ejercicios detallados del obj 9 mat ii 178
TRANSCRIPT
Capitulo II
Matemática II (178)
Objetivo 9. Resolver problemas aplicando el modelo Input-output.
Ejercicio 1
La tabla de relaciones intersectoriales en millones de dólares de la
economía de un país es la siguiente:
a) Haga un comentario general sobre las diferentes relaciones
intersectoriales dadas en la tabla.
b) Determine la matriz tecnológica.
c) Encuentre la matriz de Leontief.
Solución
Justificación:
a) De la matriz insumo-producto dada en la tabla observamos:
• El sector agrícola compra a su mismo sector 11 mil millones de dólares,
al sector industrial le compró 5 mil millones de dólares, y al sector
servicio le compró 5 mil millones.
• El sector servicio le compro al sector agrícola 1 mil millones de dólares,
al sector industrial le compro insumos por un valor de 40 mil millones y
se compró a si mismo 37 mil millones de dólares en insumos.
• El sector industrial le compro al sector agrícola 19 mil millones de
dólares, a si mismo 89 mil millones y al sector servicio 37 mil millones de
dólares en insumos.
• Por otra parte el sector industrial vendió al sector agricultura 5 mil
millones de dólares, y también le vendió a su mismo sector 89 mil
millones, finalmente le vendió al sector servicios 40 mil millones de
dólares. Parte de la producción del sector industrial fue directamente al
consumidor por un valor de 106 mil millones de dólares.
• El sector servicios vendió al sector agricultura 5 mil millones de dólares,
y también le vendió a su mismo sector 37 mil millones, finalmente le
vendió al sector industrial 37 mil millones de dólares. Parte de la
producción del sector servicios fue directamente al consumidor por un
valor de 106 mil millones de dólares.
• El sector agricultura le vendió a su mismo 11 mil millones de dólares, al
sector industrial 19 mil millones, finalmente le vendió al sector servicios 1
mil millones de dólares. Parte de la producción del sector agricultura fue
directamente al consumidor por un valor de 10 mil millones de dólares.
• La producción total del sector industrial del año que se trata fue de 240
mil millones de dólares.
• La producción total del sector agricultura del año que se trata fue de 41
mil millones de dólares.
• La producción total del sector servicios del año que se trata fue de 185
mil millones de dólares.
b) Para obtener los coeficientes de la matriz tecnológica se divide cada cifra de
cada sector representado en cada columna entre el total de cada columna que
representa a cada sector, en este caso hay 3 sectores, por lo tanto la matriz
tecnológica tendrá dimensión 3x3, es decir:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
=
Y tal como te mencione, cada entrada de la matriz se calculará así:
Entonces la matriz tecnológica es:
11 19 1
41 240 1855 89 40
41 240 1855 37 37
41 240 185
A
=
c) La matriz de Leontief se calcula SIEMPRE a través de:
LM I A= −
Donde I es la matriz identidad de dimensión igual al de la matriz A , así:
11 19 1 11 19 11 0 0
41 240 185 41 240 1851 0 05 89 40 5 89 40
0 1 0 0 1 041 240 185 41 240 185
0 0 15 37 37 5 37 37
0 0 141 240 185 41 240 185
41 11 19 1
41 240 1855 240 89
41 240
L
L
M I A
M
− − − = − = − = − − −
− − −
− − −
−= −
30 19 1
41 240 18540 5 151 40
185 41 240 1855 37 185 37 5 37 148
41 240 185 41 240 185
− − − = − − − − − − −
Respuesta:
a) Los comentarios hechos en la justificación del apartado “a”
b)
11 19 1
41 240 1855 89 40
41 240 1855 37 37
41 240 185
A
=
c)
30 19 1
41 240 1855 151 40
41 240 1855 37 148
41 240 185
LM
− − = − − − −
Ejercicio 2
La tabla de insumo-producto para un sistema económico de dos
sectores es la siguiente:
a) Completar la tabla de insumo-producto.
b) Determinar la matriz tecnológica.
Solución
Justificación:
a) De la matriz insumo-producto dada en la tabla observamos que
podemos completar seis lugares de la tabla:
1) En la primera fila, la compra del sector 2S al sector 1S , llamémosla
12x :
Entonces debe cumplirse que:
12180 10 200x+ + =
Despejando 12x , se tiene:
12 12180 10 200 200 180 10 200 190 10x x+ + = → = − − = − =
2) En la segunda fila, la compra del sector 1S al sector 2S , llamémosla
21x :
Entonces debe cumplirse que:
21 80 0 100x + + =
Despejando 21x , se tiene:
21 2180 0 100 100 80 20x x+ + = → = − =
3) En la cuarta fila, el valor bruto de la producción es el mismo de la
cuarta columna, 200 para el sector 1S y 100 para el sector 2S .
4) Hasta ahora, la tabla la tenemos así:
En relación a los valores agregados; en la primera columna, como la
suma tiene que resultar 200, el valor agregado de 1S es cero. En la segunda
columna, como la suma tiene que resultar 100, el valor agregado de 2S es 10,
es decir:
Entonces nuestra tabla completa queda:
b) Para obtener los coeficientes de la matriz tecnológica se divide cada
cifra de cada sector representado en cada columna entre el total de cada
columna que representa a cada sector, en este caso hay 2 sectores, por lo
tanto la matriz tecnológica tendrá dimensión 2x2, es decir:
11 12
21 22
a aA
a a
=
Tal como se explico en detalle en el ejercicio 1 para hallar la matriz
tecnológica, procedemos de manera igual, obteniendo:
11 12 21 22
180 9 10 1 20 1 80 4, , =
200 10 100 10 200 10 100 5a a a y a= = = = = = =
Así, la matriz tecnológica es:
9 1
10 101 4
10 5
A
=
Respuesta:
a) La tabla completa es:
b) La matriz tecnológica es:
9 1
10 101 4
10 5
A
=
Ejercicio 3
Supongamos que son tres los sectores de economía de un país: agrario,
industrial y servicios. Según datos del año 1994:
1. Del sector agrario se conocen los siguientes datos estadísticos (en
miles de millones): 9 en productos del propio sector, 3 del sector industrial, 1
del sector servicios; siendo la demanda total en el sector 12.
2. El sector industrial empleó: 12 en materias del sector agrario, 31 en
los propios productos industriales, y 10 en servicios; la demanda final 47.
3. El sector de servicios demanda del agrario 0, del industrial 6 y del
propio 5; siendo el total de la demanda en el sector 31.
a. Construir la tabla input-output.
b. Calcular la matriz tecnológica.
Solución
Justificación:
a) Para construir la tabla input-output debemos transformar la
información dada, organizandola, asi pues, cuando se menciona:
1) Del sector agrario se conocen los siguientes datos estadísticos (en
miles de millones): 9 en productos del propio sector, 3 del sector industrial, 1
del sector servicios; siendo la demanda total en el sector 12, se obtiene:
2) El sector industrial empleó: 12 en materias del sector agrario, 31 en
los propios productos industriales, y 10 en servicios; la demanda final 47.
3) El sector de servicios demanda del agrario 0, del industrial 6 y del
propio 5; siendo el total de la demanda en el sector 31.
Uniendo toda esta información, se obtiene:
Finalmente, la salida (output total ), se calcula sumando todos los
elementos de cada fila, es decir:
comprador Agrario Industrial Servicio
Demanda final
Output total
Agrario 9 12 Industrial 3
Vendedor
Servicio 1
comprador Agrario Industrial Servicio
Demanda final
Output total
Agrario 12 Industrial 31 47
Vendedor
Servicio 10
comprador Agrario Industrial Servicio
Demanda final
Output total
Agrario 0 Industrial 6
Vendedor
Servicio 5 31
comprador Agrario Industrial Servicio
Demanda final
Output total
Agrario 9 12 0 12 Industrial 3 31 6 47
Vendedor
Servicio 1 10 5 31
Obteniéndose así la tabla input-output:
b) Para obtener los coeficientes de la matriz tecnológica se divide cada
cifra de cada sector representado en cada columna entre el total de cada
columna, que representa a cada sector, en este caso hay 3 sectores, por lo
tanto la matriz tecnológica tendrá dimensión 3x3, es decir:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
=
Tal como se explico en detalle en el ejercicio 1 para hallar la matriz
tecnológica, procedemos de manera igual, obteniendo:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
9 12 0, , =0
33 87 473 31 6
, , 33 87 471 10 5
, , 33 87 47
a a a
a a a
a a a
= = =
= = =
= = =
Así, la matriz tecnológica es:
9 12 3 120 0
33 87 11 873 31 6 1 31 6
33 87 47 11 87 471 10 5 1 10 5
33 87 47 33 87 47
A
= =
comprador Agrario Industrial Servicio
Demanda final
Output total
Agrario 9 12 0 12 9+12+12
Industrial 3 31 6 47 3+31+6+
47
Vendedor
Servicio 1 10 5 31 1+10+5+
31
comprador Agrario Industrial Servicio
Demanda final
Output total
Agrario 9 12 0 12 33 Industrial 3 31 6 47 87
Vendedor
Servicio 1 10 5 31 47
Respuesta:
a) La tabla input-output es:
b) La matriz tecnológica es:
3 120
11 871 31 6
11 87 471 10 5
33 87 47
A
=
Ejercicio 4
Considere una economía formada por un sector productivo de 3
industrias y un sector externo. Si la matriz tecnológica es:
0,3 0, 2 0,1
0, 4 0,3 0, 2
0,5 0, 4 0,3
A
=
Y el vector de demanda del sector es:
40
30
50
D
=
Obtenga el vector de producción ( ) 1.X I A D
−= − necesario para
satisfacer la demanda total de esta economía.
Solución
Justificación: En este caso, conseguiremos primero la matriz ( )I A− ,
para luego calcularle su inversa y finalmente multiplicar este resultado por el
vector demanda, así:
comprador Agrario Industrial Servicio
Demanda final
Output total
Agrario 9 12 0 12 33 Industrial 3 31 6 47 87
Vendedor
Servicio 1 10 5 31 47
( )
( )
1 0 0 0,3 0,2 0,1 1 0,3 0 0,2 0 0,1
0 1 0 0,4 0,3 0,2 0 0,4 1 0,3 0 0,2
0 0 1 0,5 0,4 0,3 0 0,5 0 0,4 1 0,3
0,7 0,2 0,1
0, 4 0,7 0,2
0,5 0,4 0,7
I A
I A
− − − − = − = − − − − − −
− − − = − − − −
Ahora calcularemos la inversa de esta matriz, con el método de Gauss-
Jordan tal como se explico en detalle en el objetivo 7, se tiene:
La matriz ampliada en este caso es:
0,7 0,2 0,1 1 0 0
0, 4 0,7 0,2 0 1 0
0,5 0,4 0,7 0 0 1
− − − − − −
Para no trabajar con decimales, transformare cada valor a fracción, ya
que podemos hacerlo, por tratarse de números con un decimal finito, en este
caso, un solo decimal, además de facilidad en los cálculos nos da una precisión
del 100%, esto se logra así:
7 2 1 7 1 1
10 10 10 10 5 101 0 0 1 0 04 7 2 2 7 1
0 1 0 0 1 010 10 10 5 10 5
0 0 1 0 0 15 4 7 1 2 7
10 10 10 2 5 10
− − − − − − = − − = − − − −
NOTA 1: Se dividió entre 10 por tener un solo decimal, y luego se simplificaron
las fracciones.
NOTA 2: Puedes trabajar con números decimales si lo deseas.
PASO 1: En este caso debemos hacer el uno en la primera columna,
así:
1 1
10
7F F→
Aplicando esta operación a nuestra matriz ampliada, obtenemos:
7 10 1 10 1 10 2 1. . . 10 10 10 1 10
1. 0. 0. 0 010 7 5 7 10 7 7 77 7 7 7
2 7 1 2 7 10 1 0 0 1 0
5 10 5 5 10 50 0 1 0 0 1
1 2 7 1 2 7
2 5 10 2 5 10
− − − − − − = − − − − − −
Ahora pasaremos a hacer los ceros en los números debajo del uno azul,
es decir, los ceros van en los números marcados en rojo:
2 110
0 07 77
7 10 1 0
10 50 0 1
2 7
5 10
2
1
1
5
2
− − −
−
−−
Para hacer éstos ceros, aplicaremos las siguientes operaciones:
12 2
2
5. FFF
+
→ y 13 3
1
2. FFF
+
→
Así se obtiene:
( ) ( )
( ) ( )
2 1 100 0
7 7 72 7 1 1 10
0 0 1 0 07 10 7 5 7
2 2 1 7 100 0 0 0 1
7 5 7 1
2 2 2 2 2 2 2
5 5 5 5 5 5 5
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 20 7
1
2 2
− + + + +
− + +
− −
− − −
− − − + +
2 1 10 2 1 100 0 0 0
7 7 7 7 7 74 7 2 1 4 40 245 10 35 4
0 0 1 0 0 1 035 10 35 5 7 350 175 71 2 1 7 5 5 14 10 98 5
0 0 0 0 1 0 17 5 14
1
10 7 35 10
7
1
0
04
0
0
− − − −
− + − − − − − =
+ + + + − − − + − − −
+ + + +
2 1 10 2 1 100 0 0 0
7 7 7 7 7 7205 45 4 41 9 4
1 0 1 0350 175 7 70 35 7
19 88 5 19 22 50 1 0 1
35 140 7
0 0
0 035 3
1
7
1
5
− − − −
− − = − −
PASO 2: Ahora procederé a hacer el uno correspondiente en la segunda
columna, destacare en azul donde ira este uno:
2 1 101 0 0
7 7 79 4
0 1 035 7
19 22 50 0 1
35 35
41
70
7
− −
− −
Para hacer este uno, multiplicaremos por 70
41, toda la fila 2, esto se
denota así:
2 2
70.
41F F
→
Así nuestra matriz queda:
2 1 101 0 0
7 7 770 41 70 70 79 4
0 1 035 7
19 22 50 0 1
35 3
0 70 70
41 70 41 41 41
5 7
41 41
− −
−
−
2 1 101 0 0
7 7 718 40 70
0 041 41 41
19 22 50 0 1
35 35 7
1
− − − −
PASO 3: Como ya hicimos el uno, procederemos a hacer los ceros en la
columna 2, destacaré en rojo, donde Irán estos ceros:
1 101 0 0
7 718 40 70
0 041 41 41
22 50 0 1
2
7
19
73 355
1
− − −
−
Para lograr estos ceros, aplicamos las siguientes operaciones:
21 1
2
7F FF
+
→ y 23 3
19
35.FF F
+
→
Aplicando las operaciones anteriores, se obtiene:
( )
( )
18 1 40 10 701 0 0
41 7 41 7 41
18 40 700 0
41 41 4118 22 40 5 7
2 2 2 2 2 20
7 7 7 7 7 7
19 19 19 19 19 19
35 35 35 35
00 0 0 1
41 35 41 7 34
1
35 51
− − +
−
− + + +
− + +
− +
36 1 80 10 20 36 41 80 410 201 0 0 1 0
287 7 287 7 41 287 287 4118 40 70 18 40 70
0 0 0 041 41 41 41 41 41
342 22 152 5 38 342 902 152 205 380 0 1 0 1
1435 35 287 7 4
0 0 0
1 1435 287 4
1
01
1
0 0
− − + − − + − = − − + + − +
+ +
+ + +
77 490 20 11 70 201 0 1 0
287 287 41 41 41 4118 40 70 18 40 70
0 0 0 041 41 41 41 41 41
560 357 38 16 51 380 1 0 1
1435 287 41 41 4
0
1 1
1
04
0
0
1
− − − = −
PASO 4: Ahora procederé a hacer el uno correspondiente en la tercera
columna, destacare en azul donde ira este uno:
11 70 201 0 0
41 41 4118 40 70
0 1 041 41 41
51 380 0 1
41 4
16
41 1
− −
Esta operación será:
2 2
41.
16F F
→
Así:
11 70 201 0 0
41 41 4118 40 70
0 1 041 41
41 41 16 41 41 41 41.
16 16 41 16 16
4151 38
0. 0. . . 1.4 16 141 61
− −
11 70 20 11 70 201 0 0 1 0 0
41 41 41 41 41 4118 40 70 18 40 70
0 1 0 0 1 041 41 41 41 41 41
0 0 51 38 41 0 0 51 19 41
16 16 16
1
16 16
1
8
− − − = −
PASO 5: Como ya se calculo el uno, procederemos a hacer los ceros en
la columna 3, destacaré en rojo, donde Irán estos ceros:
70 201 0 0
41 4140 70
0 1 041 41
0 0 51 19 4
11
4118
4
16 16
1
8
1 1
−
−
Para hacer estos ceros, aplicamos las siguientes operaciones:
31 1
11
41.FF F
+
→ 32 2
18
41.FF F
+
→
Así se obtiene:
11 11 1111 1141 41 4141 41
18 18 18 18 18
41 41 41 4
51 70 19 20 4101 0 16 41 8 41 16
51 40 19 70 410 1 0
16 41 8 41 160 0 51 19 41
16 8
11
16
1 4
+ + + −
− + +
+
561 70 209 20 11 561 1120 209 160 110
656 41 328 41 16 656 328 161 0 1 0459 40 171 70 18 459 320 171 280 18
0 1 0 0 1328 41 164 41 16 328 164 16
0 0 0 051 19 41 51 19 41
16 8 1
0 0
6 16 8 1
1
6
1
0 0
+ +
+ + + =
+ +
+
+
+
1681 369 11 41 9 11
656 328 16 16 8 161 0 1 0779 451 18 19 11 9
0 1 0 1328 164 16 8 4 8
0 0 0 051 19 41 51 19 41
16 8 16 16 8 1
0
1
6
0
0 0
1
=
Por lo tanto, la matriz inversa de la matriz ( )I A− , es:
( ) 1
41 9 11
16 8 1619 11 9
8 4 851 19 41
16 8 16
I A−
− =
Vamos a comprobar que ciertamente esta es la matriz inversa:
( ) ( ) 1
41 9 11 7 1 1 41 9 11
16 8 16 10 5 10 16 8 160,7 0,2 0,119 11 9 2 7 1 19 11 9
. 0, 4 0,7 0,2 . .8 4 8 5 10 5 8 4 8
0,5 0,4 0,751 19 41 1 2 7 51 19 41
16 8 16 2 5 10 16 8 16
I A I A I−
− − − −
− − = = − − = − − − −
− −
7 41 1 19 1 51 7 9 1 11 1 19 7 11 1 9 1 41. . . . . . . . .
10 16 5 8 10 16 10 8 5 4 10 8 10 16 5 8 10 162 41 7 19 1 51 2 9 7 11 1 19 2 11 7 9 1 41
. . . . . . . . .5 16 10 8 5 16 5 8 10 4 5 8 5 16 10 8 5 161 41 2 19 7 51 1 9 2 11 7 19 1 11 2 9 7
. . . . . . . . .2 16 5 8 10 16 2 8 5 4 10 8 2 16 5 8 10
− − − − − −
− + − − + − − + −
− − + − − + − − + 41
16
=
287 19 51 63 11 19 77 9 41
160 40 160 80 20 80 160 40 16041 133 51 9 77 19 11 63 41
40 80 80 20 40 40 40 80 8041 19 357 9 11 133 11 9 287
32 20 160 16 10 80 32 20 160
− − − − − − − + − − + − − + − = − − + − − + − − +
287 51 19 63 19 11 77 41 9
160 40 80 20 160 4041 133 51 9 77 19 11 63 41
40 80 20 40 40 80205 152 357 45 88 133 55 72 287
160 80 160
− − − − − −
− − − − + − + − + = − − + − − + − − +
236 19 44 11 36 9 59 19 11 11 9 9
160 40 80 20 160 40 40 40 20 20 40 4041 82 9 58 11 22 41 41 9 29 11 11
40 80 20 40 40 80 40 40 20 20 40 40357 357 133 133 127 287 0 0 160
160 80 160 160 80 160
− − − − − − − + − + − + = − + − + − + = − + − + − +
59 19 400 0 0 0
40 40 1 0 029 9 20
0 0 0 0 0 1 020 20
0 0 10 0 1 0 0 1
−
− = =
Por lo tanto hemos calculado correctamente la matriz inversa.
Ahora procederemos a calcular el producto, ( ) 1.X I A D
−= − , así:
( ) 1
41 9 11 41 9 11.40 .30 .50
16 8 16 16 8 164019 11 9 19 11 9
. . 30 .40 .30 .508 4 8 8 4 8
5051 19 41 51 19 41
.40 .30 .5016 8 16 16 8 16
1640 270 550
16 8 16760 330 450
8 4 8204
X I A D
X
−
+ + = − = = + +
+ +
+ +
= + +
1640 550 270 2190 270 1095 270
16 8 16 8 8 8760 450 330 1210 330 605 330
8 4 8 4 4 42045 5700 570 2050 2040 2050 570 4090 570
8 816 8 16 16 8 16 8
+ + + +
+ = + = + = + + ++ + + +
1095 270 1365
8 8605 330 935
4 4
2045 570 2615
8 8
X
+
+ = = +
Si trabajaste con decimales, debes obtener números muy cercanos a:
1365
8 170,625935
233,754
326,8752615
8
X
= =
Respuesta: El vector de producción es:
1365
8 170,625935
233,754
326,8752615
8
X
= =
Ejercicio 5
Suponga que un fabricante produce cuatro artículos. Su demanda esta
dada por el vector de demanda ( )30 20 40 10d = o sea una matriz de 1x4.
El precio por unidad que recibe el fabricante por los artículos esta dado por el
vector de precios (en miles de Bs)
20
15
18
40
p
=
una matriz de 4x1. Si se cumle la
demanda, ¿Cuánto dinero recibirá el fabricante?
Solución
Justificación: Sabemos que el ingreso del fabricante se calcula con el
siguiente producto:
.I d p=
Entonces:
( )
20
15. 30 20 40 10 . 30 20 20 15 40 18 10 40
18
40
600 300 720 400 1000 1020 2020
I d p
I
= = = × + × + × + × =
= + + + = + =
Luego el fabricante recibirá:
Respuesta: 2020 miles de bolívares.
Ejercicio 6
La interacción entre los sectores de una economía hipotética estad
dados en la siguiente tabla
Industria 1 Industria 2
Demanda
Sector externo
Producción
Total
Industria
1 300 115 b 680
Industria
2 275 a 75 520
Determinar los valores de a, b y mostrar la matriz tecnológica A
Solución
Justificación: De la información de la tabla podemos escribir:
300 115 680 y 275 75 520b a+ + = + + =
Despejando a, b correspondientemente, se tiene:
680 300 115 y 520 275 75b a= − − = − −
265 y 170b a= =
La matriz tecnológica es:
300 115 15 230, 44 0,22680 520 34 104
275 170 55 17 0, 40 0.32
680 520 136 52
A
= = =
Respuesta:
Ejercicio 7
Si la matriz tecnológica y el vector de producción asociados a una
economía son:
1,01,04,0
3,02,01,0
2,05,02,0
y 30
20
10
respectivamente, determina si la
economía es viable o no o si se encuentra en equilibrio.
Solución
Justificación: Si denotamos por A la matriz tecnológica y X al vector de
producción, entonces la economía es viable si AX X≤ , no viable si AX ≤ X y
se encuentra en equilibrio si AX X= . Vamos a determinar cual es la situación
presentada:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
0,2 0,5 0, 2 30 0,2 30 0,5 20 0,2 10
0,1 0, 2 0,3 20 0,1 30 0, 2 20 0,3 10
0,4 0,1 0,1 10 0,4 30 0,1 20 0,1 10
6 10 2 18
3 4 3 10
12 2 1 15
AX
AX
+ + = = + +
+ +
+ + = + + = + +
Comparando, se tiene:
18 ≤ 30, 10 ≤ 20, pero 15 > 7, entonces
AX ≤ X
y así:
Respuesta: La economía NO ES VIABLE.
Ejercicio 8
La matriz tecnológica asociada a una cierta economía es:
1 1 1
6 4 41 1 1
4 4 31 1 1
2 3 3
A
=
Si el vector de producción es
540
600
900
X
=
, ¿es la economía viable?, en
caso afirmativo, cuales son las disponibilidades de cada artículo producido para
su posible exportación?
Solución
Justificación: Siendo A la matriz tecnológica y X el vector de
producción, entonces la economía es viable si AX X≤ , no viable si AX ≤ X y
se encuentra en equilibrio si AX X= . Vamos a determinar cual es la situación
presentada:
1 1 1 540 600 900 540 600 900 540 1500
6 4 4 6 4 4 6 4 6 45401 1 1 540 600 900 540 600 900 1140 900
6004 4 3 4 4 3 4 3 4 3
9001 1 1 540 600 900 540 600 900 54
2 3 3 2 3 3 2 3
AX
+ + + + +
+ = = + + = + = + + + + +
0 1500
2 3
90 375 465
285 300 585
270 500 770
AX
+
+ = + = +
Comparando, se tiene:
465 ≤ 540, 585 ≤ 600, pero 770 ≤ 900, entonces:
AX X≤
Y así, la economía ES VIABLE .
La disponibilidad de cada artículo producido para su posible exportación,
vienen dadas por las componentes de la matriz:
540 465 500 465 35
600 585 600 585 15
900 770 900 770 130
X AX
− − = − = − = −
Respuesta: la economía ES VIABLE. La disponibilidad de cada artículo
producido es:
35
15
130
X AX
− =
.
Ejercicio 9
Supóngase una economía formada por 3 industrias con matriz
tecnológica:
0,3 0, 2 0,1
0,1 0, 4 0,6
0,3 0,1 0,5
A
=
Los costos unitarios de mano de obra para los productos 1, 2 y 3 son:
25u.m, 18u.m y 21u.m, respectivamente. Además se desea tener un beneficio
unitario para los productos mencionados de 12u.m, 15u.m y 8u.m,
respectivamente. ¿Cuáles deben ser los precios unitarios de cada uno de los
productos?
Solución
Justificación: En este caso se hará uso de la fórmula:
( ) ( )1 t
UP I A L G− = − +
Donde A es la matriz tecnológica, dada:
0,3 0, 2 0,1
0,1 0, 4 0,6
0,3 0,1 0,5
A
=
,
25 12 37
18 15 33
21
12
1
25
18
2 81
5
8 29
GL
+ + = + = + =
+
y UP los precios unitarios de cada
producto.
Para calcular la matriz inversa no utilizare el método de Gauss-Jordan,
sino la fórmula:
( ) ( )1 1
dettW adj W
W− =
En este caso hay que calcular la inversa de ( )I A− , es decir, ( ) 1I A
−− ,
así:
1 0 0 0,3 0, 2 0,1 1 0,3 0 0,2 0 0,1
0 1 0 0,1 0, 4 0,6 0 0,1 1 0, 4 0 0,6
0 0 1 0,3 0,1 0,5 0 0,3 0 0,1 1 0,5
0,7 0,2 0,1
0,1 0,6 0,6
0,3 0,1 0,5
I A
I A
− − − − = − = − − − − − −
− − − = − − − −
Voy a llamar a esta última matriz W , así:
0,7 0,2 0,1
0,1 0,6 0,6
0,3 0,1 0,5
W I A
− − = − = − − − −
Para no trabajar con decimales, transformare cada decimal a fracción,
así:
7 1 1
10 5 101 3 3
10 5 53 1 1
10 10 2
W
− − = − − − −
Ahora procederé a calcular ( ) 1I A
−− , es decir, 1W − , por la fórmula ya
mencionada.
Primero calculare el determinante de W :
7 1 1
10 5 101 3 3 1 3 7 1 3 3 1 1 1 3 3 1 3 1 7 1 1 1
det10 5 5 2 5 10 5 5 10 10 10 10 10 5 10 5 10 10 5 2 103 1 1
10 10 2
W W
− −
= = − − = − − − − −
− −
21 9 1 9 21 1 210 36 1 18 42 10det
100 250 1000 500 500 100 1000210 107 103
det 0,1031000 1000
W
W
− − − − −= − − − − − =
−= = =
Ahora calculamos la matriz traspuesta, esto se logra cambiando las filas
a columnas, así:
7
101
103
10
1
103
51
1
53
51
1 20
W
− = −
−
−
−−
1 3 1
1
1 3 1
5 5 10
0
7 1 3
10 10 10
5 2
tW
= − −
− −
− −
Ahora calculamos la adjunta de la matriz tW , esto se logra calculando
los cofactores de cada elemento.
Los cofactores son:
( )11 12 13
21 22 23
31 32 33
t
c c c
adj W c c c
c c c
=
Y se calculan así: (destacaré en rojo las filas y columnas “ocultas” y
dejare en azul aquel con el que calculare el determinante)
( )1 1
11
3 13 1 5 10
3 15 103 1 5 2
7 1 3
10 13 1 3 1
0 101
5
3 3 15 3 12 61
5 2 5 10 10 50 50 50 251
1 50 2
tW c+
− = → = − = − = − = = =
−−
−−
−
−
−
−
( )1 2
12
1 11 1 5 10
1 15 101 1 10
1 1 1 1 1 1 10 1 111
5 2 10 10 10 100
2
100
7 1 3
10 10 10
100
3
10
53
5 2
tW c+
+ = → = − = − − − = + = =
− −− −
−
− −
−
−
( )1 3
13
1 31 3 5 5
1 35 51 3 10 5
3 1 3 1 3 3 6
7 1 3
10 10 101
10
3 91
5 5 5 10 25 501
2
50 50
10 5
tW c+
+ = → = − = + = + = =
− −
−
− −−−
− −
( )2 1
21
1 31 310 10
10 103
1 1 3 3 1 9 5 18 231
10
7
101 3 1
5 13 1 5 25 2
5 10 2 5 10 20 50 1001
10
100tW c
+
− −− −
−−
− + = → = − = − − = + = =
− −
−
( )2 2
22
7 37 310 10
10 101
7 1 3 1 7 3 3
1
101 5 3 32 8
110 2 10 10 20 100 100 101
1 1 10 210
0
3 1
5 5 1
2
53
5
20tW c
+
− = → = − = − = − = = =
−−
−
−
−
−−
−
( )2 3
23
3 7 1 1 21 1 42 1 431
5 10 10 10 50 10
7 17 110 10
0 1010 10
1 31
3
101 3 1
5 0 103 10 5
1
10
0 5
5 10
2
tW c+
−−
− −
− + = → = − = − − = + = = −
−
−
− −
( )3 1
31
1 31 310 10
3 1 10 10 1 1 3 3 1 9 1 18 191
10 10 5 10 100 5
7
101
51 3 1
10 5
3 15 10
5 10
0 100 100
2
tW c+
+ = → = − = + = + = =
− −
− −
− −−
−−
( )3 2
32
7 1 1 3 7 3 7 6 131
10 10 5 10 100 50
7 37 310 1
1
103
51 3 1
10
01 1 10 10
1 15 10 10
5 10
00
5 2
0 1tW c
+
−−
− −− −
− + = → = − = − − = + = =
−
− −
( )3 3
33
7 17 110 10
1 3 10 10 7 3 1 1 21 1 21 1 20 21
10 5
3
101
101 3 1
10
5 10 50 50 50 51 35 5
25
5
5
5
0tW c
+
− = → = − = − = − = = =
−−
−−
−
−
−
−
( )
6 11 9
25 100 5023 8 43
100 25 10019 13 2
100 100 5
tadj W
=
Entonces la matriz inversa es:
( ) ( )1
6 11 9 6 11 9
25 100 50 25 100 501 1 23 8 43 1000 23 8 43
103det 100 25 100 103 100 25 1001000 19 13 2 19 13 2
100 100 5 100 100 5
tW adj WW
−
= = =
1
6 1000 11 1000 9 1000 240 110 180. . .
25 103 100 103 50 103 103 103 10323 1000 8 1000 43 1000 230 320 430
. . .100 103 25 103 100 103 103 103 10319 1000 13 1000 2 1000 190 130 400
. . .100 103 100 103 5 103 103 103 103
W −
= =
Podemos comprobar que ésta es la matriz inversa, así:
1
7 1 1 240 110 180
10 5 10 103 103 1031 3 3 230 320 430
. .10 5 5 103 103 1033 1 1 190 130 400
10 10 2 103 103 103
W W I−
− − = → − − = − −
1
7 240 1 230 1 190 7 110 1 320 1 130 7 180 1 430 1 400. . . . . . . . .
10 103 5 103 10 103 10 103 5 103 10 103 10 103 5 103 10 1031 240 3 230 3 190 1 110 3 320 3 130 1 180 3 430 3 400
. . . . . . . . . .10 103 5 103 5 103 10 103 5 103 5 103 10 103 5 103 5 1033 240
.10
W W −
− − − − − −
= − + − − + − − + −
− 1 230 1 190 3 110 1 320 1 130 3 180 1 430 1 400. . . . . . . .
103 10 103 2 103 10 103 10 103 2 103 10 103 10 103 2 103
− + − − + − − +
1
168 230 19 77 320 13 126 430 40
103 515 103 103 515 103 103 515 10324 690 570 11 960 390 18 258 240
.103 515 515 103 515 515 103 103 10372 23 190 33 32 130 54 43 200
103 103 206 103 103 206 103 103 103
W W −
− − − − − − = − + − − + − − + − − − + − − + − − +
1
168 46 19 77 64 13 126 86 40
103 103 103 103 103 103 103 103 10324 138 114 11 192 78 18 258 240
.103 103 103 103 103 103 103 103 10372 23 95 33 32 65 54 43 200
103 103 103 103 103 103 103 103 103
W W −
− − − − − − = − + − − + − − + − − − + − − + − − +
1
168 46 19 77 64 13 126 86 40 103 0 0
103 103 103 103 103 10324 138 114 11 192 78 18 258 240 0 103 0
.103 103 103 103 103 103
72 23 95 33 32 65 54 43 200 0 0 103
103 103 103 103 103 103
W W −
− − − − − −
− + − − + − − + − = = − − + − − + − − +
1
1 0 0
. 0 1 0
0 0 1
W W I−
= =
Por lo tanto, hemos verificado que la matriz
1
240 110 180
103 103 103230 320 430
103 103 103190 130 400
103 103 103
W −
=
Es ciertamente la matriz inversa.
Como ya tenemos ( ) 11W I A−− = − , debemos aplicar la fórmula:
( ) ( )1 t
UP I A L G− = − +
Por lo tanto, calculemos la traspuesta de esta matriz inversa, es decir:
( ) 1
190
103130
103190 130 400 400
103 103 103 103
240 110 180 240
103 103 103 103110
103180
103
230
103230 320 430 320
103 103 103 103430
103
t
t
I A−
− = =
Finalmente multiplicamos esta matriz por: ( )L G+ , así:
( ) ( )1
240 230 190
103 103 103110 320 130
103 103 103180 430 400
103 103 103
37
3.
9
. 3
2U
t
GI AP L−
−
+
=
=
240 230 190 240 230 190. . .
103 103 103 103 103 103110 320 130 110 320 130
. . .103 103 103 103 103 103180 43
37 33 2937
33 37 33 29
2937 3
0 400 180 430 400. . .
103 103 103 103 103 1033 29
.UP
+ + + +
= =
+
+
8880 7590 5510 8880 7590 5510 21980
103 103 103 103 1034070 10560 3770 4070 10560 3770 18400
103 103 103 103 1036660 14190 11600 6660 14190 11600 32450
103 103 103 103 103
UP
+ + + +
+ + = + + = = + + + +
Si trabajaste con decimales, obtendrías:
21980
103 213,3918400
178,64103
315,0432450
103
UP
= ≈
Por lo tanto los precios unitarios son, para cada producto:
Respuesta:
21980
10318400
10332450
103
UP
=
Ejercicio 10
La matriz de coeficientes tecnológicos de una matriz formada por dos
industrias es 0,4 0,6
0,5 0, 2A
=
. El vector de demandas del sector externo es
90
60D
=
a) Halle la tabla de interacción económica.
b) Si los costos unitarios de mano de obra de las industrias 1 y 2 son 35 um y
81 um respectivamente, y el beneficio unitario que espera obtener la industria 1
es 52 um y el esperado por la industria 2 es 95 um, ¿cuáles deben ser los
precios unitarios de los productos elaborados por tales industrias?
Solución
Justificación: Haremos uso de las fórmulas ( ) 1.X I A D
−= − , *.B A X= y
( ) ( )1 t
UP I A L G− = − +
, así:
1 0 0,4 0,6 1 0, 4 0 0,6 0,6 0,6
0 1 0,5 0, 2 0 0,5 1 0, 2 0,5 0,8I A
− − − − = − = = − − −
Llamaré W I A= − . Para calcular la matriz inversa no utilizare el método
de Gauss-Jordan, sino la fórmula:
( ) ( )1 1
dettW adj W
W− =
Para no trabajar con decimales, transformare cada decimal a fracción,
así:
6 6 3 3
10 10 5 55 8 1 4
10 10 2 5
W
− − = = − −
Primero calculare el determinante de W :
3 33 4 3 1 12 3 120 75 45 95 5det
1 4 5 5 5 2 25 10 250 250 50
2 5
W−
− = = − = − = = = −
Ahora calculamos la matriz traspuesta, esto se logra cambiando las filas
a columnas, así:
1 4
2 5
3 3
5 5W
=
−
−
1
24
5
3
53
5
tW
=
−
−
Ahora calculamos la adjunta de la matriz tW , esto se logra calculando
los cofactores de cada elemento.
Los cofactores son:
( ) 11 12
21 22
t c cadj W
c c
=
Y se calculan así: (destacaré en rojo las filas y columnas “ocultas” y
dejare en azul aquel con el que calculare el determinante)
( )1 1
11
4
4
41
5
3 1
5
5
2
5
53tW c
+
= → = − =
−
−
( )1 2
12
3 1
5 24
33
5
5
153
5
tW c+
= → = − =
−
−
−
( )2 1
21
3
53 4
11
1
2
5
1
5
22
tW c+
= → = − =
− −
−
( )2 2
22
1
23 4
31
335
5 5
55tW c
+
= → = − =
−
−
( )4 3
5 51 3
2 5
tadj W
=
Entonces la matriz inversa es:
( ) ( )1
4 3 4 31 1 505 5 5 5
9 1 3 1 3det 950 2 5 2 5
tW adj WW
−
= = =
1
4 50 3 50 40 30 40 10. .
5 9 5 9 9 9 9 31 50 3 50 25 30 25 10
. .2 9 5 9 9 9 9 3
W −
= = =
Podemos comprobar que ésta es la matriz inversa, así:
1
3 3 40 10 3 40 3 25 3 10 3 10. . . .
5 5 9 3 5 9 5 9 5 3 5 3. .1 4 25 10 1 40 4 25 1 10 4 10
. . . .2 5 9 3 2 9 5 9 2 3 5 3
W W I−
− − − = → =
− − + − +
1
120 75 120 75 452 2 0 0
1 045 45 45 45.40 100 10 40 20 20 240 150 90 0 1
018 45 6 15 9 9 90 90
W W −
− − − = = = = − − − − + + +
Por lo tanto:
1
40 10
9 325 10
9 3
W −
=
Entonces:
40 10 40 10.90 .60
90 400 200 6009 3 9 3.25 10 60 25 10 250 200 450
.90 .609 3 9 3
X
+ + = = = = + +
De aquí, la matriz * 600 0
0 450X
=
, entonces:
*
2 3 2 3.600 .450
0,4 0,6 600 0 600 0 240 2705 5 5 5. . .0,5 0,2 0 450 1 1 0 450 1 1 300 90
.600 .4502 5 2 5
B A X
= = = = =
De esta última matriz, y la información anteriormente calculado, se
construye la tabla de interacción económica, dándole respuesta al apartado “a”
de la pregunta:
Industria 1 Industria 1 D X
Industria 1 240 270 90 600
Industria 2 300 90 60 450
Para dar respuesta al apartado “b”, se tiene:
35
81L
=
y 52
95G
=
Entonces:
35 52 35 52 87
81 95 81 95 176L G
+ + = + = = +
Ahora, aplicamos esta fórmula:
( ) ( )1 t
UP I A L G− = − +
Pero antes, se calcula la traspuesta de ( ) 1I A
−− , es decir, ( ) 1 t
I A− −
,
así:
( )1 1
25
925 10
40 10 40
9 3 910
3
10
9 3 3
tW W− −
= → =
Entonces:
( ) ( )1
40 25 40 25. .
9 9 9 910 10 10
87 17687
176 10. .
3 3 3 3
3480 4400
9 9
87 1
.870 1760
3 376
U
t
I AP L G−
+
+ +
−
+ = = = =
+
3480 4400 7880875,559 9
870 1760 2630 876,66
3 3
UP
+
= = ≈ +
Respuesta:
a) La tabla de interacción económica, es:
Industria 1 Industria 1 D X
Industria 1 240 270 90 600
Industria 2 300 90 60 450
b)
7880875,559
2630 876,66
3
UP
= ≈
A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,
¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu
eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.
Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo
saber, a través, de mi correo: [email protected]. Recuerda que en
mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el
estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente
editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o
escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta
a la brevedad posible.
Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,
justificación y respuesta , ya que en los exámenes de desarrollo deberás
justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante
que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre
dando justificación y luego la respuesta .
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1
La matriz tecnológica asociada a una cierta economía es:
0, 2 0,1 0,3
0,3 0, 4 0,1
0.1 0,1 0,5
A
=
a) ¿Cuál es la interpretación del coeficiente 21 0,3a = ?
b) Si el vector de producción es:
650
510
590
X
=
, conteste:
b.1) ¿Es la economía viable? En caso afirmativo, ¿cuáles son las
disponibilidades de cada artículo producido para su posible exportación?
b2) ¿Cuál es la interpretación de la 2da componente del vector
.A X ?
Ejercicio 2
La matriz tecnológica asociada a cierta economía es A=
6/12/1
4/13/1. Si el
vector de producción es X =
8
7. Coloque una V o una F según que las
afirmaciones hechas con respecto a estas matrices sean verdaderas o falsas
respectivamente:
a. La economía es viable_______.
b. La economía no es viable_______.
c. X es un vector de producción de equilibrio interno_______.
Ejercicio 3
La interacción de una cierta economía cerrada conformada por dos
industrias I1, I2 está representada en la siguiente tabla:
I1 I2 Demanda
Sector Externo
Producción
Total
I1 130 200 250 580
I2 580 320 800 1700
Determine la matriz tecnología de esta economía.
Ejercicio 4
La interacción de una cierta economía cerrada conformada por dos
industrias P, Q está representada en la siguiente tabla:
P Q
Demanda
Sector Externo
Producción
Total
(Output total)
P 10 10 10 30
Q 20 10 20 50
Insumos
Primarios 0 30
Input Total 30 50
Si la estructura de dicha economía permanece invariable, reconstruye la
tabla de interacción si el vector de demanda del sector externo de la industria Q
se reduce en un 30%.
Ejercicio 5
Considere una economía formada por un sector productivo de 3
industrias y un sector externo, con matriz de tecnología A. Si la matriz inversa
de Leontief es
( ) 1
1,92 0,6 0,34
0,9 2,3 0,8
0,6 0,7 1,6
I A−
− =
,
y el vector demanda es
30
15
12
D
=
. Indica la cantidad de unidades que deberá
producir, aproximadamente, la industria 1 para cubrir la demanda total de la
economía
a. 70,68 unidades b. 72,3 unidades c. 71,1 unidades d. 73,1.
Ejercicio 6
La matriz tecnológica asociada a un cierta economía es la siguiente:
1/ 4 1/ 6
3/ 2 4 / 3A
= −
.
Determina dos vectores de producción de equilibrio interno.
Ejercicio 7
La interacción de una cierta economía cerrada está dada por la siguiente
tabla:
Industria 1 Industria 2 Industria 3 Demanda
Sector
Externo
Producción
Total
Industria
1 123 567 89 200 979
Industria
2 120 200 69 325 714
Industria
3 90 400 167 150 807
Determine el valor del coeficiente 31a de la matriz de tecnología de esta
economía e indique su significado.
Ejercicio 8
La interacción de una cierta economía cerrada conformada por dos
industrias R, S está representada en la siguiente tabla:
R S
Demanda
Sector Externo
Producción
Total
R 100 b12 d1 x1
S b21 150 d2 x2
La matriz de tecnología de esta relación económica es 0,2 0,4
0,6 0,3A
=
y el
vector de demandas del sector externo es 90
60D
=
A continuación se presentan dos columnas clasificadas de la siguiente manera: en la primera se indican algunas de las incógnitas de la tabla de interacción y en la segunda columna los posibles valores de estas variables. Indica con una flecha, la correspondencia entre los elementos de la primera y segunda columna.
a. b12 290
b. x2 310
c. d2 500
60
Ejercicio 9
La matriz de tecnología de una economía conformada por dos industrias
es:
1/ 3 1/ 5
2 / 3 1/ 5A
=
.
Los costos unitarios de mano de obra para los productos 1 y 2 son 20
u.m., y 10 u.m., respectivamente. Si se desea tener un beneficio unitario para el
producto 1 de 8 u.m., y para el producto 2 de 5 u.m. ¿cuáles deben ser los
precios unitarios de cada uno de los productos?
Ejercicio 10
Completa los datos de la siguiente tabla de interacción de una cierta
economía cerrada conformada por dos industrias L y S:
L S
Demanda
Sector Externo
Producción
Total
L 500 1000
S 500 1500
tomando en cuenta que la matriz de tecnología de esta economía es:
1/ 5 1/ 5
2 / 5 2 / 5A
=