Ejemplo 36. EvaluarS

    x2zds suponiendo que S es la parte del cono circular z2 x2`y2; py2 x2 ` z2q que se encuentra entre los planosz 1; py 1q, yz 4; py 4qSolucin: Seaz fpx, yq

    ax2 ` y2 si

    A S

    x2zds

    Dx2z

    ?f2x`f2y`1|1| dA

    D

    x2ax2 ` y2?2dA

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    en coordenadas polares :x r cos , y r sin se tiene

    A pSq 20

    41

    R2 cos2 r?2rdrd 1023?2

    5

    .

    Ejemplo 37. EvaluarS

    xzy

    ds dondeSes la parte del cilindrox y2 que se encuentraen el primer octante entre los planosz 0; z 5, y 1, y 4Solucin: En este caso observamos el grfico y es conveniente proyectar al plano Y Z yesta proyeccin es el rectngulo cuyos vertices sonp0, 1, 0q , p0, 4, 0q , p0, 4, 5q yp0, 1, 5qSeax fpx, yq y2 luego se tiene

    S

    xzy

    ds D

    y2z?f2z`f2y`1y|1| dA

    D

    yza

    4y2 ` 1dA 4

    1

    5

    0yza

    4y2 ` 1dzdy

    Ejemplo 38. EvaluarS

    py ` zq ds dondeSes la parte de la grficaz ?1 x2 quese encuentra en el primer octante entre el plano XZy el plano y 3Solucin

    Ejemplo 39. Hallar el rea de la superficieSdel cilindrox2`y2 8yque se encuentradentro de la esferax2 ` y2 ` z2 64

    Observacin

    onsideremos la curva Ccerrada que se encuentra inmovil sobre la superficie deun fluido, donde el fluido es un conjunto de partculas, de modo que en cada puntopx, yq de R le asignamos un vector vpx,yq que representa la velocidad de la partculaen dicho punto , el conjunto de vectores v determina un campo vectorial de velocidadesde la corriente del fluido, si v no cambia con el tiempo es decir depende solo del punto

    se le denomina corriente estacionaria.Si en cada puntopx, yqla densidad del fluido (masa por unidad de rea) espx, yq

    entonces el campo vectorial Fpx, yq px, yqvpx,yq, se le denomina densidad de flujode la corriente y su mdulo tiene la dimensin de masa por unidad de rea y por unidadde tiempo. La integral de linea

    CF.ndses una medidad de la cantidad de fluido que

    entra o sale de la regin R por unidad de tiempo (dses longitud de arco), si rptq generaa C en sentido antihorario si la la integral es positiva la densidad en R disminuye, sies negativa la densidad en R aumenta. representa la medida de la cantidad de fluidoque entra o sale de la regin R por unidad de tiempo

    Sea Cuna curva cerrada descrita por rptq pxpsq, ypsqq entonces Dsrptq dxds ,dydses el vector tangente a la curva descrita por r, el vector normal exterior estar dado

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    por n

    dyds

    ,dx

    ds,

    entonces n

    dy

    ds, dx

    ds,

    entonces:

    CF.nds CpP, Qq dyds , dxds , ds

    CpP dy Qdxq

    R

    pPx ` Qyq da

    R Fda

    En resumen, recordamos que el teorema de Green transforma la integral de linea a lolargo de Cen una integral doble sobre la regin R encerrada por C.

    CF.nds

    R Fda ; campo normal

    CF.Tds

    R F kda ; campo tangencial

    1.5. Integral de Superficie

    Sabemos que una superficie puede ser representada en la forma:

    S : fpx , y , z q 0, donde S es una superficie de nivel cero representada por lafuncin escalar fpx , y , z q adems fpxq es el vector normal a S en el punto xP S,x px , y , z q siempre que fpxq 0, para que la superficie Stenga una nica normalen cada punto, cuya direccin dependa continuamente de los puntos de Sesto e es f

    debe ser de clase C1

    , as el vector n f

    px

    q|fpxq| es el vector unitario perpendicular a lasuperficie S

    El Flujo de un campo vectorial atravs de una superficie S podemos denotarlo ydeterminarlo como

    IS

    F.nds

    Si el fluido tiene densidad px , y , z qentonces la masa del fluido se representa comoS

    F.nds

    AsF puede representar el flujo trmico estacionario, un gas que se expande unifor-

    memente, una corriente elctrica (u otros campos) en estos casos flujo correspondea cantidad (por unidad de tiempo) de calor que cruza S, de gas a travs de S o decarga elctrica que a travs de la superficie Srespectivamente.

    Para una superficie cerrada S como una esfera, si n es el vector normal unitarioexterior entonces el flujo mide el desplazamiento neto hacia afuera por unidad de tiempo

    Ejemplo 40. SeaS la parte dez 9 x2 y2 tal quez 0, seaF

    px , y , z

    q p3x, 3y, z

    q. Calcular el flujo deF a travs deS.

    Solusin. Sea gpx , y , z q z 9 ` x2 ` y2 la funcin que describe la superficie, su

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    gradiente es g p2x, 2y, 1q y el vector normal ser n g|g| as n p2x,2y,1q?x2`y2`1 ,ademsds |g||gz|dA luego se tiene que:

    I SF.nds

    Sp3x, 3y, zq p2x,2y,1q?

    x2`y2`1|g||gz |dA

    Sp3x, 3y, zq p2x,2y,1q?

    x2`y2`1

    ?x2`y2`1

    1 da

    Dp5x2 ` 5y2 ` 9qda

    20

    3

    0p5R2 ` 9q rdrd 567

    2

    1M09J170N.wmf1;

    Si el campo F es la velocidad de un gas en expansin y }F} se mide en cm{s ,entonces la cantidad de flujo de gas atravez de la superficie es 890,6cm2{s.

    Ejercicio 6. CalcularSF.nds, donden es un vector normal unitario exterior a lasuperficieS. si:a) Fpx , y , z q px , y , z q, Ses la mitad superior de la esferax2 ` y2 ` z2 a2.b)Fpx , y , z q p2, 3, 5q, Ses la parte del cono z px2`y2q 12 que est dentro del cilindrox2 ` y2 1.Ejercicio 7. Calcular el flujo del campo vectorialFpx , y , z q px`y`z, x`y`z 1, 1qa travs de la superficieSconformada por la porcin del plano P : 4x ` 6y ` 3y 12limitado por los planos coordenados, y el vector normal tiene componentez 0.Ejercicio 8. Calcular el flujo del campo vectorialF

    px , y , z

    q px

    `y

    `z, x

    `y

    `z

    1, 1

    qa travs de la superficieSconformada por la porcin del plano P : 4x ` 6y ` 3y 12limitado por los planos coordenados, por porcin del plano XZy porcin del plano Y Zarriba del plano XY y debajo del plano P, el vector normal tiene componentez 0.Ejercicio 9. Sea Q el slido acotado por las superficies, el cilindro z 4 x2, el planoz` y 5, el plano XY y el plano XZ. Sea S la superficie que encierra a Q menos ellado contenido en el plano XY.. Evaluar

    S

    F.nds para

    Fpx , y , z q px3 ` sin z, x2y ` cos z,xyex2`y2q

    1.6. Teorema de la divergencia (teorema de Gauss)

    El teorema se refire al flujo de un campo atraves de una superficie cerrada que esla frontera de una regin Q en tres dimensiones.

    Teorema 1.6.1. Sea Q una regin en tres dimensiones acotada por una superficiecerradaS, y sean un vecctor normal unitario exterior aSen el puntopx , y , z q. SiFes una funsin vectorial que tiene derivadas continuas enQ entonces:

    S

    F.nds Q

    Fdv Q

    divFdv.

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    Ejemplo 41. Sea Q el slido acotado por las grficas dex2 ` y2 4, z 0, z 3ade-msSes la frontera de Q yFpx , y , z q px3, y3, z2q. Use el teorema de la divergenciapara evaluar

    SF.nds.

    Solucin.Calculamos la divergenciadivFpx,y, zq 3x2`3y2`3z2 usando el teorematenemos

    I S

    F.nds Q

    divFdv

    Q

    p3x2 ` 3y2 ` 3z2qdv 2

    0

    2

    0

    3

    0pR2 ` z2qrdzdrd 180

    M09J170O.wmf

    Ejemplo 42. Sea Q el slido acotado por las superficies, el cilindro z 4 x2

    , elplano z` y 5, el plano XYy el plano XZ.. EvaluarS

    F.nds para

    Fpx , y , z q px3 ` sin z, x2y ` cos z, ex2`y2q dondeSesla superficie de Q.Solucin.Determinamos la divergenciadivFpx,y, zq 4x2 luego se tienen

    I S

    F.nds

    Q

    divFdvQ

    4x2dv

    1

    M09J170P.wmf1

    as en coordenadas rectangulares se tiene

    I 22 4x20 5z0 4x2dydzdx 460835 .Ejemplo 43. Verifique el teorema de la divergencia parax2`y2`z2 a2,Fpx , y , z q px , y , z q.Solucin.Calculamos la divergencia del campo vectorialdivFpx,y, zq 3 luego se tie-nenI

    S

    F.nds Q

    divFdv Q

    3dv as se tiene

    I 3Q

    dv 4a3

    Veamos ahora por definicin para lo cual seaSla superficie representada porgpx , y , z q x2

    `y2

    `z2

    a2 cuyo gradiente est dado por g

    px,y, z

    q p2x,2y, 2z

    q entonces

    n gpxq|gpxq| , , ademsds |g||gz| da as se tieneI

    SF.nds

    Spx , y , z q p2x, 2y, 2zq

    a

    aaa2 x2 y2 da

    2a2S

    da?a2x2y2

    2a2 20

    a0

    r?a2R2 drd 4a3.

    Ejercicio 10. Calcular S px2,y2, z2q pcos , cos , cos qds, donde S es la superficie

    total del cono x2

    a2` y

    2

    a2 z

    2

    b2 1; 0 z b

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    Ejemplo 44. Sea el campo vectorialFpx , y , z q p0, 0, zq ,sea Q la regin slida en-cerrada por la mitad superior de x2 ` y2 ` z2 a2 y el plano XY. Hallar

    S

    F.nds y

    verificar el teorema de la divergencia .

    Ejemplo 45. Sea Q la regin slida limitada por los planos coordenados y el plano2x ` 2y ` z 6 seaFpx , y , z q px, y2, zq. Hallar

    S

    F.nds donde S es la (frontera)

    superficie de la reginQ.Solucin.Sabemos que la divergencia esdivFpx,y, zq 1` 2y ` 1 luego se tienen

    I S

    F.nds Q

    divFdv

    Q

    p2 ` 2yq dv

    30 3x0 62x2y0 p2 ` 2yq dzdydx

    1

    M09J170Q.wmf1;

    terminar

    1.6.1. Teorema de la divergencia (para el caso de 2 superficies.).

    Se D una regin en el espacio R3 cuya frontera son dos superficies S1 y S2, siendoS2 interior a S1. Sea Fun campo vectorial con divergencia continua en cada punto deD entonces

    S1

    F.n1dsS2

    F.n2ds D

    divFdv

    , donde n1 es normal exterior a la regin encerrada por S1 y n2 es normal exterior a laregin encerrada por por S2.

    Si en todo punto de la regin D se tiene que la divergencia .F 0entoncesS1

    F.n1ds S2

    F.n2ds 1M09J170R.wmf1;

    Ejemplo 46. Sea el campo vectorialFpx , y , z q px,y,zq?x2`y2`z23

    , seaSuna superficie que

    engloba al origen. ClacularS F.nds.Solucin.Se tiene quedivFpx,y, zq

    BBx ,

    BBy ,

    BBz px,y,zq?

    x2`y2`z23 0 , la divergencia en

    el origen no existe por lo que no se puede aplicar el teorema de la divergencia, enton-ces buscamos otra superficie que encierra al origen seaS1 una esfera con centro en elorigen entonces en la reginD comprendida entreSyS1 se cumple que.F 0.luegose tieneS

    F.nds S1

    F.n1ds D

    divFdvas se tieneS

    F.nds S1

    F.n1ds donde S1 : fpx , y , z q x2 ` y2 ` z2 a2, cuya normal exterior

    esn1px,y,z

    qa , luego

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    S

    F.nds S1

    F.n1ds

    S1 px,y,zqa3 px,y,zqa ds S1

    x2`y2`z2a4

    ds S1

    a2

    a4ds

    1a2

    S1

    ds areaS1a2

    1

    M09J170S.wmf1;

    Rotacional de un campo

    Sea F : U R3 R3,F pxq pP , Q , Rq diferenciable, definido em el conjuntoabierto U de R3 , definimos el rotecional de Fen le punto xde Uy denotamos por

    rotF pxq i j kBBx BBy BBzP Q R

    BRByBQBz, BPBZBRBX,BQBXBPBYcomo el rotF pxq es un vector, entonces podemos hablar del campo vectorial rota-

    cional de F, rotF : U R3 R3 el cual a cada punto x de U le asocia el vectorrotF pxq P R3.Ejemplo 47. Determinar elrotF pxq,a) dondeF pxq px2y, x ` 3y ` z,xyz3qSolucin. Aplicando la definicin del rotacional se tiene que

    rotF F pxz3 1, yz3, 1 x2qb) dondeF pxq pxy, x, 0qSolucin.Aplicando la definicin se tiene querotF F p0, 0, xq.

    El rotacionalrotF pxq es un concepto que generaliza al de rotacin de un campo enR2. El rotF pxqen R2 es un escalar que nos da la informacin sobre la capacidad quetiene el campo F de hacer girar un cuerpo que se encuentra en el flujo descrito por F.El rotacional en R3 nos da la informacin sobre la circulacin del campo por unidadde rea en cada punto

    F: U

    R

    2

    R

    2 un campo vectorial en R2 tal que F

    px

    q pP, Q

    qentonces

    rotF pxq

    i j kBBx

    BBy

    BBz

    P Q 0

    0, 0,BQBx

    BPBy

    , es un vector perpendicular al plano XY (donde se encuentra el campo F) cuyacoordenada zes BQBx BPBy;

    En R3 si F pxq pP , Q , Rq, si el campo es conservativo sabemos que se cumpleBFjBxi

    BFiBxj entoncesrotF pxq p0, 0, 0q ( el regreso no siempre es cierto) esto significsa

    que el campo es irrotacional.

    Obs. El hecho que el campo es irrotacional solo nos permite concluir que el campoes localmente conservativo.

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    1.6.2. Teorema de Stockes

    Introduccin:

    Este teorema es una generalizacin en R3 del teorema de Green el cual trabaja concampos en R2 y establece la relacin entre la integral de linea del campo vectorial a lolargo de la curva cerrada simple Cque es la frontera de la region S R2.

    Consideraremos superficies simples en R3.

    El teorema que estudiaremos establece la relacin entre la integral de lnea delcampo vectorial F en R3 a lo largo de la frontera BSde Sy la integral de superficie decierto campo sobre la superficie suave S.

    Teorema de Stockes

    Teorema 1.6.2. Sea Suna superficie orientable seccionalmente suave determinadapor la funcin f : R3 R, fpx , y , z q 0 de clase C2, y seaF : U R3 R3 uncampo vectorial de claseC1 en el conjunto abierto U deR3 que contiene aS. SiF esun campo de fuerza el teorema afirma que el trabajo realizado porF a lo largo de lacurvaCes igual al flujo derotF a travs deS.

    BSF.TdsSrotF.nds equivalentemente BSF prq .dr donde F es el vector

    posicinpx , y , z qde C BS.

    Ejemplo 48. SeaSuna superficie enR3

    cuya fronteraCest sobre el plano XY. SeaR la regin en el plano XY, interior a la curvaC. Demostrar el teorema de Stockespara este caso particular, para el campo vectorialFpx , y , z q pP , Q , Rq.Solucin: ConsideremosS la superficie cuya fronteraCest sobre le plano XY, yCest orientada positivamente. ConsideremosS0 SY D, entonces

    S0rotF.nds

    SrotF.nds`

    DrotF.n1ds

    S

    rotF.ndsDrotF.kds pq

    Por otro lado aplicando el teorema de la divergencoia paraS0 tenemos

    S0 rotF.nds Q rotFddv 0; pues rotF 0en la ecuacinpq tenemos

    0 S

    rotF.ndsDrotF.kds

    SrotF.nds

    DrotF.kds

    D

    pQx Pyq daBS pP, Qq TdsBSGdr

    1M09J170T.wmf1;

    Ejemplo 49. SeaFpxq p

    xy, 2xz, 3yzq

    SeaS la superficie correspondiente a la por-cin del plano x ` y ` z 1que se encuentra en le primer octante, verificar el teoremade Stocke,

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    Solucin:Veamos La superficieStiene como frontera la interseccin del plano con losplanos coordenados que son los segmentos, los cuales lo denotamos como C1, C2 yC3luego podemos calcular la integral de linea a traves de la frontera deS integrando sobre

    cada uno de estos segmento, es decirBSF.Tds CF prq .dr

    C1F pr1q .dr1 `

    C2F pr2q .dr2 `

    C3F pr3q .dr3 M09J170U.wmf

    paraC1 :x ` y 1 x t, z 1 t entoncer1ptq pt, 0, 1 tq y al reemplazaren el campo vectorial se tiene

    C1

    F pr1q .dr1

    1

    0

    p0, 2tp1 tq, 0q . p1, 0, 1q dt 0.

    paraC2 : x ` z 1xt, y 1 t entoncer2ptq pt, 1 t, 0q y al reemplazar enel campo vectorial se tiene

    C2

    F pr2q .dr210

    ptp1 tq, 0, 0q . p1, 1, 0q dt 16

    .para C3 : y ` z 1y t, z 1 t entoncer3ptq p0, t, 1 tq y al reemplazar enel campo vectorial se tiene

    C3

    F pr3q .dr3

    1

    0

    p0, 0, 3tp1 tqq . p0, 1, 1q dt 12

    .

    por lo tanto tenemos BSF.Tds 0 ` 16` 12 13 ,Veamos ahora cuando aplicamos el teorema para lo cual calculamos previamenterotF p3z 2x, 0, 2z xqy el vector normal unitario a la superficieSn p1,1,1q?

    3 reemplazan-

    do en la formula se tieneS

    rotF.nds Sp3z 2x, 0, 2z xq . p1,1,1q?

    3 ds

    S

    5z3x?

    3

    f

    |fz |dA

    D 5z3x?3?3

    1 dA 10

    1x0

    p5z 3xq dzdx 1

    3

    M09J170V.wmf;

    Ejemplo 50. SeaF:R3 R3 definida como F pxq px2y, 3x3z,yz2q SeaS la super-ficie correspondiente al cilindro x2 ` y2 1, |z| 1 cuya normal es hacia el interiorde el. Verificar el teorema de Stocke,Solucin:Veamos La superficie S tiene como frontera las circunferencias en situadasen los planos z 1 y z 1 a los cuales denotamos como C1 y C2 luego podemoscalcular la integral de linea a traves de la frontera de Sintegrando sobre cada uno delas curvas, es decir

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    BSF.Tds

    CF prq .dr

    C1F pr1q .dr1 `

    C2F pr2q .dr2

    paraC1 :x2 ` y2 1 x cos , y sin , z 1 entoncer1ptq pcos , sin , 1q y alreemplazar en el campo vectorial se tiene

    C1

    F pr1q .dr1

    2

    0

    ` cos2 sin2 ` 3cos4 d 2.paraC2 :x

    2 ` y2 1 x cos , y sin , z 1entoncer2ptq pcos , sin , 1qyal reemplazar en el campo vectorial se tiene

    C2 F pr2q .dr2 2

    0 `cos2 sin2

    `3 cos4 d

    5.

    2

    .

    por lo tanto tenemos BSF.Tds 2 ` 52 92

    Veamos ahora cuando aplicamos el teorema para lo cual calculamos previamenterotF pz2 3x3, 0, x2 p9z 1qq y el vector normal unitario a la superficie S es de la forman px,y,0q?

    x2`y2 reemplazando en la formula se tiene

    SrotF.nds

    Spz2 3x3, 0, x2 p9z 1qq . px,y,0q?

    x2`y2 ds

    S 3x4xz2?

    x2`y2 f|fz |dA

    D

    5z3x?

    3

    ?3

    1

    dA

    10

    1x0

    p5z 3xq dzdx 1

    3

    1

    M09J170W.wmf1;

    Ejemplo 51. SeaF:R3 R3 definida como F pxq p3z, 4x, 2yq SeaS la superficiecorrespondiente al paraboloidez 9 x2 y2, z 0 y seaC la traza deSen el planoXY (curva de nivel cero). Verificar el teorema de Stocke,Solucin:Veamos cuando aplicamos el teorema para lo cual calculamos previamen-

    te rotF p2, 3, 4q y el vector normal unitario a la superficie S es de la formanp2x,2y,1q?4x2`4y2`1 ademsds

    ?f2x`f2y`f2z|fz| reemplazando en la formula se tiene

    SrotF.nds

    Sp2, 3, 4q . p2x,2y,1q?

    4x2`4y2`1ds

    S

    4x`6y`4?

    x2`y2

    f

    |fz|dA

    D

    p4x ` 6y ` 4q dA

    1

    M09J170X.wmf1;

    cambiando dea coordenadas polares hacemosx

    r cos , y

    r sin se tiene

    SrotF.nds 2

    0

    30p4r cos ` 6r sin ` 4q rdrd

    36

    Ma