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´ Indice Introducci´ on Historia del producto vectorial Im´ agenes Aplicaciones Generalizaciones Metodolog´ ıa y Did´ actica Concl EL PRODUCTO VECTORIAL Juan Francisco Gonz´ alez Hern´ andez Juan Francisco Gonz´ alez Hern´ andez EL PRODUCTO VECTORIAL

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Page 1: EL PRODUCTO VECTORIAL - Universidad Autónoma de … · Estudiar la Historia del producto vectorial, el inicio del an alisis vectorial y el algebra abstracta moderna

Indice Introduccion Historia del producto vectorial Imagenes Aplicaciones Generalizaciones Metodologıa y Didactica Conclusiones

EL PRODUCTO VECTORIAL

Juan Francisco Gonzalez Hernandez

Juan Francisco Gonzalez Hernandez EL PRODUCTO VECTORIAL

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Indice Introduccion Historia del producto vectorial Imagenes Aplicaciones Generalizaciones Metodologıa y Didactica Conclusiones

1 IntroduccionObjetivos del trabajoMotivaciones y orientacion de la charla

2 Historia del producto vectorial

3 Imagenes

4 AplicacionesAplicaciones en MatematicasAplicaciones en Fısica

5 Generalizaciones

6 Metodologıa y Didactica

7 Conclusiones

Juan Francisco Gonzalez Hernandez EL PRODUCTO VECTORIAL

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Objetivos

Estudiar la Historia del producto vectorial, el inicio del analisisvectorial y el algebra abstracta moderna.

Conocer a los personajes historicos involucrados en la creacionde este producto tan “rarito”.

Ver algunas de sus aplicaciones en Matematicas y Fısica.

Despues de todo no es tan raro (R.A.E.)

Elucidar y comentar algunas de sus generalizaciones.

Exponer algunos trucos y metodologas pedagogicas paraalumnos de E.S.O. y Bachillerato, proponiendo algunassoluciones y correcciones a errores comunes.

Juan Francisco Gonzalez Hernandez EL PRODUCTO VECTORIAL

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Objetivos

Estudiar la Historia del producto vectorial, el inicio del analisisvectorial y el algebra abstracta moderna.

Conocer a los personajes historicos involucrados en la creacionde este producto tan “rarito”.

Ver algunas de sus aplicaciones en Matematicas y Fısica.

Despues de todo no es tan raro (R.A.E.)

Elucidar y comentar algunas de sus generalizaciones.

Exponer algunos trucos y metodologas pedagogicas paraalumnos de E.S.O. y Bachillerato, proponiendo algunassoluciones y correcciones a errores comunes.

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Objetivos

Estudiar la Historia del producto vectorial, el inicio del analisisvectorial y el algebra abstracta moderna.

Conocer a los personajes historicos involucrados en la creacionde este producto tan “rarito”.

Ver algunas de sus aplicaciones en Matematicas y Fısica.

Despues de todo no es tan raro (R.A.E.)

Elucidar y comentar algunas de sus generalizaciones.

Exponer algunos trucos y metodologas pedagogicas paraalumnos de E.S.O. y Bachillerato, proponiendo algunassoluciones y correcciones a errores comunes.

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Objetivos

Estudiar la Historia del producto vectorial, el inicio del analisisvectorial y el algebra abstracta moderna.

Conocer a los personajes historicos involucrados en la creacionde este producto tan “rarito”.

Ver algunas de sus aplicaciones en Matematicas y Fısica.Despues de todo no es tan raro (R.A.E.)

Elucidar y comentar algunas de sus generalizaciones.

Exponer algunos trucos y metodologas pedagogicas paraalumnos de E.S.O. y Bachillerato, proponiendo algunassoluciones y correcciones a errores comunes.

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Objetivos

Estudiar la Historia del producto vectorial, el inicio del analisisvectorial y el algebra abstracta moderna.

Conocer a los personajes historicos involucrados en la creacionde este producto tan “rarito”.

Ver algunas de sus aplicaciones en Matematicas y Fısica.Despues de todo no es tan raro (R.A.E.)

Elucidar y comentar algunas de sus generalizaciones.

Exponer algunos trucos y metodologas pedagogicas paraalumnos de E.S.O. y Bachillerato, proponiendo algunassoluciones y correcciones a errores comunes.

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Objetivos

Estudiar la Historia del producto vectorial, el inicio del analisisvectorial y el algebra abstracta moderna.

Conocer a los personajes historicos involucrados en la creacionde este producto tan “rarito”.

Ver algunas de sus aplicaciones en Matematicas y Fısica.Despues de todo no es tan raro (R.A.E.)

Elucidar y comentar algunas de sus generalizaciones.

Exponer algunos trucos y metodologas pedagogicas paraalumnos de E.S.O. y Bachillerato, proponiendo algunassoluciones y correcciones a errores comunes.

Juan Francisco Gonzalez Hernandez EL PRODUCTO VECTORIAL

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Motivaciones y orientaciones

1 Hacer el producto vectorial mas simpatico y agradable.

Despues de todo es una ×2 Aprender a explicar conceptos matematicos sutiles.

3 Resumen.

Juan Francisco Gonzalez Hernandez EL PRODUCTO VECTORIAL

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Motivaciones y orientaciones

1 Hacer el producto vectorial mas simpatico y agradable.Despues de todo es una ×

2 Aprender a explicar conceptos matematicos sutiles.

3 Resumen.

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Motivaciones y orientaciones

1 Hacer el producto vectorial mas simpatico y agradable.Despues de todo es una ×

2 Aprender a explicar conceptos matematicos sutiles.

3 Resumen.

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Motivaciones y orientaciones

1 Hacer el producto vectorial mas simpatico y agradable.Despues de todo es una ×

2 Aprender a explicar conceptos matematicos sutiles.

3 Resumen.

Juan Francisco Gonzalez Hernandez EL PRODUCTO VECTORIAL

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¿Que es el producto vectorial?

Producto vectorial

El producto vectorial es

una manera de fabricar cierto tipo de(pseudo)-vector

a partir de dos vectores

~A, ~B

Vector

Entonces, ¿que rayos es un vector? ¡Buena pregunta!

Un Matematico dirıa... Un Fısico dirıa... Una persona de la calledirıa...

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¿Que es el producto vectorial?

Producto vectorial

El producto vectorial es una manera de fabricar cierto tipo de

(pseudo)-vector

a partir de dos vectores

~A, ~B

Vector

Entonces, ¿que rayos es un vector? ¡Buena pregunta!

Un Matematico dirıa... Un Fısico dirıa... Una persona de la calledirıa...

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¿Que es el producto vectorial?

Producto vectorial

El producto vectorial es una manera de fabricar cierto tipo de(pseudo)-vector a partir de dos vectores

~A, ~B

Vector

Entonces, ¿que rayos es un vector? ¡Buena pregunta!

Un Matematico dirıa... Un Fısico dirıa... Una persona de la calledirıa...

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¿Que es el producto vectorial?

Producto vectorial

El producto vectorial es una manera de fabricar cierto tipo de(pseudo)-vector a partir de dos vectores ~A, ~B

Vector

Entonces, ¿que rayos es un vector? ¡Buena pregunta!

Un Matematico dirıa... Un Fısico dirıa... Una persona de la calledirıa...

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¿Que es el producto vectorial?

Producto vectorial

El producto vectorial es una manera de fabricar cierto tipo de(pseudo)-vector a partir de dos vectores ~A, ~B

Vector

Entonces, ¿que rayos es un vector? ¡Buena pregunta!

Un Matematico dirıa... Un Fısico dirıa... Una persona de la calledirıa...

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¿Que es el producto vectorial?

Producto vectorial

El producto vectorial es una manera de fabricar cierto tipo de(pseudo)-vector a partir de dos vectores ~A, ~B

Vector

Entonces, ¿que rayos es un vector? ¡Buena pregunta!

Un Matematico dirıa...

Un Fısico dirıa... Una persona de la calledirıa...

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¿Que es el producto vectorial?

Producto vectorial

El producto vectorial es una manera de fabricar cierto tipo de(pseudo)-vector a partir de dos vectores ~A, ~B

Vector

Entonces, ¿que rayos es un vector? ¡Buena pregunta!

Un Matematico dirıa... Un Fısico dirıa...

Una persona de la calledirıa...

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¿Que es el producto vectorial?

Producto vectorial

El producto vectorial es una manera de fabricar cierto tipo de(pseudo)-vector a partir de dos vectores ~A, ~B

Vector

Entonces, ¿que rayos es un vector? ¡Buena pregunta!

Un Matematico dirıa... Un Fısico dirıa... Una persona de la calledirıa...

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Sir W.R.Hamilton

Sobre W.R.Hamilton 1805-1866

Prodigio desde muy joven,

“Este joven, no voy a decir que sera,sino es el primer matematico de su edad” Brinkley, Royal IrishAcademy President

Problema(Hamilton)

Habiendo axiomatizado los numeros complejos en el plano: ¿Existeuna teorıa de ternas en el espacio?

V = a + bi + cj , con i2 = j2 = −1

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Sir W.R.Hamilton

Sobre W.R.Hamilton 1805-1866

Prodigio desde muy joven, “Este joven, no voy a decir que sera,sino es el primer matematico de su edad” Brinkley, Royal IrishAcademy President

Problema(Hamilton)

Habiendo axiomatizado los numeros complejos en el plano: ¿Existeuna teorıa de ternas en el espacio?

V = a + bi + cj , con i2 = j2 = −1

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Sir W.R.Hamilton

Sobre W.R.Hamilton 1805-1866

Prodigio desde muy joven, “Este joven, no voy a decir que sera,sino es el primer matematico de su edad” Brinkley, Royal IrishAcademy President

Problema(Hamilton)

Habiendo axiomatizado los numeros complejos en el plano: ¿Existeuna teorıa de ternas en el espacio?

V = a + bi + cj , con i2 = j2 = −1

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Sir W.R.Hamilton

Sobre W.R.Hamilton 1805-1866

Prodigio desde muy joven, “Este joven, no voy a decir que sera,sino es el primer matematico de su edad” Brinkley, Royal IrishAcademy President

Problema(Hamilton)

Habiendo axiomatizado los numeros complejos en el plano: ¿Existeuna teorıa de ternas en el espacio?

V = a + bi + cj , con i2 = j2 = −1

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Hamilton, el puente y los cuaternios

“Papa, ¿puedes multiplicar ternas?”Hamilton: “No, solo puedosumarlas y restarlas”

Hamilton encuentra finalmente la respuesta mientras da un paseopor el Brougham BridgeHa encontrado los cuaternios

Q = a + bi + cj + dk

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Hamilton, el puente y los cuaternios

“Papa, ¿puedes multiplicar ternas?”Hamilton: “No, solo puedosumarlas y restarlas”

Hamilton encuentra finalmente la respuesta mientras da un paseopor el Brougham Bridge

Ha encontrado los cuaternios

Q = a + bi + cj + dk

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Hamilton, el puente y los cuaternios

“Papa, ¿puedes multiplicar ternas?”Hamilton: “No, solo puedosumarlas y restarlas”

Hamilton encuentra finalmente la respuesta mientras da un paseopor el Brougham Bridge

Ha encontrado los cuaternios

Q = a + bi + cj + dk

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Hamilton, el puente y los cuaternios

“Papa, ¿puedes multiplicar ternas?”Hamilton: “No, solo puedosumarlas y restarlas”

Hamilton encuentra finalmente la respuesta mientras da un paseopor el Brougham BridgeHa encontrado los cuaternios

Q = a + bi + cj + dk

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Hamilton, el puente y los cuaternios

“Papa, ¿puedes multiplicar ternas?”Hamilton: “No, solo puedosumarlas y restarlas”

Hamilton encuentra finalmente la respuesta mientras da un paseopor el Brougham BridgeHa encontrado los cuaternios

Q = a + bi + cj + dk

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Hamilton, el puente y los cuaternios

“Papa, ¿puedes multiplicar ternas?”Hamilton: “No, solo puedosumarlas y restarlas”

Hamilton encuentra finalmente la respuesta mientras da un paseopor el Brougham BridgeHa encontrado los cuaternios

Q = a + bi + cj + dk

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Cuaternios y producto vectorial(I)

Parte escalar, parte pura

Un cuaternio puede imaginarse como la suma de dos partesdiferentes, una escalar o real y una parte imaginaria o pura llamadavector -del latın veher, dirigir.

Q =

a

+

bi + cj + dk

=

Re(Q) + Pu(Q)

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Cuaternios y producto vectorial(I)

Parte escalar, parte pura

Un cuaternio puede imaginarse como la suma de dos partesdiferentes, una escalar o real y una parte imaginaria o pura llamadavector -del latın veher, dirigir.

Q = a +

bi + cj + dk

=

Re(Q) + Pu(Q)

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Cuaternios y producto vectorial(I)

Parte escalar, parte pura

Un cuaternio puede imaginarse como la suma de dos partesdiferentes, una escalar o real y una parte imaginaria o pura llamadavector -del latın veher, dirigir.

Q = a + bi + cj + dk =

Re(Q) + Pu(Q)

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Cuaternios y producto vectorial(I)

Parte escalar, parte pura

Un cuaternio puede imaginarse como la suma de dos partesdiferentes, una escalar o real y una parte imaginaria o pura llamadavector -del latın veher, dirigir.

Q = a + bi + cj + dk = Re(Q) + Pu(Q)

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Cuaternios y producto vectorial(II)

Producto de dos cuaternios vectoriales

Resultado: la multiplicacion de dos cuaternios puros es igual alvalor del producto vectorial en el espacio tridimensional (De hechoes la definicion)

q1q2 = (y1z2 − z1y2) i + (z1x2 − x1z2) j + (x1y2 − y1x2) k−

− (x1x2 + y1y2 + z1z2)

Forma compacta del producto de dos cuaternios puros:

q1q2 = a× b − a · b

Q = (A,X) (a,Y) = (Aa− X · Y,AY + aX + X× Y)

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Cuaternios y producto vectorial(II)

Producto de dos cuaternios vectoriales

Resultado: la multiplicacion de dos cuaternios puros es igual alvalor del producto vectorial en el espacio tridimensional (De hechoes la definicion)

q1q2 = (y1z2 − z1y2) i + (z1x2 − x1z2) j + (x1y2 − y1x2) k−

− (x1x2 + y1y2 + z1z2)

Forma compacta del producto de dos cuaternios puros:

q1q2 = a× b − a · b

Q = (A,X) (a,Y) = (Aa− X · Y,AY + aX + X× Y)

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Cuaternios y producto vectorial(II)

Producto de dos cuaternios vectoriales

Resultado: la multiplicacion de dos cuaternios puros es igual alvalor del producto vectorial en el espacio tridimensional (De hechoes la definicion)

q1q2 = (y1z2 − z1y2) i + (z1x2 − x1z2) j + (x1y2 − y1x2) k−

− (x1x2 + y1y2 + z1z2)

Forma compacta del producto de dos cuaternios puros:

q1q2 = a× b − a · b

Q = (A,X) (a,Y) = (Aa− X · Y,AY + aX + X× Y)

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Cuaternios y producto vectorial(II)

Producto de dos cuaternios vectoriales

Resultado: la multiplicacion de dos cuaternios puros es igual alvalor del producto vectorial en el espacio tridimensional (De hechoes la definicion)

q1q2 = (y1z2 − z1y2) i + (z1x2 − x1z2) j + (x1y2 − y1x2) k−

− (x1x2 + y1y2 + z1z2)

Forma compacta del producto de dos cuaternios puros:

q1q2 = a× b − a · b

Q = (A,X) (a,Y) = (Aa− X · Y,AY + aX + X× Y)

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Cuaternios y producto vectorial(II)

Producto de dos cuaternios vectoriales

Resultado: la multiplicacion de dos cuaternios puros es igual alvalor del producto vectorial en el espacio tridimensional (De hechoes la definicion)

q1q2 = (y1z2 − z1y2) i + (z1x2 − x1z2) j + (x1y2 − y1x2) k−

− (x1x2 + y1y2 + z1z2)

Forma compacta del producto de dos cuaternios puros:

q1q2 = a× b − a · b

Q = (A,X) (a,Y) = (Aa− X · Y,AY + aX + X× Y)

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Evolucion

Graves manda una carta a Hamilton sobre las “octavas”(numeros de Cayley)

Heaviside, Gibbs y Wilson popularizan el analisis vectorial. Loscuaternios son estrafalarios.

Pugna entre corrientes cuaternionista y vectorialista. Gananlos vectores ( cuaternios imaginarios)

¿Pueden sumarse peras y fresas?

Desarrollo a dimensiones superiores por Grassmann y Clifford (aparentemente innecesario para tecnicos e ingenieros)

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Evolucion

Graves manda una carta a Hamilton sobre las “octavas”(numeros de Cayley)

Heaviside, Gibbs y Wilson popularizan el analisis vectorial. Loscuaternios son estrafalarios.

Pugna entre corrientes cuaternionista y vectorialista. Gananlos vectores ( cuaternios imaginarios)

¿Pueden sumarse peras y fresas?

Desarrollo a dimensiones superiores por Grassmann y Clifford (aparentemente innecesario para tecnicos e ingenieros)

Juan Francisco Gonzalez Hernandez EL PRODUCTO VECTORIAL

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Evolucion

Graves manda una carta a Hamilton sobre las “octavas”(numeros de Cayley)

Heaviside, Gibbs y Wilson popularizan el analisis vectorial. Loscuaternios son estrafalarios.

Pugna entre corrientes cuaternionista y vectorialista. Gananlos vectores ( cuaternios imaginarios)

¿Pueden sumarse peras y fresas?

Desarrollo a dimensiones superiores por Grassmann y Clifford (aparentemente innecesario para tecnicos e ingenieros)

Juan Francisco Gonzalez Hernandez EL PRODUCTO VECTORIAL

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Evolucion

Graves manda una carta a Hamilton sobre las “octavas”(numeros de Cayley)

Heaviside, Gibbs y Wilson popularizan el analisis vectorial. Loscuaternios son estrafalarios.

Pugna entre corrientes cuaternionista y vectorialista. Gananlos vectores ( cuaternios imaginarios)

¿Pueden sumarse peras y fresas?

Desarrollo a dimensiones superiores por Grassmann y Clifford (aparentemente innecesario para tecnicos e ingenieros)

Juan Francisco Gonzalez Hernandez EL PRODUCTO VECTORIAL

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Evolucion

Graves manda una carta a Hamilton sobre las “octavas”(numeros de Cayley)

Heaviside, Gibbs y Wilson popularizan el analisis vectorial. Loscuaternios son estrafalarios.

Pugna entre corrientes cuaternionista y vectorialista. Gananlos vectores ( cuaternios imaginarios)

¿Pueden sumarse peras y fresas?

Desarrollo a dimensiones superiores por Grassmann y Clifford (aparentemente innecesario para tecnicos e ingenieros)

Juan Francisco Gonzalez Hernandez EL PRODUCTO VECTORIAL

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Producto vectorial hoy

C = A× B =

∣∣∣∣∣∣i j kAx Ay Az

Bx By Bz

∣∣∣∣∣∣ (1)

C = A× B = (AyBz − AzBy ,AzBx − AxBz ,AxBy − AyBx) (2)

C = (Cx ,Cy ,Cz) = (AyBz − AzBy ,AzBx − AxBz ,AxBy − AyBx)(3)

Cx = AyBz − AzBy (4)

Cy = AzBx − AxBz (5)

Cz = AxBy − AyBx (6)

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Producto vectorial hoy

C = A× B =

∣∣∣∣∣∣i j kAx Ay Az

Bx By Bz

∣∣∣∣∣∣ (1)

C = A× B = (AyBz − AzBy ,AzBx − AxBz ,AxBy − AyBx) (2)

C = (Cx ,Cy ,Cz) = (AyBz − AzBy ,AzBx − AxBz ,AxBy − AyBx)(3)

Cx = AyBz − AzBy (4)

Cy = AzBx − AxBz (5)

Cz = AxBy − AyBx (6)

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Hamilton ayer

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Hamilton ayer

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Hamilton ayer

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Nabla

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Hamilton hoy dıa

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Hamilton hoy dıa

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Detalles del puente en la actualidad

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Detalles del puente en la actualidad

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Otros personajes mencionados

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Otros personajes mencionados

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Otros personajes mencionados

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Calculo de superficies

Area�AB = |~A× ~B|

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Teorema de Stokes

∫Σ∇× v · dΣ =

∫∂Σ

v · dr

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Lie y el producto vectorial

Υ : R3 −→ A (M3×3)

~a× 7−→ Υ (~a×) = A ∈ so(3)

a× b = [a]×b =

0 −a3 a2

a3 0 −a1

−a2 a1 0

b1

b2

b3

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Otras aplicaciones

Las esferas en dimensiones 0,1,3,7 son paralelizables, en terminosmatematicos son una fibra, y admiten lo que se llaman unafibracion de Hopf. Esto tiene consecuencias aritmeticas, como elteorema de los 2, 4 y 8 cuadrados, o tambien sorprendentesaplicaciones en Topologıa y Teorıa de Grafos. De hecho,L.H.Kauffman ha probado que el teorema de los 4 colores esequivalente a un problema algebraico de asociar en multipletes noambiguos n-uplas de productos vectoriales tridimensionales.

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Dos ejemplos tıpicos y uno poco conocido

Momento angular = ~L = ~r × ~p = ~r ×m~v

Torque = Momento de una fuerza = ~τ = ~r × ~F

A = p× L−mk r

Otras: Sistemas de referencia no inerciales, redes de Bravais,expresion de la fuerza de Lorentz y vector de Poynting, ley deBiot-Savart, ecuaciones de Maxwell, rotacional y vorticidad.

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Dos ejemplos tıpicos y uno poco conocido

Momento angular = ~L = ~r × ~p = ~r ×m~v

Torque = Momento de una fuerza = ~τ = ~r × ~F

A = p× L−mk r

Otras: Sistemas de referencia no inerciales, redes de Bravais,expresion de la fuerza de Lorentz y vector de Poynting, ley deBiot-Savart, ecuaciones de Maxwell, rotacional y vorticidad.

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Dos ejemplos tıpicos y uno poco conocido

Momento angular = ~L = ~r × ~p = ~r ×m~v

Torque = Momento de una fuerza = ~τ = ~r × ~F

A = p× L−mk r

Otras: Sistemas de referencia no inerciales, redes de Bravais,expresion de la fuerza de Lorentz y vector de Poynting, ley deBiot-Savart, ecuaciones de Maxwell, rotacional y vorticidad.

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Dos ejemplos tıpicos y uno poco conocido

Momento angular = ~L = ~r × ~p = ~r ×m~v

Torque = Momento de una fuerza = ~τ = ~r × ~F

A = p× L−mk r

Otras: Sistemas de referencia no inerciales, redes de Bravais,expresion de la fuerza de Lorentz y vector de Poynting, ley deBiot-Savart, ecuaciones de Maxwell, rotacional y vorticidad.

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Las generalizaciones son posibles...pero excepcionales ysofisticadas

1 Algebras normadas en D=1, 2, 4, 8

2 Producto exterior y Algebra de Grassmann

3 Forma de volumen y dual de Hodge

4 Algebras de Clifford

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Las generalizaciones son posibles...pero excepcionales ysofisticadas

1 Algebras normadas en D=1, 2, 4, 8

2 Producto exterior y Algebra de Grassmann

3 Forma de volumen y dual de Hodge

4 Algebras de Clifford

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Las generalizaciones son posibles...pero excepcionales ysofisticadas

1 Algebras normadas en D=1, 2, 4, 8

2 Producto exterior y Algebra de Grassmann

3 Forma de volumen y dual de Hodge

4 Algebras de Clifford

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Las generalizaciones son posibles...pero excepcionales ysofisticadas

1 Algebras normadas en D=1, 2, 4, 8

2 Producto exterior y Algebra de Grassmann

3 Forma de volumen y dual de Hodge

4 Algebras de Clifford

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La regla del tornillo y del sacacorchos

Tornillo-Sacacorchos Demasiados cacharros

La direccion y sentido del producto vectorial son las de un tornilloo sacacorchos, que gira del primer vector al segundo por el caminomas corto.

Problemas

No siempre hay tornillos y sacacorchos en clase. Se enfatiza elaspecto manual de la operacion. Queremos potenciar lascapacidades cognitivas, no tanto las psicomotoras.

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La regla de la mano derecha

Mano derecha Demasiadas manos

Dir. y sent. del producto vectorial se obtienen con el pulgar de lamano derecha, orientando correctamente los dedos ındice y corazonde forma que recaigan correctamente en los vectores operando.

Problemas

Zurdos, diestros, ambidiestros; y regla de la mano izquierda:horroroso.

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La tecnica e intuicion algebraicas

La mejor manera de aprender el producto vectorial es conrecursos algebraicos.

El motivo es que el producto es naturalmente un“subproducto” algebraico.

Usar preferentemente el determinante, Sarrus y pensarespacialmente. Truco de yuxtaponer columnas para evitarerrores de signo.

Palabras magicas XYZZY y sus permutaciones naturales. (Bibidi-Babidi-Bu)

Uso de diagramas mnemotecnicos.

Para alumnos avanzados o curiosos: mostrar historia y trucode cuaternios.

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Razones de las dificultades del producto vectorial

No es conmutativo, como sus parientes: las matrices.

No es asociativo, relacionado con los grupos de Lie. Vayabicho

Su naturaleza real es tetradimensional, por eso es tan raro enel espacio tridimensional. Vinculado a estructuras algebraicasexcepcionales.

¿Relatividad algebraica?

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Razones de las dificultades del producto vectorial

No es conmutativo, como sus parientes: las matrices.

No es asociativo, relacionado con los grupos de Lie. Vayabicho

Su naturaleza real es tetradimensional, por eso es tan raro enel espacio tridimensional. Vinculado a estructuras algebraicasexcepcionales.

¿Relatividad algebraica?

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Razones de las dificultades del producto vectorial

No es conmutativo, como sus parientes: las matrices.

No es asociativo, relacionado con los grupos de Lie. Vayabicho

Su naturaleza real es tetradimensional, por eso es tan raro enel espacio tridimensional. Vinculado a estructuras algebraicasexcepcionales.

¿Relatividad algebraica?

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Razones de las dificultades del producto vectorial

No es conmutativo, como sus parientes: las matrices.

No es asociativo, relacionado con los grupos de Lie. Vayabicho

Su naturaleza real es tetradimensional, por eso es tan raro enel espacio tridimensional. Vinculado a estructuras algebraicasexcepcionales.

¿Relatividad algebraica?

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Mapa conceptual final

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