UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLOFACULTAD DE CIENCIAS HISTRICOS SOCIALES Y EDUCACIN

Tema: El desarrollo del pensamiento lgico matemtico.Curso: Razonamiento lgico matemtico I.Alumna: Bermeo Cubas Sandy.Docente: Rodas Malca Agustn.Especialidad: Educacin primaria.Ciclo: IV.Ao: 2014

ESTRUCTURA DEL TRABAJO:I.RESUMEN:Las investigaciones sobre el desarrollo del pensamiento lgico matemtico y en especial aquellas que lo hacen con base en la integracin de habilidades, han sido muy prolficas y han dado lugar a la aparicin de muchos modelos interpretativos, fundamentalmente a partir de los ltimos siglos teniendo como base eje la nocin del numero aplicados a los nios desde sus primeras edades. As mismo ofrece un anlisis que pretende explicar los procesos conducentes a este desarrollo es decir: su gnesis, naturaleza, mecanismos, esquemas, y la importancia de la experiencia en contextos particulares culturalmente definidos en su formacin. Al final, se concluye una visin prctica de lo que debera ser la instruccin matemtica con el objeto de acercar los procesos investigativos y tericos a la realidad del aula y de los estudiantes.II.ESTRUCTURA DE IDEAS:2.1. IDEAS PRINCIPALES EXPLICITAS: En el proceso de interaccin sujetoobjeto tenemos, por tanto, tres elementos (sujeto), () y (objeto). El primer elemento de la terna, es decir, el sujeto, es el conocedor y el conocimiento lo puede extraer del propio sujeto (metacognicin), de la interaccin con el objeto (cognicin o conocimiento lgico-matemtico) o del objeto (cognicin o conocimiento fsico). De esta manera la apropiacin de los saberes y de los contenidos especficos de las matemticas es una forma de conocimiento lgico-matemtico, pero, evidentemente, no es la nica posible.

El nmero es una de las doce categoras kantianas reformuladas por Piaget que pertenece a la funcin implicativa de la inteligencia y que, por lo tanto, tiene como funcin la discretizacin del continuo (asimilacin del universo). Como todas las categoras que permiten la adaptacin del sujeto a su entorno, se encuentra regulada por la funcin organizadora de la inteligencia, lo que equivale a decir que es unatotalidadindependiente del resto de las categoras, con unsistema de relacionesque le es propio, unos finesespecficos y unosmedios(valores) adecuados al logro de esos fines.

De esta manera podramos interpretar nuestro estudio desde la perspectiva de un diagrama configurado por tres conjuntos que representaran los tres elementos configuradores del proceso de cuantificacin en el hombre: clases, relaciones (asimtricas) y nmero. Utilizando una terminologa y una interpretacin puramente piagetiana, diremos que nos encontramos con las tres posibles formas de equilibracin cognitiva (asimilacin acomodacin), al menos en lo que hace referencia a los procesos de cuantificacin que nos ocupan en este trabajo.

La estructura que determina el sistema de cuantificacin, coordina todos los subsistemas cuantificadores de la realidad (intensiva, extensiva simple y extensiva mtrica), se establece que, de todos los posibles esquemas que pueden dar solucin al problema y puesto que lo que se pide es la comparacin del todo con una de sus partes, de acuerdo con la teora de la economa del pensamiento, la acomodacin ms eficiente es realizada por la estructura de clasificacin mediante la utilizacin de unesquema de inclusin.

La unidad funcional de conducta (esquema) que permite la solucin ms eficiente a un problema, que dada la disposicin espacial de los elementos, es elesquema de correspondencia uno-a-uno.

Sin embargo, el esquema de correspondencia uno-a-uno, es tambin un esquema numrico por cuanto, por ejemplo, contar, es, entre otras cosas, establecer una correspondencia biunvoca entre unas palabras (numerales) y unos objetos, por lo que podramos decir que el esquema de correspondencia uno-a-uno supone la necesaria coordinacin de los subsistemas de nmero y clase (zona 5 del diagrama).

Al tener que comparar las partes entre s, debemos recurrir a un proceso de cuantificacin extensiva, pero ahora parece ms eficiente un proceso iterativo, es decir un proceso de cuantificacin extensiva mtrica. Quizs, de nuevo en aras de la eficiencia del proceso, el esquema de conteo sea el ms adecuado para darle solucin al problema.

La coordinacin de esquemas, necesaria para la constitucin de un sistema cuantificador en el hombre, supone la integracin de los mismos (afirmacin), esta misma coordinacin supone tambin la exclusin (negacin) mutua de algunos esquemas. Esta negacin se podra matizar bajo dos aspectos diferenciados: negacin por pertinencia funcional o negacin por pertinencia material.

La coordinacin de esquemas es un nuevo esquema que enriquece a los preexistentes por la ley que los coordina: por ejemplo, la coordinacin de esquemas aditivos y multiplicativos hace que el pensamiento sea distributivo: a. (b+c) = a.b+ a.c.

A falta de la constitucin de un sistema de relaciones diferenciado, la organizacin del pensamiento lgico-matemtico del sujeto se presenta como una totalidad catica constituida por unos esquemas indiferenciados (medios) desde el punto de vista de los fines (lo que podramos definir como etapa de indiferenciacin de esquemas.

El nio ir dotando a su pensamiento lgico-matemtico de la movilidad suficiente (sistema de relaciones) para organizar la informacin que extrae de su accin sobre la realidad en un sistema de conjunto (totalidad) con unos medios y unos fines determinados pero puestos siempre al servicio de la discretizacin del medio (etapa de integracin de los esquemas en un sistema de conjunto) para interpretarlo de forma coherente, efectiva (equilibracin) y cada vez ms eficiente (economa del pensamiento).

Sin embargo, y aunque las relaciones de equivalencia se mantienen para ambos tipos de cualidades, la numerosidad de un conjunto no es considerada como una cualidad fsica' del mismo, como lo puede ser el tamao, el color, la textura, etc.

Los componentes incluidos en el proceso de cuantificacin extensiva, simple o mtrica, son elementos de gran relevancia a la hora de explicar la construccin del nmero en el nio, quizs, porque, como deca Marcel Boll en suHistoire des Mathmatiques.

A partir de lo que Pierre Grco denomin conservacin de la cotidad, el nmero es un instrumento cognitivo para la comparacin de conjuntos a fin de determinar su posible equipotencia. Esto coincide, en el mbito de las clases y de las relaciones asimtricas a una prdida del componente espacial y objetal (lo esttico de la acomodacin) y a una ganancia de lo temporal y lo causal (lo dinmico de la acomodacin).

Conocimiento fsicoyconocimiento lgico-matemticose constituyen as en uneje bipolarpara interpretar el mundo.

A la hora de contar el conjunto formado por una canica roja, una canica azul y una canica amarilla. Llegaremos a la conclusin de que sea cual fuere el orden en el que se cuenten los elementos del conjunto siempre obtenemos por resultado tres', por tanto, el cardinal de un conjunto parece ser independiente del orden en que se cuenten sus elementos.

El residuo delrazonamiento transductivode los sujetos (propio de laetapa preconceptual) hace que, en este primer nivel de laetapa intuitiva, sus ejecuciones estn dominadas por la sucesividad inter-colecciones', como durante la etapa anterior determin la sucesividad intra-colecciones', es decir, ahora hay simultaneidad intra-coleccin (inductividad) y sucesividad inter-coleccin (transductividad).

Igualmente, al mismo tiempo que trabajamos las relaciones ms que / menos que o mayor que / menor que con distintos criterios y cualidades fsicas, tambin deberamos hacerlo con los criterios de nmero y las cualidades numricas establecidas en los conjuntos. Esta ordenacin tambin se debera introducir a otras cualidades de lo real (sonidos ms grave, menos grave-; colores ms rojo, menos rojo-; etc.) porque todo es seriable'.

Para Piaget, el sistema cognitivo humano est constituido por dos subsistemas: El subsistema I (que es el sistema de comprender o conceptual) y el subsistema II (que es el sistema de saber hacer o procedimental), es decir que, para Piaget, conocer es, indisociablemente, comprender y saber hacer. La coordinacin de esquemas aditivos y multiplicativos hace que el pensamiento se dote de una nueva ley (ley distributiva) por lo que decimos que, ahora, el pensamiento esdistributivo. El hecho de que un sujeto adquiera o construya un esquema aditivo, multiplicativo o partitivo, incluso que su pensamiento sea distributivo, no quiere decir que sepa sumar, multiplicar o dividir, en el sentido aritmtico de estos trminos. Lo que quiere decir es que posee instrumentos cognitivos para iniciar, de alguna forma, el aprendizaje de las operaciones aritmticas.

El aprendizaje de la suma y de la multiplicacin requiere un cierto nivel de desarrollo de los esquemas aditivos y multiplicativos, respectivamente.

Uno de los problemas de la enseanza en general, y de las matemticas en particular, es que el maestro tiende a que el sujeto sepa hacer', lo que equivale a decir que se fija objetivos procedimentales descuidando los objetivos declarativos, con lo que est castrando el sistema cognitivo del individuo.

Siguiendo la propuesta de Kitcher, el conocimiento matemtico se genera a partir de un conjunto de cuestiones importantes y de problemas no resueltos; pero, ojo!, de cuestiones importantes para el sujeto (motivacin) y de problemas no resueltos por el sujeto pero que se encuentren, como dira Vygotsky, en su zona de desarrollo prximo, es decir, que se puedan resolver mediante procesos de equilibracin mayorante. Este componente determina los objetivos y contenidos educativos en el proceso de enseanza y aprendizaje y justifica cualquier opcin metodolgica en el seno del paradigma constructivista que garantiza, no slo la construccin de significados (cognicin), sino, adems, la atribucin de sentido (motivacin).

Kitcher postula que el conocimiento matemtico depende de un conjunto de visiones del hacer matemtico, es decir, de cmo se hacen matemticas. Las cuatro grandes lneas bsicas en el saber y en el hacer matemtico son las siguientes: constructivista, empirista, logicista, formalista.

Todas las actividades deberan plantearse segn una estructura de tarea que favoreciera la interaccin entre iguales y la organizacin cooperativa del aula. El proceso de interaccin entre iguales es fundamental para la adquisicin del conocimiento y, tanto desde planteamientos sustantivos y tericos de carcter general -bien sea desde la perspectiva dela Escuela de Ginebra (conflicto socio-cognitivo), bien sea desde la perspectiva vigotskiana (zona de desarrollo potencial)-, como desde planteamientos especficos (investigaciones especficas en aprendizaje cooperativo) se pone de manifiesto la rentabilidad de la interaccin entre iguales. En este sentido, una buena parte de nuestra investigacin se ha centrado en el trabajo cooperativo en el aula, abarcando, tanto aspectos generales, como aspectos aplicados al mbito de la enseanza de las matemticas.

La elaboracin de actividades de aprendizaje para la adquisicin del nmero y los esquemas lgico-matemticos de base, no es una tarea fcil, pero adems, el profesor se encuentra con una serie de limitaciones que van desde su propia e inadecuada formacin, hasta defectos del sistema, pasando por tpicos errneos y tradiciones nefastas.

En este sentido hemos de tener en cuenta que, en el momento actual, la enseanza y el aprendizaje de las matemticas desde la perspectiva de un paradigma constructivista, es un deseo universalizado que emana desde todas nuestras instancias educativas y que intenta plasmarse tanto desde la perspectiva del macro diseo instruccional (esferas de decisin poltica), como del micro diseo (escuelas y aulas). Krieger nos dice que la matemtica es un instrumento y un oficio. Como instrumento es til porque se adapta al material que encuentra, es decir, al mundo natural y a las ciencias. Pero, a la vez, ese material tambin se adapta para ponerse de acuerdo con las capacidades matemticas. Un acuerdo nunca perfecto con lagunas entre ambos polos que obliga a realizar modificaciones en la matemtica para ponerse de acuerdo con el material que la entorna; pero tambin el mundo, el material, tiene que modificarse para esa adaptacin.

La nica enseanza vlida de las matemticas, sea cual sea el prisma que se utilice, debe partir de la realidad y debe tener como destinataria esa misma realidad.

Desde que Paul Benacerraf publicara su clebre dilema conocemos los cuatro elementos esenciales del saber matemtico:

El conocimiento matemtico se basa en una posicin epistemolgica (que se ha dado en llamarepistemologa del sentido comn) de naturaleza causal. El conocimiento matemtico exige la interaccin entre el sujeto y el objeto. Los objetos matemticos son entidades existentes. Los objetos matemticos no pueden ser entidades abstractas y han de estar localizados espacio-temporalmente.2.2. IDEAS PRINCIPALES IMPLICITAS: Se entiende por pensamiento lgico matemtico el conjunto de habilidades que permiten resolver operaciones bsicas, analizar informacin, hacer uso del pensamiento reflexivo y del conocimiento del mundo que nos rodea, para aplicarlo a la vida cotidiana.

Su desarrollo implica que desde la infancia se proporcionen al nio o nia una serie de estrategias que permitan el desarrollo de cada uno del pre requisitos necesarios para entender y practicar procesos de pensamiento lgico matemtico.

Para lograr la comprensin del desarrollo del pensamiento a continuacin se propone la teora de Piaget, un sustento terico que orienta el proceso de habilidades necesarias para procesar la informacin y asimilarla de forma ms estructurada, complementando la memoria, estrategia tradicional empleada en el contexto escolar.

Es importante reconocer la aplicacin de esquemas, ante un conjunto que se le plantea al nio con el fin de poder llegar a su solucin.

Hay que tener en cuenta que el estudio de las matemticas son muy importantes para nuestras vidas ya que son un instrumento de transmisin de la cultura.

El docente de hoy en da debe estar preparado o actualizado de las estrategias o mtodos que aplicara en el desarrollo de la matemtica, es decir como dice Simons: El maestro que ensea matemticas debe conectar estas con la realidad para no parecerse al matemtico que describe.

2.3. IDEAS PRINCIPALES CON RELACION DE PALABRAS: Paulatinamente se va produciendo una diferenciacin demediosyfinesque obliga a recurrir a la utilizacin de dossistemas de relacionesdiferentes e independientes que, por tanto, no pueden llegar a coordinarse en una estructura de conjunto (en una nicatotalidad), lo que supone que los conjuntos tengan unas cualidades diferenciadas, desde una perspectiva operatoria y funcional: cualidades numricas y cualidades no numricas (lo que podra ser asumido como una etapa dediferenciacin de esquemas sin integracin).

Las unidades (funcionales) de conducta mediante las cules el sujeto interacta con su entorno reciben el nombre de esquemas. Un esquema es una forma que se aplica a un contenido (sin lugar a dudas, que el contenido puede ser otro esquema e incluso el mismo esquema). Los esquemas actan en tres niveles que se corresponden con los tres niveles de equilibracin cognitiva descritos. Por un lado, los esquemas se aplican sobre la realidad o sobre representaciones de la realidad y, en su caso, sobre los propios esquemas.

Es evidente que en este proceso de interaccin el sujeto slo puede extraer informacin de dos elementos: la accin y el objeto. Pues bien, la informacin que el sujeto extrae del objeto recibe el nombre deconocimiento fsicoy la informacin que extrae de su accin sobre el objeto recibe el nombre deconocimiento lgico-matemtico.

Un enriquecimiento de los esquemas de clasificacin que va a marcar la posibilidad de trnsito de la subetapa deintuiciones simplesa la deintuiciones articuladas.

Sin embargo, aunque slo existen dos subsistemas cognitivos (comprender y saber hacer) y parece que ambos se encuentran dotados de los instrumentos adecuados (esquemas presentativos y esquemas procedimentales), es necesario recurrir a un tercer conjunto de esquemas porque existe un conocimiento que es indisociablemente declarativo y procedimental. Este tercer conjunto de esquemas es nominado por Piaget con el nombre gentico deesquemas operatorios.

Esto es as, independientemente de la disposicin espacial de los elementos del conjunto, por tanto, no est sujeto a variaciones espacio-temporales; es necesaria su comprensin consciente; permite responder a la pregunta por qu hay seis canicas en ese conjunto?, luego est destinado a comprender las razones Es por tanto un conocimiento declarativo (no en vano lo denominamos principio cardinal), lo que nos conduce, sin solucin de continuidad, a decir que el esquema de conteo es unesquema presentativo.

Podemos comprobar, sin caer de pleno en la historicidad, que estos componentes que Kitcher sita en la filognesis, pueden ser trasladados, con todo derecho, a la ontognesis.

Igualmente, el conocimiento del sujeto se apoya en un conjunto de proposiciones aceptadas por el pensamiento en un momento determinado de la ontognesis. En efecto, cuando ante la prueba de conservacin de las cantidades discretas que nosotros hemos utilizado, le pedamos a los sujetos que frente a una coleccin de siete fichas pusieran las mismas que nosotros y realizaban la siguiente ejecucin.

El conocimiento lgico-matemtico necesita apoyarse tambin en un conjunto de formas de razonamiento de las que va a depender el tipo de este conocimiento y las formas de su adquisicin. En este sentido, a lo largo del desarrollo, encontramos tres formas de razonamiento a la hora de elaborar una construcciones mental, determinar los contenidos intencionales de las acciones y conferir un significado de lo real: razonamientotransductivo(que va de lo particular a lo particular), razonamientoinductivo (que va de lo particular a lo general) y razonamientodeductivo(que va de lo general a lo particular).

Comenzando por estas ltimas podemos observar que existe una peligrosa tradicin en la educacin de no sistematizar el proceso de enseanza y aprendizaje, de manera que se genera lo que Csar Coll denomin como un problema de opinionitis y que es debido a la asistematizacin del proceso instruccional.

Esta falta de sistematizacin se manifiesta, en primer lugar, desde el comienzo del diseo instruccional, con la definicin del contenido objeto de instruccin.

Otrohndicapcon el que se suele encontrar el profesorado, sobre todo de los niveles educativos inferiores es un conjunto de tpicos que desvirtan el proceso de enseanza y aprendizaje desde una perspectiva logocntrica.

Admitamos o no el principio haeckelian,de que la ontognesis recapitula la filognesis, todos los historiadores del pensamiento matemtico estn de acuerdo en aceptar la existencia inicial de unosnmeros corporales.

2.4. IDEAS SECUNDARIAS. Sistema de cuantificacin supone una organizacin de todos los subsistemas que engloba, gracias a un conjunto de transformaciones que implica un proceso doble. Por una parte, un proceso de integracin (con carcter asimilador) de todos esos subsistemas en una estructura global y, por otra, un proceso de diferenciacin (con carcter acomodador) de esa estructura global a las caractersticas del medio, proceso que se lleva a cabo a travs de los propios subsistemas y que correspondera a la tercera de las formas de equilibrio cognitivo.

El esquema de conteo supone, tanto la utilizacin de un esquema de correspondencia biunvoca (objetos-numerales), como el establecimiento de un orden estable en los numerales (primero el 1, luego el 2, luego el 3, etc.), por lo tanto se requiere la coordinacin de los tres subsistemas de nmero, clase y orden (zona 7 de nuestro diagrama de conjuntos).

La negacin por pertinencia funcional se produce siempre entre los esquemas pertenecientes a un subsistema y las coordinaciones entre esquemas de este subsistema con otro(s) subsistema(s), es decir (cf. el diagrama en crculos anterior), la negacin por pertinencia funcional, por ejemplo, de 1 es 4, 5 y 7 (4 T 5 T 7 = 1'). Es evidente que el esquema de inclusin niega funcionalmente' al esquema de conteo. La negacin por pertinencia material se produce o entre esquemas pertenecientes a diferentes subsistemas (por ejemplo, en nuestro diagrama de crculos tendramos que 1' = 2 T 3) o entre esquemas del mismo subsistema de naturaleza no reductible por conducir a acomodaciones diferentes.

Finalmente, hemos encontrado en algunos trabajos y estudios previos que, en las primeras edades, elnmero(evidentemente, siempre hablamos del nmero natural, que es la primera y nica extensin numrica alcanzable a estas edades) es ms un instrumento decuantificacinde la realidad que decualificacinde la misma

Por lo tanto, desde la perspectiva de un modelo de equilibracin lgico-matemtico a nivel de observables (I B), podramos concluir que las dificultades en la conservacin de nmero vienen dadas por las resistencias de este ente para ser organizado desde la perspectiva de las relaciones simtricas (clases) y de las relaciones asimtricas (orden).

Sin embargo, aunque admitamos que el emparejamiento (correspondencia biunvoca) y el recuento (enumeracin o conteo) son esquemas ms o menos especficos de los procesos de cuantificacin extensiva, no podemos olvidar que la correspondencia es solidaria de las clases y que el conteo, por ejemplo, es un esquema de correspondencia dotado de un orden.

Estos descubrimientos altamente enriquecedores para la psicopedagoga de las matemticas no han llevado aparejados avances isomrficos en la prctica docente y el desfase investigacin-praxis se hace cada vez ms patente en nuestras aulas, de manera que hemos llegado a cotas de rendimiento escolar en esta disciplina que empiezan a ser muy preocupantes y que, en definitiva, lo que suponen es que la mayora de los alumnos no alcanzan niveles adecuados de comprensin matemtica.

Sabemos que lo real se presenta ante el sujeto como un continuo que tiene que interpretar, lo que equivale a decir que le tiene que conferir un significado, por ello interacta con el medio intentandodescomponeryrecomponerese continuo a fin de conocerlo.

Conocimiento declarativo Conocimiento procedimental

No est sujeto a variaciones espacio-temporales (intemporal). Est dirigido a comprender las razones (saber por qu). Necesita de comprensin consciente, sobre todo a partir del nivel operacional. Se desarrolla mediante encajes sucesivos (el conocimiento supe-rado se integra en el que le su-pera). Consiste en lograr el enriqueci-miento cognitivo encontrando le-yes de composicin entre conocimientos y estructuras anteriores. Est sujeto a variaciones espacio-temporales. Est dirigido a alcanzar un objetivo (saber hacer). La comprensin consciente puede ser til, pero no necesaria. Se desarrolla mediante una cadena secuencial, sustituyendo cada enlace al anterior, al menos parcialmente. Consiste en lograr el enriqueci-miento cognitivo a travs de la variedad: alcanzar el objetivo por caminos diferentes.

Para Kitcher, el conocimiento matemtico no est constituido desde el comienzo, ya priori, en cada generacin. En cada momento se aprende un cierto nivel matemtico que puede ser, y de hecho lo es, permanentemente modificado. En ese desarrollo el conocimiento viene apoyado en una cierta prctica que, para este autor, posee varios componentes. En concreto dichos componentes son: un lenguaje un conjunto de proposiciones aceptadas por la comunidad matemtica en un tiempo determinado un conjunto de cuestiones importantes, de problemas no resueltos un conjunto de formas de razonamiento un conjunto de visiones del hacer matemtico, es decir, de cmo se hacen matemticas. Los trminos ms y menos tienen un carcter objetivo (juzgue quien juzgue comparativamente dos conjuntos homogneos, el conjunto ms numeroso es mayor y punto). Sin embargo, la dificultad de descentracin de los pequeos en estas edades hace que se subjetivicen los trminos del lenguaje, por eso el sujeto asocia los vectores lingsticos objetivos ms y menos a los escalares subjetivos muchos y pocos

Las nociones matemticas deben ser, por tanto y por este orden, constructivas (provocando el pensamiento matemtico), empricas (enlazando siempre el contenido matemtico con la realidad circundante al sujeto), lgicas (diferenciando lo real de la accin, el mundo fsico del pensamiento, el lenguaje natural del guaje matemtico) y formales (sostenidas por sistemas de representacin especficos y por la permanencia e invariancia de las leyes cognitivas que son, en ltimo lugar, de naturaleza lgico-matemtica). El ladrillo con que el hombre primitivo construa sus casas y sus tumbas, aport la nocin de ngulo recto. El concepto delnea(y su nombre) deriva de la forma de la fibra del lino. Otros muchos conceptos matemticos tienen su origen en movimientos (ya de las danzas primitivas, ya del caminar de los astros en el cielo). Que las matemticas son un instrumento de transmisin de la cultura, por tanto las verdades matemticas son verdades en el espacio y en el tiempo y nunca verdades absolutas.

III.CARTOGRAFA INTELECTUAL:

IV.REFERENCIAS DE LA FUENTELINKOGRAFIA:Serrano, J. (2006).El desarrollo del pensamiento lgico-matematico.Recuperado de http://www.waece.org/cdlogicomatematicas/ponencias/serrano.