Hola!!! Se que estas bien anímicamente y si este material llego a tus

manos es porque ya estas preparado internamente para comenzar a estudiar a

distancia las asignaturas de matemática. Como sabes, se han escrito muchos

libros de Matemática, tanto comerciales como los libros diseñados en las

universidades a distancia, y ellos tienen, como todo en la vida, sus fortalezas y

debilidades, así, en este material se pretende fortalecer esa debilidad que a mi

juicio tienen algunos escritos de Matemática.

En lo primero que debemos caer en la cuenta es QUE LA MATEMÁTICA

NO ES LA ASIGNATURA MÁS DIFICIL DEL MUNDO, es importante que dejes

de pensar en esta idea, de esta manera, quizás el primer pago para lograr

aprender Matemática es la vigilancia de tus pensamientos, es en superar ese

primer obstáculo, ese obstáculo que muchos no ven, pero que esta allí y existe,

me refiero a ti mismo, basta con que observes la trayectoria de algunos

eventos de tu vida y te darás cuenta que ciertamente cuando has sentido esa

energía positiva, esa fé, ese pleno convencimiento de algo, pues sucede. Fíjate

que nadie discute si la UNA queda en Venezuela o si Simón Bolívar es el

libertador de América, simplemente la aceptamos como verdades absolutas sin

la menor duda, pues de esa misma manera deberás convencerte que tu si

puedes pasar Matemática, que puedes aprenderla, que puedes obtener las

habilidades para resolver distintos ejercicios y problemas, que si otros lo han

logrado, tu también puedes, porque tu también tienes esa chispa, ese poder

que todos los seres humanos tenemos y que heredamos de nuestro único

padre-madre.

Espero que esta breve introducción te motive y más aun, te convenza

que si puedes lograrlo, que jamás la vida nos pone reto que no podemos

superar, jamás se te pedirá que resuelvas el problema del calentamiento global

a ti solo, porque sencillamente no puedes, sin embargo seguro que los

problemas actuales de tu vida puedes resolverlas, busca siempre dentro de ti,

intenta tener paz y calma para estudiar, de obtener el hábito de estudio

mañanero que es el ideal, sin embargo, tu eliges, tu decides como, donde y

cuando estudiar, y recuerdas siempre tienes 2 opciones: ser una víctima de la

Matemática o aprender de ella, tiene mucho que enseñarte, desde la música, el

cine, el celular y toda la tecnología reposa sobre la sólida base de la

Matemática, e inclusive la naturaleza es Matemática por ser perfecta.

Quiero hacer hincapié en lo siguiente: NO SOLO TE MOTIVES AL LEER

ESTO EN ESTE INSTANTE DE TU VIDA, PROCURA SOSTENER ESA

MOTIVACIÓN EN EL TIEMPO, CUANDO DEJES DE LEER ESTO, CUANDO

CRUCES ESA PUERTA POR DONDE SALDRAS, TRATA, TRATA Y SIGUE

TRATANDO DE MANTENERTE MOTIVADO, claro esta es natural que como

seres humanos tengamos altas y bajas emocionales y mentales, pero es

precisamente en las bajas donde tu te demostraras que eres grande, que si

puedes superar ese “bajón” y seguir adelante, ya que el problema no es caer,

sino no permanecer caído, y entender que gracias a esas caídas, gracias a

esos errores, aprendemos y crecemos como persona, como pareja, como hijo,

como hija, como madre, como padre, como amigo, como amiga, como

estudiante…

En la página https://sites.google.com/site/jorgegranadillomat1/

encontraras ayuda de múltiples maneras en la Matemática, e inclusive en la

vida, porque estoy convencido que hay que buscar un equilibrio, una armonía

de vida para lograr un aprendizaje significativo.

Este libro es abierto y se escribirá en forma continua, porque pretende

dar respuesta y solución a los ejercicios y problemas que se te presenten, en

formar un grupo de personas que nos ayudemos mutuamente, que pasemos

los favores de conocimiento, en fin, lograr que tu amigo, amiga logres tus

anheladas metas de no solo graduarte, sino de aprehender realmente

Matemática y puedas multiplicar esta información a tu familia, amistades y todo

aquel que lo necesite.

Al estudiar afirma: TODO LO QUE ESTUDIO HOY LO ASIMILO CON

FACILIDAD Y LO RECUERDO EN EL MOMENTO NECESARIO…

Espero este material te ayude, y me ayudes a mejorarlo con tus

comentarios que me puedes hacer llegar a través de los correos:

jorgegranadillomat@gmail.com y jorgegranadillo_mat@yahoo.com

Gracias por leer este material y sobre todo gracias por creer en ti, en mi

y en la ayuda que estoy seguro encontraras, si no observas el tema que te

interesa desarrollar en este libro, dímelo y a la brevedad lo pondremos para tu

beneficio, encontraras títulos abiertos de lo que pretendemos desarrollar para ti

y donde corresponda puedes decirme lo que necesitas para avanzar a la

medida de tus necesidades, por ejemplo, si lo que deseas desarrollar es de

Matemática III, escribe a los correos y allí colocaremos el desarrollo que

necesitas, este es un trabajo arduo pero con la inteligencia de Dios a través de

nosotros nos permitirá lograr el objetivo, el objetivo de que APREHENDAS

MATEMÁTICA, de nuevo GRACIAS!!! Estoy muy agradecido…

Capitulo II

Matemática II

Objetivo 1. Interpretar la noción de límite de una función real de variable

real en un punto, en forma intuitiva, geométrica y formal para establecer

algunas propiedades para el cálculo de límites de funciones.

Ejercicio 1

Estudiar y graficar el comportamiento de la función: 2 5 6

( )1

x xf x

x

+ −=−

, en las

cercanías de 1x = .

Solución

Justificación: Vamos a estudiar el comportamiento de la función en las

cercanías o alrededores de 1x = , es decir, vamos a tomar valores menores y

mayores que 1, pero muy cercanos a uno, para observar como se comportan

las imágenes de la función dada.

Construyamos las siguientes tablas para visualizar mejor lo que sucede:

Para valores menores pero cercanos a 1

1x < 2 5 6( )

1

x xf x

x

+ −=−

0,9 6,9

0,99 6,99

0,999 6,999

0,9999 6,9999

0,99999 6,99999

0,999999 6,999999

NOTA: Los valores se toman arbitrariamente, es decir, los que desees tomar,

siempre y cuando sean menores y cercanos a 1. Los valores obtenidos en la

función los puedes obtener con una calculadora.

Para valores mayores pero cercanos a 1

1x < 2 5 6( )

1

x xf x

x

+ −=−

1,01 7,01

1,001 7,001

1,0001 7,0001

1,00001 7,00001

1,000001 7,000001

1,0000001 7,0000001

Si comparas ambas tablas, podrás caer en la cuenta que a medida que

nos acercamos a 1 por la izquierda (valores menores pero cercanos a 1) la

función se acerca cada vez más a 7 por la izquierda, y, cuando nos acercamos

a 1 por la derecha (valores mayores pero cercanos a 1) la función se acerca

cada vez más a 7 por la derecha.

Grafiquemos la función tomando en cuenta los puntos calculado en las

tablas anteriores.

Obsérvese que en 1, la función no está definida, porque la división entre

0 no existe, por esto la recta tiene un agujero.

Otra característica interesante de observar es que la gráfica es una línea

recta, esto se pudo saber previamente si se hubiera factorizado la función

dada.

Para factorizar hay que calcular las raíces de los polinomios presentes,

en este caso: 2 5 6x x+ − , así:

( )( )( )

22 5 5 4 1 64 5 25 24 5 49 5 7

2 2 1 2 2 2

5 7 21

2 2

5 7 126

2 2

b b acx

a

x

− ± − −− ± − − ± + − ± − ±= = = = =

− + = == − − − = = −

Ahora cambiamos los signos de las raíces para obtener la factorización

del polinomio:

2 ( 1)5 6 ( 1)( 6)( )

1 1

xx x x xf x

x x

−+ − − += = =− −

( 6)

1

x

x

+−

6x= +

Entonces la función dada se puede escribir: ( ) 6, 1f x x x= + ≠ .

Respuesta: Al estudiar la función 2 5 6

( )1

x xf x

x

+ −=−

en las cercanías de

1x = se evidencia que 2

1 1

5 6lim ( ) lim 7

1x x

x xf x

x→ →

+ −= = − .

Ejercicio 2

Dadas las funciones: 3( ) 1f x x= + y 3 2( ) 4 3g x x= − . Calcular usando el

álgebra de límites : [ ]0

lim ( ) ( )x

f x g x→

−

Solución

Justificación: El álgebra de límites consiste en aplicar las propiedades

del límite, es decir, el límite de la suma y resta es la suma y resta de los límites,

la raíz del límite es el límite de la raíz, entre otras, en este caso:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

3 33 2 3 2 3 23

0 0 0 0 0

23 2 3 333

0 0 0 0

lim 1 4 3 lim 1 lim 4 3 lim 1 lim 4 3

lim lim1 lim 4 lim 3 0 1 4 3 0 1 4

x x x x x

x x x x

x x x x x x

x x

→ → → → →

→ → → →

+ − − = + − − = + − − =

+ − − = + − − = −

Respuesta: [ ] 3

0lim ( ) ( ) 1 4x

f x g x→

− = −

Ejercicio 3

Sea la función definida por:

a) Hacer una representación gráfica de ( )f x

b) Calcular el límite de ( )f x cuando x se acerca a 0 por la izquierda y

por la derecha.

c) Calcular el límite de ( )f x cuando x se acerca a 1− por la izquierda y

por la derecha.

d) Calcular el límite de ( )f x cuando x se acerca a 2 por la izquierda y

por la derecha.

Solución

Justificación:

a) Primero graficamos la función dada, dividiendo previamente el plano

cartesiano en los intervalos dados, es decir:

Ahora procedemos a graficar en cada zona del plano cartesiano:

La gráfica de la función ( )f x está representada por las líneas rojas

b) Para calcular el límite de ( )f x cuando x se acerca a 0 por la

izquierda y por la derecha, observamos la gráfica en el punto 0:

Se visualiza claramente que cuando nos acercamos a cero por la

izquierda y subimos a la gráfica (línea roja) la imagen tiende a 1, mientras que

cuando nos acercamos a cero por la derecha y subimos a la gráfica (línea roja)

la imagen también tiende a 1, por lo tanto:

0lim ( ) 1x

f x−→

= y 0

lim ( ) 1x

f x+→

=

c) Para calcular el límite de ( )f x cuando x se acerca a 1− por la

izquierda y por la derecha, observamos la gráfica en el punto 1− :

Se visualiza claramente que cuando nos acercamos a 1− por la

izquierda, la gráfica está por debajo donde claramente la imagen tiende a 3− ,

mientras que cuando nos acercamos a 1− por la derecha y subimos a la gráfica

la imagen tiende a 1, por lo tanto:

1lim ( ) 3x

f x−→−

= − y 1

lim ( ) 1x

f x+→−

=

d) Para calcular el límite de ( )f x cuando x se acerca a 2 por la

izquierda y por la derecha, observamos la gráfica en el punto 2 :

Se visualiza claramente que cuando nos acercamos a 2 por la izquierda,

la gráfica está por encima del eje x donde claramente la imagen tiende a 1,

mientras que cuando nos acercamos a 2 por la derecha y subimos a la gráfica

la imagen tiende a 4 , por lo tanto:

2lim ( ) 1x

f x−→

= y 2

lim ( ) 4x

f x+→

=

Respuesta:

a) La gráfica de ( )f x es:

b) 0

lim ( ) 1x

f x−→

= y 0

lim ( ) 1x

f x+→

=

c) 1

lim ( ) 3x

f x−→−

= − y 1

lim ( ) 1x

f x+→−

=

d) 2

lim ( ) 1x

f x−→

= y 2

lim ( ) 4x

f x+→

=

Ejercicio 4

Sea la función definida por:

a) Hacer una representación gráfica de ( )f x

b) Calcular el límite de ( )f x cuando x se acerca a 0 por la izquierda y

por la derecha.

c) Calcular el límite de ( )f x cuando x tiende a cero.

d) Calcular el límite de ( )f x cuando x se acerca a 3 por la izquierda.

Solución

Justificación:

a) Primero graficamos la función dada, dividiendo previamente el plano

cartesiano en los intervalos dados, es decir:

Ahora procedemos a graficar en cada zona del plano cartesiano:

Gráfica de la zona: 2 6 6 0x x si x− − − ≤ <

En este caso estamos en presencia de una parábola, porque el orden

del polinomio 2 6x x− − es 2. Ahora bien, cuando la variable x es la que esta

elevada al cuadrado, sucede que la parábola abre hacia arriba o hacia abajo,

para saber hacia dónde abre observamos el coeficiente de la variable elevada

al cuadrado, en este caso es 1− , como es NEGATIVO la parábola abre HACIA

ABAJO. Finalmente evaluamos la parábola en los extremos del intervalo donde

se graficará, en este caso:

Para ( ) ( )226 6 6 6 6 36 36 0x y x x= − → = − − = − −− − = + =− Punto ( 6,0)−

Para ( ) ( )220 6 0 6 0 0 0 0x y x x= → = − − = − − = + = Punto (0,0)

Casualmente los extremos son las raíces de la parábola dada, porque en

ambos casos obtenemos como resultado 0.

Gráfica de la zona: 0 3x si x< ≤

En este caso estamos en presencia de una línea recta, porque la

variable esta elevada a la unidad, es decir, la recta y x= , y para graficar una

recta solo necesitamos 2 puntos del plano, entonces procedemos a evaluar la

recta en los extremos del intervalo donde se graficará:

Para 0 0x y x y= → = → = Punto (0,0)

Para 3 3x y x y= → = → = Punto (3,3)

Gráfica de 2 0si x− =

En este caso se trata de un punto, es decir, graficar 2y = − en 0x = , o lo

que es igual graficar solo el punto relleno (0, 2)−

La grafica es la que se presenta a continuación:

La gráfica de la función ( )f x está representada por el color rojo.

b) Para calcular el límite de ( )f x cuando x se acerca a 0 por la

izquierda y por la derecha, observamos la gráfica en el punto 0:

Se visualiza claramente que cuando nos acercamos a cero por la

izquierda y subimos a la gráfica (línea roja) la imagen tiende a 0, mientras que

cuando nos acercamos a cero por la derecha y subimos a la gráfica (línea roja)

la imagen también tiende a 0, por lo tanto:

0lim ( ) 0x

f x−→

= y 0

lim ( ) 0x

f x+→

=

c) Apoyándonos en el resultado inmediato anterior (b), dado que los

límites laterales son iguales, se puede concluir, que el límite que nos

piden calcular es:

0lim ( ) 0x

f x→−

=

d) Para calcular el límite de ( )f x cuando x se acerca a 3 por la

izquierda, observamos la gráfica en el punto 3 :

Se visualiza claramente que cuando nos acercamos a 3 por la izquierda,

la gráfica está por encima del eje x donde claramente la imagen tiende a 3 ,

por lo tanto:

3lim ( ) 3x

f x−→

=

Respuesta:

a) La gráfica de ( )f x es:

b)0

lim ( ) 0x

f x−→

= y 0

lim ( ) 0x

f x+→

=

c) 0

lim ( ) 0xf x

→=

d) 3

lim ( ) 3x

f x−→

=

Ejercicio 5

Sea la función G definida como [ ]( )G x x x= −

a) Hacer una representación gráfica de la función ( )G x

b) Calcular el límite de ( )G x cuando x se acerca a 1 por la izquierda y

por la derecha.

c) Calcular el límite de ( )G x cuando x se acerca a 2− por la derecha.

d) Determinar el límite de ( )G x cuando x se acerca a 0 .

Solución

Justificación:

a) Para hacer una representación gráfica de la función dada, primero

debemos conocer la función parte entera, denotada en este caso

como [ ]x , y que se define así:

[ ] 1 ; x n n x n n= → ≤ < + ∈ℤ

Fíjate que la grafica de [ ]( )G x x x= − va desde menos infinito a infinito

positivo, sin embargo, graficaremos en la zona donde nos piden los límites, en

este caso debemos estudiar limites alrededor de los puntos 2,0 y 1− , por lo

tanto tomaremos valores enteros que por lo menos contengan en el eje real

estos valores, comencemos a gráfica bajo estas pautas:

Tomemos valores arbitrarios para n , así:

[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]

1

5 5 4

4 4 3

3 3 2

2 2 1

1 1 0

0 0 1

1 1 2

2 2 3

3 3 4

4 4 5

x n n x n

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

= → ≤ < +

= − → − ≤ < −

= − → − ≤ < −

= − → − ≤ < −

= − → − ≤ < −

= − → − ≤ <

= → ≤ <

= → ≤ <

= → ≤ <

= → ≤ <

= → ≤ <

Ahora sustituyamos estos valores en la función ( )G x para obtener las

funciones a graficar y sus respectivos intervalos donde se graficará:

[ ][ ][ ][ ][ ]

1

5 5 4 ( ) 5 5 4

4 4 3 ( ) 4 4 3

3 3 2 ( ) 3 3 2

2 2 1

x n n x n

x x G x x x

x x G x x x

x x G x x x

x x

= → ≤ < +

= − → − ≤ < − → = − − − ≤ < −

= − → − ≤ < − → = − − − ≤ < −

= − → − ≤ < − → = − − − ≤ < −

= − → − ≤ < − →

[ ][ ][ ]

( ) 2 2 1

1 1 0 ( ) 1 1 0

0 0 1 ( ) 0 0 1

1 1 2 ( ) 1

G x x x

x x G x x x

x x G x x x

x x G x x

= − − − ≤ < −

= − → − ≤ < → = − − − ≤ <

= → ≤ < → = − ≤ <

= → ≤ < → = −

[ ][ ][ ]

1 2

2 2 3 ( ) 2 2 3

3 3 4 ( ) 3 3 4

4 4 5 ( ) 4 4

x

x x G x x x

x x G x x x

x x G x x

≤ <

= → ≤ < → = − ≤ <

= → ≤ < → = − ≤ <

= → ≤ < → = − 5 x≤ <

Finalmente graficaremos estos tramos de rectas en sus intervalos

correspondientes:

b) Para calcular el límite de ( )f x cuando x se acerca a 1 por la

izquierda y por la derecha, observamos la gráfica en el punto 1:

Se visualiza claramente que cuando nos acercamos a 1 por la izquierda

y bajamos a la gráfica (línea roja) la imagen tiende a 1− , mientras que cuando

nos acercamos a 1 por la derecha y vamos a la gráfica (línea roja) la imagen

tiende a 0, por lo tanto:

1lim ( ) 1xG x

−→= − y

1lim ( ) 0xG x

+→=

c) Para calcular el límite de ( )f x cuando x se acerca a 2− por la

derecha, observamos la gráfica en el punto 2− :

Se visualiza claramente que cuando nos acercamos a 2− por la derecha

y vamos a la gráfica (línea roja) la imagen tiende a 0, por lo tanto:

2lim ( ) 0x

G x+→−

=

d) Para determinar el límite de ( )G x cuando x se acerca a 0 , debemos

calcular el limite por la izquierda y por la derecha de cero, para

comparar si estos límites laterales son iguales y poder concluir

acerca de la existencia del límite que nos piden determinar 0

lim ( )xG x

→,

para ello, observemos la siguiente gráfica:

Se visualiza claramente que cuando nos acercamos a 0 por la izquierda

y bajamos a la gráfica (línea roja) la imagen tiende a 1− , mientras que cuando

nos acercamos a 0 por la derecha y vamos a la gráfica (línea roja) la imagen

tiende a 0, por lo tanto:

0lim ( ) 1x

G x−→

= − y 0

lim ( ) 0x

G x+→

=

Al comparar dichos límites laterales, se tiene que son diferentes, por lo

tanto él 0

lim ( )xG x

→ no se puede determinar porque no existe.

Respuesta:

a) La gráfica de la función ( )G x es:

b) 1

lim ( ) 1xG x

−→= − y

1lim ( ) 0xG x

+→=

c) 2

lim ( ) 0x

G x+→−

=

d) El 0

lim ( )xG x

→ no se puede determinar.

Ejercicio 6

Considere la función 2

si 0( )

si 0

x xf x

x x

>= − <

¿Existe el 0

lim ( )xf x

→? Razone su

respuesta.

Solución

Justificación: En este caso estamos en presencia de una función a

trozos y nos preguntan si el límite existe, en este tipo de situaciones es

recomendable calcular los límites laterales para compararlos y, si son iguales el

límite existe, de lo contrario, es decir, si son diferentes, el límite no existe.

Entonces en este caso, se tiene:

Límite cuando equis tiende a cero por la izquierda

Se toma la expresión perteneciente al símbolo <, en este caso 2x− , así:

( ) ( )22

0 0lim ( ) lim 0 0x x

f x x− −→ →

= − = − =

Límite cuando equis tiende a cero por la derecha

Se toma la expresión perteneciente al símbolo >, en este caso x , así:

( )0 0

lim ( ) lim 0x x

f x x+ +→ →

= =

Como los límites laterales son iguales, el 0

lim ( )xf x

→ existe.

Respuesta: el 0

lim ( )xf x

→ existe.

Ejercicio 7

Sean f , g : D ⊆ →ℝ ℝ tales que: 1

3 1lim 2 ( ) ( )

2 2xf x g x

→

− =

y ( )1

lim ln ( ) 0x

g x→

= .

Usando el álgebra de límite, calcular 1

lim ( ) 1xf x

→= .

Solución

Justificación: El álgebra de límites consiste en aplicar las propiedades

del límite, es decir, el límite de la suma y resta es la suma y resta de los límites,

la raíz del límite es el límite de la raíz, entre otras, en este caso:

1 1 1 1 1

3 1 3 1 3 1lim 2 ( ) ( ) lim 2 ( ) lim ( ) 2 lim ( ) lim ( )

2 2 2 2 2 2x x x x xf x g x f x g x f x g x

→ → → → →

− = → − = → − =

Pero como ( ) ( ) ( )1

ln lim ( )0

1 1 1lim ln ( ) 0 ln lim ( ) 0 lim ( ) 1x

g x

x x xg x g x e e g x→

→ → →= → = → = → = ,

entonces:

( )1 1 1 1 1

3 1 3 1 1 3 42lim ( ) lim ( ) 2lim ( ) 1 2 lim ( ) 2lim ( ) 2

2 2 2 2 2 2 2x x x x xf x g x f x f x f x

→ → → → →− = → − = → = + → = =

1 1 1

22lim ( ) 2 lim ( ) lim ( ) 1

2x x xf x f x f x

→ → →= → = → =

Respuesta: El1

lim ( ) 1xf x

→= .

Ejercicio 8

Usando el ÁLGEBRA DE LÍMITE , Calcular: ( )

2 7

3

33

2 153lim

11 1

x

x

x

xx

x x

−−

→−

+ +

+ − +

.

Solución

Justificación: El álgebra de límites consiste en aplicar las propiedades

del límite, es decir, el límite de la suma y resta es la suma y resta de los límites,

la raíz del límite es el límite de la raíz, entre otras, en este caso:

( ) ( ) ( )( )

( )( )

2

2 2 3

33

lim 77 7

limlim 33 3

3

3 3 33 3

3

lim 2 152 15 2 1533 3lim lim

11 1 11 1 lim 11 1

x

xx

xx x

xx x

x

x x

x

xx x xx x

x x x x x x

→−

→−→−

− − − − − −

→−

→− →−

→−

+ ++ + + + = = = + − + + − + + − +

( )( )

( )( )

( )

( )( )

22

33 3

33

lim 7 lim lim 7

lim 3 lim 3

3 3 3

33

3 33

lim 2 15 lim 2 15 lim3 3

lim 11 lim 1lim 11 1

xx x

xx

x x

x x

x x x

x xx

x xx x

x xx x

→− →− →−

→− →−

− − − −

→− →− →−

→− →−→−

+ + + + = = + − + + − +

( )( ) ( )

( )( )( )( )

( )( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )

( )( )

23 7

9 7 9 73 3

9 9

3

3 33

3

3lim 2 15 2 3 15 1 6 15 1

3

lim 11 1 3 3 11 2 8 2

x

x

x

x

− − − − − −

→−

→−

+ − − + − − + − = = = + − − − + − − +

( )( )( )2

22 2 23

33 3 3

2 33 23

9 1 3 1 2 1 1 1 1

2 2 4 4 2 422

− − = = = = = = +

Respuesta: ( )

2 7

3

333

2 1513lim

11 1 4

x

x

x

xx

x x

−−

→−

+ + =

+ − +

Ejercicio 9

Dada la función:

si 0

( ) 1 si 0 3

ln si 3

xe x

f x x x

x x

− ≤= + < ≤ <

Calcular:

a) 0

lim ( )xf x

→

b) 3

lim ( )xf x

→

Solución

Justificación: En este caso estamos en presencia de una función a

trozos y nos piden calcular los límites planteados, en este tipo de situaciones

es recomendable calcular los límites laterales para compararlos y, si son

iguales el límite existe, de lo contrario, es decir, si son diferentes, el límite no

existe.

Entonces, se tiene para 0

lim ( )xf x

→:

Límite cuando equis tiende a cero por la izquierda

Se toma la expresión perteneciente al símbolo <, en este caso xe− , así:

( ) ( )0

0 0lim ( ) lim 1x

x xf x e e

− −

−

→ →= = =

Límite cuando equis tiende a cero por la derecha

Se toma la expresión perteneciente al símbolo >, en este caso 1x + , así:

( )0 0

lim ( ) lim 1 1x x

f x x+ +→ →

= + =

Como los límites laterales son iguales, el 0

lim ( )x

f x→

existe y tiene como

valor 0

lim ( ) 1x

f x→

= .

Para 3

lim ( )xf x

→:

Límite cuando equis tiende a tres por la izquierda

Se toma la expresión perteneciente al símbolo <, en este caso 1x + , así:

( ) ( )3 3

lim ( ) lim 1 3 1 4x x

f x x− −→ →

= + = + =

Límite cuando equis tiende a tres por la derecha

Se toma la expresión perteneciente al símbolo >, en este caso ln x , así:

( )3 3

lim ( ) lim ln ln 3x x

f x x+ +→ →

= =

Como los límites laterales no son iguales, el 3

lim ( )xf x

→ no existe.

Respuesta:

a) 0

lim ( ) 1x

f x→

=

b) 3

lim ( )xf x

→ no existe.

Ejercicio 10

En la figura se presenta la gráfica de una función [ ]: 0,9f →ℝ .

A continuación hacemos varias afirmaciones en relación a la función f .

Indica con una V o una F en el espacio correspondiente según que la

afirmación realizada sea verdadera o falsa respectivamente.

a. 0

lim ( ) 2xf x

→= _____

b. 3

lim ( ) 3xf x

→= _____

c. 9

lim ( ) 1xf x

→= _____

Solución

Justificación:

a) Si observamos la gráfica, cuando x tiende a 0 por la derecha, las

imágenes de la función tienden a 2, sin embargo, no podemos

acercarnos a 0 por la izquierda porque la función no está definida, de

manera que desconocemos el valor de la función cuando x tiende a

2 por la izquierda, por lo tanto podemos concluir que 0

lim ( ) 2xf x

→= es

una afirmación falsa por el teorema de unicidad del límite.

b) Cuando nos acercamos a 3 tanto por la derecha como por la

izquierda, las imágenes siempre tienden a 3, por lo tanto que el

3lim ( ) 3xf x

→= es verdadero.

c) Si observamos la gráfica, cuando x tiende a 9 por la izquierda, las

imágenes de la función tienden a 1, sin embargo, no podemos

acercarnos a 9 por la derecha porque la función no está definida, de

manera que desconocemos el valor de la función cuando x tiende a

9 por la derecha, por lo tanto podemos concluir que 9

lim ( ) 1xf x

→= es

una afirmación falsa por el teorema de unicidad del límite.

Respuesta:

a. 0

lim ( ) 2xf x

→= __F__

b. 3

lim ( ) 3xf x

→= __V__

c. 9

lim ( ) 1xf x

→= __F__

A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,

¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu

eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.

Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo

saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en

mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el

estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente

editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o

escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta

a la brevedad posible.

Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,

justificación y respuesta , ya que en los exámenes de desarrollo deberás

justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante

que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre

dando justificación y luego la respuesta .

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio 1

Calcular el siguiente límite sin aplicar la regla de L’Hopital:

4

coslim

1x

senx x

tgxπ→

−−

Ejercicio 2

Realice una tabla de valores de (2 )

( )(3 )

arctg xf x

sen x= para valores de x

cercanos a cero y señale el valor de 0

lim ( )xf x

→.

Ejercicio 3

Calcule:

5 3

10 6

7 4lim

8 2x

x

x→−∞

++

Ejercicio 4

Sean f y g las funciones polinómicas 2

0 1 2( ) ... n

nf x a a x a x a x= + + + + ,

2

0 1 2( ) ... m

mg x b b x b x b x= + + + + . A continuación hacemos algunas afirmaciones

sobre el límite del cociente de estos polinomios. Coloca una V o una F en el

espacio en blanco según que la afirmación sea verdadera o falsa,

respectivamente

a. Si n > m entonces ( )

lim( )x

f x

g x→∞= ∞ _____

b. Si n < m entonces ( )

lim( )x

f x

g x→∞= ∞ _____

c. Si n = m entonces ( )

lim( )

n

xm

af x

g x b→∞= ______

Ejercicio 5

Dadas las siguientes proposiciones, justifica su veracidad o falsedad

usando la idea intuitiva de límite y colocando en el espacio correspondiente una

V o una F según sea el caso.

a) Si f no está definida en x c= , no existe el límite de ( )f x cuando x

tiende a c .

b) Si ( )f c L= , entonces lim ( )x cf x L

→= .

c) Si lim ( )x cf x L

→= entonces ( )f c L= .

Ejercicio 6

Calcular: ( )2

322

4 1lim

4 52

x

x x

xx x

→

− − −

− + −

Ejercicio 7

¿Cuál es el valor al que se aproxima la sucesión

1 0,32a = , 2 0,3232a = , 3 0,323232a = , ...,

0,32 ... 32n veces

na = ?

a. 8

25 b.

1

3 c.

808

25 d.

32

99

Ejercicio 8

Cuando hacemos el cambio 1z x= + en el límite 21

4

cos(3 )lim

1x

x x

x→

+−

, obtenemos:

a. ( )1

4

cos3lim

2z

z

z z→ + b.

( )1

4

cos3lim

2z

z

z z→ −

c. ( )5

4

cos3lim

2z

z

z z→ − d.

( )5

4

cos3lim

2z

z

z z→ +

Ejercicio 9

Calcular el límite: 2

3 3

3 2lim

2 1z

x

x→∞

−+

sin aplicar la regla de L’Hopital.

Ejercicio 10

Considera la función :f →ℝ ℝ representada en la siguiente gráfica.

Indica con una V o una F en el espacio correspondiente según que la

afirmaciones sean verdaderas o falsas, respectivamente:

a. lim ( )x

f x→−∞

= ∞ _____.

b. 0

lim ( ) 0xf x

→= _____.

c. a

lim ( )xf x L

→= _____.