ejercicios detallados del obj 2 mat iii 733

Capitulo III

Matemática III (733)

Objetivo 2. Calcular las integrales impropias, los criterios y propiedades

correspondientes.

Ejercicio 1

Determine la convergencia o divergencia de ( )433

( 2)

2

arctg xdx

x

∞ −

−∫

Solución

Justificación: Primero voy a hacer algunos comentarios acerca de lo que

es una integral impropia. En muchas ocasiones resolvemos integrales

denominadas definidas por algunos autores y propias por otros, y se

caracterizan porque la función f es continua y acotada en un intervalo cerrado

[ ],a b y se representan así:

( )b

a

f x dx∫

Ahora bien, las integrales que no son propias, es decir, impropias, son

aquellas donde el intervalo de integración es infinito o que la función no esta

acotada, es decir, cuando la función tiene un número finito de discontinuidades

infinitas en alguno de los extremos de integración o en un punto que pertenece

al intervalo de integración.

A las primeras integrales (el intervalo de integración es infinito) algunos

autores las llaman de primera especie y a las segundas (función no acotada)

las llaman integrales impropias de segunda especie, e inclusive hay autores

que definen un tercer grupo, llamándolas de tercera especie a aquellas que son

mixtas, es decir, tienen características de las integrales impropias de primera y

segunda especie y normalmente se resuelven dividiéndola en 2 integrales, una

de primera y otra de segunda especie y aplicar la resolución correspondiente a

cada una.

Ahora bien, la pregunta es: ¿Cómo calculo una integral impropia?

Respuesta: Se calculan de la siguiente manera:

Integrales impropias de primera especie (limite de integración infinito)

Caso 1: ( ) lim ( )b

ba a

f x dx f x dx∞

→∞=∫ ∫

Caso 2: ( ) lim ( )b b

aa

f x dx f x dx→−∞

−∞

=∫ ∫

Caso 3: ( ) lim ( ) lim ( )c b

a ba c

f x dx f x dx f x dx∞

→−∞ →∞−∞

= +∫ ∫ ∫

Para los 2 primeros casos, si los limites existen y son finitos, se concluirá

que la integral CONVERGE, en caso contrario, es decir, que el límite exista y

sea infinito o que no exista se concluirá que la integral DIVERGE.

En el tercer caso, se cumple el mismo criterio de convergencia o

divergencia ya mencionado, con la salvedad de que la integral original

( )f x dx∞

−∞∫ diverge si alguna de las integrales de la derecha diverge.

Integrales impropias de segunda especie (función no acotada)

Caso 1: ( )f x tiene una discontinuidad infinita en el extremo inferior a ,

recuerda que una discontinuidad infinita de una función es cuando:

lim ( ) o lim ( )x a x a

f x f x→ →

= ∞ = −∞

Estas condiciones son las que se tenían que cumplir cuando en

Matemática 2 se te pedía hallar asíntotas verticales.

En este caso se escribirá:

( ) lim ( )b b

c aa c

f x dx f x dx+→

=∫ ∫

Observa que el límite tiende a a por la derecha, porque estamos dentro

del intervalo de integración.

Caso 2: ( )f x tiene una discontinuidad infinita en el extremo superior b .

En este caso se escribirá:

( ) lim ( )b c

c ba a

f x dx f x dx−→

=∫ ∫

Observa que el límite tiende a b por la izquierda, porque estamos dentro

del intervalo de integración.

Caso 3: ( )f x tiene una discontinuidad infinita en un punto c que

pertenece al intervalo de integración [ ],c a b∈ , en este caso se escribirá.

( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( )b c b d b

d c d ca a c a d

f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx− +→ →

= + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Gráficamente la situación del intervalo sería:

Para los 2 primeros casos, si los limites existen y son finitos, se concluirá

que la integral CONVERGE, en caso contrario, es decir, que el límite exista y

sea infinito o que no exista se concluirá que la integral DIVERGE.

En el tercer caso, se cumple el mismo criterio de convergencia o

divergencia ya mencionado, con la salvedad de que la integral original

( )f x dx∞

−∞∫ diverge si alguna de las integrales de la derecha diverge.

A manera general, se trabajará calculando la primitiva de la función

integrando y se evaluara en los límites correspondientes de integración para

finalmente calcular el límite.

Ahora bien, hay casos, donde calcular la primitiva puede ser complicado,

e incluso, no existir la primitiva, en estos casos hay criterios que salvan la

situación y al aplicarse podemos saber si una integral impropia converge o no,

te nombraré 2 de los más usados:

Cuadro Nº 1

Comentarios de la tabla:

A) La integral modelo denotada por la letra M y m en el teorema de

comparación es la conocida por ti y tú la construyes sabiendo que converge o

diverge según tomes el valor de n señalado en la tabla, por ejemplo:

• La integral 3

5

dx

x

∞

∫ converge porque 3 1n = > (Integral de primera especie)

• La integral ( )

7

52 2

dx

x −∫ diverge porque 5 1n = > (Integral de segunda

especie)

• La integral 15 5 2

dx dx

xx

∞ ∞

=∫ ∫ diverge porque 1

12

n = < (Integral de primera

especie)

• La integral 5

dx

x

∞

∫ diverge porque 1 1n = = (Integral de primera especie)

• La integral ( ) ( )

7 7

13

2 2 32 2

dx dx

x x=

− −∫ ∫ converge porque

11

3n = < (Integral de

segunda especie)

• La integral ( )7

2 2

dx

x −∫ diverge porque 1 1n = = (Integral de segunda

especie)

B) La integral problema es la que te dan en el ejercicio, en la tabla viene

representada por ( )a

f x dx∞

∫ para las de primera especie y por ( )b

a

f x dx∫ para

las de segunda especie.

C) En el teorema de comparación para las integrales de primera especie

( )a

f x dx∞

∫ :

A manera general nos quieren decir que si la integral seleccionada por ti,

es decir, la integral modelo, (ésta integral modelo vamos a denotarla ( )a

g x dx∞

∫ )

converge y se cumple:

( ) ( )a a

f x dx g x dx∞ ∞

≤∫ ∫

Entonces puedes concluir que la integral problema ( )a

f x dx∞

∫

CONVERGE.

Si por el contrario, la integral modelo ( )a

g x dx∞

∫ diverge y se cumple:

( ) ( )a a

g x dx f x dx∞ ∞

≥∫ ∫


f x dx∞

∫ DIVERGE.

D) En el teorema de comparación para las integrales de segunda

especie ( )b

a

f x dx∫ :

A manera general nos quieren decir que si la integral seleccionada por ti,

es decir, la integral modelo, (ésta integral modelo vamos a denotarla ( )b

a

g x dx∫ )

converge y se cumple:

( ) ( )b b

a a

f x dx g x dx≤∫ ∫

Entonces puedes concluir que la integral problema ( )b

a

f x dx∫

CONVERGE.

Si por el contrario, la integral modelo ( )b

a

g x dx∫ diverge y se cumple:

( ) ( )b b

a a

g x dx f x dx≥∫ ∫

Entonces puedes concluir que la integral problema ( )b

a

f x dx∫ DIVERGE.

E) En el criterio del cociente, lo que quiere decir, tanto para las integrales

de primera como de segunda especie, es que si el límite ES FINITO Y

DISTINTO DE CERO, ambas integrales convergen o ambas divergen, según la

integral modelo que tengas.

Si este límite llega a darte cero (0) lo único que puedes concluir es que si

la integral modelo converge, entonces la integral problema también

CONVERGE, más no puedes concluir nada acerca de la divergencia.

Después de haber hecho estos comentarios que servirán para toda la

guía procederé a resolver el ejercicio planteado.

( )433

( 2)

2

arctg xdx

x

∞ −

−∫

Observa que la integral es de primera especie, es decir, tiene límite de

integración infinito, NO es de segunda especie porque la función integrando

( )43

( 2)

2

arctg x

x

−

− no tiene discontinuidades infinitas en el intervalo de integración

[ )3,∞ . Siendo así las cosas, podemos escribir:

( ) ( )4 43 33 3

( 2) ( 2)lim

2 2

b

b

arctg x arctg xdx dx

x x

∞

→∞

− −=− −

∫ ∫

Pasemos entonces a calcular la primitiva:

( )43

( 2)

2

arctg xdx

x

−

−∫

Estamos en presencia de una integral por partes, por contener el

integrando la función inversa de la tangente, tal como se explicó en detalle en

el objetivo 1, por lo tanto, se procederá así:

( )443

3

( 2( 2)

(2

)

2)

u arc

dxdv

arctg xI dx

x

t x

x

g− = →

= −

=

−

−

∫

Aplicando la derivada de u y la integral de dv , se tiene:

'

2

4343

2

( 2)

( 2)( 2) 1

1 ( 2)1 ( 2)

( 2

)

dxdv dx

d

xduu arctg x

du dxxx

v vxx

→ →

−== −=+ −

== =

−−

+

−∫ ∫

La integral de dv se calculará así:

4 4 4

3 3 34433

2( 2) ( 2)

( 2) ( 2)

u xdx dxx dx x dx u du

du dxx x

− − −= −= = − → − = =− −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

4 114 3 3

31

3

34 1

13 3

u uu du

u

− + −− −= = =

− + −∫

( ) ( )1 1433 3

3 3

( 2) 2 2

dxv

x x x

− −= → =− − −

∫

Sustituyendo en la fórmula de integración por parte:

( ) ( )1 13 3

2

3 3

2

1( 2)

1 (. .

).

22u du arctg xI v v

xdx

xx= − =

+−−

−− −− −

∫ ∫

( ) ( ) ( )1 233

3( 2) 3

2 1 ( 2)2

dxI arctg x

x xx

−= − +− + −−

∫

Esta última integral se resuelve a través del cambio 32x z− = , para

eliminar la raíz de la integral, así:

3

2

2

3

x z

dx z dz

− = =

Sustituyendo este cambio de variable, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

62 3 3 3 23

3 3 33 3 3 3

12 1 ( 2) 1 ( )

dx z dz z dz z

z zx x z z= = =

+− + − +∫ ∫ ∫dz

z ( ) ( )6 69

1 1

zdz

z z=

+ +∫ ∫

Esta última integral la podemos escribir:

( ) ( )( )36 29 9

1 1

zdz zdz

z z=

+ +∫ ∫

Y con el cambio de variable:

2

22

w z

dwdw zdz zdz

=

= → =

Así:

( )( ) 332

99

2 11

zdz dw

wz=

++∫ ∫

Recordando: ( ) ( )3 3 2 2a b a b a ab b+ = + − +

Se tiene: ( ) ( )( ) ( )( )3 3 2 2 21 1 1 1 1 1w w w w w w w+ = + − + = + − +

Nuestra integral se transforma en:

( )( )3 2

9 9

2 1 2 1 1

dw dw

w w w w=

+ + − +∫ ∫

Separando en fracciones parciales, método de integración explicado en

detalle en el Objetivo 1:

( ) ( ) 22

1

1 11 1

A Bw C

w w ww w w

+= ++ − ++ − +

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )2

2 2

1 11

1 1 1 1

A w w Bw C w

w w w w w w

− + + + +=

+ − + + − +

( )( )2

1

1 1w w w+ − +

( ) ( )( )( )( )

2

2

1 1

1 1

A w w Bw C w

w w w

− + + + +=

+ − +

( ) ( )2 21 Aw Aw A Bw Cw Bw C= − + + + + +

( ) ( )21 A B w B C A w A C= + + + − + +

01

0 0 1 0 3 13

1 1

A B B A

B C A B C A A A A A A

A C C A

+ = = − + − = → + − = → − + − − = → = ∴ = + = = −

Entonces:

1 1 2 y 1

3 3 3B C= − = − =

Así:

3 2

1 29 9 1 9 3 32 1 2 3 1 2 1

wdw dwdw

w w w w

− += +

+ + − +∫ ∫ ∫

3 2 2

9 3 9 1 9 2

2 1 2 1 2 3 1 2 3 1

dw dw wdw dw

w w w w w w= − +

+ + − + − +∫ ∫ ∫ ∫

3 2 2

9 3 33

2 1 2 1 2 1 1

dw dw wdw dw

w w w w w w= − +

+ + − + − +∫ ∫ ∫ ∫

La primera de estas integrales es directa:

3 3ln 1

2 1 2

dww

w= +

+∫

La segunda y tercera integral, se resuelven completando cuadrados en

el denominador:

Para la segunda:

2 22

3 3 3

2 1 2 21 1 1 31

2 4 2 4

wdw wdw wdw

w ww w

− = − = −− + − − + − +

∫ ∫ ∫

Con el cambio de variable:

1 1

2 2R w w R

dR dw

= − → = + =

Se tiene:

2 2 2 2 2

13 3 3 1 3 32

3 3 3 3 32 2 2 2 2 44 4 4 4 4

R dRRdR dR RdR dR

R R R R R

+ − = − − = − −

+ + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Para la tercera:

2 223 3 3

1 1 1 1 31

2 4 2 4

dw dw dw

w ww w

= =− + − − + − +

∫ ∫ ∫

Con el mismo cambio de variable: 1 1

2 2R w w R

dR dw

= − → = + =

se tiene:

22

3 331 342 4

dw dR

Rw

= +− +

∫ ∫

Al sumar la segunda y tercera integral se tiene:

22 2

22

33

33 3

332 1 1

42 3

44

4

wdw dw RdR

w w w

dR dR

Rw R R− + −= −

− + − +++

++∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Como las integrales destacadas en azul son iguales se suman

algebraicamente:

22

22

3 33

32 1

33

344

1 24

wdw dw RdR

w w

d

w Rw R

R− + −

= − +− + − + + +

∫ ∫ ∫ ∫

2 22 2

3 3 93

3 32 1 1 2 44 4

wdw dw RdR dR

w w w w R R− + = − +

− + − + + +∫ ∫ ∫ ∫

Y estas 2 últimas integrales son inmediatas, haré un cambio de variable

en la primera de ellas para que visualices mejor:

2

2

33 3 3 1 34 2 ln

32 2 2 2 42

4 2

dRRdR d

dR d RdR RdR

ββ β ββ β ββ

= +− → → − = − = −+ = ∴ =

∫ ∫ ∫

Devolviendo este cambio:

2

2

3 3 3ln

32 4 44

RdRR

R

− = − + +

∫

En la segunda integral 2

9344

dR

R +∫ , se compara con la integral de tabla:

2 2

1du uarctg

u a a a = +

∫

Al comparar se tiene: 2 3 3

4 2a a= ∴ =

Entonces:

2

9 9 1 9 234 4 3 3 2 3 34 2 2

dR R Rarctg arctg

R

= = +

∫

Como: 1

2R w= − se tiene:

2

2 2

12

3 3 1 3 9 23 ln

2 1 1 4 2 4 2 3 3

wwdw dw

w arctgw w w w

− − + = − − + + − + − +

∫ ∫

( )22 2

3 3 9 2 13 ln 1

2 1 1 4 2 3 3

wdw dw ww w arctg

w w w w

− − + = − − + + − + − + ∫ ∫

Por lo tanto:

( )23

9 3 3 9 2 1ln 1 ln 1

2 1 2 4 2 3 3

dw ww w w arctg

w

− = + − − + + + ∫

Como 2w z= , se tiene:

( ) ( ) ( )2

2 4 2

6

3 3 9 2 19 ln 1 ln 1

2 41 2 3 3

zdz zz z z arctg

z

−= + − − + + + ∫

Y como 3 32 2x z z x− = ∴ = −

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )232 4 23 3 3

23

2 2 13 3 93 ln 2 1 ln 2 2 1

2 4 2 3 32 1 ( 2)

xdxx x x arctg

x x

− − = − + − − − − + + − + −

∫

Finalmente nuestra integral original es:

( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )23

2 4 23 3 3

3

2 2 13 3 3 9( 2) ln 2 1 ln 2 2 1

2 4 2 3 32

xI arctg x x x x arctg

x

− −− = − + − + − − − − + + −

Para calcular el límite: ( )433

( 2)lim

2

b

b

arctg xdx

x→∞

−

−∫ , evaluamos esta primitiva

entre 3 y b , obteniendo:

( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )23

2 4 23 3 3

3

2 2 13 3 3 9( 2) ln 2 1 ln 2 2 1

2 4 2 3 323

bx

arctg x x x x arctgx

− −− − + − + − − − − + + −

( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )23

2 4 23 3 3

3

2 2 13 3 3 9( 2) ln 2 1 ln 2 2 1

2 4 2 3 32

barctg b b b b arctg

b

− −− − + − + − − − − + + − −

( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )23

2 4 23 3 3

3

2 3 2 13 3 3 9(3 2) ln 3 2 1 ln 3 2 3 2 1

2 4 2 3 33 2arctg arctg

− −− − + − + − − − − + + −

La dos últimas escrituras destacadas en azul son continuas, es decir

evalué en b , en la primera línea y le reste la evaluación en 3 en la segunda

línea.

Continuando con la evaluación:

( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )23

2 4 23 3 3

3

2 2 13 3 3 9( 2) ln 2 1 ln 2 2 1

2 4 2 3 32


b

− −− − + − + − − − − + + − −

( ) ( )3 3 9 2 13 (1) ln 2 ln 1 1 1

2 4 2 3 3arctg arctg

− − + − − + +

( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )23

2 4 23 3 3

3

2 2 13 3 3 9( 2) ln 2 1 ln 2 2 1

2 4 2 3 32


b

− −− − + − + − − − − + + − −

( )3 3 9ln 2

4 2 62 3

π π− + +

( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )23

2 4 23 3 3

3

2 2 13 3 3 9( 2) ln 2 1 ln 2 2 1

2 4 2 3 32


b

− −− − + − + − − − − + + − −

( )3 3 3ln 2

4 2 4 3

π π− + +

( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

232 4 23 3 3

3

2 2 13 3 3 9 3 3 3( 2) ln 2 1 ln 2 2 1 ln 2

2 4 4 22 3 3 4 32


b

π π − −− − + − + − − − − + + + − − −

Aplicando las propiedades de logaritmo: ln ln bb a a= y ln ln lna

a bb

= − , se tiene:

( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

3 3 232 42 4 23 3 3

3

2 2 13 9 3 3 3( 2) ln 2 1 ln 2 2 1 ln 2

4 22 3 3 4 32


b

π π − −− − + − + − − − − + + + − − −

( )( )( )

( ) ( )( )( ) ( )

3223 23

33

44 23 3

2 1 2 2 13 9 3 3 3( 2) ln ln 2

4 22 3 3 4 322 2 1

b barctg b arctg

bb b

π π − + − −− − + + + − − −

− − − +

( )

( )( )( ) ( )( )

( ) ( )

323 23

33

44 23 3

2 1 2 2 13 9 3 3 3( 2) ln ln 2

4 22 3 3 4 322 2 1

b barctg b arctg

bb b

π π

− + − −− − + + + − − −

− − − +

( )( )( )

( ) ( )( )( ) ( )

323 23

23344 23 3

2 1 2 2 13 9 3 3 3( 2) ln ln 2

4 22 3 3 4 322 2 1

b barctg b arctg

bb b

π π

− + − −− − + + + − − −

− − − +

( )( )( )

( ) ( )( )( ) ( )

323 23

33

24 23 3

2 1 2 2 13 9 3 3 3( 2) ln ln 2

4 22 3 3 4 322 2 1

b barctg b arctg

bb b

π π − + − −− − + + + − − − − − − +

Aplicaré el límite cuando b → ∞ , a cada una de las expresiones

anteriores:

Primer límite:

( ) ( ) ( )3 3 3

3 3 3 3lim ( 2) ( 2) ( ) . 0. 0

2 22 2barctg b arctg arctg

b

π π→∞

− − − −− = ∞ − = ∞ = = =∞− ∞ − ∞

Segundo límite:

( ) ( ) ( )2 23 32 2 1 2 2 19 9 9 1 9

lim2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3b

barctg arctg arctg arctg

→∞

− − ∞ − − ∞ − = = = ∞ =

9 9.22 3 4 3

π π=

Tercer límite:

( ) ( )3 3 3 3 3 3lim ln 2 ln 2

4 2 4 24 3 4 3b

π π π π→∞

− − = − −

Porque el límite de una constante, es constante.

Cuarto y último límite:

( )( )( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( )

3 32 23 3

3 34 224 2 3 33 3

2 1 2 1lim ln lim ln

2 2 12 2 1b b

b b

b bb b→∞ →∞

− + − + = − − − +− − − +

( )( )( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( )

23 62 23 3

43 34 2 4 23 3 3 3

2 1 2 1lim ln lim ln

2 2 1 2 2 1b b

b b

b b b b→∞ →∞

− + − + =

− − − + − − − +

Su sustituimos por infinito se tiene:

( )( )( ) ( )( )

623

4 34 23 3

2 1lim ln

2 2 1b

b

b b→∞

− + ∞=∞− − − +

Por lo tanto dividimos entre el término de mayor grado:

( )( )( ) ( )( )

( )

( ) ( )

66 2323

4

64

3 34 44 2 4 23 3 3 3

44

3

2 12 1

lim ln lim ln2 2 1 2 2 1

b b

bb

bb

b b b b

b b

→∞ →∞

− +− + =

− − − + − − − +

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

6 62 23 3

2 2 2

3 3 3

3 34 44 2 4 23 3 3 3

4 4 4 4

3 3 3 3

2 1 2 1

lim ln lim ln

2 2 1 2 2 1b b

b b

b b b

b b b b

b b b b

→∞ →∞

− + − + =

− − − + − − − +

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

6 62 23

32 223 23 3

3 344 4 2 4 23 33 3

44 443 34 433

2 21 1

lim ln lim ln

2 2 2 2 11b b

b b

bb b b

b b b b

b bb b bb

→∞ →∞

− − + + =

− − − − − +− +

6 62 2

3 32 23 3

3 34 44 42 2

3 33 34 44 4 4 43 3

2 1 2 1

lim ln lim ln

2 4 4 1 2 4 14

b b

b b

b b bb b

b b b b b b

b b b b b b bb b

→∞ →∞

− + − + =

− − + − + − − − + +

6 62 2

3 32 23 3

3 34444

333 344 2 3 42 3 433

2 1 2 11 1

lim ln ln

2 1 4 4 12 1 4 4 111

b

bb

b b b bb

→∞

− + − + ∞

∞ =

− − − + +− − − + + ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

( )( )( )( )

( )( )

623 6

444 3 34 33

1 0 0 1 0 1ln ln ln ln1 0

11 0 01 0 0 0 0 0

− + += = = =

− +− − − + +

Sumando los valores obtenidos en los 4 límites, tenemos el resultado de

nuestra integral:

( )( )

433

( 2) 9 3 3 30 ln 2 0

4 24 3 4 32

arctg xdx

x

π π π∞ − = + + − − +−

∫

( )( ) ( ) ( ) ( )

433

( 2) 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3ln 2 ln 2 ln 2

4 2 4 2 2 3 4 24 3 2 3 32

arctg xdx

x

π π π π π π∞ − = + − = + − = + −−

∫

( )( )

433

( 2) 3 3 3 3 3 3ln 2ln 2

2 4 2 2 4 22

arctg xdx

x

π π π∞ − = + − = + −

−∫

Como el límite existe y es un resultado finito, concluimos que la integral

converge.

Ahora bien, el trabajo fue laborioso, y supongo que hasta este momento,

en este primer ejercicio, quizás estés impresionada e impresionado, y te

preguntes ¿Cómo voy a resolver tamaña integral? Acaso ¿así son todas las

integrales impropias?, afortunadamente no todas las integrales impropias son

como esta, normalmente, su primitiva se calcula relativamente fácil, de hecho,

las integrales impropias son relativamente fáciles de resolver, tal como veras

en el resto de la guía.

Recuerdas cuando te mencione, en la página 3 de ésta guía: “Ahora

bien, hay casos, donde calcular la primitiva puede ser complicado, e incluso, no

existir la primitiva, en estos casos hay criterios que salvan la situación y al

aplicarse podemos saber si una integral impropia converge o no…”

Pues desarrolle ésta integra con toda intención de que caigas en la

cuenta, que NO ES NECESARIO OBTENER LA PRIMITIVA Y MUCHO

MENOS OBTENER EL VALOR DE LA INTEGRAL, porque la pregunta es:

DETERMINE LA CONVERGENCIA DE UNA INTEGRAL, ES DECIR,

¿CONVERGE O DIVERGE? La pregunta no es INDIQUE EL VALOR DE LA

INTEGRAL, fíjate que son preguntas bien distintas, en fin, s se nos presenta

este ejercicio, y observas que la primitiva es complicada de resolver, pues es

momento de pensar en otro camino, y ése otro camino es, los criterios que te

mencione.

Pasaré a resolver esta misma integral aplicando los criterios explicados

en el cuadro número 1 y de otra manera, para que selecciones la que más te

parezca sencilla.

Primera forma

Observemos de nuevo la integral original:

( )433

( 2)

2

arctg xdx

x

∞ −

−∫

Si queremos aplicar el criterio de comparación en este caso, donde

tenemos una función inversa trigonométrica, a saber, arco tangente de equis

menos dos, aprovechamos de formar nuestra desigualdad de la siguiente

manera:

Como los límites de integración pertenecen al intervalo [ )3,∞ , se

plantea:

3 x≤ < ∞

Ahora la idea es formar la función inversa, para luego completar la

función integrando completa, observa que el argumento de la función arco

tangente es 2x − , por lo tanto restamos 2 en todas las expresiones de la

desigualdad anterior:

23 2 2x− − < ∞ −≤

1 2x≤ − < ∞

Ahora se aplica la función arctg en todos los miembros de la expresión,

así:

( ) ( ) ( )1 2arctg arctg x arctg≤ − < ∞

Recordando que: ( ) ( )1 1 y 4 4 2 2

tg arctg tg arctgπ π π π= ∴ = = ∞∴ = ∞

Entonces:

( )24 2

arctg xπ π≤ − <

Ahora, para terminar de formar la función integrando, se debe dividir

toda la expresión de la desigualdad entre ( )43 2x − y podemos hacerlo, porque

esta expresión no es cero en el intervalo [ )3,∞ y tampoco altera los signos de

relación porque siempre es positiva en este intervalo, porque su argumento

esta elevado a una potencia par, por lo tanto vale escribir:

( )( )

( ) ( )4 4 43 3 3

2

4 2 2 2 2

arctg x

x x x

π π−≤ <

− − −

Aplicando integral en toda la expresión anterior, se tiene:

( )( )

( ) ( )4 4 43 3 33 3 3

2

4 2 2 2 2

arctg xdx dx dx

x x x

π π∞ ∞ ∞−≤ <

− − −∫ ∫ ∫

Recordando el criterio de comparación que se explico en detalle en la

página 5 de esta guía en el apartado “C” que señala:

“A manera general nos quieren decir que si la integral seleccionada por

ti, es decir, la integral modelo, (ésta integral modelo vamos a denotarla

( )a

g x dx∞

∫ ) converge y se cumple:

( ) ( )a a


≤∫ ∫


f x dx∞

∫

CONVERGE”.

Si comparamos la desigualdad del criterio ( ) ( )a a


≤∫ ∫ con la

desigualdad ya obtenida:

( )( ) ( )4 43 33 3

2

2 2 2

arctg xdx dx

x x

π∞ ∞−<

− −∫ ∫

Podemos ver claramente que la integral modelo en este caso es:

( )3433 2 2

( ) dxx

g x dxπ∞∞

=−

∫∫

Veamos si esta integral converge:

Podemos escribir: ( )433

lim2 2

b

bdx

x

π→∞ −∫

Calculemos su función primitiva:

( ) ( ) ( )

4

34 4 443 3 3 3

2

2 2 2 22 2 2 2

u xdx dx dudx u du

du dxx x x u

π π π π π −= −= → → = = =− − −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

4 114 3 3

31

3

3 14 12 2 2 213 3

u uu du

u

π π π π− + −

− −= = =− + −

∫

Devolviendo el cambio 2u x= − , se tiene finalmente:

( ) ( ) ( )14 33 3

3 1 3 1

2 2 22 2 2dx

xx x

π π π− −= =−− −

∫

Evaluando esta integral de 3 a b , se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3

3 1 3 1 1 3 11

2 2 22 2 3 2 23

b

x b b

π π π − − − = − = − − − − −

Aplicando el límite, se tiene:

( ) ( ) ( )( )

3 3 3

3 1 3 1 3 1 3 1 3 3lim 1 lim 1 1 1 1

2 2 2 2 2 22 2 2b bb b

π π π π π π→∞ →∞

− − − − − − = − = − = − = − = ∞ − − ∞ −

Por lo tanto la integral ( )3

433 2 2( ) dx

xg x dx

π∞∞

=−

∫∫ converge, y como se

cumple:

( )( ) ( )4 43 33 3

2

2 2 2

arctg xdx dx

x x

π∞ ∞−<

− −∫ ∫

Se concluye que la integral ( )

( )433

2

2

arctg xdx

x

∞ −

−∫ dada también converge.

OBSERVA LA GRAN DIFERENCIA ENTRE ESTE CAMINO

APLICANDO EL CRITERIO DE COMPARACIÓN Y EL PRIMER CA MINO

ENGORROSO Y COMPLEJO PARA LLEGAR A LA MISMA CONCLUS IÓN

¿CUÁL CAMINO TOMARÁS? CREO QUE LA RESPUESTA ES OBVI A.

Segunda forma

Supongamos que deseas aplicar el criterio del cociente explicado

anteriormente.

Este criterio nos indica:

Vamos a formar una integral modelo que sepamos su naturaleza, es

decir, que converge:

23

dx

x

∞

∫ Sabemos que converge porque: 2 1n = >

Aplicando el límite del criterio:

( )( ) ( )

( )

4 23

432

2

2 . 2lim lim

1 2x x

arctg x

x x arctg x

xx

→∞ →∞

−

− − ∞= = ∞−

Entonces:

( )( ) ( )

( )2 2

4 43 3

. 2lim lim .lim 2

2 2x x x

x arctg x xarctg x

x x→∞ →∞ →∞

−= −

− −

• El límite: ( )

2

43

lim 02x

x

x→∞

=−

porque el exponente del denominador es

mayor que el del numerador.

• ( ) ( )lim 22x

arctg x arctgπ

→∞− = ∞ =

Por lo tanto:

( )( )

( )2

43

. 2lim 0 . 0

22x

x arctg x

x

π→∞

− = = −

Se concluye que como 2

3

dx

x

∞

∫ converge, también converge:

( )( )433

2

2

arctg xdx

x

∞ −

−∫

Respuesta: La integral ( )

( )433

2

2

arctg xdx

x

∞ −

−∫ converge

Ejercicio 2

Determina la convergencia o divergencia de la integral:

1

0 1

arcsen xdx

x−∫

Solución

Justificación: Estamos en presencia de una integral de segunda especie,

porque la función integrando 1

arcsen x

x−, no es acotada en el extremo superior

1x = , es decir, tiene una discontinuidad infinita porque:

1

1 2lim01 1 1x

arcsen x arcsen

x

π

→= = → ∞

− −

Por lo tanto, podemos escribir:

1

10 0

lim1 1

b

b

arcsen x arcsen xdx dx

x x−→=

− −∫ ∫

Calculemos la primitiva de 1

arcsen x

x−, es decir:

1

arcsen xdx

x−∫


integrando la función inversa de seno, tal como se explicó en detalle en el

objetivo 1, por lo tanto, se procederá así:

11

u arcsenarcsen x

I d x

x

xvx

d

x

d =

== →

− −

∫


( )( )

11

2

2

2

1

'

1 21 111 12

1

21 2 11

dxdv

x u xdx du du udv v u du

du dxx u

x dxxdu dxx x xu arcsen x x

u

− +−

= − = −

= → → = − = − = − = − = −− −

= = =

+

− −= −

→

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Luego la integral de dv es:

1

2

212

uv u= − = −

Como 1u x= − , finalmente se tiene:

2 1v x= − −


2 11. 2 .2. 1

dxu du arcsen x

x xI v v x x− − − −= − = −

−∫ ∫

2 1 2arcseI x n x− −= + 1 x− .2

dx

1x x−∫

2 1dx

arcsen xIx

x− +−= ∫

Es sencillo resolver la integral:

1 111 2 2

212

21 1

12 2

dx dx x xx dx x

xx

− +−

= = = = =− +

∫ ∫ ∫

Por lo tanto nuestra integral es:

2 1 21

arcsen xdx xarcsen x x

x= − − +

−∫

Evaluando de 0 a b , se tiene:

( )2 1 2 2 1 2 2 1 0 0 2 00

bxarcsen x x barcsen b b arcsen− − + = − − + − − − +

( )( )2 1 2 2 0 0 2 1 2barcsen b b barcsen b b− − + − − + = − − +


( )1

lim 2 1 2b

barcsen b b−→

− − +

( ) ( )2 1 1 1 2 1 2 0 2 0 2 22

arcsenπ − − + = − + = + =

En conclusión:

Respuesta: La integral 1

0

21

arcsen xdx

x=

−∫ por lo tanto converge.

Ejercicio 3

Hallar el número positivo “ a ” que satisfaga la ecuación:

2 20 1 1

a

a

dx dx

x x

∞

=+ +∫ ∫

Solución

Justificación: Primero calcularemos la primitiva de las integrales dadas,

que en este caso, es la misma primitiva:

21

dxarctgx

x=

+∫

Ahora evaluaremos cada integral, la de la izquierda sería:

( ) ( ) ( )20

0 001

a adxarctgx arctg a arctg arctg a arctg a

x= = − = − =

+∫

La integral de la derecha es:

( ) ( ) ( )21 2a

dxarctgx arctg arctg a arctg a

ax

π∞ ∞= = ∞ − = −

+∫

Recuerda que: ( )2

arctgπ∞ =

Sustituyendo en la igualdad, se tiene:

( ) ( )2

arctg a arctg aπ= −

Ahora procedemos a despejar “ a ” que es el valor pedido:

( ) ( ) ( ) ( )22 2 2.2 4

arctg a arctg a arctg a arctg aπ π π π+ = → = → = =

Aplicando tangente en ambos miembros de la última igualdad, se tiene:

( ) 14

tg arctg a tg aπ = → =

Por lo tanto:

Respuesta: El valor de “ a ” para que se cumpla la igualdad

2 20 1 1

a

a

dx dx

x x

∞

=+ +∫ ∫ es 1a = .

Ejercicio 4

Determinar los valores de “ p ” para los cuales converge la integral:

( )( )22 ln

p

dxI

x x

∞

= ∫

Solución

Justificación: Estamos en presencia de una integral impropia de primera

especie, por ende podemos escribir:

( )( )22

limln

b

pb

dx

x x→∞ ∫

Vamos a calcular la primitiva necesaria, a través, de la integral:

( )( )2lnp

dx

x x∫


( )( )( )2

2

ln 2 ln

2ln2

p

u x xdx

dx dx dudux x

x x

= =

= → =

∫

Así:

( )( ) ( )1

2

1 1 1

2 2 2 1ln

pp

p p

dx du uu du

pux x

− +−= = =

− +∫ ∫ ∫

Devolviendo el cambio hecho, se tiene:

( ) 12ln1

2 1

px

p

− +

− +

Evaluando de 2 a “b ”, se tiene:

( ) ( ) ( )1 1 12ln 2ln 2ln 21 1

2 1 2 1 12

p p pbx b

p p p

− + − + − + = −

− + − + − +

Aplicando el límite:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 12ln 2ln 2 2ln 2 ln 21 1

lim lim2 1 1 2 1 1

p p p p

b b

b b

p p p p

− + − + − + − +

→∞ →∞

− = −

− + − + − + − +

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 12ln 2ln 2 2ln 2 ln 21 1

lim lim lim2 1 1 2 1 1

p p p p

b b b

b b

p p p p

− + − + − + − +

→∞ →∞ →∞

− = −

− + − + − + − +

Analizando el límite:

( ) 12ln

lim1

p

b

b

p

− +

→∞ − +

Sabemos que lim 2ln 2 lnb

b→∞

= ∞ = ∞

Por lo tanto en el límite se tendría la expresión:

( ) 1

1

p

p

− +∞− +

Este término: ( ) 1p− +∞ puede ser cero o infinito.

Recuerda las propiedades de infinito: ( ) ( )0 y K K− +∞ = ∞ = ∞ .

Es decir, si el exponente de ( ) 1p− +∞ es negativo, el término es cero, y si

es positivo nos genera infinito, por lo tanto:

Para tener una integral convergente conviene que: ( ) 10

p− +∞ = , es decir,

que el exponente sea negativo:

1 0 1p p− + < ⇒ >

Entonces, para 1p > la integral converge y se tendría el valor de la

misma así:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 12ln 2 ln 2 2ln 2 2ln 21 1 1

lim 02 1 1 2 1 2 1

p p p p

b

b

p p p p

− + − + − + − +

→∞

− = − = −

− + − + − + − +

Por otro lado, si el término ( ) 1p− +∞ = ∞ la integral diverge, y para que

( ) 1p− +∞ = ∞ el exponente debe ser positivo, es decir:

1 0 1p p− + > ⇒ <

Entonces, para 1p < la integral diverge, se ve claramente que si

intentaras obtener un valor bajo la condición 1p < de divergencia, tendrías:

( ) ( ) ( ) [ ]1 1 1

2ln 2ln 2 2ln 21 1 1lim

2 1 1 2 1 2

p p p

b

b

p p p

− + − + − +

→∞

− = ∞ − = ∞ = ∞

− + − + − +

la pregunta lógica hasta ahora es: ¿Qué sucede si 1p = ?, ¿converge? o

¿diverge?, para dar respuesta a estas preguntas, calculamos la integral para

1p = , así:

( )2ln

dx

x x∫


( )( )( )2

2

ln 2 ln

ln 22

u x xdx

dx dx dux x dux x

= =

= → =

∫

Así:

( )2

1 1ln

2 2ln

dx duu

ux x= =∫ ∫

Devolviendo el cambio hecho, se tiene:

( )2

1ln 2 ln

2ln

dxx

x x=∫


1 1ln 2ln ln 2 ln ln 2 ln 2

2 22

b

x b= −


[ ]1 1 1lim ln 2 ln ln 2 ln 2 ln 2 ln 2

2 2 2bb

→∞ − = ∞ − = ∞ = ∞

En conclusión para 1p = la integral diverge.

Respuesta: Para 1p > la integral converge y para 1p ≤ la integral

diverge.

Ejercicio 5

Determina la convergencia o divergencia de la integral 0

xI e senxdx∞

−= ∫

Solución

Justificación: Estamos en presencia de una integral de romera especie,

por tener un intervalo de integración infinito: [ )0,∞ , por lo tanto podemos

escribir:

0

limb

x

bI e senxdx−

→∞= ∫

Vamos a calcular la primitiva: xe senxdx−∫


integrando una función exponencial multiplicada por la función seno de equis,

tal como se explicó en detalle en el objetivo 1, por lo tanto, se procederá así:

xxu e

I edv senxd

senxdx

x−−

==

=→

∫


cos

xx du e d

dv senxdx v xd

xu e

v senxdx

−−

=

→ → = −=

==

−

∫ ∫


( ). . co .s cosx xu du e e dv x xvI x − −= − −−= −−∫ ∫

cos cos .x xx xe e dxI − −= − − ∫

Como la integral que se genera es de la misma naturaleza que la

original, se integra de nuevo por partes:

cos

sco . x

xu e

dv xe dx

dxx −

−

→=

=

∫


coscos

xx du e d

dv xdx v se

xu

v

e

nxd xdx

−− → = → ==

=

−

=

∫ ∫


( ). . .x xu du ev v senx senxI e dx− −−= − = −∫ ∫

.x xI senxe senx e dx− −= + ∫

Sustituyendo este ultimo resultado en la resolución de nuestra integral

original, se tiene:

( )cos cocos . s .x xx xxI xe xex e dx senxe senx e dx− − −− −= − − = − − +∫ ∫

Observa que por repetirse la misma integral original, se resolverá de

ahora en adelante como una ecuación, con el objetivo de despejar la integral

original, tal como te mencione en el recuadro de tip’s que se encuentra en el

objetivo 1 de matemática 3 (733).

( )cos . cos .x x x x x xI xe senxe senx e dx xe senxe senx e dx− − − − − −= − − + = − − −∫ ∫

( )cos cos 2 cosx x x x xI xe senxe I I I xe senxe I e x senx− − − − −= − − − → + = − − → = − +

Finalmente:

( )1cos

2x xI e senxdx e x senx− −= = − +∫


( ) ( ) ( )01 1 1cos cos cos0 0

02 2 2x bb

e x senx e b senb e sen− −− + = − + + +

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1cos cos 1 0 cos

02 2 2 2 2x b bb

e x senx e b senb e b senb− − −− + = − + + + = − + +


( )1 1lim cos

2 2b

be b senb−

→∞

− + +

El siguiente límite es interesante, y se resuelve a través de un análisis,

me refiero a:

( )lim cosb

be b senb−

→∞+

Este límite lo podemos escribir:

coslim

bb

b senb

e→∞

+

Si intentas sustituir el infinito, te encontraras que el límite cuando equis

tiende a infinito del senb y el cosb no existen, porque son funciones periódicas

que oscilan siempre entre 1− y 1, la gráfica de esta situación es:

Sin embargo, al estar dividida esta función cosb senb+ entre la función

exponencial be , nos encontramos que ésta ( be ) crece mucho más rápido que la

función cosb senb+ que solo toma valores entre menos uno y uno, observa la

gráfica de la función exponencial:

Fíjate que esta gráfica crece tan rápido que apenas en 6x = ya se

pierde de vista.

Todo lo anterior nos lleva a concluir que el límite cos

limbb

b senb

e→∞

+

es

cero, por tener un denominador muy grande, al compararlo con el numerador,

por ende:

coslim 0

bb

b senb

e→∞

+ =

Si graficamos la función cos

x

x senx

e

+ podrás observar que ciertamente el

análisis hecho es el correcto:

Observa que esta gráfica también es oscilante pero con tendencia a cero

en el infinito. Observa en el siguiente gráfico el detalle en la diferencia de una

función oscilante hacia el infinito cuyo límite NO existe a una función oscilante

hacia el infinito cuyo límite SI existe:

En conclusión se tiene:

( ) ( )1 1 1 1 1lim cos 0

2 2 2 2 2b

be b senb−

→∞

− + + = − + =

Por lo tanto:

Respuesta: 0

1

2xI e senxdx

∞−= =∫ por ende converge.

Ejercicio 6

Determine la convergencia o divergencia de: 3

0

1

1dx

x −∫

Solución

Justificación: En este caso estamos en presencia de una integral

impropia de segunda especie, ya que la función no esta acotada en 1x = , es

decir, la función posee una discontinuidad infinita en ese punto que pertenece

al intervalo de integración:

1

1 1 1lim

01 1 1x x→= = → ∞

− − [ ]1 0,3∈ .

Antes de resolver esta situación, aplicaremos la definición de valor

absoluto a la función integrando.

La definición del valor absoluto es:

( ) si ( ) 0( )

( ) si ( ) 0

f x f xf x

f x f x

− ≤= >

Entonces:

( )1 si 1 01

1 si 1 0

x xx

x x

− − − ≤− = − − >

1 si 11

1 si 1

x xx

x x

− ≤− = − >

Por lo tanto podemos escribir: 3 1 3

0 0 1

1 1 1

1 11dx dx dx

x xx= +

− −−∫ ∫ ∫

Aplicando el estudio de integral impropia de segunda especie, podemos

escribir: 3 3

1 10 0

1 1 1lim lim

1 11

b

b cc

dx dx dxx xx

− +→ →= +

− −−∫ ∫ ∫

Obteniendo la primitiva de cada integral, se tiene:

1 111 2 2

21

2

112 2 1

1 11 12 2

u x du du u udx u du u x

du dxx uu

− +−= −

→ → − = − = − = − = − = − = − − = −− − +∫ ∫ ∫ ∫

1 111 2 2

21

2

112 2 1

1 11 12 2


du dxx uu

− +−= −→ → = = = = = = − =− − +

∫ ∫ ∫ ∫

Evaluando la primera primitiva de 0 a b , se tiene:

( )2 1 2 1 2 1 0 2 1 20

bx b b− − = − − − − − = − − +

Evaluando la segunda primitiva de c a 3, se tiene:

( )32 1 2 3 1 2 1 2 2 2 1x c c

c− = − − − = − −

Aplicando los límites correspondientes, se tiene:

( ) ( )3

1 10

1lim 2 1 2 lim 2 2 2 1

1 b cdx b c

x− +→ →

= − − + + − −−∫

3

0

12 1 1 2 2 2 2 1 1 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2

1dx

x= − − + + − − = − + + − = +

−∫

Por lo tanto:

Respuesta: 3

0

12 2 2

1dx

x= +

−∫ por ende, converge.

Ejercicio 7

Determine la convergencia o divergencia de 23

0

xx e dx∞

−∫ .

Solución

Justificación: En este caso estamos en presencia de una integral impropia de

primera especie, es decir, intervalo de integración infinito. Entonces podemos

escribir:

2 23 3

0 0

limb

x x

bx e dx x e dx

∞− −

→∞=∫ ∫

Pasemos a calcular la primitiva:

Conviene escribir la integral así: 2 2 2 23 2 1 2 1 2x x x xx e dx x e dx x x e dx xde xx− + − − −= = =∫ ∫ ∫ ∫

Observa como la derivada de la función roja: 2x es precisamente

semejante a la parte destacada en azul: xdx .

Entonces, practicando el cambio de variable:

2

22

w x

dwdw xdx xdx

=

= ∴ =

Así:

22 1

2x wx e xdx we dw− −=∫ ∫

Hemos llegado así, a una integral que se resuelve por el método de

integración por partes:

1

2w

wI we dwdv e dw

u w−−

==

= →

∫


w ww dv e dw

du

v edv e

dw

w

u

d

w− −− =

→==

→ = −= ∫ ∫


1. . .

2w wu du wv dv e eI w− − = − −= − −∫ ∫

( )1. 1

2 2w ww

www de e

ewwI e e w

−−− − − −

= + = − − = − +∫

Devolviendo el cambio:

( )2

22 2 12

xx e

x e xdx x−

− −= +∫

Evaluando esta primitiva de 0 a b , se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 20

2 2 2 2 21 11 1 0 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 20

x b b bb

e e e e ex b b b

− − − − − − − − − − + = + − + = + + = + +


( ) ( )2

22 21 1 1lim 1 lim 1 lim

2 2 2 2

bb

b b b

eb e b

−−

→∞ →∞ →∞

− + + = − + +

El primer límite se calcula aplicando L`Hopital, que consiste en derivar el

numerador y el denominador independientemente, pero antes escribimos el

límite así:

( )2

2

221 1 1

lim 1 lim2 2

b

bb b

be b

e−

→∞ →∞

+ ∞− + = − = ∞

Aplicando L`Hopital:

( )( ) ( )2 222

'22

' '2

11 1 1 1 2 1 2 1 2lim lim lim lim lim

2 2 2 2 22b bb b b b bbb

bb b b b

e e be be→∞ →∞ →∞ →∞ →∞

+ +− = − = − = − = −

2

2be b2

1 1lim

2 bb e→∞= −

Y este último límite es:

( )2 2

1 1 1 1 1 1 1lim . . . 0 0

2 2 2 2bb e e∞→∞− = − = − = − =

∞

El segundo límite, se trata del límite de una constante que es igual a la

constante, es decir:

1 1lim

2 2b→∞=

Así:

( )2 23 2

0

1 1 1 1lim 1 lim 0

2 2 2 2x b

b bx e dx e b

∞− −

→∞ →∞= − + + = + =∫

Por lo tanto:

Respuesta: La integral impropia es 23

0

1

2xx e dx

∞− =∫ , por lo tanto la integral

planteada converge.

Ejercicio 8

Determinar la convergencia o divergencia de la integral impropia: 0 1

1dx

x−∞ −∫

Solución

Justificación: En este caso estamos en presencia de una integral

impropia de primera especie, ya que el intervalo de integración es infinito.

Antes de resolver esta situación, aplicaremos la definición de valor

absoluto a la función integrando.

La definición del valor absoluto es:

( ) si ( ) 0( )

( ) si ( ) 0

f x f xf x

f x f x

− ≤= >

Entonces:

( )1 si 1 01

1 si 1 0

x xx

x x

− − − ≤− = − − >

1 si 11

1 si 1

x xx

x x

− ≤− = − >

Debido a que el intervalo de integración es: ( ],0−∞ , todo éste intervalo

pertenece a 1x ≤ , por lo tanto podemos escribir: 0 01 1

11dx dx

xx−∞ −∞

=−−∫ ∫

Aplicando el estudio de integral impropia de primera especie, podemos

escribir: 0 01 1

lim1 1a

a

dx dxx x→−∞

−∞

=− −∫ ∫

Obteniendo la primitiva de la integral, se tiene:

1 111 2 2

21

2

112 2 1

1 11 12 2


du dxx uu

− +−= −

→ → − = − = − = − = − = − = − − = −− − +∫ ∫ ∫ ∫

Evaluando la primitiva de a a 0, se tiene:

( )02 1 2 1 0 2 1 2 2 1x a a

a− − = − − − − − = − + −


( ) ( )0 1

lim lim 2 2 1 2 2 1 2 2 1 21a a

a

dx ax→−∞ →−∞

= − + − = − + − −∞ = − + + ∞ = − + ∞ = ∞−∫

Por lo tanto:

Respuesta: 0 1

1dx

x−∞

= ∞−∫ por ende, la integral impropia diverge.

Ejercicio 9

Estudie la convergencia o divergencia de la integral 1

1

1

1

xdx

x−

+−∫

Solución

Justificación: Estamos en presencia de una integral de segunda especie,

porque la función integrando no esta acotada en 1x = , es decir, tiene una

discontinuidad infinita en ése punto, tal como se verifica:

1

1 1 1 2lim

1 1 1 0x

x

x→

+ += = = ∞ = ∞− −

Por lo tanto podemos escribir:

1

11 1

1 1lim

1 1

b

b

x xdx dx

x x−→− −

+ +=− −∫ ∫

Pasemos a calcular la primitiva presente:

1

1

xdx

x

+−∫

En este caso, podemos multiplicar por la conjugada del denominador,

con el objetivo de eliminar la raíz cuadrada de la parte superior de la integral,

así:

( ) ( )( ) ( )1 11

1 1 1

x xxdx dx

x x x

+ ++ =− − +∫ ∫

Recordando que: ( )( ) 2 2a b a b a b− + = − , se tiene:

( )( )

( )22

2 2 2 2 22

11 1

1

1

1 11 1

xx xdx dx dx

x xxx

x x

x

xd d

++ += = = +− − − − −∫ ∫ ∫∫ ∫

La primera integral, destacada en azul, es inmediata, porque en la tabla

de integrales encontramos:

2 2

1 xdx arcsen

aa x

= −∫

En este caso 2 1 1a a= ∴ = , por lo tanto:

2

1( )

1dx arcsen x

x=

−∫

La segunda integral se resuelve con un sencillo cambio de variable:

12 11 22

122

11 1 1 1

12 2 2 221 12 2

u xx du du u

dx u duduudu xdx xdxx u

− +−

= −→ → − = − = − = −

= − ∴ = −− − +∫ ∫ ∫ ∫

1

21 1 12

12 2 22

uu− = − = − 2 u u= −

Devolviendo el cambio, se tiene:

2

21

1

xdx x

x= − −

−∫

Por lo tanto nuestra primitiva es:

( ) ( ) 221( 1

11)arcsen

xdx arcsen xx x x

x

+ = + =− −− −−∫

Evaluando esta primitiva de 1− a b , se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )( )22 21 1 1 1 1

1

b

arcsen x x arcsen b b arcsen− − = − − − − − − −−

Tomando el límite, se tiene:

( ) ( )( )2

1 11

1lim lim 1 1 1 1

1

b

b b

xdx arcsen b b arcsen

x− −→ →−

+ = − − − − − − −∫

( ) ( )( )2

11

1lim 1 1 1 1 1 1

1

b

b

xdx arcsen arcsen

x−→−

+ = − − − − − − −∫

Recordando:

• 1 (1)2 2

sen arcsenπ π = → =

• 1 ( 1)2 2

sen arcsenπ π − = − → − = −

Entonces se tiene:

( ) ( )( )1

1

11 0 1 0

1

xdx arcsen arcsen

x−

+ = − − − −−∫

1

1

1 2 2

1 2 2 2 2 2 2

xdx

x

π π π π π π π−

+ + = − − = + = = = − ∫ 2

π π=

Por lo tanto:

Respuesta: La integral converge, porque 1

1

1

1

xdx

xπ

−

+ =−∫ .

Ejercicio 10

Determinar la convergencia o divergencia de la integral: 2

1 1

xI dx

x=

−∫

Solución

Justificación: Estamos en presencia de una integral impropia de segunda

especie, porque la función no esta acotada en: 1x = , porque:

1

1 1lim

01 1 1x

x

x→= = → ∞

− −

Por lo tanto, podemos escribir: 2 2

11

lim1 1a

a

x xdx dx

x x→=

− −∫ ∫

Vamos a proceder a calcular la primitiva:

1

xdx

x −∫

En este caso, como dentro de la raíz esta un binomio de primer grado,

eliminaremos la raíz con el cambio de variable:

2 21 1

2

x z x z

dx zdz

− = ∴ = + =

Así:

( ) ( )2 2

2

1 2 12

1

z zdz z zxdx

x z

+ += =

−∫ ∫dz

z( )

2 12 32

2 1 2 2 22 1 3

zz dz z z z

+

= + = + = ++∫ ∫

De 21x z− = , se tiene: 1z x= − , entonces:

( )322 1 1

31

xdx x x

x= − + −

−∫

Evaluando esta primitiva de a a 2, se tiene:

( ) ( ) ( )3 3 322 2 22 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1

3 3 3x x a a

a − + − = − + − − − + −


( ) ( )2

3 3

11

2 2lim 2 1 1 2 1 1

3 31 a

xdx a a

x →

= + − − + − − ∫

( )2

3

1

2 22 2 1 1 1 1

3 31

xdx

x

= + − − + − − ∫

( ) ( )2

1

2 22 2 0 0

3 31

xdx

x

= + − + − ∫

2

1

6 2 80

3 31

xdx

x

+ = − = − ∫

Por lo tanto:

Respuesta: La integral converge, porque 2

1

8

31

xdx

x=

−∫ .

A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,

¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu

eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.

Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo

saber, a través, de mi correo: [email protected]. Recuerda que en

mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el

estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente

editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o

escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta

a la brevedad posible.

Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,

justificación y respuesta , ya que en los exámenes de desarrollo deberás

justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante

que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre

dando justificación y luego la respuesta .

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio 1

Determina la convergencia o divergencia de la integral:

0 5

3 xdx

e−−∞ +∫

Ejercicio 2

Determina la convergencia o divergencia de:

29 4

dx

x x

∞

−∞ − +∫

Ejercicio 3

Estudia la convergencia o divergencia de la integral:

( )1

0

ln 4x x dx∫

Ejercicio 4

Estudia la convergencia o divergencia de la siguiente integral impropia:

( )3

21 1

dx

x −∫

Ejercicio 5

Determina si la siguiente integral 4

20

1

6dx

x x+ −∫ es convergente o

divergente.

Ejercicio 6

Determina los valores de “ c ” para los cuales converge la integral

impropia:

0cxI xe dx

−∞

= ∫

Ejercicio 7

Calcula si existe la integral:

( )( )2

21 1 9

dxI

x x=

− −∫

Ejercicio 8

Determina si la siguiente integral converge:

33

1

1dx

x

∞

−∫

Ejercicio 9

Estudie la convergencia o divergencia de la siguiente integral impropia:

( )0

1

1dx

x x

∞

+∫

Ejercicio 10

Determina la convergencia o divergencia de:

( )10 1

ln ln lne

dxx x x∫

ejercicios detallados del obj 2 mat iii 733

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