ejercicios detallados del obj 9 mat ii (179

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Capitulo II Matemática II (179) Objetivo 9. Resolver problemas de física, ingeniería o economía, donde se utilicen procedimientos matemáticos y conceptos relacionados con el cálculo diferencial y los sistemas de ecuaciones lineales. Ejercicio 1 Determine el conjunto de los números reales donde es continua la función h , dada por: ( 2 () cos 5 2 hx x x = - + Solución Justificación: Esta función está compuesta por 2 funciones, una polinómica, y una trigonométrica, ahora pasemos a verificar si se cumplen las 3 condiciones de continuidad: 1) Verifiquemos que la función existe en un punto a . ( ( 29 2 2 () cos 5 2 () cos 5 2 hx x x ha a a = - + = - + Este valor existe porque el dominio de la función cos x son los Reales. SE CUMPLE LA CONDICIÓN 1 2) Verifiquemos que el límite existe en el punto a ( ( 2 2 lim () lim cos 5 2 cos 5 2 x a x a hx x x a a = - + = - + Este valor del límite existe porque el dominio de la función cos x son los Reales. SE CUMPLE LA CONDICIÓN 2 3) Ahora aplicaremos la condición 3, que consiste en comparar el valor obtenido en la condición 1 con el resultado obtenido en la condición 2, en este caso: Valor en la condición 1: ( 2 cos ( 5 ) 2 a ha a - + = Valor en la condición 2: ( 2 lim () cos 5 2 x a hx a a = - + Evidentemente: ( ( 2 2 cos 5 2 cos 5 2 a a a a = - + - + , por lo tanto:

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Page 1: Ejercicios detallados del obj 9 mat ii (179

Capitulo II

Matemática II (179)

Objetivo 9. Resolver problemas de física, ingeniería o economía, donde

se utilicen procedimientos matemáticos y conceptos relacionados con el cálculo

diferencial y los sistemas de ecuaciones lineales.

Ejercicio 1

Determine el conjunto de los números reales donde es continua la función h ,

dada por:

( )2( ) cos 5 2h x x x= − +

Solución

Justificación: Esta función está compuesta por 2 funciones, una polinómica, y

una trigonométrica, ahora pasemos a verificar si se cumplen las 3 condiciones

de continuidad:

1) Verifiquemos que la función existe en un punto a ∈ℝ .

( )( )

2

2

( ) cos 5 2

( ) cos 5 2

h x x x

h a a a

= − +

= − +

Este valor existe porque el dominio de la función cos x son los Reales.

SE CUMPLE LA CONDICIÓN 1

2) Verifiquemos que el límite existe en el punto a ∈ℝ

( ) ( )2 2lim ( ) lim cos 5 2 cos 5 2x a x a

h x x x a a→ →

= − + = − +

Este valor del límite existe porque el dominio de la función cos x son los

Reales.

SE CUMPLE LA CONDICIÓN 2

3) Ahora aplicaremos la condición 3, que consiste en comparar el valor

obtenido en la condición 1 con el resultado obtenido en la condición 2, en este

caso:

Valor en la condición 1: ( )2cos( 5) 2ah a a − +=

Valor en la condición 2: ( )2lim ( ) cos 5 2x a

h x a a→

= − +

Evidentemente: ( ) ( )2 2cos 5 2 cos 5 2a a a a=− + − +,

por lo tanto:

Page 2: Ejercicios detallados del obj 9 mat ii (179

SE CUMPLE LA CONDICIÓN 3

Respuesta: La función es continua en todos los puntos del conjunto de los

números reales.

Ejercicio 2

Dada la función :f D ⊆ →ℝ ℝ definida por:

2 1 si 2

4( )

si 2

x xf x

x x

− <= ≥

Indique si esta función es continua en 2a = .

Solución

Justificación: En este caso, vamos a aplicar las 3 condiciones de continuidad:

1) Verifiquemos que la función existe en el punto 2a = , ESTA PRIMERA

CONDICIÓN siempre se verifica ubicando la igualdad en la función dada, en

este caso:

Por lo tanto tomamos la función x que corresponde a donde esta

ubicada la igualdad, tal como se señala en rojo, es decir:

Page 3: Ejercicios detallados del obj 9 mat ii (179

Por lo tanto evaluamos x en el punto 2a = , donde se nos pide la

continuidad:

(2) 2f =

Este valor es un número Real, por lo tanto EXISTE

SE CUMPLE LA CONDICIÓN 1

2) Verifiquemos que el límite existe en el punto 2a = . Para este punto,

dado que nos dan una función a trozos CON DESIGUALDADES, nos

apoyaremos en límites laterales, así calcularemos el límite lateral por la

izquierda y luego el límite lateral por la derecha y si son iguales concluiremos

que el límite EXISTE, de lo contrario, es decir, si son diferentes el límite NO

EXISTE.

límite lateral por la izquierda

Para este límite siempre tomaremos el símbolo < en la función dada, es

decir:

Para representar que estamos en un límite por la izquierda, al número 2

al cual tiende el límite se le coloca un superíndice NEGATIVO, ojo no es que el

valor 2 es negativo, sino que estamos por la izquierda, observa la notación

utilizada en el límite lateral por la izquierda:

Así pues, el límite lateral por la izquierda será:

2 2

2

1 1 16 1 15lim 2

1

44

4 4 4 4xx

−→

− = − = −− = =

Page 4: Ejercicios detallados del obj 9 mat ii (179

límite lateral por la derecha

Para este límite siempre tomaremos el símbolo > en la función dada, es

decir:

Para representar que estamos en un límite por la derecha, al número 2

al cual tiende el límite se le coloca un superíndice POSITIVO, ojo no es que el

valor 2 es positivo, sino que estamos por la derecha, observa la notación

utilizada en el límite lateral por la derecha:

Así pues, el límite lateral por la derecha será:

2lim 2x

x+→

=

Como los límites laterales son diferentes 2 2

15lim ( ) lim ( ) 2

4x xf x f x

− +→ →= ≠ = , el

límite 2

lim ( )x

f x→

no existe

NO SE CUMPLE LA CONDICIÓN 2

Respuesta: La función no es continua en el punto 2a = , porque el límite no

existe.

NOTA: Observa que no hubo necesidad de aplicar la condición 3, ya que la

condición 2 NO SE CUMPLIO, es decir, apenas se deje de cumplir cualquiera

de las 3 condiciones puedes concluir que la función NO es continua, en este

orden de ideas, para que una función sea CONTINUA deben cumplirse TODAS

Y CADA UNA de las 3 condiciones.

Page 5: Ejercicios detallados del obj 9 mat ii (179

Ejercicio 3

Sea :g →ℝ ℝ definida por

5 si 5( )

1 si 5

x xg x

x

+ ≠ −= = −

estudie la continuidad de la función g .

Solución

Justificación: En este caso, vamos a aplicar las 3 condiciones de continuidad, al

igual que los casos anteriores, en este caso el punto de estudio será 5a = − ,

porque es el número en el cual la función puede sufrir particularidades

geométricas:

1) Verifiquemos que la función existe en el punto 5a = − , ESTA

PRIMERA CONDICIÓN siempre se verifica ubicando la igualdad en la función

dada, en este caso:

Por lo tanto:

( 5) 1g − =

Este valor es un número Real, por lo tanto EXISTE

SE CUMPLE LA CONDICIÓN 1

2) Verifiquemos que el límite existe en el punto 5a = − . Para este punto,

dado que nos dan una función a trozos CON 2 SIGNOS, UNO IGUAL Y UNO

DE DIFERENTE, nos apoyaremos en calcular el límite a la función donde se

encuentra el símbolo de diferente ≠ , y según nos de un número real o no,

concluiremos si el límite existe o no.

Page 6: Ejercicios detallados del obj 9 mat ii (179

( )5

lim 5 5 05x

x→−

+ = − + =

Este valor es un número Real, por lo tanto EL LÍMITE EXISTE

SE CUMPLE LA CONDICIÓN 2

3) Ahora aplicaremos la condición 3, que consiste en comparar el valor

obtenido en la condición 1 con el resultado obtenido en la condición 2, en este

caso:

Valor en la condición 1: ( ) 15g − =

Valor en la condición 2: 5

0limx

g→−

=

Evidentemente: 1 0≠ , por lo tanto:

NO SE CUMPLE LA CONDICIÓN 3

Respuesta: La función g no es continua.

Ejercicio 4

Hallar el valor de la constante “k” para que la función dada por:

1 si 1( )

3 si 1

kx xf x

x x

− ≤= >

Sea continua en el punto 0 1x = .

Solución

Justificación: En este caso, vamos a aplicar las 3 condiciones de continuidad

para obtener el valor de k :

1) Verifiquemos la condición 1, que consiste en observar si la función

existe en el punto 1a = , ESTA PRIMERA CONDICIÓN siempre se verifica

ubicando la igualdad en la función dada (véase detalle del ejercicio 2 de esta

clase del objetivo 9), en este caso:

Page 7: Ejercicios detallados del obj 9 mat ii (179

si 1( )

3 si 1

1 xf x

x x

kx ≤= >

( )(1) 1 1 1f k k= − = −

Este valor es un número Real, siempre y cuando k sea Real

DEPENDE DEL VALOR DE k QUE SE CUMPLA O NO LA CONDICIÓN 1

2) Normalmente, es en esta condición es donde se logra calcular el valor

de k , apoyándonos en la existencia del límite en el punto de estudio 1a = .

Para este punto, dado que nos dan una función a trozos CON

DESIGUALDADES, nos apoyaremos en límites laterales, así calcularemos el

límite lateral por la izquierda y luego el límite lateral por la derecha y al

IGUALARLOS CALCULAREMOS EL VALOR DE k .

límite lateral por la izquierda

Para este límite siempre tomaremos el símbolo < en la función dada, es

decir:

si 1( )

3 si 1

1 xf x

x x

kx ≤= >

Así pues, el límite lateral por la izquierda será:

( ) ( )1

1lim 1 1 1x

kx k k−→

= − = −−

límite lateral por la derecha

Para este límite siempre tomaremos el símbolo > en la función dada, es

decir:

1 si 1( )

s3 i 1x

kx xf x

x

− ≤= >

Así pues, el límite lateral por la derecha será:

( ) ( )1

3lim 3 1 3x

x+→

= =

Para que la función sea continua, esta condición 2 se debe cumplir, es

decir, necesitamos que el límite exista, y sabemos que el límite existe si los

límites laterales son iguales:

1 3

3 1

4

k

k

k

− == +=

Page 8: Ejercicios detallados del obj 9 mat ii (179

De manera que SE CUMPLE LA CONDICIÓN 2 para el valor de k igual a 4 ya

que los limites laterales para este valor son iguales, es decir el límite existe:

1 1lim ( ) 1 4 1 3 lim ( ) 3x x

f x k f x− +→ →

= − = − = = = , el límite tiene valor 3.

Ahora bien, ya sabemos que para 4k = SE CUMPLE LA CONDICIÓN 2 ,

la pregunta será ¿se cumplirá la condición 1 y 3?, entonces, fíjate como se

procede en este tipo de problemas, después de calcular el valor de k , que

como te dije, normalmente se calcula con la igualdad de los límites laterales de

la condición 2, se procede a verificar cada una de las condiciones faltantes, es

decir la condición 1 y 3, observa:

PARA LA CONDICIÓN 1:

( )(1) 1 1 1 4 1 3f k k= − = − = − =

SE CUMPLE LA CONDICIÓN 1

El número 4 existe por ser un número Real

PARA LA CONDICIÓN 3:

Valor en la condición 1: 3(1)f =

Valor en la condición 2: 1

3limx

f→

=

Evidentemente: 3 3= , por lo tanto:

SE CUMPLE LA CONDICIÓN 3

Respuesta: El valor de k es 4, para que la función ( )f x sea continua.

Ejercicio 5

Dada la función:

2

3

4 si 2

4( )1

si 22

xx

x xf x

x

− ≠ −= =

a. Calcula el límite de ( )f x , por la izquierda de 2x = .

b. Calcula el límite de ( )f x , por la derecha de 2x =

c. ¿Es ( )f x una función continua en el punto 2x = ? Explica.

Solución

Justificación: En este caso analizaremos cada uno le los ítems.

Antes de continuar analizando la continuidad de la funciones introduciré

lo siguiente:

Page 9: Ejercicios detallados del obj 9 mat ii (179

La siguiente manera muy útil de hallar los límites laterales CUANDO NO

TENEMOS UNA FUNCIÓN A TROZOS CON DESIGUALDADES, como la

mostrada en el EJERCICIO 2 del presente objetivo 9, SINO QUE TENEMOS

UNA FUNCIÓN A TROZOS CON LOS SIGNOS ÚNICAMENTE DE IGUAL (=)

Y DIFERENTE ( ≠ ).

Para límite lateral por la izquierda

Cuando necesitemos calcular el límite lateral por la izquierda y no

contamos con el signo < en la función a trozos se procederá a utilizar la

siguiente modalidad para hacer el cálculo del límite lateral por la izquierda:

PRIMERO: hacer el cambio de variable: x a h= − , de manera que:

SEGUNDO: 0

lim ( ) lim ( )x a h

f x f a h− +→ →

= −

Para límite lateral por la derecha

Cuando necesitemos calcular el límite lateral por la derecha y no

contamos con el signo > en la función a trozos se procederá a utilizar la

siguiente modalidad para hacer el cálculo del límite lateral por la derecha:

PRIMERO: hacer el cambio de variable: x a h= + , de manera que:

SEGUNDO: 0

lim ( ) lim ( )x a h

f x f a h+ +→ →

= + .

Apliquemos pues ésta situación:

Para el ítem “a”

Se pide 2

lim ( )x

f x−→

. Para calcular el límite SIEMPRE se tomara la función

donde está ubicado el signo diferente ≠ , en este caso:

2

3 si 2

( )1

si

4

4

22

x

xx

f xx

x

= =

−−

Por lo tanto:

2

32

3

2

2

2 4 4 4 0lim ( ) lim

2 4(2) 8 8

4

4 0x xf

x

x xx

− −→ →

−−

− −= = = =− −

Como tenemos esta forma indeterminada y polinomios en el numerador

y denominador, debemos factorizar, por lo tanto

( )2 2 2

3 22 2 2

4 4 4lim lim lim

4 4x x x

x x x

x x x x− − −→ → →

− − −= =− − ( )2 4x x − 2

1limx x−→

=

Page 10: Ejercicios detallados del obj 9 mat ii (179

Se factorizo en el denominador extrayendo el factor común x .

Entonces el límite a calcular es:

2

1limx x−→

Aplicando el cambio de variable mencionado al inicio de este ejercicio, y

teniendo en cuenta que en nuestro caso 2a = se tiene:

PRIMERO: hacer el cambio de variable: 2x h= − , de manera que:

SEGUNDO: 2 0

1 1lim lim

2x hx h− +→ →=

Resolviendo este último límite, se tiene:

0

1 1 1lim

2 2 0 2h h+→= =

− −

Para el ítem “b”

Se pide 2

lim ( )x

f x−→

. Para calcular el límite SIEMPRE se tomara la función

donde está ubicado el signo diferente ≠ , en este caso:

2

3 si 2

( )1

si

4

4

22

x

xx

f xx

x

= =

−−

Por lo tanto:

2

32

3

2

2

2 4 4 4 0lim ( ) lim

2 4(2) 8 8

4

4 0x xf

x

x xx

+ +→ →

−−

− −= = = =− −

Como tenemos esta forma indeterminada y polinomios en el numerador

y denominador, debemos factorizar, por lo tanto

( )2 2 2

3 22 2 2

4 4 4lim lim lim

4 4x x x

x x x

x x x x+ + +→ → →

− − −= =− − ( )2 4x x − 2

1limx x+→

=

Se factorizo en el denominador extrayendo el factor común x .

Entonces el límite a calcular es:

2

1limx x+→

Aplicando el cambio de variable mencionado al inicio de este ejercicio, y

teniendo en cuenta que en nuestro caso 2a = se tiene:

PRIMERO: hacer el cambio de variable: 2x h= + , de manera que:

Page 11: Ejercicios detallados del obj 9 mat ii (179

SEGUNDO: 2 0

1 1lim lim

2x hx h+ +→ →=

+

Resolviendo este último límite, se tiene:

0

1 1 1lim

2 2 0 2h h+→= =

+ +

Para el ítem “c”

En este caso, vamos a aplicar las 3 condiciones de continuidad, al igual

que los casos anteriores, en este caso el punto de estudio será 2a = , porque

es el número en el cual la función puede sufrir particularidades geométricas:

1) Verifiquemos que la función existe en el punto 2a = , ESTA PRIMERA

CONDICIÓN siempre se verifica ubicando la igualdad en la función dada, en

este caso:

2

3

4 si 2

4( )

si 1

22

xx

x xf x

x

− ≠ −= =

Por lo tanto:

1(2)

2f =

Este valor es un número Real, por lo tanto EXISTE

SE CUMPLE LA CONDICIÓN 1

2) Verifiquemos que el límite existe en el punto 2a = . Pero ya

calculamos los límites previamente en los ítems “a” y “b” y observamos que los

límites laterales son iguales, por lo tanto el límite existe y tiene valor:

2

1lim ( )

2xf x

→=

SE CUMPLE LA CONDICIÓN 2

3) Ahora aplicaremos la condición 3, que consiste en comparar el valor

obtenido en la condición 1 con el resultado obtenido en la condición 2, en este

caso:

Valor en la condición 1: 1

(2)2

f =

Valor en la condición 2: 2

1

2lim ( )x

f x→

=

Page 12: Ejercicios detallados del obj 9 mat ii (179

Evidentemente:

1 1

2 2=

, por lo tanto:

SE CUMPLE LA CONDICIÓN 3

Por lo tanto la función es continua en 2x = .

Respuesta:

a) 2

1lim ( )

2xf x

−→=

b) 2

1lim ( )

2xf x

+→=

c) La función es continua es 2x = .

Ejercicio 6

Para el logro de este objetivo debes responder correctamente dos opciones.

Dada la función :f →ℝ ℝ , definida por:

91 si 1

4( )

32 si 1

4

x x

f x

x x

− − ≤ −= − − > −

Responde con una V si las siguientes afirmaciones son verdaderas o con una F

si son falsas.

a. 1

5lim ( )

4xf x

−→−= _____

b. 1

5lim ( )

4xf x

+→−= _____

c. f es una función continua en el punto 1x = − _____

Solución

Justificación: En este caso haremos los cálculos solicitados, para poder

responder acerca de la veracidad de los distintos planteamientos:

Para el ítem “a”

Para calcular el 1

5lim ( )

4xf x

−→−= , se toma, como ya sabemos, la expresión

matemática que corresponde al signo <, es decir:

Page 13: Ejercicios detallados del obj 9 mat ii (179

Entonces:

( )1 1

9 9 9 4 5lim ( ) lim 1 1 1

4

91

4 4 44x xf x x

− −→− →−

−= = − − − = − =−

=−

Por lo tanto la primera afirmación es Verdadera.

Para el ítem “b”

Para calcular el 1

5lim ( )

4xf x

+→−= , se toma, como ya sabemos, la expresión

matemática que corresponde al signo >, es decir:

32

91 si 1

4( )

si 4

1x

x x

f x

x

− − ≤ −=−>

− −

Entonces:

( )1 1

3 3 8 3 5lim ( ) lim 2

31 2

4 42

4 4 4x xxf x

+ +→− →−

−= = − − − = − =−

=−

Por lo tanto la segunda afirmación es Verdadera.

Para el ítem “c”

En este caso, vamos a aplicar las 3 condiciones de continuidad, al igual

que los casos anteriores, en este caso el punto de estudio será 1a = − , porque

es el número en el cual la función puede sufrir particularidades geométricas:

1) Verifiquemos que la función existe en el punto 1a = − , ESTA

PRIMERA CONDICIÓN siempre se verifica ubicando la igualdad en la función

dada, en este caso:

Por lo tanto:

Page 14: Ejercicios detallados del obj 9 mat ii (179

( )91 1

4

9 9 4 5( 1) 1

4 4 4f

−− = == − =− − −

=

Este valor es un número Real, por lo tanto EXISTE

SE CUMPLE LA CONDICIÓN 1

2) Verifiquemos que el límite existe en el punto 1a = − . Pero ya

calculamos los límites previamente en los ítems “a” y “b” y observamos que los

límites laterales son iguales, por lo tanto el límite existe y tiene valor:

1

5lim ( )

4xf x

→−=

SE CUMPLE LA CONDICIÓN 2

3) Ahora aplicaremos la condición 3, que consiste en comparar el valor

obtenido en la condición 1 con el resultado obtenido en la condición 2, en este

caso:

Valor en la condición 1: 4

(5

1)f − =

Valor en la condición 2: 1

5

4lim ( )x

f x→−

=

Evidentemente:

5 5

4 4=

, por lo tanto:

SE CUMPLE LA CONDICIÓN 3

Por lo tanto la función es continua en 1x = − .

Respuesta:

a) V

b) V

c) V

Ejercicio 7

Dada la función: 2

3

4 si 2

2( )1

si 22

xx

xf x

x x

− < − += ≥ −

a) Calcula el límite de f(x), por la

izquierda de 2x = −

b) Calcula el límite de f(x), por la

derecha de 2x = −

c) ¿Es f una función continua en el

punto 2x = − ? Explica

Solución

Page 15: Ejercicios detallados del obj 9 mat ii (179

Justificación: En este caso haremos los cálculos solicitados, para poder

responder cada uno de los planteamientos:

Para el ítem “a”

Para calcular el 2

lim ( )x

f x−→−

, se toma, como ya sabemos, la expresión

matemática que corresponde al signo <, es decir:

2

3

si 2

( )1

si 22

4

2x

f x

x x

x

x

−=

− <+

≥ −

Entonces:

2 2

2 2

2 4 4 4 0lim ( ) lim

40

2 2 4 42x x xf x

x− −→− →−

− +

− −= = = =

=+

Para el ítem “b”

Para calcular el 2

lim ( )x

f x+→−

, se toma, como ya sabemos, la expresión

matemática que corresponde al signo >, es decir:

Entonces:

( ) ( )3 3

2 2

1 1 8lim ( ) lim

1 2 8 4

2 22 2x xf x x

+ +→− →−

= = − = − =

= −

Para el ítem “c”

En este caso, vamos a aplicar las 3 condiciones de continuidad, al igual

que los casos anteriores, en este caso el punto de estudio será 2a = − , porque

es el número en el cual la función puede sufrir particularidades geométricas:

1) Verifiquemos que la función existe en el punto 2a = − , ESTA

PRIMERA CONDICIÓN siempre se verifica ubicando la igualdad en la función

dada, en este caso:

Page 16: Ejercicios detallados del obj 9 mat ii (179

Por lo tanto:

( ) ( )3 1 8( 2) 8 4

2

1 2

2 2f − = = − = − = −−

Este valor es un número Real, por lo tanto EXISTE

SE CUMPLE LA CONDICIÓN 1

2) Verifiquemos que el límite existe en el punto 2a = − . Pero ya

calculamos los límites previamente en los ítems “a” y “b” y observamos que los

límites laterales son diferentes, por lo tanto el límite no existe.

NO SE CUMPLE LA CONDICIÓN 2

Por lo tanto la función no es continua en 2x = − .

Respuesta:

a) 2

lim ( ) 0x

f x−→−

=

b) 2

lim ( ) 4x

f x+→−

= −

c) La función f no es continua en el punto 2x = − .

Ejercicio 8

Sea :g →ℝ ℝ la función definida por 5 si 5

( )0 si 5

x xf x

x

+ ≠ −= = −

. Entonces

podemos asegurar que:

a. g no es continua en 1x = b. g no es continua en 0x =

c. g no es continua en 5x = − d. g es continua en 5x = −

Solución

Justificación: En este caso, vamos a aplicar las 3 condiciones de continuidad, al

igual que los casos anteriores, en este caso el punto de estudio será 5a = − ,

porque es el número en el cual la función puede sufrir particularidades

geométricas:

Page 17: Ejercicios detallados del obj 9 mat ii (179

1) Verifiquemos que la función existe en el punto 5a = − , ESTA

PRIMERA CONDICIÓN siempre se verifica ubicando la igualdad en la función

dada, en este caso:

Por lo tanto:

( 5) 0g − =

Este valor es un número Real, por lo tanto EXISTE

SE CUMPLE LA CONDICIÓN 1

2) Verifiquemos que el límite existe en el punto 5a = − . Para este punto,

dado que nos dan una función a trozos CON 2 SIGNOS, UNO IGUAL Y UNO

DE DIFERENTE, nos apoyaremos en calcular el límite a la función donde se

encuentra el símbolo de diferente ≠ , y según nos de un número real o no,

concluiremos si el límite existe o no.

( )5

lim 5 5 05x

x→−

+ = − + =

Este valor es un número Real, por lo tanto EL LÍMITE EXISTE

SE CUMPLE LA CONDICIÓN 2

Page 18: Ejercicios detallados del obj 9 mat ii (179

3) Ahora aplicaremos la condición 3, que consiste en comparar el valor

obtenido en la condición 1 con el resultado obtenido en la condición 2, en este

caso:

Valor en la condición 1: ( ) 05g − =

Valor en la condición 2: 5

0limx

g→−

=

Evidentemente: 0 0= , por lo tanto:

SE CUMPLE LA CONDICIÓN 3

La función g es continua en 5x = −

Respuesta: Opción correcta “d”

Ejercicio 9

Haz la representación gráfica de la función :h →ℝ ℝ , definida por:

y determina si es continua en ℝ .

Solución

Justificación: Primero graficaremos cada función en su correspondiente

intervalo.

Para 12s ≤ −

Se tiene la función ( )( ) 22h s s= − + , como la variable s esta elevado a la

uno, se trata de una línea recta. Para graficar una línea recta es suficiente

obtener 2 puntos cualesquiera de ella, en este caso tomaremos 2 valores de s

que estén por supuesto dentro del intervalo 12s ≤ − , y así calcularemos las

ordenadas de cada una de esos valores para representarlos en el plano real y

graficar pues la recta.

Tomaremos los siguientes valores arbitrarios: 13s = − y 12s = − . Es

recomendable tomar en éstos 2 valores arbitrarios el valor extremo, es decir,

12s = − donde cambia la función a trozos dada:

s ( )h s

13− ( )( 13) 13 22 9h − = − − + = −

Page 19: Ejercicios detallados del obj 9 mat ii (179

12− ( )( 12) 12 22 10h − = − − + = −

NOTA: Debes tener especial cuidado al operar con los signos en la suma

algebraica, si tienes problemas aun con los signos repasa la clase 2 teórica

acerca de la regla de los signos.

Por lo tanto se tienen los puntos del plano;

( )13, 9P − − y ( )12, 10Q − −

Para 12 12s− < <

Se tiene la función ( ) 10h s = − , que es una línea recta horizontal en el

intervalo dado 12 12s− < < .

Para 12s ≥

Se tiene la función ( ) 22h s s= − , como la variable s esta elevado a la

uno, se trata de una línea recta. Para graficar una línea recta es suficiente

obtener 2 puntos cualesquiera de ella, en este caso tomaremos 2 valores de s

que estén por supuesto dentro del intervalo 12s ≥ , y así calcularemos las

ordenadas de cada una de esos valores para representarlos en el plano real y

graficar pues la recta.

Tomaremos los siguientes valores arbitrarios: 12s = y 13s = . Es

recomendable tomar en éstos 2 valores arbitrarios el valor extremo, es decir,

12s = donde cambia la función a trozos dada:

s ( )h s

12 (12) 12 22 10h = − = −

13 (13) 13 22 9h = − = −

Por lo tanto se tienen los puntos del plano;

( )12, 10R − y ( )13, 9T −

Ahora podemos graficar:

Page 20: Ejercicios detallados del obj 9 mat ii (179

La gráfica de las funciones está en rojo y los puntos en color azul.

Se puede apreciar que la gráfica es continua en todo el eje horizontal

real s , se puede decir geométricamente, que no levantas el lápiz para trazar la

gráfica, por lo tanto la función es continua en todo ℝ .

Respuesta:

a) Gráfica:

b) La función según la gráfica es continua en todo ℝ .

Ejercicio 10

Page 21: Ejercicios detallados del obj 9 mat ii (179

Sea :h →ℝ ℝ la función definida como sigue:

3 si 0( )

1 si 0

x xh x

x x

<= − ≥

Determine si h es continua en 0x = .

Solución

Justificación: En este caso, vamos a aplicar las 3 condiciones de

continuidad:

1) Verifiquemos que la función existe en el punto 0a = , ESTA PRIMERA

CONDICIÓN siempre se verifica ubicando la igualdad en la función dada, en

este caso:

Por lo tanto tomamos la función 1x − que corresponde a donde esta

ubicada la igualdad, tal como se señala en rojo, por lo tanto:

0 1(0) 1f −= = −

Este valor es un número Real, por lo tanto EXISTE

SE CUMPLE LA CONDICIÓN 1

2) Verifiquemos que el límite existe en el punto 0a = . Para este punto,

dado que nos dan una función a trozos CON DESIGUALDADES, nos

apoyaremos en límites laterales, así calcularemos el límite lateral por la

izquierda y luego el límite lateral por la derecha y si son iguales concluiremos

que el límite EXISTE, de lo contrario, es decir, si son diferentes el límite NO

EXISTE.

límite lateral por la izquierda

Para este límite siempre tomaremos el símbolo < en la función dada, es

decir:

3 si 0( )

1 si 0

xh x

x x

x=

− ≥<

Así pues, el límite lateral por la izquierda será:

( )3 3

0lim 0 0x

x−→

= =

límite lateral por la derecha

Page 22: Ejercicios detallados del obj 9 mat ii (179

Para este límite siempre tomaremos el símbolo > en la función dada, es decir:

Así pues, el límite lateral por la derecha será:

( )0

lim 0 1 11x

x+→

− = − = −

Como los límites laterales son diferentes 0 0

lim ( ) 0 lim ( ) 1x x

f x f x− +→ →

= ≠ = − , el

límite 0

lim ( )x

f x→

no existe

NO SE CUMPLE LA CONDICIÓN 2

Por lo tanto la función h no es continua en 0x = .

Respuesta: La función h no es continua en 0x = .

A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,

¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu

eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.

Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo

saber, a través, de mi correo: [email protected]. Recuerda que en

mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el

estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente

editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o

escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta

a la brevedad posible.

Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,

justificación y respuesta , ya que en los exámenes de desarrollo deberás

justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante

que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre

dando justificación y luego la respuesta .

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio 1

Dada la función :f →ℝ ℝ definida por:

Page 23: Ejercicios detallados del obj 9 mat ii (179

2

2

2 1

( ) 1 1

2 3 1

x si x

f x Ax B si x

x x si x

− + < −= + − ≤ ≤ + + >

¿Cuánto deben valer A y B para que esta función sea continua en 1x = − y en

1x = ?

Ejercicio 2

Halle un valor del número k para que la función :f →ℝ ℝ , definida por:

2 ( 4) , 5( )

( 1) 1 , 5

x xf x

x x

− <= + + ≥

k

k,

sea continua en 5x = .

Ejercicio 3

Indica los puntos del dominio donde, la siguiente función, es continua:

4 2

2

3 2( )

3 4

x xf x

x x

− +=− −

Ejercicio 4

Dada la función :f →ℝ ℝ definida por:

2

3

2 si 1

( ) 1 si 1

x 3 2 si 1

x 1

x Ln x x

f x x

xx

+ − >= = − + < −

determine si f es continua en el punto 1x = .

Ejercicio 5

Haz la representación gráfica de la función dada por:

91 si 1

4( )

3 2 si 1

4

x x

f x

x x

− − ≤ −= − − > −

y determina usando la definición de continuidad, si ella es continua en el

intervalo cerrado [−3, 2].

Ejercicio 6

Determina un intervalo donde es continua la función f , dada por:

Page 24: Ejercicios detallados del obj 9 mat ii (179

( )3 7( )

1x

sen xf x

e

−=

−.

Ejercicio 7

Responde con una V si los enunciados siguientes son verdaderos o con una F

si son falsos.

a. Si una función f es continua en un punto a ∈ℝ es indispensable que a

pertenezca al dominio de f _______________.

b. Si f y g son dos funciones continuas en un punto a de su dominio,

entonces f g+ es continua en a ________________.

c. Una función f es continua en el intervalo cerrado [ ],a b , si es continua en el

intervalo abierto ( ),a b y en los extremos a y b del intervalo se cumple que

lim ( ) ( )x a

f x f a+→

= y lim ( ) ( )x b

f x f b−→

= ___________.

Ejercicio 8

Responda con una V si los siguientes enunciados son verdaderos y con una F

si son falsos, en el espacio correspondiente.

a) Una función puede estar definida en un punto sin ser continua en él ___

b) Una función :f I ⊆ →ℝ ℝ es continua en un punto a I∈ si a medida que

nos “acercamos” al punto a, manteniéndonos en el dominio de f , los valores

de la función f se “acercan” al valor ( )f a __

c) Se dice que una función es continua sobre un intervalo, si su gráfica puede

trazarse sin interrupción, es decir, sin levantar el lápiz del papel ___

Ejercicio 9

Determina el valor de k ∈ℝ de forma que:

23 1 1( )

2 1

kx si xf x

x k si x

+ ≤ −= + > −

,

sea continua en 1x = − .

Ejercicio 10

Dada la función definida a trozos :f →ℝ ℝ tal que

2

2

93

( ) 3

2 3 3

xsi x

f x x

x x si x

− <= − − + ≥

. Se pide determinar si f es continua en 3a = .