Capitulo II

Matemática II

Objetivo 4. Efectuar problemas aplicando la definición o propiedades de

la derivada de una función.

Ejercicio 1

Calcular la derivada de la función: 2

3( ) cosln

x ef x sen x

x

= −

.

Solución

Justificación: En este caso estamos en presencia de una función

compuesta, por ende se aplica la derivada en cadena, se sabe que es

compuesta porque el argumento de la función seno es la función

23cos

ln

x ex

x

−

.

En este caso aplicamos la propiedad o fórmula de derivación siguiente:

( ) ( ) ( )' 'cossen u u u= i

Si comparamos la función dada con esta fórmula, observamos:

( )

23cos

ln

x exs

sen

x

u

en

−

Que u es 2

3cosln

x eu x

x= − , por lo tanto, al sustituir en la fórmula de

derivación dada, se tiene:

( ) ( ) ( )' '

' '2 2 2

3 3 3cos cos

cos

cosln ln ln

cos

u u u

x e x e x e

s

x x xx x x

en

sen

=

=

−

− −

i

i

NOTA: Observa que al derivar, el argumento de la función coseno es todo el

argumento original del seno, es decir 2

3cosln

x ex

x− .

Continuando con la derivada, ahora derivamos lo que quedo entre

paréntesis en azul, que tiene la tilde de derivada:

' '2 2

3 32

3cos cos cosln l

cosl nn

x e x esen

x ex

xx x

x x

−

− = −

i

( )'

2 23 3

'2

'3cos cos cocos

l lns

ln n

x e x ex ex

xsen x x

x x

− = −

−

i (I)

Se aplicó en la línea anterior la derivada de una resta, que es la resta de la

derivada.

Ahora procedemos a derivar cada función, lo hare por separado para

luego sustituir al final y obtener la respuesta total definitiva, comenzare

derivando primero: '

2

ln

x e

x

Acá estamos en presencia de la derivada de un cociente, es decir:

( ) ( )' ''

2

u v v uu

v v

− =

i i

En nuestro caso: 2

ln

x e

x

u

v

=

=, sustituyendo en la fórmula de la derivada de

un cociente, se tiene:

( ) ( ) ( )2 2' 2 2

'' '

2 2

2

1lnln ln

ln ln ln

e x x x ex e x x x ex e x

x x x

− − = =

i ii i

En este caso se realizaron las siguientes operaciones:

a) ( ) ( )'2 2

'

x e e x= el número e es una constante y esta

MULTIPLICANDO, por lo tanto sale de la derivada.

b) ( )' 1ln x

x

=

Se aplicó la derivada de la función logaritmo.

Continuando:

( ) ( )2

2

2' 11

2 lnln

ln

e x xe x x x exx

x

−− =

ii i

2x

i ( ) ( )2 2 2

2 ln 2ln 1

ln ln ln

ee x x x e x e x

x x x

− −= =

i

En este caso se realizaron las siguientes operaciones:

a) ( ) ( )'2 2x x= Se aplicó la derivada usando

( ) ( )2' '

1 12 12 22n nx xx xnx x− −= → = = = .

b) Se simplificó: 1

x

2x

i e x e=

c) Se aplicó el factor común en:

( ) ( ) ( )2 ln 2 ln 1 2ln 1xe x x e e x x e x ex x− = − = −i i i

Por lo tanto se tiene:

( )'2

2

2ln 1

ln ln

x e xx e

x x

−=

(II)

Ahora procedemos a derivar la segunda parte:

( )'3cos x

En este caso estamos en presencia de una derivada en cadena, porque

la función coseno esta elevada a un exponente constante, en este caso 3, por

lo tanto hacemos uso de la fórmula:

( ) ( )' '1n nu u un −= i

Te recomiendo escribir ( ) ( )33cos cosx x= ya que visualizas mejor quien

es u y n , entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' 1 21 2'3 3cos cos cos cos3 3 3cosn n xsenxu u u x x x x sn enx

−−= → = −= = −i i i

Por lo tanto:

( )'3 2cos 3cosx xsenx= − (III)

Ahora sustituimos (II) y (III) en (I) que es la derivada que originalmente

estamos resolviendo:

( ) ( )'

2 23 32

2

2lncos cos cos

ln

13

lcos

ln n

x e xxsenx

x

x e x esen x x

x x

−− −

− = −

i

Finalmente, se tiene:

( )'

2 23 32

2

2lncos cos cos

ln

13

lcos

ln n

x e xxsenx

x

x e x esen x x

x x

−+

− = −

i

(Se multiplicaron los signos negativos)

Respuesta:

( )'

2 2' 3 2 3

2

2ln 1( ) cos 3cos cos cos

ln ln ln

x e xx e x ef x sen x xsenx x

x x x

−= − = + −

i

Ejercicio 2

Calcular la derivada de la función: ( )2( ) 3 cos 1xf x x= − .

Solución

Justificación: En este caso estamos en presencia del producto de 2

funciones, por lo tanto se aplica la fórmula de la derivada de un producto, es

decir:

( ) ( ) ( )' ' 'u vu uv v= +i i i

En nuestro caso:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )''' ' 2' 2 2cos 1 cos 1 co 3s 13 3x x xu u uv v v x x x= + → − − −= +i i i i i i

Por lo tanto:

( ) ( ) ( )( )2'

2'

' cos( ) 1 c 1 3os3x xf x x x− −= +i i (I)

Ahora resolvemos cada una de las derivadas presentes:

PRIMERO:

( )'

3x

En este caso se aplica la fórmula: ( ) ( ) lnx xa a a= i , aplicando esto en

nuestro caso:

( )'

3 3 ln 3x x= (II)

SEGUNDO:

( )2cos 1x −

Estamos en presencia de una función compuesta porque el argumento

de la función coseno es ( )2 1x − , por lo tanto hay que aplicar la regla de la

cadena, es decir,

( ) ( ) ( )' 'cos u u sen u= − i

Aplicando ésta fórmula en nuestro caso:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2' 2''

cos co 1 1 1su u u x x xsen sen= − → =− − −− i i

Ahora resolvemos la derivada: ( ) ( ) ( )2 2' ' '

1 1 2 0 2x x x x= = −− − =

En este caso se realizaron las siguientes operaciones:

a) ( )'2 2x x= Se aplicó la derivada usando

( ) ( )2' '

1 12 12 22n nx xx xnx x− −= → = = = .

b) ( )'1 0= Se aplicó la derivada de una constante, que siempre es cero.

Por lo tanto la derivada de ( )2cos 1x − es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 2' 2cos cos 1 2 1u u u x x xsen sen= − → = − − −i i (III)

Sustituyendo (II) y (III) en (I), se tiene el resultado de la derivada original:

( ) ( ) ( )( )' 2 2( ) 3 ln 3 cos 1 2 1 3x xf x x x sen x= − + − −i i i

Ahora se multiplican los signos en el centro (color rojo) (más por menos)

y se extrae factor común la función destacada en rojo:

( ) ( ) ( )( )' 2 2( ) ln 3 cos 13 32 1x xf x x x sen x= − + −−i i i

Así se obtiene:

Respuesta: ( ) ( ) ( )' 2 2( ) 3 ln 3 cos 1 2 1xf x x x sen x = − − − i i

Ejercicio 3

Dada 3( ) 4 9f x x x= − verificar si cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el

intervalo 3 3

,2 2

−

Solución

Justificación: En este caso debemos conocer el teorema de Rolle, por lo

tanto enunciemos dicho teorema:

TEOREMA DE ROLLE: SI:

� ( )f x es una función continua definida en el intervalo cerrado

[ ],a b

� ( )f x es una función derivable en el intervalo abierto ( ),a b

� ( ) ( )f a f b=

ENTONCES: existe al menos un número c perteneciente al intervalo ( ),a b tal

que '( ) 0f c = .

Ahora bien dado este teorema, debemos saber cuál o cuáles son las

hipótesis y cual la tesis. TODO TEOREMA tiene hipótesis y tesis; la hipótesis o

hipótesis es o son, la o las condiciones para poder llegar a la tesis o

conclusión. Normalmente después de la palabra SI se encuentran las hipótesis

y después de la palabra ENTONCES se encuentra la tesis.

En nuestro caso, las hipótesis son:

� ( )f x es una función continua definida en el intervalo cerrado

[ ],a b

� ( )f x es una función derivable en el intervalo abierto ( ),a b

� ( ) ( )f a f b=

Y la tesis es:

Existe al menos un número c perteneciente al intervalo ( ),a b tal que

'( ) 0f c = .

En el ejercicio solo se nos pide verificar si la función dada 3( ) 4 9f x x x= −

cumple con las hipótesis del teorema de Rolle. Por lo tanto:

HIPOTESIS 1: ( )f x es una función continua definida en el intervalo

cerrado [ ],a b .

Como la función dada es un polinomio 34 9x x− , se cumple la primera

hipótesis, ya que toda función polinómica es continua.

HIPOTESIS 2: ( )f x es una función derivable en el intervalo abierto

( ),a b .

Calculemos la derivada de la función dada: 3( ) 4 9f x x x= −

( ) ( ) ( )' '' 3 2 2( ) 4 9 4 3 9 12 9f x x x x x= − = − = −i

En este caso se realizaron las siguientes operaciones:

a) Se extrajo la constante de las derivadas siguientes porque están

MULTIPLICANDO, así: ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' '3 3 y 4 4 9 9x x x x= =

b) ( )'3 3x x= Se aplicó la derivada usando

( ) ( )' '1 1 2 23 3 33 3n nx x x xxn x− −= → = = = .

c) Siempre la derivada de x es uno, es decir: ( )'1x = , por eso:

( ) ( )' '19 9 9 9x x= = =i

Ahora bien, saber si una función es derivable en el intervalo abierto

( ),a b , es observar si la función derivada existe o está definida en dicho

intervalo, en nuestro caso la derivada es ' 2( ) 12 9f x x= − un polinomio, y se

sabe que un polinomio existe para todos los números reales, por ende para

todo intervalo dado, en fin, en nuestro caso la función si es derivable, por lo

tanto se cumple la segunda hipótesis.

HIPOTESIS 3: ( ) ( )f a f b= .

En nuestro caso, el intervalo dado es 2

3

2,3−

, comparando con el dado

en el teorema, es decir [ ],a b , podemos deducir que: 3

2

3

2a

b

=

−

=

Ahora verificamos si ciertamente ( ) ( )f a f b= para la función dada

3( ) 4 9f x x x= − , así pues, evaluemos la función en los puntos a y b :

( ) ( )

( )

33

3

3 273 3 3 2

4 4 1

8 8 2

2

4( ) 4 9 4 4

27 27( ) : entonces:

2

27

7 27 27 27

2 2 2 2 2 8

27( ) 0

2

2 8 2f f

f simplificando

f

a

a

a

= = − = + = + = +

− −− − − −

− = + →

− = + =

=

Por otro lado:

( ) ( )

( )

33

3

4( ) 4 9 4 4

27 27( ) : ent

4 4 1

8 8 2onces:

2

27 27( )

3 273 3 3 27 27 27 27

2 2 2 2 2 8

02

2 2

2

8

f f

f simplificando

b

bf

b

= = − = + = + = +

− = + →

− = + =

=

−−

Por lo tanto se cumple la hipótesis 3, ya que ( )( ) 0af f b= =

Respuesta: Si se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle a la función

dada 3( ) 4 9f x x x= − .

Ejercicio 4

Verificar que forma indeterminada existe en el siguiente límite:

2

limcot 2cosx

x

gx xπ

π→

−

y aplicar L’Hopital para calcular dicho límite.

Solución

Justificación: Primero sustituimos en el límite dado para saber que forma

indeterminada se genera:

2

2limcot 2cos

cot 2cos2 2

x

x

gx xg

π

ππ π

π π→

− = −

Sabiendo que:

1 1cot 0

2

2

cos 02

g

tg

ππ

π

= = = ∞

=

Por lo tanto:

2 2

0 2 0 0cot 2cos

2 2g

π ππ π π

π π

− = − = ∞ − = ∞ − ∞

i

Por lo tanto la forma indeterminada es: ∞ − ∞ .

Por otro lado, L’Hopital se aplica únicamente a las formas

indeterminadas 0

y 0

∞∞

, por lo tanto aun no podemos aplicar L’Hopital, ya que

tenemos la forma indeterminada ∞ − ∞ , ¿Qué hacer?, Respuesta: desarrollar la

expresión dada en este caso, es decir:

( )

2 2

2

2

lim lim Se aplico: 2cos 2cos

lim2cos

lim

1 s

1cot

1co

2

e aplico

cos

dobe C1

1

tx x

x

x

gxgx t

x

tg

x x

x x

x

x

x

x tg

gx

tg

x

x

π π

π

π

π π

π

π

→ →

→

→

− = − =

− =

=

−

i

Ahora restaremos las fracciones:

2 2 2

2cos 2 coslim lim lim

2cos 2cos1 2 s1 co

1

x x x

xx tgx x tgx tg x xx

x x xπ π π

π π π→ → →

− − − = = =

i i i

i

i i

Recordando que: cos

senxtgx

x= , tendremos:

2 2 2

cosc22 cos

2 coslim lim lim

2cos 2cos

os

x x x

senxsenx

tgx

x xxx x

x x

x xπ π π

ππ→ → →

− − = =

ii

i

cos x

2

2cos

2lim

2cosx

x

x senx

xπ

π

π→

− =

−

i

Si sustituimos en esta última expresión, tenemos:

2

1222 2 2

lim2cos

2cos cos 02 2

2

x

sensenx senx

xπ

ππ π ππ

π π→

=− − = → → =

i

i

2

π1

1 0

2 0 0 0 0

ππ π π π

− − − = = =

i

i

i

Lo que nos permite aplicar L’Hopital, recordemos en que consiste la

fórmula de L’Hopital:

0 0

'

'

( ) ( )lim lim

( ) ( )x x x x

f x f x

g x g x→ →

=

Es decir, debemos derivar la función del numerador y luego la función

del denominador para aplicar L’Hopital, así:

( )( )

'

'

2 2

22lim lim

2cos 2cosx x

x senxx senx

x xπ π

ππ→ →

−− =

ii

Derivando el numerador:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

' ' ' ' '

'

2 2 2 2 0

2 2 2 cos

x senx x senx x senx x senx

x senx senx x x

π π

π

− = − = + −

− = +

i i

i

En este caso se realizaron las siguientes operaciones:

a) Se aplicó la resta de la derivada, que se transforma en la resta de las

derivadas, es decir, ( ) ( ) ( )' ' '2 2x senx x senxπ π− = −i i

b) Se aplicó la derivada de un producto, es decir, ( ) ( ) ( )' ' 'u vu uv v= +i i i ,

en nuestro caso:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' ' ' '2 2 2 2 2 cosv v v senx s seenx senxu u u x xx nx xx= + → = + = +i i i i i i

c) Se aplico la derivada de una constantes: ( )'0π =

Derivando el denominador:

( )'2cos 2x senx= −

Ahora sustituimos en nuestro límite, así:

( )( )

'

'

2 2

2 2 2 coslim lim

22cosx x

x senx senx x x

senxxπ π

π→ →

− +=−

i

Evaluando, tenemos:

2

12 2 cos22 2 cos 2 2 2

lim2

2 cos 02 2

2 1 2

x

sensensenx x x

senxsen

π

ππ π π

π π→

=+ + = = →− − =

+i2

π0

2 0 2 0 21

2 1 2 2 2

π + + = = = = −

− − − −

i

i

i

Por lo que:

Respuesta: 2

lim 1cot 2cosx

x

gx xπ

π→

− = −

Ejercicio 5

Aplicar L’Hopital para calcular 2

lim 1

x

x x→∞

+

.

Solución

Justificación: Primero evaluamos el límite para saber a que forma

indeterminada nos enfrentamos:

( )2 2lim 1 1 1 0 1

x

x x

∞∞ ∞

→∞

+ = + = + = ∞

Recuerda que todo número dividido entre infinito es cero.

Recordemos también que el método de resolución de L’Hopital se aplica

únicamente a las formas indeterminadas: 0

y 0

∞∞

, por lo tanto aun no podemos

aplicar L’Hopital, ya que tenemos la forma indeterminada 1∞ , ¿Qué hacer?,

Respuesta: Como tenemos una función elevada a otra función, es decir, existe

el exponente equis en la función dada 2

lim 1x

x

x→∞

+

se aplicara logaritmo, así:

PASO 1

ln2 2

lim 1 lim 1lnx x

x x

y yx x→∞ →∞

= + → = +

(Se aplicó logaritmo en ambos miembros)

PASO 2

2 2lim 1 lin m 1l ln

x x

x xx x→∞ →∞

+ = +

(Se aplicó la propiedad que nos indica que el logaritmo

del límite es el límite del logaritmo, es decir, ln lm li nli mx xA A

→∞ →∞=

PASO 3

ln2 2

lim 1 l n 1limx x

x

x xx

→∞ →∞

+ = +

i (Se aplicó la propiedad de logaritmo que nos

indica que el exponente pasa o baja a multiplicar, es decir, ( )ln lnbba a= i )

PASO 4

ln

ln

21

2lim 1

1lim

x x

xx

x

x→∞ →∞

+ + = =

i (Se aplicó una transformación matemática

conveniente para generar la forma indeterminada 0

0, esta trasformación se

basa en 11 1

BB

A B A B

A A

× = = = i , es decir, al aplicar doble C tenemos la

multiplicación original)

PASO 5

Evaluemos el límite así obtenido, para verificar la forma indeterminada:

( ) ( )2 2

ln 1 ln 1ln 1 0 ln 1 0

lim1 1 0 0 0x

x

x

→∞

+ + + ∞ = = = = ∞

Por lo tanto podemos aplicar L’Hopital, es decir derivar en el numerador

y denominador, así: '

'

22ln 1ln 1

lim lim1 1x x

xx

x x

→∞ →∞

++ =

Derivada del numerador:

( )' '

''

2 2

2 2 2 21 1 02

ln 12 22 2

1

x x x xx xxx

x xx x

− −+ + + + = = = = + ++ +

En este caso se realizaron las siguientes operaciones:

a) Se aplicó la derivada de la función logaritmo, ésta es una derivada en

cadena, porque el argumento de la función logaritmo es otra función,

en este caso se aplicó: ( )

'

''

21

2l

2ln 1

1

nu x

uu x

x

= → =

+

+

+

b) Se aplicó la derivada de una constante sobre una variable, es decir,

' '

2 2

2 2, 0

a aa

x x x x

− − = ≠ → =

c) Se aplicó la derivada de una constante, ya que está sumando y no

MULTIPLICANDO, observa: ( )' '

'2 21 1x x

+ = +

, por lo tanto ( )'1 0=

Continuando con la derivada del numerador:

2

2

2

2 2

2 ( 2)

x xxx x x

x

−− −= =+ +i i

i2x

2

( 2)( 2) x xx

−=++ ii

En este caso se realizaron las siguientes operaciones:

a) Se aplicó la doble C y se simplificaron las equis.

Derivada del denominador:

'

2

1 1

x x

− =

Se aplicó la derivada de una constante sobre una variable, es decir,

' '

2 2

1 1, 0

a aa

x x x x

− − = ≠ → =

Ahora sustituimos en nuestro límite, así: '

2

'

2

2 2ln 1

2( 2)lim lim lim

11x x x

x xx x

xx

→∞ →∞ →∞

− + −+ = =−

ii

x−2

lim( 2)( 2) x

x

xx →∞=

++i

Observa que se aplicó la doble C y se simplifico, además recuerda en

cuanto a los signos que −−

= +

El último límite obtenido, al evaluarlo es de la forma:

2lim

( 2)x

x

x→∞

∞=+ ∞

Por lo tanto podemos volver a aplicar L’Hopital, ya que ésta forma

indeterminada lo permite, así:

( )'

'

22 2lim lim lim lim 2 2

( 2) ( 2) 1x x x x

xx

x x→∞ →∞ →∞ →∞= = = =

+ +

En este caso se realizaron las siguientes operaciones:

a) Se aplicó la derivada del numerador y denominador, ambas sencillas,

observa: ( ) ( )' '2 2 2 1 2x x= = =i y ( ) ( ) ( )' ' '

2 2 1 0 1x x+ = + = + =

b) Se aplicó la propiedad de límite. Que nos indica, que el límite de una

constante es la constante, es decir: limxk k

→∞= , por eso; lim 2 2

x→∞= .

Respuesta: 2

lim 1 2

x

x x→∞

+ =

Ejercicio 6

Calcular la derivada de la función ( )2 ln1( )

x xf x e

x

+=

Solución

Justificación: Antes de calcular esta derivada es pertinente simplificarla,

sin embargo, si la derivas tal como está llegaras al mismo resultado, observa:

PASO 1

( ) ( ) ( )2 2ln ln1 1x x x xe e ex x

+ = i (Se aplicó la propiedad: x y x ya a a+ = i , es decir, si

tenemos la misma base en un producto, esto equivale a colocar la misma base

y sumar los exponentes)

PASO 2

( ) ( ) ( )2 2ln1 1xx x

e ex x

e e=i i

ln( ) ( )21x xex

x= i (Se aplicó una de las propiedades de

logaritmo, que nos indica: ( )ln xe e=

ln( )xx= )

PASO 3

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 x x x xx x x xx

x x x

xe e e xe

xx= = = =i

x

( ) ( )2 2x xxe xe= (Se racionalizó la

expresión, es decir, cuando se tiene una raíz en el denominador, ésta se puede

eliminar multiplicando y dividiendo por la misma raíz, es decir:

x x x x x x

x x x x x= = = x

xx= , no olvides que: x x x=i , y luego se

simplificaron las equis)

Ahora con la función simplificada: ( )2

( )x

f x xe= , la derivaremos.

Observa que tenemos el producto de 2 funciones, es decir: ( ) ( )2xx e

i ,

por lo tanto, aplicaremos la derivada de un producto, es decir:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2' '

'' ' ' x x xv v v e e eu u u x x x

= + → = +

i i i i i i

Derivare cada función, para que cada paso te quede claro:

a) ( )' 1

2x

x= , ésta es una derivada directa de tabla.

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2'

'2 2 2

x x x xe e x e x xe =

=

=i i , ésta es una derivada en

cadena, acá se aplicó la fórmula: ( )( ) ( ) ( )' 'u u

e e u= i , en este caso

2u x= , y se derivo ( ) ( )2' '

1 12 12 22n nx xx xnx x− −= → = = = .

Sustituyendo éstos resultados en la derivada, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2' '

' 1

22

x x x x xe e e e xex x x x

x

= + = +

i i i i i

Respuesta: ( ) ( )2 2'( ) 2

1

2

x xe xe x

xf x = +

i i

Ejercicio 7

Calcular la derivada de la función definida a través de la expresión

( )2

3

5( )

x senxf x

x tgx

+=

Solución

Justificación: Antes de derivar, podemos simplificar la función dada,

sustituyendo la función tangente de equis, por: cos

senxtgx

x= , así:

( ) ( )( )

( ) ( )2

2 2 2 2

33 33

55 5 5 cos 5

1

cos cos

x senxx senx x senx x senx x x senx

senx x senxx tgx x senxx

x x

++ + + +

= = = =3

cos x

x senx

( )2

3

5 cos( )

x xf x

x

+=

Ahora derivamos, aplicando la fórmula de la derivada de un cociente, es

decir,

( ) ( )' ''

2

u v v

v v

uu − =

i i

En nuestro caso, que tenemos la función ( )2

3

5 cos( )

x xf x

x

+= , tenemos:

( )2

3

5 cosu x x

v x

=

= +

, entonces:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 23 3' ''

' ''

22

2

3 3

5 cos 5 cos5 cos x x x xx x xv v

v v x x

xu uu −− = → =

+

++ i ii i

Desarrollaré las 2 derivadas que nos faltan por separado. Primero:

( )( )'2 5 cosx x+

Acá estamos en presencia de la derivada de un producto, es decir:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

' '' ' ' '2 2 2

2 2'

'2 2

cos cos cos

cos cos

5 5 5

5 2

5 cos 2 co 5

5

s

u

x x x x senx

u u x x x

x x x

v v v x x x

x x sen

x

x

= + → = +

= +

+ +

+

+

+

= − +

− +

i i i i i i

i i i

i i i

La segunda derivada, es:

( ) 23'

3x x=

Estas dos derivadas son de la misma forma o naturaleza en cuanto a

procedimiento, y ya en los 6 ejercicios anteriores explique con suficiente detalle

como derivarlas, de aquí en adelante si se nos presenta una derivada de

distinta naturaleza, la derivare en detalle amigo y amiga estudiante.

Sustituyendo en la derivada original estos 2 resultados, se tiene:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

3 3

3 3

3 2

3

3 2

3 3 2 2

' ''

2

2

2 2

6

2 2

6

4

2

23

22

2 2

5 cos 5 co

2 cos 5 5

2 cos 5 5

2 cos

s5 cos

2 cos 5 5 cos3

3 cos

3 cos 3 cos

x x senx x x

x

x x se

x x

x x

x x

x

x x x

x x

x x x

nx x x

x

x

xx x

x x senx x x x

x

x x x x

senx x x

×

− = =

− =

− + − + =

− + − +

+ ++

− + +

=

−

i i

i i

i i i i

i i i i i i

i i

i i

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

3

3

4 2

6

4 5 4 2

6

5 3 24 4

4 4

6

5 3 2 5 3 2

2

6 6

3

5 3 15

2 cos 5 3 15

5 15 cos

5 1

cos cos

cos cos

2 cos 3 cos

cos co5 cos 5 15 c

5

s os

x x

x

x x x x x

x

x senx x senx x x

x

x senx x senx x x sen

senx x x x

sen

x senx x

x x

senx

x x se

x x x

nx x x

x

s

x x

x x x

x

x x x x

+ − + =

− + − + =

− − − =

− − − −=− − =

−

−

i i

( )4 2

6

15coc sosenx xx x

x

x −=

− ( )43

6

5 15coscosxx xsenx senx x

x

x− − −

( ) ( )2 43 4

4 4

5 cos 155 cos 15cos xsenx x x xx senx xsenx x x x

x x

=

− − +− − − =

Respuesta: ( ) ( )2 4

'

4

5 cos 15( )

xsenx x x xf x

x

− − +=

Nota: El resultado de la derivada la puedes dejar a partir de cualquiera

de las expresiones que aparecen desde la tercera línea en adelante en el

último desarrollo anterior, donde simplifique a la mínima expresión hasta

obtener ( ) ( )2 4

4

5 cos 15xsenx x x x

x

− − +, por ello no explique en detalle cada paso,

aunque pienso que los entiendas, y de no ser así comunícate conmigo a través

de mi correo jorgegranadillomat@gmail.com o por mi celular 0412-4514815 o

en forma presencial en mi oficina en la UNA en el horario que aparece en mi

página: http://sites.google.com/site/jorgegranadillomat1/

Ejercicio 8

Calcular la derivada de la función ( )24 53( ) cosx x

f x sen e−=

Solución

Justificación: Acá estamos en presencia de una derivada donde se

requiere aplicar la regla de la cadena, ya que es una función compuesta, pero

antes, utilicemos los signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves) para

destacar bien cada parte de la función dada:

( ) ( )2 23

3 4 5 4 5( ) cos cos

x x x xf x sen e sen e

− − = =

Para desarrollar este ejercicio siempre ten presente que se debe

desarrollar desde la función más externa hasta la más interna, es decir, lo

primero que se evidencia, como función más externa es la potencia cubica, es

decir el número 3 destacado en rojo, luego la función seno (anda mirando de

izquierda a derecha) luego la función coseno, luego la función exponencial

( )24 5x xe

−, y por último el polinomio que es el exponente de esta función

exponencial, es decir, 24 5x x− . Por lo anteriormente explicado, utilizaremos

primero la fórmula:

( ) ( ) ( )1 'n nu u un

−= i

En nuestro caso

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

2 2 2

3

3 3

' 4 5

1

1

4 5

'

4 5 4 5 4 5'

coscos

cos cos c s

3

3 o

x x

x x

xn n x x x x x

u sen esen e

u u u sen e sen e s n en e

n

−−

−−

− − −

= = →

= → =

=

i i

( ) ( ) ( )2 2 23

'

''

4 52

4 5 4 5cos cos c s3 o

x x x x x xsen e sen e sen e

− − −

= i

Observa que ahora solo derivaremos ( )2'

4 5cos

x xsen e

−

, es decir, la

primera expresión ya no se tocará más, no se operara, ahora lo que hare será

derivar ( )2'

4 5cos

x xsen e

−

que es la función interna que sigue, y así ir

derivando una a una y al final sustituiré todos los resultados, como se observa

claramente que la función más externa es el seno en ( )2'

4 5cos

x xsen e

−

,

utilizare la siguiente fórmula:

( )( ) ( ) ( )' 'cossen u u u=

En nuestro caso:

( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2 2 2

2 4 5

'4 5 4 5 4

'4 5

'5' '

cos

cos cos cos

cos

cos cos

x xx x

x x x x x x

u e

u u u e

sen e

sen se e en

−

− − −

− = →

=

= → =

Observa que ahora solo derivaremos ( )2'

4 5cos

x xe

−

, es decir, la

segunda expresión ya no se tocará más, no se operara, ahora lo que hare será

derivar ( )2'

4 5cos

x xe

−

que es la función interna que sigue, se observa

claramente que la función más externa es el coseno en ( )2'

4 5cos

x xe

−

,

utilizare la siguiente fórmula:

( )( ) ( ) ( )' 'cos u u sen u= −

En nuestro caso:

( ) ( ){( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2

'4 5 4 5

'4 5 4 5 4 5

'' '

cos

cos cos

x x x x

x x x x x x

e u e

u u u esen sene e

− −

− − −

=

= →

= − → = −

Observa que ahora solo derivaremos ( )2'

4 5x xe

−

, es decir, la segunda

expresión ya no se tocará más, no se operara, ahora lo que hare será derivar

( )2'

4 5x xe

−

que es la función interna que sigue, se observa claramente que la

función más externa es la exponencial en ( )2'

4 5x xe

−

, utilizare la siguiente

fórmula:

( ) ( ) ( )' 'u ue u e=

En nuestro caso:

( ) ( ){( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2 2

4 5 2

'4 5 4 5' 2

'

''

4 5

4 5

x x

x x x xu u

u x x

u

e

e e e x ex

−

− −

= →

= → =

=

−

−

Finalmente derivamos la última función, la más interna que es el

polinomio: ( )24 5x x− , así:

( ) ( ) ( ) ( )' ' ' '2 2 2 14 5 4 5 2 4 5 8 5x x x x x x x−− = − = − = −i

Para concluir el ejercicio sustituimos cada resultado y simplificamos,

comenzare a sustituir de atrás hacia delante, es decir, la última derivada fue el

polinomio, pues la sustituiré primero y asi sucesivamente, de todos modos ire

escribiendo cada expresión a sustituir para que t quede bien claro:

En: ( ) ( ) ( )2 2'4 5 4 52'

4 5x x x x

exe x− − =

−

Sustituiré: ( )'24 5 8 5x x x− = − , obteniendo:

( ) ( ) ( )2 2'

4 5 4 58 5

x x x xe x e

− − = −

En: ( ) ( ) ( )2 2 2'

4 5 4 5'

4 5cos

x x x x x xe e esen

− − −

= −

Sustituiré: ( ) ( ) ( )2 2'

4 5 4 58 5

x x x xe x e

− − = −

, obteniendo:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2'

4 5 4 5 4 5cos 8 5

x x x x x xe x e sen e

− − − = − −

En: ( ) ( ) ( )2 2 2' '

4 5 4 5 4 5cos cos coc s so

x x x x x xs e e een

− − −

=

Sustituiré: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2'

4 5 4 5 4 5cos 8 5

x x x x x xe x e sen e

− − − = − −

, obteniendo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2'

4 5 4 5 4 5 4 5cos 8 5 cos cos

x x x x x x x xsen e x e sen e e

− − − − = − −

FINALMENTE,

En: ( ) ( ) ( )2 2 23

''

4 5 5 42

4 5cos cos cos3

x x x x x xsen e sen e sen e

− − − = i

Sustituiré: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2'

4 5 4 5 4 5 4 5cos 8 5 cos cos

x x x x x x x xsen e x e sen e e

− − − − = − −

Obteniendo la derivada final:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2

'3 2

4 5 4 5 4 5 4 5 4 5cos 3 cos 8 5 cos cos

x x x x x x x x x xsen e sen e x e sen e e

− − − − − = − − i

Respuesta: La derivada de la función ( )24 53( ) cosx x

f x sen e−= , es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2

'3 2

4 5 4 5 4 5 4 5 4 5cos 3 cos 8 5 cos cos

x x x x x x x x x xsen e sen e x e sen e e

− − − − − = − − i

Ejercicio 9

Calcular la derivada de la función 2xy x= .

Solución

Justificación: En este caso debemos escribir la función dada así:

1

2 2x xy x x= = (Se aplicó la propiedad de los radicales:

a

ab bx x= )

Ahora, como tenemos una función elevada a otra función aplicaremos

logaritmo en ambos miembros, así:

1 1

2 2ln lnx xy x y x

= → =

( )1

2 ln1

2lnxy x y xx

= → = (Se aplicó la propiedad de logaritmo de una

potencia, es decir, ( )ln lnyx y x= )

Ahora se procede a derivar en ambos miembros de la igualdad, este tipo

de derivada se denomina derivada implícita, porque hay que derivar la variable

dependiente y , entonces:

( ) ( ) ( ) ( )' ''

' 'ln ln ln ln

1 1 1 1ln ln

2 2 2 2

yy x y x x x

x x y x x

= → = → = +

En este caso se realizaron las siguientes operaciones:

a) ( )'

'ln

yy

y= Se aplicó la derivada de la función logaritmo.

b) ( ) ( )' '

'1 1 1ln ln

2 2 2ln x x xx x x

= +

, se aplicó la derivada de un

producto, explicada en ejercicios anteriores.

Continuando, tenemos:

( )''

'

2 2 2 2

1 1 1 1 1 ln 1 1 lnln ln ln

2 2 2 2 2 2 2

y x xx x x

y x x x x x x x x

− − − = + = + = + =

Al final logramos sumar fácilmente las fracciones porque tienen el mismo

denominador.

Finalmente, se despeja 'y obteniendo:

''

2 2

1 ln 1 ln

2 2

y x xy y

y x x

− − = → =

Ahora sustituimos y , que es la función original: 2xy x= , este último

paso siempre se da en este tipo de integrales implícitas, así:

''

2 2

2

2

1 ln 1 ln 1 ln

2 2 2

xyy x

x x xy

y x x x

− − − = → = =

Respuesta: ' 2

2

1 ln

2

x xy x

x

− =

Ejercicio 10

Al usar la regla de la cadena para calcular ( )'g π y ( )'

2g π , donde

( ) cos( )g x senx= , resulta:

a. ( )'0g π = , ( )' 1

2g π = b. ( )'

0g π = , ( )' 02

g π =

c. ( )'1g π = − , ( )' 0

2g π = d. ( )'

1g π = , ( )' 12

g π = −

Solución

Justificación: Estamos en presencia de la regla de la cadena, en este

caso utilizaremos la fórmula:

( ) ( ) ( )' 'cos seu nu u= −

En nuestro caso:

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

' ''

'

c( ) cos( )

( ) cos

ossenx senx senxg x sen sen

g x x sen senx

x senx= = − = −

= −

i

i

Ahora evaluaremos la derivada:

( ) ( ) ( )'cos ( 1) (0) 1 0 0g sen sen senπ π π= − = − − = =i i i

( ) ( ) ( )' cos (0) (1) 02 2 2

g sen sen senπ π π= − = − =i i

Por lo tanto:

Respuesta: Opción correcta la “b”

A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,

¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu

eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.

Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo

saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en

mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el

estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente

editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o

escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta

a la brevedad posible.

Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,

justificación y respuesta , ya que en los exámenes de desarrollo deberás

justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante

que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre

dando justificación y luego la respuesta .

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio 1

Use la definición de derivada para calcular la derivada de la función

( ) cosf x x x= + y evalúe esta derivada en 3

xπ= .

Ejercicio 2

Calcule la derivada de la función 1

1

xy

x

+=−

y dé el resultado simplificado a su

mínima expresión.

Ejercicio 3

Hallar la derivada de la función 1

( ) ln1

senxf x

senx

+ = − .

Ejercicio 4

Calcular la derivada de la función ( ) ( ) ( )3 2( ) 3 8 lnf x x x x senx x= + − .

Ejercicio 5

Sea ( )f x x= (valor absoluto de x). Verificar usando la definición de derivada

que f no es derivable en 0x = .

Ejercicio 6

Supongamos que en la ecuación 1xy tgy x+ = + , define a y como función

implícita de la variable x.

A continuación hacemos algunas afirmaciones relacionadas con la función

derivada 'y Indica con una V o una F en el espacio correspondiente según que

la afirmación sea verdadera o falsa respectivamente.

a. si y( 1 ) = π, entonces y′( 1 ) = 1 − π _____

b. si y( 1 ) = 0, entonces y ′( 1 ) = 1

2 _____

c. si y( 1 ) = 2

π, entonces y′( 1 ) = 1 −

2

π _____

Ejercicio 7

Un vehículo de juguete se mueve a lo largo de una pista de manera que su

posición en relación al punto de partida está dada por la función d (distancia

en metros) que depende del tiempo t ( medido en segundos), la cual la

representamos en la siguiente figura.

A continuación enunciamos varias proposiciones en relación a la función d.

Indica con una V o una F en el espacio correspondiente según que la

proposición sea verdadera o falsa respectivamente.

a. La velocidad media del vehículo entre 0 segundo y 1 segundo es 1 m/s

______

d

0

2

4

1

3

6 3 9 8 t

1

b. La velocidad media del vehículo entre 1 segundo y 3 segundos es 1 m/s

_____

e. La velocidad instantánea del vehículo al cabo de 5 segundos es 2

m/s_______

Ejercicio 8

Determina las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto de coordenadas

(−1 , 3) y son tangentes a la gráfica de la parábola de ecuación

2( ) 2 2 1g x x x= − +

Ejercicio 9

Calcula la derivada de la función inversa de la función g:(0 , π/2) → (0 , 2),

definida por g(x) = 2 sen x.

Ejercicio 10

Calcular las derivadas laterales, en x = 1, de la función f:IR→ IR, definida por:

2 si 1( )

2 1 si 1

x xf x

x x

>= − ≤