FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 

Para factorizar polinomios hay varios métodos: 

1. Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice:

 yaxayxa ..).(

 

Pues bien, si nos piden factorizar la expresión yaxa .. , basta aplicar la propiedad distributiva y decir que  

).(.. yxayaxa  Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes. Por

ejemplo, si nos piden factorizar la expresión xxx 181236 32 , será 

)326(6181236 232 xxxxxxdonde 6 es el máximo común divisor de 36, 12 y 18Para comprobar si la factorización se ha hecho correctamente, basta efectuar la multiplicación, aplicando la propiedad distributiva de la parte derecha de la igualdad, y nos tiene que dar la parte izquierda. 

Otro ejemplo: Factorizar 22 624 ababba

 )312(2624 22 baabababba ¡Atención a cuando sacamos un sumando

completo!, dentro del paréntesis hay que poner un uno. Tener en cuenta que si

hubiéramos puesto )32(2624 22 baabababba y quiero comprobar si está bien,

multiplico y me da 22 64)32(2 abbabaab pero no

22 624 ababba como me tendría que haber dado.

Sin embargo si efectúo 22 6243.21.22.2)312(2 ababbabababaabbaab

 Otros ejemplos: 

242 323963 xxxxxx

1

3

222

3

42 223 xxxxxx

 2. Si se trata de una diferencia de cuadrados: Es igual a suma por diferencia.

Se basa en la siguiente fórmula  22 bababa

 

Pero aplicada al revés, o sea que si me dicen que factorice 22 ba escribo

  bababa 22

Otros ejemplos de factorización por este método: 

121214 2 xxx

4416 224 xxx

3

2

23

2

29

4

4

22 bababa

 3. Si se trata de un trinomio cuadrado perfecto: Es igual al cuadrado de un

binomio Se basa en las siguientes fórmulas  222 2 bababa y 222 2 bababa

 

Así si nos dicen que factoricemos: 22 2 baba , basta aplicar la fórmula anterior y

escribir que 

222 2 bababa  Otros ejemplos de factorización por este método: 

22 321294 xxx22 )5(2510 xxx

22 2

2

142

4

1

xxx

 4. Si se trata de un trinomio de segundo grado: O sea un polinomio de este tipo

cbxax 2, siendo a, b y c números

 

Se iguala el trinomio a cero 02 xbxax , se resuelve la ecuación

a

acbbx

2

42

, y si tiene dos soluciones distintas, 1x y 2x se aplica la siguiente

fórmula: 212 xxxxacbxax

 

Veamos un ejemplo: Factorizar el polinomio 352 2 xx

Igualamos a cero 0352 2 xx

Resolvemos la ecuación 4

75

4

24255

x

, y separando las dos soluciones

2

1

4

21 x

, 3

4

122

x

, y aplicando la fórmula, teniendo en cuenta que a=2

32

12352 2

xxxx

  

5. Para cualquier polinomio que tenga raíces enteras se puede aplicar la regla de Ruffini: Decir que un polinomio tienes raíces enteras es encontrar valores de x números enteros que al sustituirlos en el polinomio nos da cero.

 

Si un polinomio de , por ejemplo, cuarto grado edxcxbxax 234 tiene cuatro

raíces enteras, 1x , 2x , 3x y 4x se factoriza así:  

4321234 xxxxxxxxaedxcxbxax

 Pero ¿cómo se obtienen las raíces?, por la regla de Ruffini 

Ejemplo: Factorizar 12164 234 xxxx

Se aplica la regla de Ruffini, probando los divisores del término independiente, en este caso de 12. O sea que se prueba con 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y –12 Probemos con unoSe copian los coeficientes del polinomio:

 1 -4 -1 16 -12

  Y se escribe en una segunda línea el número uno  

  1 -4 -1 16 -121                     

 El primer coeficiente se copia abajo en una tercera línea 

  1 -4 -1 16 -121            1        

 Se multiplica ese coeficiente, uno (1), por el número que estamos probando, en este caso también uno (1), o sea uno por uno = uno (1). Este uno se escribe debajo del siguiente coeficiente, o sea del –4 

  1 -4 -1 16 -121   1        1        

Se suma –4+1=-3 

  1 -4 -1 16 -12

1   1        1 -3      

Se multiplica –3 por 1=-3 y se escribe debajo del siguiente coeficiente, -1  

  1 -4 -1 16 -121   1 -3      1 -3      

Se suma –3-1=-4 y así sucesivamente 

  1 -4 -1 16 -121   1 -3 -4 12  1 -3 -4 12 0

Como vemos la última suma ha dado cero. Eso quiere decir que uno es una raíz del polinomio y que nos sirve para factorizar.Si hubiera dado distinto de cero habría que seguir probando los demás divisores de 12.Los coeficientes que han quedado en la última fila, en realidad son los coeficientes del cociente de dividir el polinomio entre x-1, y la última suma es el resto de dicha división.Si escribimos la relación fundamental de una división entera, o sea queDividendo=Divisor x Cociente+Resto 

12164 234 xxxx = 012431 23 xxxx = 12431 23 xxxx

 De hecho ya hemos factorizado el polinomio, pero el segundo factor de tercer grado hay que intentar seguir factorizando, de nuevo por la regla de Ruffini.Aplicando sucesivas veces esta regla queda: 

  1 -4 -1 16 -121   1 -3 -4 12  1 -3 -4 12 02   2 -2 -12    1 -1 -6 0  

-2   -2 6      1 -3 0    

 Como las raíces son, 1, 2 y –2 y el último cociente es x-3La factorización final es: 

12164 234 xxxx = 3221 xxxx

 Si en las sucesivas pruebas no encontramos ningún resto cero, quiere decir que el polinomio no se puede factorizar dentro de los números reales. EN RESUMEN Muchas veces se pueden combinar estos cinco métodos. Según como sea el polinomio hay métodos que se pueden aplicar y otros que no. Se aconseja que se intenten aplicar los cinco métodos sucesivamente, sobre todo, si se puede sacar

factor común se hace en primer lugar, y si luego en uno de los factores se puede seguir aplicando otros de los métodos, se aplica.    EJEMPLOS: Factorizar los siguientes polinomios 

1.- xxx 23 2

Podemos aplicar el primer método, o sea sacar factor común 122 223 xxxxxx

El segundo factor, o sea el paréntesis, es un trinomio de segundo grado y cuadrado perfecto. Se puede factorizar por el tercero, cuarto o quinto método. Apliquemos el tercero y queda:

122 223 xxxxxx = 21xx

 

2.- xx 483 5

Primero sacamos factor común: 163483 45 xxxx

Al paréntesis le podemos aplicar el segundo método y queda: 163483 45 xxxx = 443 22 xxx

Y aún más, al segundo paréntesis le podemos volver a aplicar el segundo método: 443483 225 xxxxx = 4223 2 xxxx

El polinomio de segundo grado que queda en el tercer paréntesis no se puede factorizar. Si probamos el cuarto método, igualando a cero y resolviendo la ecuación queda

042 x42 x

4x que no tiene solución real. 

3.- 304112 23 xxx

 Sólo podemos aplicar el quinto método, o sea Ruffini: 

  1 -12 41 -301   1 -11 30  1 -11 30 05   5 -30    1 -6 0  

 

304112 23 xxx = 651 xxx

 

4.- 18153 2 xx

 Primero sacamos factor común 

18153 2 xx = 653 2 xx

Igualamos a cero el paréntesis y resolvemos la ecuación: 2

24255 x

que origina dos soluciones, -3 y –2, por tanto la factorización completa es:

18153 2 xx = 233 xx